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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
FACULTAD DE TECNOLOGIA EN LA INDUSTRIA
INGENIERIA EN ECONOMIA Y NEGOCIOS
MATEMATICA II
UNIDAD II: INTEGRAL DEFINIDA
REGLA DE SIMPSON
LUIS RODOLFO MEMBREÑO ALCANTARA – 20151336UIGNACIO JOSUE OSEGUEDA MENDEZ – 20151316U
CRISBEL ALEJANDRA RUIZ VIVAS – 20151338U
01/10/2015 UNI𝜋 𝑑𝑥
MANAGUA, NICARAGUA; JUEVES 01 DE OCTUBRE 2015
REGLA DE SIMPSON
Contenido:
• Introducción.
• Demostración de la regla de Simpson.
• Ejemplificación.
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
Integrales de polinomios de 2do grado
Teorema: Integral de 𝑨𝒙𝟐 +𝑩𝒙 + 𝑪
Si P(x) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, entonces
𝑎
𝑏
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎
6𝑃 𝑎 + 4𝑃
𝑎 + 𝑏
2+ 𝑃 𝑏
𝑑𝑥UNI01/10/2015
Integrales de polinomios de 2do grado
Demostración
Si P(x) = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶, entonces
𝑎
𝑏
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎
𝑏
𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶 𝑑𝑥 =𝐴𝑥3
3+𝐵𝑥2
2+ 𝐶𝑥
𝑎
𝑏
… =𝐴(𝑏3−𝑎3)
3+𝐵(𝑏2−𝑎2)
2+ 𝐶(𝑏 − 𝑎)
… =𝐴 𝑏 − 𝑎 𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2
3+𝐵 𝑏 − 𝑎 𝑏 + 𝑎
2+ 𝐶(𝑏 − 𝑎)
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
Integrales de polinomios de 2do grado
Demostración
𝑎
𝑏
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎
62𝐴(𝑏2 + 𝑎𝑏 + 𝑎2) + 3𝐵 𝑏 + 𝑎 + 6𝐶
… =𝑏 − 𝑎
62𝐴𝑏2 + 2𝐴𝑎𝑏 + 2𝐴𝑎2 + 3𝐵𝑏 + 3𝐵𝑎 + 6𝐶
… =𝑏 − 𝑎
6𝐴𝑎2 + 𝐵𝑎 + 𝐶 + 𝐴𝑏2 + 𝐵𝑏 + 𝐶 + 𝐴𝑏2 + 2𝐴𝑎𝑏 + 2𝐵𝑏 + 2𝐵𝑎 + 4𝐶 + 𝐴𝑎2
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
Integrales de polinomios de 2do grado
𝑎
𝑏
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 =𝑏 − 𝑎
6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 𝐴 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 + 2𝐵 𝑎 + 𝑏 + 4𝐶
… =𝑏 − 𝑎
6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 𝐴(𝑎 + 𝑏)2+2𝐵 𝑎 + 𝑏 + 4𝐶
… =𝑏 − 𝑎
6𝑃 𝑎 + 𝑃 𝑏 + 4 𝐴
𝑎 + 𝑏
2
2
+ 𝐵𝑎 + 𝑏
2+ 𝐶
… =𝑏 − 𝑎
6𝑃 𝑎 + 4𝑃
𝑎 + 𝑏
2+ 𝑃 𝑏
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Teorema: Regla de Simpson
Sea f una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y n un número
entero par, 𝑎 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, es una partición regular del intervalo cerrado
[a, b],∆𝑥 =𝑏−𝑎
𝑛, la regla de Simpson para aproximar 𝑎
𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 está dada por
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈𝑏 − 𝑎
3𝑛𝑓 𝑥0 + 4𝑓 𝑥1 + 2𝑓 𝑥3 +⋯+ 4𝑓 𝑥𝑛−1 + 𝑓 𝑥𝑛
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Además, cuando 𝑛 → ∞, el lado derecho tiende a 𝑎𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥
Nota: Observe que los coeficientes en la regla de Simpson tiene elsiguiente patrón.
1, 4, 2, 4, 2, … , 2, 4, 1. Es decir los coeficientes de los sumandosextremos son 1, los sumandos impares tienen coeficiente 4, y lospares, coeficiente 2.
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Denominando
E: La suma de las ordenadas extremas,
I: La suma de las impares,
P: La suma de las ordenadas pares,
Se tiene la siguiente forma simplificada:
𝑎𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈
𝑏−𝑎
3𝑛𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃 que se utiliza en la topografía
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑥0
𝑥2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ≈
… =𝑥2 − 𝑥06
𝑃 𝑥0 + 4𝑥0 + 𝑥22
+ 𝑃(𝑥2)
… =2∆𝑥
6𝑃 𝑥0 + 4 𝑥1 + 𝑃(𝑥2)
… =𝑏 − 𝑎
3𝑛𝑃 𝑥0 + 4𝑃 𝑥1 + 𝑃(𝑥2)
REGLA DE SIMPSON
Demostración
𝑃 𝑥 = 𝐴𝑥2 + 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥0 𝑥1 𝑥2
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Demostración (cuando n>2)
𝑥0
𝑥4
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥0
𝑥2
𝑃 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥2
𝑥4
𝑃 𝑥 𝑑𝑥
… =𝑏 − 𝑎
3𝑛𝑃 𝑥0 + 𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥1 + 𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥3 + 𝑃(𝑥4)
… =𝑏 − 𝑎
3𝑛𝑃 𝑥0 + 4𝑃 𝑥1 + 2𝑃 𝑥2 + 4𝑃 𝑥3 + 𝑃(𝑥4)
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Ejemplos:
0
4 ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)
1 + 𝑥2𝑑𝑥 𝑛 = 4
0
4 ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)
1 + 𝑥2𝑑𝑥 ≈
∆𝑥
3𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
n 𝑥𝑖ln(𝑥 + 𝑥2 + 1)
1 + 𝑥2
0 0 0
1 1 0.6638
2 2 0.5373
3 3 0.4264
4 4 0.3510
∆𝑥 =4 − 0
4= 1
REGLA DE SIMPSON
≈∆𝑥
3(0.3510) + 4(1.0902) + 2(0.5373)
≈1
30.3510 + 4.3602 + 1.0746
≈ 1.93𝑢2
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Ejemplos:
0
𝜋 21 + sin2 𝑥 𝑑𝑥 𝑛 = 4
0
𝜋 21 + sin2 𝑥 ≈
∆𝑥
3𝐸 + 4𝐼 + 2𝑃
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
∆𝑥 = 𝜋 2 − 0
4=𝜋
8
n 𝑥𝑖 0
𝜋 21 + sin2 𝑥
0 0 1
1 𝜋 81.000023464
2 𝜋 41.000093853
3 3𝜋 81.00020947
4 𝜋 21.0003753
REGLA DE SIMPSON
≈𝜋
24(2.0003753) + 4(2.000232934) + 2(1.000093853)
≈𝜋
242.0003753 + 8.000931736 + 2.000187706
≈ 1.57099
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
REGLA DE SIMPSON
Ejemplo 3
Estime el área de la superficie del Green de golf por la regla de Simpson.
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
𝑛 = 10
∆𝑥 =𝑏 − 𝑎
𝑛= 6
REGLA DE SIMPSON
=∆𝑥
30 + 0 + 4 7 + 6 + 15 2 + 23 2 + 3 + 2 7 + 6 + 10 + 25 2
=6
34 45 + 2 71 2 = 2 180 + 71 = 502
R// 1004 𝑝𝑖𝑒𝑠2
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015
GRACIA
LUIS RODOLFO MEMBREÑO ALCANTARA – 20151336UIGNACIO JOSUE OSEGUEDA MENDEZ – 20151316U
CRISBEL ALEJANDRA RUIZ VIVIAS – 20151338U
𝜋 𝑑𝑥UNI01/10/2015