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UNIDAD 5: LAS FRACCIONES
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© Daniel_García
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5.1 CONCEPTO DE FRACCIÓN:
• Una fracción es el cociente entre dos números enteros a y b tales que b ≠ 0.
El denominador b indica las partes iguales en que se divide la unidad.
El numerador a indica las partes que se toman de las que se ha dividido la unidad.
• Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador. Por ejemplo 5/6 .
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad. Las fracciones equivalentes cumplen que el producto de extremos es igual al producto de medios.
a/b=c/d es equivalente a a · d = b · c
• Una fracción es impropia si el denominador es menor que el numerador. Por ejemplo 7/3 .
3
5.1.1. Fracciones amplificadas: Se obtienen multiplicando el numerador y el denominador por un mismo número natural.
Ej. 8/4 es una fracción amplificada de 4/2 porque 8= 4·2 y 4= 2·2
5.1.2. Fracciones simplificadas: Se hallan dividiendo el numerador y el denominador por un divisor común a los dos.
Ej. 12/16 = 6/8
5.1.3. Fracciones irreducibles: Son aquellas en las que el mcd del numerador y denominador es 1, es decir, son primos entre sí. 24/18=12/9=4/3 (irreducible)5.2 Comparación y ordenación de fracciones: Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. El denominador común será el m.c.m de los denominadores.
4
Reducir fracciones a común denominador consiste en hallar otras con el mismo denominador que sean equivalentes a las originales. Este denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.
Para comparar fracciones se reducen a común denominador y se comparan los numeradores. Será mayor la que tenga mayor
1520
159
34
53 y153) , m.c.m.(5y
159
1520
• También se pueden comparar fracciones en la recta numérica. Dividimos la unidad en tantas partes iguales como indica el denominador y situamos la fracción en el punto que coincide con el número de partes que indica el numerador. La fracción mayor será la que quede situada a la derecha.
5
5.3. Operaciones con fracciones. Adición y sustracción• Si tienen el mismo denominador, se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador común.
• Si tienen distinto denominador, se reducen a común denominador y después se suman o restan los denominadores y se mantiene el denominador común.
4
9
4
6
4
3
4
3
4
2
4
5
6
3
6
10
2
1
3
5
6
Las propiedades de la suma de fracciones son las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
32
41
41
32
32
45
31
32
45
31
34
10
34
10
30
35
35
•5.4 Operaciones con fracciones. Multiplicación y división.Al multiplicar dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores y el denominador el producto de los denominadores.
7
d · bc · a
dc ·
ba
158
54
32
Las propiedades de la multiplicación de fracciones son las siguientes:
Conmutativa
Asociativa
Elemento neutro
Elemento opuesto
Distributiva respecto a la suma o la resta
32 ·
41
41 ·
32
32 ·
21 ·
52
32 ·
21 ·
52
38
11 ·
38
11
2020
45 ·
54
21 ·
34
45 ·
34
21
45 ·
34
8
Al dividir dos fracciones, se obtiene otra fracción cuyo numerador es el producto del numerador de la primera fracción por el denominador de la segunda y el denominador es el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda.
c · bd · a
dc :
ba
1514
75
: 32
5.4. Operaciones con fracciones. Potencias
Para calcular la potencia de una fracción se multiplica la fracción por sí misma tantas veces como indique el exponente.
veces nn
ba · ... ·
ba ·
ba
ba
También se puede calcular elevando numerador y denominador al exponente al que está elevada la fracción.
n
nn
ba
ba
9
169
43
43
43
43
2
22
• Se pueden realizar las mismas operaciones con las potencias de fracciones que con las potencias de base entera:
Multiplicación de potencias de la
misma base
División de potencias de la
misma base
Potencia de una potencia
qpqp
ba
ba ·
ba
qpqp
ba
ba :
ba
q · pqp
ba
ba
7252
5
43
43
43 ·
43
53838
21
21
21 :
21
62 · 3
23
53
53
53
10
5.5 Operaciones combinadas.
Cuando se realizan varias operaciones con fracciones se debe seguir el siguiente orden:
1.º Efectuar las operaciones entre paréntesis del más interno al más externo.
2.º Calcular las potencias y las raíces.
3.º Realizar las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha según el orden de aparición.
4.º Hallar las sumas y las restas de izquierda a derecha según el orden de aparición.
11
1617
4851
4848
4872
4827
11218
169
149
·32
94
:41
149
·32
32
:41
123
·32
31
1:21
2
222