INTRODUCCION AL CALCULO VECTORIAL

PRECENTADO POR :JAIMEALBERTO GAITAN DIAZDAYANA ACEVEDOANGELA AMAYANELSON ANDRES PUENTESVENESSA ERNANDES

UNIVERSIDAD COOPERTARIVA DE COLOMBIA SEDE NEIVA2016

PLANOS EN R2 Y R3Vectores en R2y R3Anteriormente vimos que un vector es un objeto matemtico con direccin y magnitud.La palabra vectores se refiere a los elementos de cualquier Rn.En R1= R el vector es un punto, que llamamos escalar.En R2el vector es de la forma (x1, x2) y en R3el vector es de la forma (x1, x2, x3).En R2:1. lasuma de dos vectoresse define por: seanaybvectores en R2, entoncesa + b = (a1, a2)+(b1, b2) = (a1+ b1, a2+ b2).2. elproducto escalarse define por: sea Ryaun vector en R2, entoncesa = (a1, a2) = ( a1, a2).Veamos el significado geomtrico de la suma de vectores y el producto escalar en R2.

Observa que sia= (a1, a2)yb= (b1, b2),entonces lasumadelosvectoresa + b = (a1, a2)+(b1, b2) = (a1+ b1, a2+ b2).El cual se obtiene trasladando la representacin de los vectoresayb.De manera, que se puede obtenera + b dibujando un paralelogramo.A esta regla de suma se le llama laregla delparalelogramo.

Para el producto escalar a, se puede observar que si > 0 se alarga o se acorta el vectorapor un factor .Si < 0 se invierte la direccin del vectora.En R3:1. lasumadevectoressedefinepor:seana,bR3,entonces a + b = (a1, a2,a3)+(b1, b2,b3) = (a1+ b1, a2+ b2,a3+ b3).2. elproducto escalarse define por: sea Ryaun vector en R3, entoncesa = (a1, a2,a3) = ( a1, a2,a3).Definicin:SeanaybvectoresenRn,talquea = (a1, a2, a3, , an)yb = (b1, b2, b3, , bn).Elproducto internode ayb representado por a b , es el escalar que se obtiene multiplicando los componentes correspondientes de los vectores y sumando luego los productos resultantes, esto es:a b = = (a1 b1+a2 b2+a3 b3++an bn).Los vectoresaybse llamanortogonalessi su producto interno es igual a cero.

DISTANCIA ENTRE DOS VECTOORES R2 Y R3

La distancia entre dos puntos es igual al modulo del vector que tiene de extremos dichos puntos

La geometra avanz muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filsofo y matemtico francs Ren Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Mtodo", publicado en 1637, hizo poca. Este trabajo fragu una conexin entre la geometra y el lgebra al demostrar cmo aplicar los mtodos de una disciplina en la otra. ste es un fundamento de la geometra analtica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas.Con la geometra analtica se puede encontrar y determinar figuras geomtricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones con dos incgnitas. Uno muy importante y fundamentales: la distancia entre dos puntos. Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Ejemplo:La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relacin:

PRODUCTO ESCALAR

Definicin: sea u= (a,b) y v=(c,d), entonces el producto escalar de u y v, que se denota u.v, es:u.v = ac+bdDe esto ultimo, se tiene que u.v = v.u (debido a las propiedades de campo de los numeros reales).De la definicin se tiene adems que:u.u = (a,b).(a,b) = (a)(a)+(b)(b) = a2+b2Por lo tanto u = u 2 = a2+b2De lo que podemos escribir que:u 2 = u.u o u =

INTERPRETACIN GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALARConsideremos los vectores u= (a,b) y v=(c,d)

Y tenemos el vector w = v-u (podra emplearse naturalmente, u-v), ahora encontremos a la norma de u y u = u 2 = a2+b2v = v 2 = c2+d2 es el angulo entre los vectores u y v, para hallar , note que conocemos los lados que lo conforman, por lo que podemos acudir al teorema de coseno.

a2 = b2 + c2 2bc cos APara nuestro caso tenemos:

v-u 2= u 2+v 2- 2uv cos Despejando (1)Ahora encontramos v-u 2

Sustituyendo en (1)

El numerador es precisamente u.v = ac+bd, por lo tanto Para encontrar el angulo hacemos: El angulo esta definido como el angulo no negativo mas pequeo. Este siempre es posible elegirlo de manera que 0

Note que todas las representaciones nos permiten elegir siempre un angulo positivo.Definicin: dos vectores u y v se dicen paralelos si el angulo entre ellos es de 0 o de 180, cuando el angulo es de 0 los dos vectores apuntan a la misma direccin y en el caso de 180 apuntan en direcciones opuestas.Ahora de la formula del angulo (2) Si = 0, entonces cos=1 y nos queda Si = 180, entonces cos = -1 y nos queda Es decir si dos vectores son paralelos el lado derecho de la ecuacin (2) ser 1 -1

Definicin: dos vectores u y v, 0 se dicen ortogonales o perpendiculares si el angulo entre ellos es de 90.De la formula del angulo: Cos = 90Cos 90 = 0

Por lo tanto = 0 lo que se equivales u.v = 0

PRODUCTO VECRORIALExisten tres tipos de un producto en los vectores, y en cada uno de ellos de un tipo de magnitud vectorial o escalar.El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya direccin es perpendicular a los dos vectores y su sentido sera igual al avance de un sacacorchos al girar de U a V.

DETERMINANTE DE UN PRODUCTO VECTORIALSe resuelve de una forma compacta por medio de un determinante que para el caso de dimensin 3*3 tiene un desarrollo matemtico conveniente.

PROPIEDADES DE UN PRODUCTO VECTORIAL

ANTICONMUTATIVIDAD: Es anti conmutatividad si y solo si a*b = -- (a*b) para todo a, b, donde (*) representa a un operador matemtico binario.Ejemplo:

PROPIEDAD HOMOGENEA Es compatible con el producto por escalares Para vectores no nulos, si dos vectores son paralelos su producto vectorial da igual a cero.

Distribuida con respecto a la suma

La regla de expulsin.

Identidad de jacobi.

El vector unitario es normal al plano que contiene a los vectores a y b.

ANGULOS DIRECTOS

se llaman Cosenos directores del vector a los cosenos de los ngulos que forman cada uno de los ejes coordenados. En un plano tridimensional se representan:

Se identifican 3 ngulos en la imagen (Alpha = , Beta = , Gamma = ) Y sus formulas para saber el tamao del ngulo son:Coseno de Alpha = Vector Ax / Modulo del vector |A|Coseno de Beta = Vector Ay / Modulo del vector |A| Coseno de Gamma = Vector Az / Modulo del vector |A|Para saber el modulo del vector A se usa la formula: