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Variacion de las concepciones individuales sobrelımite finito de una funcion en un punto
J.A. Fernandez-Plaza, J.F. Ruiz-Hidalgo, L. Rico y E. Castro
Departamento de Didactica de la MatematicaUniversidad de Granada
XVII Simposio de la SEIEMBilbao, septiembre 2013
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)
Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)
Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.
Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.
Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Esquema general del estudio
Fase inicial (2011)Interpretacion de las concepcionesy definiciones de la nocion de lımiteen terminos de aspectosestructurales.
• Dualidad objeto/proceso.
• Caracter exacto/aproximado.
• Caracter infinitopotencial/finito.
• Relaciones entrealcanzabilidad/rebasabilidad.
Fase Final (2012)
Mejora de la caracterizacion de losaspectos estructurales.Deteccion de cambios en lasconcepciones.Estudio de la evolucion.
Contrastar las respuestas de la primera fase con las de la segunda.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Objetivo
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finitode una funcion en un punto.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Objetivo
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finitode una funcion en un punto.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
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Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Antecedentes
Se organizan los antecedentes segun los focos en los que se organizan lasentrevistas:
• Dualidad dualidad objeto/proceso. (Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981;Sierpinska, 1987; Sfard, 1991).
• Caracter infinito potencial/finito practico del proceso.(Sanchez-Compana, 2012).
• Caracter alcanzable/rebasable del lımite. (Cornu, 1991; Monaghan,1991).
Fernandez-Plaza,J.A. (2011). Significados puestos de manifiesto por estudiantes de bachillerato respecto al
concepto de lımite finito de una funcion en un punto. Un estudio exploratorio.
Fernandez-Plaza et al (2012) . The concept of finite limit of a function at one point as explained by
students of non-compulsory secondary education. Proc. of the 36th PME, vol 2., 235-242.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario
Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario
Entrevista semiestructurada
3 cuestiones
1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
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Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario
Entrevista semiestructurada
3 cuestiones
1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato
2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
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Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario
Entrevista semiestructurada
3 cuestiones
1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato
2o Bachillerato
36 estudiantes
21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario
Entrevista semiestructurada
3 cuestiones
1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato
2o Bachillerato
36 estudiantes
21 estudiantes
Registros fase inicial
Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones
1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato
2o Bachillerato
36 estudiantes
21 estudiantes
Registros fase inicial
Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato
2o Bachillerato
36 estudiantes
21 estudiantes
Registros fase inicial
Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes
21 estudiantes
Registros fase inicial
Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial
Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Metodo
Fase inicial Fase Final
Cuestionario Entrevista semiestructurada
3 cuestiones 1 cuestion replicada + 1 cuestion adicional
1o Bachillerato 2o Bachillerato
36 estudiantes 21 estudiantes
Registros fase inicial Pre-discusion y post-discusion:
• Cambios espontaneos.
• Respuestas a estımulos especıficos.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialDualidad objeto/proceso
(Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; Sanchez-Compana, 2012)
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Objeto/proceso Objeto Proceso
“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tan precisa comoquieras”.
Precision restringida Exactitud del lımite Precision arbitraria
“Un lımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez mascerca de un numero dado hasta que el lımite se alcanza”.
Finito practico Infinito potencial
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialDualidad objeto/proceso
(Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; Sanchez-Compana, 2012)
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Objeto/proceso Objeto Proceso
“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tan precisa comoquieras”.
Precision restringida Exactitud del lımite Precision arbitraria
“Un lımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez mascerca de un numero dado hasta que el lımite se alcanza”.
Finito practico Infinito potencial
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialDualidad objeto/proceso
(Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; Sanchez-Compana, 2012)
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Objeto/proceso Objeto Proceso
“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tan precisa comoquieras”.
Precision restringida Exactitud del lımite Precision arbitraria
“Un lımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez mascerca de un numero dado hasta que el lımite se alcanza”.
Finito practico Infinito potencial
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialDualidad objeto/proceso
(Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; Sanchez-Compana, 2012)
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Objeto/proceso Objeto Proceso
“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tan precisa comoquieras”.
Precision restringida Exactitud del lımite Precision arbitraria
“Un lımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez mascerca de un numero dado hasta que el lımite se alcanza”.
Finito practico Infinito potencial
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialDualidad objeto/proceso
(Tall, 1980; Tall y Vinner, 1981; Sierpinska, 1987; Sfard, 1991; Sanchez-Compana, 2012)
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Objeto/proceso Objeto Proceso
“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tan precisa comoquieras”.
Precision restringida Exactitud del lımite Precision arbitraria
“Un lımite se determina calculando f (x) para valores de x cada vez mascerca de un numero dado hasta que el lımite se alcanza”.
Finito practico Infinito potencial
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialCaracter alcanzable/rebasable del lımite
(Cornu, 1991; Monaghan, 1991)
“Un lımite es un numero o punto al cual una funcion no puede rebasar”
No rebasable Rebasable
“Un lımite es un numero o punto al que la funcion se acerca pero nuncaalcanza”
No alcanzable Alcanzable
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialCaracter alcanzable/rebasable del lımite
(Cornu, 1991; Monaghan, 1991)
“Un lımite es un numero o punto al cual una funcion no puede rebasar”
No rebasable Rebasable
“Un lımite es un numero o punto al que la funcion se acerca pero nuncaalcanza”
No alcanzable Alcanzable
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialCaracter alcanzable/rebasable del lımite
(Cornu, 1991; Monaghan, 1991)
“Un lımite es un numero o punto al cual una funcion no puede rebasar”
No rebasable Rebasable
“Un lımite es un numero o punto al que la funcion se acerca pero nuncaalcanza”
No alcanzable Alcanzable
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Fase inicialCaracter alcanzable/rebasable del lımite
(Cornu, 1991; Monaghan, 1991)
“Un lımite es un numero o punto al cual una funcion no puede rebasar”
No rebasable Rebasable
“Un lımite es un numero o punto al que la funcion se acerca pero nuncaalcanza”
No alcanzable Alcanzable
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Contenidos
IntroduccionDescricion generalObjetivo
Primera fase y metodoAntecedentes y metodoFase inicial
Datos y discusionRecogida de datosResultados del grupo Objeto/procesoResultados de otros aspectos
ConclusionesConclusiones
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa dual: Objeto/Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, porque el lımite cuando x tiende a algun numero, significadonde se dirige ela funcion cuando tiende a ese numero.
Fase pre-discusion
Es verdadera porque cuando se realiza se obtiene el conocimiento total dela funcion [. . . ] ademas nos permite saber hacia donde se mueve conrespecto a un punto en la grafica.
Fase post-discusion
Tambien se puede calcular el lımite en el infinito, entonces no nos indicasu forma, sino su direccion.
Concepcion dual
Concepcion proceso
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Objeto
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Falso, el lımite no te dice el movimiento de f (x), el movimiento te lo dicela ecuacion de f (x) que se te de para resolver, segun tenga x , x2,
√x ,
etc.
Fase pre-discusion
Falso, porque un lımite no describe el movimiento de la funcion sino quenos indica hacia donde se dirige o donde se situa la funcion en cualquierpunto de x .
Fase post-discusion
f (x) nos dice el movimiento, no nos lo dice el lımite.
Concepcion objeto
Sin variacion
Sin variacion
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
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Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados del grupo Objeto/procesoSujeto en la categorıa Proceso
“Un lımite describe como se mueve una funcion f (x) cuando x se muevehacia cierto punto”.
Fase inicial
Verdadero, sı ya que el lımite nos da todos los puntos posibles que puedeadquirir la funcion.
Fase pre-discusion
Verdadero, ya que por ejemplo en el caso de lımite cuando x tiende ainfinito de f (x)m nos indica el movimiento que realiza esa funcion f (x)hacia infinito.
Fase post-discusion
[. . . ] o hacia el valor que presente la x .
Concepcion proceso
Sin variacion
Concepcion dual
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados de otros aspectos
Sobre la alcanzabilidad: “Un lımite es un numero o punto al que lafuncion se acerca pero nunca alcanza”.
Deriva hacia interpretaciones de lımite como recta a la que lafuncion tiende pero no alcanza, posiblemente debido al estudio delas asıntotas.
Sobre la no rebasabilidad: “Un lımite es un numero o punto al cual unafuncion no puede rebasar”.
En la prediscusion se mantiene la no rebasabilidad. Tras presentarejemplos, se producen algunos cambios. Los resistentes subrayanque la no rebasabilidad corresponde al lımite por definicion.
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Resultados de otros aspectos
Sobre la alcanzabilidad: “Un lımite es un numero o punto al que lafuncion se acerca pero nunca alcanza”.
Deriva hacia interpretaciones de lımite como recta a la que lafuncion tiende pero no alcanza, posiblemente debido al estudio delas asıntotas.
Sobre la no rebasabilidad: “Un lımite es un numero o punto al cual unafuncion no puede rebasar”.
En la prediscusion se mantiene la no rebasabilidad. Tras presentarejemplos, se producen algunos cambios. Los resistentes subrayanque la no rebasabilidad corresponde al lımite por definicion.
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Resultados de otros aspectos
Sobre la alcanzabilidad: “Un lımite es un numero o punto al que lafuncion se acerca pero nunca alcanza”.
Deriva hacia interpretaciones de lımite como recta a la que lafuncion tiende pero no alcanza, posiblemente debido al estudio delas asıntotas.
Sobre la no rebasabilidad: “Un lımite es un numero o punto al cual unafuncion no puede rebasar”.
En la prediscusion se mantiene la no rebasabilidad. Tras presentarejemplos, se producen algunos cambios. Los resistentes subrayanque la no rebasabilidad corresponde al lımite por definicion.
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Resultados de otros aspectos
Sobre el caracter infinito: “Un lımite se determina calculando f (x) paravalores de x cada vez mas carca de un numero dado hasta que el lımitese alcanza”.
Posibilidad de que las aproximaciones igualen al lımite.
El lımite es igual a la imagen.
El lımite es calculable, aunque exista indeterminacion.
Sobre la precision:“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tanprecisa como quieras”.
Alcanzar el lımite.
Aproximar el lımite.
Bondad de la aproximacion.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Resultados de otros aspectos
Sobre el caracter infinito: “Un lımite se determina calculando f (x) paravalores de x cada vez mas carca de un numero dado hasta que el lımitese alcanza”.
Posibilidad de que las aproximaciones igualen al lımite.
El lımite es igual a la imagen.
El lımite es calculable, aunque exista indeterminacion.
Sobre la precision:“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tanprecisa como quieras”.
Alcanzar el lımite.
Aproximar el lımite.
Bondad de la aproximacion.
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Resultados de otros aspectos
Sobre el caracter infinito: “Un lımite se determina calculando f (x) paravalores de x cada vez mas carca de un numero dado hasta que el lımitese alcanza”.
Posibilidad de que las aproximaciones igualen al lımite.
El lımite es igual a la imagen.
El lımite es calculable, aunque exista indeterminacion.
Sobre la precision:“Un lımite es una aproximacion que puedes hacer tanprecisa como quieras”.
Alcanzar el lımite.
Aproximar el lımite.
Bondad de la aproximacion.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Conclusiones
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finito de unafuncion en un punto.
• Lımite como proceso: algunas concepciones de estudiantespudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusion de dosfunciones diferentes con lımites identicos en el mismo punto x = a.
• No rebasabilidad: La resistencia de los estudiantes a superar la norebasabilidad del lımite se debe posiblemente mas al influjo del usocoloquial del termino “lımite” que a la comprension erronea sobre elconcepto en sı. La superacion se promovio mediante exploracion dediversas graficas.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Conclusiones
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finito de unafuncion en un punto.
• Lımite como proceso: algunas concepciones de estudiantespudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusion de dosfunciones diferentes con lımites identicos en el mismo punto x = a.
• No rebasabilidad: La resistencia de los estudiantes a superar la norebasabilidad del lımite se debe posiblemente mas al influjo del usocoloquial del termino “lımite” que a la comprension erronea sobre elconcepto en sı. La superacion se promovio mediante exploracion dediversas graficas.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Conclusiones
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finito de unafuncion en un punto.
• Lımite como proceso: algunas concepciones de estudiantespudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusion de dosfunciones diferentes con lımites identicos en el mismo punto x = a.
• No rebasabilidad: La resistencia de los estudiantes a superar la norebasabilidad del lımite se debe posiblemente mas al influjo del usocoloquial del termino “lımite” que a la comprension erronea sobre elconcepto en sı. La superacion se promovio mediante exploracion dediversas graficas.
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Conclusiones
Objetivo
Documentar y describir la variacion de las concepciones de losestudiantes sobre aspectos especıficos del concepto de lımite finito de unafuncion en un punto.
• Lımite como proceso: algunas concepciones de estudiantespudieron ser ligeramente modificadas mediante la discusion de dosfunciones diferentes con lımites identicos en el mismo punto x = a.
• No rebasabilidad: La resistencia de los estudiantes a superar la norebasabilidad del lımite se debe posiblemente mas al influjo del usocoloquial del termino “lımite” que a la comprension erronea sobre elconcepto en sı. La superacion se promovio mediante exploracion dediversas graficas.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Conclusiones
• No alcanzabilidad del lımite: es resistente en las concepciones dealgunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximacionesigualen al lımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidadcomo la posibilidad de calcular el lımite o que la funcion seacontinua. Es relevante que tampoco exista una descripcionglobalmente aceptada de esta propiedad.
• Caracter infinito/finito del proceso: No se producen variacionesrelevantes. La suficiencia de una “cantidad mınima necesaria” deaproximaciones para percibir la tendencia “infinita” al lımite escoherente con los resultados previos obtenidos.
• Caracter exacto/aproximado del lımite: los estudiantesconsideran lımite exacto si coincide con la imagen, de lo contrario sedira aproximado, en lugar de considerar si estna o no definido. Encualquier caso el valor del lımite esta definido. Tambien existenevidencias particulares de que lımite exacto equivale para algunosestudiantes a ser natural o entero; posible influjo del contextoaritmetico.
Introduccion Primera fase y metodo Datos y discusion Conclusiones
Conclusiones
• No alcanzabilidad del lımite: es resistente en las concepciones dealgunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximacionesigualen al lımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidadcomo la posibilidad de calcular el lımite o que la funcion seacontinua. Es relevante que tampoco exista una descripcionglobalmente aceptada de esta propiedad.
• Caracter infinito/finito del proceso: No se producen variacionesrelevantes. La suficiencia de una “cantidad mınima necesaria” deaproximaciones para percibir la tendencia “infinita” al lımite escoherente con los resultados previos obtenidos.
• Caracter exacto/aproximado del lımite: los estudiantesconsideran lımite exacto si coincide con la imagen, de lo contrario sedira aproximado, en lugar de considerar si estna o no definido. Encualquier caso el valor del lımite esta definido. Tambien existenevidencias particulares de que lımite exacto equivale para algunosestudiantes a ser natural o entero; posible influjo del contextoaritmetico.
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Conclusiones
• No alcanzabilidad del lımite: es resistente en las concepciones dealgunos estudiantes por la imposibilidad de que las aproximacionesigualen al lımite. Algunos estudiantes admiten la alcanzabilidadcomo la posibilidad de calcular el lımite o que la funcion seacontinua. Es relevante que tampoco exista una descripcionglobalmente aceptada de esta propiedad.
• Caracter infinito/finito del proceso: No se producen variacionesrelevantes. La suficiencia de una “cantidad mınima necesaria” deaproximaciones para percibir la tendencia “infinita” al lımite escoherente con los resultados previos obtenidos.
• Caracter exacto/aproximado del lımite: los estudiantesconsideran lımite exacto si coincide con la imagen, de lo contrario sedira aproximado, en lugar de considerar si estna o no definido. Encualquier caso el valor del lımite esta definido. Tambien existenevidencias particulares de que lımite exacto equivale para algunosestudiantes a ser natural o entero; posible influjo del contextoaritmetico.
Variacion de las concepciones individuales sobrelımite finito de una funcion en un punto
J.A. Fernandez-Plaza, J.F. Ruiz-Hidalgo, L. Rico y E. Castro
Departamento de Didactica de la MatematicaUniversidad de Granada
XVII Simposio de la SEIEMBilbao, septiembre 2013
