UNIDAD 1:

VECTORES

Marc

os

Guerr

ero

1

Por: Marcos Guerrero.

2

Ma

rco

s G

ue

rre

ro REPASO DE VECTORES

3

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

4

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

5

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

Marc

os

Guerr

ero

6

SISTEMAS DE COORDENADAS ESPACIALES.

x

y

z

z

x

y

y

z

x

Sistema de coordenadas espaciales que contiene:

•3 ejes que son perpendiculares entre sí x, y, z.

•3 planos x-y, x-z, y-z.

•8 octantes :

X(+), y(+),z(+). X(+), y(+),z(-). X(+), y(-),z(+). X(-), y(+),z(+).

X(-), y(-),z(+). X(-), y(+),z(-). X(+), y(-),z(-). X(-), y(-),z(-).

UBICACIÓN DE PUNTOS EN EL SISTEMA DE COORDENADAS ESPACIALES.

Marc

os

Guerr

ero

7

• En el origen, las 3 coordenadas valen cero.

(0,0,0)

z

x

y

a

b

c

(a,0,0)

(0,b,0)

(0,0,c)

(a,b,0)

(a,0,c)

(0,b,c)

(a,b,c)

(x,y,z) Triada ordenada

Cuando el punto de coordenadas está:

• En el eje, 2 coordenadas valen cero.

• En el plano, una coordenada vale cero.

• En el espacio, las 3 coordenadas son diferente de cero.

VECTORES EN EL ESPACIO.

Marc

os

Guerr

ero

8

z

x

y

a

xa ya

za

z

x

y xa

ya

za

a

zyx aaaa

kajaiaa zyxˆˆˆ

son llamados componentes ortogonales del vector o proyecciones del vector a lo largo de los ejes x,y,z respectivamente.

zyx aaa

,,a

a Representación de un vector utilizando

vectores unitarios

Observar que la proyección del vector en el plano XZ son las componentes del vector en los ejes x y z respectivamente

a

a

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

9

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR

UTILIZANDO VECTORES UNITARIOS

(VECTORES BASES). ¿Qué es un vector base?

Es un vector unitario que posee dirección y cuya magnitud es igual a la

unidad. Se localizan en los ejes x, y e z tal como se muestra en la figura

10

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

¿Para qué se utiliza los vectores base?

Se lo utiliza para darle dirección a las componentes de un vector

Marc

os

Guerr

ero

11

¿Qué ocurre si el vector se encuentra en un plano o en un eje?

Si el vector se encuentra en un plano sólo tiene dos componentes y si se encuentra en un eje sólo tiene una componente.

z

x

y

a

xaa

za

z

x

y

zx aaa

xa

MAGNITUD DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marc

os

Guerr

ero

12

a

Conociendo las 3 componentes ortogonales del vector , demostrar que su magnitud viene dada por la expresión:

222

zyx aaaa

DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marc

os

Guerr

ero

13

z

x

y

a

xa

ya

za

α

β

γ

α,β,γ se llaman ángulos directores y son los

ángulos que determinan la dirección de un

vector en el espacio.

α es el ángulo que forma el vector con el eje x(+) a

β es el ángulo que forma el vector con el eje y(+) a

γ es el ángulo que forma el vector con el eje z(+) a

Marc

os

Guerr

ero

14

¿Cómo se determinan los ángulos que forma el vector con los ejes negativos? a

x(+) x(-)

a

α 1800 -α

1800-α es el ángulo que forma el vector con el eje x(-) a

1800 -βes el ángulo que forma el vector con el eje y(-) a

1800 -γes el ángulo que forma el vector con el eje z(-) a

Marc

os

Guerr

ero

15

ax

a

α

ay

a

β

az

a

γ

Con ayuda de los cosenos directores.

¿Cómo se determinan los ángulos directores?

Conociendo las ángulos directores del vector , demostrar que los 3 ángulos directores están relacionados por la expresión:

a

a

aCos x

z

x

y

a

xa ya

za

a

aCos

y

1222 CosCosCos

a

aCos z

GRAFICANDO UN VECTOR EN EL ESPACIO.

Marc

os

Guerr

ero

16

)(4ˆ2ˆ3 mkjia

Graficar el vector

x

y

z

a

17

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

18

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

19

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

Marc

os

Guerr

ero

20

VECTOR UNITARIO ( )

Es un vector que posee una dirección y cuya magnitud es igual a la unidad.

Todo vector posee su vector unitario.

z

x

y

a

a

Definición:

Los vectores y tienen la misma dirección.

a

a

a

El vector es adimensional.

a

aa

a : vector unitario del vector a

Marc

os

Guerr

ero

21

kajaiaa zyxˆˆˆ

a

kajaia zyx

a

ˆˆˆ

ka

aj

a

ai

a

a zyxa

ˆˆˆ

kCosjCosiCosaˆˆˆ

222

zyx aaaa

En función de las componentes y

la magnitud

En función de los cosenos

directores

Marc

os

Guerr

ero

22

Dos vectores, uno de velocidad y otro de fuerza, tienen magnitudes diferentes e iguales

direcciones. ¿Tienen el mismo vector unitario? Explique su respuesta.

V F

Ambos tienen el mismo vector unitario.

V

F

Ambos vectores unitarios tienen la misma magnitud y la misma dirección.

1 FV

MULTIPLICACIÓN ENTRE

VECTORES.

Marc

os

Guerr

ero

23

oPueden ser de igual o de diferentes unidades.

oExisten dos tipos:

•Producto punto o producto escalar.

vectorvectorescalar

•Producto cruz o producto vectorial.

vectorvectorvector

sFW

Fr

Marc

os

Guerr

ero

24

PRODUCTO PUNTO.

También llamado producto escalar.

Definición:

A

B es el ángulo entre los vectores

y .

CosBABA

Viene dado en unidades cuadradas sólo

si los vectores que se multiplican

tienen unidades u.

Marc

os

Guerr

ero

25

PROPIEDADES DEL

PRODUCTO PUNTO.

Propiedad Conmutativa: ABBA

Propiedad Distributiva: CABACBA

)(

Propiedad de

Homogenidad:

)()()( BmABAmBAm

donde m es un escalar

Propiedad de Positividad: 2

AAA

0

Asi

Marc

os

Guerr

ero

26

PRODUCTO PUNTO ENTRE

VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ

Producto punto entre vectores unitarios iguales .

1ˆˆ

0ˆˆˆˆ 0

ii

Cosiiii

Utilizando la definición de producto punto tenemos:

1ˆˆ jj 1ˆˆ kk

El producto punto entre dos vectores unitarios iguales siempre es

igual a 1.

En general, el producto punto entre dos vectores unitarios paralelos

y de la misma dirección siempre es igual a 1.

Marc

os

Guerr

ero

27

Producto punto entre vectores unitarios perpendiculares.

0ˆˆ

90ˆˆˆˆ 0

ji

Cosjiji

Utilizando la definición de producto punto tenemos:

0ˆˆ kj 0ˆˆ ik

El producto punto entre dos vectores unitarios perpendiculares

siempre es igual a 0.

Marc

os

Guerr

ero

28

PRODUCTO PUNTO ENTRE DOS

VECTORES.

Sean los vectores y : A

B

kBjBiBB

kAjAiAA

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

demostrar que: ZZYYXX BABABABA

Marc

os

Guerr

ero

29

ZZYYXX BABABABA

Para utilizar esta ecuación se considera el signo de las componentes.

Marc

os

Guerr

ero

30

APLICACIONES DEL PRODUCTO

PUNTO.

Se lo puede utilizar para:

•Determinar el ángulo entre dos vectores.

•Determinar proyecciones escalares y vectoriales de un vector

sobre otro vector.

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES UTILIZANDO EL

PRODUCTO PUNTO.

Recordemos que para determinar el ángulo entre dos vectores deben

estar unidos por un mismo punto de aplicación.

Marc

os

Guerr

ero

31

Para determinar el ángulo entre dos vectores podemos utilizar la

ecuación:

BA

BACos

1

Marc

os

Guerr

ero

32

PROYECCIÓN ESCALAR Y VECTORIAL DE UN

VECTOR SOBRE OTRO VECTOR.

Proyección escalar de un vector sobre otro vector.

A

B

Imaginemos que tenemos dos vectores y unidos por un mismo

punto de aplicación. A

B

Vamos a determinar la

proyección escalar del

vector sobre el vector

que se lo denota como .

A

B

BA

BA

Marc

os

Guerr

ero

33

Del gráfico anterior tenemos:

CosAAB

Si comparamos con la definición de producto punto:

CosBABA

La ecuación anterior la podemos expresar como:

BABBA

Despejando : BAB

BAAB

Marc

os

Guerr

ero

34

Proyección vectorial de un vector sobre otro vector. Del gráfico anterior tenemos:

A

B

BA

Dibujemos el vector unitario

del vector ( ). B

B

Donde:

B

BB

B

BA Ahora dibujemos la

proyección vectorial del vector

sobre el vector y lo

denotamos .

A

B

BA

Marc

os

Guerr

ero

35

Del gráfico, podemos observar que:

BBB AA

36

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

37

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

38

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

Marc

os

Guerr

ero

39

PRODUCTO CRUZ.

También llamado producto vectorial.

Definición:

A

B

es el ángulo entre los vectores

y .

Viene dado en unidades cuadradas sólo

si los vectores que se multiplican

tienen unidades u.

SenBABA

Magnitud

Marc

os

Guerr

ero

40

Con la regla de la mano derecha:

“Consiste en colocar la mano derecha en el primer vector de la operación,

luego rotar y cerrar los dedos hacia el segundo vector de la operación(la menor

rotación), al levantar el pulgar este dará la dirección del vector resultante”

¿Cómo se determina la dirección del vector ? BA

El producto vectorial sólo

existe en el espacio

tridimensional. CB

CA

Marc

os

Guerr

ero

41

¿Cómo se determina la dirección del vector ? AB

CB

CA

PROPIEDADES DEL

PRODUCTO CRUZ.

Marc

os

Guerr

ero

42

Propiedad homogenidad

escalar

BABABA

:

)()()(

ABBA

Propiedad anti-conmutativa

CABACBA

)(Propiedad distributiva

0

BA si BA

//

Marc

os

Guerr

ero

43

PRODUCTO CRUZ ENTRE

VECTORES UNITARIOS . kji ˆ,ˆ,ˆ

Producto cruz entre vectores unitarios perpendiculares.

kji ˆˆˆ

i

j

k

jik ˆˆˆ

ikj ˆˆˆ i

j

k

kij ˆˆˆ

jki ˆˆˆ

ijk ˆˆˆ

Marc

os

Guerr

ero

44

Producto cruz entre vectores unitarios iguales.

0ˆˆ

ii

0ˆˆ

jj

0ˆˆ

kk

El producto vectorial de dos

vectores unitarios iguales es el

vector nulo.

Marc

os

Guerr

ero

45

PRODUCTO CRUZ ENTRE DOS

VECTORES.

Sean los vectores y : A

B

kBjBiBB

kAjAiAA

ZYX

ZYX

ˆˆˆ

ˆˆˆ

ZYX

ZYX

BBB

AAA

kji

BAC

ˆˆˆ

fila

columna

Marc

os

Guerr

ero

46

kBB

AAj

BB

AAi

BB

AA

BBB

AAA

kji

BACYX

YX

ZX

ZX

ZY

ZY

ZYX

ZYXˆˆˆ

ˆˆˆ

kCjCiCC ˆˆˆ131211

donde:

YZZY BABAC 11

XZZX BABAC 12

XYYX BABAC 13

Marc

os

Guerr

ero

47

A

B

¿Cómo se determina el área del paralelogramo formado

por los vectores y ?

A

B

Altura

Base

ABase

SenBAltura

B

AlturaSen

SenBAArea

AlturaBaseArea

Marc

os

Guerr

ero

48

Si la comparamos con la ecuación:

SenBABAC

Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores y

viene dada por la magnitud del vector .

A

B

C

BACArea

Marc

os

Guerr

ero

49

A

B

A

B¿Cómo se determina el área del triángulo formado por los

vectores , y ? BA

BA

Conclusión: el área del paralelogramo formado por los vectores , y

viene dada por la mitad de la magnitud del vector .

A

B

C BA

22

BACArea

Marc

os

Guerr

ero

50

APLICACIONES DEL PRODUCTO

CRUZ.

Se lo puede utilizar para:

•Determinar un vector perpendicular al plano formado por dos

vectores.

•Determinar el área del paralelogramo formado por dos

vectores.

•Determinar el área del triángulo formado por tres vectores.

51

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

52

Ma

rco

s G

ue

rre

ro

Marc

os

Guerr

ero

53

TRIPLE PRODUCTO ENTRE

VECTORES .

A

B

D

BAC

Vamos a determinar el producto

cruz entre los vectores y

( ). B

BAC

A

CD

Vamos a determinar la

proyección escalar del vector

sobre el vector ( ). D

C

CD

Marc

os

Guerr

ero

54

Podemos observar del gráfico anterior que la proyección escalar del vector

sobre el vector es la altura del paralelepípedo. D

C

C

CDDh C

BA

BADh

Donde es el área de la base del paralelepípedo. BA

Marc

os

Guerr

ero

55

Ahora si multiplicamos la altura del paralelepípedo por el área de la

base del paralelepípedo obtenemos el volumen del paralelepípedo,

entonces tenemos que:

BADBAhVolumen

BADVolumen

56

Ma

rco

s G

ue

rre

ro