Volumen 76

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

MM aarr zzoo ddee 22001111 VVoolluummeenn 7766

http://www.sinewton.org/numeros

Volumen 76, marzo de 2011, página 2 ISSN: 1887-1984


NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza, aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex, Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Directores Alicia Bruno (Universidad de La Laguna) y Antonio Martinón (Universidad de La Laguna)

Comité editorial Hugo Afonso (“La Caixa”), Dolores de la Coba (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo, La Laguna), Miguel Domínguez (Instituto Educación Secundaria Garoé), Fátima García (Centro de Formación ARHAT), Fernando León (Instituto Educación Secundaria San Hermenegildo), Antonio Ramón Martín Adrián (Colegio Público Aguamansa), María Aurelia Noda (Universidad de La Laguna), Josefa Perdomo Díaz (Instituto Educación Secundaria Adeje 2), Inés Plasencia (Universidad de La Laguna).

Consejo asesor José Luis Aguiar (Instituto Educación Secundaria Agustín de Betancourt), Claudi Alsina (Universidad Politécnica de Catalunya), Abraham Arcavi (Instituto Científico Weizmann), Luis Balbuena (Instituto Educación Secundaria Viera y Clavijo), Carmen Batanero (Universidad de Granada), Lorenzo Blanco (Universidad de Extremadura), Teresa Braicovich (Universidad Nacional del Comahue, Argentina), Juan Contreras (Inspección Educativa de Canarias), Norma Cotic (Centro de Investigación Educativa, Buenos Aires, Argentina), Manuel Fernández (Colegio Público Punta del Hidalgo), Joaquim Giménez (Universitat de Barcelona), Juan Antonio García Cruz (Universidad de La Laguna), Jacinto Quevedo (Grupo 17-29), Tomás Recio (Universidad de Cantabria), Victoria Sánchez (Universidad de Sevilla), Arnulfo Santos (Instituto Educación Secundaria Doctor Antonio González y González)

Portada. Autor: Luis Balbuena Castellano. Título: Ilusión óptica en la plaza de Valverde en El Hierro

Edita Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas Apartado 329. 38200 La Laguna (Tenerife) España Email: [email protected] Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas Ana Alicia Pérez Hernández (Presidenta), José Manuel Vidal González (Vicepresidente), Victoria Soto Cabrera (Secretaria General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), María Jesús Rodríguez Martín (Vicesecretaria), Manuel Herrera Pérez (Secretario de actas), Zoraida de Armas Ravelo (Bibliotecaria). Coordinadores insulares: Carmen Delia Clemente Rodríguez (Fuerteventura), Luis López García (Gran Canaria), Eustaquio Bonilla Ramírez (Lanzarote), Carmen San Gil López (La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y noviembre.


Volumen 76, marzo de 2011, páginas 3–4 ISSN: 1887-1984


Índice

Editorial Alicia Bruno y Antonio Martinón 5

Apertura

Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000 7-18

Luis Balbuena Castellano Monográfico: Martin Gardner

Magia y Matemáticas de la Mano de Martin 19-29

Pedro Alegría Ezquerra

MatemáGicas 31-46

Carlos Vinuesa del Río Artículos

La fascinante matemática de los nudos 47-54

Rafael Andrés Alemañ Berenguer y Estrella Jornet Gil

Las Tablas y Gráficos Estadísticos como Objetos Culturales 55-67

Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo Cañadas y J. Miguel Contreras

Las actividades matemáticas y su valor competencial. Un instrumento para su detección 69-82

Lluís Mora Cañellas y Núria Rosich

Dificultades en la interpretación del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el modelo 3UV 83-103

José Antonio Juárez López

Matemáticos y Matemáticas solidarios 105-118

Inmaculada Gayte Delgado y Juan Núñez Valdés

La presencia matemática en la isla de La Palma 119-134

José Antonio Martín Corujo

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 76 marzo de 2011

Secciones

Experiencias de aula

Coloreando la geografía desde el plano al toroide 135-148

Teresa Braicovich y Raquel Cognigni

Problemas

A propósito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y más de abuelos 149-156

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

En la red

Los clickers en el aula de matemáticas 157-166

Isabel Marrero

Juegos

La Matemagia en Martin Gardner. (Introducción al uso de la matemagia en la escuela). Graduación de la dificultad en el Cubo SOMA (II) 167-175

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz

Leer Matemáticas

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Martin Gardner 177-180

Reseña: José M. Méndez Pérez

Rosquillas anudadas. Martin Gardner 181-185

Reseña: José Rodríguez Expósito

Informaciones 187-188

Normas para los autores 189




E D

I T O

R I A

L

Editorial

Alicia Bruno y Antonio Martinón, Directores

Dedicamos este volumen a la figura de Martin Gardner, que falleció el 22 de mayo de 2010. Se trata de una figura polifacética, que destacó como divulgador de las Matemáticas, contribuyó a difundir los juegos matemáticos, fue un especialista en trucos mágicos, especialmente con fundamento matemático, adoptó una actitud beligerante frente a la pseudociencia y también dejó una obra filosófica.

La apertura de este volumen ha sido realizada por Luis Balbuena Castellano, quien se centra en la faceta de Martín Gardner como difusor de juegos y entretenimientos matemáticos. Luis Balbuena nos muestra cómo esa difusión ha llegado a muchos rincones del mundo. Prueba de ello, es la exposición itinerante Matemáticas 2000, realizada en Canarias el año 2000 (Año Mundial de la Matemáticas), en la que se recogen muchos de los juegos planteados por Martin Gardner.

La afición a la magia matemática de Martín Gardner está representada en diferentes artículos de este volumen. Pedro Alegría Ezquerra realiza un recorrido por algunas publicaciones de Martin Gardner dedicadas a la Matemagia y Carlos Vinuesa del Río presenta cómo algunos principios matemáticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. Por su parte, José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz, en las secciones de Juegos y Problemas utilizan algunos de los planteados por Martin Gardner en sus publicaciones, entre los que destacan los basados en trucos matemágicos.

La sección Leer Matemática, contribuye a este monográfico con la reseña de dos libros de Martin Gardner: Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas (realizada por José Méndez Pérez) y Rosquillas anudadas (realizada por José Rodríguez Expósito).

El equipo editorial de Números agradece a todos los autores el esfuerzo realizado para llevar a cabo este reconocimiento a un magnifico divulgador científico, como fue Martin Gardner.




A P

E R

T U

R A

Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000

Luis Balbuena Castellano

Artículo solicitado al autor por la revista

Resumen La matemática recreativa estará siempre en deuda con Martin Gardner porque a él se debe, en gran parte, la difusión de muchos juegos y otros entretenimientos que, en casi todos los casos habían sido inventados por otros. Pero no solo los difundió sino que profundizó en ellos y amplió sus posibilidades hasta límites insospechados. Muchas de esas aportaciones, pasaron del papel a materiales manipulables para formar parte de la exposición itinerante Expo 2000.

Palabras clave Matemática recreativa, exposición matemática, juegos.

Abstract Recreational Mathematics will always be indebted to Martin Gardner. In fact, in a large part, the spread of many games and other entertainment that in almost all cases had been invented by other is due to him. No just spread them, but deepened them and extended them and their possibilities to unforeseen limits. Many of his contributions went from paper to manipulable material and are part of our traveling exhibition Expo.

Keywords Recreational Mathematics, Mathematical Exhibition, Games.

1. Introducción

La moraleja es: no hay razón para no disfrutar con los divertimentos matemáticos si se tiene la mente y el temperamento necesarios, pero no se debe rebasar la medida. Permitamos que nos sirvan ocasionalmente de descanso. Dejémosles despertar y estimar nuestro interés por la ciencia y por las matemáticas. Pero mantengámoslos firmemente bajo control.

Martin Gardner

Martin Gardner, norteamericano nacido en Tulsa (estado de Oklahoma), en 1914, ha dejado una profunda huella tras su larga vida pues murió en Norma (también en Oklahoma) en 2010. Tras sus estudios de filosofía, decide dedicarse al periodismo con tan buena suerte para los amantes de las matemáticas y, en particular, de la matemática recreativa, que a partir del número de diciembre de 1956 empezó a publicar en la prestigiosa revista Scientific American las páginas – no muchas en cada número – dedicadas a Mathematical Games (Juegos Matemáticos). Y así estuvo mes tras mes hasta que lo dejó en mayo de 1986. Su trabajo estaba hacia el final de la revista y por eso, sus seguidores, entre los que me cuento, empezábamos a mirar esta revista de atrás hacia delante en una ávida búsqueda de su sección. Desconozco el dato de si falló alguna vez pero si no lo hizo fueron nada menos que 354 trabajos los que llegó a publicar. Los artículos, con buen criterio, empezaron a aparecer juntos en sucesivas publicaciones que forman parte fundamental de su legado. Sé que trabajó también en otros aspectos de la ciencia, que fue un enemigo visceral de las pseudociencias hasta el

Martin Gardner, inspirador de la Expo 2000 Luis Balbuena Castellano

8 NÚMEROS Vol. 76 marzo de 2011

A

P

E

R

T

U

R

A

punto que otro gran divulgador como fue Isaac Asimov, le llegó a calificar de “indomable”. Los libros tienen una ventaja sobre los artículos de la revista y es que en ellos se extiende mucho más de lo que, seguramente, le permitían las pocas páginas de que disponía en la revista. Por eso deben ser de obligada lectura y tenencia para los aficionados a la matemática recreativa.

Si se busca información en internet sobre nuestro personaje, se encuentran numerosas aportaciones sobre su vida y su obra. Por eso me ha resultado complicado orientar mi contribución al número especial que le quiere dedicar la revista NÚMEROS.

2. La Expo 2000

El 2000, como se recordará, fue el Año Mundial de las Matemáticas. Después de él se han celebrado, el de la Física en 2005 y el de la Química en 2011… En Canarias se creó un Comité, para que esa decisión de la UNESCO no pasara desapercibida, en el que participaron las instituciones del Archipiélago que tienen que ver con esta ciencia y otras que colaboraron puntualmente aunque no se dediquen a las matemáticas de manera estricta. Allí estuvo la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesorado de Matemáticas, la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna, los museos Elder de Las Palmas de Gran Canaria y de la Ciencia y el Cosmos de La Laguna, y la Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia. Hubo un despliegue de actividades que transmitieron a la sociedad los valores de esta ciencia y su importancia a lo largo de la historia. Por ejemplo, cada semana durante todo el año, se publicaron suplementos dedicados a la divulgación matemática en dos periódicos, El Día, de Santa Cruz de Tenerife, y La Provincia, de Las Palmas de Gran Canaria. Todos estos trabajos fueron recogidos en una publicación que editó la Consejería de Educación del Gobierno de Canarias (Figura 1).

Figura 1. Portada del libro “La divulgación de las matemáticas en la prensa”.

Entre las iniciativas de ese año está la que llamamos EXPO MATEMÁTICAS 2000. Se trata de una exposición que nació con vocación de ser itinerante y así permanece desde entonces. Fue posible gracias a la colaboración de la Consejería de Educación del Gobierno de Canaria que concedió una comisión de servicios a la Profesora Dolores de la Coba para dedicarse a ese cometido (Figura 2, Figura 3). Fruto de su trabajo es esa exposición de la que se hicieron dos copias: una quedó en


9Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 76 marzo de 2011

A P

E R

T U

R A

Canarias recorriendo todas las islas y la otra viajó a la Península moviéndose de un lado para otro: Galicia, Andalucía, Zamora, Valladolid, Burgos, Villanova y la Geltrú, La Rioja, San Fernando de Henares, Feria de la ciencia de Madrid, etc.

La exposición está formada por un buen número de actividades que se han ido renovando y ampliando con el paso de los años así como un conjunto de cuarenta carteles dedicados a variados temas de divulgación matemática.

3. La Expo 2000 y Martin Gardner

Pues bien, algunas de las actividades que se ofrecen en las mesas están inspiradas en trabajos de Martin Gardner. En el anexo se incluye uno de los inventarios que se ha hecho de la exposición para que pueda comprobarse la cantidad y variedad de actividades que se proponen. Todos los materiales con que están hechos los distintos elementos han superado la prueba del uso continuado y la manipulación que han realizado con ellos miles de estudiantes. Además se da la favorable circunstancia de que es muy raro que sea sustraída alguna pieza de las muchas que existen en los distintos juegos y puzzles.

Figura 2. Tríptico anunciador de la exposición “Matemáticas 2000”.



A

P

E

R

T

U

R

A

Figura 3. Exposición Matemáticas 2000.

3.1. Cuadrado mágico de cartas

En el libro Nuevos pasatiempos matemáticos de Alianza Editorial, presenta este juego que hemos llamado cuadrado mágico con cartas si bien en el libro aparece con las cartas de la baraja francesa (picas, tréboles, etc.). Consiste en colocar esas 16 cartas de forma tal que no se repitan ni palos ni figuras en cada fila o columna. Siempre indicamos que esta es como una primera fase. La segunda es conseguir que eso tampoco ocurra en las diagonales. Señala Gardner que en un libro de 1624 ya se indicaba que posee 72 soluciones fundamentales diferentes sin contar las que se deducen de las anteriores por rotaciones y simetrías. Sin embargo, cuando Gardner trató este tema en la revista y dio ese número de soluciones, le escribieron para demostrarle que realmente el problema tiene 144 soluciones.

Figura 4. Solución óptima. No hay repetición en filas, columnas, diagonales ni en las cuatro esquinas.




A P

E R

T U

R A

3.2. Pentaminós y sus posibilidades

En el mismo libro hay un capítulo dedicado a Poliminós y rectángulos sin línea de fractura. Inserta en él, un artículo de Golomb dedicado a los pentaminós, es decir, a las piezas formadas por cinco cuadrados. Como es sabido, solo hay doce formas de colocar cinco cuadrados de forma que tengan un lado común. Son los que están en la figura. Por tanto, entre todas las piezas hay un total de 60 cuadrados. Uno de los entretenimientos más ingeniosos es colocar esos 60 cuadrados formando rectángulos de distintas dimensiones: 3x20; 4x15; 5x12 y otro de 6x10. Pero además de esas configuraciones existen otras que tienen formas de camello, de torre, etc. cuya construcción lleva también un buen tiempo el conseguirla. Recientemente ha aparecido en el mercado un juego conocido como Katamino que utiliza estas piezas para ir superando pruebas cuyo grado de dificultad crece gradualmente. Hay, en fin, un reto que se plantea con el tablero de ajedrez. Sabemos que éste tiene 64 cuadros y que los cuadrados de las piezas de los pentaminós son solo 60. Pues bien, el juego consiste en colocar las doce piezas en los 60 cuadros que quedan en el tablero cuando se eliminan los que se señalan en la figura 6.

Figura 5. Los doce pentaminós.

Figura 6. Tablero juego



A

P

E

R

T

U

R

A

3.3. Tetraexos

En Festival mágico-matemático (Alianza Editorial nº 1023), dedica unas páginas a lo que llama tetraexos. Se trata de las siete piezas que se pueden conseguir uniendo por un lado cuatro hexágonos. Que considera un número prudente de piezas para utilizarlas como puzles. Si en lugar de cuatro hexágonos se unen cinco entonces se tienen 22 pentaexos. Son muchos aunque es un buen entretenimiento el conseguir dibujarlas todas o al menos llegar al mayor número de ellas. Por eso es también una buena prueba para un torneo de juegos. En la EXPO se tiene un juego de estas piezas hechos con tuercas que tienen la forma hexagonal.

Sabemos que el hexágono es uno de los tres polígonos regulares (el triángulo equilátero y el cuadrado son los otros dos) con los que se puede teselar una superficie plana. Pues bien, en el mismo libro aparecen unas figuras que deben ser conseguidas con esas piezas pero con un interesante añadido y es que, según indica Gardner, una de ellas no es posible obtenerla dejando al que lo intente que la consiga descubrir. Por si lo intenta le diré que es el triángulo.

En este libro dedica también un espacio a los pentaminós proponiendo más actividades con esas doce figuras.

Figura 7. Una de estas figuras no se puede conseguir con los tetraexos.




A P

E R

T U

R A

3.4. Pentalfa

La famosa estrella de Salomón, también conocida como estrella pitagórica, es la base del juego que figura en la EXPO con el nombre de pentalfa. Se dispone de nueve fichas que han de ser colocadas en nueve de los diez agujeros que aparecen en la estrella. Pero no se colocan de cualquier manera, como es obvio sino que se ha de seguir la siguiente pauta. Se parte de un lugar que esté sin ficha. Ese sitio es el uno, se dice dos y se pasa a otro punto que puede estar ocupado o libre y a continuación se dice tres y se pasa a otro hueco que sí debe estar libre para depositar allí la ficha. Un protocolo bien sencillo. Por supuesto los tres puntos que se tocan han de estar en línea recta. Lo bonito de este juego es que tiene una estrategia ganadora que no resulta fácil de conseguir. Gardner dedicó artículos a esta interesante estrella que, como es sabido, está repleta de proporciones áureas entre lados y diagonales. En el corto de dibujos animados Donald en el país de las matemáticas se pone de manifiesto esa propiedad de una forma atractiva y clara.

Figura 8. Tablero del pentalfa.

3.5. La Torre de Hanoi

En el libro Diversiones matemáticas (Selector ediciones, México), dedica un espacio a este juego que, como él mismo indica, fue inventado por Edouard Lucas. En la exposición se tienen hasta cinco discos. Se aconseja a los que lo intentan resolver que empiecen con tres. Que cuenten los pasos que dan para trasladar esos tres discos de la clavija de un extremo al otro y, generalmente, lo hacen en más de los 7 que representan el menor número de movimientos. Una vez que lo consiguen, que pasen a los cuatro discos y después a los cinco. Cuando la Facultad de Matemáticas de la Universidad de La Laguna celebró sus 25 años, se publicó un libro conmemorativo en el que se insertó y artículo mío sobre este juego. En él presento una serie de posibilidades para la exploración didáctica del juego.



A

P

E

R

T

U

R

A

Figura 9. Tablero de juego de las Torres de Hanoi.

3.6. Hex

En el mismo libro citado en el párrafo anterior, Gardner habla del juego de hex. El que se presenta en la expo 2000 está hecho con tuercas hexagonales pegadas y acopladas en un marco de madera. Pesa pero es fuerte. Es el que aparece en la figura 10, en la esquina inferior izquierda de la mesa. Las piezas para insertar en los hexágonos son de plástico. En la figura 11, imagen que aparece en el libro, se ve el camino de negro a negro que se ha conseguido con las fichas de ese color. Claro que el que juega con las blancas ha de tratar de evitar que esto lo consiga su contrincante. Dice Gardner que sus reglas son simples pero que, no obstante, es hex es un juego de una sorprendente sutileza matemática. Indica que en 1948, John F. Nash, entonces un estudiante graduado en matemáticas en la Universidad de Princeton, reinventó el juego de forma independiente.

Figura 10. El Hex y otros juegos.




A P

E R

T U

R A

Figura 11. Tablero de juego del Hex.

4. Conclusiones

He querido dejar de manifiesto que, además de lo entretenido que son los libros de Martin Gardner, representan una fuente de inspiración para proponer actividades a los estudiantes, desde unas que son muy sencillas a otras realmente complicadas y propias de especialistas. Los libros de Martin Gardner que ofrezco en la lista están todos en castellano y, aunque lo he intentado, no sé si es exhaustiva.

Acertijos divertidos y sorprendentes. RBA LIBROS. 2009 Acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones. 1992 ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. Labor ¡Ajá! Inspiración. Labor Carnaval matemático. Alianza Editorial. 1995 Circo matemático. Alianza (937) Comunicación extraterrestre y otros pasatiempos matemáticos Damas, parábolas y más mistificaciones matemáticas. Gedisa Diversiones matemáticas. Selector El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos. Alianza Editorial (1991) El idioma de los espías. Zugarto El universo ambidiestro (I). RBA editores Festival mágico-matemático. Alianza Editor Huevos, nudos y otras mistificaciones matemáticas. Gedisa Izquierda y derecha en el cosmos. Salvat Editores. 1973 Juegos y enigmas de otros mundos. Gedisa Juegos, los mágicos números del Dr. Matrix. Editorial Gedisa. 1987 La nueva era. Alianza (1463) Los acertijos de Sam Lloyd. Granica Magia inteligente. Granica Máquinas y diagramas lógicos. Alianza Matemática para divertirse. Granica Mental Games (en español). Selector Miscelanea matemática. Salvat



A

P

E

R

T

U

R

A

Mosaicos de Penrose y escotillas cifradas. Labor Nuevos acertijos de Sam Lloyd. Zugarto Ediciones Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza (391) Nuevos rompecabezas mentales. Selector Orden y sorpresa. Alianza Pasatiempos matemáticos. Alianza Rompecabezas mentales. Selector Rosquillas anudadas y otras amenidades matemáticas. Labor Ruedas, vida y otras diversiones matemáticas. Labor Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Labor

Luis Balbuena Castellano, catedrático de Enseñanza Secundaria, fundador de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas, impulsor de la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas y de la Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemáticas de las que ha sido su primer Secretario General. Autor de numerosos trabajos sobre Educación así como de divulgación de las matemáticas en prensa, radio y televisión y libros como Guía Matemática de La Laguna, Palillos aceitunas y refrescos matemáticos, Cuentos del Cero, El Quijote y las matemáticas, etc. En la actualidad reparte su trabajo entre el Consejo Escolar del Estado, del que es miembro en el grupo de personalidades de reconocido prestigio, y sus numerosas actividades en Iberoamérica en pro de la mejora de las condiciones educativas en general y las matemáticas en particular, dirigiendo cursos de actualización científica y didáctica para profesores de Paraguay, Chile, México, etc.




A P

E R

T U

R A

Anexo Relación de materiales de los que constan las mesas de la EXPO MATEMÁTICAS 2000

Juego Materiales El acertijo del mandarín Tablero de madera con 25 huecos y 24 fichas cuadradas y numeradas

Anamorfosis cilíndrica Un cilindro de metal pulido a espejo. Plantillas con dibujos anamórficos.

Anamorfosis cónica Base de madera con cono pulido a espejo en el centro. Plantillas con dibujos.

Aparato de Galton 1 prueba Estructura con soporte +canicas

Galton n pruebas (curva normal) Estructura de madera y cristal con 1000 bolitas de acero + atril para inclinarlo

Bájense de la Tierra Tablero cuadrado con disco giratorio con figuras de chinos

Cuatro cuatros Calculadora con sólo la tecla del cuatro y las operaciones.

Camino al infinito Caja de madera con tapa con dos laterales de cristal y dos espejos paralelos en el interior. Plantilla plastificada pegada en el frente.

Caída a lo largo de cuerdas Tablero vertical circular con cuerdas variables + 2 canicas.

El movimiento y la curva cicloide

Una rampa con plano inclinado, otra con superficie siguiendo una curva cicloide y tablillas separadoras. 2 canicas.

Dibujo de la curva cicloide Base de madera recortada siguiendo dos curvas de cicloide. Disco con punta de lápiz. Soporte para papel. Lápiz en el extremo de un cordón sujeto al tablero.

Circuito Hamiltoniano 33 cubos transparentes con tubo azul interior uniendo caras. 26 con tramo curvo y 7 con tramo recto

Círculos de colores Base de madera + 16 piezas cuadradas con cuartos de círculos pintados de colores en dos de sus vértices

Colmena coloreada 7 hexágonos de madera con círculos de colores en los lados

Cruz espacial Cuatro piezas iguales, cada una de ellas está formada por 8 cubitos pegados (4 claros y 4 oscuros)

Cuadrado mágico de colores Tablero de madera dividido en 4x4 cuadraditos. 16 botones de cuatro colores

Cubo de colores 27 cubos de madera con círculos de colores en las caras

Cubo diabólico Cubo de madera cortado en 6 piezas de 2,3,4,5,6 y 7 cubitos respectivamente.

Cubo Soma Cubo cortado en 7 piezas de diversas formas pintadas en colores distintos.

Cubos locos Cuatro cubos con puntos de colores en sus caras en caja de madera con orificios

a2-b2=(a+b)(a-b) Puzzle de madera de 3 piezas (2 amarillas iguales y una negra)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Cubo dividido en 8 piezas (1 cubo azul, 1 cubo verde, 3 prismas cuadrados naranjas y 3 prismas rectangulares amarillos)

33+43+53=63 Puzzle formado por 216 cubitos de madera. Están pegados formando 8 piezas

¿Cómo vencer a la gravedad? Base de madera con plano inclinado + doble cono

Dominó de celosías y calados 28 piezas de domino con fotos de módulos de calados y otro juego con celosías.

Domino transparente Tablero con números grabados en ambas caras y juego de domino transparente

Estrella mágica Tablero con estrella pintada y perforaciones circulares. 12 fichas numeradas.

Estructuro 42 cubos pintados en 3 colores. Carpeta con problemas.

Superficie reglada: Hiperboloide Dos discos de madera sujetos por barra metálica central y elásticos.

Igual área, distinta forma Dos puzzles de colores a dos caras. 4 piezas roja-verde y 5 piezas roja-amarilla.

Ilusión óptica: Si me colocas a la derecha encojo

Dos láminas iguales con forma de “c”

Juega con cuadrados 10 piezas geométricas de plástico de colores. 5 amarillas y 5 verdes

Juego de los vasos 7 vasos de plástico azules



A

P

E

R

T

U

R

A

Juego Materiales El Juego del Hex Tablero de madera con tuercas y 100 fichas (50 negras y 50 blancas)

Ley de Bode Barra de madera con cinta métrica en placa metálica. 8 discos imantados.

Mosaicos periódicos 41 piezas de plástico iguales (17 rojas y 24 negras)

Mosaicos regulares Polígonos regulares de cartón con dibujos coloreados de diversas formas.

Rompecabezas africano Base de madera con agujero, cuerda y una anilla

Triángulos anudados Tres triángulos de madera con agujeros y cuerda verde

Rompecabezas Victoria Tres piezas de madera (una circular y dos alargadas) y cordón.

El paseo de la mosca caprichosa Base de madera con círculos con forma de euro, tachuelas y elástico.

El Pentalfa Tablero con estrella pentagonal y 9 fichas de madera rojas (fichas de repuesto)

Pentaminos 12 piezas distintas de 5 cubitos pegados. 2 plantillas con problemas.

Pirámide de bolas 7 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera

Pirámide de Piet Hein 6 piezas formadas por bolitas de madera pegadas. Base triangular de madera

Pompas de jabón Dos placas dobles con tirador de metacrilato transparente unidas por tornillos. Estructuras geométricas metálicas (cubo, tetraedro, círculo cuadrado,...).

Puentes de Konigsberg Tablero con maqueta de Konigsberg, islas, río y puentes de la ciudad.

Rara partida de dominó Tablero negro de madera con 7 fichas pegadas y 7 dibujadas. Caja con el resto de las fichas del domino

Real más simétrica Soporte de madera para espejo de dos caras. Cuatro piezas geométricas iguales, de plástico cubiertos de vinilo en dos colores. Plantillas con figuras.

Reflecto Reflecto (espejo) y piezas de fieltro de colores

Liberar al prisionero Caja de madera con tapa conteniendo piezas rectangulares y cuadradas, una de ellas con el dibujo de un rostro.

La termina caprichosa 27 cubos unidos por un elástico.

Jugando con las simetrías Espejo, plantilla con dibujo y plantillas con partes del dibujo y su simétrico.

Libro de espejos Libro de espejos, plantilla con dibujos y piezas poligonales de plástico.

Solitario de trébol Tablero de madera con dibujo de trébol y perforaciones circulares. 15 fichas.

El Solitario inglés Tablero circular con 33 hendiduras, canicas. Plantillas con problemas sencillos.

El Solitario pirámide Tablero de madera con agujeros y 21 fichas de madera verdes.

El Solitario triangular Tablero de madera con orificios cilíndricos, 25 fichas de plástico rosa.

Superficie reglada hilos-plomos Caja con tapa de madera y elásticos con pesas

Tangram 7 piezas geométricas de plástico negro (5 triángulos, un cuadrado y un paralelogramo). Fichas con dibujos de figuras variadas para construir.

Pitágoras Tablero de madera con dibujo troquelado y ocho piezas de maderas.

Pitágoras 3 cuadrados blancos y 16 triángulos rectángulos azules de plástico

Tetraexos Dos juegos de 7 piezas, cada una de ellas con cuatro tuercas soldadas

Las Torres de Brahma Base con tres pivotes 13 anillas rojas, 8 negras y 6 blancas

Las Torres de Hanoi Base de madera con tres pivotes y 7 discos de madera de distinto tamaño

Sólo una vez por cada lado Tablero con tres circuitos, tachuelas en los vértices y elástico para el camino.

El vigilante desquiciado Plano de dos casas realizado en madera, tornillos y elástico.




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

Magia y Matemáticas de la Mano de Martin

Pedro Alegría Ezquerra (Universidad del País Vasco)


Resumen El pasado mes de mayo falleció, a la edad de 95 años, Martin Gardner, una personalidad de quien se afirma que ha convertido a miles de matemáticos en magos y a miles de magos en matemáticos. Su afición por esta ciencia y aquel arte, puesta de manifiesto en su incansable producción escrita, ha movilizado a los más diversos colectivos tanto en los últimos años de su vida como después de ella. La admiración y el reconocimiento por su labor didáctica le han hecho merecedor de multitud de homenajes, uno de los cuales pretende ser este trabajo que consiste en un recorrido por algunos juegos de magia basados en propiedades matemáticas que nos enseñó a lo largo de sus publicaciones.

Palabras clave Martin Gardner, magia, matemáticas, didáctica.

Abstract Last May died, at the age of 95 years, Martin Gardner, a personality who has turned in magicians to thousands of mathematicians and in mathematicians to thousands of magicians. His passion for this art and that science, as manifested in his many publications, has mobilized many different groups both in the last years of his life and after he passed away. The admiration and appreciation for his teaching work has earned him many honors, one of whom claims to be this work that is a tour through some magic tricks based on mathematical properties that he teach us throughout their papers.

Keywords Martin Gardner, magic, mathematics, teaching.

1. Introducción

El elemento lúdico que hace recreativa a la matemática recreativa puede tomar muchas formas: un problema para resolver, un juego competitivo, un truco de magia, una paradoja, una falacia o simplemente matemática con alguna vuelta curiosa o divertida. ¿Son estos ejemplos de matemática pura o aplicada? Es difícil decirlo. En un sentido la matemática recreativa es matemática pura, incontaminada de utilidad. En otro sentido es matemática aplicada, ya que responde a la necesidad humana de jugar. Martin Gardner

¿Qué sentimiento puede padecer un matemático profesional que ha dedicado su vida a la investigación cuando descubre que un aficionado, sin estudios superiores de matemáticas, posee número de Erdös igual a dos1? ¿Qué impresión le asalta a un mago profesional colmado de éxitos y fama internacional cuando se entera que un aficionado, que nunca ha actuado en público de manera profesional, es considerado uno de los cien magos más influyentes del siglo XX2? ¿Qué clase de

1 Se puede comprobar en http://www.ams.org/mathscinet/collaborationDistance.html 2 Según la lista publicada por la revista MAGIC Magazine, en junio de 1999.

Magia y Matemáticas de la Mano de Martin P. Alegría Ezquerra

20

M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

NNÚÚMMEERROOSS Vol. 76 marzo de 2011

admiración produce entre sucesivas generaciones de aficionados a la ciencia ficción, a sus personajes y míticos autores, descubrir que el mismo personaje que ha alcanzado los éxitos anteriores, fue fundador, junto con Paul Kurtz, Isaac Asimov y Carl Sagan, entre otros, del "Committee for the Scientific Investigation of Claims of the Paranormal", con el objetivo de promover la investigación crítica de los fenómenos paranormales, desde un punto de vista científico? ¿Qué méritos ha podido cosechar este mismo personaje para ser conmemorado cada dos años mediante un congreso en su homenaje, del que se han celebrado ya nueve ediciones, y que reúne a las personalidades más representativas del mundo de la matemática recreativa, de la magia y del coleccionismo de juegos de ingenio3? ¿Qué tiempo ha quedado libre a este personaje para ejercer su profesión de escritor, para publicar cerca de cien libros de temática variada, a lo largo de casi 80 años de carrera?

Muchas respuestas se han tratado de ofrecer desde su fallecimiento en mayo de 2010, a la edad de 95 años, en diferentes medios y desde los foros más diversos. Si fuera posible extraer en una sola frase el contenido de los obituarios que se han difundido en la prensa e internet, así como de los reconocimientos y agradecimientos por su labor, podríamos decir que la vida de Martin Gardner ha despertado la admiración de muy variados colectivos, todos ellos de acuerdo en que su sugerente estilo a la hora de escribir en diferentes temas ha conseguido atraer la atención y el interés en aspectos poco reconocidos y explorados hasta entonces.

Es claro entonces que sería imposible hacer un recuento de sus contribuciones a la ciencia y la cultura del siglo XX. De modo que hemos elegido en este artículo centrarnos en la parte más mágica de las matemáticas (o la más matemática de la magia): la que él adoptó con el nombre de matemagia. Haremos un recorrido por sus contribuciones en este campo y señalaremos algunas de las que nos han parecido más atractivas. Terminaremos con algunos apuntes sobre las ideas que él defendía sobre los métodos de enseñanza de las matemáticas, tanto a nivel elemental como superior.

Son muchos los escritos que nos ha legado, casi un centenar de libros publicados sobre todos los campos de conocimiento que él cultivó, desde la literatura hasta la filosofía, pasando por la divulgación científica, la matemática recreativa y la magia. Debido a la multitud de ediciones, reimpresiones y traducciones de los libros de Martin Gardner, nos limitaremos en las referencias a la recopilación en versión digital de sus contribuciones mensuales a la revista Scientific American, que abarcaron desde 1956 hasta 1981, un CD-ROM publicado en 2005 por The Mathematical Association of America bajo el título Martin Gardner’s Mathematical Games.

2. La colección de libros recopilatorios

La magia, junto con el ajedrez, ha sido la afición más duradera de las que Gardner cultivó. Así como el ajedrez se convirtió en una obsesión que no le permitía atender otras ocupaciones, la magia fue su compañera inseparable hasta sus últimos tiempos. A los quince años publicó su primer juego de magia en una de las revistas más importantes de la época, The Sphinx. Con 80 años se le puede ver (figura 1) haciendo flotar una cuchara en el aire con su “fuerza mental”.

Dicha afición le llevó a conocer personalmente a las mentes más brillantes del mundo de la magia. Pero la magia y las matemáticas están íntimamente ligadas: tanto los magos como los matemáticos están motivados por el sentido de sorpresa que representa el misterio esencial del mundo. Los magos ponen de manifiesto hechos sorprendentes y los matemáticos tratan de explicarlos. Por otra parte, como opinaba Arthur Clarke, el famoso escritor de ciencia ficción, cualquier tecnología suficientemente avanzada es indistinguible de la magia. El propio Gardner se consideraba en la intersección de la magia y las matemáticas, afirmando que “la magia matemática tiene su propio 3 La página oficial de los congresos es http://www.g4g4.com/index.html


21

M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R


Vol. 76 marzo de 2011

encanto, pues combina la belleza de las estructuras matemáticas con el valor de entretenimiento de los trucos de magia”.

Figura 1. Martin Gardner, demostrando sus dotes de “control mental”.

Como muestra de su afirmación, Gardner no perdía oportunidad a lo largo de sus publicaciones de utilizar los juegos de magia para ilustrar alguna teoría matemática o para describir algún principio matemático curioso. Este es el objetivo de la sección: recorrer sus artículos de la Scientific American para encontrar esos juegos mágico-matemáticos que han tenido gran influencia en el entorno docente y en el mundo mágico.

No hace falta llegar muy lejos en el recorrido de sus artículos. En (Gardner, 1988a, pp. 15-18) encontramos la primera referencia a los juegos de magia. Bajo el título “Magic with a matrix”, describe un original juego de adivinación de una suma con números elegidos de forma “arbitraria” por un espectador, como muestra de las propiedades de los cuadrados mágicos, los cuales aparecen a menudo en sus artículos. El juego es el siguiente:

Observa el cuadrado de la figura adjunta:

19 8 11 25 7

12 1 4 18 0

16 5 8 22 4

21 10 13 27 9

14 3 6 20 2

Selecciona cualquier número trazando un círculo alrededor de él. Tacha ahora el resto de los números que están en su misma fila y columna. Repite la misma operación: traza un círculo alrededor de cualquier número no tachado y tacha todos los números que están en su misma fila y columna. Al repetir la operación cinco veces, habrá cinco números con un círculo alrededor. Suma todos ellos y comprueba que el resultado es 57. ¿Cómo puede saberse de antemano?


22

M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R


Para comprender la explicación, basta observar que el cuadro anterior es simplemente la tabla de sumar de ciertos números, donde se han ocultado los sumandos. La tabla completa sería así:

+ 12 1 4 18 0

7 19 8 11 25 7

0 12 1 4 18 0

4 16 5 8 22 4

9 21 10 13 27 9

2 14 3 6 20 2

De este modo, el proceso anterior hace que la suma de los números resultantes sea siempre la suma de los números que encabezan la tabla.

El capítulo 10 del mismo libro está dedicado íntegramente a juegos de magia con cartas, elementos que utilizará regularmente en sus artículos, unas veces para plantear problemas de ingenio y otras veces para motivar el aprendizaje de propiedades matemáticas diversas.

El capítulo 4 del segundo libro de la colección (Gardner, 1987a, pp. 43-48) está dedicado a explotar, en clave de juego de magia, algunas propiedades de la raíz digital de un número en relación con la regla de divisibilidad del nueve. Explica otros juegos basados en dicha regla en el noveno libro de la colección (Gardner, 1992a, pp. 257-259). En el capítulo 7 del mismo libro (Gardner, 1987a, pp. 78-80) presenta algunos efectos mágicos que ilustran algunas características curiosas y sorprendentes de la topología y la teoría de grupos. Otros trucos topológicos aparecen en el capítulo 17 del cuatro libro de la colección (Gardner, 1991, pp. 199-201), en el capítulo cinco del octavo libro (Gardner, 1989b, p. 73) y todo el capítulo nueve del octavo libro (Gardner, 1989b, pp. 123-136) está dedicado al estudio de las propiedades, tanto mágicas como matemáticas, de la banda de Möbius como una forma sencilla de presentar las superficies no orientables. La figura, aparentemente imposible de construir sin traspasar la cuarta dimensión, que llama “hypercard” (cuya imagen se muestra en la figura 2) también merece un tratamiento como juego de magia en (Gardner, 1992b, pp. 125-128).

Figura 2. Imagen del “hypercard”.

Ya el primer capítulo del tercer libro de la colección (Gardner, 1995, pp. 14-19), de título “The binary system”, contiene diferentes versiones del famoso juego de adivinación de un número a partir


23

M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R



de una colección de tarjetas basadas en la representación binaria de los números. El famoso juego de las 21 cartas (o problema de Gergonne), cuya explicación descansa en el sistema de numeración ternaria, es tratado en (Gardner, 1984, pp. 109-110). El capítulo 9 (Gardner, 1995, pp. 103-109) está dedicado íntegramente a describir juegos de magia basados en principios matemáticos, desde el sorprendente principio de Gilbreath hasta el elemental principio de paridad. El principio de Gilbreath aparece de nuevo en el octavo libro de la colección (Gardner, 1989b, p. 94). La idea básica de este principio, descubierto en 1957 por el matemático-mago Norman Gilbreath, es que una mezcla simple de una baraja ordenada produce dos sucesiones ordenadas de cartas, quizá entremezcladas entre ellas. Un estudio matemático sencillo de este principio aparece en (Behrends, 1997). También se han encontrado sorprendentes conexiones de este principio con la teoría de embaldosados no periódicos (de Bruijn, 1987).

Otro juego basado en el principio de paridad puede encontrarse en (Gardner, 1984, p. 75). En el capítulo 20 (Gardner, 1995, pp. 234-235) presenta una novedosa adivinación, no de un número sino ¡de una función! utilizando las propiedades del triángulo de Pascal. Utilizando unas cuantas cerillas, ofrece otro sorprendente truco basado en la paridad en (Gardner, 1992a, pp. 16-17). También explota el principio de paridad utilizando cuadrados mágicos en (Gardner, 1983, pp. 72-73).

Nuevamente, todo el capítulo 13, titulado “Chicago Magic Convention”, del cuarto libro (Gardner, 1991, pp. 147-159) está dedicado a la magia matemática. Queremos destacar la versión que allí se describe del llamado truco de cartas de Cheney en el que se utiliza la teoría de información para descubrir una carta elegida. Describiremos brevemente el juego, planteándolo como problema de ingenio.

Con un ayudante vuelto de espaldas, el mago entrega una baraja completa, de 52 cartas a un espectador, el cual selecciona cinco cartas. El mago, al verlas, vuelve de dorso una de ellas y ordena adecuadamente las otras cuatro. El espectador nombra en voz alta las cuatro cartas. Al oírlas, el ayudante es capaz de adivinar la carta que ha quedado de dorso. El problema es pues encontrar la estrategia que deben utilizar el mago y el ayudante para determinar dicha carta.

Recientemente se ha despertado el interés de la comunidad educativa hacia el problema de resolver el fundamento matemático de dicho truco, debido a su potencial pedagógico y la riqueza de aspectos matemáticos involucrados. Un par de ejemplos que confirman lo anterior son los artículos (Kleber, 2002) y (Holm y Simonson, 2003).

En el mismo capítulo, describe también las propiedades matemáticas de la llamada mezcla australiana, proceso de eliminación de cartas en una baraja similar al conocido como problema de Josefo4.

En el capítulo 3 del quinto libro (Gardner, 1985, pp. 32-34) aparece un ejemplo de paradoja geométrica muy del gusto de Martin Gardner. Anteriormente ya había dedicado un capítulo al estudio y propiedades de dichas paradojas en su aclamado libro sobre magia matemática (Gardner, 1956). En el décimo (Gardner, 1983, pp. 40-42) y duodécimo (Gardner, 1988b, pp. 58-61) libros de la colección, desarrolla de forma amena y didáctica otros ejemplos de paradojas probabilísticas, basadas en algunos fenómenos no transitivos. Un poco más adelante (Gardner, 1983, pp. 128-129) describe otras paradojas visuales muy sorprendentes. Con ingeniosa ironía describe en el capítulo 16 del mismo libro (Gardner, 1985, pp. 146-157) 26 efectos clásicos de clarividencia y precognición, descubriendo así algunos de los métodos utilizados por los falsos médiums y pseudovidentes, a quienes siempre trató de desenmascarar.

4 Se puede encontrar una descripción del problema en http://es.wikipedia.org/wiki/Problema_de_Flavio_Josefo


24

M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R


La numerología también estaba presente en muchos de sus artículos. Como continuación de (Gardner, 1995, p. 100), en el capítulo 19 describe algunas propiedades mágicas del número cinco. A modo de ejemplo, describiremos la siguiente.

Sean x1 y x2 dos números reales positivos arbitrarios. A continuación construimos la sucesión recurrente

,...3,2,1

11 =

+=

−+ n

x

xx

n

nn

A simple vista, si la sucesión fuera convergente, su límite sería la constante áurea. Sin embargo, no es convergente ya que, curiosamente, se trata de una sucesión 5-periódica: todos los valores se repiten cada cinco términos.

En el capítulo 14 del sexto libro (Gardner, 1984, pp. 135-142) hace honor a los libros más representativos de la magia matemática hasta el momento, como son Mathemagic de Royal V. Heath (1933) y Mathematical Magic de William Simon (1964).

De nuevo, un capítulo completo del séptimo libro (Gardner, 1989a, pp. 77-88) está dedicado a descubrir algunos trucos utilizados por los calculistas para realizar operaciones relámpago. Como ejemplo curioso, muestra el secreto de multiplicar rápidamente dos números de nueve cifras (siempre que uno de ellos sea 142857143). Así, si queremos multiplicar el número 456887156 por aquél, basta dividir por siete el número 456887156456887156. La explicación es simple: la multiplicación de 7 por 142857143 es igual a 1000000001. En ese mismo capítulo explica un método sencillo para adivinar el día de la semana correspondiente a cualquier fecha del siglo XX.

También el capítulo 10 (Gardner, 1989a, pp. 123-138) describe de manera atractiva las propiedades matemáticas de las mezclas de cartas y su aplicación a gran variedad de juegos de magia. En particular, define la mezcla faro, también llamada mezcla perfecta, que consiste en lo siguiente:

• Se divide un paquete de cartas exactamente por la mitad. • Se mezclan las cartas, imbricándolas de modo que se vayan alternando las cartas de

cada montón, una por una y de forma exacta.

Además,

• Si las cartas superior e inferior del paquete inicial mantienen sus posiciones después de la mezcla, ésta recibe el nombre de faro exterior (Faro-Out).

• Si la carta superior pasa al segundo lugar y la inferior al penúltimo lugar después de la mezcla, ésta recibe el nombre de faro interior (Faro-In).

Muchas propiedades de dicha mezcla se desarrollan en (Alegría, 2008). Un estudio más completo, con aplicaciones de la mezcla faro en el diseño de memoria dinámica de ordenadores, se encuentra en (Morris, 1998). Destacaremos, por su sorprendente elegancia, la siguiente propiedad obtenida de forma experimental por el mago-informático Alex Elmsley:

Si queremos pasar la carta superior de la baraja a la posición n-ésima, escribimos el número n–1 en el sistema de numeración binaria y realizamos una sucesión de mezclas faro de acuerdo a las cifras de dicho número: por cada cifra 0 realizamos una faro exterior (Out) y por cada cifra 1 realizamos una faro interior (In). Por ejemplo, para pasar la primera carta a la posición vigésimo


25

M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R



tercera, escribimos el número 22 en base 2, y obtenemos 10110. Así pues realizamos la siguiente secuencia de mezclas faro: In-Out-In-In-Out.

En el capítulo 15 del mismo libro (Gardner, 1989a, pp. 194-196) describe un juego de cartas basado en las propiedades del triángulo de Pascal y la regla de divisibilidad del nueve. Este ejemplo vuelve a ratificar uno de los lemas más característicos de Martin Gardner; en la introducción del libro afirma que, en un nivel elemental, no es posible motivar a ningún alumno para aprender la teoría de grupos diciéndole que la encontrará hermosa, estimulante o incluso útil si algún día llega a ser un físico especializado en partículas.

Otro juego que le gustaba contar para ratificar sus ideas es el siguiente:

Escribe en una calculadora un número de tres cifras, digamos ABC. Escribe a continuación el mismo número, obteniendo así el número ABCABC. Independientemente de las cifras elegidas, puedo adivinar que el número es múltiplo de 13. Compruébalo con la calculadora. Divide ahora el cociente entre 11. ¡También sale exacto! Más aún, divide el resultado entre 7. No sólo el resultado es exacto sino que ¡el cociente resulta de nuevo el número ABC!

Gardner afirma que no conoce un método mejor de introducir a los estudiantes en la teoría de números y en las propiedades de los números primos que la explicación de por qué este truco funciona siempre.

Es indudable que una baraja de cartas ofrece muchas posibilidades para establecer propiedades combinatorias y probabilísticas, algunas de ellas poco intuitivas. En el capítulo 7 del octavo libro de la colección (Gardner, 1989b, pp. 97-102) describe algunas de ellas.

El número 142857 ya citado es motivo del capítulo 10 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 97-102). Dicho número es precisamente el periodo de la expresión decimal del número 1/7 y tiene la propiedad de que, al multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5 ó 6, el resultado contiene las mismas cifras del número en distinto orden, de ahí que se llame número cíclico. En 1919, Leonard Dickson probó que todo número cíclico es el periodo de la expresión decimal del inverso de algún número primo. Recíprocamente, para que el periodo de la expresión decimal del inverso de un número primo p sea cíclico es suficiente que el número de cifras de dicho periodo sea p – 1. Los únicos nueve números primos menores que 100 que generan números cíclicos son 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61 y 97.

Otro curioso juego basado en propiedades de algunos números es el siguiente (Gardner, 1988b, p. 270):

Escribe en una calculadora el número 98765432 y divídelo por 8. Sorprendentemente, el resultado es 12345679, donde están todas las cifras en orden creciente, pero ha desaparecido precisamente el 8. Si quieres que vuelva a aparecer, multiplica el resultado por 72. Verás que el resultado está formado solamente por ochos.

La famosa sucesión de Fibonacci también se presta a realizar trucos de adivinación. Basta aplicar algunas propiedades poco conocidas de dicha sucesión para sorprender a públicos profanos. Varios ejemplos se muestran en el capítulo 13 del noveno libro (Gardner, 1992a, pp. 159-165). Después de efectuar uno de estos trucos, cualquier persona está mejor predispuesta para escuchar y retener propiedades matemáticas de esta y otras sucesiones definidas por relaciones de recurrencia. En el décimosegundo libro (Gardner, 1988b, p. 273) describe el siguiente juego, donde aparece la relación entre la sucesión de Fibonacci y el número áureo:


26

M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R


Escribe en una fila dos números arbitrarios. Debajo de ellos escribe la suma de ambos. Sigue escribiendo números en fila, cada uno de ellos igual a la suma de los dos inmediatamente superiores a él, hasta tener alrededor de veinte números. Ahora divide el último entre el penúltimo o el penúltimo entre el último, como prefieras. Observo que las tres primeras cifras de la parte decimal son 6, 1 y 8.

Es fácil entender la explicación: el límite del cociente de dos términos sucesivos de una sucesión de Fibonacci es, o bien el número áureo 1,61803… o bien su inverso 0,61803… En cualquier caso, una buena aproximación al límite la produce el cociente entre dos términos suficientemente grandes.

El capítulo 19 del décimo libro (Gardner, 1983, pp. 206-213) está dedicado nuevamente a juegos matemáticos con cartas. Como muy acertadamente señala, los trucos matemáticos suelen ser aburridos para la mayoría de la gente, debido a la acumulación de tareas repetitivas que conllevan. Sin embargo, tienen un curioso atractivo entre los matemáticos aficionados o profesionales, por esa misma razón. En el citado capítulo presenta toda una rutina de juegos con cartas basados en diferentes principios matemáticos, como el de paridad, el de Hummer y el de Fulves, principios que están descritos con detalle en (Alegría, 2008).

Otro interesante principio matemático, relacionado con la teoría de la probabilidad, es el conocido como principio de Kruskal (Gardner, 1997a, pp. 274-276), descubierto por el físico de la Universidad de Rutgers, recientemente fallecido, Martin Kruskal. El desarrollo del juego es el siguiente:

Se distribuyen todas las cartas de la baraja, previamente mezclada, caras arriba sobre la mesa. Se pide a un espectador que piense un número del uno al diez. A continuación, debe realizar las siguientes operaciones, todas ellas mentalmente para no dar ninguna indicación de sus resultados:

• Empezando con la primera carta, debe recorrer tantas cartas como indica el número pensado.

• Al finalizar, debe fijarse en el valor de la carta donde se ha detenido y volver a recorrer, empezando por dicha carta, tantos pasos como indica dicho número. En caso de que se haya detenido en una figura, recorrerá cinco pasos.

• El proceso anterior debe repetirlo tantas veces como sea posible, es decir siempre que haya suficientes cartas para hacer el recorrido preciso. Cuando no pueda hacerlo más, debe fijarse y recordar la última carta del último trayecto.

Pues bien, a pesar de la aleatoriedad de dicho proceso, es posible descubrir el valor de dicha carta con una probabilidad mayor que 0,8. Esto es debido a que, para casi todas las elecciones de la primera carta, el camino converge al mismo resultado final. El modelo matemático que mejor se ajusta a las características de este juego es el de las cadenas de Markov, tipos especiales de procesos estocásticos, de gran interés en ciertas aplicaciones estadísticas5.

En el penúltimo libro de la colección dedica un capítulo (Gardner, 1992b, pp. 67-70) al reconocido filósofo Charles Sanders Peirce y describe con detalle lo que llama “el truco de cartas más difícil y fantástico jamás inventado”, publicado en los “Collected Papers”de Peirce, con el que cualquier profesor puede motivar a los estudiantes interesados en la aritmética de congruencias. También en el último libro de la colección (Gardner, 1997b, pp. 239-240) utiliza la aritmética de congruencias módulo 13 con el que mostrar un método sencillo para adivinar cualquier carta eliminada de una baraja completa. En el libro (Gardner, 1987b, pp. 11-12), el tercero de la colección que recopila

5 Una curiosa prueba del origen divino de la Biblia se encuentra en http://sprott.physics.wisc.edu/Pickover/realitygame.html


27

M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R



sus contribuciones a la revista Isaac Asimov' s Science Fiction Magazine durante diez años, explica con detalle un fantástico juego de cartas basado en la aritmética de congruencias módulo 5.

3. La enseñanza de las matemáticas según Gardner

La variedad de los temas que trató a lo largo de veinticinco años y el estilo directo que destilaban sus columnas mensuales en la revista Scientific American causaron gran interés entre sus lectores y tuvieron mucha influencia entre estudiantes de matemáticas, muchos de los cuales serían docentes en un futuro próximo. No es de extrañar entonces que, a menudo, se dirigiera a este público mostrando su preocupación por la formación matemática a niveles elementales y sugiriendo algunas ideas sobre los métodos de enseñanza de las matemáticas que consideraba más efectivos. La siguiente reflexión ha sido citada en varias ocasiones para resumir sus ideas sobre estos temas: El mejor método para mantener despierto a un estudiante es seguramente proponerle un juego matemático intrigante, un pasatiempo, un truco mágico, una chanza, una paradoja, un trabalenguas o cualquiera de esas mil cosas que los profesores aburridos suelen rehuir porque piensan que son frivolidades.

En la sección anterior hemos citado algunos ejemplos de juegos de magia que él consideraba que representaban excelentes ocasiones para despertar el interés de los estudiantes por cuestiones matemáticas de dificultad variable. En muchos otros lugares de su amplia producción escrita se refiere de manera general a sus conclusiones en torno a la enseñanza de las matemáticas a niveles elementales. Citaremos dos de dichos pasajes.

En (Gardner, 1992b, pp. 61-75) se muestra seguidor del, entre muchas otras profesiones, filósofo y matemático Charles Peirce al afirmar que su enfoque recreativo hacia las matemáticas es más evidente en su visión de cómo las matemáticas deben enseñarse a los niños. En dicho artículo, afirma:

Al recorrer los manuscritos de sus libros de texto se observa que están repletos de métodos novedosos de utilización de rompecabezas y juegos con los que introducir conceptos matemáticos. Así, por ejemplo, la paradoja de Zenón le servía de excusa para llevar la discusión hacia los conceptos del continuo y del límite, con la geometría proyectiva y las sombras que produce el gira de una rueda iluminada por una lámpara introducía la idea del infinito. Peirce reconoció, antes de 1900, el gran valor de la topología elemental para estimular la imaginación matemática de un niño. La fórmula de Euler para los esqueletos de los poliedros, la teoría de nudos, la teoría de grafos, la conjetura del mapa de los cuatro colores (que Peirce trató en vano de probar durante varias décadas), la banda de Möbius, son sólo algunos de los temas topológicos que usó para excitar el interés de los estudiantes. Le encantaba pedir a los profesores que le dejaran instruir grupos de jóvenes que detestaban las matemáticas y parecían incapaces de aprenderlas. Para enseñar aritmética, Peirce recomendaba el uso constante de cuentas, la introducción temprana de la notación binaria, el uso de tarjetas numeradas y otros dispositivos que son ahora comunes en la instrucción escolar. También recomendaba usar barajas de cartas. Así contaba en una ocasión a una de sus personajes: "Si logras hacerte, querida Bárbara, con un mazo completo de naipes, te haré tragar una leccioncita de matemáticas tan fácilmente como una cucharada de aceite de ricino con un vaso de leche."

Recientemente, durante una entrevista a Don Albers (Albers y Gardner, 2005), comenta las nuevas reformas de la enseñanza de las matemáticas. No se siente conforme con algunas nuevas tendencias sobre la enseñanza de las matemáticas, las cuales se definen como matemáticas difusas. Afirma que la idea de esos métodos consiste en organizar a los estudiantes en pequeños grupos que trabajan en cooperación para descubrir teoremas. Y continúa diciendo:


28

M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R


Habría entonces grupos a quienes, en lugar de enseñarles el teorema de Pitágoras, dejaríamos cortando triángulos para que trataran de descubrirlo por sí mismos. De esta manera, los profesores no tendrían mucho que hacer, salvo dejar a los estudiantes perder el tiempo tratando de descubrir teoremas. Lo que ocurre normalmente es que hay en el grupo un estudiante más brillante que hace todo el trabajo y los demás le siguen. O podrían tardar una semana en descubrir el teorema de Pitágoras. Pienso que es una gran pérdida de tiempo, a pesar de que la teoría afirma que, en el mundo real, siempre estamos formando parte de un equipo, de modo que lo realmente necesario sería aprender a trabajar juntos y resolver los problemas de forma colectiva. Lo importante a estas edades es lograr la motivación de los estudiantes para aprender los nuevos conceptos.

Para terminar, así como Martin Gardner se consideraba seguidor de las doctrinas y enseñanzas de grandes maestros de la filosofía y la ciencia, muchos de los que hemos seguido con avidez sus chanzas, pasatiempos, trucos, problemas, rompecabezas y cuentos, hemos podido aprovechar todo su conocimiento, sus ideas y maestría narrativa. ¡Gracias!

Bibliografía

Albers, D. y Gardner, M. (2005). Mathematical Games and Beyond: Part II of an Interview with Martin Gardner, The College Mathematics Journal 36 (4), 301–314.

Alegría, P. (2008). Magia por principios. Publidisa. Behrends, E. (1997). On the mathematical background of Gilbreath's card trick. Disponible en

ftp://ftp.math.fu-berlin.de/pub/math/publ/pre/1997 De Bruijn, N.G. (1987). A Riffle Shuffle Card Trick and Its Relation to Quasicrystal Theory. Nieuw

Archief Wiskunde (4) 5, 285-301. Gardner, M. (1956). Mathematics, Magic and Mystery. New York: Dover. Gardner, M. (1988a). Hexaflexagons and Other Mathematical Diversions: The First Scientific

American Book of Puzzles and Games. Chicago: The University of Chicago Press. Primera edición de 1959 titulada The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions.

Gardner, M. (1987a). The Second Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions. Chicago: The University of Chicago Press. Primera edición de 1961.

Gardner, M. (1995). New Mathematical Diversions from Scientific American. Washington: The Mathematical Association of America. Primera edición de 1966.

Gardner, M. (1991). The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions. Chicago: The University of Chicago Press. Primera edición de 1968.

Gardner, M. (1985). The Magic Numbers of Dr. Matrix. Prometheus Books. Reimpresión de los libros The numerology of Dr. Matrix (1967) y The incredible Dr. Matrix (1976).

Gardner, M. (1984). Sixth Book of Mathematical Diversions from Scientific American. Chicago: The University of Chicago Press. Primera edición de 1971.

Gardner, M. (1989a). Mathematical Carnival. Washington: The Mathematical Association of America. Primera edición de 1975.

Gardner, M. (1989b). Mathematical Magic Show. Washington: The Mathematical Association of America. Primera edición de 1977.

Gardner, M. (1992a). Mathematical Circus. Washington: The Mathematical Association of America. Primera edición de 1981.

Gardner, M. (1983). Wheels, Life, and Other Mathematical Amusements. New York: W. H. Freeman & Co.

Gardner, M. (1986). Knotted Doughnuts and Other Mathematical Entertainments. New York: W. H. Freeman & Co.

Gardner, M. (1987b). Riddles of The Sphinx. Washington: The Mathematical Association of America. Gardner, M. (1988b). Time Travel and Other Mathematical Bewilderments. New York: W. H.

Freeman & Co.


29

M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R



Gardner, M. (1997a). Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers. Washington: The Mathematical Association of America. Primera edición de 1989.

Gardner, M. (1992b). Fractal Music, Hypercards and More. New York: W. H. Freeman & Co. Gardner, M. (1997b). Last Recreations: Hydras, Eggs, and other Mathematical Mystifications. New

York: Springer Verlag. Holm, T. y Simonson, S. (2003). Using a card trick to teach Discrete Mathematics. PRIMUS 13 (3),

248–269. Kleber, M. (2002). The Best Card Trick. Mathematical Intelligencer 24 (1), 9–11. Morris, S. B. (1998). Magic Tricks, Card Shuffling and Dynamic Computer Memories. Washington:

The Mathematical Association of America.

Pedro Alegría Ezquerra (Vitoria, marzo de 1957) es profesor titular de Análisis Matemático en el departamento de Matemáticas de la facultad de Ciencia y Tecnología (Universidad del País Vasco). Licenciado en Matemáticas por la Universidad de Zaragoza y doctor en Matemáticas por la Universidad del País Vasco. Autor de trabajos de investigación en Teoría de Operadores, de divulgación en Magia Matemática y libros relacionados con la docencia en Análisis Matemático. En la actualidad es coordinador de la titulación de Matemáticas, responsable del distrito universitario del País Vasco en la comisión de Olimpiadas de la RSME y presidente de la comisión de divulgación de la RSME.




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

MatemáGicas1

Carlos Vinuesa del Río (Universidad de Cambridge2)


Resumen Motivados por la afición de Martin Gardner a la magia matemática, mostramos cómo algunos principios matemáticos pueden emplearse para hacer juegos de magia. En particular nos detenemos en el principio de paridad, el principio de Gilbreath y coincidencias del estilo de la paradoja de los cumpleaños.

Palabras clave Martin, Gardner, magia, matemagia, paridad, Gilbreath, paradoja, cumpleaños.

Abstract Motivated by Martin Gardner's liking for mathematical magic, we show how some mathematical principles can be employed in magic tricks. In particular we go over the parity principle, Gilbreath's principle and coincidences with the flavour of the birthday paradox.

Keywords Martin, Gardner, magic, mathemagic, parity, Gilbreath, paradox, birthday.

1. Introducción

Antes de nada, una pregunta para ir pensando en algo: ¿Puede un caballo de ajedrez ir de una esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla exactamente una vez?

Martin Gardner tuvo tantas inquietudes que sería muy difícil resumirlas aquí. Pero para dar una idea del tipo de cosas que le gustaba hacer, nada mejor que las palabras de Ronald Graham: “Martin ha transformado a miles de niños en matemáticos y a miles de matemáticos en niños”. Escribió más de 70 libros y ha sido posiblemente el divulgador matemático más famoso de la historia. Sus puzles y problemas favoritos eran aquellos que requerían de una inspiración repentina que a él le gustaba llamar el momento ¡ajá! Otra cosa que sin duda le apasionaba era la magia matemática; de hecho podríamos parafrasear la cita anterior y asegurar sin miedo a equivocarnos que Martin interesó a muchos magos en las matemáticas y a muchos matemáticos en la magia.

En las páginas siguientes trataremos de dar una visión variada y amena de este mundo del que tantas veces nos habló Martin donde conviven las matemáticas y la magia.

1 Las letras mayúsculas MG son las iniciales de Martin Gardner. 2 El autor agradece a la Fundación Ramón Areces la concesión de la beca postdoctoral de la que disfruta en la actualidad.

MatemáGicas C. Vinuesa del Río


M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

2. Paridasd

Todos sabemos que existen números pares e impares. Aparentemente es una idea sencilla. Sin embargo hay literalmente cientos de excelentes y engañosísimos juegos de magia basados en este inocente principio.

2.1. Las monedas

Tenemos cuatro monedas3 sobre la mesa. Pedimos a un espectador que, mientras estamos vueltos de espaldas, realice 7 volteos (un volteo es coger una moneda que está cara arriba y ponerla cara abajo o viceversa) y después tape una de las monedas con su mano. Al girarnos, adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Introducimos una nueva moneda. Decimos al espectador que ahora puede realizar tantos volteos como quiera, con la única condición de decir “vuelta” cada vez que haga uno, y que tape una moneda al final. Pese a ello y a que hemos estado girados durante los volteos, adivinamos de nuevo si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Un nuevo espectador entra en juego. Ahora, un espectador realiza un volteo y el otro le responde con otro volteo, como si estuvieran jugando “una partida”, hasta que finalmente, tras “mover” el segundo jugador, tapan una moneda. Pese a que no dicen cuántos movimientos realizan y a que estamos vueltos durante todo el proceso, de nuevo adivinamos si la moneda tapada muestra su cara o su dorso.

Pese a lo difícil que pueda parecer a simple vista, el juego anterior es muy sencillo de realizar. La clave para explicárnoslo es la siguiente observación: un volteo altera la paridad del número de monedas que muestran su cara. Imaginemos que hay unas cuantas monedas sobre la mesa (el número no es muy importante). Supongamos que el número de monedas cara arriba es par. Si se realiza un volteo sólo hay dos posibilidades:

• O bien volteamos una moneda que estaba cara arriba, teniendo una cara menos tras el volteo.

• O bien volteamos una moneda que estaba cara abajo, teniendo una cara más tras el volteo.

Así, en cualquier caso, tras el volteo el número de caras será impar. Y tras un nuevo volteo volverá a ser par. Y así sucesivamente: impar, par, impar, par, impar, par...

¡Ya sabemos cómo realizar el juego! Para la primera fase basta con que observemos la paridad del número de monedas cara arriba antes de girarnos. Como el espectador realiza 7 volteos, la paridad del número de caras cambiará tras los mismos. Así, si había un número par de caras ahora habrá un número impar y viceversa. Mirando las monedas que han quedado a la vista podremos saber si la que se oculta bajo la mano del espectador muestra su cara o su dorso.

En cuanto a la segunda fase, como ya sabemos, introducir una nueva moneda no complica las cosas aunque a ojos del espectador pueda hacerlo más difícil. Basta con que nos fijemos en la paridad del número de caras antes de girarnos, paridad que irá cambiando con cada “vuelta” que diga el

3 Si realizas este juego para pocas personas que están muy cerca puedes usar monedas cualesquiera. Sin embargo, si vas a realizar este juego para bastantes espectadores (por ejemplo en una clase) y dado que a cierta distancia es muy difícil distinguir si una moneda muestra su cara, te recomiendo que construyas pequeños discos de cartón que por un lado sean de un color y por el contrario de otro.


33 Sociedad Canaria Isaac Newton


M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

espectador. Una sencilla forma de no perdernos a la hora de controlar la paridad consiste en que nos giremos con el puño cerrado si el número de caras es par o bien con el pulgar extendido (“gesto de OK”) si es impar. Con cada “vuelta” cambiamos de una posición a otra y al final sólo tenemos que mirar nuestro dedo...

Por último, la introducción de un nuevo espectador y el hecho de plantear los volteos por pares (el segundo espectador responde siempre al movimiento del primero) hace que todo sea facilísimo, pues sabemos que el número de volteos será par y por lo tanto la paridad del número de monedas que muestran su cara no variará. Pese a que a ojos de los espectadores podría parecer más difícil que la segunda fase en realidad es mucho más fácil. Dicho sea de paso, esto es algo que ocurre con frecuencia en magia.

2.2. Los vasos

Este juego de las monedas recuerda a una curiosa apuesta con vasos que nos puede hacer ganar alguna que otra invitación4.

Se colocan tres vasos en línea, de manera que quedan alternados boca arriba y boca abajo. El movimiento permitido es coger dos vasos adyacentes y voltearlos sin cambiarlos de sitio. Mostramos cómo se pueden dejar los 3 vasos boca arriba y decimos que no es tan sencillo, retando al espectador a que haga lo mismo. El espectador es incapaz de hacerlo.

El secreto es tan simple que puede incluso que no engañe a nadie y te toque invitar a ti5. Al comienzo tú colocas los vasos como muestra la figura de la izquierda: boca abajo, boca arriba y boca abajo. Por supuesto, pondrías poner todos boca arriba en dos movimientos, pero conviene alargarlo un poco y no dejar los tres vasos boca arriba hasta que llevemos ya unos cuantos movimientos.

Después colocas los vasos como muestra la figura de la derecha: boca arriba, boca abajo y boca arriba. Es suficientemente parecido como para que pueda colar que estaban así al principio (aquí cuentan mucho tus dotes de actor para hacerlo con convencimiento y sin sentirte culpable). Como el movimiento permitido no cambia la paridad del número de vasos boca arriba (si se voltean dos vasos o bien habrá dos vasos más boca arriba si los dos estaban boca abajo, o bien dos menos si los dos estaban boca arriba, o bien los mismos si uno estaba boca abajo y otro boca arriba), el espectador no conseguirá poner todos los vasos boca arriba.

4 De hecho, si te fijas, tanto el juego anterior de las monedas como la mayoría del resto de los juegos de magia se pueden presentar también como apuestas. Si decides hacerlo así recuerda mandar siempre un 10% de lo que ganes a quienquiera que sea el autor del artículo donde lo leíste. 5 En este caso no es necesario que mandes el 10% de la factura a nadie.



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

Observa que tanto el hecho de que los vasos que se voltean tengan que ser adyacentes como el de que no se cambien de sitio son condiciones que no afectan a nada de lo que hemos dicho. Pero el hecho de poner esas condiciones despista un poco más al primo que pagará la siguiente ronda...

2.3. La mansión embrujada

Colocamos sobre la mesa 9 cartas cara arriba formando un “cuadrado” de 3 x 3 cartas.

Sacamos un sobre, explicando al espectador que dentro del mismo hay una tarjeta con instrucciones que hemos escrito basándonos en las decisiones que creemos que va a tomar en un momento. Le pedimos que coloque un vaso (o cualquier otro objeto, pero es bonito que sea un objeto transparente) sobre la carta que más le guste de todas. Cuando lo hace (imaginemos que coloca el vaso sobre el 4 como en la figura) le decimos “Ya lo sabía”. Le decimos que un “movimiento” consiste en desplazar el vaso de una carta a otra contigua en vertical o en horizontal (¡en diagonal no vale!) y le entregamos la tarjeta con instrucciones que hay dentro del sobre, donde puede leer:

1. Retira el 3 y mueve 3 veces. 2. Retira el 6 y el 8 y mueve 5 veces. 3. Retira el 7 y el 9 y mueve o bien 7 veces o bien 9 veces. 4. Retira el 2 y mueve tantas veces como el número que prefieras de los que quedan

sobre la mesa. 5. Mueve tantas veces como el número sobre el que te encuentras y retira el 5 y el 1.

Estás sobre el 4.

El nombre de este juego procede de que a veces se presenta diciendo que las nueve cartas son las estancias de una mansión embrujada en la que las habitaciones desaparecen. Aunque, como estarás pensando (el título de la sección ayuda bastante), este juego está basando en la paridad, seguro que hay algo que todavía no te cuadra... ¿Y si hubieras puesto el vaso sobre el 3 en lugar de sobre el 4? Bueno... digamos que hay una parte del secreto “no tan matemática”... La tarjeta donde están escritas las instrucciones tiene dos caras y en la otra cara pone:

1. Retira el 6 y mueve 5 veces. 2. Retira el 7 y el 9 y mueve 8 veces. 3. Retira el 5 y mueve 5 veces. 4. Retira el 8 y el 2 y mueve tantas veces como el número que prefieras de los que quedan

sobre la mesa. 5. Mueve tantas veces como el número sobre el que te encuentras y retira el 1 y el 3. Estás

sobre el 4.




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

Así que si el espectador comienza sobre una carta par sacamos y le ofreceremos la tarjeta mostrando las otras instrucciones y si comienza sobre una carta impar se la ofreceremos mostrando estas últimas. ¡Vaya argucias tienen estos magos! Poco más hay que explicar. Como las cartas pares e impares están alternadas como las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez6, en cada movimiento se cambia de paridad. Las instrucciones siempre dicen que se retire una carta de la paridad contraria a aquella en la que se encuentra el espectador. Además, y esto es lo que utilizamos al final, si el espectador mueve tantas veces como el número sobre el que se encuentra entonces siempre terminará en una carta par (par + par = par e impar + impar = par).

En realidad, si cambiamos un poquito el inicio, el juego se presta a que muchos espectadores lo realicen a la vez, moviéndose “mentalmente” sobre las cartas, lo que hará que el efecto sea distinto y mucho más fuerte. La primera instrucción podría ser, por ejemplo, que cada espectador se sitúe sobre la carta que quiera y mueva tantas veces como indica su valor. Así, sabemos que todo el mundo está sobre una carta par y podemos seguir nuestra lista de instrucciones (ahora sólo hay una lista para todo el mundo), o bien con las primeras que hemos escrito o bien con otras de nuestra invención, pues ahora que entendemos el secreto podemos jugar y hacer nuevas versiones del juego. De hecho, para que veas que se puede hacer, el conocido ilusionista David Copperfield presentó una versión de este juego por televisión7, invitando a los espectadores a participar desde sus casas.

2.4. El tapiz del señor Kolo

El siguiente juego está basado en una idea antigua de la que no se conoce al autor original. Richard Vollmer (Vollmer, 1991, pp. 53 y siguientes) lo llama La tapisserie de Mr. King y en español (Giobbi, 2004, pp. 77-81) se conoce como El tapiz del señor Kolo. La historia es la siguiente:

Se explica que el millonario señor Kolo mandó realizar un carísimo tapiz de vivos colores, que se representa con las doce figuras y los cuatro dieces de la baraja (pues son las cartas con más color), formando un “cuadrado” de 4 x 4 cartas. En la figura de la página siguiente se muestra el tapiz desde el punto de vista del mago, el público estaría situado en frente.

Dado el desorbitado precio del tapiz, el señor Kolo decidió que sería buena idea marcar el mismo con su inicial, la letra K, pues así en caso de robo podría reconocerlo de nuevo. La marca se realiza volteando algunas de las cartas, como muestra la figura (recuérdese que la figura muestra el punto de vista del mago, así que los espectadores verán algo parecido a una letra K mayúscula.

6 Recuerda que todavía tenemos pendiente una pregunta sobre un caballo de ajedrez... 7 Puedes verla aquí: http://www.youtube.com/watch?v=OZ1WTRkTjcA.



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

Cierto día, el señor Kolo se fue de viaje y unos ladrones entraron a robar el tapiz. Para llevárselo tuvieron que doblarlo. El tapiz de cartas se va doblando por las líneas horizontales o verticales que los espectadores deseen, hasta que ocupa sólo el tamaño de una carta (todas las cartas terminan en un montón).

Se cuenta cómo el Señor Kolo, tiempo después, creyó reconocer su tapiz en una tienda de antigüedades. Mandó que lo extendieran y se pudo comprobar que era el suyo, pues su inicial estaba allí por cuadruplicado: al extender las cartas sobre la mesa, todas están cara abajo, excepto los cuatro reyes, que están cara arriba.

El juego se basa de nuevo en la paridad, concretamente en el que es conocido como principio de plegado de Henry Dudeney. Para entenderlo, pensemos en la siguiente situación: si disponemos las cartas cara arriba y cara abajo alternándolas como si fueran las casillas blancas y negras de un tablero de ajedrez, cualquier plegado terminará dejando todas las cartas en el mismo sentido (todas cara arriba si terminan sobre una de las cartas que estaba cara arriba originalmente y todas cara abajo si lo hacen sobre una de las cartas que estaba cara abajo originalmente). Piénsalo, es muy sencillo.

Una vez entendido eso, si queremos que una carta termine tras el plegado en sentido contrario al resto, partiendo de la configuración de “tablero de ajedrez”, bastará con que volteemos la carta deseada. Si lo que queremos es que los cuatro reyes terminen en sentido contrario al resto de las cartas, bastará con colocar todas las cartas en la configuración de “tablero de ajedrez” y voltear ahora los cuatro reyes. Coloquemos los reyes (desde nuestra perspectiva) en las dos posiciones situadas más a la derecha de la fila más cercana al público y en las dos posiciones situadas más a la izquierda y más a la derecha respectivamente de la segunda fila más cercana a nosotros, como mostraba la primera figura. Pues bien, si ahora volteamos las cartas necesarias para llegar a la configuración de “tablero de ajedrez” comenzando por la carta situada más a la izquierda de la fila más cercana al público, y a continuación cambiamos de sentido los cuatro reyes (independientemente del sentido en que se hayen), obtendremos la configuración de “K del señor Kolo”. Así, al principio, las posiciones en que colocamos los reyes son cruciales, pero como las posiciones de todas las cartas restantes no importan es muy fácil colocar los reyes sin levantar sospechas. Por cierto, si te estás preguntando qué hacer en caso de que tras el plegado queden todas las cartas cara arriba y los cuatro reyes cara abajo, es muy sencillo: cuando se termine el plegado del tapiz, coge el montón de cartas (como para mostrarlo) y voltéalo sin dar más explicaciones. Si no le das importancia, nadie se la dará.

El principio de plegado es muy flexible y podrás crear nuevos juegos basados en él (coloca las cartas de manera que las que muestran su dorso formen tu dibujo favorito y mira a ver cuántas cartas tienes que voltear para llegar a la disposición en “tablero de ajedrez”). De hecho, la forma de plegar no tiene por qué imitar a la de una tela real, podemos coger por ejemplo una sola carta y doblarla hacia el lado que queramos. Las posibilidades son muchas ¡juega con ellas!




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

2.5. El caballo

Para terminar esta sección, retomemos la pregunta del comienzo del artículo: ¿Puede un caballo de ajedrez ir de una esquina del tablero a la diagonalmente opuesta pasando por cada casilla exactamente una vez? El ataque más directo quizá sería tratar de encontrar uno de esos caminos (infructuosamente). Sin embargo, podemos dar una respuesta negativa de modo mucho más elegante, basándonos de nuevo en la paridad.

¡Ajá! Cuando un caballo de ajedrez realiza un movimiento, siempre cambia de color (o bien pasa de una casilla negra a una blanca como en la figura, o bien al contrario). Es decir, si un caballo parte de una esquina blanca, los colores de las casillas que pisará serán blanco (B), negro (N), B, N, B, N, B... Si queremos que el caballo termine en la esquina diagonalmente opuesta, la lista tendrá que comenzar y terminar en B. Pero el caballo tiene que dar exactamente 63 saltos para pisar las 64 casillas, una cada vez. Y por lo tanto, si empieza en una casilla B, tras los 63 saltos terminará en una casilla N, lo cual es una contradicción.

3. Orden en el caos

Mezclar la baraja en una partida de cartas es la garantía que tienen los jugadores de que nadie posee información sobre las cartas que se reparten. ¿Y si pese a la mezcla pudiéramos saber mucho de las cartas? Bienvenidos al mundo del principio de Gilbreath.

3.1. El principio de Gilbreath

Lo primero que hay que decir es que, pese a la sugerente introducción, es difícil que puedas sacar provecho de todo lo que sigue en una partida de cartas. Sin embargo sí que podrás realizar algunos sorprendentes juegos de magia. Por ejemplo:

Entregamos una baraja8 a un espectador que va repartiendo cartas sobre la mesa hasta que él desea para formar dos montones (el que queda sobre la mesa y el que queda

8 Al igual que en el juego del tapiz del señor Kolo y en todos los demás que aparecerán en el artículo, siempre que nos refiramos a una baraja será una baraja de póquer sin comodines, es decir las 52 cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q y K de picas, corazones, tréboles y diamantes.



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

en su mano). El propio espectador mezcla a la americana9 los dos paquetes formados. Cogemos la baraja recién mezclada por el espectador y sin mirar ninguna carta la llevamos a nuestra espalda o debajo de la mesa. Utilizando tan sólo nuestro tacto podremos encontrar tantos pares de cartas de diferente color como se nos pida.

Como has adivinado, el juego funciona por el principio de Gilbreath. Ahora sólo falta saber qué es el principio de Gilbreath. Antes de nada coge una baraja y ordena sus cartas de manera que se alternen las cartas de ambos colores: roja, negra, roja, negra, roja, negra... Reparte en un montón sobre la mesa cara abajo y de una en una aproximadamente la mitad de la baraja. Mezcla a la americana el montón que acabas de formar sobre la mesa con el que tienes en tu mano. Comienza a sacar pares de cartas o bien de arriba o bien de abajo y comprueba que absolutamente todos están formados por una carta de cada color.

La explicación de por qué sucede lo anterior es sencilla. Si tenemos un montón en el que las cartas se alternan R, N, R, N, R, N... y otro en el que se alternan N, R, N, R, N, R... y los mezclamos a la americana, podemos analizar de qué paquete proceden las dos cartas que quedarán como cartas superiores tras la mezcla. Si cada una procede de un paquete, entonces serán de distinto color y además, olvidándonos de ellas, tendremos la misma situación (ahora con los colores cambiados de lado) para continuar este “análisis hacia atrás de la mezcla”. La columna izquierda del siguiente esquema muestra esto de un modo más gráfico.

Si son las dos del mismo paquete, entonces también serán de distinto color y además, olvidándonos de ellas, tendremos la misma situación (esta vez exactamente) para continuar nuestro análisis (ver las otras dos columnas del esquema anterior). Repitiendo este razonamiento, podemos ver muy fácilmente por qué todas las parejas de cartas estarán formadas por un naipe de cada color. Si te preocupa qué pasará cuando se llegue a la parte de abajo de los montones, simplemente piensa que puedes hacer el análisis desde la parte de abajo del mazo, la mezcla es igual vista desde abajo que desde arriba (eso sí, es importante que la baraja esté completa o, en este caso, que tenga un número par de cartas).

Pero el principio de Gilbreath10 es mucho más general. Si en lugar de colocar en un montón R, N, R, N, R, N... y en el otro N, R, N, R, N, R... Colocamos en un montón pica, corazón, trébol, diamante, pica, corazón, trébol, diamante... y en el otro diamante, trébol, corazón, pica, diamante, trébol, corazón, pica... tras la mezcla tendremos que en cada grupo de cuatro cartas que cojamos de arriba o de abajo habrá una de cada palo. El siguiente esquema muestra lo que ocurre en este caso si

9 La mezcla por hojeo en la mesa o mezcla a la americana consiste en, una vez formados los dos paquetes a mezclar, utilizar los pulgares en el canto de sus respectivos paquetes para ir dejando caer sobre la mesa las cartas de un montón y otro intercaladas. 10 El principio de Gilbreath y su uso en el juego anterior fueron descritos por primera vez por Norman Gilbreath en el artículo Magnetic Colors (Gilbreath, 1958, p. 60). Desde entonces han aparecido decenas de ingeniosas variantes y juegos basados en él.




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

las cuatro cartas superiores tras la mezcla provinieran dos de cada montón, tres de uno y una de otro o las cuatro del mismo montón (las simétricas de las dos últimas posibilidades serían completamente análogas).

El maestro Juan Tamariz me contó una forma sencilla y visual de ilustrar este principio. Consiste en colocar nuestras manos frente a nosotros, una con su palma hacia nuestro cuerpo y la otra con su dorso hacia nuestro cuerpo y emplear nuestros dedos índices, corazones, anulares y meñiques (a modo de cartas) para realizar una mezcla. Sea cual sea la forma en que la realicemos, siempre habrá cuatro dedos de nombres distintos arriba y otros cuatro abajo.

No vamos a realizar otro esquema, pero lo mismo funciona para grupos de 13 cartas. Si colocamos las cartas de un montón A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K y las del otro K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, A entonces tras mezclar ambos montones a la americana tendremos una carta de cada valor en cada uno de los cuatro cuartos de la baraja.

Observemos (porque dentro de un momento será algo importante) que ninguna de las mezclas americanas que hemos considerado hasta ahora tiene que ser perfecta o tener regularidad alguna. De hecho, en el caso extremo, todo lo anterior funciona si primero caen todas las cartas de un paquete y luego todas las del otro, es decir, si “la mezcla” consiste simplemente en poner un montón sobre el otro.

3.2. El principio de Fulves

Karl Fulves (Fulves, 1984, pp. 48-49) propone la siguiente variación del principio de Gilbreath en el juego ESP + MATH.

El espectador mezcla entre sí dos paquetes de cartas. A continuación, toma las tres cartas superiores, las mira y si se repite algún palo entonces se las entrega al mago que sin mirarlas adivina el palo repetido y voltea una de las cartas de dicho palo. Si no se repite ningún palo entonces las tres cartas se desechan. La adivinación del palo repetido y la localización de una de las cartas de dicho palo se realizan con éxito tantas veces como se quiera.

En esta interesante variante no sólo sabemos algo sobre las cartas de cada grupo de tres (qué palo aparece dos veces en caso de aparecer alguno) sino que además sabemos dónde va a estar una de las cartas cuyo palo se repite. Para realizar el juego, empleamos sólo cartas de tres palos (digamos que descartamos los diamantes). En un montón colocamos las cartas en la secuencia pica, corazón, trébol, pica, corazón, trébol... y en el otro en la secuencia pica, trébol, corazón, pica, trébol, corazón... Tras la mezcla, de haber un palo repetido en el primer trío, será picas. Si no lo hubiera, de haber un palo repetido en el segundo trío, será picas. Y así sucesivamente hasta que haya un palo repetido. Cuando lo haya, no sólo sabemos que es picas sino que la carta superior del trío es de picas. Además, ahora



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

miraremos el palo que no aparece en esas tres cartas. Ése será el palo que se repita en el próximo trío en el que haya un palo repetido, siendo la carta superior de dicho palo.

Para convencernos de que esto es así siempre, podemos realizar un análisis inverso de la mezcla, al igual que hacíamos con el principio de Gilbreath. La primera columna del esquema muestra que si las tres cartas superiores provienen del mismo paquete entonces no se repite ningún palo en el primer trío y las restantes cartas quedan en la misma configuración que teníamos (por supuesto, si las cartas provinieran del montón de la derecha, la figura y el razonamiento serían completamente análogos). Las otras dos columnas muestran por qué siempre que las cartas provengan de los dos paquetes se repiten picas y el palo que no aparece en el trío es el próximo que se repetirá, pues la nueva configuración es análoga a la que había pero con este palo ocupando el lugar de las picas.

Es cierto que es un poco “feo” que cuando ningún palo se repite tenga que ser el espectador quien nos lo diga. Para que siempre hubiera repetición de palo tendría que cumplirse la condición de que en cada trío hubiera cartas que provienen de los dos paquetes. Eso exige una mezcla muy regular. Pensando en estas cosas, se me ocurrió lo siguiente.

Cortamos una baraja por la mitad y el espectador mezcla los dos paquetes de cartas. A continuación, repartimos las cartas a cuatro personas sin mirarlas por sus caras y les decimos que lo normal es que algún valor se repita entre sus cartas. Que las pongan en abanico frente a ellos y que de alguno de los valores que se repiten saquen una carta del centro (que no sea la de arriba del todo sino una que esté más centrada). Los espectadores así lo hacen y después nosotros sacamos una carta de cada uno de los cuatro paquetes (sin mirar las caras de las cartas). Finalmente, se comprueba que las cuatro cartas coinciden en valor con las cuatro escogidas por los espectadores.

El secreto no es más que una generalización del principio anterior. Si colocamos las cartas de un paquete repitiendo la secuencia A, B, C, D, …, X, Y, Z y en el otro repitiendo la secuencia A, Z, X, Y, …, D, C, B entonces tras la mezcla, en el primer grupo que se repita algo se repetirá una A y la carta superior del grupo será una A. En el siguiente grupo que se repita algo, se repetirá justamente la que no ha salido en el anterior grupo en el que había repetición.

Si hacemos nuestros grupos de 13 cartas, además, es casi imposible que el espectador mezcle tan irregularmente como para no incluir cartas de ambos montones en todos los grupos de 13. Es decir, basta con elegir una ordenación de los valores de la baraja, por ejemplo 8, K, 3, 10, 2, 7, 9, 5, Q, 4, A, 6, J, y colocarla dos veces seguida, para a continuación colocar otras dos veces la ordenación 8, J, 6, A, 4, Q, 5, 9, 7, 2, 10, 3, K. Cuando vayamos a hacer el juego, cortaremos nosotros mismos por la mitad exacta (entre la J y el 8) y ofreceremos los dos montones al espectador para que los mezcle a la americana. Concluida la mezcla, entregaremos las 13 primeras cartas a un espectador, las 13 siguientes a otro y así sucesivamente. En cada montón habrá un sólo valor repetido que será el de la carta de la posición superior. El esquema muestra algunos ejemplos de lo que ocurre y por qué en el siguiente grupo se repetirá la carta que no está en el primero.




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

4. ¡Qué coincidencia!

¿Recuerdas aquella vez que conociste a alguien en un viaje y descubristeis que una amiga tuya conocía a su hermana? Pues no, no fue una gran coincidencia. Por ejemplo, un estudio realizado en los Estados Unidos, mostraba que la probabilidad de que dos estadounidenses elegidos al azar tuvieran un amigo en común era algo así como el 1%, mientras que la de que quedaran unidos por una cadena de dos intermediarios ¡era superior al 99%! (Gardner, 1983, p. 119).

4.1. La paradoja de los cumpleaños

Una deliciosa “paradoja” (no es una contradicción lógica, sino algo contrario a la intuición de la mayoría de las personas) similar a la anterior es la conocida como “paradoja de los cumpleaños”:

En una reunión de 23 personas la probabilidad de que al menos dos de ellas cumplan años el mismo día es superior al 50%. Si en la reunión hay más de 60 personas la probabilidad es mayor que el 99%.

Pese a lo sorprendente de la afirmación anterior, podemos hacer unos sencillos cálculos para convencernos de la veracidad de la misma. Vamos a calcular la probabilidad aproximada (desechamos los años bisiestos y asumimos independencia entre los cumpleaños de los asistentes, es decir, no estamos en una fiesta llena de gemelos, por ejemplo) de que no haya dos personas con el mismo cumpleaños en la reunión. Ordenemos a las 23 personas en una fila. La probabilidad de que el segundo no tenga el mismo cumpleaños que el primero es 364/365. La probabilidad de que el tercero no tenga el mismo cumpleaños que alguno de los otros dos (supuestos ya con distinto cumpleaños) es 363/365.



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

Siguiendo este razonamiento, tenemos que la probabilidad de que no haya dos personas con el mismo cumpleaños entre las 23 es el producto de 22 fracciones:

365

343

365

362

365

363

365

364 ×××× ⋯

¿Y eso cuánto es? Uno podría ayudarse de una calculadora usual y teclear mucho o incluso de un ordenador, pero podemos hacer un regate para calcular aproximadamente esta cantidad. Para x pequeño, sabemos que exp(-x) es como 1 – x, pues el polinomio de Taylor de exp(-x) en torno a 0 es 1 – x + x2/2 – x3/6 + … Así, el producto anterior es

−≈

−××

−×

−×

−365

22321exp

365

221

365

31

365

21

365

11

++++ ⋯

⋯

Usando el truco de Gauss11 para sumar los elementos de una progresión aritmética, esto es

( )0,499...

365

253exp

3652

12222exp ==

+

−

⋅⋅−

Así, la probabilidad de que sí haya dos personas que cumplen los años el mismo día será aproximadamente 1 – 0,499, es decir, rondará el 50%. El resultado realizando las cuentas exactamente sería 0,507..., ligeramente superior a al 50%, como decíamos antes. Cálculos muy similares nos convencerán de que con el doble de personas en la reunión es muy probable que dos tengan el mismo cumpleaños. Podemos hacer una gráfica de la probabilidad de que dos personas compartan cumpleaños dependiendo del número de personas en la reunión. Tendría esta pinta:

11 El pequeño Gauss nos enseñó que hacer la suma n++++=S ⋯321 dos veces es más fácil que hacerla una sóla vez. Así, agrupando convenientemente los sumandos,

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ).11231212 +nn=+n+…+n++n++n+=S −−⋅




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

Como ves, a partir de unas 60 personas es casi seguro que dos de ellas tienen el mismo cumpleaños, y a partir de unas 40 yo ya me apostaría una Coca-Cola. Es divertido hacer el experimento en una clase, pidiendo a los alumnos que vayan diciendo su día de nacimiento (comenzando por los nacidos en enero y avanzando de mes en mes) hasta que aparece una coincidencia. Si en una clase hay unos 30 alumnos y no sabes si arriesgarte a realizarlo, ten en cuenta tres cosas:

1. El hecho de que no funcionara también sería instructivo; enseña que aunque algo sea bastante probable no tiene por qué ocurrir.

2. Si eres el profesor es muy probable que tengas acceso a las fechas de nacimiento de los alumnos y puedes comprobar si el experimento va a funcionar con antelación (si lo haces, comprueba que los alumnos cuyas fechas coinciden estén en clase el día que realizas el experimento). Por supuesto siempre debes negar que miraste las fechas de nacimiento de los alumnos, al igual que yo negaré que te he dicho esto.

3. Si no tienes posibilidad de hacer lo que dice el punto 2, siempre queda el miserable e innoble recurso (que me encanta) de, una vez que todos hayan dicho sus fechas de cumpleaños, decir como despreocupadamente que la tuya es el “x de y”, donde el “x de y” es la fecha de nacimiento de alguno de los pobrecillos que acaban de decirla. El elemento en cuestión dirá “¡Ésa es la mía!” y tú dirás “Anda, no bromees, que no ha salido, pues no ha salido...”, a lo que él contestará “Que sí, que sí que es...”. Al terminar la clase, apunta esta fecha en tu agenda y prepárate a recibir algunas felicitaciones o regalos en dicha fecha por parte de tus alumnos. Si haces esto en todos los cursos en los que des clase, dentro de unos cuantos años te felicitarán cada día...

4.2. Coincidencia en dos barajas

Hablando de coincidencias, sería bonito poder aplicar algo del estilo de lo anterior a un juego de cartas. Pues se puede hacer. Lo siguiente es cierto:

La probabilidad de que al mezclar dos mazos de cartas (da igual españolas que de póquer o que mezclemos dos paquetes iguales de 13 cartas) tengamos alguna carta en la misma posición en los dos mazos es muy cercana a 1 - 1/e = 0,632...

De hecho, es cierto el siguiente

Teorema: Dados dos mazos de n cartas mezclados, la probabilidad de que alguna carta esté en la misma posición en los dos mazos es

( ).

11

0∑

−−n

=k

k

k!

Observemos que como ( )

0,367...11

0

=e

=k!=k

k

∑∞ −

y ( )

( )!+n<

k!+n=k

k

1

11

1

−∑

∞

(pues tenemos una

serie alternada con términos que disminuyen en valor absoluto) entonces el teorema nos dice que la probabilidad de coincidencia es 1-1/e con un error más pequeño que 1/(n+1)! Luego para n “grande” (digamos a partir de 10, por ejemplo) la probabilidad de que alguna carta coincida en la misma posición es 1-1/e con un error pequeñísimo, no dependiendo la probabilidad apenas de n (el número de cartas de cada mazo). Es curiosa la frecuencia con la que aparece el número e en contextos inesperados.



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

Vamos a demostrar el teorema. Una vez mezclados los dos mazos, decimos que el orden de las cartas del primero de ellos es “el bueno”. La primera carta es la carta 1, la segunda es la carta 2 y así sucesivamente. Entonces, considerando las cartas del otro mazo con esta numeración, es como si hubiéramos mezclado un mazo con cartas numeradas 1, 2, 3,... , n y nos preguntáramos si habrá alguna carta en la posición que coincide con su número de orden.

Una permutación que no deja fijo ningún elemento se llama desbarajuste. El número de permutaciones de n elementos es n! = 1·2·3·...·n. Por el principio de inclusión-exclusión12, es fácil calcular el número de desbarajustes de n elementos.

Si llamamos Aj al conjunto de las permutaciones de n elementos con el número j en la posición j, el número de desbarajustes de n elementos será

| |....21 nn AAAn!=D ∪∪∪−

El tamaño de cualquiera de los Aj es (n-1)!, pues “el j” ya está fijo y los otros n-1 podemos

ordenarlos de cualquier manera. Hay

2

nintersecciones 2 a 2 y cada una de ellas tiene tamaño (n-2)!

y así sucesivamente. Luego, el principio de inclusión-exclusión nos dice que Dn es:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

112

21

1 00∑∑

−−−

−

−

−−

−

n

j=

jj

n

j= j!n!=!jn

j

n=!nn

n

n±!+n

n!n

nn! ⋯

Luego la probabilidad de que una permutación sea un desbarajuste es ( )

∑−n

=j

j

j!0

1que es lo que

queríamos probar.

Ya sé lo que te estás preguntando: ¿Y si llamo a dos amigos, les digo que mezclen cada uno una baraja y después de repartir a la vez una a una las cartas cara arriba resulta que ninguna coincide? Bueno, para eso hay una herramienta de extremada utilidad llamada “jeta”. Puedes plantear el experimento de la siguiente manera: “Mirad, a continuación cada uno vais a mezclar una baraja [les haces gestos para que mezclen] y pese a las mezclas, vais a repartir sobre la mesa una a una cara arriba las cartas y habrá una carta que coincida en la misma posición en las dos barajas... [les haces gestos de que comiencen a repartir y mientras siguen repartiendo continúas hablando] Y mirad que es difícil... Es bastante complicado... Porque los dos habéis mezclado a fondo... Y claro, en estas condiciones sería casi un milagro... Una posibilidad entre millones... [sí, está permitido decir algunas mentirijillas... Y en el momento en que aparezca la carta que coincide cambias el tono y la actitud] ¡Y sin embargo ahí está! ¡Efectivamente una carta coincide! ¡Enhorabuena a los dos!”. Pues bien, 63 de cada 100 veces la cosa terminará así, pero si siguen repartiendo y las cartas se terminan sin coincidencia, sigues con el mismo tono: “Por lo tanto, como podéis comprobar y como ya os anunciaba, pese a que os esforcéis es dificilísimo que dos cartas coincidan. Hoy, como digo, vamos a intentarlo gracias a la magia. Mezclad, ahora sí (¡como si antes no hubieran mezclado!), las barajas a fondo y vamos a ello [lo dices todo con el tono de que lo anterior era sólo una prueba para comprobar la dificultad de la

12 El principio de inclusión-exclusión (abreviado con las graciosas siglas PIE) no es otra cosa que la generalización del hecho de que el número de elementos de la unión de A y B es el número de elementos de A más el número de elementos de B menos el número de elementos de la intersección de A y B (como la intersección se cuenta dos veces al sumar los elementos de A y B, hay que restarla una vez).




M O

N O

G R

Á F

I C O

: M A

R T

I N G

A R

D N

E R

hazaña] ¡Comenzad a repartir!”. La probabilidad de que en ninguno de los dos repartos coincidan dos cartas en la misma posición es 1/e2=0,13..., es decir, 87 de cada 100 veces estamos salvados. ¿Y en el improbable caso de que no haya coincidencia la segunda vez? Bueno, podemos continuar con nuestra actuación estelar: “Y no coinciden... ¿no coinciden? ¿Cómo que no coinciden? Ah, espera, no me digas más, iban a coincidir gracias a la magia... ¿habéis dicho las palabras mágicas? Entonces ¿cómo esperáis que coincidan, por azar13?”. Así que toca decir las palabras mágicas y rezar para que tras esta tercera mezcla, y dado que en el 95% de los casos tienen que coincidir dos cartas iguales en la misma posición, no estemos en el 5% de los “casos malos”. Ya ¿y si somos muy desafortunados e incluso a la tercera no coincide nada? Entonces (y como cuatro repartos no hay quien los aguante) lo mejor que puedes hacer es, mientras los espectadores miran atentos a las últimas cartas que están repartiendo, desaparecer de allí... (por supuesto, si mientras huyes ves que alguna de las últimas cartas coincide, volverás con aire triunfante y defendiendo que gracias a tus palabras mágicas en las que tanto confiabas se ha conseguido semejante proeza...).

4.3. La coincidencia del 9

¿Harto de tener que celebrar cumpleaños falsos por fallar reiteradamente haciendo el experimento de la paradoja de los cumpleaños? ¿Cansado de huir mientras tus amigos reparten las cartas de dos barajas esperando que alguna coincida en la misma posición? No te preocupes, tengo la solución para ti: ¡la paradoja de los famosos! El propio Martin Gardner la relataba ya hace años (Gardner, 1983, p. 38):

¿Sabía usted que el número 9 está escondido tras el natalicio de toda persona famosa? Fijémonos en la fecha de nacimiento de George Washington, que fue el 22 de febrero de 1732. Escribamos tal fecha con un sólo número: 22021732. Ahora reordenamos las cifras y formamos con ellas otro número distinto cualquiera. Restemos el menor del mayor (por ejemplo 22021732 – 12723022 = 9298710). Sumemos todas las cifras de la diferencia. En este caso la suma es 36. ¡Y 3 más 6 son 9! Haciendo lo mismo con el natalicio de John F. Kennedy (29 de mayo de 1917) o de Charles de Gaulle (22 de noviembre de 1890) o de cualquier otro hombre o mujer famoso, siempre se obtiene 9. ¿Habrá alguna curiosa relación entre el 9 y los natalicios de las personas famosas? ¿Ha probado el lector con su propia fecha de nacimiento?

Vale, no sólo funciona con las fechas de nacimiento de los famosos ¡pero eso es bueno! Como funciona siempre, nunca te va a fallar. El principio por el que funciona es sencillo: al sumar repetidamente las cifras de un número hasta quedarnos con una sóla, obtenemos el resto que se obtiene al dividir el número entre 9 o bien obtenemos 9 si el número es múltiplo de 9. Así, dos números con las mismas cifras en distinto orden dejan el mismo resto al dividirlos entre 9, por lo que su diferencia es múltiplo de 9 y por lo tanto al sumar las cifras de la diferencia obtenemos el ubicuo número 9.

Hemos hecho dos afirmaciones en el párrafo anterior. La de que la diferencia de dos números que dejan el mismo resto al dividirlos entre 9 da como resultado un múltiplo de 9 es muy sencilla, pues 9a + r – (9b + r) = 9 (a – b). La de que la suma de las cifras de un número da el resto de dividirlo entre 9 o bien da 9 si el número es múltiplo de 9, es consecuencia de que 9 = 10 – 1, donde 10 es la base14 en la que solemos escribir los números. Es decir, el número abcde es

10.000a + 1.000b + 100c + 10d + e = 9999a + 999b + 99c + 9d + (a + b + c + d + e).

13 Ya vas entendiendo por qué he llamado “jeta” a este recurso ¿no? 14 Por cierto, hablando de bases de numeración y magia. Si te interesa el tema y te has quedado con ganas de más, puedes consultar el artículo Matemagia “básica” que escribí recientemente para la Gaceta de la RSME (Vinuesa, 2011, El diablo de los números).



M

O

N

O

G

R

Á

F

I C

O

:

M

A

R

T

I N

G

A

R

D

N

E

R

Y esto efectivamente significa que la suma de las cifras del número y el propio número dan el mismo resto al dividirlos entre 9, pues 9, 99, 999, 9999... son múltiplos de 9.

4.4. Una divertida secuencia

Se me ocurre que juntando las tres últimas ideas, puedes preparar una secuencia de efectos mágicos relacionados con la coincidencia. Escribe en un papel lo siguiente y mételo en un sobre:

Hoy, 20 de enero de 2011 (o la fecha en la que estés, casi mejor), se comprobará que dos personas de esta sala comparten la misma fecha de cumpleaños. Estas dos personas, tras mezclar cada una un mazo de cartas, y pese a que al principio parezca que no, harán coincidir la misma carta en la misma posición en ambas barajas. Sin embargo, lo más sorprendente para mí será que las operaciones que realizarán con su día y mes de nacimiento, obtenidas con sus decisiones sobre cómo recolocar dichas cifras, les llevarán hasta el número 9.

Pocas explicaciones hay que dar a quien haya leído todo lo anterior: dale el sobre a alguien antes de comenzar y que lo abra y lo lea al final. El detalle de escribir “pese a que al principio parezca que no” te permite que si la coincidencia en las dos barajas se produce a la segunda o a la tercera le puedas sacar partido después. Y ten por seguro que nadie se quejará de que eso esté escrito aunque la coincidencia se produzca bien pronto (de hecho, ¡claro que parece que no vaya a pasar!, ¿cómo van a coincidir dos cartas en la misma posición después de mezclar ambas barajas?).

¡Suerte, y a disfrutar con las matemáticas y con la magia!

Bibliografía

Álvarez, V., Fernández, P., y Márquez, M. A. (2002). Cartomagia matemática y cartoteoremas mágicos, La Gaceta de la RSME, vol. 5, no. 3, 711-735.

Blasco, F. (2007). Matemagia. Temas de hoy. Fulves, K. (1984). More Self-Working Card Tricks. Dover Publications. Gardner, M. (1982). Nuevos pasatiempos matemáticos. Alianza editorial. Gardner, M. (1983). ¡Ajá! Paradojas que hacen pensar. Editorial Labor. Gardner, M. (1988). Ruedas, Vida y otras diversiones matemáticas. Editorial Labor. Gilbreath, N. (1958) Magnetic Colors, The Linking Ring, vol. 38, no. 5, 60. Giobbi, R. (2004). Roberto Extra Light, Juegos de Magia con Cartas. Editorial Páginas. Vinuesa, C. (2011). Matemagia “básica”. La Gaceta de la RSME, vol. 14, no. 1. Vollmer, R. (1991). Petite Anthologie des Tours de Cartes Vol. 5. Editions du spectacle, Estrasburgo.

Carlos Vinuesa del Río, becario de la Fundación Ramón Areces, Universidad de Cambridge. Nacido en Madrid en 1982, cursó los estudios de Matemáticas en la Universidad Autónoma de Madrid (UAM). Durante su doctorado ha trabajado además en Montreal, Barcelona y Budapest. En 2010 defendió su tesis doctoral en la UAM, en la que también ha impartido clases como ayudante durante tres años. Es un gran aficionado a la magia y en 2010 fue galardonado con el Premio Ascanio, “mago del año” en la especialidad de magia de cerca. En la actualidad disfruta de una beca postdoctoral de la Fundación Ramón Areces en la Universidad de Cambridge. Correo electrónico: [email protected]




La fascinante matemática de los nudos

Rafael Andrés Alemañ Berenguer (Universidad Miguel Hernández-Elche) Estrella Jornet Gil (Instituto de Enseñanza Secundaria Las Lomas de Juan XXIII - Alicante)

Fecha de recepción: 11 de febrero de 2010 Fecha de aceptación: 29 de Julio de 2010

Resumen El estudio analítico y topológico de las curvas anudadas en el seno de variedades multidimensionales, ha permitido vislumbrar un insospechado horizonte de resultados matemáticos así como de sorprendentes implicaciones físicas.

Palabras clave Nudos, análisis, topología, variedades, multidimensional, física matemática.

Abstract The analytic and topologic study of knots inside n-dimensional manifolds has allowed us to peep at an unexpected horizon of mathematic results as well as surprising physical implications.

Keywords Knots, analysis, topology, manifolds, n-dimensional, mathematical physics.

1. Introducción

Observar a un experimentado marinero realizando nudos con una cuerda, es un verdadero espectáculo que cualquiera puede admirar en circunstancias propicias. Sin embargo, las asombrosas propiedades de los nudos, considerados en sí mismos como puros objetos matemáticos, no resultan tan sencillas de advertir. Estas propiedades, una vez que se estudian en profundidad, sugieren la posible existencia de una relación con ciertos comportamientos exhibidos por la naturaleza en sus niveles más profundos, ya en la más sofisticada física de partículas o en las teorías sobre la estructura del espacio-tiempo. Así pues, el estudio topológico de las diversas formas posibles de anudar y desanudar curvas, alimenta una de las más activas y difíciles áreas de investigación en matemáticas fundamentales (Adams, 1994; Cromwell, 2004).

En 1867 Lord Kelvin (1824-1907) propuso su teoría del “átomo vorticial”, inspirado por un artículo sobre vórtices de Helmholtz y por el trabajo de Riemann sobre funciones abelianas. Según la idea de Kelvin, los átomos –y la materia en general– no serían más que remolinos, o vórtices, en el éter que ocupaba la totalidad del espacio físico. La estabilidad hidrodinámica de los nudos explicaba, a su parecer, las propiedades usuales de la materia. Por este mismo camino, Kelvin albergaba la esperanza de justificar las propiedades químicas de los átomos a partir de los anudamientos producidos entre los vórtices de éter.

Diez años después, el también británico Peter G. Tait (1831-1901) publicó su primer artículo sobre la enumeración de los tipos posibles de nudos. Algo más tarde, Tait comenzó a colaborar con el matemático C. N. Little hasta el punto de que en torno al año 1900 habían conseguido clasificar los nudos con diez entrecruzamientos. El problema que encontraron estos autores consistía en que las

La fascinante matemática de los nudos R. Alemañ Berenguer y E. Jornet Gil


herramientas formales para el estudio de los nudos no se hallaban bien desarrolladas. Por ese motivo, Tait llegó a distinguir nudos diferentes pero no pudo demostrar matemáticamente esa diferencia. A comienzos del siglo XX, por fortuna, el avance de la topología permitió abordar con mayor solvencia la tarea iniciada por Tait y Little, definiendo lo que es un nudo, probando teoremas sobre ellos y estableciendo clasificaciones que los distinguiesen.

2. Definiciones y propiedades

De forma semi-intuitiva podríamos concebir un nudo como una manera específica de insertar una circunferencia en el espacio (Lozano, 1998). Cualquier alteración de un nudo que se realice sin cortar ni volver a pegar la línea que lo representa, engendrará un nudo equivalente. Esta relación de equivalencia viene matemáticamente expresada por la existencia de una isotopía entre el nudo inicial y el final. Contemplada con amplitud, la teoría de nudos se presenta como una rama de la topología algebraica dedicada a estudiar los diversos modos de insertar un espacio topológico en otro. La forma más simple de este problema implica la inserción del círculo de radio unidad en el espacio tridimensional. Por su parte, un nudo se definiría como una curva lineal cerrada mediante diversas circunvoluciones sobre sí misma en el espacio tridimensional euclídeo R3. Como hemos visto, dos nudos se consideran equivalentes si uno puede convertirse en el otro tras una ligera deformación sin cortes ni roturas. En ese caso existe un homeomorfismo en R3 que aplica uno de los nudos sobre el otro.

La definición simple de nudo previamente esbozada –como una curva continua, simple y cerrada en un espacio tridimensional euclídeo R3– hace muy difícil manejar las deformaciones, que juegan un papel esencial en las propiedades de los nudos. En ocasiones resulta preferible definir un nudo como una curva poligonal cerrada y simple en R3. Sean, por ejemplo, dos puntos distintos en un 3-espacio, p y q, e indiquemos como [p , q] el segmento de línea que los une. Así, para un conjunto ordenado de puntos distintos, (p1, p2,……, pn), la unión de los segmentos [p1, p2], [p2, p3], …., [pn-1, pn] y [pn, p1], se denomina curva poligonal cerrada. Si además cada segmento intersecta exactamente a otros dos segmentos, intersectando a cada uno de ellos únicamente en su extremo, entonces la curva se dice simple.

Tenemos así los llamados “nudos de barras” o “nudos de varillas”, formados por segmentos rígidos. Intuitivamente, parece sencillo percatarse de que un nudo formado por una curva suave y continua podría aproximarse tanto como se quiera mediante un gran número de segmentos en una línea poligonal.

Figura 1. Línea poligonal (izq.) y su representación esquemática (dcha.)




Llegamos con todo ello a una útil definición para identificar los vértices de un nudo poligonal. Si el conjunto ordenado (p1, p2,..., pn) define un nudo, y ningún otro subconjunto ordenado y propio define el mismo nudo, los elementos {pi} del conjunto reciben el nombre de vértices.

En 1914 Max Dehn (1878 – 1952) fue el primero en probar la equivalencia, o alternativamente la inequivalencia, de dos nudos gracias a las peculiares propiedades de deformación de estos objetos matemáticos. Dos nudos se consideran equivalentes si pueden transformarse uno en otro mediante una deformación continua. En consecuencia, un nudo J se considera una deformación elemental de otro nudo K si uno de los dos queda determinado por una secuencia de puntos (p1, p2,…, pn) y el otro queda determinado por la secuencia (p0, p1, p2,…, pn), donde (1) p0 es un punto no colineal con p1 y pn, y (2) el triángulo cuyos vértices son (p0, p1, pn), intersecta el nudo constituido por (p1, p2,….,pn) tan solo en el segmento [p1, pn]. Por tanto los nudos K y J son equivalentes si hay una secuencia de nudos K = K0, K1,…,Kn = J, donde cada K(i+1) es una deformación elemental de Ki para i mayor que cero.

El diagrama de un nudo es la proyección sobre un plano de un nudo tridimensional. Bajo ciertas condiciones puede probarse que si dos nudos tienen el mismo diagrama ambos son equivalentes. Ahora bien, ¿cómo podemos confirmar la igualdad de los diagramas de dos nudos? Para comprobar la equivalencia de diagramas, en 1932 K. Reidemeister publicó unas transformaciones que llevan su nombre, los “desplazamientos de Reidemeister”. El teorema correspondiente nos asegura que si dos nudos son equivalentes sus diagramas pueden convertirse uno en otro a través de una secuencia de desplazamientos de Reidemeister. Sin embargo, para nudos complicados los cálculos requeridos por este procedimiento suelen hacerse farragosamente largos (Livingstone, 1993).

Figura 2. Ejemplos de desplazamientos de Reidemeister

Un enlace, por otra parte, consiste en la inserción de un número finito de circunferencias en el espacio. La imagen física correspondería a la de varias cuerdas cerradas, que pueden estar anudadas y a la vez enlazadas unas con otras. De ello se deduce que un nudo puede concebirse como un enlace con una sola componente. Dos diagramas representan enlaces equivalentes si, y solo si, se puede pasar de uno a otro mediante la aplicación de un número finito de desplazamientos de Reidemeister (Lozano, 1998). Los tres desplazamientos de Reidemeister recogidos en la figura 2, coinciden con las denominadas transformaciones de tipo I, II y III.

3. El estudio moderno de los nudos

Con los ilustres precedentes de Max Dehn y James Waddell Alexander II (1888-1971), uno de los especialistas que más relevantes aportaciones realizó en esta disciplina durante el siglo XX fue el británico John Horton Conway (1937-), profesor de la Universidad de Princenton. Conway es un prominente matemático que cultivó, entre otros muchos campos, la teoría de nudos, los grupos finitos



de simetría, y la teoría de autómatas celulares. Autor de más de diez libros y ciento treinta artículos sobre una amplia variedad de temas de matemáticas, también abordó las teorías de números, de juegos y de codificación. Su más interesante contribución en aritmética consistió en la creación de un nuevo sistema numérico1, “los números surreales”. Conway adquirió también popularidad por su invención de simulaciones cibernéticas de la vida celular. Este “juego de la vida” –como lo llamó Martin Gardner en su columna de la revista Scientific American– pese a estar gobernado por reglas muy simples, da lugar a un comportamiento notablemente complejo. Por estos y otros muchos méritos, Conway ingresó en la Royal Society y fue galardonado con el premio Polya de la Sociedad Matemática de Londres (James, 1999).

John H. Conway

El objetivo declarado de Conway era sencillamente descubrir un algoritmo que identificase cuándo un lazo de cuerda constituye en realidad un nudo (Conway, 1970, pp. 329-338). Puede parecer una cuestión banal, pero si nos detenemos a pensar sobre ello durante un instante nuestra impresión cambiará. Es posible componer un enrevesado manojo con los lazos cerrados de una cuerda, los cuales, sin embargo, puedan ser desatados sin cortar dicha cuerda. No es en absoluto trivial determinar qué lazos pueden ser desatados y cuáles no pueden serlo (salvo escisión o ruptura). Y el asunto se complica si ascendemos a dimensiones superiores, donde las posibilidades de enrollamiento para una cuerda aumentan enormemente.

A mediados de la década de 1930, H. Seifert demostró que si un nudo es la frontera de una superficie en un espacio tridimensional, entonces esa superficie puede usarse para estudiar el nudo. Con ello se abrió la puerta al uso de métodos geométricos en la teoría de nudos (Crowell y Fox, 1963).

1 Los números surreales fueron denominados así por Donald Knuth en su famosa novela (Knuth, 1974) sobre el tema, y el apelativo –que agradó a Conway– pronto hizo fortuna. Además de abarcar el conjunto de los reales, este nuevo tipo de números admite números “infinitos”, mayores que cualquier real, y también “infinitesimales”, más cercanos a cero que cualquier número real arbitrario. Aun pareciendo semejantes a los números hiperreales de Abraham Robinson, los surreales de Conway se construyen de manera distinta (con un procedimiento similar a los cortes de Dedekind) y contienen los hiperreales como un caso particular.




Figura 3. Desenrollamiento de un nudo

La búsqueda de métodos matemáticos que permitan diferenciar unos enlaces de otros y distinguir los que están realmente anudados de los que no, es el objetivo principal de la rama de la topología relacionada con los nudos. Para establecer una clasificación, se buscan magnitudes características denominadas invariantes de nudos y enlaces. Son cantidades cuyo valor es el mismo para todos los posibles diagramas representantes de la misma clase de equivalencia. Uno de ellos es el que se obtiene mediante el llamado polinomio de Alexander, que no posee gran capacidad de discriminación, ya que existen infinitos ejemplos de pares de nudos distintos con el mismo polinomio de Alexander (Lozano y Morton, 1990). Afortunadamente, existen otros polinomios asociados con otros invariantes para los nudos. Por ejemplo, el descubrimiento por el matemático neozelandés Vaughan Frederic Randal Jones (1952-) del polinomio que lleva su nombre para clasificar nudos (Jones, 1985; Sossinsky, 2002, pp. 71-89), le hizo merecedor de la medalla Fields, en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Kyoto en 1990. Sin embargo, también existen parejas de nudos con distinto polinomio de Alexander –razón por la cual son nudos distintos– que aun así tienen el mismo polinomio de Jones.

Como cabe suponer, la mayor parte de la teoría de nudos consiste en la búsqueda de métodos por los cuales podamos averiguar si dos nudos son equivalentes. Se ha instaurado la costumbre de añadir epítetos muy sonoros a los distintos tipos de nudos, quizás para conseguir una descripción más vívida y colorista de sus propiedades entre expertos y profanos. Así, tenemos nudos “domesticados” cuando su resolución no crea muchos problemas, nudos “salvajes” si sucede exactamente al contrario, y nudos “triviales” cuando son equivalentes a la circunferencia.

Figura 4. Dos variantes del nudo de trébol

El nudo de trébol es el único con tres cruces, lo que nos lleva hasta los métodos de clasificación de nudos, basados precisamente en el recuento de las veces que la cuerda se cruza sobre sí misma. Las tablas de clasificación de nudos, iniciadas a finales del siglo XIX, muestran hoy día una admirable sofisticación. Tras las tres cruces del nudo de trébol, tenemos también un solo nudo con cuatro cruces, tres con seis cruces, y siete nudos con siete cruces. La cantidad de nudos y cruces aumenta con rapidez; por ejemplo, hay 12.965 nudos con 13 o menos, y 1.701.935 con 16 o menos cruces.



También resulta de gran interés investigar si existe un procedimiento para descomponer un nudo en nudos más simples, de modo que sea más fácil su estudio tras dicha descomposición. En algunos casos puede descomponerse un nudo cortándolo transversalmente con una esfera en exactamente dos puntos. Los cabos del nudo cortado que quedan a ambos lados de la esfera se unen por una línea para producir dos nuevos nudos. Un nudo imposible de descomponer de este modo en dos nudos no triviales recibe el calificativo de “primo”, cuya existencia fue probada mediante procedimientos geométricos en 1947 por H. Schubert.

Cualquier nudo no primo se obtiene por una operación inversa a la de descomposición, llamada –la “suma conexa”– a partir de una colección finita de nudos primos. Esta operación, que es asociativa, dota al conjunto de los nudos de una estructura de semigrupo, cuyo elemento neutro es el nudo trivial. El hecho de que no exista elemento inverso significa que no existe manera de deshacer un nudo mediante suma conexa de otros.

Los ocho tipos de nudos más sencillos quedarían representados en el dibujo inferior:

Figura 5. Las ocho clases de nudos simples

4. Implicaciones en las ciencias de la naturaleza

Gracias al estudio y manipulación del ácido desoxirribonucléico (ADN), la biología fue el primer campo en el que se aplicó seriamente la teoría de nudos fuera de la matemática pura. Descubierto en 1953 por Watson y Crick el modelo de la doble hélice de la molécula de ADN, resulta susceptible de experimentar anudamientos y deformaciones que obstaculizarían su función, lo que sugiere la importancia de aplicar en este ámbito las consideraciones topológicas antes mencionadas. La teoría de nudos permite asimismo caracterizar la estructura espacial de las moléculas de ADN antes y después de un proceso bioquímico (transcripción, isomerización, ruptura y unión), facilitando la deducción del mecanismo enzimático involucrado. Más tarde, la teoría de nudos encontró nuevas y fecundas aplicaciones en áreas de investigación como la química molecular, la mecánica estadística o la computación cuántica. Y por si todo ello fuese poco, el físico Edward Witten descubrió en la década de 1990 que los nudos se hallan vinculados a la teoría cuántica de campos a través de los invariantes generalizados de las variedades tridimensionales que los contienen.

Nuevas aplicaciones físicas de esta fascinante rama de las matemáticas no tardaron en llegar, y fueron muchos los físicos y matemáticos de primer orden que decidieron emplear las técnicas topológicas desarrolladas para los nudos en sus propios campos de investigación. Así lo hizo Louis H. Kauffman (1945-) de la Universidad de Illinois en Chicago, con su libro Nudos y Física en el que popularizaba el uso de estos objetos en el estudio de la naturaleza (Kauffman, 1987, 2001). Comenzaba a abrirse paso la idea de que los nudos topológicos acaso fueran útiles en la búsqueda de soluciones para la elaboración de una gravedad cuántica, así como para otros problemas concernientes a la física de la materia condensada.




Louis H. Kauffman

En el campo de los sistemas dinámicos, la teoría de nudos asiste a los investigadores en el estudio de los anudamientos y enlaces formados en las trayectorias cerradas de dichos sistemas cuando se hallan inmersos para su descripción en variedades tridimensionales. Así se concluyó que en sistemas gobernados por las ecuaciones diferenciales de Lorenz en R3 solo pueden aparecer un tipo de nudos llamados “nudos positivos” (Birman y Williams, 1983). Por otro lado, los conocidos como modelos de vértices permiten obtener el polinomio de Jones a partir de las funciones de partición de la mecánica estadística. Y en la mecánica de fluidos son muy habituales los modelos con tubos de flujo y vórtices anudados o enlazados, lo que conduce a una nueva cantidad medible llamada “helicidad”. La helicidad resulta ser una magnitud invariante bajo deformaciones continuas de la estructura del fluido, lo cual permite realizar estimaciones medias de magnitudes geométricas relacionadas con el sistema (Rica y Berger, 1996).

Se ha recurrido a la teoría de nudos en el intento de esclarecer problemas de la física de partículas relacionados con la estadística fraccionaria asociada con la transformación de propiedades entre bosones y fermiones en modelos bidimensionales2. Los métodos topológicos desarrollados para los nudos han acabado generalizando los clásicos grupos de Lie, con importantes aplicaciones en teoría de cuerdas, en física de la materia condensada y en la búsqueda de invariantes en las teorías cuánticas topológicas. Pero sobre todo, a efectos del tema de este capítulo, el estudio matemático de lo nudos ha revelado insospechadas consecuencias relativas a la gravedad cuántica. Los bucles anudados que tanto atormentan a los topólogos, proporcionan de hecho una base –en el sentido algebraico– para las soluciones de las fórmulas básicas en la gravedad cuántica de lazos. Cuando se intenta cuantizar la relatividad general en su versión espacio-temporal con torsión (teorías de Einstein-Cartan), aparecen diversas cantidades llamadas bucles de Wilson (Wilson loops) relacionadas en cierto sentido con los nudos. Estas magnitudes permiten definir el ''invariante de Vassiliev'', del cual se ha conjeturado que tal vez ayude a clasificar los estados físicos de una presunta relatividad cuántica con torsión a través de los invariantes de nudo.

Sabiendo todo esto, seguro que la próxima vez que nos atemos los zapatos pensaremos con mucho más respeto en un acto aparentemente tan trivial como el de anudar dos cordones.

2 En sistemas bidimensionales se definen “cuasi-partículas”, como los anyones, cuyas estadísticas ni son fermiónicas (al permutar dos de ellas la función de onda se multiplicaría por –1) ni bosónica (la función se multiplicaría por +1). En su lugar, la función de onda de las cuasi-partículas se multiplica por un factor exp(iθ), que incluye los fermiones (θ = π) y los bosones (θ = 0) como casos particulares.



Bibliografía

Adams, C. (1994). The Knot Book: An elementary introduction to the mathematical theory of knots. San Francisco: W. H. Freeman and Co.

Birman, J.S., Williams, R.F. (1983). Knotted periodic orbits in Dynamical Systems-I: Lorenz’s equations. Topology, 22, 47–82.

Conway, J. H. (1970). An Enumeration of Knots and Links. En Leech, J. (ed.) Computational Problems in Abstract Algebra, 212-234. Pergamon Press: Oxford (England).

Cromwell, P. (2004). Knots and Links. Cambridge (U.K.): Cam. Univ. Press. Crowell, R. H., Fox, R.H. (1963): Introduction to Knot Theory. New York: Blaisdell Publishing Co. James, I. M. (1999): History of Topology. Amsterdam: Elsevier Science B.V. Jones, V.F.R. (1985). A polynomial invariant for knots via von Neumann algebras. Bull. Amer. Math.

Soc., 12, 103–112. Kauffman, L. (1987). On knots. Princeton (U.S.A.): Princeton University Press. Kauffman, L. (2001). Knots and Physics. Singapore: World Scientific Publishing Co. Knuth, D. (1974). Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and

Found Total Happiness, Boston: Addison-Wesley. Livingston, Ch. (1993). Knot theory. Washington, DC: Mathematical Association of America. Lozano, M.T. (1998). Nudos y variedades tridimensionales (Discurso de ingreso en la Real Academia

de Ciencias Exactas, Físicas, Químicas y Naturales de Zaragoza). Zaragoza: Librería General. Lozano, M.T., Morton, H. (1990). Pairs of closed 3-braids with the same Alexander polynomial (Libro

homenaje al Profesor A. Plans). Zaragoza: Universidad de Zaragoza. Rica, R.L., Berger, M.A. (1996). Topological ideas and fluid mechanics. Physics Today, 49-12, 28–34. Sossinsky, A. (2002). Knots, mathematics with a twist. Harvard: Harvard University Press.

Rafael Andrés Alemañ Berenguer (Alicante, 1966). Licenciado en CC. Químicas por la Universidad de Valencia (especialidad Bioquímica) y en CC. Físicas (especialidad Fundamental) por la UNED. Actualmente colaborador y doctorando en el Departamento de Ciencia de Materiales, Óptica y Tecnología Electrónica de la Universidad Miguel Hernández (Elche). Autor de numerosos artículos y libros de divulgación científica, también participa como asesor en distintos medios de comunicación social en temas divulgativos de carácter científico. Su labor investigadora, entre otros campos, se ocupa de las propiedades opto-electrónicas de los biomateriales así como de los fundamentos y epistemología de la física fundamental. Estrella Jornet Gil (Elche, 1966). Licenciada en CC. Económicas por la Universidad de Valencia, Máster en Comercio Extrerior y Técnica Superior en Prevención de Riesgos Laborales por la Universidad Politécnica de Valencia, es actualmente profesora de matemáticas en el I.E.S. "Las Lomas de Juan XIII" en Alicante. Consultora fiscal y financiera, ha trabajo como profesora del área económico-laboral para la Fundación de Estudios de la Administración Pública. Actualmente encabeza uno de los equipos de trabajo que desarrolla las nuevas estrategias didácticas concernientes al uso de las pizarras digitales en la enseñanza media, promovido por el gobierno autonómico valenciano.




Las Tablas y Gráficos Estadísticos como Objetos Culturales

Pedro Arteaga, Carmen Batanero, Gustavo Cañadas y J. Miguel Contreras (Universidad de Granada)

Fecha de recepción: 17 de febrero de 2010 Fecha de aceptación: 28 de mayo de 2010

Resumen Además de la presencia constante de información estadística en los medios de comunicación, muchos organismos nacionales e internacionales proporcionan en la actualidad acceso libre a sus bases de datos de información estadística a través de Internet. Surge como consecuencia la demanda social de educación estadística que permita comprender e interpretar esta información en la toma de decisiones. En este trabajo sintetizamos la investigación que describe las competencias requeridas en la construcción y lectura crítica de tablas y gráficos estadísticos.

Palabras clave Cultura estadística, tablas y gráficos estadísticos, niveles de lectura, niveles de comprensión, juicios de asociación

Abstract In addition to the constant presence of statistical information in the media, many national and international institutions provide today free access to their statistical data base through the Internet. Consequently, there is an increasing social need for statistics education that helps understand and interpret this information in decision making. In this work we summarise research describing the competences needed in building and critically reading statistical tables and graphs.

Keywords Statistical literacy; statistical tables and graphs; reading levels; understanding levels; association judgments

1. Introducción

Hoy día es constante la presencia de la estadística en nuestra sociedad, donde se reconoce su utilidad como una herramienta metodológica que permite analizar la variabilidad, determinar relaciones entre variables, diseñar estudios y experimentos y tomar decisiones adecuadas en situaciones de incertidumbre. Como consecuencia la enseñanza de la estadística se ha incorporado, desde hace unas décadas, en forma generalizada en todos los niveles educativos (Batanero, 2002). Además instituciones como la Unión Europea y la Organización de Naciones Unidas sienten la necesidad de medir el progreso en la sociedad actual, con indicadores como la cohesión social, riqueza o calidad de vida. Asimismo se proponen una serie de variables para explicar estos indicadores, como el impacto o la sostenibilidad medioambiental, la equidad o el capital humano, cuya medida es conceptualmente y técnicamente compleja. Así las agencias y oficinas estadísticas ponen a disposición de los ciudadanos toda clase de datos, con la intención de informarles y hacerles partícipes de sus decisiones, un objetivo importante en una sociedad democrática. Pero, para poder desarrollar una mejor comunicación entre estas instituciones y el público a quien se dirigen sus actividades, surge la

Las Tablas y Gráficos Estadísticos como Objetos Culturales P. Arteaga, C. Batanero, G. Cañadas y J. M. Contreras


necesidad de que los ciudadanos sean capaces de valorar dicha información, es decir, sean estadísticamente cultos (Ridgway, Nicholson y McCusker, 2008).

Este interés por mejorar la formación estadística, se ha visto también reflejado en los decretos de enseñanzas mínimas (MEC, 2006a y b), en los cuáles se aumenta los contenidos que deben ser enseñados dentro del Bloque Tratamiento de información, azar y probabilidad, en todos los ciclos de Educación Primaria. En este nivel educativo se incluye, entre otros contenidos estadísticos, el estudio de las tablas de frecuencia simple y de doble entrada y el trabajo con gráficos estadísticos, sugiriendo que los alumnos deben interpretar elementos significativos de tablas y gráficos sencillos relativos a fenómenos cercanos y aprender a construirlos. El estudio de la estadística continúa y se amplía en la Educación Secundaria Obligatoria. En dichos decretos se observa que además hay un cambio de enfoque, presentando la estadística como una metodología de resolución de problemas y promoviendo el razonamiento estadístico de los alumnos. También se valora la importancia de analizar críticamente la información presentada en la prensa y otros medios de comunicación, como herramienta valiosa para conocer y analizar mejor la realidad.

1.1. Tablas y gráficos estadísticos como objetos culturales

Uno de los retos de la enseñanza es conectar ésta con la realidad y con la sociedad del momento. Esta conexión entre escuela y vida cotidiana se podría llevar a cabo en el tema de estadística, aprovechando la presencia de datos de todo tipo en los medios de comunicación. En este sentido, Espinel (2007) indica la conveniencia de ampliar la enseñanza con algunos gráficos presentados con frecuencia en la prensa (por ejemplo los no cartesianos), que no suelen ser trabajados en la escuela. Por otro lado, el considerable aumento de nuevas tecnologías y del uso de de Internet por parte de los ciudadanos, amplia hoy día los medios de comunicación personal. El éxito de las redes sociales como Youtube o Facebook, donde las personas tienen oportunidad de presentar información sobre ellos mismos, de blogs o páginas web de todo tipo, incrementa las oportunidades de encontrar y descargar gran variedad de datos estadísticos sobre diversos temas de actualidad. Una de las competencias básicas que se pretende transmitir al alumnado en los decretos de enseñanzas mínimas (MEC, 2006 a y b) es la de “aprender a aprender”. No hay duda que la gran cantidad de información estadística disponible en Internet en estos momentos proporciona amplias oportunidades de aprendizaje sobre los temas más variados; pero esta oportunidad será desaprovechada si no se dispone de los conocimientos básicos que permitan interpretar dicha información.

Además de por su presencia en los medios de comunicación e Internet, el aprendizaje de las tablas y gráficos estadísticos es importante, por otros muchos motivos. Por un lado, son un potente instrumento para comunicar información y para resumirla en forma eficiente (Cazorla, 2002). Wild y Pfannkuch (1999) hablan de la transmumeración como uno de los modos esenciales de razonamiento estadístico, que consiste en obtener una nueva información, que no estaba disponible en un conjunto de datos al cambiar de un sistema de representación a otro. En este sentido, los gráficos y tablas son instrumentos de transnumeración por su papel esencial en la organización, descripción y análisis de datos. Por ejemplo, en la Figura 1, se representan datos tomados de Rouncenfield (1995) sobre esperanza de vida al nacer y tasa de natalidad (número de niños vivos nacidos por cada 1000 habitantes en un año) en un total de 97 países. El diagrama cartesiano de dispersión muestra una tendencia decreciente, que indica la existencia de una correlación negativa entre estas dos variables y permite conjeturar que la relación no es exactamente de tipo lineal, por lo que habría que analizar diferentes familias de curvas, para encontrar cuál sería la línea de regresión más adecuada para sintetizar estos datos. Toda esta información proporcionada por el diagrama de dispersión era muy difícilmente visible en el listado de datos brutos, por lo que al pasar del listado al diagrama hemos realizado un proceso de transnumeración.




Figura 1. Esperanza de vida en función de la tasa de natalidad

La importancia de tablas y gráficos se debe también a que la ciencia las utiliza como representaciones semióticas externas para construir y comunicar los conceptos abstractos. Por tanto, el aprendizaje de los conceptos científicos está ligado al de estas representaciones y al de sus procesos de construcción y transformación. Estas representaciones se usan también en las ciencias como puente entre los datos experimentales y las formalizaciones científicas y ayudan a determinar las relaciones entre las variables que intervienen en los fenómenos, para poder modelizarlos. En la enseñanza de las ciencias, las tablas y gráficos también ayudan a visualizar conceptos y relaciones abstractas difíciles de comprender (Postigo y Pozo, 2000). Por ejemplo, en la tabla 1 presentamos datos del peso de 2000 recién nacidos, clasificando las madres como fumadoras o no. Este tipo de tabla (tabla de contingencia) es una herramienta en el estudio del concepto de asociación estadística. La proporción de niños bajo de peso en el ejemplo es .172 en las madres fumadoras y solo .06 en las no fumadoras, por lo que el riesgo relativo de tener un niño bajo de peso no es el mismo en los dos grupos de mujeres en esta muestra. Si la muestra hubiese sido tomada al azar entre una población de mujeres que fuesen iguales en otras características que puedan influir en el peso del niño (por ejemplo, edad o condiciones físicas), diríamos que las variables están asociadas. La comprensión de los conceptos de asociación y riesgo relativo se facilita con ejemplos presentados en tablas de doble entrada (denominadas también tablas de contingencia).

Bajo de peso Peso normal Total

Madre fumadora 43 207 250 Madre no fumadora 105 1645 1750

Total 158 1852 2000

Tabla 1. Peso de recién nacidos en madres fumadoras y no fumadoras

Watson (2006), por su parte, resalta la importancia de las tablas y gráficos, por facilitar la transición entre el muestreo u obtención de datos y el cálculo de resúmenes estadísticos. Esto es debido a que, una vez construido el gráfico o tabla, los datos ya han sido organizados y agrupados según los distintos valores de una o varias variables estadísticas y por tanto su interpretación puede ser



de gran ayuda a la hora de calcular e interpretar las medidas de tendencia central y de dispersión. Así, la tabla 1 sería un primer paso en el análisis estadístico más formal entre las variables, que podría continuar con la realización de un contraste Chi-cuadrado, para analizar si la asociación observada en la muestra, supuesta esta elegida al azar de la población, es estadísticamente significativa.

En lo que sigue, analizamos en primer lugar la importancia actual de la cultura estadística y las definiciones de este término por diversos autores y seguidamente describimos las competencias relacionadas con la interpretación y construcción de tablas y gráficas. Finalizamos con algunas recomendaciones para la enseñanza del tema y formación de profesores.

2. ¿Qué es la cultura estadística?

En los últimos años se ha venido forjando el término “statistical literacy” para reconocer el papel del conocimiento estadístico en la formación elemental (Moreno, 1998; Murray y Gal, 2002). Diversos autores han intentado describir la naturaleza de la cultura estadística y constructos relacionados con ella, tales como “conocimiento estadístico” y “razonamiento estadístico”. Aunque hay desacuerdos entre las distintas definiciones, todos comparten la necesidad actual de que los ciudadanos sean capaces de tratar con diversos tipos de informaciones estadísticas y sus representaciones que se les presentan por distintos medios de comunicación y en distintos contextos de su vida. Algunas indicaciones de la importancia de este movimiento son el Sexto Congreso Internacional sobre Enseñanza de la Estadística (http://icots6.haifa.ac.il/icots6.html) que estuvo dedicado a “El desarrollo de una sociedad estadísticamente culta”, las seis ediciones del International Research Forum on Statistical Reasoning, Thinking and Literacy (http://srtl.stat.auckland.ac.nz/); el International Statistical Literacy Project (http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase/islp/) y la página web Statistical Literacy (http://www.statlit.org/) que incluye actividades, libros, materiales y un boletín con el mismo nombre.

Muchos estadísticos han reflexionado sobre esta idea, debido a la necesidad de conseguir que la sociedad valore y colabore en su trabajo. Como señala Ottaviani (1998): “los estadísticos sienten la necesidad de difusión de la estadística, no sólo como una técnica para tratar los datos cuantitativos, sino como una cultura, en términos de capacidad de comprender la abstracción lógica que hace posible el estudio cuantitativo de los fenómenos colectivos” (p. 1). Ello requiere conseguir que la educación estadística básica sea una realidad para todos.

Gal (2002, pg. 2) define la cultura estadística como unión de dos competencias relacionadas: “a) Interpretar y evaluar críticamente la información estadística, los argumentos apoyados en datos o los fenómenos estocásticos que las personas pueden encontrar en diversos contextos, incluyendo los medios de comunicación, pero no limitándose a ellos, y b) discutir o comunicar sus opiniones respecto a tales informaciones estadísticas cuando sea relevante.”

Watson (1997) sugiere que la cultura estadística implica ser capaz de comprender el texto, significado e implicaciones de la información estadística en el contexto en que se presenta y que incluye tres componentes de sofisticación progresiva: el conocimiento básico de los conceptos estadísticos, la comprensión de los razonamientos y argumentos estadísticos cuando se presentan dentro de un contexto más amplio de algún informe en los medios de comunicación o en el trabajo y una actitud crítica que se muestra al ser capaz de cuestionar argumentos que estén basados en evidencia estadística no suficiente o sesgada. Gal (2002) partió de este modelo para construir el suyo propio en el que englobó elementos de conocimiento estadístico y matemático, habilidades básicas de lectura, conocimiento del contexto y capacidad crítica.




Garfield (1999) considera como componentes de la cultura estadística la comprensión del lenguaje estadístico y capacidad de interpretar tablas y gráficos, así como el poder dar sentido a los datos que aparecen en la prensa, encuestas y otras situaciones cotidianas. Rumsey (2002), por su parte prefiere hablar de competencia estadística, incluyendo en ella las competencias básicas necesarias en el razonamiento y pensamiento estadístico. Para esta autora la competencia estadística básica requiere una percepción de los datos, comprensión de conceptos estadísticos básicos y su terminología, así como de los principios básicos de recogida, representación y resumen de datos. También es necesario alcanzar unas habilidades básicas de interpretación de la información y de comunicación de resultados a otra persona.

Más recientemente, en un informe sobre el tema (Department of Education, National Center for Education Statistics, 2006) se considera como cultura estadística la capacidad de usar información impresa y escrita para funcionar en la sociedad, alcanzar los propios objetivos y desarrollarse como persona. La evaluación de estas capacidades en los adultos ha proporcionado resultados pobres, pues en este informe indica que sólo el 13% de los adultos son capaces de alcanzar un nivel superior (dentro de cuatro niveles posibles) y el 22% están bajo los niveles mínimos, es decir, no alcanzan las capacidades estadísticas básicas para funcionar en la sociedad de la información. Vemos pues que cultura estadística es algo más que capacidad de cálculo y conocimiento de definiciones. A continuación analizamos estas competencias para dos objetos estadísticos básicos: las tablas y los gráficos.

3. Lectura e interpretación de tablas y gráficos

Como se observa en la anterior discusión, hay un acuerdo general en que una persona culta debiera poder leer críticamente las tablas y gráficos estadísticos que encuentra en la prensa, Internet, medios de comunicación, y trabajo profesional. Esto supone no sólo la lectura literal de la tabla o gráfico, sino identificar las tendencias, variabilidad y posible asociación de los datos, así como detectar los posibles errores conscientes o inconscientes que puedan distorsionar la información representada (Schield, 2006).

3.1. Niveles en la lectura

Muchas de las tablas que aparecen en la prensa o Internet, combinan diversos tipos de información numérica (frecuencias, razones, porcentajes), clasificada en función de dos o más variables. Por otro lado, un gráfico es un objeto semiótico complejo, en el que podemos identificar los siguientes elementos estructurales, cada uno de los cuáles tiene sus propios convenios de construcción e interpretación que deben ser adquiridos por los estudiantes (Friel, Curcio y Bright (2001):

• El título y las etiquetas indican el contenido contextual y cuáles son las variables en él representadas. Este elemento aparece también en las tablas.

• El marco del gráfico, que incluye los ejes, escalas, y marcas de referencia en cada eje. Dicho marco proporciona información sobre las unidades de medida de las magnitudes representadas. Puede haber diferentes tipos de marcos y sistemas de coordenadas (lineales, cartesianas bidimensionales o multidimensionales, polares). En las tablas también se incluyen etiquetas que diferencian las variables representadas, sus valores y diferentes tipos de frecuencias y porcentajes.

• En los gráficos hay que tener también en cuenta sus especificadores, es decir, los elementos visuales usados para representar los datos, como los rectángulos (en el histograma) o los puntos (en el diagrama de dispersión). Los autores nos alertan de que no todos los especificadores son igualmente sencillos de comprender, sugiriendo el



siguiente orden de dificultad: Posición en una escala homogénea (gráficos de línea, de barras, de puntos, algunos pictogramas e histogramas); posición en una escala no homogénea (gráficos polares, gráficos bivariantes); longitud (gráficos poligonales o estrellados sin ejes de referencia, árboles), ángulo o pendiente (gráfico de sectores, discos), área (círculos, pictogramas), volumen (cubos, algunos mapas estadísticos), color (mapas estadísticos codificados mediante color).

Para poder leer e interpretar tablas y gráficos es necesario, aunque no suficiente, conocer estos elementos estructurales y los convenios relacionados con los mismos. Diversos autores han analizado las habilidades implícitas en la lectura y comprensión de tablas y gráficos estadísticos, siendo la clasificación más conocida la de Curcio (1989), quien definió los siguientes niveles, que también pueden considerarse para la lectura de tablas:

• “Leer entre los datos” (lectura literal del gráfico o tabla sin interpretar la información contenida en el mismo). Por ejemplo, en la figura 1, ser capaz de ver cuántos países tienen una tasa de natalidad igual a 20 niños por 1000 habitantes o leer la esperanza de vida que corresponde a cada uno. En la tabla 1 identificar el número de niños con bajo peso en las madres fumadoras.

• "Leer dentro de los datos" (interpretación e integración de los datos de la tabla o gráfico). Esta capacidad requiere la comparación de datos o la realización de operaciones con los datos. Un ejemplo en la figura 1 sería apreciar si la esperanza de vida es mayor en los países con tasa de natalidad 20 o 30 niños por 1000 habitantes o bien calcular el valor medio de la esperanza de vida en países con tasa de natalidad igual a 20 niños por 1000 habitantes. En la tabla 1, un ejemplo sería que la proporción de niños bajo de peso es mayor en mujeres fumadoras que no fumadoras.

• “Leer más allá de los datos" (realizar predicciones e inferencias a partir de los datos sobre informaciones que no se reflejan directamente en el gráfico o tabla). Por ejemplo, ser capaz de observar que a mayor esperanza de vida en la figura 1 hay menor tasa de natalidad. En la tabla 1 deducir que hay una asociación entre las variables representadas.

Friel, Curcio y Bright (2001) amplían la clasificación anterior, definiendo un nuevo nivel “leer detrás de los datos” consistente en valorar críticamente el método de recogida de datos, su validez y fiabilidad, así como las posibilidades de extensión de las conclusiones. En la figura 1, alcanzar este nivel implicaría reconocer que si la política de un país hace aumentar la tasa de natalidad, ello no implicaría una reducción de la esperanza de vida en el mismo. En la tabla 1, preguntarse si la muestra de mujeres fue aleatoria o había alguna variable que pudiera causar la asociación. Cuando se considera no sólo la interpretación de los gráficos, sino también su valoración crítica, los niveles superiores se modifican ligeramente y la categoría “leer detrás de los datos”, puede subdividirse, en función de la capacidad crítica, respecto a la información reflejada en el gráfico (Aoyama, 2007):

• Nivel Racional/Literal: Los estudiantes leen correctamente el gráfico o tabla, incluyendo la interpolación, detección de tendencias y predicción, pero no cuestionan la información, ni dan explicaciones alternativas. Serían los estudiantes que en los ejemplos dados observan la relación entre las variables, pero no tratan de explicarla.

• Nivel Crítico: Los estudiantes leen los gráficos, comprenden el contexto y evalúan la fiabilidad de la información, cuestionándola a veces, pero no son capaces de buscar hipótesis que expliquen la discordancia entre un dato y una interpretación del mismo. En los ejemplos dados, los estudiantes podrían plantearse la posibilidad de que hubiese otras variables que afectasen a la asociación observada, pero no serían capaces de poner ejemplos de los mismos.




• Nivel Hipotético: Los estudiantes leen los gráficos los interpretan y evalúan la información, formando sus propias hipótesis y modelos. Al leer la tabla o el gráfico 1os estudiantes querrían obtener más información sobre los países con alta natalidad y baja esperanza de vida o sobre la relación entre tabaco y peso del recién nacido en Internet u otros medios para decidir con esta información cuál es la variable que explica la asociación observada.

3.2. Estrategias y concepciones en los juicios de asociación

Otro tipo de investigaciones se ha centrado en las estrategias que usan las personas para realizar juicios de asociación entre las variables representadas en tablas y gráficos, por ejemplo, analizar si hay algún tipo de relación (directa-inversa; fuerte-moderada) entre la esperanza de vida y la tasa de natalidad (figura 1) o ser fumadora y tener un niño bajo de peso (tabla 1). También analizan las concepciones subyacentes en estas estrategias. El problema resulta de gran interés en psicología, y está relacionado con la toma de decisiones en ambiente de incertidumbre (Scholz, 1987) porque en muchas de estas decisiones se necesita un juicio sobre la asociación de las variables. Matemáticamente, la asociación es una extensión de la idea de dependencia funcional; admitiendo la existencia de correspondencia o relaciones entre dos variables de tipo aleatorio, que pueden variar en intensidad desde la independencia hasta la dependencia funcional. En el caso de variables numéricas, como las representadas en la Figura 1 esta asociación de mide mediante el coeficiente de correlación (variando desde -1 a +1) que proporciona información sobre la intensidad de la asociación (más fuerte conforme el valor absoluto del coeficiente se acerca a 1 en caso que la relación sea de tipo lineal) y la dirección (dada por el signo). En el caso de variables cualitativas hay otros coeficientes, como el de contingencia que varían de 0 a 1, pero el signo solo se considera en tablas de dos filas y dos columnas, como la tabla 1 (tabla 2x2).

La investigación sobre los juicios de asociación fué iniciada por Inhelder y Piaget (1951), quienes consideraron que la comprensión de este concepto implica las de proporción y probabilidad. Los autores sólo consideraron variables cualitativas en sus trabajos e indican como variables que puede dificultar un juicio de asociación la intensidad y el signo de la misma (en el caso de variables numéricas del coeficiente de correlación) y el tamaño de la muestra. En una primera etapa de comprensión del concepto, para juzgar una asociación en la tabla de contingencia, los sujetos solo usarían una celda de la tabla (madres fumadoras con hijos bajo de peso en la tabla 1). En un segundo nivel usarían dos datos, por ejemplo, compararían el número de hijos bajo de peso en madres fumadoras y no fumadoras, trabajando con frecuencias absolutas. Una comprensión completa de la asociación requiere el uso de todos los datos y comparar las proporciones de niños bajos de pesos en los dos grupos. Otra variable que complica los juicios de asociación es la existencia de teorías previas sobre las relaciones entre variables, pues en caso de haberlas, los sujetos se guían por sus teorías para datos con asociación moderada, aunque siguen los datos si esta asociación es muy fuerte y visible (Chapman y Chapman, 1967).

En España han sido Estepa y sus colaboradores quienes han trabajado con más detalle sobre este tema (Estepa, 1994; Estepa y Batanero, 1995; Estepa y Batanero, 1996; Estepa y Sánchez, 2000), identificando estrategias usadas en los juicios de asociación en variables numéricas dadas mediante gráficos similares al de la Figura 1. Como estrategias correctas señalan el análisis de la tendencia del gráfico (decreciente en el ejemplo, lo que indica una asociación inversa entre las variables) o la dispersión de los puntos (moderada en el ejemplo, lo que sugiere que la asociación es moderada. También piden a los sujetos argumentar sus respuestas, identificando algunas concepciones incorrectas sobre la asociación:



• Concepción causal: cuando los sujetos identifican asociación y causalidad. La relación causal estricta ocurre cuando al variar una variable X (por ejemplo, al cambiar la cantidad de agua en un recipiente) otra variable Y cambia (el peso del recipiente cambiará). Es difícil de hallar en el mundo real relaciones perfectas de causa y efecto y por ello los estadísticos hablan de relación de causa débil cuando al variar X cambia la probabilidad de que varíe Y (Díaz, 2007). En este caso las variables estarán asociadas. Por ejemplo, a mayor número de horas de estudio aumenta la probabilidad de una mejor nota, pero no es seguro, pues el alumno podría hacer un mal examen por un cansancio excesivo. Por otro lado dos variables pueden mostrar asociación, sin que una de ellos sea causa de la otra, ni siquiera en sentido estadístico, como observamos en el ejemplo de la Figura 1. Los alumnos que tienen una concepción causal, al analizar dicha figura dirían que no hay asociación, pues la relación es debida a una tercera variable que hace variar conjuntamente la tasa de natalidad y la esperanza de vida;

• Concepción local: cuando los sujetos usan sólo una parte de los datos para dar su juicio. Por ejemplo, usarían sólo una celda o una fila en la tabla 1 y algunos puntos aislados en el gráfico 1 para realizar el juicio de asociación.

• Concepción determinista, cuando los sujetos sólo admiten la asociación en caso de relación funcional perfecta (no se admitiría asociación en ninguno de los dos ejemplos). Los sujetos que tienen esta concepción esperan una correspondencia que a cada valor de la variable independiente asigne un sólo valor de la dependiente. Así en la tabla 1 esperarían que todas las mujeres fumadoras, sin excepciones tuviesen hijos bajos de peso. En el caso de la figura 1 se esperaría que los puntos de la gráfica se situasen bien una recta o sobre la gráfica de otro tipo de función.

Como vemos, la interpretación crítica de tablas y gráficos moviliza diversos conocimientos y experiencias y es un proceso complejo en el que se requiere el conocimiento y puesta en práctica de muchos conceptos, jugando un papel primordial el contexto (Monteiro y Ainley, 2004). Monteiro y Ainley (2007) se preocupan de la laguna existente entre la interpretación de gráficos estadísticos en contexto escolar y contextos extra-escolares, como la prensa. En el contexto escolar, se insiste en los conocimientos y procesos estadísticos, prestando poca atención al contexto social del que han sido tomados los datos, lo que lleva a fallos al interpretar gráficos en que le contexto juega un papel importante. Por eso recomiendan que en la escuela se busquen ejemplos tomados de la vida cotidiana o los medios de comunicación, que puedan motivar a los estudiantes y hacerles ver la utilidad de la estadística en su formación.

4. Construcción de tablas y gráficos

También es posible definir varios niveles de dificultad en la construcción de tablas y gráficos. Por ejemplo Arteaga (2008) propuso una clasificación de los gráficos, que podría extenderse a la construcción de tablas, en función de su complejidad y los niveles de lectura que posibilitan en la clasificación de Curcio (1989) y Friel, Curcio y Bright (2001). A continuación describimos los niveles, mostrando en las figuras 2 y 3 ejemplos de gráficos producidos por participantes en la investigación de Arteaga (2008), quienes partieron de un listado de datos. Cada uno de los estudiantes realizó un experimento consistente en obtener dos secuencias, una simulada y otra real, al lanzar una moneda 20 veces, y a partir de los datos obtenidos se propuso a los estudiantes que realizasen el estudio de dos variables estadísticas (número de caras en cada una de las secuencias), pidiéndoles que las representaran. Los gráficos producidos se clasificaron según cuatro categorías, cada una de las cuáles implica un nivel superior de competencia gráfica:




• Representación de datos individuales: Cuando el estudiante sólo incluye en el gráfico un dato o una pequeña parte de los datos (y no el conjunto completo), como en el primer ejemplo de la Figura 2.

• Representación de un conjunto de datos, sin llegar a resumir su distribución: El estudiante representa los datos tal y como los ha recogido, sin llegar a clasificarlos ni calcular la frecuencia de diferentes valores (segundo ejemplo de la Figura 2). En una tabla, sería equivalente a dar un listado de datos desordenados. Hacemos notar que los gráficos de nivel 1 y 2 sólo permiten una lectura de datos literal (leer los datos) en la terminología de Curcio (1989) pues este tipo de gráficos no permite hacer inferencias o resaltar tendencias en los datos.

• Representación de una distribución de datos (primer ejemplo de la Figura 3). El alumno clasifica los datos y calcula la frecuencia de cada valor, llegando a utilizar el concepto de distribución de frecuencias y a representar la distribución. Este tipo de gráfico permite la “lectura entre los datos” en la clasificación de Curcio (1989), es decir, realizar comparaciones y detectar tendencias. Una tabla de frecuencias ordinaria sería un ejemplo de tabla nivel 3.

• Representación de varias distribuciones sobre un mismo gráfico (Segundo ejemplo en la figura 3). Además de formar y representar la distribución de datos, el estudiante es capaz de conjugar más de una variable, como en el segundo gráfico de la figura 3 o en la tabla 1.

Nivel 1. Datos individuales Nivel 2. No forma la distribución

Figura 2. Gráficos de nivel 1 y 2

Los gráficos de mayor nivel de construcción en la anterior clasificación, permiten mayor nivel de lectura en la clasificación de Curcio (1989) y por ello facilitan la resolución de problemas estadísticos. Por ejemplo, en los gráficos de los niveles 1 y 2 (de la clasificación de Arteaga) no se pude detectar la tendencia en los datos. Pero, al mismo tiempo, los errores de interpretación de los mismos crecen con esta complejidad. Aunque en el trabajo de Arteaga (2008) no todos los participantes que llegaron a los niveles 3 y 4 en la construcción del gráfico fueron capaces de interpretan correctamente los gráficos construidos para obtener conclusiones sobre el problema planteado.

Por otro lado, la competencia gráfica supone que los gráficos construidos sean correctos, aunque es frecuente elegir un gráfico no adecuado al tipo de variable representada o bien representar variables cuya comparación no tiene sentido en un mismo gráfico (Li y Shen, 1992). Espinel (2007) describe



también errores en la representación de escalas numéricas en la recta real, representación de intervalos, construcción del histograma y el polígono de frecuencias. Esta autora también observó que algunos futuros profesores no tienen coherencia entre su construcción del gráfico y la forma en que evaluaron las respuestas de estudiantes ficticios.

Nivel 3. Distribución de una variable Nivel 4. Distribución de varias variables

Figura 3. Gráficos de nivel 3 y 4

5. Implicaciones para la enseñanza

Como hemos puesto de manifiesto en la exposición, actualmente son numerosas las agencias internacionales y oficinas estadísticas que ponen a disposición de los ciudadanos (por ejemplo en Internet) toda clase de datos, en un esfuerzo para desarrollar una mejor comunicación entre los productores de estadísticas y los consumidores. Muchas de dichas informaciones son presentadas en forma de gráficos estadísticos y tablas, por lo que una persona estadísticamente culta debiera ser capaz de comprender e interpretar las distintas formas de presentación de datos estadísticos para aprender e informarse sobre los temas más variados. Los gráficos de barras pueden introducirse desde edades tempranas y ofrecen la oportunidad de desarrollar relaciones con otras áreas del currículo de matemáticas, ya que para su interpretación en temas familiares para los alumnos (por ejemplo medio de locomoción preferido por los alumnos de una clase para llegar a la escuela) son sólo necesarias habilidades relacionadas con las correspondencias biunívoca, suma y resta. En niveles superiores y para gráficos de barras más complicados, serán necesarios conocimientos de proporcionalidad y porcentajes para una correcta interpretación. El aprendizaje puede ampliarse progresivamente con otros tipos de gráficos. Es importante también hacer notar a los estudiantes las relaciones existentes entre los distintos gráficos y observar que no todos son adecuados para una misma situación. Además el estudio de dichas relaciones puede facilitar la comprensión de gráficos más complejos, por ejemplo se puede enseñar la construcción de un gráfico de cajas a partir de un grafico de tallo y hojas, que permite obtener fácilmente los valores de los cuartiles de la distribución necesarios para construir el grafico de cajas.

Con el objetivo de formar ciudadanos estadísticamente cultos, Watson (1997) propone que en la escuela se deberían introducir también tareas en las que los estudiantes tengan que crear sus producciones gráficas a partir de datos de distintas variables estadísticas proporcionados por el profesor. Los alumnos deberán pensar entre posibles relaciones entre las distintas variables y crear sus propias representaciones gráficas para contrastar así sus hipótesis iniciales. También podrían realizar gráficos a partir de afirmaciones estadísticas en las que de manera verbal se describan asociaciones




entre variables, pero sin datos numéricos. La autora asegura que a lo largo de su vida los estudiantes se encontraran con informaciones estadísticas en las que no se muestren los datos en los que se basan y en estas ocasiones las representaciones graficas pueden ser de gran ayuda para la comprensión de las mismas.

Además, la mayoría de los datos y sus representaciones disponibles en la prensa o Internet son multivariantes, mostrando asociaciones complejas entre las variables, que rara vez son lineales. El currículo escolar ofrece pocas posibilidades para trabajar con este tipo de datos, pues la enseñanza de la estadística usualmente se reduce al estudio de variables aisladas. Es una prioridad asegurar la formación estadística, para superar las dificultades descritas y contribuir a la mayor cultura estadística de nuestra sociedad. El desarrollo actual de las tecnologías ofrece nuevas herramientas para la enseñanza de la estadística que pueden contribuir a resolver este problema. Ridgway, Nicholson y McCusker (2008) han diseñado un software que permite analizar gráficos estadísticos interactivos y trabajar con datos reales y multivariantes (ver http://www.dur.ac.uk/smart.centre/freeware/). Los ejemplos propuestos por los autores permiten estudiar temas de interés social, como el consumo de alcohol en los jóvenes o el empleo. Ridgway, Nicholson y McCusker indican que sería necesario enseñar a los estudiantes las siguientes heurísticas relacionadas con la comprensión gráfica:

• Ser crítico con la fuente de los datos, exigiendo calidad en los datos. • Identificar las variables del estudio, su tipo (cualitativa, cuantitativa) y papel en el

estudio (dependiente, independiente). • Describir y explorar los datos a fondo antes de intentar obtener conclusiones. • Buscar relaciones no lineales entre las distintas variables y cambios a lo largo del

tiempo. • En caso de que se lleve a cabo un estudio de inferencia, evaluar en el efecto de las

variables explicativas (tamaño de la diferencia de medias en los grupos analizados) y no sólo la significación estadística de los datos. Comprobar, asimismo, mediante el cálculo de intervalos de confianza que las diferencias de la variable dependiente en los grupos es sustancialmente mayor que el del error aleatorio.

El trabajo con información estadística extraída de los medios de comunicación sería otra estrategia pedagógica para acortar distancias entre los contextos escolares y extra-escolares. Pero habría que ser cuidadoso eligiendo gráficos y tablas que sean accesibles para los alumnos, y traten de temas familiares para ellos (Monteiro y Ainley, 2006). Finalmente resaltamos que la formación de ciudadanos “estadísticamente cultos” requiere también la preparación previa de los profesores que han de educarlos. El paso al título de grado en la formación de los maestros proporciona una oportunidad valiosa para la mejora de la cultura estadística de los futuros profesores.

Agradecimientos: Este trabajo forma parte del proyecto SEJ2007-60110 (MEC- FEDER), beca FPU AP2007-03222 y beca FPI BES-2008-003573.

Bibliografía

Aoyama. K. (2007). Investigating a hierarchy of students’ interpretations of graphs. International Electronic Journal of Mathematics Education, 2(3). On line: http://www.iejme/.

Arteaga, P. (2008). Análisis de gráficos estadísticos elaborados en un proyecto de análisis de datos. Trabajo fin de Master. Departamento de Didáctica de la Matemática.

Batanero, C. (2002). Los retos de la cultura estadística. Conferencia en las Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística, Buenos Aires. Confederación Latino-americana de Sociedades de Estadística.



Cazorla, I. (2002). A relaçao entre a habilidades viso-pictóricas e o dominio de conceitos estatísticos na leitura de gráficos. Tesis Doctoral. Universidad de Campinas.

Chapman, L. J. y Chapman, J. P. (1969). Illusory correlation as an obstacle to the use of valid Psychodiagnostic signs, Journal of Abnormal Psychology, 74, 271-280.

Curcio, F. R. (1989). Developing graph comprehension. Reston, VA: N.C.T.M. Department of Education, National Center for Education Statistics. (2006). The condition of education

2006. Online: http://nces.ed.gov/programs/coe/2006/analysis/sa03b.asp. Díaz, C. (2007). Viabilidad de la enseñanza de la inferencia bayesiana en el análisis de datos en

psicología. Tesis doctoral. Universidad de Granada. Espinel, C. (2007). Construcción y razonamiento de gráficos estadísticos en la formación de

profesores. Investigación en Educación Matemática XI, 99-119. Estepa, A. (1994). Concepciones iniciales sobre la asociación estadística y su evolución como

consecuencia de una enseñanza basada en el uso de ordenadores. Tesis Doctoral. Universidad de Granada.

Estepa, A. y Batanero, C. (1995). Concepciones iniciales sobre la asociación estadística. Enseñanza de las Ciencias, 13(2), 155-170.

Estepa, A. y Batanero, C. (1996). Judgments of correlation in scatter plots: An empirical study of students' intuitive strategies and preconceptions. Hiroshima Journal of Mathematics Education, 4, pp. 25-41.

Estepa, A. y Sánchez, F. T. (2000). Empirical research on the understanding of association and implication for the training of researchers. En C. Batanero (Ed.), Training researchers in the use of statistics (pp. 37-51). Granada: International Association For Statistical Education.

Friel, S., Curcio, F. y Bright, G. (2001). Making sense of graphs: critical factors influencing comprehension and instructional implications. Journal for Research in Mathematics Education 32(2), 124-158.

Gal, I. (2002). Adult's statistical literacy: Meaning, components, responsibilities. International Statistical Review 70(1), 1-25.

Garfield, J. (1999). Thinking about statistical reasoning, thinking, and literacy. Trabajo presentado en el First Statistical Thinking, Reasoning, and Literacy (STRL-1). Tel-Aviv: Weizmann Institute of Science,

Inhelder, B. y Piaget, J. (1955). De la logique de l´enfant à la logique de l´adolescent. París: Presses Universitaires de France.

Li, D. Y. y Shen, S. M. (1992). Students’weaknesses in statistical projects. Teaching Statistics 14 (1), 2-8.

MEC (2006a). Real Decreto 1513/2006, de 7 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Primaria.

M.E.C. (2006b). Real Decreto 1631/2006, de 29 de diciembre, por el que se establecen las enseñanzas mínimas correspondientes a la Educación Secundaria Obligatoria.

Monteiro, C. y Ainley, J. (2004). Critical sense in interpretation of media graphs. En A. Cockburn y E. Nardi (Eds.), Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 3. pp. 361-368). Norwich, UK: East Anglia University.

Monteiro, C. y Ainley, J. (2007). Investigating the interpretation of media graphs among student teachers. International Electronic Journal of Mathematics Education 2 (3), 188-207. On line: http://www.iejme/.

Monteiro, C. y Ainley, J. (2006). Student teachers interpreting media graphs. En A. Rossman & B. Chance (Eds.), Proceedings of the Seventh International Conference on Teaching Statistics, Salvador, Brazil: International Statistical Institute and International Association for Statistical Education. Online: http://www.stat.auckland.ac.nz/~iase.

Moreno, J. (1998). Statistical literacy: statistics long after school. In L. Pereira-Mendoza (Ed.), Proceedings of the Fifth International Conference on Teaching Statistics. Singapur: International Statistics Institute. On line: http://www. stat.auckland.ac.nz/~iase.




Murray, S. y Gal, I. (2002). Preparing for diversity in statistics literacy: Institutional and educational implications. En B. Phillips (Ed.), Proceedings of the Sixth InternationalConference on Teaching of Statistics. Cape Town: International Statistics Institute. On line: http://www. stat.auckland.ac.nz/~iase.

Ottaviani, M. G. (1998). Developments and perspectives in statistical education. Proceedings IASS/IAOS Joint Conference, Statistics for Economic and Social Development, [CD-ROM]. Aguascalientes: International Association for Official Statistics.

Postigo, Y. y Pozo, J. I. (2000). Cuando una gráfica vale más que 1000 datos: la interpretación de gráficas por alumnos adolescentes. Infancia y Aprendizaje, 90, 89 - 110.

Ridgway, J., Nicholson, J. y McCusker, S. (2008). Mapping new statistical Literacies and Iliteracies. International Conference on Mathematics Education, Trabajo presentado en el 11th International Congress on Mathematics Education, Monterrey, Mexico.

Rouncenfield, M. (1995). The statistics of poverty and inequality. Journal of Statistics Education, 3(2).

Rumsey, D. J. (2002). Statistical literacy as a goal for introductory statistics courses. Journal of Statistics Education 10(3). Online: http://www.amstat.org/publications/jse/.

Schield, M. (2006). Statistical literay survey analysis: reading graphs and tables of rates and percentages. En B. Phillips /Ed.), Proceedings of the Sixth International Conference on Teaching Statistics. Cape Town: International Statistical Institute. On line: http://www. stat.auckland.ac.nz/~iase.

Scholz, R. (1987). Decision making under uncertainly. Amsterdam. North Holland. Watson, J. (1997). Assessing statistical literacy through the use of media surveys. En I. Gal y J. B.

Garfield (Eds.). The assessment challenge in statistics education (pp. 107-121). Amsterdam: IOS Press.

Watson, J. M. (2006). Statistical literacy at school: growth and goals. Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates.

Wild, C. y Pfannkuch, M. (1999). Statistical thinking in empirical enquiry (con discusión). International Statistical Review, 67(3), 223-265.

Pedro Arteaga Cezón, Facultad de Ciencias de la Educación, Universidad de Granada, Licenciado en Matemáticas en 2007 en la Universidad Complutense de Madrid, se encuentra actualmente realizando su doctorado en Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Granada y es becario dentro del programa de Formación del Profesorado Universitario desde Julio del 2008. Carmen Batanero Bernabeu, Facultad de Ciencias de la Educacion, Universidad de Granada, es doctora en Matemáticas. Su línea de investigación es la Educación Estadística, tema sobre el que ha coordinado varios grupos de trabajo y dirigido tesis 14 doctorales. Fue presidenta de la International Association for Statistical Education (IASE) y miembro de la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) Ha publicado trabajos en revistas nacionales e internacionales (ver http://www.ugr.es/~batanero/).

Gustavo Cañadas, Licenciado en Ciencias y Técnicas Estadísticas en 2008 en la Universidad de Granada, se encuentra actualmente realizando el máster en Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Granada y el máster de Metodología de las Ciencias del Comportamiento y de la Salud de las Universidades: UNED, Autónoma y Complutense de Madrid.

José Miguel Contreras, Facultad de Ciencias de la Educacion, Universidad de Granada es Licenciado en Matemáticas y Licenciado en Ciencias y Técnicas Estadísticas. Es becario de Plan de Formación del Personal Investigador desde Noviembre de 2008. Ha sido profesor de Estadística e I.O. en la Universidad de Granada




Las actividades matemáticas y su valor competencial Un instrumento para su detección

Lluís Mora Cañellas (Instituto de Enseñanza Secundaria Llavaneres, Sant Andreu de Llavaneres) Núria Rosich (Facultat de Formació del professorat, Universitat de Barcelona)

Fecha de recepción: 4 de marzo de 2010 Fecha de aceptación: 30 de septiembre de 2010

Resumen La implementación del currículum por competencias en los centros educativos nos hace plantear cuales son las competencias que se ponen en juego en las actividades matemáticas que encontramos en los libros de texto. En este trabajo presentamos una herramienta de trabajo para los profesores de matemáticas que nos permitirá evaluar de forma clara cuales son las competencias matemáticas (Niss, 2002) que se pueden desarrollar cuando trabajamos actividades matemáticas en el aula.

Palabras clave Ejercicios, problemas, competencia matemática, Niss, PISA.

Abstract The competency curriculum implementation in our schools, makes us to consider what are the mathematical competences we can find in textbook mathematical activities. In this article we present a working tool for Maths Teachers that will allow them to evaluate what are the mathematical competences (Niss, 2002) that we can develop when our students work in the classroom with this kind of mathematical activities.

Keywords Exercices, problems, mathematical competence, Niss, PISA.

1. Introducción

Es relativamente reciente la inclusión en el currículum de las competencias; en el caso de las matemáticas, el proyecto Kom (Niss, 2002) y el Informe Pisa (2003, 2006) han marcado un antes y un después. En España la última reforma del sistema educativo que se aprueba en 2006 sigue las recomendaciones que da la Unión Europea que plantea como uno de los objetivos principales el desarrollo por competencias; en Cataluña esta reforma se aprueba en el 2007. Creemos que el paso de un currículum fundamentado en los conceptos, procedimientos y actitudes a uno de tipo competencial implica un enfoque diferente en la forma de plantear la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.

La cuestión fundamental que se plantea el proyecto Kom es: ¿Qué significa saber matemáticas? La respuesta que encontramos es que para saber matemáticas hace falta tener la competencia matemática. ¿Y cuándo se posee la competencia matemática? Cuando una persona es capaz de entender, juzgar, hacer y utilizar las matemáticas en situaciones contextuales dentro del área de matemáticas, y en cualquier situación donde las matemáticas puedan jugar un papel.

Las actividades matemáticas y su valor competencial. Un instrumento para su detección L. Mora Cañellas, N. Rosich


Sabemos que muchos profesores utilizan los libros de texto como fuente para proveerse de las actividades matemáticas que realizarán con sus alumnos y por tanto, serán la base del aprendizaje matemático.

En este trabajo aportamos un instrumento de evaluación de actividades matemáticas que permite a los profesores ver qué elementos de la competencia matemática se pueden asignar a las actividades matemáticas, según las descritas por (Niss, 2002), y mostramos un ejemplo de su aplicación.

2. Referentes Teóricos

Según el enfoque competencial, el proceso de formación debe ayudar a los estudiantes a adquirir competencia en matemáticas y son diversas las aportaciones que ponen de manifiesto que la introducción de este tipo de currículum nos dirige a un cambio de enfoque en proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

Como ha señalado (Rico, 2007) la consideración de las matemáticas como “modo de hacer” y la noción de alfabetización responden a un modelo funcional sobre el aprendizaje de las matemáticas, en el cual se postulan: unas tareas contextualizadas, unas herramientas conceptuales y un sujeto. Estas tareas contextualizadas deben activar de alguna manera las capacidades de los estudiantes.

Por otro lado, también podemos ver que el término competencia matemática introducido en la enseñanza representa un salto cualitativo muy importante, ya que no sólo hace referencia a los aspectos matemáticos en los cuales los estudiantes deben ser competentes, sino que lo hace aportándole un valor social importante, yendo más allá de lo que las matemáticas representan como materia. La competencia relaciona la materia con las necesidades sociales. (Roigiers, 2008)

Según (Niss, 2004), el proceso de formación debe ayudar a los estudiantes a conseguir dos grupos de competencias:

a) La habilidad para plantear y responder cuestiones sobre y con las matemáticas b) La habilidad de manejarse con las herramientas y el lenguaje matemático

A su vez, dentro de las del primer grupo hemos de considerar:

A1) Pensar matemáticamente. Comprender y utilizar los conceptos dados: abstraer conceptos y generalizar resultados. A2) Formular y resolver problemas matemáticos. A3) Ser capaz de analizar y construir modelos matemáticos en relación a otras áreas. Llevar a término modelizaciones en contextos dados, matematizar situaciones. A4) Ser capaz de razonar matemáticamente. Seguir y evaluar los razonamientos matemáticos ajenos, comprender el qué es y qué no es una demostración, ser capaz de realizar razonamientos informales y formales.

Y del segundo grupo:

B1) Utilizar diversas representaciones. Ser capaz de pasar de una a la otra. B2) Utilizar el lenguaje de los símbolos y de sistemas formales matemáticos. Es decir, codificar símbolos y lenguaje formal; traducir de un lenguaje a otro; tratar fórmulas y expresiones simbólicas, etc. B3) Ser capaz de comunicarse en, con y sobre las matemáticas, es decir, interpretar textos escritos en los diversos lenguajes; escribir textos con diferentes niveles de precisión, etc.




B4) Manejar las ayudas y herramientas matemáticas, tener conocimiento, saber sus limitaciones y usarlas reflexivamente.

Entre los referentes teóricos que han marcado un punto de inflexión en el estudio de las competencias, por su extensión en los diferentes sistemas educativos europeos y por su impacto social, ha sido sin duda, el Informe Pisa que tiene sus antecedentes en el trabajo “Measuring Student Knowledge and Skills. A new freamwork for Assesment” publicado por la (OCDE, 1999). Del Informe Pisa cabe destacar que es un instrumento de evaluación que se basa en la resolución de problemas matemáticos y que estos son de tipo realista, es decir, incluyen procesos de matematización a partir de situaciones reales.

En (Pisa, 2003) encontramos la definición de competencia matemática escolar como “la capacidad individual para identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados, utilizar las matemáticas y comprometerse con ellas, y satisfacer las necesidades de la vida personal como ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo” (OECD, 2004, p. 3; OECD, 2003, p. 24).

El estudio Pisa propone la evaluación del conocimiento matemático como un proceso de formación a largo plazo. Recordemos que este estudio trata de detectar los conocimientos y destrezas matemáticas para resolver problemas, principalmente en situaciones de la vida real.

Creamat (2006), organismo dependiente del Departamento de Educación de la Generalitat de Cataluña, se plantea cómo podemos determinar el grado de riqueza competencial de una actividad. Y para dar respuesta a esta inquietud elabora un documento donde utiliza preguntas para poder determinar qué competencias se pueden poner en juego cuando llevamos a cabo una determina actividad matemática. Este documento pretende evaluar la actividad matemática desde dos puntos de vista: el de las actividades matemáticas y el de la gestión de la clase.

En nuestro estudio tomamos como referente la idea de que la formación de nuestros estudiantes debe ayudar a desarrollar sus competencias, y, en particular, su competencia matemática para ser ciudadanos competentes. Y uno de los elementos fundamentales para poder adquirir esta competencia serán las actividades matemáticas que los estudiantes desarrollen en el aula.

Hay tres aspectos que debemos tener en cuenta si pretendemos desarrollar actividades matemáticas en el aula que ayuden a los estudiantes a profundizar en el dominio de la competencia matemática:

a) Por un lado los contenidos, que van más allá de los conceptos y procedimientos que hemos estado trabajando durante los últimos años. A los contenidos de las matemáticas tendremos que asociar un conjunto de saberes generales y transversales, sin los cuales la competencia carecerá de sentido. b) En segundo término, el alumno es considerado como el actor principal del aprendizaje. c) Y en último término, la importancia del trabajo en contexto para relanzar el valor social de la matemática.

3. Instrumento indicador de asignación de competencias matemáticas

En el nuevo diseño curricular en Cataluña y en el proyecto PISA, se utiliza ampliamente el término competencia matemática para evaluar la capacidad de los estudiantes. La pregunta que debemos formularnos ahora es:



¿Cómo podemos saber si las actividades que utilizamos en clase tanto las diseñadas por el propio profesor como las que contienen los libros de texto, son útiles para poder alcanzar esta competencia matemática?

Y, ¿cómo hacer que estas actividades sean lo más ricas posible y permitan a los estudiantes llegar al grado más alto de la competencia en aquellas actividades que se desarrollen en clase?

Puesto que los instrumentos para responder las anteriores preguntas son incompletos, sugerimos una síntesis y ampliación entre ambos (Niss y Creamat) que, a nuestro entender, enriquece ambas propuestas.

El objetivo de nuestro trabajo es diseñar un instrumento útil que permita al profesorado de enseñanza secundaria conocer qué subcompetencias matemáticas se trabajan en las actividades que se proponen a los estudiantes y también, el grado de profundización que se puede alcanzar con ellas. Además, pretendemos también que nuestra herramienta de evaluación competencial permita mejorar las actividades que desarrollamos en el aula.

Los elementos de partida para el diseño de este instrumento son: las competencias incluidas en el diseño curricular, las competencias definidas en el proyecto PISA y los indicadores de diagnóstico competencial de actividades propuestos por (Creamat, 2006). La síntesis de estos elementos los reflejamos en la siguiente tabla:

Competencias Objetivo Tipo de respuesta Según la solución Estrategias de

resolución

Subcompetencias matemáticas definidas por Niss PISA / Currículum

Indicador para valorar la riqueza competencial de la actividad, inspirados en Creamat

Indicador que nos permite ver si la actividad está incluida en el grupo de reproducción

Indicador que nos permite ver si la actividad está incluida en el grupo de conexiones

Indicador que nos permite ver si la actividad está incluida en el grupo de reflexión

Espacio para indicar si el indicador se responde positivamente o no

Espacio para indicar si la pregunta se responde positivamente o no

Espacio para indicar si la pregunta se responde positivamente o no

Tabla 1. Herramienta de evaluación competencial

En la primera columna situamos las ocho subcompetencias matemáticas definidas por (Niss, 2000). En la segunda columna colocamos los indicadores que utilizamos para evaluar si la competencia aparece o no en la actividad que vamos a evaluar. El punto de partida de esta columna son algunos de los indicadores competenciales sugeridos (aunque no todos) por Creamat (2006).

Hay algunos elementos en nuestro trabajo que evalúan aspectos que no se analizan en el informe PISA y tampoco en el trabajo de Creamat. Por un lado, el Informe Pisa (2003) reduce las 8 subcompetencias de Niss en 6. Entiende, además, que estas subcompetencias son generales y de carácter transversal y se clasifican por niveles de complejidad cognitiva. Y al realizar la evaluación competencial de las actividades lo hace de manera completa. Nosotros entendemos que debemos conocer qué subcompetencias se trabajan en cada una de las actividades que realizan los estudiantes y en qué nivel las clasificamos.

Las siguientes tres columnas nos permiten conocer el grado competencial de cada actividad. Estas reflejan los diferentes niveles de complejidad según las capacidades cognitivas de las subcompetencias (Pisa, 2003). Estos niveles de complejidad están descritos en tres grupos:




reproducción, conexión y reflexión. Aunque como señala el Informe Pisa (2003) las subcompetencias nunca aparecen desconectadas unas de otras, por lo tanto, siempre tendremos que valorar la herramienta en su conjunto para valorar la riqueza competencial de la actividad.

En la tercera columna, tipo de respuesta, se coloca un indicador que hace referencia al grupo de reproducción, nivel menos profundo del trabajo de la subcompetencia, y al tipo de solución de la actividad que planteamos.

En la cuarta columna, se considera la solución, por lo que la pregunta hace referencia al grupo de conexión y se analizan las posibles soluciones más complejas de las actividades.

Finalmente, en la quinta columna, estrategia de resolución, la pregunta se dirige al grupo de reflexión y éste será el elemento importante a tener en cuenta.

Una vez establecida la estructura básica de la tabla para una subcompetencia, se desarrolla para las ocho subcompetencias que establece Niss. Para ello asignamos a cada subcompetencia un indicador en formato de pregunta. La respuesta a esta pregunta es la que nos permite identificar el grado en que estamos trabajando la subcompetencia.

A continuación mostramos, a partir de dos subcompetencias, como desarrollamos la herramienta de evaluación competencial de actividades.

3.1 Pensar y razonar (Pensar matemáticamente)

Pensar y razonar es la primera de las 8 competencias matemáticas que establece Niss. Para valorar la subcompetencia de pensar y razonar se evalúa a partir de preguntas, ¿Hay...? En este caso, ¿cuántos? ¿Cómo podemos encontrar? Pero no podemos olvidar que las preguntas van acompañadas de las respuestas. Por tanto, también hemos de tener presente los diversos tipos de respuestas matemáticas que podemos dar a estas preguntas.

La pregunta que debemos formularnos para valorar la competencia es:

¿Es una actividad que está planteada a partir de preguntas con el objetivo de buscar la respuesta?

Entendemos que una actividad, de evaluación o de trabajo, destinada a trabajar esta subcompetencia requiere el uso de una pregunta; no se trabajará esta subcompetencia si la actividad sólo consiste en explicar, en escribir o en describir, por ejemplo. En este sentido, podemos decir que la práctica totalidad de las actividades incluidas en los libros de texto implican la respuesta a una determinada pregunta.

Pero el aspecto que más nos interesa para intentar clasificar el trabajo en esta subcompetencia es el tipo de respuesta que damos a la pregunta que se nos formula. Podemos ver que:

Si la respuesta que se pide es una respuesta única e inmediata, que se obtiene sin necesidad de relacionar datos o de establecer una cadena de pensamientos, estaremos ante una actividad englobada en el grupo de reproducción, el nivel más superficial de la competencia. Estaremos esperando que los estudiantes reproduzcan un procedimiento determinado de una determinada manera. También tendremos que considerar que la actividad está incluida en este grupo si las preguntas dan una ayuda directa para la resolución de la actividad. Generalmente el proceso de resolución de la actividad implicará un solo paso.



Un ejemplo del tipo de actividades que respondería a esta primera situación sería del tipo resolver una ecuación, realizar una determinada operación matemática, los habituales ejercicios que encontramos en la casi totalidad de los libros de texto, entendiendo como ejercicios los problemas rutinarios.

Si las preguntas pueden tener más de una solución y/u orientan pero no dirigen hacia la respuesta, o implican una concatenación de procesos, estaremos en una actividad que pertenece al grupo de conexiones, el siguiente nivel en la profundidad de la competencia. Un ejemplo de este apartado podría ser el siguiente problema:

María vive a dos kilómetros de su Instituto y Pablo a 5. ¿A qué distancia viven uno del otro?

Para resolver este problema hay que darse cuenta que no basta con restar las dos distancias para responder 3km. La idea fundamental es darse cuenta que la distancia de referencia es al instituto, que actúa como el centro de una circunferencia. A partir de esta referencia podemos ver que un intervalo es la respuesta correcta a la pregunta que formula el problema, por tanto se está pidiendo un razonamiento que está yendo más allá de la simple reproducción. Estamos por tanto en el grupo de conexiones.

Si para encontrar las respuestas hay que buscar nuevas estrategias de resolución respecto de las ya conocidas y su planteamiento abre nuevas vías de trabajo, estaremos dentro del grupo de reflexión. Un ejemplo de actividades relacionadas con este apartado podría ser:

Después de su fiesta de cumpleaños dos hermanos gemelos tienen que repartirse a partes iguales su pastel de cumpleaños de forma rectangular con la forma que muestra la figura. ¿Cómo pueden hacerlo de manera que siempre tengan el mismo número de cerezas?

Vemos que esta actividad no es de respuesta única. Hay infinitas soluciones para este problema, Primero podemos intentar repartir el pastel con un solo corte de cuchillo, tendremos diversidad de maneras de hacer partes iguales. Pero también podemos intentarlo con dos cortes, tres u otras posibilidades. Por tanto, hace falta seguir nuevos esquemas e intentar nuevas vías de resolución que no sean la simple división.

Por lo tanto, para esta primera subcompetencia la herramienta de trabajo quedará como se muestra en el ejemplo:

Competencias Objetivo Tipo de respuesta

Según la solución

Estrategias de resolución

Pensar y razonar

Pensar matemáticamente

1.- ¿Está planteada a partir de preguntas con el objetivo de buscar la respuesta?

¿Se responde de manera única? ¿Da ayudas directas?

¿Hay más de una solución? ¿Orienta más que dirige?

¿Implica nuevas estrategias de resolución? ¿Abre vías de investigación?

� � �




3.2 Comunicación

Niss sitúa la competencia COMUNICACIÓN en el bloque que hace referencia a "La habilidad de manejarse con las herramientas y el lenguaje matemático" y dentro de este bloque la coloca en tercer lugar. Por tanto, de alguna manera podemos llegar a entender que estamos hablando de una competencia que se sitúa en un nivel superior al puramente matemático. Estamos delante de una competencia que, siendo importante a nivel matemático, interviene también en otros muchos aspectos educativos. Por tanto, tendremos que cuidar de manera especial esta competencia en las actividades que diseñaremos para el trabajo matemático. El trabajo que debemos realizar para alcanzar la competencia en comunicación implica dos aspectos muy importantes que hemos de tener presentes. En primer lugar está la capacidad de comprender las afirmaciones orales y escritas que hagan terceras personas, y en segundo lugar, hemos de ser capaces de hacernos entender por terceras personas. Dos aspectos importantes, por tanto, expresarse correctamente para hacernos entender y comprender los mensajes que recibimos. Entendemos que las actividades matemáticas que pretendan fomentar y profundizar en esta subcompetencia, la deberán trabajar a diversos niveles, por un lado tendrá que haber trabajo individual de comprensión de textos y de mensajes orales, y trabajo en grupo, que necesariamente deberá incluir el trabajo de comunicar los resultados de los trabajos al resto de compañeros, en pequeños grupos o en gran grupo.

Para discriminar el grado de logro de la competencia tendremos que prestar atención a los resultados que nos solicite la actividad. Si no tenemos que justificar lo que hemos hecho, sino que la actividad sólo nos pide que expresemos un resultado y una unidad, si sólo se tiene que describir el trabajo realizado, estaremos en el grado más elemental de la competencia. Si la actividad va más allá y pide explicar propiedades y justificar procesos, estaremos en el grado medio de la competencia. El grado más alto de la competencia lo encontraremos cuando se pida a los estudiantes explicar relaciones más complejas, del tipo de relación lógica, por ejemplo.

Con estas consideraciones el apartado de nuestra herramienta de asignación de valor competencial, para esta competencia tendrá los siguientes aspectos.

Competencia Objetivos Tipo de respuesta

Según la solución

Estrategias de resolución

Comunicación/Comunicar

7.- ¿Implica trabajo individual y en grupo y la necesidad de comunicar los resultados?

¿Pide lo que se ha hecho sin la necesidad de justificarlo?

¿Pide explicar propiedades y justificar procesos?

¿Pide explicar relaciones más complejas?

3.3 Instrumento de evaluación competencial

Siguiendo un procedimiento similar al de las dos subcompetencias anteriores, podemos completar el trabajo para las 8 subcomptencias. Nuestra herramienta para evaluar las actividades adquiere el siguiente aspecto.



La actividad Tipo de respuesta Según la solución Estrategias de resolución


¿Se responde de manera única? ¿El enunciado da ayudas directas?

�

¿Hay más de una solución? ¿Sobre todo orienta al estudiante?

�


�

2.- ¿Pretende aplicar conocimientos ya adquiridos y permite realizar nuevos aprendizajes?

¿Reproduce conocimientos?

�

¿Relaciona aspectos matemáticos diversos en contextos nuevos?

�

¿Permite utilizar diversas estrategias en contextos nuevos?

�

3.- ¿Ayuda a relacionar conocimientos diversos dentro de la matemática o con otras materias?

¿Se relacionan conocimientos en contextos conocidos?

�

¿Se relacionan conocimientos en contextos nuevos pero sencillos?

�

¿Incluye una reflexión sobre los conocimientos?

�

4.-¿Implica razonar sobre lo que se ha hecho y justificar los resultados?

¿Se sigue y justifica un proceso estándar?

�

El proceso de argumentación, ¿implica varias etapas?

�

¿Pide obtener una prueba?

�

5.- ¿Permite trabajar con varios tipos de objetos matemáticos?

¿Trabaja con situaciones y objetos estándar?

�

¿Utiliza diferentes representaciones?

�

¿Permite objetos o representaciones no estándares?

�

6.- ¿Permite trabajar con lenguaje natural y con lenguaje simbólico?

¿Plantea fórmulas en contextos muy familiares?

�

¿Plantea fórmulas en contextos menos conocidos?

�

¿Plantea fórmulas en contextos nuevos?

�

7.-¿Implica la necesidad de comunicar los resultados?

¿Pide lo que se ha hecho sin necesidad de justificarlo?

�

¿Pide explicar procesos y justificar propiedades?

�


�

8.- ¿Implica el uso de instrumentos?

Sí �

No �

¿Establece claramente qué herramienta debemos utilizar?

�

¿Solicita el uso de una herramienta pero en un contexto diferente del trabajado?

�

No exige el uso de herramientas pero podemos utilizarlas.

�

Hemos desarrollado nuestro instrumento de evaluación para las 8 subcompetencias matemáticas que se plantean en el estudio PISA. Utilizarlo para evaluar las actividades matemáticas que desarrollamos en nuestras aulas nos deberá permitir conocer el grado de profundidad del trabajo matemático competencial que realizamos, y es evidente que si conocemos hasta dónde podemos trabajar la competencia matemática con las actividades que planteamos a nuestros alumnos, podremos desarrollar estrategias y metodologías para trabajar un nivel que permita que nuestros estudiantes adquieran una competencia matemática más elevada. Por ejemplo, si en lugar de trabajar con actividades que se engloban en el marco del grupo de reproducción, lo hacemos con actividades que permiten el trabajo dirigido hacia el grupo de reflexión, mejoraremos su competencia matemática.




4. Evaluación y enriquecimiento competencial de una actividad concreta

En este apartado mostramos cómo utilizar este instrumento de evaluación competencial con una actividad de un libro de texto de 1º de ESO. En este ejemplo también mostraremos cómo se puede enriquecer competencialmente a partir del instrumento diseñado.

Para ilustrar el ejemplo se ha tomado una actividad de un libro de texto de 1º de ESO de las consideradas por sus autores como de ampliación o de dificultad elevada.

Pablo y Ana están preparando una fiesta y son los encargados de la bebida. Compran 12 botellas de naranjada, 12 más de limonada y 12 más de cola, todas de 2 litros.

a) ¿cuántos litros han comprado? b) Si cada botella de 2 litros vale 2 €, ¿cuánto dinero se han gastado?

4.1. Evaluación del pensar y razonar

Podemos evaluar esta actividad a partir de las preguntas planteadas, para determinar el grado de profundidad con el que se puede trabajar la competencia pensar y razonar. Las dos preguntas que nos formula vemos que se responden de manera única y no hay que relacionar conceptos para encontrar la respuesta a ninguna de las dos actividades que nos plantea. Las preguntas se formulan de manera directa y nos dicen exactamente lo que hay que hacer. Y para resolver las cuestiones no hay que buscar ninguna nueva estrategia, sólo nos hace falta sumar y multiplicar. Por tanto, nuestra herramienta nos indica que estamos delante de una actividad que nos permite desarrollar la competencia pensar y razonar a un nivel muy superficial.



¿Se responde de manera única? ¿Da ayudas directas?

¿Hay más de una solución? ¿Orienta más que dirige?


� �

Esta actividad está encuadrada en el grupo de reproducción del trabajo competencial. La herramienta nos ayuda a mejorar la actividad si observamos las respuestas a los indicadores competenciales. Para poder incluir la actividad del alumno en el grupo de conexión, debemos modificar la pregunta para hacerla abierta, o semiabierta. Otro aspecto a considerar es trabajar con un conjunto de datos más abierto, o también, combinar las dos modificaciones. Por ejemplo, podemos reformular el problema de la siguiente manera:

Pablo y Ana están preparando una fiesta y son los encargados de la bebida. Disponen de 20€ para comprar naranjada, limonada y cola. La naranjada viene embotellada en botellas de 1l con un precio de 1€, la limonada en botellas de 2l a un precio de 3€ y la cola, está embotellada en botellas de 1,5l a un precio de 2€.

a) ¿Podrán comprar, con los 20€, 10 botellas de limonada, 3 de naranjada y 4 de cola? b) Con los 20€, ¿cuál es la cantidad máxima de bebida que podrán comprar? c) ¿Existe alguna combinación de las tres bebidas que les permita exactamente gastar los 20€? ¿Es única esta combinación?



4.2. Evaluación del comunicar

Vemos que en esta actividad, las preguntas que se formulan a los estudiantes no son excesivamente ambiciosas por lo que se refiere a la subcompetencia COMUNICAR. Sólo nos piden escribir el resultado de unas determinadas operaciones matemáticas. Por lo tanto, nos estamos moviendo en el nivel más bajo de esta competencia. Se podría argumentar que en el desarrollo de la actividad el profesor pedirá al estudiante la justificación de lo que se ha hecho, pero hay que recordar que lo que estamos haciendo es valorar la actividad tal como está planteada en el libro de texto, y en éste no aparece reflejada de ninguna manera la gestión que hará el profesor en el aula.

Analizando la actividad podemos concluir.


7.- ¿Implica la necesidad de comunicar los resultados?



�


�

Colocamos la x en el tipo de respuesta porque la actividad solicita responder a dos preguntas. Por un lado cuántos litros han comprado y, por otro, el dinero que se han gastado. La respuesta a estas preguntas es directa, la podemos responder con un número y una unidad. La actividad no solicita nada más, no pide explicar el procedimiento que se ha seguido, ni solicita que se justifiquen las etapas seguidas. Tampoco se pueden explicar procesos más complejos puesto que no existen.

Por tanto, podemos concluir que en esta actividad estamos trabajando la subcompetencia COMUNICAR en el nivel de reproducción. Para enriquecer el trabajo competencial comunicativo, debemos modificar la pregunta de la actividad para que los estudiantes expliquen el procedimiento utilizado para obtener el resultado que se les pide. Esto podemos hacerlo de diversas maneras, la más evidente consiste en demandarlo expresamente en el enunciado. Así, por ejemplo, se podría decir:

1) Explica el procedimiento que seguirán para saber cuántos litros de bebida han comprado. 2) Explica cómo calcularás la cantidad de dinero que necesitan para comprar la bebida si cada botella vale 2€.

Pero esta actividad ya la hemos modificado para permitir profundizar en la subcompetencia PENSAR Y RAZONAR. Podemos reescribir el problema combinando las dos modificaciones que hemos realizado:


a) Explica razonadamente si con los 20€ podrán comprar 10 botellas de limonada, 3 de naranjada y 4 de cola. b) Con los 20€, ¿cuál es la cantidad máxima de bebida que podrán comprar? Justifica tu respuesta detalladamente. c) ¿Existe alguna combinación de las tres bebidas que les permita gastar exactamente los 20€? ¿Es única esta combinación? Detalla el procedimiento que has seguido para obtener la respuesta.




Como podemos ver, ahora el problema queda formulado de manera que el trabajo competencial queda encuadrado en el grupo de reflexión.

4.3. Evaluación completa de la actividad.

En este apartado mostramos el uso de la herramienta para las 8 subcompetencias matemáticas. Veremos que utilizar este instrumento nos permite conocer el grado de profundidad del trabajo matemático que pueden desarrollar nuestros estudiantes. Y a partir de este conocimiento podremos mejorar las actividades que planteamos a los estudiantes con el objectivo de llevar su competencia matemática hasta el máximo de sus posibilidades.

Debemos considerar que aunque planteamos una pregunta para cada una de las subcompetencias, es importante recordar que las subcompetencias están estrechamente relacionadas entre sí, de manera que es muy posible que si introducimos, una modificación en la actividad para potenciar una subcompetencia, podemos modificar la evaluación de las otras. Por tanto, siempre tendremos que evaluar toda la actividad después de introducir modificaciones en su estructura.

Finalmente, vamos a evaluar la participación de las 8 subcompetencias en el problema citado.

Pablo y Ana están preparando una fiesta y son los encargados de la bebida. Compran 12 botellas de naranjada, 12 más de limonada y 12 más de cola, todas de 2 litros.

a) ¿cuántos litros han comprado? b) Si cada botella de 2 litros vale 2 €, ¿cuánto dinero se han gastado?





�


�




�


�



�


�


�



�


�


�



�


�


�






�


�

7.-¿Implica la necesidad de comunicar los resultados?



�


�


Sí � No �

¿Establece claramente qué herramienta debemos utilizar?

�


�


�

Nuestra herramienta nos permite determinar que hay tres competencias matemáticas que no se trabajaran en la actividad, y las cinco que se trabajan lo hacen a un nivel de reproducción.

A continuación, mostramos la misma evaluación, pero teniendo en cuenta los elementos de cambio que ya hemos introducido en los análisis anteriores.


a) Explica razonadamente si con los 20€ podrán comprar 10 botellas de limonada, 3 de naranjada y 4 de cola. b) Con los 20€, ¿cuál es la cantidad máxima de bebida que podrán comprar? Justifica tu respuesta detalladamente. c) ¿Existe alguna combinación de las tres bebidas que les permita exactamente gastar los 20€? ¿Es única esta combinación? Detalla el procedimiento que has seguido para obtener la respuesta.










�




�









�





�




�


�

7.- ¿Implica la necesidad de comunicar los resultados?

Pide lo que se ha hecho sin necesidad de justificarlo.

Pide explicar procesos y justificar propiedades.

Pide explicar relaciones más complejas.

�


Sí No �

¿Establece claramente que herramienta debemos utilizar?

�


�


Podemos ver que con los cambios introducidos toda la valoración competencial de la actividad se ha desplazado hacia los grupos de conexión y de reflexión, por tanto hemos enriquecido competencialmente la actividad. Podemos intentar mejorar aún más esta actividad observando aquellas competencias que se trabajan en el nivel de reproducción para que la transformación de la actividad nos permita alcanzar un grado más alto en el trabajo de las subcompetencias. Las preguntas que formula la herramienta nos permiten detectar cuáles son las posibilidades de mejora en el trabajo competencial de las actividades.

5. Conclusiones

Introducir el término competencia matemática en los currículos de matemáticas implica plantearnos la riqueza competencial de las actividades que desarrollamos en el aula. Y dado que puede darse el caso que esta riqueza competencial no sea del grado que el profesor desea, éste se debe plantear el análisis de las actividades que realiza y transformarlas teniendo en cuenta el tipo de preguntas, las respuestas que pide y las estrategias para hallarlas.

Por eso, es importante disponer de un instrumento, como el presentado en este artículo, que permita detectar las competencias implicadas en una actividad matemática y cómo se puede modificar para aumentar su riqueza competencial. El procedimiento descrito nos permite conocer, además, el nivel al que se trabaja cada capacidad, según el marco teórico de referencia que se detalla en el texto.

Con lo expuesto, se ha resaltado una de las facetas de la tarea del profesor, la de evaluador y diseñador de las actividades, lo que no substituye sino que completa su labor de gestor de aula.



Bibliografía

Legendre, M.-F., La notion de compétence au cœur des réformes curriculaires: effet de mode ou vecteur de changements en profondeur ? , Réf. 2003 (version de travail), 2007.

Roegiers, X., L’approche par compétences dans le monde: entre uniformisation et différenciation, entre équité et inéquité In DIRECT 10, 2008.

Niss, M., Quantitative Literacy: Why Numeracy Matters for Schools and Colleges, Bernard L. Madison and Lynn Arthur Steen, Editors, Natonal Council on Education and the Disciplines, Princeton, New Jersey, 2003

OECD: Measuring Student Knowledge and Skills – A new Framework for Assessment, OECD, Programme for International Student Assessment (PISA), 1-104,Paris, France, 1999.

CREAMAT, Indicadors de riquesa competencial. http://phobos.xtec.cat/creamat/ Febrero, 2010. Matemàtiques PRÀCTICA. Editorial Santillana, 2007. Rico, L. (2007). La competencia matemática en PISA. PNA: Revista de Investigación en didáctica de

la matemática, ISSN 1887-3987, Vol 1, nº 2, 47-66. Rico, L. (2006). Marco Teórico de evaluación en PISA sobre matemáticas y resolución de problemas.

Revista de educación. ISSN 0034-8082 Nº Extra 1. pags. 275-294

Lluís Mora Cañellas es Catedrático de Enseñanza Secundaria en el INS Llavaneres de Sant Andreu de Llavaneres. Ha publicado "El Drago: del juego a las funciones" (SUMA en 1990), "The use of strategy games favors learning of funtional dependenciesfor demotivated students" dentro del proyecto SOCRATES "Professional Development of Teacher Researchers", colaborador del grupo MIGRAMAT y miembro del comite organizador de las XIV JAEM. Página web http://phobos.xtec.cat/lmora1/investigar/index.html. Actualmente está desarrollando un proyecto de investigación en la Universitat de Barcelona dirigido por la Dra. Núria Rosich sobre el aprendizaje de las matemáticas con medios virtuales.

Núria Rosich profesora de Didáctica de las matemáticas de la Universidad de Barcelona. Líneas de investigación en las que es especialista: a) educación matemática con alumnos con necesidades educativas especiales, b) formación de profesores, c) enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de alumnos inmigrantes recién llegados en aulas multiculturales, d) el uso de las tecnologías de la información para la enseñanza de las matemáticas. Actualmente dirige el grupo de investigación DiversiMat.




Dificultades en la interpretación del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el modelo 3UV

José Antonio Juárez López (Centro de Investigación en Matemática Educativa. Universidad Autónoma de Guerrero, México)

Fecha de recepción: 9 de marzo de 2010 Fecha de aceptación: 8 de junio de 2010

Resumen En este artículo se presentan los resultados de una investigación que tiene como propósito analizar la interpretación del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria. Se pretendió detectar cuáles son las dificultades más comunes que presentan los profesores al tratar con los diferentes usos de la variable en el álgebra elemental. Para ello se aplicó un cuestionario de álgebra elemental a 74 profesores de matemáticas de secundaria. El Modelo 3UV sirvió como marco teórico de este estudio.

Palabras clave Profesores de matemáticas, álgebra elemental, Modelo 3UV, variable, dificultades.

Abstract In this article we present the results of an investigation that takes as an intention to analyze the interpretation of the concept of variable in teachers of mathematics of secondary. It was tried to detect what are the most common difficulties that the teachers present on having treated with the different uses of the variable in the elementary algebra. For it a questionnaire of elementary algebra was applied to 74 teachers of mathematics of secondary. The Model 3UV served as theoretical frame of this study.

Keywords Teachers of Mathematics, elementary algebra, Model 3UV, variable, difficulties.

1. Introducción

Gran parte de los estudios que se han realizado en torno a la interpretación del concepto de variable se ha centrado en estudiantes de secundaria (Booth, 1988; Stacey y MacGregor, 1996; Warren, 1999). También se conocen resultados de investigaciones realizadas con estudiantes de bachillerato (López, 1996) e incluso, se ha estudiado la evolución que tiene el uso eficiente de dicho concepto a lo largo de las etapas escolares que van desde el primer grado de secundaria hasta el primer semestre universitario (Lozano, 1998; Trigueros y Ursini, 1999; Trigueros, Ursni y Lozano, 2000). En otro estudio realizado con estudiantes universitarios que iniciaban el primer semestre de su carrera (Ursini y Trigueros, 1998) se encontró que el aprendizaje del concepto de variable es poco significativo, lo que se reflejó en las dificultades que presentaron los estudiantes para resolver problemas que involucraban dicho concepto. Más recientemente se encontró que estudiantes universitarios que habían llevado cursos de matemáticas avanzadas siguen teniendo dificultades para manejar este concepto, llegando a evitar cualquier acercamiento algebraico y retornando a procedimientos de carácter aritmético (Ursini y Trigueros, 2006).

Dificultades en la comprensión del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el modelo 3UV J. A. Juárez López


El propósito del presente trabajo es tratar de explorar en la interpretación que tiene el profesor de matemáticas en torno al concepto de variable y los diferentes usos en el álgebra elemental. Se pretende también detectar cuáles son las dificultades que presentan dichos profesores al tratar con los diferentes usos de la variable, así como observar si son capaces de diferenciar entre ellos y pasar de uno a otro de manera flexible.

No obstante, las investigaciones realizadas hasta el momento sobre la interpretación del concepto de variable no han sido suficientes para poder dilucidar la problemática de su aprendizaje dentro del álgebra elemental en la que, sin duda, este concepto juega un papel preponderante. En particular, no existen hasta ahora estudios que indaguen las posibles dificultades que tienen los profesores de matemáticas de secundaria en torno al concepto de variable.

Para llevar a cabo esta investigación se utilizó una metodología que combina un acercamiento cuantitativo con uno cualitativo. Inicialmente se aplicó un cuestionario de 65 preguntas abiertas a una población de 74 profesores de matemáticas de secundaria en México, (D. F. y Puebla). Posteriormente se realizaron entrevistas clínicas a 6 de ellos con la finalidad de profundizar en la comprensión y las dificultades de los maestros en torno a dicho concepto, tomando como base las respuestas dadas al cuestionario.

2. Referentes teóricos y empíricos

En este apartado se discuten los resultados de algunas investigaciones en torno al concepto de variable y sus diferentes usos en el álgebra elemental. Estos usos se refieren esencialmente a la variable como incógnita específica, como número general y en relación funcional. Se comenta también acerca de algunos errores que aparecen cuando los estudiantes manejan el álgebra. Asimismo se mencionan algunos estudios realizados con profesores de matemáticas tanto en servicio como en formación y que se refieren tanto a la conceptualización y estructura de sus creencias sobre la enseñanza de la matemática así como a las que tienen sobre el desarrollo del razonamiento algebraico. Finalmente se presenta la descomposición del concepto de variable que conforma el marco teórico de este estudio.

2.1 El concepto de variable y sus diversas interpretaciones

Tal como mencionan Schoenfeld y Arcavi (1988), el tratar de definir el término “variable” con una sola palabra nos conduce a usar palabras como: símbolo, parámetro, argumento, espacio vacío, entre otras, de ahí que consideren que este término tiene diversos significados que dependen del contexto en el que aparece. Otros investigadores también han subrayado la importancia que tiene el contexto en el papel que juegan las letras cuando los estudiantes usan el álgebra elemental (Kieran, 2006; Philipp, 1992; Wagner, 1981). Esta última autora, por ejemplo, sugiere que así como las palabras del lenguaje verbal, los símbolos de variables matemáticas adquieren significado cuando aparecen en algún contexto y tienen algún referente. Tal como en el lenguaje verbal, el símbolo y su referente determinan el papel semántico de la variable, mientras que el símbolo y su contexto determinan el papel sintáctico de la variable; esto quiere decir que el contexto y el referente determinan el papel matemático de la variable. Wagner (1983), por otro lado, comenta la complejidad que tiene el uso de literales así como la dificultad que tienen los estudiantes cuando se enfrentan a ellos. El concepto de variable es fundamental no sólo para el aprendizaje sino también para la enseñanza del álgebra. En el salón de clase se suele presentar como si pudiera entenderse fácilmente llegando, incluso, a manejarlo con cierta naturalidad, sin valorar la complejidad del concepto ni los significados y usos que pueden tener las letras. En este sentido, Rosnick (1981) realizó un estudio

Dificultades en la comprensión del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria: un análisis mediante el modelo 3UV

J. A. Juárez López



acerca de las concepciones erróneas sobre el uso de letras que presentaron algunos estudiantes de nivel superior y encontró que cuando se les presentan relaciones funcionales en forma analítica, tienden a confundirse entre la variable independiente y la variable dependiente. El concepto de variable es multifacético e incluye diversos aspectos. Usiskin (1988), por ejemplo, pone de manifiesto cuatro usos diferentes de la variable y los asocia a cuatro distintas concepciones del álgebra haciendo énfasis en la relación de éstas con los propósitos de la enseñanza del álgebra elemental. Dichos usos aparecen en la Tabla 1.

Concepción del álgebra Usos de la variable

Aritmética generalizada Generalizadores de patrones

Procedimientos para resolver problemas Incógnitas, constantes

Estudio de relaciones entre cantidades Argumentos, parámetros

Estudio de estructuras Marcas arbitrarias en el papel

Tabla 1. Diversas concepciones del álgebra y sus distintos usos

(Usiskin, 1988, p. 17)

Por otra parte, Ursini (1994) considera que en el álgebra elemental aparecen esencialmente 3 usos de la variable: incógnita específica, número general y en relación funcional. Señala también que un usuario competente del álgebra es capaz de interpretar la variable de modos distintos dependiendo del problema en el que aparece. Esto significa que, por ejemplo, a pesar de que las siguientes expresiones involucran el mismo símbolo literal:

( )( )32 ++ xx ( ) ( ) 2432 =+++ xx

el uso que se hace de éste en cada una es distinto, pues mientras en la primera expresión la letra representa un número general, en la segunda representa un valor específico y están dadas las condiciones para determinar dicho valor. Además, la misma autora señala que un usuario competente debe ser capaz de manipular las variables simbólicas sin necesidad de conocer su valor eventual. Esto quiere decir, por ejemplo, que debe poder simplificar una expresión algebraica como:

( ) ( )2432 −−+ xyxxy

También debe ser capaz de trabajar con la idea de correspondencia y variación cuando las variables se encuentran en una relación funcional. Por ejemplo, debe ser capaz de resolver el siguiente problema:

Dada 23 += xy , encuentra el valor de y cuando x toma valores en el intervalo 102 ≤≤− x

Un usuario competente debe poder también identificar la incógnita y determinar su valor específico, por ejemplo, en una ecuación:

( ) ( )1223 +=+ xx

Asimismo, el usuario competente debe poder reconocer y expresar simbólicamente patrones de secuencias numéricas y de figuras.



Ejemplo: Completa la siguiente sucesión y encuentra el n-ésimo término.

2, 7, 12, 17, 22, ___, ___, ___, . . . n-ésimo término: __________

Observa las siguientes figuras y contesta lo que se pide:

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 1 2 3 4

¿Cuántas estrellas tendrá la figura 5? Expresa el n-ésimo número triangular como una regla general.

El no reconocer que la variable tiene distintos usos puede representar un obstáculo para aprender álgebra. En matemáticas se usan generalmente las mismas letras para representar distintos usos de la variable. Por ejemplo, en la ecuación 533 −=+ xx y en la expresión 53 −= xy se ha utilizado un mismo símbolo, x, para dos usos de la variable, como incógnita específica y en una relación funcional, respectivamente. Asimismo se usan letras distintas para representar un mismo uso de la variable, como podemos observar en las ecuaciones siguientes:

( ) ( )1235 +=− xx y ( ) ( )1235 +=− mm

Es muy común que los estudiantes de secundaria y bachillerato cometan errores al trabajar con el álgebra elemental. Matz (1980) sugiere que hay errores que aparecen de manera regular y plantea un modelo de competencia algebraica que pueda explicar por qué se dan dichos errores. Algunos ejemplos de estos errores se muestran a continuación:

1. Simplificando yzxy 43 + como xyz7

2. Simplificando yx

x

+2 como

y+2

1

3. Resolver para x, la ecuación 1152 =+x Respuesta incorrecta típica: 2

115 =+x

4. Simplificando yx

ByAx

++

como A + B

Existen también importantes resultados de investigaciones sobre la manera en que los alumnos interpretan los símbolos literales. Así, Küchemann (1980) analizó las respuestas que más de 3000 estudiantes entre 13 y 15 años dieron a un cuestionario que implicaba el uso de los símbolos literales. Para contestar el cuestionario los alumnos debían interpretar y manipular expresiones algebraicas. “Este investigador identificó seis maneras diferentes de interpretar los símbolos literales:

1) Letra evaluada: A la letra se le asigna un valor numérico. 2) Letra no utilizada: La letra es ignorada o su existencia es reconocida pero no se le atribuye

ningún significado.





3) Letra como objeto: Se considera la letra como una abreviatura del nombre de un objeto o como a un objeto en sí.

4) Letra como incógnita específica: La letra representa un número particular pero desconocido y los alumnos son capaces de operar directamente sobre ella.

5) Letra como número generalizado: Se considera que la letra representa o es capaz de asumir distintos valores.

6) Letra como variable: Se considera que la letra representa un rango de valores no especificado y que existe una relación sistemática entre dos conjuntos de valores de este tipo.”

(Küchemann, 1980, p. 49)

Según este autor, estos resultados revelan esencialmente dos niveles de comprensión de los alumnos: el primero abarca las tres primeras categorías y refleja un bajo nivel de respuesta, mientras que las tres categorías restantes indican que el alumno se está acercando al álgebra. Aunque este autor propone un orden de dificultad creciente para las 6 categorías encontradas, Ursini (1994) considera que estas categorías no implican que tal orden sea recomendable para la enseñanza, pues los distintos usos de la variable pueden ser enseñados en diferentes niveles de complejidad.

En otra investigación (Lozano, 1998), se han encontrado resultados poco alentadores acerca de cómo progresa la comprensión del concepto de variable a lo largo de la enseñanza media. Se estudió la comprensión de los distintos usos de la variable que tienen alumnos de secundaria, bachillerato y estudiantes de primer semestre universitario y se observó que el grupo de primero de secundaria, que no había tenido aún una introducción formal al álgebra obtuvo una puntuación mayor de aciertos en promedio que el grupo de estudiantes recién ingresados a la universidad.

En otro trabajo donde se estudió una población de alumnos de bachillerato (López, 1996), se encontró que la mayoría de los estudiantes tienen un bajo desempeño en el manejo de la variable y que, en términos generales, los alumnos se encuentran en un nivel inferior al 50% del manejo adecuado de la variable.

Se han realizado estudios con estudiantes universitarios (Trigueros et al, 1996; Ursini y Trigueros, 1997; 1998), donde se observó que el aprendizaje del concepto de variable a través de su paso por el sistema escolar es poco significativo y se encontró, además, un anclaje a nivel de acción. En cuanto al manejo de la variable como incógnita específica, como número general y en relación funcional se encontró que los estudiantes sólo alcanzaron un nivel elemental en su manejo, permaneciendo atados a acercamientos aritméticos.

La mayoría de los estudios, sin embargo, suelen centrarse sobre un uso específico de la variable, analizando errores y dificultades que los alumnos presentan y en ocasiones, proponiendo acercamientos para superarlos. Así, ha habido estudios enfocados hacia los procesos de generalización en álgebra elemental (Ursini, 1990); el reconocimiento y la exploración de patrones numéricos y visuales (English y Warren, 1998; MacGregor y Stacey, 1993; Mason et al, 1985; Philipp y Schappelle, 1999), así como hacia la correlación entre el concepto de variable y los procesos de generalización en patrones y tablas (Warren, 1995). Todos sin duda han contribuido al esclarecimiento de la comprensión de la variable como número general.

También han aparecido numerosas investigaciones que han abordado la problemática del uso de la incógnita específica, (Filloy y Rojano, 1989; Kieran, 1984; MacGregor y Stacey, 1996; Stacey y MacGregor, 1997b). Asimismo se ha estudiado la comprensión del concepto de función (Dreyfus y Eisenberg, 1981). También se ha investigado acerca de algunas concepciones erróneas que ocurren cuando estudiantes de nivel superior se enfrentan al uso de letras en expresiones donde aparece una



relación funcional (Rosnick, 1981). En estudios más recientes se ha encontrado que al enfatizar el estudio de relaciones funcionales en tareas de exploración e investigación, se favorece el desarrollo del significado para el lenguaje algebraico así como la construcción de una visión más amplia sobre el uso de los símbolos (Matos y Da Ponte, 2008)

Asimismo, se ha tratado de estudiar los orígenes de la interpretación que hacen los estudiantes de la notación algebraica. Así, por ejemplo, hay quienes argumentan que dicho origen se encuentra en las analogías que hacen los alumnos con otros sistemas de símbolos, en la interferencia con nuevos aprendizajes en matemáticas (Stacey y MacGregor, 1997a), así como en los efectos del uso inadecuado de materiales de enseñanza (Stacey y MacGregor, 1996).

En lo que se refiere a estudios realizados con profesores de matemáticas de secundaria, Juárez (2002) encontró que los profesores de matemáticas de secundaria mostraron serias dificultades para conceptualizar la variable en cada uno de sus usos, siendo en relación funcional el uso de las variables en donde se hallaron más errores. Por otro lado, existen trabajos que se refieren a las creencias que tienen tanto los profesores de matemáticas como los investigadores educativos sobre el desarrollo del razonamiento algebraico, así como sobre las estrategias en la resolución de problemas que los estudiantes presentan (Nathan y Koedinger, 2000). En este sentido, Cooney, Shealy, y Arvold, (1998) por ejemplo, analizaron la importancia que tiene la estructura de las creencias sobre la enseñanza de las matemáticas. Para ello observaron a 4 profesores de secundaria estudiando el impacto que tenían sus creencias en su manera de enseñar. Sin embargo, no se conoce hasta el momento ningún estudio que aborde la problemática relativa a las dificultades que pueden tener los profesores para la comprensión del concepto de variable, así como para lograr un manejo flexible de la variable y, menos aún, acerca de la manera en la que los profesores de matemáticas enseñan este importante concepto. Más recientemente, estos tres aspectos de la variable han servido como base para elaborar una propuesta para la enseñanza del álgebra elemental, conocido en el medio académico como Modelo 3UV (Ursini et al, 2005).

Podría pensarse que un estudio con profesores de matemáticas de secundaria en relación con un concepto matemático no tenga la justificación debida, puesto que se suele creer que un profesor de matemáticas debe dominar los contenidos que enseña. Es por ello que consideramos importante desarrollar la presente investigación ya que nos proporcionó información muy valiosa acerca de algunas de las causas que podrían haber originado tan bajo desempeño en los profesores.

3. Marco teórico

Como marco teórico para la presente investigación, se utilizó el Modelo 3UV. En este modelo se presenta una descomposición del concepto de variable en el cual se incluyen, la capacidad de interpretación, simbolización y manipulación de cada uno de los 3 usos de la variable considerados, a saber: variable como incógnita específica, variable como número general y variables en relación funcional. Dichos aspectos aparecen de manera esquemática a continuación:

3.1 Variable como incógnita específica

Se considerará que un manejo adecuado de la variable como incógnita específica implica:

� reconocer e identificar en un problema la existencia de algo desconocido que se puede determinar;





� interpretar el símbolo que aparece en una ecuación como un ente que puede tomar valores específicos;

� sustituir el o los valores de la variable que hacen que la ecuación sea verdadera; � determinar la incógnita que aparece en ecuaciones o problemas llevando a cabo las

operaciones algebraicas o aritméticas necesarias; � identificar la incógnita en una situación específica y representarla simbólicamente en una

situación.

No obstante que algunos autores argumentan que una incógnita no puede ser considerada como variable (Schoenfeld y Arcavi, 1988), para esta investigación asumimos que una incógnita puede ser considerada como variable porque, mentalmente o de hecho, se realizan operaciones sobre ella para eventualmente poder determinar su valor, cuando se encuentra en una ecuación y al ejecutar estas operaciones se considera a la literal como un ente que puede tomar cualquier valor.

3.2 Variable como número general

Se considera que un manejo adecuado de la variable como número general implica:

� reconocer patrones y reglas en secuencias numéricas y en familias de problemas � interpretar el símbolo como una representación de un objeto indeterminado; � desarrollar la idea de método general distinguiendo los elementos variantes de los

invariantes en familias de problemas similares, hasta llegar a la simbolización de un método general y del objeto general sobre el cual éste actúa;

� manipular el símbolo para simplificar o desarrollar expresiones algebraicas.

3.3 Variables en relación funcional

Se considera que un manejo adecuado de las variables en relación funcional implica:

� reconocer la correspondencia entre cantidades en sus diferentes representaciones: tabla, gráfica, problema verbal o expresión analítica;

� determinar los valores de la variable dependiente cuando se conocen los de la variable independiente;

� determinar los valores de la variable independiente cuando se conocen los de la variable dependiente;

� reconocer la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación en cualquiera de sus formas de representación;

� determinar los intervalos de variación de una de las variables cuando se conocen los de la otra;

� expresar una relación funcional de manera tabular, gráfica y/o analítica, a partir de los datos de un problema.

El modelo presentado sirvió para analizar las respuestas que dieron los profesores. Esto permitió entender mejor la interpretación y el manejo que tienen los profesores de matemáticas de secundaria en torno al concepto de variable. También fue útil para averiguar las dificultades más comunes que tienen dichos profesores.



4. Metodología

Con el fin de averiguar las diversas interpretaciones del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria se aplicó un cuestionario previamente diseñado y validado a una población de 74 profesores de matemáticas de secundaria. Posteriormente se realizó el análisis tanto cuantitativo como cualitativo de las respuestas a este cuestionario. Finalmente se realizaron entrevistas a 6 profesores y se llevó a cabo el análisis e interpretación de las mismas.

4.1 Características de los participantes

Los sujetos que consideramos para este estudio son 74 profesores de matemáticas de secundaria en activo pertenecientes a secundarias tanto generales como técnicas del sistema público. Algunos de ellos se les localizó en sus propias escuelas y otros se les encontró en distintos Centros de Maestros, tanto de la ciudad de Puebla como del D. F., así como en el Centro de Actualización del Magisterio (CAM) del D. F.

De la población total de profesores, 41 de ellos, esto es el 56% de la población del estudio, cuentan con la Especialidad en Matemáticas de Normal Superior; 23 profesores, es decir, el 31% del total, son egresados de alguna carrera universitaria entre las que podemos citar: Ingeniero Textil, Ingeniero Mecánico-Eléctrico, Arquitecto, Ingeniero en Electrónica; 4 profesores, que representan el 5%, cuentan con la preparación de Normal Primaria y los 6 restantes, esto es, el 8%, no dieron este dato.

La antigüedad en el servicio docente es un factor importante en la trayectoria de cualquier profesor de educación básica pues nos dice cuál es la experiencia que ha acumulado el docente. Asimismo, la antigüedad en el servicio tiene un papel relevante en el mecanismo que permite al profesor acceder a otro tipo de ingresos. Casi una tercera parte de la población estudiada (24 profesores) cuenta con menos de 7.5 años de servicio; 14 profesores se encontraban entre 7.5 y 14.5 años de servicio; 16 profesores se localizaron entre 14.5 y 21.5 años de servicio; en los tres grupos restantes se aprecia una disminución gradual en el número de profesores, 11 profesores se encuentran entre 21.5 y 28.5 años de servicio; 6 profesores se ubican entre 28.5 y 35.5 años y 1 profesor con 39 años de antigüedad está entre 35.5 y 42.5 años de servicio; 2 profesores no proporcionaron este dato. De acuerdo con estos datos se puede concluir que la población estudiada es en su mayoría joven, tanto en edad como en antigüedad.

4.2 Instrumentos

4.2.1 El cuestionario

El instrumento que se utilizó para estudiar la interpretación de la noción de variable en la población descrita es el cuestionario de 65 preguntas abiertas que fue usado previamente en una investigación con estudiantes universitarios (Ursini y Trigueros, 1998). Dicho cuestionario contiene preguntas relacionadas con los tres diferentes usos de la variable: incógnita específica, número general y en relación funcional. Para cada uno de estos usos se incluyen aspectos que permiten diagnosticar la capacidad de interpretar correctamente la variable involucrada, simbolizar una situación en la que aparece cierta caracterización de la variable y manipular las variables que aparecen en las expresiones. El cuestionario contiene 16 preguntas relativas al uso de la variable como incógnita específica, 20 corresponden al uso de la variable como número general y 29 son relativas al uso de variables en relación funcional.





4.2.2 Las entrevistas

Una vez concluida la concentración en tablas de las respuestas dadas por los 74 profesores al cuestionario se procedió a realizar las entrevistas clínicas a 6 de los sujetos de estudio. Dichas entrevistas fueron grabadas en audio. Los profesores entrevistados fueron seleccionados de acuerdo con el porcentaje promedio de respuestas correctas dadas al cuestionario de tal forma que dicho porcentaje estuviera cercano al promedio general. Además de dicho criterio, los sujetos fueron seleccionados atendiendo a la disponibilidad de tiempo con la que contaban y a la disposición para ser entrevistados. Los profesores elegidos fueron invitados personalmente y se les pidió autorización previa para grabar la entrevista. Cabe mencionar que a los 6 profesores se les entrevistó en sus lugares de trabajo y que cedieron amablemente parte de su tiempo. Para las entrevistas se tomaron en cuenta las preguntas del cuestionario que obtuvieron el más bajo porcentaje de respuestas correctas y que, además, fueran las que la mayoría de los profesores había respondido incorrectamente.

La interpretación y el análisis de las entrevistas realizadas se llevó a cabo tomando como marco el Modelo 3UV (Ursini et al, 2005). Esto permitió reconocer las principales dificultades que presentaban los profesores entrevistados en torno al concepto mencionado. La manera en la que se realizó el análisis de las entrevistas consistió en la revisión e interpretación de las transcripciones, considerando en todo momento los diversos aspectos que implican la conceptualización de la variable en sus tres usos.

5. Análisis

5.1 Respuestas de los profesores en cada uso de la variable

Con el objeto de observar y clasificar los errores más comunes que cometen los profesores al trabajar con cada uno de los 3 usos de la variable considerados, se construyeron las tablas que a continuación aparecen. Éstas se elaboraron tomando en cuenta los porcentajes promedio para cada pregunta y se seleccionaron las preguntas que tuvieron los porcentajes promedio más bajos de aciertos. En ellas aparecen los porcentajes promedio de respuestas correctas, incorrectas y omisiones, así como algunos ejemplos de respuestas incorrectas típicas de por lo menos dos profesores así como el número de éstos que dieron el tipo de respuesta indicado.

5.2 Variable como número general

De acuerdo con las respuestas de la Tabla 2 podemos observar que las dificultades que muestran los profesores al enfrentarse a la variable como número general están relacionadas con la capacidad para interpretar el símbolo como una representación de un objeto indeterminado (preguntas 4, 13 y 34). Nótese que en el caso de la pregunta 4, 27 profesores de un total de 51 dieron su respuesta a

través de la relación funcional 75

+= yx

, mientras que si hubieran escrito primero la igualdad yx =5

y después 7+y , la respuesta sería correcta. Dicho tipo de respuesta sugiere que los profesores tienen

dificultad para operar con la expresión 5

x, la cual contiene una operación indicada y no ejecutada.

Resalta el hecho de que este tipo de respuesta se encontró con alumnos de secundaria, de bachillerato y estudiantes universitarios, (ver Lozano, 1998; López, 1996 y Ursini y Trigueros, 1998). Cabe mencionar que 27 profesores dieron esta respuesta, lo que coincide con las respuestas que dieron



cuatro de los seis profesores que fueron entrevistados. Lo que resalta más en cuanto a las dificultades para contestar esta pregunta es el hecho de que los profesores entrevistados no conciben la expresión x/5 como un objeto con el cual se puede operar, de ahí que lo relacionen con otra variable a través del signo igual. Parece ser que la palabra resultado los induce a escribir el signo de igualdad, como se aprecia en el diálogo siguiente.

Entrevistador: ¿Por qué dice que necesariamente tiene que hallar un resultado? Profesor 9: Porque así me lo está expresando. Aquí dice: un número desconocido dividido por 5 y

el resultado (enfatiza) sumado a 7, es lo que yo entiendo que tengo que encontrar un resultado y le tengo que sumar 7.

Pregunta Respuesta correcta

%Correctas %Incorrectas %Omisiones Ejemplos de incorrectas

Sujetos que dan cada respuesta

4. Escribe una fórmula que exprese: Un número desconocido dividido por 5 y el resultado sumado a 7.

x/5 +7 27% 69% 4%

75

+= yx

755

+= xx

75

=x

27 de 51

3 de 51

4 de 51

13. Para cada una de las siguientes expresiones ¿cuántos valores puede tomar la letra? (x+1)2 = x2+2x+1

Infinitos 38% 55% 7%

Dos

Un valor

18 de 40

9 de 40

34. Observa las siguientes igualdades y completa: 1 + 2 + 3 = 6 1 + 2 + 3 + 4 = 10 ... 1 + 2 + 3 + 4 +...+n =

2

)1( +nn 45% 39% 16%

2

1+× nn

8 de 31

32. ¿Cuántos puntos agregas para pasar de la figura m-ésima a la siguiente?

2m + 1 25% 58% 17%

m +2

m + 1

6 de 40

4 de 40

Tabla 2. Respuestas de los profesores a las preguntas de variable como número general





En el caso de la pregunta 13, obsérvese que un buen número de profesores, esto es, 18 de 40 contestaron que esta expresión puede tomar dos valores, mientras que otros 9 profesores respondieron que podría tomar un solo valor. Resalta también el hecho de que 14 profesores respondieron la pregunta 34 sin escribir el paréntesis para separar los dos factores n y 1+n , así como también

quienes utilizaron otra letra para simbolizar el factor consecutivo de la serie 2

mn×.




33. Escribe una fórmula que muestre cómo vas agregando puntos hasta llegar a la figura m-ésima

1, 3, 5, 7, ... , 2(m –1) + 1,

(2m + 1) 0% 66% 34%

m + 2

2m + 1

4 de 47

6 de 47

46. De las siguientes expresiones n + 2 y 2×n ¿Cuál es más grande?

n + 2 < 2n cuando n >2 n + 2 >2n cuando n < 2 n + 2 = 2n cuando n = 2

26% 64% 10% 2×n 35 de 50

47. Justifica tu respuesta

n n+2 2xn

15% 78% 7%

n n+2 2xn

1 3 2

2 4 4

3 5 6

4 6 8

5 7 10

47 de 59

-1 1 -2

0 2 0

1 3 2

2 4 4

3 5 6

Tabla 2. Respuestas de los profesores a las preguntas de variable como número general

También se aprecia la incapacidad para reconocer patrones en secuencias numéricas (preguntas 32 y 33). Con estas preguntas se observó que varios profesores las contestaron, al parecer, guiados por la secuencia numérica impar que se refiere al número de puntos que se van agregando para pasar de una figura a otra, es decir, se dan cuenta que la sucesión aumenta de dos en dos y por eso escriben

2+m . Algunos otros escribieron 12 +m como respuesta a la pregunta 33 siendo que esta expresión es correcta pero para la pregunta 32. Asimismo se observó cierta debilidad en la noción de continuo numérico cuando los profesores conciben que la letra toma valores dentro de cierto campo numérico, como el de los naturales. Tal es el caso de las preguntas 46 y 47, donde observamos que un número importante de docentes contestaron que la expresión mayor es n×2 y justificaron su respuesta escribiendo los primeros términos de la serie numérica natural, sin considerar que en el caso 1=n ,

2+n es mayor que n×2 y en el caso 2=n ambas expresiones son iguales.

Otra dificultad que mostraron los profesores fue con la pregunta 13. Las respuestas más frecuentes que los profesores dan a esta pregunta fueron “dos” y “un valor”. En coincidencia con lo que Ursini y Trigueros (1998) sugieren, parece ser que los profesores sólo observan que la variable



está elevada al cuadrado, por lo que deducen que la letra puede tomar dos valores sin percatarse de que se trata de una identidad. En el caso de la respuesta “un valor” parece ser que los profesores observan el término cuadrático y lo eliminan creyendo que se trata de una ecuación de primer grado.

Se aprecia además, cierta dificultad para interpretar el símbolo como una representación de un objeto indeterminado y la necesidad de fijar su valor para comprobar la igualdad, en donde la profesora había respondido que la expresión podía tomar dos valores, como podemos verlo en la afirmación siguiente:

Profesora 32: Puedo por ejemplo poner 3 + 1 al cuadrado y volvería a dar lo mismo, al resolver aquí esta x va a tener el valor de 3, 3 al cuadrado 9 más este por este, este perdón, dos veces el primero por el segundo y me va a dar la igualdad o sea este producto, este binomio al cuadrado, esta es su respuesta, al darle varios valores va a ir cambiando nada más aquí, rectifico mi respuesta.

5.3 Variable como incógnita específica

En la Tabla 3 se puede apreciar que los profesores muestran dificultad para determinar la incógnita que aparece en ecuaciones o problemas llevando a cabo las operaciones algebraicas o aritméticas necesarias (pregunta 59), lo cual se observa con el tipo de respuesta incorrecta más frecuente: 6=y . Nótese que aunque este aspecto de la variable se trata con mayor atención en la escuela, parece ser que sigue representando dificultades para los profesores. En el caso de la pregunta 14, se aprecia un buen número de profesores contestaron que la letra puede tomar dos valores, lo que parece indicar que su respuesta se vio influenciada por la presencia del término cuadrático en la ecuación, sin percatarse que se trataba de una ecuación de primer grado. En las preguntas 16 y 18 se observa la dificultad que tienen los maestros para determinar los valores de la incógnita, pues sólo consideraron el valor positivo y denotan además, cierta tendencia a evitar las operaciones algebraicas o aritméticas. En el caso de la pregunta 50 se puede ver una clara tendencia a resolver el problema mediante procedimientos aritméticos y a evitar plantear la ecuación. Nótese que, no obstante que en la pregunta se pedía escribir una fórmula para resolver el problema, los profesores lo resolvieron aritméticamente e incluso hubo algunos que intentaron medir el lado del cuadrado sombreado durante la resolución del cuestionario. En el caso de la pregunta 52 se observa la dificultad para plantear una ecuación que resuelve el problema así como la tendencia a resolverlo mediante procedimientos aritméticos, lo cual se comprueba por la respuesta más común: 125. También se aprecia que cuatro maestros consideraron como una fórmula que resuelve el problema a la igualdad km = (40-25)/0.12 en la que parece ser que el símbolo km es considerado como una incógnita.








14. Para cada una de las siguientes expresiones ¿cuántos valores puede tomar la letra? 4 + x2 = x(x + 1)

uno 33% 60% 7% dos 28 de 40

16. Para cada una de las siguientes expresiones escribe los valores que puede tomar la letra: (x + 3)2 = 36

3 y -6 34% 64% 2% x = 3 17 de 46

18. 21

102

=+ x

2 y -2 31% 61% 8% x = 2 22 de 45

50. Escribe una fórmula para resolver los siguientes problemas: El área total de la figura es 27. Calcula el lado del cuadrado sombreado.

2762 =+ xx 11% 61% 28%

L = 27 5

A = 27

A = (x – 3)2

3 de 45

7 de 45

2 de 45

2 de 45

52. Escribe una fórmula para resolver los siguientes problemas. Rentar un automóvil cuesta $25 por día, más $0.12 por km. ¿Cuántos kilómetros puede manejar Diego en un día, si sólo dispone de $40.

0.12x + 25 = 40

13% 67% 20%

125

Km =(40-25)/0.12

26 de 48

4 de 48

59. Dada la expresión 40–15x–3y=17y–5x ¿Cuál es el valor de y para x = 16?

y=-6 37% 33% 30% 6

-60

6 de 24

3 de 24

Tabla 3. Respuestas de los profesores a las preguntas de variable como incógnita

Para contestar esta pregunta se requiere que los profesores reconozcan e identifiquen en el problema la existencia de algo desconocido, asimismo identifiquen claramente cuál es la incógnita en este problema y la representen simbólicamente en una ecuación.



Aquí se ponen en evidencia dificultades que encuentran los profesores para conceptualizar la variable como incógnita cuando se enfrentan a problemas de tipo verbal. Esto se manifiesta por la diversidad de respuestas incorrectas y por la tendencia a resolver el problema por procedimientos aritméticos sin plantear una ecuación que puede llevarlos a la solución. Ejemplificamos lo anterior con el diálogo siguiente.

Entrevistador: Bueno entonces vamos a otra, la número 50 dice, el área total de la figura es 27 calcula el lado del cuadrado sombreado, pero para esto hay que escribir una expresión que me resuelva el problema, entonces su respuesta fue que, que sería 9 cm, ¿por qué considera que eso mide el lado del cuadrado?...

Profesora 32: Si le restamos estas áreas (señala los rectángulos y el área del cuadradito que se forma al completar la figura con un cuadradito de 3x3) daría esto (señala el cuadrado sombreado) ¿sí?, entonces si sacamos la raíz de 27, ¿cuánto sería? (utiliza una calculadora) sería 5.19 aproximadamente ¿sí?, menos los 3 cm que tiene aquí, porque se supone que este pedacito marca 3, mide 3 ¿no?, 3 x 3, si le quito este pedazo de 3, de aquí de cada lado, sería menos 3, sería 9, 2.19, 27... sería 2.19 por 2.19 daría ah no, pero no da, 4.79, no como que no me queda.

En el siguiente diálogo podemos observar que el profesor utiliza un símbolo para representar “una cantidad desconocida”, sin embargo ésta no corresponde con la incógnita del problema.

Profesor 15: Tomé como x, o sea porque nada más me dan la medida de éste, de esta parte (se refiere a la medida del ancho del rectángulo no sombreado), entonces tomo como, como una cantidad desconocida a este lado de este cuadrado completo (señala el cuadrado completado con un cuadradito de 3x3) como x, y le resté ésta que sí conozco (señala el 3) de los dos lados, quedaría acá, aquí quedaría este 3, entonces le quito este 3 y me queda, perdón éste, y éste también de esta parte y de este lado le quito éste, entonces me quedaría x – 3 y pues ya nada más lo elevé al cuadrado por el área de un cuadrado de lado por lado.

5.4 Variables en relación funcional

La Tabla 4 incluye un número mayor de preguntas que en las otras tablas, lo cual nos indica que éste es el uso de la variable con el que los profesores tienen mayores dificultades. Podemos decir que los profesores presentan dificultades para determinar los valores de la variable dependiente cuando se conocen los de la variable independiente (pregunta 54 y 65). Esto se observa en el tipo de respuestas que dieron los profesores para estas dos preguntas. En el primer caso se pedía encontrar el valor de x para el cual y alcanza su valor máximo cuando la relación se da en forma de tabla. Cuando se les pidió que determinaran el valor de x para el cual se obtiene el valor mínimo de y en forma gráfica, 15 de 32 profesores que contestaron incorrectamente escribieron 0=x . También se aprecia la incapacidad para expresar una relación funcional analíticamente a partir de los datos de un problema (pregunta 48), pues varios profesores respondieron estas preguntas con una diversidad de expresiones incorrectas como por ejemplo: kxy = , atv = , en el caso de la pregunta 43 y 1Kg:4cm para la pregunta 48. Se observa asimismo cierta incapacidad para reconocer la variación conjunta de las variables que intervienen en una relación cuando se presenta en forma de tabla (pregunta 53).








44. Considera la siguiente expresión: y= 3 + x Si queremos que los valores de y sean mayores que 3 pero más peque-ños que 10, ¿qué valores puede tomar x?

0< x < 7 16% 74% 9% 1, 2, 3, 4, 5,

6 30 de 56

45. Si x toma valores entre 8 y 15, ¿entre qué valores caerán los valores de y?

11≤ y ≤18 46% 39% 15% 11, 12, 13, 14, 15, 16,

17 y 18 9 de 28

48. El peso de la mercancía que se compra en el mercado se mide con una báscula. En el puesto de Don Panchito, por cada kilogramo de peso la charola de la báscula se desplaza 4 cm. Encuentra la rela-ción entre el peso de la compra y el desplazamiento de la charola.

d(p)=4p 21% 61% 18% 1Kg:4 cm 14 de 44

Observa los datos siguientes (para las preguntas 53, 54, 57 y 58).

x y

0 0

10 100

-15 225

25 625

20 400

-10 100

15 225

-20 400

54. Para qué valor de x, alcanza y su valor máximo?

25±=x 6% 78% 16%

25

+20 y -20 38 de 58

Tabla 4. Respuestas de los profesores a las preguntas de variable en relación funcional



Obsérvese que la mayoría de los profesores respondieron que el valor de y aumenta, sin percatarse que parte de los valores de y también disminuyen. Lo mismo puede apreciarse cuando la relación se presenta en forma gráfica (preguntas 62 y 63). Otra dificultad que presentan los profesores es la incapacidad para determinar los intervalos de variación de una de las variables cuando se conocen los de la otra (pregunta 44, 45, 57, 58, 60 y 61). Nótese que en caso de la pregunta 44 y la pregunta 45, los profesores respondieron con un intervalo discreto, lo cual denota debilidad en la noción de continuo numérico. Se aprecian también dificultades con la variación conjunta y se observa la tendencia a fijar la atención en los extremos de la función, sin analizar lo que sucede en el interior del intervalo, como lo muestran las respuestas de las preguntas 57 y 58. Se observan asimismo dificultades para determinar los intervalos de variación por el tipo de respuestas que dan a las preguntas 60 y 61.




57. Si queremos que el valor de y esté entre 256 y 10000 ¿entre qué valores tiene que estar x?

-100≤ x ≤ 16

16≤ x ≤ 100 6% 63% 31%

16 y 100

16<x<100

19 de 45

5 de 45

58. Si x toma valores entre -2 y 26 ¿entre qué valores estará y?

0≤ y ≤ 676 8% 64% 28% 4 y 676

4 < y < 676

24 de 45

4 de 45

60. Para que el valor de y esté entre 1 y 5 ¿entre qué valores debe estar x?

-6≤ x ≤ 2 16% 33% 61% 6 y 14

-6 < x < -2

2 de 27

2 de 27

61. Supón que x toma valores entre –5 y 5, ¿para qué valor de x alcanza y su valor máximo?

x = -5 25% 27% 48% 5=x 7 de 18

Dada la siguiente gráfica:

62. ¿Entre qué valores de x, los valores de y crecen?

0< x ≤ 5 39% 37% 23%

De 0 a 10

0 a 5 y 0 a -20

4 de 27

3 de 27









En la misma gráfica. 63. ¿Entre qué valores de x, los valores de y decrecen?

-20≤ x < 0 5< x ≤ 25

22% 51% 27% 5 y 10

cuando x > 5

5 de 39

5 de 39

En la misma gráfica. 65. ¿Para qué valor de x se obtiene el valor mínimo de y?

x=25 28% 45% 27% 0 15 de 32


Como ejemplo de análisis presentamos la respuesta más frecuente a la pregunta 44. Esta fue: “1, 2, 3, 4, 5 y 6”. Cabe mencionar que este tipo de respuesta se encontró con estudiantes de primer grado de secundaria, de quienes se puede aceptar esta respuesta como correcta dado el manejo limitado que tienen del continuo numérico, lo que no debería suceder con los profesores. Hubo 30 profesores del total de 74 que contestaron de tal forma. En un primer acercamiento podemos observar que los profesores que respondieron así tienen dificultad para concebir al intervalo de variación de una de las variables que intervienen en esta relación cuando se conoce el intervalo en el que se mueve la otra. Esto se manifiesta en el tipo de respuesta que dan: enlistan sólo los enteros que forman parte del intervalo. Esta clase de respuesta revela una debilidad en la noción del continuo numérico y una concepción discreta de la relación, lo cual ha sido ya reportado en otras investigaciones en las que se analizaron las respuestas dadas a esta pregunta por alumnos del primer semestre universitario (Ursini y Trigueros, 1998). Asimismo se aprecian dificultades para reconocer la variación conjunta, lo que se observa en el diálogo siguiente.

Profesor 33: Mayores que 3 pero más pequeños que 10, porque me está definiendo acá mayores que 3 pero a la vez esos tienen que ser pequeños, o sea más chicos que 10, por eso es que tomé 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Entrevistador: O sea que ¿esos son los valores que podía tomar x?

Profesor 33: Ajá.

Cabe mencionar que la secuencia numérica que dio el profesor evidentemente se refiere a los valores enteros de la variable dependiente, y. Se ignora por completo la relación con la variable independiente x, para la cual tenía que determinar los valores posibles.

Otro ejemplo donde se aprecia la dificultad para determinar el intervalo de variación se observa en el diálogo siguiente.

Profesor 14: Bueno, aquí tenemos que la variable puede tomar también valores enteros y valores fraccionarios, o sea siempre y cuando la suma eh...perdón sí la suma de los valores de



x más la constante que es 3 cumpla las condiciones, las condiciones que tenemos que debe ser mayor que 3 y menores que 10 el valor ¿de quién?, de y, también pueden ser valores enteros y fracciones.

Entrevistador: ¿Nada más?, o sea le pregunto esto por la manera en la que lo expresó, o sea...¿serían 6 valores? como están indicados aquí 1, 2, 3, 4, 5 y 6.

Profesor 14: No, además los equivalentes fraccionarios, ¿sí? Sus equivalentes fraccionarios, por ejemplo sería 2/2, 4/2, 6/2, etc., o sea esos serían sus valores.

Lo que se percibe aquí es que este profesor parece tener la noción del continuo numérico cuando expresa que la variable independiente puede tomar valores enteros y fraccionarios, sin embargo, considera que tal noción se sustenta en la clase de equivalencia de los enteros que forman parte del intervalo. Esto se aprecia cuando menciona que habría más valores de la variable y que éstos podrían ser los equivalentes fraccionarios.

6. Conclusiones y reflexiones

En este aparatado se presentan las conclusiones derivadas tanto del análisis cuantitativo como del análisis cualitativo de los resultados encontrados con la población de profesores ya descrita. Asimismo se comentan algunas reflexiones en torno a la posibilidad de mejorar la actualización de los profesores de matemáticas de secundaria a través de la realización de talleres breves.

Realizar un estudio que involucre a profesores de educación secundaria no es tarea fácil. Una de las razones por lo que esto sucede es que los profesores muestran resistencia a ser cuestionados en la mayoría de los casos. Esto lo pudimos constatar cuando se les solicitaba a otros profesores dar la entrevista, quienes respondían que la falta de tiempo era su principal obstáculo. Otra razón es que los profesores no estaban por lo general dispuestos a contestar un cuestionario tan largo, ya que para resolverlo se requería de aproximadamente 2 horas. Sin embargo, creemos que gran parte del objetivo principal de este estudio fue logrado.

Uno de los primeros hechos que consideramos importante resaltar es que el porcentaje promedio de respuestas correctas a las preguntas del cuestionario fue de 52.7% lo que indica que la mayoría de los profesores tienen una pobre comprensión del concepto de variable. Cabe mencionar también que el 65% de los profesores contestó correctamente menos del 60% de las preguntas y que ninguno de ellos contestó correctamente el 100% de las preguntas del cuestionario.

Cuando se analizan los datos tomando como variable el género de la población estudiada, se encuentra que los profesores obtienen un porcentaje promedio de aciertos más alto que las profesoras. La diferencia entre los porcentajes promedio obtenidos por ambos grupos es de 13% aproximadamente. No obstante, al no ser éste un estudio de género no se profundizó en el por qué de dicha diferencia y nos limitamos a presentar los resultados. Sin embargo estos resultados llaman la atención y consideramos que ameritarían un estudio más profundo.

Acerca de los porcentajes de respuestas correctas dadas a cada pregunta del cuestionario, podemos decir que ninguna de las preguntas fue respondida correctamente por el total de los profesores. También destaca el hecho de que sólo una pregunta, que se refiere a patrones visuales y su generalización, no pudo ser contestada correctamente por ninguno de los profesores.





Los porcentajes promedio de respuestas correctas de acuerdo con cada uno de los usos de la variable muestran que las mayores dificultades se presentan cuando los profesores se enfrentan a las variables en relación funcional (49.1% de aciertos). Al trabajar con la incógnita específica alcanzaron un 52.3% de aciertos. El porcentaje promedio de aciertos que alcanzaron al trabajar con la variable como número general fue de 58.2% de aciertos. Estos resultados sugieren que este último uso de la variable es el que los profesores manejan mejor. Sin embargo, un análisis detallado de las preguntas que involucran este uso de la variable indica que los profesores contestan correctamente aquellas que implican la manipulación, aspecto en el que se pone mucho énfasis en la enseñanza secundaria. Los profesores son capaces de interpretar el símbolo como una representación de un objeto indeterminado y de manipularlo para simplificar o desarrollar expresiones algebraicas simples. No obstante, cuando la complejidad de la expresión aumenta los profesores presentan dificultades en la interpretación y la simbolización. Cuando se trataba de problemas donde se requería reconocer secuencias, pudo apreciarse la incapacidad para simbolizar dichos patrones. Así por ejemplo, la pregunta número 33 que implicaba expresar analíticamente la regla general de una secuencia visual obtuvo un 0% de aciertos.

La interpretación de los profesores sobre la variable como incógnita parece tener aún más dificultades que cuando se trata de número general. Esto se refleja por la clara tendencia de los profesores a evitar simbolizar la incógnita y recurrir a procedimientos aritméticos para resolver un problema. Tienen dificultades para interpretar la incógnita en problemas, así como para simbolizarla involucrándola en una ecuación. Cabe señalar, sin embargo, que a este uso de la variable se le da el mayor énfasis a lo largo de la enseñanza secundaria, pero por lo general se observan dificultades con este aspecto, debido quizá a que dicha manipulación se realiza sin sentido y significado para el que aprende.

Finalmente como ya se señaló, la variable en relación funcional presenta el más bajo porcentaje promedio de aciertos. Esto parece indicar que para los profesores este uso de la variable es el que presenta mayores dificultades. Se observó que la mayoría de ellos son capaces de trabajar con la idea de variación cuando ésta se presenta en forma de tabla así como de reconocer la correspondencia entre cantidades. Sin embargo, cuando se trató de determinar intervalos de variación, reconocer la variación conjunta en forma gráfica o de expresar de manera analítica una relación funcional, los profesores presentaron diversas dificultades que reflejan una escasa comprensión y manejo adecuado de este uso de la variable.

Los resultados de esta investigación sugieren que los profesores de matemáticas de secundaria no tienen un buen manejo de los tres usos de la variable estudiados. Si bien se observó que son capaces de reconocer el papel de la variable en expresiones y problemas simples, un aumento leve en la complejidad de los mismos provoca generalizaciones inadecuadas y la tendencia a buscar soluciones memorizadas o a emplear procedimientos aritméticos.

Gran parte de los estudios que se han realizado hasta ahora pusieron de manifiesto las diversas dificultades que tienen los estudiantes cuando trabajan con el álgebra. Los resultados de este estudio sugieren que dichas dificultades podrían ser causadas por la poca comprensión que tiene el profesor de los diferentes aspectos de la variable y que al momento de enseñar los contenidos esta misma incomprensión es transmitida a los alumnos sin que el profesor sea consciente de ello. Por otro lado, creemos que los profesores de matemáticas de secundaria tienen ahora más oportunidades para mejorar la comprensión de algunos temas que involucran el concepto de variable, a través de los cursos estatales y nacionales de actualización, así como con los talleres breves. Esta última modalidad ha tenido gran aceptación entre los profesores, pues en ella se trabaja en un ambiente que permite compartir el conocimiento con otros profesores y superar algunas dificultades que se manifiestan en el desarrollo del mismo. Los resultados del presente trabajo nos permiten sugerir la conveniencia de utilizar esta modalidad para abordar los diferentes contenidos en que aparecen los distintos usos de la



variable y así tratar de ayudar a los profesores a desarrollar una mejor comprensión y manejo de este concepto, fundamental para un dominio adecuado del álgebra y de la mayoría de las ramas de las matemáticas elementales y avanzadas.

Bibliografía

Booth, L. (1988). Children’s Difficulties in Beginning Algebra. The Ideas of Algebra, K-12. 20-32. NCTM.

Cooney, J. T., Shealy, B. E. y Arvold, B. (1998). Conceptualizing Belief Structures of Preservice Secondary Mathematics Teachers. Journal for Research in Mathematics Education, 29, 306-333

Dreyfus, T. y Eisenberg, T. (1981). Function Concepts: intuitive baseline. Proceedings of the V PME International Conference, 183-188. Grenoble, France.

English, L. y Warren, E. (1998). Introducing the Variable through Pattern Exploration, The Mathematics Teacher, 91, 166-170.

Filloy, E. y Rojano, T. (1989). Solving Equations: the Transition from Arithmetic to Algebra. For the Learning of Mathematics, 9(2), 19-25.

Juárez, J. A. (2002). La comprensión del concepto de variable en profesores de matemáticas de secundaria. Tesis de Maestría no publicada. DME. Cinvestav-IPN: México.

Kieran, C. (1984). Cognitive Mechanisms Underlying the Equation-solving Errors of Algebra Novices, Proceedings of the VIII PME International Conference, 70-77. Sydney, Australia.

Kieran, C. (2006). Research on the learning and teaching of algebra, en A. Gutiérrez y P. Boero (eds.), Handbook on the Psychology of Mathematics Education: Past, Present and Future, 11-49. Sense Publishers: UK

Küchemann, D. (1980). The Understanding of Generalized Arithmetic (Algebra) by Secondary School Children, PhD Thesis, University of London.

López, A. L. (1996). Construcción de la noción de variable algebraica el alumnos de nivel medio superior. Tesis de Maestría no publicada. UAQ: México.

Lozano, D. (1998). El concepto de variable: evolución a lo largo de la instrucción matemática. Tesis de Licenciatura no publicada. ITAM: México.

MacGregor, M. y Stacey, K. (1993). Seeing a Pattern and Writting a Rule, en Hirabayashi, I., Nohda, N., Shigematsu, K., y Lin, F. (Eds.), Proceedings of the XVII PME International Conference, 181-188. Ibaraki, Japan.

MacGregor. M. y Stacey, K. (1996). Learning to Formulate Equations for Problems, en Puig, L. y Gutiérrez, A. (Eds.), Proceedings of the XX PME International Conference, 289-296. Valencia, España.

Mason, J., Graham, A., Pimm, D., y Gowar, N. (1985). Routs to/Roots of Algebra. Open University Press: Great Britain.

Matos, A. y Da Ponte, J. P. (2008). O estudio de relaçoes funcionais e o desenvolvimento do conceito de variable em alunos do 8º. ano. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 11 (2), 195-231.

Matz, M. (1980). Towards a Computational Theory of Algebraic Competence, Journal of Mathematical Behavior, 3 (1), 93-166.

Nathan, M. J. y Koedinger, K. R. (2000). Teachers’ and Researchers’ Beliefs about the development of algebraic reasoning. Journal for Research in Mathematics Education, 31, 168-190.

Philipp, R. A. (1992). The Many Uses of Algebraic Variables, Mathematics Teacher, 85, 557-561. Philipp, R. A. y Schappelle, B. P. (1999). Algebra as Generalized Arithmetic: Starting with the Known

for a Change, The Mathematics Teacher, 92, 310-316. Rosnick, P. (1981). Some Misconceptions Concerning the Concept of Variable, Mathematics Teacher,

74, 418-420.





Schoenfeld, A. H. y Arcavi, A. (1988). On the meaning of Variable, Mathematics Teacher, 81, 420-427.

Stacey, K. y MacGregor, M. (1996). Origins of students’ interpretations of algebraic notation, en Puig, L. y Gutiérrez, A. (Eds.), Proceedings of the XX PME International Conference, 297-304. Valencia, España.

Stacey, K. y MacGregor, M. (1997a). Ideas about Symbolism that Students bring to Algebra, The Mathematics Teacher, 90, 110-113

Stacey, K. y MacGregor, M. (1997b). Multiple referents and shifting meanings of unknowns in students use of Algebra, en Pehkonen, E. (Ed.), Proceedings of the XXI PME International Conference, 190-197. Lahti, Finland.

Trigueros, M. y Ursini, S. (1999). Does the understanding of variable evolve through schooling?, en Zaslavsky, O. (Ed.), Proceedings of the XXIII PME International Conference, 273-280. Haifa, Israel.

Trigueros, M., Ursini, S. y Lozano, D. (2000). La conceptualización de la variable en la enseñanza media. Educación Matemática, 12 (2), 27-48.

Trigueros, M., Reyes, A., Ursini, S. y Quintero, R. (1996). Diseño de un Cuestionario de Diagnóstico acerca del Manejo del Concepto de Variable en el Álgebra. Enseñanza de las Ciencias, 14 (3), 351-363.

Ursini, S. (1990). Generalization processes in elementary algebra: Interpretation and Symbolization, en Booker, G., Cobb, P. y Mendicuti, T. N. (Eds.), Proceedings of the XIV PME International Conference, 149-156. México.

Ursini, S. (1994). Los niños y las variables. Educación Matemática. 6 (3), 90-108. Ursini, S. y Trigueros, M. (1997). Understanding of different uses of variable: A study with starting

college students. Proceedings of the XXI PME International Conference, 254-261. Lahti, Finlandia. Ursini, S. y Trigueros, M. (1998). Dificultades de los estudiantes universitarios frente al concepto de

variable. En Hitt, F. (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II. 445-463. Grupo Editorial Iberoamérica: México.

Ursini, S. y Trigueros, M. (2006). ¿Mejora la comprensión del concepto de variable cuando los estudiantes cursan matemáticas avanzadas?. Educación Matemática. 18 (3), 5-38.

Ursini, S., Escareño, F., Montes, D. y Trigueros, M. (2005). Enseñanza del Álgebra elemental. Una propuesta alternativa. Trillas: México.

Usiskin, Z. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. The Ideas of Algebra, K-12. 8-19 NCTM.

Wagner, S. (1981). An Analytical Framework for Mathematical Variables, en Proceedings of the V PME International Conference, 165-170. Grenoble, France.

Wagner, S. (1983). What are These Things Called Variables?, Mathematics Teacher, 76, 474-479. Warren, E. (1995). The development of elementary algebraic understanding, en Meira, L. and

Carraher, D. (Eds.) Proceedings of the XIX PME International Conference, 98-105. Recife, Brasil. Warren, E. (1999). The concept of a variable; gauging students’ understanding, en Zaslavsky, O. (Ed.),

Proceedings of the XXIII PME International Conference, 313-320. Haifa, Israel.

José Antonio Juárez López, Nació en el Estado de Puebla, México. Es Profesor del posgrado en el Centro de Investigación en Matemática Educativa (CIMATE) de la Universidad Autónoma de Guerrero (UAG), es Licenciado en Educación Matemática por la Escuela Normal Superior del Estado de Puebla, es Maestro y Doctor en Ciencias, especialidad en Matemática Educativa por el Departamento de Matemática Educativa del CINVESTAV-IPN. Trabaja en las líneas de investigación: Estrategias de cálculo mental, Didáctica del álgebra y Actitudes hacia las matemáticas.




Matemáticos y Matemáticas solidarios

Inmaculada Gayte Delgado y Juan Núñez Valdés (Universidad de Sevilla)

Fecha de recepción: 12 de abril de 2010 Fecha de aceptación: 27 de mayo de 2010

Resumen El objetivo principal de este artículo es el de volver a plantear, esta vez ante un foro de mayor difusión, una propuesta de los autores ya realizada en un Congreso de Matemáticas de carácter local, referida a la inclusión de un tópico relacionado con el estudio conjunto de las Matemáticas y la solidaridad en los futuros Congresos, Encuentros o Jornadas de Matemáticas que se celebren a nivel no universitario en nuestro país. Para ello, y como primera contribución por nuestra parte, este artículo muestra los hechos más destacados de la vida de algunos Matemáticos/as, que tienen en común el haber tenido una vocación para las Matemáticas, haber vivido una situación desfavorable para dedicarse a ellas y haber volcado su trabajo en los demás, de forma completamente altruista y solidaria, colaborando especialmente en la formación de los jóvenes. Como objetivo secundario de la comunicación se halla también el de proporcionar al profesor de Matemáticas de Secundaria y Bachillerato algunos datos extraídos de la Historia de las Matemáticas que pueda utilizar en la introducción de algunos de los temas del currículo o bien para conseguir una mayor motivación de sus alumnos en el aula.

Palabras clave Matemáticas y Solidaridad, Historia de las Matemáticas

Abstract The main goal of this paper is to comment to a broader forum an authors' previous proposal in a local congress of Mathematics, suggesting that a topic related to the study of Mathematics and solidarity could be included in future congresses, meetings or workshops of Mathematics that would be placed in a non university context in our country. For it and as our first contribution, this paper shows the most important facts in the life of some mathematicians, all of them agree to have had a vocation for the Mathematics, to have suffered difficult circumstances in order to take them up and to have worked jointly for the rest, specially for the training of the young people. Another aim of this paper is to provide the secondary school mathematical teachers with some details of the History of Mathematics that could be used in the introduction of some topics or in order to the students gain more interest in the subject.

Keywords Mathematics and solidarity, History of Mathematics.

1. Introducción

En el IV Encuentro Provincial del Profesorado de Matemáticas de Sevilla, organizado conjuntamente por la S.A.E.M. THALES y algunos C.E.P.s de la capital y provincia, celebrado en esa ciudad en noviembre de 2009, los autores presentaron una comunicación en la que trataban conjuntamente el tema de Matemáticas y Solidaridad, realizando al final de su exposición una propuesta referida a la posibilidad de que este tópico, Matemáticas y Solidaridad, pudiese ser incorporado como sección específica en los diferentes Congresos, Encuentros o Jornadas de

Matemáticos y Matemáticas solidarios I. Gayte Delgado y J. Núñez Valdés


Educación, Didáctica o Aprendizaje de las Matemáticas que se realizasen en el futuro, tanto en los organizados por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas en general, como por las distintas sociedades que la integran u otras entidades similares, a nivel particular (véase Gayte y Núñez).

Dicha propuesta, comentada públicamente al final de la exposición, tuvo muy buena acogida por parte de los profesores asistentes, que animaron a los autores a plantearla y defenderla en otros foros que tuviesen una mayor repercusión que el citado encuentro. Ésta es la razón de ser del presente artículo, cuyo objetivo fundamental es abundar en esta propuesta, procurando su máxima difusión.

Es un hecho innegable que cada vez más, y no solo en nuestro país, la sociedad en general se está concienciando de que es necesario insistir en el tema de la solidaridad, a fin de conseguir que este mundo en el que vivimos sea más justo y confortable para todas las personas que lo habitan y que cada vez haya menos diferencias entre los países más ricos y los menos desarrollados. Estas diferencias, no obstante, constituyen un problema ético global, que aunque nos compete a todos en particular, su solución, precisamente por sus características, no puede conseguirse nunca sólo a nivel individual.

Pues bien, es precisamente aquí donde nosotros pensamos que las Matemáticas también tienen mucho que hacer y que decir en este campo. Nuestra intención es que esta Comunicación sirva, junto con algunas de las escasas existentes al respecto, de punto de partida para comprometer también a las Matemáticas, representadas por los profesores y profesoras de Matemáticas, a trabajar en esta idea. No se olvide que si tecleamos en cualquier buscador de la red "Matemáticas y Solidaridad" o expresiones similares (tanto en nuestro idioma como en sus correspondientes traducciones al inglés), veremos con desencanto que no son muchas las entradas registradas, aunque ciertamente aparecen algunas de ellas bastante interesantes (véanse Babiker, website1 y website3, por ejemplo).

Para aportar entonces nuestra primera colaboración a esta idea hemos considerado oportuno dar a conocer en esta comunicación la vida de algunos Matemáticos y Matemáticas que, aparte de por sus obras científicas, han pasado también a la posteridad por su marcado carácter solidario y por sus ansias de ayudar a los demás, con el noble objetivo de facilitar apoyo tanto físico como moral a todas las personas de su entorno. Entre ellos, hablaremos de Hipatia de Alejandría, María Gaetana Agnesi, Bernard Bolzano, Florence Nightingale, Srinavasa Ramanujan, Nancy Kopell y Julia Robinson, como ejemplos de Matemáticos que ejercieron una gran labor social, a cada uno de los cuales dedicamos entonces las siguientes secciones de esta comunicación. No obstante, como por razones de extensión no podemos mostrar aquí muchos datos biográficos sobre la vida de todos estos Matemáticos y Matemáticas, nos centraremos únicamente en destacar aquellos aspectos que pongan de manifiesto su solidaridad hacia los demás. Afortunadamente, existen abundantes y muy buenas biografías, tanto en la Red como publicadas, sobre todos ellos, que pueden consultarse sin ninguna dificultad (véanse Curbera o website2, por ejemplo).

Indicar finalmente que un objetivo secundario del artículo, aunque no exento de importancia, es también el de proporcionar al profesor de Matemáticas de Secundaria y Bachillerato algunos datos extraídos de la Historia de las Matemáticas que pueda utilizar para conseguir una mayor motivación de sus alumnos en el aula, bien en la introducción de alguno de sus temas, bien en esos “ratos perdidos”, que suelen aparecer normalmente en el desarrollo de sus clases, o bien, y sobre todo, para aportar algo de contenido Matemático a las cada vez más, afortunadamente, actividades interdisciplinarias que se celebran en los Centros relativas a la biodiversidad.




2. La primera Matemática que ayuda de forma altruista a los más jóvenes

El primer Matemático del que se tiene constancia de su labor solidaria ante los demás fue una mujer, Hipatia de Alejandría, considerada por varios autores como “la primera mujer Matemática de la antigüedad” (aunque para otros, este honor debería recaer en Teano, nacida en el siglo VI a.C., y por tanto, unos diez siglos antes que Hipatia).

Figura 1. Hipatia de Alejandría

Hipatia, hija de Teón, nacida en el año 370 en Alejandría (Egipto), tuvo una educación muy amplia, hecho éste no muy normal para las mujeres de aquella época. Estudió Matemáticas, Astronomía, Historia de las Religiones, Oratoria, Filosofía y Didáctica.

Aunque no todos los historiadores se ponen de acuerdo en lo que sigue, parece ser que Hipatia, aparte de las enseñanzas recibidas de su padre, el también Matemático Teón, viajó a Atenas y a Roma para estudiar y que a su vuelta a Alejandría se dedicó a investigar y a enseñar. En lo que sí ya están todos de acuerdo es en que Hipatia era tan buena profesora que estudiantes de toda Europa, Asia y África iban a escuchar sus enseñanzas y su casa se convirtió en una gran escuela. En esto último radica su labor solidaria, porque generalmente, Hipatia desempeñaba estas labores de una forma totalmente altruista, con el único objetivo de divulgar el conocimiento, tal como había aprendido de su padre. A este respecto, son de destacar las palabras con las que se refirió a ella el que primero fuera su discípulo y luego Obispo, Silesio de Cirene: “Madre, hermana, maestra, benefactora en todo”.

Desafortunadamente, Hipatia tuvo un final tristemente desgraciado, sufriendo una muerte atroz, pues murió lapidada en el año 415 a manos de un grupo de fanáticos cristianos, los denominados “parabolanos”. Puede ampliarse toda esta información en (Mataix, 1999), por ejemplo.

3. La solidaridad y la humildad de una Matemática

Catorce siglos después de Hipatia, otra mujer Matemática, María Gaetana Agnesi, dio también muestras sobradas de solidaridad. María había nacido en Milán en 1718, en el seno de una familia adinerada, lo que le permitió muchas facilidades a la hora de recibir una buena educación.



Figura 2. María Gaetana Agnesi

A la edad de 20 años, edad en la que publicó su primera obra, “Proposiciones Philosophicae”, sintió vocación religiosa, pero su padre le impidió entrar en un convento, ya que su madre acababa de morir en el parto de su octavo hijo. Ella aceptó la responsabilidad de cuidar de sus hermanos menores (que llegarían a ser 21, tras los dos siguientes matrimonios de su padre), a cambio de “poder ir a Misa siempre que quisiera, vestir sencilla y humildemente y no tener que asistir a bailes y fiestas”.

María, además de ser finalmente reconocida como muy buena Matemática, fue una persona muy solidaria, que vivió siempre de acuerdo con esos principios, intentando siempre ayudar a todos en general, pero a los más jóvenes, en particular. No en vano, publicó un texto titulado “Instituciones Analíticas al uso de la juventud italiana”, que recibió numerosas críticas favorables, tanto por su aportación a la difusión del cálculo analítico en Matemáticas, poco conocido por aquel entonces en Italia, como por el público al que supuestamente iba dirigido.

Los últimos cuarenta años de su vida los dedicó al cuidado de enfermos e indigentes en un hospicio, empleando en ello toda su fortuna. Murió pobre y fue enterrada en una fosa común junto a otras mujeres del hospicio.

Pasamos ya a comentar, con algo más de extensión, la vida de otros Matemáticos y Matemáticas posteriores, que también destacaron por su actitud solidaria ante los demás.

4. Un sacerdote y Matemático que lucha por la justicia

Grandes hombres a lo largo de la Historia que no han buscado el éxito y que han vivido en unas circunstancias que ayudaban a que sus vidas pasaran inadvertidas terminan siendo aún más recordados precisamente por las tribulaciones sufridas. Éste es el caso de Bernard Bolzano, sacerdote católico, nacido en Praga el 5 de octubre de 1781 y que murió en la misma ciudad el 18 de diciembre de 1848.

Bolzano no salió de su país, no tuvo contactos con los científicos de la época, sus trabajos pasaron inadvertidos durante medio siglo, uno de ellos fue descubierto en 1930, y sin embargo, hoy en día el teorema que lleva su nombre es estudiado en cualquier curso básico de Análisis Matemático de estudios superiores de ciencias.

Figura 3. Bernard Bolzano




Bolzano fue, además de Matemático, lógico, filósofo y teólogo, realizando importantes contribuciones no sólo a las Matemáticas sino a la teoría del conocimiento. Con 15 años se inscribió en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Praga. Según sus propias palabras:

Mi especial predilección por las Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la parte de las Matemáticas que es al mismo tiempo filosofía.

Cuatro años más tarde empezó a estudiar Teología y a la vez, preparó su tesis doctoral en Geometría, consiguiendo el doctorado en 1804, con veintitrés años. Ese mismo año obtuvo la cátedra de Filosofía y Religión en la Universidad de Praga y, dos años más tarde se ordenó sacerdote. No le fue fácil decidir entre dedicarse a las Matemáticas u ordenarse sacerdote. Finalmente fue su vocación de servicio, especialmente a los jóvenes de su nación, lo que le hizo decidirse por el sacerdocio. Su pensamiento Matemático hizo que su profunda fe cristiana estuviera sustentada en brillantes análisis racionales.

La época que le tocó vivir fue de fuertes convulsiones sociales. El entusiasmo provocado por la Revolución Francesa dio lugar a los primeros movimientos políticos para reivindicar la libertad de pensamiento, la independencia nacionalista, el poder de la ciencia y el enaltecimiento de la razón. El poder autoritario de las monarquías absolutas estaba llamado a desaparecer, por lo que el imperio austriaco, al que pertenecía la república checa, estaba seriamente preocupado. Bolzano, en sus clases de religión, enseñaba los valores de justicia social. Como cristiano estaba obligado a denunciar la desigualdad, la pobreza, las duras condiciones de trabajo del pueblo frente a una burguesía cada vez más enriquecida y más poderosa. Su interés principal estaba en los jóvenes, en expandir el conocimiento entre ellos que eran el futuro de la sociedad. Sus conferencias con ellos llegaron a ser tan populares que años después fueron escritas y publicadas por sus estudiantes.

Las denuncias de Bolzano no pasaron desapercibidas por las autoridades civiles que presionaron a sus superiores eclesiásticos para que fuese cesado de su cátedra, lo que ocurrió en 1819. Se le acusó de manifestar opiniones contrarias a las de la Iglesia y de introducir ideas políticas perniciosas entre sus estudiantes. Debía revocar sus opiniones públicamente y por escrito, a lo que Bolzano no sólo se negó sino que hizo una defensa escrita de sus enseñanzas. La intercesión de un famoso científico checo evitó que fuese recluido en un monasterio. En su lugar, fue apartado como párroco en una pequeña aldea, cerca de Praga, se le prohibió enseñar ni tener contacto con los estudiantes, sólo pudo continuar su labor científica de forma privada. Es por ello por lo que sus trabajos, todos ellos manuscritos, no fueron casi conocidos en su época.

En Matemáticas consiguió demostrar todo lo que declaraba, adelantándose a los analistas rigurosos del siglo XIX, aunque sus teorías sólo se entendieron después de su muerte. El conocido teorema de Bolzano tiene un enunciado que geométricamente es evidente, pero que como él mismo decía, enunciados aparentemente obvios sobre funciones continuas pueden y deben ser demostrados. Dice así:

“Si una función es continua en un intervalo cerrado [a,b], y en x=a la función es negativa y en x=b la función es positiva o viceversa, entonces la función vale cero en algún punto de (a,b).”

Dicho en otras palabras, la gráfica de una función continua entre a y b que cambia de signo en estos extremos, necesariamente corta al eje de las x al menos una vez.



Figura 4. Gráfica de una función que verifica las hipótesis del teorema de Bolzano

Este resultado es importante porque asegura la existencia de solución de ecuaciones para las que a primera vista no se sabe si tienen solución o no. Por ejemplo, ¿hay algún número real que cumpla exp(x)+sen(x)=0?

Sin pretenderlo, Bolzano es considerado hoy como uno de los padres del Análisis Matemático, pero también es recordado como aquel sacerdote que siendo fiel a sus principios morales no dejó de trabajar por el conocimiento racional de las cosas y por una sociedad de justicia. Para una visión más completa de su biografía puede consultarse (website2).

5. La Estadística y la Enfermería

La dama de la lámpara, como era recordada Florence Nightingale por los soldados heridos en la Guerra de Crimea, utilizó sus conocimientos de Matemáticas y de forma especial, desarrolló la Estadística descriptiva para denunciar la lamentable situación de los hospitales de guerra. A ella se le debe también haber transformado la mala fama de la enfermería en aquella época, asociada a mujeres de clase baja, borrachas, desaliñadas e inútiles, en una profesión respetada y respetable para mujeres.

Figura 5. La dama de la lámpara

Florence Nightingale nació circunstancialmente en Florencia (de ahí su nombre) el 12 de mayo de 1820 y murió en Inglaterra el 13 de agosto de 1910. Su familia, británica, había heredado de un




pariente rico, por lo que llevaba una vida acomodada pasando largas temporadas en el campo o de viaje por Europa. Según sus palabras, en medio de aquella vida su conciencia permanecía alerta a esa otra sociedad que vivía en la pobreza, marginada y alimentándose de los desperdicios de la suya.

Florence fue educada por su padre familiarizándose así con los clásicos, con la Biblia, y con temas políticos. Ya en su juventud pidió a sus padres que la dejaran estudiar Matemáticas, cosa poco habitual para una mujer en aquella época, a lo que sus padres se resistieron (Mataix, 1999). Finalmente contó con dos grandes Matemáticos como profesores, Sylvester y Cayley. En esta etapa de su juventud sintió la vocación a la enfermería. No se casó, aunque no por falta de pretendientes, y dedicó su larga vida a esa misión que ella entendió que era una llamada de Dios.

A pesar de la oposición de su familia, pasó por distintos hospitales para adquirir experiencia como enfermera y el 4 de noviembre de 1854 llegó a un suburbio de Estambul. Allí logró reunir a 38 enfermeras para hacerse cargo del hospital de guerra de Escutari. Había comenzado la Guerra de Crimea, un conflicto que enfrentaba a Gran Bretaña, Francia y Turquía contra Rusia. Fue la primera vez que un periódico, The Times, mandaba un corresponsal de guerra, que relataba el conflicto mediante el telégrafo, y la primera vez que se tenían fotos. La opinión pública británica fue adquiriendo una actitud cada vez más crítica porque quedó patente la ineficacia y corrupción de los mandos militares. La situación del hospital al que llegó Florence era un desastre: barracas llenas de heridos, pulgas, piojos y ratas, fosas sépticas y emanaciones cerca de las barracas, mala alimentación, agua fría para la lavandería y la desinfección. La probabilidad de morir en el hospital era siete veces superior a la de morir en el campo de batalla, porque eran las enfermedades contagiosas como el tifus o el cólera las que causaban mayores estragos. Ante la poca atención que recibió Florence de los mandos militares, usó sus contactos en el Times para denunciar la situación. Calculó la tasa de mortalidad en el hospital, que cuando llegó estaba por encima del 60%, recolectó los datos y organizó un sistema para llevar un registro. Su formación Matemática hizo que no pasara por alto la elevada tasa de mortalidad y que buscara las causas. Usó su propio dinero para establecer una fuente de agua potable, comprar frutas, verduras y equipamiento sanitario, consiguiendo reducir en poco más de un año la tasa al 2%.

Florence usó toda la información para crear unos diagramas, que en la actualidad son de uso común, llamados polares o gráficos radiales, donde representaba en cada cuña coloreada las cifras de mortalidad durante la guerra, de 1854 a 1856. Como a ella le gustaba decir, en palabras de Goethe, “el mundo está gobernado por los números porque son ellos los que nos dicen si está bien o mal gobernado”. Con ellos logró llamar la atención de la reina Victoria y la del primer ministro para llevar a cabo una reforma sanitaria.

Figura 6. Diagrama polar



A la edad de 36 años, Florence era una figura famosa y respetada en todo el mundo. No obstante, declinó todo tipo de honores públicos afirmando que la mejor recompensa a sus servicios sería el nombramiento de una comisión que investigara el estado de la asistencia médica en el ejército. Y escribió: “en Crimea unos nueve mil soldados reposan en tumbas olvidadas, muertos por causas que pudieron prevenirse”.

Fundó una escuela de enfermeras y escribió varios libros sobre la profesión que fueron utilizados durante mucho tiempo como manuales de enseñanza de la enfermería en numerosos países.

Los quince últimos años de su vida los pasó ciega y postrada en cama debido a unas fiebres contraídas en Crimea. Fue innovadora en la recolección, tabulación, interpretación y presentación gráfica de las estadísticas descriptivas, demostrando que un fenómeno social puede ser medido objetivamente y analizado Matemáticamente. En 1858 fue elegida miembro de la Sociedad Estadística de Inglaterra, siendo la primera mujer en entrar en dicha institución, también miembro honorífico de la American Statistical Association en 1874, y en 1883 la reina Victoria le otorgó la Cruz Roja Real por su labor. También fue la primera mujer en recibir la Orden al Mérito de manos de Eduardo VII, en 1907.

El monumento a Crimea fue erigido en 1915 en Waterloo Place, en Londres, para honrar la contribución que hizo Florence Nightingale a los soldados de la Guerra de Crimea.

6. Cuando la vocación Matemática surge en la pobreza

Ni el lugar donde nació, ni su corta vida, ni su formación autodidacta impidieron que Srinavasa Ramanujan pasara a la Historia como una de las mentes más prodigiosas de las Matemáticas.

Figura 7. Srinavasa Ramanujan

Srinavasa nació el 22 de diciembre de 1887 en el seno de una familia humilde de la India y murió el 26 de abril de 1920, también en la India. Desde muy temprana edad se dio a conocer por sus extraordinarias dotes para los números. Era capaz de repetir los valores de pi o de raíz de 2 con cualquier número de cifras decimales. Se divertía descubriendo fórmulas prodigiosas, llegó incluso a establecer la longitud del círculo ecuatorial de la Tierra con un pequeño margen de error. Al levantarse de la cama escribía resultados y los comprobaba, aunque no siempre era capaz de dar una demostración rigurosa. Este proceder se repitió durante toda su vida (una amplia descripción de la vida y obra de Ramanujan puede consultarse en (Curbera)).

Con 16 años consigue, a través de un amigo, un libro prestado de la biblioteca local. Este libro, famoso simplemente por este hecho, supuso para Ramanujan su primer contacto con la Matemática




formal. El libro contenía un gran número de teoremas, sin apenas pruebas, que servían de preparación para unos exámenes de Matemáticas que había en Cambridge. Ramanujan se puso inmediatamente a demostrar sus fórmulas. A los 17 años superó los exámenes de matriculación en la Universidad de Madrás y, gracias a su destreza en Matemáticas, obtuvo una beca. Pero su curiosidad por ellas le absorbió de tal manera que empezó a descuidar el estudio de las demás asignaturas, especialmente el inglés, lo que le llevó a perder la beca. Desilusionado, huyó por unos meses a las montañas y a su vuelta no se le permitió continuar en la Universidad. Durante dos años no tiene ninguna ocupación, viviendo de la caridad y dedicándose intensamente a las Matemáticas. Comienza en esta época a apuntar sus resultados en unos grandes cuadernos que se han hecho famosos.

Con 22 años su madre organiza su boda con una niña de nueve años pariente suyo. Esto le fuerza a buscar un trabajo. Fue entonces cuando le entrega una carta de recomendación a un amante de las Matemáticas, un recaudador de impuestos de nombre Ramachandra Rao. Así describe a Ramanujan:

”Una pequeña figura rústica, vigorosa, sin afeitar, desaliñada, con un rasgo llamativo, ojos brillantes, entró con un gastado libro de notas bajo el brazo. Era extremadamente pobre. Quería proseguir sus estudios. Jamás pidió ninguna distinción, necesitaba desahogo, en otras palabras, que le suministrara el mínimo vital sin esfuerzo de su parte y que se le permitiera soñar. Abrió el libro y comenzó a explicar algunos de sus descubrimientos. Al punto vi que era algo fuera de lo corriente, pero mis conocimientos no permitieron juzgar si hablaba con sentido o sin él. Le pedí que viniera de nuevo y así lo hizo. Apreció debidamente mi ignorancia y me demostró algunos de sus hallazgos más simples. Le pregunté qué era lo que deseaba y dijo que quería una pequeña pensión para vivir y así proseguir sus investigaciones."

Ramachandra mantuvo durante un año a Ramanujan, que tras fracasar en otros intentos por conseguir una beca y no queriendo ser mantenido por mucho tiempo por otra persona, aceptó un pequeño empleo en las oficinas del puerto de Madrás.

Su deseo de dedicarse de lleno a las Matemáticas le llevó a enviar cartas a Matemáticos ilustres, contando sus descubrimientos, cartas que pasaron al olvido salvo una. A principios de 1913, un Matemático de fama mundial, en plena madurez profesional, encontró entre las cartas depositadas sobre su mesa de desayuno un sobre ancho y sucio con sellos de la India. La carta de Ramanujan decía así:

Apreciado señor:

Me permito presentarme a usted como un oficinista del departamento de cuentas del Port Trust Office de Madrás, con un salario de 20 libras anuales solamente.

Tengo cerca de 23 años de edad. No he recibido educación universitaria, pero he seguido los cursos de la escuela ordinaria. Una vez dejada la escuela he empleado el tiempo libre de que disponía para trabajar en Matemáticas.



No he pasado el proceso regular convencional que se sigue en un curso universitario, pero estoy siguiendo una trayectoria propia. He hecho un estudio detallado de las series divergentes en general y los resultados a que he llegado son calificados como sorprendentes por los Matemáticos locales…

Yo querría pedirle que repasara los trabajos aquí incluidos. Si usted se convence de que hay alguna cosa de valor me gustaría publicar mis teoremas, ya que soy pobre. No he presentado los cálculos reales ni las expresiones que he adoptado, pero he indicado el proceso que sigo. Debido a mi poca experiencia tendría en gran estima cualquier consejo que usted me hiciera. Pido que me excuse por las molestias que ocasiono.

Quedo, apreciado señor, a su entera disposición.

S. Ramanujan.”

Más tarde, este famoso Matemático de nombre G.H. Hardy reconoció como lo único romántico en su vida el descubrimiento de Ramanujan y que aprendió mucho más de Ramanujan que lo que éste aprendió de él.

Para Hardy los resultados que venían en la carta evidenciaban que se hallaba ante un genio Matemático natural de la talla de Gauss o Euler, pero que debido a su formación autodidacta no era de esperar que contribuyese al desarrollo del conocimiento en la misma medida que estos dos. Inmediatamente se movilizó para que Ramanujan se trasladara a Inglaterra donde la Universidad de Cambridge costearía su manutención. Tras superar dificultades, especialmente debido a creencias de su casta, Ramanujan pudo marchar a Inglaterra en 1914.

Figura 8. Ramanujan en Cambridge

Enseguida Hardy constata las limitaciones del estudiante indio. Su formación Matemática había comenzado y se había detenido en 1880, fecha en la que se publicó el libro sacado de la biblioteca. Debía enseñarle la Matemática formal, pero al mismo tiempo no podía dañar su originalidad. Escribió de él:

“Probablemente Ramanujan habría sido mejor Matemático si lo hubieran descubierto y educado un poco en su juventud. Habría descubierto más cosas nuevas y, sin duda, de mayor importancia. Por




otra parte, habría sido menos parecido a Ramanujan y más semejante a un profesor europeo y así la pérdida hubiera sido tal vez mayor que la ganancia.”

A pesar de todo, la colaboración entre ambos dio lugar a cinco trabajos de primera categoría.

En 1917, Ramanuján contrajo una enfermedad incurable y desde ese momento no salió de los sanatorios. Padecía tuberculosis unida a una seria deficiencia vitamínica.

Volvió a la India en 1919, muy enfermo. En Madrás se le dio el mejor tratamiento médico posible y una casa donde pasar el final de su enfermedad. Murió en 1920 a los treinta y tres años.

Inglaterra le concedió en vida todos los honores posibles. Fue elegido miembro de la Royal Society, a los treinta años, y colegial en el Trinity College. Tengamos en cuenta que en esa época la India era colonia británica y Ramanujan era el primer indio en recibir tales distinciones. En palabras de Hardy, “su sencillez natural no se vio afectada en lo más mínimo por su éxito”.

El impacto de Ramanujan en las Matemáticas también fue importante. Sus mayores contribuciones fueron en la teoría de números y en el estudio de las sumas y productos infinitos. Algunos resultados sobre particiones de números son la base hoy del funcionamiento de los cajeros automáticos. Dejó unos cuatro mil teoremas y seiscientas fórmulas desarrolladas en su último año de vida y encontradas en 1976 en el llamado cuaderno perdido. Una de esas fórmulas ha servido para calcular dos mil millones de cifras del número pi,

En la India, la influencia de Ramanujan también ha sido grande. La edición de uno de sus cuadernos contó con la presencia del Primer Ministro del país, que firmó la primera copia. En el 75 aniversario de su nacimiento se hizo un sello conmemorativo del que se vendieron el primer día varios millones de copias. Estas fueron las palabras que le dedicó el Primer Ministro Nerhu, líder de la independencia nacional:

“La breve vida y la muerte de Ramanujan son simbólicas de las condiciones de la India. De nuestros millones son pocos los que consiguen alguna educación; y son muchos los que viven al filo de la muerte por inanición… Si la vida les abriese sus puertas y les ofreciese comida y condiciones higiénicas de vida y educación y oportunidades de crecimiento, ¿cuántos de estos millones serían científicos eminentes, educadores, técnicos industriales, escritores y artistas, ayudando a construir una nueva India y un nuevo mundo?”

7. Una vida de sufrimientos

Comentamos ahora algunos breves rasgos biográficos de Julia Robinson, Matemática americana no hace mucho tiempo fallecida, que también destacó sobremanera por su carácter solidario y su constante ayuda a los demás, en especial a los más jóvenes. Puede verse una biografía más completa sobre Julia en (Hernández, Mateos y Núñez (2009)).

Figura 9. Julia Robinson



Julia Bowman Robinson, que nació en St. Louis, Missouri, el 8 de Diciembre de 1919, fue la segunda hija del matrimonio formado por Ralph Bowers Bowman y Helen Hall Bowman.

Cuando Julia tenía 2 años, su madre falleció y ella y su hermana mayor, Constance, se fueron a vivir a Phoenix (Arizona) con su abuela. En 1923 las dos hermanas regresaron con su padre y con la nueva esposa de éste, Edenia Kridelbaugh, yéndose a vivir a San Diego (California), donde tres años más tarde nació su hermana menor, Billie. A pesar de ser su madrastra, Julia siempre consideró a Edenia como a una verdadera madre, de la que recibió grandes apoyos tanto para el estudio de las Matemáticas como para su vida misma.

Julia, como Matemática, es bastante conocida por haber dedicado prácticamente toda su vida a la resolución del Décimo Problema de Hilbert, relativo a la determinación de la resolubilidad de una Ecuación Diofántica: dada una ecuación diofántica con cualquier número de incógnitas y con coeficientes enteros, idear un proceso conforme al cual pueda determinarse en un número finito de operaciones si la ecuación es resoluble en números enteros. Este problema ya le ocuparía prácticamente la totalidad de su carrera profesional, llegando incluso a obsesionarla. De hecho, le hizo pasar por muchos momentos de crisis al ver que no conseguía resolverlo. Es curioso que en sus cumpleaños ella siempre pedía como deseo encontrar la solución (no obstante, logró encontrar la base teórica que Yuri Matijasevic usó posteriormente en 1970 (Matijasevic, 1971) para probar que no existe un método general para determinar la resolubilidad).

Efectivamente, en 1970, Julia se enteró de que el Matemático ruso de 22 años Yuri Matijasevich, había resuelto la prueba del Décimo Problema de Hilbert, aunque según algunos historiadores, otro joven Matemático ruso de similar edad, Gregory Chudnovsky, aseguraba también haber resuelto el problema, independientemente de Matijasevich. Julia se puso en contacto con Yuri, y le escribió (Reid, 1996):

“Si realmente tienes 22 años, me agrada saber que cuando yo hice la conjetura, tú eras un bebe y yo he tenido que esperar a que tú crecieras”.

Figura 10. Yuri, a la izquierda de Julia

En reconocimiento a sus varias contribuciones excepcionales y por su papel determinante en el trabajo que llevó a la solución del Décimo Problema de Hilbert, Julia Robinson tuvo el honor de ser la primera mujer que fue elegida miembro de la “National Academy of Sciences” en 1975, aunque en opinión de ella misma, había mujeres que se merecían este honor más que ella.




Toda la vida de Julia, no obstante, había estado repleta de enfermedades. A los 9 años contrajo la escarlatina, lo que hizo que toda la familia tuviera que estar en cuarentena durante un mes. Un año más tarde, cuando Julia ya estaba recuperada de esa enfermedad, contrajo fiebre reumática y tras varias recaídas, tuvo que pasar un año en casa de una enfermera. Como en ese tiempo el tratamiento para la fiebre reumática era la exposición al sol y el aislamiento de otras personas, Julia se vio obligada a pasar una infancia muy solitaria, separada de sus hermanas y prácticamente aislada de los demás (curiosamente, este aislamiento a edades tempranas suele aparecer con bastante frecuencia en la vida de muchos Matemáticos, como Descartes y Newton, por ejemplo). Finalmente, en el verano de 1984, Julia enfermó de leucemia mientras se encontraba presidiendo el Congreso de la American Mathematical Society en Eugene (Oregon).

Tras un prolongado tratamiento y estancias en el hospital, Julia tuvo una etapa de mejoría de varios meses, en la primavera de 1985. Finalmente, ella falleció a causa de esta enfermedad casi un año después, el 30 de Julio de 1985, a la edad de 65 años, siendo sobrevivida por su marido y por sus dos hermanas.

A pesar de todos los problemas de salud y personales que tuvo, Julia siempre supo afrontarlos sin perder su entusiasmo por las Matemáticas. A lo largo de toda su vida intentó ofrecer oportunidades a todos los estudiantes, animando a la gente joven a que tuvieran más confianza en sus habilidades. Siempre pensó que las mujeres y minorías Matemáticas necesitaban especialmente este apoyo, para que todas aquellas personas, de cualquier género y condición, que tuviesen el deseo y la habilidad de investigar en el campo de las Matemáticas pudiesen siempre tener la oportunidad de hacerlo. De hecho, fiel a esta filosofía hasta su muerte, uno de sus últimos deseos fue que no hubiese funerales en su honor y que aquellas personas que quisiesen contribuir de alguna forma a recordar su memoria entregasen un donativo a la Fundación Alfred Tarski, administrada por el departamento Matemático de Berkeley, que ella misma, junto con otros compañeros, había fundado en honor de su profesor, director de Tesis, amigo y colega.

8. Aplicando las Matemáticas a la Biología y a la Medicina

Dos son los objetivos actuales en la vida de Nancy Jane Kopell, mujer y Matemática: por un lado, ayudar a otras mujeres Matemáticas más jóvenes a superar las enormes trabas y dificultades, tanto de género como de otro tipo, que todavía la sociedad de nuestros días coloca en la carrera profesional de la mujer, y por otro, continuar con sus investigaciones sobre Matemáticas y Neurociencia, relacionando de esta forma estas dos disciplinas aparentemente tan distintas, con el objetivo, entre otros, de ayudar a los más jóvenes al principio de sus etapas de investigación.

Figura 11. Nancy Kopell

Nancy Jane Kopell nació a principios de la década de los cuarenta del pasado siglo, el 8 de Noviembre de 1942, en Nueva York, en el seno de una familia humilde.



Desde 1986, es profesora de la Universidad de Boston. Estando allí recibió una beca de la fundación Mac Arthur en el año 1990. Al término de ésta, en 1996, Nancy entra a formar parte de la “National Academy of Sciences”. Actualmente estudia el ritmo del sistema nervioso asociado a los procesos sensoriales y cognitivos, para lo que cuenta con múltiples colaboradores e investigadores que le ayudan a buscar respuestas a las preguntas que surgen en su trabajo. De hecho, Nancy, como co-directora del Centro para la Biodinámica (C.B.D.) junto a James Collins, dedica gran parte de su tiempo a seguir trabajando con estudiantes y jóvenes licenciados interesados en buscar relaciones entre la biología, las Matemáticas y la ingeniería. Con ello, muestra el carácter solidario que la ha acompañado durante toda su vida. Más datos sobre su biografía pueden consultarse en (Camas, Fernández y Núñez (2007)), por ejemplo.

Bibliografía

Babiker, S. Cuestión de Matemáticas. http://www.mundosolidario.org/rep.php?var=17 Curbera, G. Matemáticas desde las afueras: Ramanujan y Sunyer i Balaguer, http://euler.us.es/~curbera/historymath/Ramanujan-Sunyer.pdf. Camas, I., Fernández, S. y Núñez, J. (2007). Nancy Kopell: una vida dedicada a la BioMatemática,

Matematicalia 3:2 (Revista electrónica sin paginación). Gayte Delgado, I. y Núñez Valdés, J. (2009). Matemáticas y Solidaridad, Programa del IV Encuentro

Provincial delProfesorado de Matemáticas, Sevilla, p. 15. Actas por aparecer. Hernández, I., Mateos, C. y Núñez, J. (2009) Diofanto, Hilbert y Robinson: ¿alguna relación entre

ellos? Números 70, 75- 87. Mataix, S. (1999). Matemáticas es nombre de mujer. Rubes Editorial S.L. Reid, C. (1996). Being Julia Robinson’ sister. Notices Amer. Math. Soc. 43:12, 1486-1492. [Website1]: http://diariodeunmaestro.blogspot.com/2008/04/Matemáticas-y-solidaridad.html [Website2]: http://www.gap-system.org/~history/BiogIndex.html (sobre biografías de Matemáticos). [Website3]: Matemáticas y Solidaridad. http://mat.uab.es/~aguade/html/wmy.html

Inmaculada Gayte Delgado, licenciada y doctora en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Es profesora Titular del Departamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico, con sede en la Facultad de Matemáticas de dicha Universidad. Su investigación se centra en diferentes aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. También escribe sobre Divulgación de las Matemáticas. Juan Núñez Valdés, licenciado y doctor en Matemáticas por la Universidad de Sevilla. Es Profesor Titular de Universidad del Departamento de Geometría y Topología, con sede en la Facultad de Matemáticas de dicha Universidad. Su investigación se centra en la Teoría de Lie y en la Matemática Discreta. También ha publicado artículos sobre Matemática Recreativa, Historia y Divulgación de las Matemáticas.




La presencia matemática en la isla de La Palma1

José Antonio Martín Corujo Instituto de Educación Secundaria Alonso Pérez Díaz (Santa Cruz de La Palma)

Fecha de recepción: 13 de mayo de 2010 Fecha de aceptación: 15 de julio de 2010

Resumen El conocimiento de la herramienta matemática usada por un pueblo a lo largo de su historia, nos aporta una información valiosísima para comprender la evolución del mismo. Hemos intentado indagar, tomado como referencia diversas fuentes (documentales, orales, la observación y la propia experiencia), en qué medida unos isleños han hecho uso de la Matemática, para solventar los más diversos retos que el devenir histórico les ha planteado. Sin temor a equivocarnos, podemos concluir que la presencia de los números, de las magnitudes y de las figuras geométricas ha sido una constante en el desarrollo socioeconómico de los habitantes de la isla de La Palma a lo largo de su historia.

Palabras clave Isla de La Palma, Época Prehispánica, medidas tradicionales, procedimientos de cálculo.

Abstract The knowledge of the mathematical tools used by a people throughout of the history provides us invaluable information for understanding its evolution. We tried to investigate, taken as a reference various sources (documentary, oral, observation and experience), to what extent some islanders have made use of mathematics to solve the diverse challenges the historical development have been raised. We conclude that the presence of numbers, the magnitudes and shapes has been a constant in the socioeconomic development of the inhabitants of the island of La Palma during its history.

Keywords Island of La Palma, pre-Hispanic times, traditional measures, methods of calculation.

1. La Isla

La isla de La Palma forma parte del archipiélago de las Canarias, perteneciente a España, que está situado en el noroeste de África, a una distancia de 100 kilómetros desde la isla más oriental y la costa del continente. La Isla tiene una superficie de 706 kilómetros cuadrados y una población en torno a 85.000 habitantes, repartidos en 14 municipios. Está recorrida de norte a sur por una cordillera dorsal que en muchos sitios supera los 2000 metros, por lo que se alcanzan unas alturas considerables en un perímetro muy pequeño.

Actualmente se considera que la población aborigen canaria tuvo su origen entre los pueblos bereberes del Norte de África. Estos pueblos, posiblemente, se desplazaron hacia las islas por la expansión del desierto del Sahara y empujados por el imperio romano, que durante los siglos I antes de Cristo y I después de Cristo, se extendía por el norte de África.

1 Conferencia inaugural de las XXIX Jornadas de la Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

La presencia matemática en la isla de La Palma J. A. Martín Corujo


La conquista de La Palma, por encargo de los Reyes Católicos, comenzó el 29 de Septiembre de 1492 y concluyó el 3 de Mayo 1493. Una vez finalizada la conquista, con la incorporación de la Isla a la corona de Castilla, comienza a llegar a ella, españoles, portugueses, italianos, flamencos etc., atraídos por las riquezas de esta tierra. Esta gente, junto con los supervivientes aborígenes, constituye el origen de la población actual.

En el siglo XVI la Isla adquiere un notable empuje económico: los ingenios azucareros tienen una gran actividad, se exportan importantes cantidades de vino malvasía, miel, quesos y brea, se instalan astilleros (favorecido por la abundancia de madera de sus bosques) y el puerto de la capital inicia una intensa actividad comercial con enlaces marítimos a Europa y América.

En el siglo XVIII el puerto de Santa Cruz de La Palma (capital de la isla) es considerado el tercero del imperio, después de Amberes y Sevilla. En la capital se crea el primer juzgado de Indias. En el siglo XIX se introduce el cultivo de la cochinilla (parásito de las tuneras) para hacer tintes, lo que supuso una nueva reactivación económica, y vuelve a resurgir la caña de azúcar, que se había abandonado, y se inician las primeras plantaciones de plataneras. Ya en pleno siglo XX se extiende de tal forma el cultivo del plátano que en la actualidad es la base primordial de la economía palmera, la cual se ve complementada por la ganadería caprina, la pequeña industria tabaquera, el vino, el cultivo del aguacate y una pequeña industria turística.

2. Consideraciones previas

La presencia de los números, de las magnitudes y de las figuras geométricas ha sido una constante a lo largo de la evolución cultural de la humanidad. La disciplina que, por medio del razonamiento deductivo, estudia las propiedades de estos entes abstractos, así como las relaciones que se establecen entre ellos constituye la Matemática.

Hay que precisar que hasta el siglo XIX, la Matemática se definía por sus objetos (números, magnitudes y figuras geométricas), tal como lo habían considerado los griegos. Es a partir de Boole y Riemann cuando se comienza a considerar a los objetos desprendidos de su aspecto concreto y se sentaron las bases del método axiomático.

Por lo tanto, las referencias, que aquí se hacen a la presencia matemática en la isla de La Palma, tienen que ver más con la concepción clásica (un instrumento de aplicación a situaciones concretas), que con la idea moderna de la disciplina, que estaría más en consonancia con lo que enseñamos a nuestros alumnos en las aulas.

3. Época prehispánica

Haciendo un recorrido por el pasado de la Isla, constatamos que la actividad pastoril, junto con el cultivo de ciertos cereales, era de vital importancia para los primitivos habitantes de Benahoare2. Poseían gran habilidad para reconocer y contar a sus animales, como otros pastores de Canarias. Así Abreu Galindo3 nos dice refiriéndose a los guanches de Tenerife, pero que perfectamente sería extensible a los aborígenes de las demás islas: “…aunque sea gran cantidad de ganado y saliese de golpe de un corral, lo cuentan sin abrir la boca ni señalar con el dedo… Es gente de gran memoria”.

2 Nombre aborigen de la isla de La Palma. 3 Natura y Cultura de las islas Canarias (1977), pag. 186, cita esta información que está contenida en “Historia de la conquista de las siete islas Canarias (1632). Santa Cruz de Tenerife, 1955”, de la que es autor Fray Juan Abreu Galindo.




También este autor, como otros, nos indica los nombres que los aborígenes canarios daban a ciertos números: 1 (been), 2 (lini), 3 (amiat)… Algunos de estos nombres tienen gran similitud con los que usaban los bereberes (habitantes del norte de África), lo que se ha tomado por muchos historiadores como una prueba de dónde procedían los aborígenes canarios.

Para la recogida y almacenaje de productos, fabricaban diferentes tipos de vasijas por el procedimiento del urdido, dado que desconocían el torno. La forma de los cuencos es variada: esférica, semiesférica, troncocónica y cilíndrica, con decoración acanalada o en relieve formando con frecuencia temas curvos como semicírculos concéntricos. Algunas de estas características podemos observar en la figura 1.

Figura 1. Vasijas de los aborígenes de la isla de La Palma (fotos: Pais, F. J.)

Por numerosos lugares de la Isla se encuentran grabados rupestres, cuyo significado constituye un misterio. Realizados con instrumentos líticos, pues los benahoaritas carecían de metales, estos petroglifos presentan diversos motivos: círculos concéntricos, espirales, semicírculos, líneas meandriformes, grecas…

Vemos, pues, que las más diversas figuras geométricas, como muestra la Figura 2, se hacen patentes en la cultura de este pueblo.



Figura 2. Grabados rupestres de la isla de La Palma (fotos: Pais, F. J.)

La trashumancia desde las zonas bajas a las cumbres de los montes en busca de pastos para el ganado en la época estival, el sacrifico de los animales machos reproductores después de dos o tres años, para evitar la consanguinidad, la presencia de numerosas aras, como lugares de sacrificio animal en ofrenda a los dioses, que seguramente tiene que ver con las rogativas o agradecimientos en función del devenir de la generosidad de la naturaleza de la que eran totalmente dependientes, nos hace pensar que, seguramente, conocían algún medio para medir el tiempo con cierta precisión. El cambio de los astros y las estaciones es el medio del que se han valido los pueblos primitivos para medir el transcurrir del tiempo, y los benahoaritas, posiblemente, también: el día, por la luz solar; el mes, por la luna; el año, por los cambios de estación climatológica.

En Borneo, los aborígenes controlan las estaciones midiendo la sombra que el sol proyecta en un gnomon (palo vertical). Posiblemente este sistema ya fuera conocido por lo aborígenes canarios, incluso antes de su llegada a las islas (en Egipto se ha encontrado un reloj de sol, que data del siglo XV antes de nuestra era, posiblemente antes de que se poblaran las islas).

La sombra, proyectada por un palo vertical a lo largo de un día, alcanza su menor tamaño cuando el sol está en el sur (en el hemisferio norte); de modo que, si sobre esta sombra se dibuja una raya y se prolonga más allá del palo, esta prolongación indica el sur, mientras que la sombra señala el norte. La sombra, coincidente con la línea, cambia cada día su tamaño, de tal forma que alcanza su menor tamaño en el solsticio de verano y su máximo en el equinoccio de invierno, repitiéndose cada 365 días. La facilidad con que se pueden determinar estos días, unido al ciclo lunar, pueden conformar un modo de medir el tiempo cronológico.

El interés por conocer mejor nuestra prehistoria ha motivado que los arqueólogos recurran al estudio zooarqueológico de los restos óseos en algunos yacimientos de la Isla. El método consiste en




un meticuloso reconocimiento y recuento de los restos óseos de los animales que servían de alimento a los benahoaritas. Aquí la estadística juega un importante papel, que los arqueólogos no han dudado en aprovechar. Así en las excavaciones llevadas a cabo en las cuevas del Tendal (figura 3), en el norte de la isla, este procedimiento ha tenido su aplicación tal como lo confirma el arqueólogo Jorge Pais Pais.

Figura 3. Cuevas del Tendal (La Palma) 4. Período histórico

a) Arquitectura

El poblamiento que se realiza en la Isla, con la arribada de los conquistadores, supuso un salto cualitativo importante en el uso de elementos matemáticos, imprescindibles para el desarrollo de una sociedad mucho más avanzada que la aborigen.

Figura 4. Santa Cruz de La Palma



El espacio urbano de Santa Cruz de La Palma (Figura 4), capital de la Isla, se inicia en la parte norte del actual emplazamiento sin seguir un ordenamiento riguroso. Más tarde, a mediados del siglo XVI, se definió el trazado de la ciudad siguiendo un patrón, que luego se continuó en la fundación de otras ciudades americanas: el cabildo, la plaza mayor y la iglesia en el centro separando los conventos de las dos órdenes mendicantes: dominicos y franciscanos. Este modelo, similar al de la construcción de la ciudad de La Laguna (isla de Tenerife), sirvió de referencia para el trazado de algunas ciudades en América Latina.

Santa Cruz de La Palma añade a su fisonomía un puerto con una fortaleza para su defensa. A pesar de las dificultades orográficas se traza una calle que une su antigua ubicación con el muelle pasando por la plaza mayor.

El conjunto arquitectónico que conforma la plaza mayor, la iglesia del Salvador y el Cabildo (actual Ayuntamiento) tuvo que requerir un diseño previo, no sólo por las dificultades orográficas del lugar, sino por la envergadura de las fábricas que se erigieron. Los cálculos matemáticos tuvieron que ser muy significativos. Los historiadores están de acuerdo en que quien o quienes diseñaron la traza de estas construcciones tenían conocimientos técnicos, seguramente los recogidos por Diego de Sagredo, autor del primer libro de arquitectura publicado en España (1526).

Los espacios de luz de los arcos de medio punto de la parte baja del Ayuntamiento mantienen un crecimiento rítmico, de izquierda a derecha, de 4 pulgadas de un arco a otro. Las estrías de las columnas siguen las medidas del tratado de Sagredo.

La portada de la iglesia, concebida a modo de arco triunfal, exige un buen conocimiento teórico (simetrías, proporciones…) para conjugar los distintos elementos arquitectónicos que la conforman. La armadura de la nave central de la iglesia y el artesonado se rigen por pautas geométricas recogidas años más tarde por Diego López Arenas (1614) en su Tratado de Carpintería.

Figura 5. Cálculo de la altura de la cumbrera de la armadura de la nave central de la iglesia




La altura de la cumbrera de la armadura de la nave central de la iglesia El Salvador se determinó según el esquema de la Figura 5, facilitada por el historiador Facundo Daranas Ventura, siguiendo las pautas recogidas por Diego López Arenas. Dicha altura vendría dada por H = 0,366L, siendo L la longitud del lado más corto de la solera o durmiente.

En la Isla abunda el tejado a cuatro aguas en la techumbre de las casas tradicionales. La inclinación del tejado se calculaba, y se sigue haciendo (según Víctor Celestino Arrocha Candelario, profesor de ebanistería), dividiendo la mitad del lado más corto del rectángulo en seis partes iguales. La hipotenusa del triángulo se obtiene añadiéndole una parte más que al cateto base.

Según este modelo la altura sería H = 0,3L, que vendría a ser la inclinación mínima para un tejado de teja árabe tal como recoge H. Schmitt en su Tratado de Construcción.

En 1584 es enviado a La Palma, por el rey Felipe II, el ingeniero italiano Torriani, quien, durante su estancia, elabora un plano de la ciudad, un mapa de la Isla, planos de las fortalezas necesarias para la defensa de la ciudad, así como el proyecto para la construcción del muelle. Tanto en el diseño como en el costo que conllevan las distintas obras, las Matemáticas se muestran como un instrumento imprescindible.

Durante la estancia del ingeniero en la Isla tuvo lugar la erupción del volcán de Tajuya (1584). Acudió al lugar y, haciendo uso de “un instrumento geométrico” (según Benito Cortes, veedor de las obras del muelle), calculó la altura del cráter, dando como resultado 142 varas.

Figura 6. Edificaciones de la isla de La Palma



Podemos encontrar en la Isla muchas edificaciones de corte clasicista y ecléctico que distribuyen los vanos de sus fachadas en perfecta simetría axial, como muestra la figura 6 (ermitas y casa tradicional). Todas las fachadas de las ermitas de la Isla se ajustan a este modelo. Al parecer este gusto se impuso a partir del siglo XVIII. Esta simetría también es perceptible en las puertas señoriales, e incluso en los relieves de los cuarterones y tableros de las mismas.

En la casa tradicional, las ventanas tienen forma rectangular, manteniendo entre el alto y el

ancho una razón igual a2 . Para ello los carpinteros, una vez decidido el ancho, calculan la diagonal de un cuadrado de lado igual al ancho fijado. Esa diagonal es el alto de la ventana.

Los tableros de la puerta de entrada a la casa que alberga a la Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED), en Santa Cruz de La Palma, son de dos tamaños diferentes. La razón es de 1,68, próxima al número de Fidias (número de oro Φ =1,62), para los tableros grandes y de

2 para los pequeños. Seguramente, la proporción de oro esté presente en las construcciones de corte clasicista.

En la reconstrucción de la ciudad, después del saqueo al que fue sometida en 1553 por un grupo de piratas franceses, al mando de Pata de Palo, se hace mención a la instalación de un reloj en la torre de la iglesia del Salvador, traído desde Flandes, en sustitución del que habían quemado aquellos en el saqueo. Este reloj, con toda seguridad era mecánico, pues en Europa ya se comenzaron a fabricar a principios del siglo XIV. Aunque hoy resulte extraño, con anterioridad a la introducción del reloj mecánico, las horas eran desiguales en duración. La razón se debía a la diferente duración del día y la noche a lo largo del año, pues los días son más cortos en invierno que en verano, y, dado que, la mayoría de las civilizaciones optaron por asignar igual número de horas al día y la noche (12), los relojes de sol que se construían lo hacían tomando como referencias las sombras de un gnomon (palo vertical) a la salida, a la puesta y al mediodía del sol. Luego dibujaban 12 líneas equidistantes. Obviamente, el tiempo real para recorrer los 15º entre dos líneas no es igual en los días de verano que en los de invierno.

Figura 7. Reloj de sol de la Iglesia de San Francisco (foto: Daranas, F.)




Hay constancia de que se construyeron relojes de sol en distintos lugares de la Isla, la mayoría ubicados en espacios altos, para poder ser contemplados por la gente, como el que existía en la iglesia

de San Francisco que ocupaba el espacio situado en la parte superior de la portada, tal como se observa en la foto facilitada por Facundo Daranas (Figura 7). Tal disposición requería un reloj de sol

vertical. Para la fabricación de estos relojes, con horas de igual duración, se requerían ciertos conocimientos de trigonometría y tener en cuenta la latitud del lugar. Obviamente la separación entre las líneas horarias ya no es de 15º. Estos ángulos A (ángulo entre la línea norte-sur y la línea horaria que se desea dibujar) vienen dados, según sea para la ubicación del reloj horizontal o vertical, por:

horizontal: βα tagsentagA ·= , vertical: βα tagtagA ·cos= ,

donde α es la latitud y β el ángulo horario del sol (15º por hora, 30º por dos horas, etc.).

b) Sector primario

Desde los primeros años de la conquista, el paisaje de la Isla comienza a cambiar debido a la actividad económica: se construye la ciudad, se parcelan y roturan terrenos, se desarrolla la ganadería, se talan árboles para la obtención de madera para construcción y para la exportación, se canaliza el agua de los manantiales y se construyen molinos de gofio. A lo lago de su historia la actividad agropecuaria de la Isla ha sido relevante, con cambios en el principal producto de exportación: azúcar, vino, cochinilla, plátano…

De las medidas tradicionales, de uso en el mundo rural, algunas siguen vigentes, y otras ya sólo perviven en la memoria de las personas de mayor edad. Entre las vigentes están:

Celemín = 437 m2 Fanegada = 12 celemines Pipa = 480 litros

La libra y la onza han seguido vigentes en el pesaje de los gallos y en la sericultura. Precisamente en esta actividad, que sólo pervive en el municipio de El Paso, la “semilla” de los gusanos se pesa en gramos, conteniendo cada gramo unos 1200 huevos. Con los capullos de esta cantidad de gusanos se obtiene aproximadamente medio kilo de seda cruda.

Los términos almud, arroba, vara y calabazo [de primer nivel (16 l), calabazo de segundo nivel (14 l) y calabazo de tercer nivel (12 l)] cada vez se oyen menos (Figura 8).

Figura 8. Monumento al calabazo (La Palma)



Hasta no hace tanto tiempo, en el mundo rural se usaban cestos de carga y espuertas, de fabricación artesanal, que respondían a tamaños establecidos. El estiércol, por ejemplo, se comercializaba en ese tipo de cestos.

Los campesinos de mayor edad también tienen sus particulares referencias para determinadas tareas agrícolas: las fases de la luna, las mareas, el veranillo San Martín… El calendario Zaragozano se sigue vendiendo en las librerías, y cuenta con gran aceptación entre los agricultores.

Existen algunas pautas curiosas. En el norte de la Isla se suelen plantar entre 70 y 80 matas de plátano por celemín, disminuyendo la cantidad a medida que aumenta la cota de altura. En el sur de la Isla se contabilizan 80 matas en invernadero y 90 al aire libre.

El uso de los toneles para la exportación de vino, y para el almacenaje del propio consumo, requería la medición del volumen de los mismos, tema éste que históricamente ha suscitado controversias por las diversas formas de calcularlo. Dado que algunos campesinos aún lo conocen, seguramente, el método más frecuente sería el práctico de introducir una varilla recta por la boca central del tonel e inclinándola, hasta alcanzar la distancia más alejada. Su longitud (D) se eleva al cubo y se multiplica por 0,625:

V = 0,625 D³

Si el tonel se aproximaba más a un cilindro se disminuía su volumen en un 1%, mientras que se aumentaba en esta misma cantidad si resultaba más abombado de lo normal.

La madera más abundante en la Isla, y la más usada en la construcción de edificios, era el pino, cuyos troncos eran arrastrados por yuntas de bueyes por los antiguos caminos que los pastores benahoaritas construyeron.

Aunque los troncos tienen forma troncocónica, los cálculos para su cubicaje los hacían, según hemos podido constatar por testimonio oral, tomando la sección media como base de un cilindro de altura la del tronco.

5,12

2laV =

siendo a la longitud de la circunferencia de la sección media y l la longitud del tronco.

La tea no sólo se usó en la fabricación de edificios. También su uso se extendió en la construcción de canales, obtención de brea, construcción de barricas (aún hoy existen en el norte de la isla, dando nombre al “vino de tea”) e incluso en la construcción de puentes (algunos existen todavía). La producción de brea, que se usaba para el calafateado de los barcos, se media en quintales. Aún existen restos de los hornos, en Garafía y Puntagorda, en los que se obtenía la brea.

La silvicultura también tuvo muchísima importancia en el siglo pasado, hasta finales de los años sesenta. Se obtenía varas, cujes, horquetas, socos, puntales y horquetillas para los más diverso usos. Las varas se exportaban a Gran Canaria y Tenerife para el cultivo del tomate. Los cujes se usaban para el secado del tabaco en la propia Isla. Las horquetas, socos y horquetillas se usaban, y aún hoy se siguen usando, para el cultivo del plátano, aunque las últimas también se usan en el cultivo de la vid, y los puntales para la construcción.




Estos materiales se amarraban en fejes (algunas personas decían flejes), tomando como referencia la docena:

Feje de varas = 6 docenas Feje de cujes = 2 docenas Feje de horquetas = Feje de socos = 1 docena Feje horquetillas = 3 docenas Los puntales se vendían sueltos y medían tres metros.

Alcanzar el actual paisaje agrario de la Isla ha supuesto la construcción de muchísimos kilómetros de paredes, dado el abancalamiento del terreno. Estas paredes no son verticales, como pudiera aparentar a simple vista, sino que tienen una inclinación para evitar el empuje de los materiales que encierran y de las aguas de riego y lluvia. Esta inclinación se conoce como “arrastre” y suele estar entre un 5% y un 10%.

Los parederos las construyen fijando previamente los cordeles, con los que regulan el nivel y el arrastre de las mismas.

Muchas sorribas4 se hicieron por contratas por celemín, los cuales se determinaban a ojo de buen cubero. Recuerdo que cuando esto no era así, sino que se hacía por metros de superficie trabajado, las áreas de los terrenos, cuando estos tenían un perímetro irregular, se determinaba por medio de rectángulos y triángulos.

José Manuel González Rodríguez, recoge en un trabajo titulado “Las matemáticas y las ciencias tradicionales en Canarias”, un método que permite medir la altura de árboles o edificios contando tan sólo con la ayuda del cuerpo del observador. Conocido como método “fraguero”, al parecer fue de uso muy común en las islas, y consiste en que el observador avanza de espaldas al tronco del árbol, mirando por entre las piernas, con la cabeza cercana a la tierra hasta que vea la copa del árbol. La distancia que le separa del tronco es la altura del árbol.

Una fuente oral, sin embargo, asegura que el cálculo lo solían hacer mediante la medición de la sombra del objeto a medir y de un palo de medida conocida, y que esto se solía hacer al mediodía, que es cuando la sombra tiene su menor tamaño.

Aquí como en el resto de las islas, los pescadores también hacen su particular uso de las matemáticas. Fijan las “marcas” como punto de convergencia de dos líneas imaginarias determinadas a partir de referencias reconocibles en tierra. La profundidad a la que sitúan sus artes la miden en brasas.

c) El agua

Pero si hay un recurso, en el que la matemática ha tenido una enorme relevancia, éste ha sido el agua. Nos centraremos en concreto en Santa Cruz de La Palma. Por Real Cédula de 10-01-1559, Felipe II, concedió al Cabildo todas las aguas del barranco del Río “para que en beneficio y aumento de sus propios, pudiese acensuar las sobrantes de las pilas públicas y abasto del vecindario”. Inicialmente el caudal se medía en cuartillos, pero pronto pasó a calcularse por una medida muy peculiar: cañón de ánsar (ánzar), vigente hasta mediados del pasado siglo.

4 Acción y efecto de sorribar, que consiste en romper y rebajar un terreno para prepararlo con fines agrícolas



Un cronista de el periódico insular El Time (1863)5 considera que el nombre de esta medida, posiblemente, proviene del diámetro de un cañón (pluma de ave) de la anátida ánsar, y, según se recoge en diversas sesiones del Ayuntamiento (13 de Marzo de 1787, 28 de Diciembre de 1912, 25 de Enero de 1913), su valor vendría a ser: “ la octava parte del caudal que sale por un orificio circular de 16 mm de diámetro, perforado en una plancha de pared delgada colocada en caja de media vara en cuadra con la misma de peso, cuya media vara equivale a 418 mm”.

Figura 9. Modelo del patrón de los cañones de ánzar

Para hacer los orificios necesarios para el reparto, el Ayuntamiento disponía de un patrón de cobre en forma triangular, hoy desaparecido, en que figuraban seis orificios redondos, siendo la superficie de cada uno la mitad del anterior, por los que se aforaban 8, 4, 2, 1, ½, ¼ cañones de ánsar.

Cuando las necesidades de agua se incrementaron por el crecimiento de la población, un mayor consumo en la higiene y por la extensión que fue tomando el terreno de regadío, comenzaron las discrepancias sobre la cantidad que a cada usuario le correspondía, lo que llevó a la institución municipal a fijar el caudal correspondiente a un cañón de agua. Para ello muchas veces se solicitó la intervención de peritos y comisiones que avalaran tal cálculo:

En 1772 la Real Audiencia de Canarias dictamina, ante el pleito sostenido entre los frailes Dominicos y el dueño de la finca “Párraga”, que todas las cajas tuvieran las mismas dimensiones, pues hasta entonces éstas tenían tamaños diferentes.

En 1817 se solicitaron los servicios de don Manuel de la Torre, colegiado de San Carlos de Lima, en Perú, y alumno de matemáticas de la Universidad de Sevilla, para que determinara la razón que existía entre los orificios del patrón que estaba en el Ayuntamiento, que continuamente generaba desavenencias entre los usuarios del agua.

A partir del patrón metálico que tenía el Ayuntamiento, don Manuel de La Torre hizo un dibujo como el de la figura 9 (copia facilitada por la Sociedad Hidraúlica de La Dehesa de La Encarnación) según se recoge en un acta municipal.

Sobre el lado fijado AC (figura 9) se construye el triángulo isósceles rectángulo ABC, entonces el área de un círculo de diámetro AC es el doble de la de un círculo de diámetro AB o BC:

5 En los números de los días 30 de Agosto y 6 y 20 de Septiembre de 1863 se publican sendos artículos sobre la ejecución del acuerdo alcanzado entre el Ayuntamiento y la Sociedad Hidráulica de La Dehesa de La Encarnación.




2222 2BCBCABAC =+=

luego,

22 ·2· BCAC ππ =

Como la razón entre las superficies semejantes es igual a la de los cuadrados de sus lados

homólogos, si 22

2

=BC

AC, entonces la relación de las superficies de los orificios de diámetros AC y

BC cumple la relación 2 a 1 u 8 a 4.

Por la misma razón el área de un círculo de diámetro BC será doble que la de un círculo CD y así sucesivamente. Por lo tanto, dos áreas consecutivas en orden decreciente están en la razón 2 a 1, o lo que es lo mismo 8 a 4.

Repitiendo el razonamiento anterior se determina que, si al circulo mayor se le asigna el valor 8 (cañones de ánsar), los seis círculos formarán una progresión geométrica decreciente de razón ½: 8, 4, 2, 1, ½, ¼ cañones de ánsar.

Pero con este cálculo no terminaron las discrepancias de los usuarios del agua. El problema era determinar la cantidad de agua que gastaba un cañón.

Para ello se constituyeron comisiones de técnicos y testigos que construyeron cajitas con las medidas establecidas en 1772 y con un orificio de diámetro de 8 cañones, que para unos era 16 mm y para otros menos. Para unos tenía forma cilíndrica y para otros, troncocónica (no parece creíble, dado el modelo que estaba en el Ayuntamiento). En algunas de estas comisiones se determinó el caudal de un cañón en 2,724 litros/minuto, y así lo fijó el Ayuntamiento en un edicto de 1934.

Al margen del uso fraudulento del agua (cajitas no ajustadas a la medida, orificios manipulados, etc.), uno de los problemas que mayor discrepancia ocasionaba era la medida de los radios de los círculos del patrón, e incluso cuando una comisión los halló, como la mayoría eran cantidades irracionales, a la hora de su aplicación práctica surgía el desacuerdo.

Figura 10. Molinos de Bellido (La Palma)



El caudal necesario para hacer andar a las ruedas de los molinos, también generaba enfrentamientos entre los diferentes usuarios. Precisamente, la diferencia de caudales de agua entre el primer molino del barranco del Río y el primero de Bellido (Figura 10), era enorme. En 1853, a petición del Ayuntamiento, el Maestro de Obras don José María Pérez dijo: “…paso hacer la demostración matemáticamente: El agua que entre en esta población, se deposita antes en el cubo del primer molino de Bellido… tiene 30 pies de alto y cada lado 17 pulgadas: por consiguiente su hueco es de 60 pies cúbicos; y como la vara cúbica encierra 680 cuartillos, contiene 1511. El agujero, por donde sale el agua para herir la rueda que hace andar la piedra, es redondo, y su diámetro 18 líneas (una línea equivale a dos milímetros): La porción de agua encerrada en este depósito son 236 caños de ánsar.” Luego, continuando con su razonamiento, calcula el número de cañones de ánsar que entran en el primer molino del barranco, para el que determina 546. Por lo tanto, las pérdidas eran enormes. Esta pérdida ha continuado hasta el presente siglo, donde el Ayuntamiento ha decidido ceder la gestión del agua a una empresa privada, que está subsanando todas estas deficiencias.

d) La industria

La abundancia de la madera, y la importancia que adquirió el puerto palmero en el comercio con América, permite el nacimiento del astillero, que alcanza su máximo apogeo en el siglo XVIII:

Según Francisco J. Martín Pérez, en un trabajo publicado en la revista de Estudios Generales de la Isla de La Palma, refiriéndose a la construcción de la fragata “La Paloma Isleña”, sugiere que el arqueo del barco, posiblemente lo hallaron los peritos del siguiente modo:

Se multiplica la eslora por el puntal y por la mitad de la manga, y después se le descuenta un 5% de elementos sobresalientes. Dado que una tonelada equivale a 8 codos cúbicos, el arqueo se obtiene dividiendo el resultado anterior por 8.

La fórmula aplicada fue:

2··M

PEV = ,

siendo E = eslora, P = puntal, M = manga. Para la citada fragata, su volumen interno era:

17552

5,13·5,6·40 ==V codos3

Se le descuenta el 5%, V = 0,95·1755 = 1667,25 codos3. Por lo tanto el arqueo de la fragata era:

4,2088

25,1667 ==Arqueo toneladas

Como ya se ha mencionado el agua se usó muy pronto como fuerza motriz para los molinos. Andando el tiempo, esta misma fuerza se usó para poner en funcionamiento la central eléctrica “El Electrón”, que es la primera central eléctrica de Canarias. El agua del barranco del Río, se usaba para producir electricidad para alumbrar la ciudad de Santa Cruz de La Palma, para mover las piedras de los molinos para la obtención del gofio, para el uso de los vecinos y para el riego de las fincas.

La central hidroeléctrica del Mulato en San Andrés y Sauces, puesta en marcha en 1955, con una potencia de 800 Kw., es la más importante del Archipiélago de ese tipo.




La elaboración artesanal de puros está bastante arraigada en esta Isla. Los tamaños son muy variados, y esto ha dado lugar a designarlos con diferentes nombres que los entendidos identifican fácilmente:

Presidente: 17 cm de largo y 1,5 cm de diámetro Toro: 15 cm de largo y 1,7 cm de diámetro Robusto: 12 cm de largo y 1,9 cm de diámetro Capitolio: 12,7 cm de largo y 1,1 cm de diámetro Crema: 12 cm de largo y 1,4 cm de diámetro Viudita: 10,5 cm de largo y 1,2 cm de diámetro

Hay mazos de 50 puros y de 25.

5. Consideraciones finales

En el presente siglo en la Isla se han construido un importante número de obras públicas, donde el cálculo matemático para su diseño y ejecución ha sido de primer orden, aunque con la inestimable ayuda de la tecnología y de la cartografía: el puente de los Tilos (Figura 11), el túnel de la Cumbre, el Grantecan…

Figura 11. Puente Los Tilos (La Palma)

En este recorrido se han quedado en el camino múltiples manifestaciones culturales y actividades económicas donde la matemática está presente. Sólo he pretendido, con estas notas, poner en evidencia que el desarrollo de un pueblo está inexorablemente unido a los números y sus relaciones.

El deseo, loable, de este pueblo para que se le reconozca su cielo como un bien patrimonial, pone en alza las aplicaciones matemáticas en la comprensión del universo.

Un dato curioso ocurre en el municipio de San Andrés y Sauces. Recuerdo, cuando aún era un niño de apenas 10 años, a varias personas mayores de mi barrio que les gustaba resolver problemas lúdicos, y muchas veces fui retado, con regocijo por parte de ellos, a que los resolviese. No sabría decir, si propiciado por ese ambiente o por razones que se me escapan, qué es lo que ha motivado que de ese Municipio, de unos 5000 habitantes, procedan unos 20 licenciados de Matemáticas, todos ellos en activo actualmente.

No quiero finalizar sin mencionar al Colectivo de Matemáticas de la Isla, que se constituyó a principios de los años ochenta del siglo XX, y que se mantuvo activo durante bastante tiempo. Elaboró el material que se impartía en los tres cursos de la Educación General Básica, que fue utilizado en la



mayoría de los centros escolares de la Isla. Colaboró en la organización de las primeras jornadas que la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas celebró en la Isla, e hizo posible que la exposición de Horizontes Matemáticos constituyera todo un éxito.

Anexo

Equivalencia entre las unidades tradicionales mencionadas con las del SMD

1 pulgada = 23,2 milímetros. 1 pie = 12 pulgadas = 278,7 milímetros. 1 vara = 3 pies = 836 milímetros. 1 línea = 2 milímetros. 1 cuartillo = 859 mililitros = 0,859 litros. 1 cañón de ánsar = 2,724 litros/minuto. 1 paja = ¼ cañón de ánsar = 0,681 litros/minuto. 1 pipa = 480 litros. 1 codo = 42 centímetros.

Fuente:

Archivo Municipal del Ayuntamiento de Santa Cruz de La Palma.

Luis Agustín Hernández Martín. Protocolos del escribano público Pedro de Urbina. Archivo General Insular de la isla de La Palma.

Bibliografía

Batista, J. A. y Hernández, N. (2001). San Andrés y Sauces…una mirada a su pasado. Ayuntamiento de San Andrés y Sauces, La Palma.

Ronan, C. A. (1982). Los Amantes de la Astronomía. Editorial Blume. Barcelona. Espinel, J.M. y García-Talavera, F. (2009). Juegos Guanches Inéditos. Gobierno de Canarias. González, J.M. Las matemáticas y las ciencias tradicionales en Canarias. Cultura Canaria.

(Recuperado 10-01-2011: http://www.gobiernodecanarias.org/educacion/culturacanaria/matematicas/mattrad.htm) Schmitt, H. (1961). Tratado de construcción. Ed. Gustavo Gili. Barcelona. Lorenzo, A. (2006). El “Electrón”, la primera central hidroeléctrica de Canarias” en La cultura del

agua en La Palma. Gobierno de Canarias, Consejería de Infraestructuras, Transportes y Vivienda. Dirección General de Aguas.

Martín, F.J. (2004). La empresa naviera palmera en el comercio de Indias. El viaje de “la paloma isleña” a la Guaira en 1755. Estudios Generales de la isla de La Palma (actas del I congreso). Sociedad de Estudios Generales de la Isla de La Palma.

Martín, F.G. (1995). Santa Cruz de La Palma. La ciudad renacentista. CEPSA. Tenerife. Pais, F.J. (1996) La Economía de producción en la prehistoria de la isla de La Palma. La Ganadería.

Tesis doctoral. Tenerife. Yanes, A. (1951). Sobre las aguas de la cuenca del Barranco del Río y abasto de Santa Cruz de La

Palma.

José Antonio Martín Corujo es Catedrático de Matemáticas del Instituto de Educación Secundaria Alonso Pérez Díaz (Santa Cruz de La Palma. Canarias)




E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U

L A

Coloreando la geografía desde el plano al toroide

Teresa Braicovich y Raquel Cognigni (Universidad Nacional del Comahue. Argentina)

Resumen El tema “grafos”, en general, no se encuentra en los programas oficiales de los distintos niveles educativos, ni en su faceta “matemática pura” ni desde sus conceptos básicos que, creemos, pueden ser utilizados como un juego de manera muy intuitiva con niños desde corta edad. En esta oportunidad trabajamos con el tema coloreo de grafos, experiencia realizada con niños de edades comprendidas entre los 5 y los 14 años de edad, y que presentamos en este trabajo con el análisis correspondiente.

Palabras clave Coloreo, mapa, grafo, toroide, grafo planar.

Abstract The topic “graphs”, in general, thinks neither in the official programs of the different educational levels, nor in his funny " pure mathematics " not from his basic concepts that, we believe, they can be used as a game of a very intuitive way by children from short age. At this opportunity we are employed with the topic I color of graphs, experience realized with children of ages understood between the 5 and 14 years of age, and that we sense beforehand in this work with the corresponding analysis.

Keywords Color, map, graphs, toroidal, planar graph.

1. Introducción

El tema “grafos” no es muy conocido por los docentes de enseñanza primaria y secundaria. Esto se puede asociar al hecho de que a nuestro pensamiento, formado pura y exclusivamente en la Geometría Euclidiana, le cuesta acomodarse a propiedades, conceptos, ideas, con una mirada diferente, con una mirada “no euclidiana” y captar la riqueza de estos temas que, estamos convencidas, pueden ser tan formadores del pensamiento matemático como los de los currículos oficiales. Si apuntamos a lograr en nuestros estudiantes un pensamiento lógico, de gran intuición y que resuelva con ingenio las dificultades, este material nos brinda una amplia gama de posibilidades que proponemos no desperdiciar, atendiendo a que el alumno debe apropiarse del conocimiento matemático, “el razonamiento y la demostración matemáticos proporcionan modos potentes de desarrollar y codificar conocimientos sobre una amplia variedad de fenómenos. Las personas que razonan y piensan analíticamente tienden a percibir patrones, estructuras o regularidades…y conjeturan y demuestran”. (NCTM, 2003, p. 59).

Es importante destacar que en los estándares (NCTM, 2003; p. 33) se puede leer: “En estos estándares se integran tres importantes áreas de la Matemática Discreta: combinatoria, iteración y recursión, y grafos. Estas nociones pueden desarrollarse sistemáticamente desde Prekindergarten (Nivel Inicial) al último nivel”.

En este sentido, hemos tomado una rama no demasiado explorada de la matemática en estos niveles educativos, e incursionamos por caminos diferentes y con alumnos de distintas edades para

Coloreando la geografía desde el plano al toroide T. Braicovich; R. Cognigni

136

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A

NÚMEROS Vol. 76 marzo de 2011

“hacer” matemática de una manera primitiva y no estructurada, a partir del uso de material concreto y de la presentación de problemas como desafío, como juego, donde la actitud del docente debe ser de búsqueda permanente. De esta manera, el alumno siente que quien le enseña tampoco conoce la respuesta de antemano, el factor sorpresa juega un importantísimo rol estimulador, y donde el clima de trabajo es tal que conviven en armonía las distintas habilidades individuales, sin destacar a aquel alumno “hábil para las ciencias exactas”, lo que puede contribuir a aumentar la autoestima de algunos niños y, por ende, provocar un cambio de actitud frente a la asignatura.

2. Pertinencia de la propuesta

Puede establecerse, a modo de síntesis, que existen distintos argumentos para introducir algunos conceptos de la Teoría de Grafos en los currículos de los distintos niveles educativos. Citaremos para tal fin el texto de Rosenstein, J., Franzblau, D., Roberts, F. (1997, p. xxvii), donde se detallan los siguientes puntos:

• Referido a la aplicabilidad: en los años recientes varios temas de esta teoría han sido utilizados creando diversos modelos en distintas áreas.

• Referido a la accesibilidad: para entender las aplicaciones del tema en muchas situaciones es suficiente tener conocimientos de aritmética y en otras solamente de álgebra elemental.

• Referido a la atracción: existen algunas situaciones sencillas de resolver y también otras que hacen que los alumnos deban explorar para poder llegar a los resultados.

• Referido a la adecuación: a aquellos estudiantes que no tengan problemas en matemática les dará mayor preparación para las carreras que elijan y para los que no les va bien en esta disciplina es apropiada, pues puede dar la posibilidad de un nuevo comienzo.

Por otro lado, Friedrich Froebel, preocupado por los primeros años del ciclo escolar, subraya el carácter evolutivo del aprendizaje. En ese sentido, nos hacemos eco de las ideas siguientes: las experiencias educativas se apoyan unas sobre otras y por lo tanto están relacionadas; cuánto más significativas son las diversas experiencias, más amplio es su potencial educativo (Stone Wiske, 1999, p. 38). Considerando tales continuidades importantes, Froebel alentaba a los niños a volver a menudo a experiencias anteriores, ya que entendía que los alumnos aportarían cada vez algo diferente a ellas, ampliándolas, brindándoles nuevas posibilidades y extendiendo de esta manera su comprensión.

Dice Vito Perrone (Stone Wiske, 1999, p. 51)1: “Los estándares y marcos conceptuales sobre el currículo que se desarrolla en la actualidad ponen el énfasis en la necesidad de que los alumnos comprendan conceptos claves de las disciplinas, desarrollen disposiciones intelectuales y hábitos mentales asociados con la investigación, construyan su propia comprensión en lugar de limitarse a absorber el conocimiento creado por otros y vean conexiones entre lo que aprenden en la escuela y su vida cotidiana”. Con sus aportes, consideramos que estamos apostando a construir comprensión y desarrollar disposiciones intelectuales y hábitos mentales útiles para el crecimiento y desarrollo del alumno. En el contexto de lo planteado, que apunta a la enseñanza para la comprensión, su propuesta es reformular los contenidos de los programas vigentes en la actualidad, cuestión de vital importancia, ya que deben enfrentarse los siguientes desafíos: asegurar una propuesta de trabajo para todos los alumnos, no sólo para una elite académica, sin desestimar la rica gama de intereses y formas de expresión que los alumnos pueden presentar, ya que una pedagogía de la comprensión es claramente una pedagogía de la “inclusión”; diseñar currículos que respondan a las normas respaldadas y a las necesidades individuales de los alumnos, para mantener activo el compromiso intenso que requiere la comprensión; producir una clara evidencia del aprendizaje para que estudiantes y educadores sean

1 Capítulo 1: ¿Por qué necesitamos una pedagogía de la comprensión?


137

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U

L A Sociedad Canaria Isaac Newton


responsables de su trabajo; y estimular una valoración generalizada de la comprensión y un respaldo a ella como meta educativa central.

Este trabajo nuestro tiene como objetivo secuenciar y proponer actividades, para las distintas edades evolutivas (desde los 5 a los 14 años), que consideramos permiten a los alumnos construir el concepto de coloreo de grafos. En el mismo hemos formulado algunas actividades con distinto grado de dificultad y se las hemos presentando a niños de distintas edades para observar si las resuelven con facilidad, si necesitan ayuda o si no las comprenden. De esta manera se pueden identificar edades mínimas para cada propuesta.

Nos parece interesante destacar que, simultáneamente, mientras nosotras “investigamos”, los niños “investigan”, ya que se les pone en situación de opinar, descubrir, conjeturar, crear, sugerir nuevas cosas. Se les pone en situación de pequeños y jóvenes investigadores, lo que enriquece aún más nuestro trabajo.

3. Desarrollo de las experiencias

Estas experiencias fueron realizadas en grupos pequeños, a lo sumo seis niños de distintas edades, desde los 5 a los 14 años, siendo el disparador: “¿Cuántos colores son necesarios para pintar un mapa, de manera que dos regiones vecinas no lleven el mismo color?”

3.1. Conceptos básicos de la Teoría de Grafos

Un problema que parece haber sido mencionado por Moebius en 1840 y ser consecuencia de una hipótesis de los fabricantes de mapas dio origen a la siguiente conjetura de los cuatro colores: “Supuesto que cada país está constituido por una única región conexa y que toda frontera entre países está formada por arcos de curva (no las hay constituidas por un solo punto), todo mapa sobre un plano, o equivalentemente sobre la superficie de una esfera, puede colorearse utilizando a lo sumo cuatro colores y de forma que países limítrofes tengan colores distintos”. Esta conjetura mantuvo en vilo durante muchos años a los matemáticos más importantes de la época y pudo ser demostrada en 1976 por Appel y Haken.

Los esfuerzos realizados para decidir respecto de la validez de la conjetura antes mencionada impulsaron el desarrollo de la topología combinatoria y llevaron al estudio de los grafos planares, que son aquellos que pueden representarse sobre un plano de forma que sus aristas tengan en común a lo sumo sus puntos extremos. Todo grafo planar puede representarse limpiamente (sin intersecciones superfluas) sobre la esfera. Una generalización de lo precedente ha llevado al estudio de los grafos representables limpiamente en superficies distintas a la esfera y al plano. Las representaciones limpias de los grafos planares se muestran de interés, por ejemplo, en la confección de circuitos impresos en informática.

Finalmente, puede verificarse que todo mapa donde los límites sean segmentos y no puntos, trazado sobre una hoja de papel puede ser representado mediante un grafo planar donde los vértices representan a los países y las aristas entre ellos indican que los mismos son limítrofes. De lo cual resulta que la ya confirmada conjetura es equivalente a la siguiente proposición: “Para colorear los vértices de un grafo planar, de forma de 2 vértices adyacentes no tengan el mismo color, es suficiente utilizar cuatro colores”. El mínimo número de colores necesarios para colorear los vértices de un grafo G de forma que vértices adyacentes tengan colores distintos es llamado “número cromático de G”.


138

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


3.2. Actividades propuestas

A continuación se presenta un detalle de los distintos encuentros mantenidos con los niños para llevar a cabo las experiencias mencionadas. Fuimos analizando cómo los chicos interpretan las consignas, cómo pueden generar hipótesis y elaborar estrategias, o simplemente observar cómo obtienen resultados a partir del ensayo y error, de una manera divertida y agradable, habiendo escuchado muchas veces frases como: “Dame otro más difícil” (Valentina, 9 años) o “Yo hice un mapa que lo vas a tener que pintar con cinco colores” (Giuliana, 10 años) o “Quiero hacer el que está haciendo Valentina” (Juan Cruz, 7 años).

Para realizar el análisis mencionado en el punto anterior, una de las herramientas tenidas en cuenta fueron los niveles considerados en la Taxonomía de Bloom (Fowler, 2009), los que mencionamos a continuación, ordenados de primero a sexto nivel:

• Conocimiento: Recordar material aprendido con anterioridad, pueden ser, hechos, términos, conceptos básicos y respuestas.

• Comprensión: Entender hechos e ideas organizando, comparando, traduciendo, interpretando, haciendo descripciones y exponiendo las ideas principales.

• Aplicación: Resolver o solucionar problemas aplicando el conocimiento adquirido, hechos, técnicas y/o reglas.

• Análisis: Examinar la información en diferentes partes, identificando causas y motivos; realizar inferencias y encontrar evidencias que apoyen generalizaciones.

• Síntesis: Compilar información y relacionarla de diferente manera combinando elementos con un nuevo patrón o proponiendo distintas alternativas de solución.

• Evaluación: Exponer opiniones realizando juicios sobre información, validar ideas sobre trabajo de calidad en base a criterios establecidos.

De esta manera, siguiendo el interés de los chicos y explorando las posibilidades para cada edad, pudimos hacer una propuesta de actividades, graduadas para las distintas edades evolutivas, relacionadas con el coloreo. Se mencionan las consignas dadas a los niños en cada caso y se relatan las devoluciones de ellos a continuación:

Actividad 1: Pintar de colores diferentes las regiones que “se tocan” tratando de usar la menor cantidad posible de colores.

Esta actividad fue llevada a cabo con todos los niños, se dispuso de un encuentro de aproximadamente 40 minutos para cada grupo, colorearon distintas cantidades de mapas, entre 3 y 6 cada uno, los compararon y controlaron entre ellos.

Trabajamos sobre mapas geográficos y geométricos, los mismos fueron relativamente sencillos en el comienzo. Algunos niños lograron colorear de manera adecuada en el primer intento los que les fueron dados, otros lo lograron con el refuerzo de consignas como: “intentá usar sólo dos colores”, y ante la sorpresa de que no les alcanzaba, se les decía: “bueno, entonces usá tres”, o “entonces usá cuatro”. Contábamos con varias copias de cada uno de los mapas dados.

No se encontró dificultad en la interpretación de la primera parte de la consigna (colores diferentes). Sí pudimos observar que a veces ellos logran centrarse sólo en una consigna, descartando la segunda. Esto sucedió en el caso de Alejo, 6 años, que dijo que usó muchos colores porque le alcanzaban los lápices de su cartuchera. De cualquier manera, con el refuerzo citado anteriormente


139

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U



logró colorear adecuadamente. Se presentan, en la figura 1, dos de los coloreos realizados por él, en el primero utilizó siete colores, la misma cantidad que regiones existentes, en cambio en el otro logró colorear con tres, luego de haber realizado dos intentos:

Figura 1

Atendiendo a la taxonomía de Bloom y el pensamiento crítico, se puede inferir que en este caso los niños entendieron y recordaron la consigna, por lo tanto encontraron una coloración adecuada. Este es el primer nivel del dominio cognitivo y está asociado con conceptos básicos que los niños pudieron interpretar, por ejemplo, regiones, diferentes, menor, cantidad, etc.

Después de haber realizado algunos coloreos, se presentaron algunas situaciones en las que los chicos anticiparon resultados, como Giuliana, 10 años, que a primera vista dijo: “aquí necesitamos por lo menos tres colores, mirá”, señalando en el mapa tres países que limitan entre ellos. A partir de la aseveración correcta de esta niña, la consigna fue: “¿alcanzarán tres colores?” Con un razonamiento similar Micael, de 10 años, al ver un mapa que puede ser representado por un grafo completo de orden 4, dijo: “necesitamos 4 colores porque todas las regiones se tocan”. En este caso se detectó que los niños no se quedaron en el caso particular, pues, en cierto modo, pudieron generalizar estas situaciones. Al ver los mapas (figura 2) se dieron cuenta de que “por lo menos” hacían falta esa cantidad de colores. Esto es una forma de aplicar técnicas de manera implícita: se parte de un valor mínimo, el cual se puede mantener o bien aumentar.

Giuliana, 10 años. Micael, 10 años

Figura 2


140

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


Actividad 2: Construir un grafo a partir de los mapas trabajados en la actividad anterior, teniendo en cuenta que las regiones se conviertan en vértices y los límites (o fronteras) en aristas.

Por ser continuación de la actividad anterior, cada niño tomó algunos de los mapas que había coloreado y algunos nuevos. El tiempo no superó los 30 minutos.

Cabe aclarar que acá se les presentó previamente la idea de grafo. Algunos niños de 7 años lograron construirlo con ayuda, pero esta experiencia nos muestra que a partir de los 8 ó 9 años lo resuelven solos, sin demasiada dificultad. Es decir, lograron inferir la relación existente entre mapas y grafos, pudieron “transferir”: esto ya se relaciona con el segundo nivel cognitivo de la taxonomía de Bloom. Algunos niños habían trabajado el concepto de grafo en experiencias previas (con recorridos) y otros lo veían por primera vez. No se notó gran diferencia entre unos y otros al enfrentarse a este problema, lo que en cierto modo permite una cierta “libertad” en la disposición de los temas.

Trabajaron de manera distinta, algunos hicieron el grafo sobre el mapa y otros lo hicieron separado del mismo, como se muestra en figura 3 y figura 4, respectivamente:

Figura 3

Romina (14 años)

Figura 4

El lenguaje utilizado puede ser variado, cada docente le pondrá su toque personal, por ejemplo: casitas o puntos por vértices y caminos, líneas o enlaces por aristas. Se habló sin dificultad de vértices que “están unidos” o “no están unidos”, y también de vértices que “están relacionados” o “no están relacionados”. Una vez que la estructura estuvo realizada se les dijo que se llaman grafos, lo que aceptaron con total naturalidad.


141

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U



Actividad 3: Colorear los vértices de los grafos hallados, sin que los que están unidos o relacionados lleven el mismo color.

Para esta actividad se destinaron alrededor de 20 minutos, se les dejó trabajar en los grafos que habían construido ellos y también copiaron algunos de sus compañeros para poder comparar y controlar.

Cabe aclarar que se presentó la idea de vértices adyacentes en términos de aristas en común o compartidas. La propuesta fue establecer el paralelismo entre lo que sucede en el mapa y su traducción al grafo. No se encontraron dificultades a partir de los 9 años. Los niños que hallaron de manera más rápida la relación fueron los que habían construido el grafo como se mostró en la figura 3. En general, utilizaron distintas técnicas: por ejemplo, Valentina (9 años) numeró los vértices asociando cada número a una región del mapa y coloreó ambos respetando dicha numeración (figura 5). Se puede concluir que encontraron el nexo entre mapas y grafos y también entre el coloreo de ambos.

Figura 5

Actividad 4: A partir de un mapa sin colorear, traducirlo a grafo y analizar sobre éste la cantidad mínima de colores que se necesitan para un coloreo correcto.

Esta actividad se llevó a cabo en un día posterior a las anteriores, se juntaron nuevamente por grupos, no de igual manera que en la primera reunión. Se les entregaron distintos mapas (Argentina, distintas provincias de Argentina, América del Sur, América Central y América) según las edades, los entregados a los niños menores eran más simples. Se tenía previsto destinar alrededor de 20 minutos, pero no fue suficiente ese tiempo y se trabajó en esta actividad un poco más de media hora.

No se notaron grandes dificultades, trabajaron lenta y cuidadosamente, callados y de manera reflexiva, tratando de no cometer errores. En esta actividad se trabaja en un nivel cognitivo un poco más alto, el de relacionar. Ya tienen un análisis para hacer, deben experimentar y validar sus conjeturas, construyen y se organizan para hacer los controles correspondientes. En un primer momento comparaban en el grupo y luego con los demás. También surgió la pregunta “¿es siempre lo mismo pintar un mapa que el grafo que lo representa?”, a la que pudieron responder, acertadamente, que las situaciones son equivalentes.

Valentina, 9 años


142

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


Actividad 5: Sin utilizar mapas, proponer grafos diferentes para analizar su coloreo.

Fueron comenzando esta actividad a medida que terminaban la anterior. En un primer momento trabajaron en parejas, intercambiándose los grafos construidos; luego colorearon los grafos que ellos mismos proponían.

A esta altura de la experiencia cambió el clima de trabajo. Se notó, en general, más relajado y de juego libre, pues sintieron que ya dominaban la situación, y pedían más grafos y más difíciles. Camila (9 años), dijo “quiero uno con 20 vértices”, como si en eso residiera la dificultad, y se sorprendió mucho cuando lo pudo pintar utilizando solamente 3 colores. En este caso particular el grafo era un ciclo de orden par con un vértice universal, que es un grafo sencillo para colorear. Allí es donde su hipótesis implícita falló, pero sabemos que se aprende tanto de las conclusiones verdaderas como de las falsas. Este tipo de actividad es muy interesante pues son ellos quiénes proponen y confrontan entre pares, seleccionan y resuelven con ciertas premisas que a su vez deberán determinar si son acertadas o no.

En esta actividad, Milagros (11 años) fue pintando un grafo realizado por ella; ya había utilizado 4 colores y le quedó sin pintar un vértice que estaba relacionado con vértices de todos los colores. Sin que se le preguntara nada, volvió a analizar su grafo y dijo textualmente: “si al que tengo blanco (indicando el que no estaba pintado) lo pinto de rojo, entonces al rojo de al lado lo pinto de azul, porque eso sí puedo hacerlo y me quedan 4 colores en total”. Un planteo similar hizo Rosario (13 años) y efectuó un cambio sobre dos vértices ya pintados antes de colorear los 2 vértices que le faltaban, encontrando de esta forma un coloreo óptimo, el que se muestra en la figura 6.

Actividad 6: Construir mapas para desafiar a los compañeros y que necesiten de “muchos” colores para que las regiones limítrofes no sean del mismo color.

Comenzaron esta actividad todos en el mismo momento, no tuvieron problemas en interpretarla, se trabajó en ésta unos 30 minutos, tiempo que resulta suficiente para proponer y colorear varios mapas.

La riqueza de esta experiencia reside en que en este momento se dan cuenta de que cuatro colores alcanzan siempre, pero que en algunas situaciones es posible realizar el coloreo con 2 ó 3 colores. Se generó en distintos grupos una competencia, creemos que muy sana por cierto, para ver quien resolvía mejor y más rápido, y en este juego de desafíos se inventaron mapas para que otro compañero pinte. En la figura 7 mostramos, como ejemplo, dos mapas que inventaron Rosario y Giuliana y pintaron Milagros y Matías, respectivamente.

Rosario (13 años)

Figura 6


143

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U



Milagros (11 años)

Matías (10 años)

Figura 7

Actividad 7: Generar estrategias para que el número de colores usado sea el mínimo, a partir de la pregunta: ¿Por dónde convendrá empezar?

Esta actividad se llevó a cabo en el tercer encuentro que mantuvimos con los niños, se presentaron muchos grafos y mapas, se dedicaron alrededor de 40 minutos de manera que trabajen en forma reflexiva.

Valentina (9 años), resuelve más de 10 grafos y se mantiene firme en la hipótesis de que siempre hay que elegir para comenzar el coloreo un vértice del medio. Ante la pregunta de por qué, responde “porque sale más fácil”, sin poder explicitar la razón. Giuliana (10 años), mientras pintaban mapas y todavía no los habían llevado a grafos, sostenía que se debía empezar por una punta para “no hacer lío”. En un encuentro posterior, y posiblemente ante la insistencia de nuestra pregunta inicial, se queda un rato observando el mapa y no genera ninguna conjetura. Luego se le ofreció un grafo que ya había pintado y rápidamente dijo que le hubiera convenido empezar: “por el 7 o por el 8 porque son los que más tienen”, refiriéndose al grado de los vértices. En cambio, Micael (10 años) indica que conviene empezar por “el medio e ir usando de a dos colores, uno y uno”, esto lo indica girando alrededor como en espiral.

La estrategia que utiliza Gastón (12 años) frente al mapa de América del Sur es comenzar pintando Brasil que es el que limita con más países y pintar con el mismo color Chile y Ecuador que son los únicos que no limitan con él y tampoco limitan entre ellos; luego sigue coloreando alrededor de éste alternando dos colores hasta utilizar el cuarto color. Cabe destacar que tanto esta experiencia como la realización del grafo que representa al mapa le ocuparon poco tiempo y no le presentó dificultad alguna. Posteriormente, se le pidió que coloreara los vértices del grafo utilizando la menor cantidad posible de colores sin mirar lo hecho anteriormente y nuevamente comenzó pintando Brasil y luego, con distinto color los que se unen con él. Con esta actividad asegura que para colorear hacen falta 4 colores, no tres, que es lo que él sospechaba en un comienzo. Cabe aclarar que existe un subgrafo de orden 4 completo, determinado por Argentina, Paraguay, Bolivia y Brasil. En la figura 8 se muestra el grafo realizado por Gastón, que representa a los países de América del Sur con sus límites. El niño podría haber realizado un grafo plano, pero como no habíamos trabajado planaridad con ellos era de esperar que no lo dibujara de esa manera.


144

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


Gastón (12 años)

Figura 8

Romina (14 años) y Rosario (13 años) realizaron las mismas actividades que hizo Gastón. Lo hicieron también en forma rápida y formularon estrategias similares a las de él. Milagros (11 años) trabajó de forma similar pero con mapas con menor cantidad de países limítrofes. Como en los casos anteriores fue explicando la secuencia de colores asignados y el porqué de esa decisión. Romina retomó el trabajo realizado por ella que se presentó en figura 4 y fue explicando el procedimiento tenido en cuenta para pintarlo.

Actividad 8: Construir mapas que respondan a grafos entregados previamente.

Se entregaron distintos grafos. A pesar de que todos eran planares, algunos estaban representados con intersecciones superfluas entre las aristas. Se destinaron 30 minutos para esta actividad, con la que finalizó este tercer encuentro.

Se trata de un desafío que apunta claramente a trabajar la reversibilidad del pensamiento, a comprender la dualidad existente entre mapas y grafos. A los 10 años todavía en general, lo realizan por ensayo y error, sobre grafos sencillos. En edades posteriores, se organizan mentalmente antes de empezar a dibujar regiones. También pueden comparar entre ellos los mapas hallados, lo que es sumamente fructífero para los niños, ya que “Ser capaz de explicar lo que uno piensa, dando razones, es una destreza importante para el razonamiento formal” (NCTM 2003; p. 127).

En esta situación podemos decir que los alumnos se encuentran en el 4.° y 5.° nivel de la taxonomía de Bloom, pues realizan inferencias y encuentran generalizaciones y también compilan información y relacionan con nuevos patrones.

Actividad 9: ¡Ya no estamos en el plano! Colorear mapas sobre pelotas, cubos y cintas de Moebius, siempre intentando hacerlo con el mínimo número de colores para cumplir la consigna inicial.

En esta actividad, con la que comenzó el cuarto encuentro duró aproximadamente una hora. Se trabajó con numerosos cuerpos: pelotas de telgopor, cajas de cartón forradas y cintas de Moebius hechas de papel. En algunos de ellos había mapas ya realizados y en otros no.


145

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U



Otra vez tuvimos el desafío de experimentar y disfrutar de este gran interés que despierta en los niños todo aquello que tiene que ver con lo lúdico, y no por eso menos formativo. La propuesta es clara, consiste en encontrar regularidades. La hipótesis: “seguro que aquí cuatro colores no alcanzan”, asociándolo al hecho que “se juntan a veces dos regiones por los bordes al dar la vuelta a la pelota”, por ejemplo.

En un primer momento pintaban los mapas ya realizados sobre estos cuerpos y luego debían construir mapas “difíciles” para que el compañero pinte. La sorpresa nuevamente estuvo presente, ya que nadie logró construir alguno tan difícil que no alcancen cuatro colores. Fueron muchos los intentos y muchos también los planteos realizados por ellos. En esta actividad trabajaron en grupos, todos opinaban, conjeturaban y definían cómo realizar el coloreo para minimizar la cantidad de colores, pero pintaban los niños más grandes. Al pintar sobre telgopor y cartón debieron utilizar témperas.

Se muestran una esfera y un cubo coloreados en la figura 9.

Figura 9

Actividad 10: Finalmente, los mapas sobre toroides.

Esta actividad demoró bastante más de lo previsto, por lo que el tiempo total de este encuentro fue aproximadamente de dos horas. Nuevamente, disponíamos de numerosos toroides de telgopor de variados tamaños.

Creemos que a partir de lo que sucedió en la actividad anterior, ahora la hipótesis inicial de ellos fue: “Aquí también alcanzan cuatro colores”. Este es un cuerpo geométrico que fundamentalmente, y es lo que aquí nos interesa, tiene un “agujero”. Aquí fue donde los chicos se dieron cuenta que todos los cuerpos trabajados anteriormente tenían una característica común: la de “no tener agujeros”. Ahora sí aparecieron ejemplos donde no alcanzan cuatro colores. Esto resultó muy interesante, pues permite analizar propiedades y determinar atributos de objetos, encontrar formas que han visto en lo cotidiano y asociarlas a la geometría. Debemos destacar que no se profundizó demasiado en esta actividad y tampoco se llegó a que los niños determinen que la cantidad máxima de colores para pintar la superficie de un toroide es igual a siete. En este caso nos interesaba, sobre todo y como dijimos en el párrafo anterior, que los chicos reconozcan otro tipo de cuerpos en la geometría.


146

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


Figura 10

3.3. Observaciones generales de los encuentros

Como en varios de los encuentros que se llevaron a cabo había chicos de distintas edades, en muchas oportunidades se produjo el efecto “contagio”, y, por ejemplo Pablo (de 6 años), quiso hacer los grafos a partir de mapas; hizo vértices y caminos a su antojo, sin que corresponda al mapa que tenía allí, pero pidió a los más grandes que lo pinten. Manuel (de 7 años) también quiso hacerlos, y con nuestra ayuda lo logró. Cuando le pedimos que intentara hacerlo solo dijo que se había cansado y abandonó la tarea. Esto marca fuertemente las posibilidades evolutivas, pero nos parece sumamente interesante este “contagio”, pues nos da la posibilidad de explorar sin generar en ellos situaciones de exigencia. A su vez nos da la posibilidad de trabajar en las experiencias sin ponerles un techo, presuponiendo que es pequeño para una determinada actividad.

4. Conclusiones de las experiencias

A partir del análisis de la experiencia y de los cuatro períodos generales de desarrollo cognitivo definidos por Piaget, a saber: sensorio-motor, pre-operacional (entre 6 y 7 años), operacional concreto (inicio a partir de los 8 años) y el operacional formal (a partir de los 12 años) podemos decir que:

• A los 5 y 6 años pueden captar la consigna de pintar de colores diferentes las regiones colindantes en mapas sencillos, trabajar en ello llegando a resultados correctos, aplicando su propia lógica y estrategias acorde a sus edades.

• A los 7 y 8 años ya pueden traducir al lenguaje de grafos y comenzar a analizar el coloreo, encuentran la relación entre mapas y grafos.

• Entre los 9 y 11 años pueden generar hipótesis sencillas y empezar a intuir que existen algoritmos para trabajar con menor esfuerzo, ellos mismos generan sus propios algoritmos, de acuerdo a la Teoría de Landa: “enseñar a los alumnos a descubrir procesos es más valiosos que dárselos ya formulados”. Se notó que ya pueden generar hipótesis con justificaciones un poco más precisas que en el período de desarrollo cognitivo anterior.

• A partir de los 12 años, se puede observar que captan estos conceptos con bastante claridad y trabajan siempre de manera reflexiva, con una hipótesis previa, acertada o no, pero ya se ha abandonado casi por completo el ensayo y error. Es una característica fundamental de este período cognitivo: en él pueden realizar deducciones lógicas y son capaces de manejar distintas construcciones mentales.


147

E X

P E

R I E

N C

I A S

D E

A U



Por último, enunciamos a continuación algunos algoritmos de pintado de mapas y/o grafos que detectamos a partir de los procedimientos que utilizaron los niños para colorear:

Algoritmo 1: Ante un grafo, empezar pintando el vértice más concurrido (de mayor grado) y luego, del mismo color, todos los que no se relacionan con él. Después, de entre los que quedan sin pintar, elegir nuevamente el más concurrido y repetir el proceso hasta terminar.

Algoritmo 2: Elegir el vértice de mayor grado y marcar de un color, si hay otro del mismo grado o de un grado inmediato inferior que se relacione con el primero, pintar de otro color. Luego agotar todas las posibilidades con dos colores, para luego usar un tercero o cuarto si hiciera falta.

Algoritmo 3: Buscar un vértice que se encuentre en la región central, y pintar del mismo color todos los que no se relacionan con él. Luego elegir dos colores más e ir alternando hasta completar; si hace falta uno más, usarlo por último.

Es importante aclarar que, independientemente de la estrategia utilizada, los niños más grandes analizan, en general, posibles cambios de colores sobre los últimos vértices con el fin de disminuir el número de ellos, a no ser que hayan partido de esa cantidad como la menor posible.

5. Reflexiones finales

Marta Stone Wiske (1999, p. 23), nos dice: “En las últimas décadas, los teóricos del aprendizaje han demostrado que los alumnos no recuerdan ni comprenden gran parte de lo que se les enseña. Para comprender ideas complejas y formas de investigación, los estudiantes deben aprender haciendo y deben cambiar activamente su opinión. Las nuevas normas curriculares establecidas por educadores en una amplia variedad de temas exigen que el trabajo escolar se centre en el desarrollo conceptual, el pensamiento creativo, la resolución de problemas y la formulación y comunicación de argumentos atractivos”.

Nosotras creemos que nuestra manera de trabajar se adhiere a lo antes citado, porque estamos trabajando con contenidos no curriculares, que no están en los textos que los alumnos manejan y que podemos abordar sin un camino predeterminado y movernos a ritmos diferentes, permitiendo a cada chico expresar sus intereses personales y avanzar con el contenido mientras lo desee y su potencial evolutivo se lo permita. Esto enriquece las experiencias. Cuando el alumno no puede continuar avanzando porque tropieza con dificultades evolutivas pierde interés, pero se le propone otra gama de posibilidades, con la cual se van abriendo nuevos caminos de pensamiento y de acción.

También es muy importante saber escuchar sus propuestas, ya que los chicos son creativos por naturaleza, y son muy osados para generar hipótesis. Pero se aprende tanto de las que resultan verdaderas, como de aquellas que son falsas, para las que debemos buscar argumentos valederos o contraejemplos. Lo importante aquí es animarse a enfrentar la búsqueda. Es verdad que no se encuentra gran cantidad de material sobre este tema para enseñar a niños y a jóvenes, y mucho menos al alcance del docente que no es especialista en el área, pero no es ésta una razón válida para desecharlo en la enseñanza. Nosotros podemos investigar y aprender, para poder transmitir el placer de descubrir y el gusto por la novedad. Por eso invitamos a los docentes a realizar la experiencia, para que los alumnos vayan generando y utilizando procedimientos que muchas veces se dejan de lado y son tan formadores del pensamiento matemático como otros.

Hasta aquí hemos llegado, seguramente hay mucho aún por descubrir, volveremos atrás con las experiencias para analizar otros aspectos y comparar ajustando detalles. Pero lo que queremos transmitir es esta mirada sobre la matemática, que tiene muchas facetas y algunas de ellas muy


148

E

X

P

E

R

I

E

N

C

I

A

S

D

E

A

U

L

A


estimulantes para los alumnos. Se puede aprender jugando, se puede disfrutar de la sorpresa, siempre que el docente juegue el papel de guía, descubriendo y aprendiendo en el camino.

Bibliografía

Appel, K. y Haken, W. (1989). La solución del problema de los cuatro colores. Investigación y Ciencia. Número 15. págs. 78-91. Buenos Aires. Argentina.

Braicovich, T. (2005). Introducción de algunos conceptos de grafos en Tercer Ciclo de Educación General Básica. Universidad Nacional del Comahue. Neuquén.

Braicovich, T.; Caro, P; Cerda, V.; Osio, E.; Oropeza, M.; Reyes, C. (2009). Introducción a la Teoría de Grafos. Editorial Educo. Neuquén.

Coriat, M. Algunos usos escolares de los grafos. (2004). Revista de Didáctica de la Matemáticas. Universidad Complutense de Madrid.

Chartrand, G. (1985). Introductory Graph Theory. Dover, Nueva York. Chiappa, R. (1989). Algunas motivaciones históricas de la Teoría de Grafos. Revista de Educación

Matemática. Vol 1. N° 4. Unión Matemática Argentina. Córdoba. Fowler, B. La taxonomía de Bloom y el pensamiento crítico. Missouri. Estados Unidos. En

http://www.eduteka.org/profeinvitad.php3?ProfInvID=0014, Recuperado el 10/02/09. Guzmán, M. (1984). Juegos matemáticos en la enseñanza. Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje

y Enseñanza de las Matemáticas. National Council of Teachers of Mathematics. Principios y Estándares para la Educación

Matemática. (2003). Sociedad Andaluza de Educación Matemática Thales. Sevilla. España. Ore, O. (1981) Graphs and their uses. Mathematical Association of America. DLS-Euler. Editores.

Madrid. Piaget, J. (1964). Seis estudios de sicología. Ed. Planeta. Barcelona. Rosentein, J., Franzblau, D., Roberts, F. Editores. (1997). Discrete Mathematics in the Schools.

Dimacs. Volumen 36 American Mathematical Society National Council of Teachers of Mathematics.

Stone Wiske, M. (1999). La enseñanza para la comprensión. Vinculación entre la investigación y la práctica. Colección Redes de Educación dirigida por Paula Pogré. Ed. Paidós.

Wilson, R. (1979). Introduction of Graph Theory. Longman. New York.

Teresa Claudia Braicovich. Nacida en Cipolletti, Argentina en el año 1962. Ingeniero Civil y Magíster en Enseñanza de las Ciencias, orientación matemática, con especialidad en Diseño Curricular e Investigación Educativa por la Universidad Nacional del Comahue (U.N.Co.) Argentina. Profesora desde el año 1988 del Dpto. de Matemática de la U.N.Co. Directora del Proyecto de Investigación en matemática pura “El Operador line sobre grafos cordales y de comparabilidad”. Codirectora, en el período 2009-2011, de la Revista Iberoamericana de Educación Matemática UNION. Cuenta con publicaciones y numerosas presentaciones en congresos nacionales e internacionales, en términos de comunicaciones, talleres, cursos, reportes de investigación y conferencias. [email protected].

Raquel María Cognigni. Nacida en Córdoba, Argentina en el año 1960. Profesora de Enseñanza Media y Superior en Matemática, Física y Cosmografía por la Universidad Nacional de San Luis. Profesora del Dpto. de Matemática de la U.N.Co. Integrante del Proyecto de Investigación en matemática pura “El Operador line sobre grafos cordales y de comparabilidad”. Cuenta con publicaciones en el área de educación, presentaciones en ferias de ciencias y en congresos nacionales e internacionales, en términos de comunicaciones, talleres y cursos.




P R

O B

L E M

A S

A propósito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y más de abuelos

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Soluciones a los ejercicios propuestos en el anterior NÚMEROS, con especial incidencia en la metodología de su resolución. Comentarios sobre problemas anteriores. Martin Gardner y sus problemas. Nueva propuesta de problemas para resolver incluyendo la serie de “Problemas de abuelos”.

Palabras clave Resolución de problemas; Metodología; Martin Gardner; Estrategias; Investigaciones en el aula; Omniheurística. Problemas de abuelos.

Abstract Solutions to the exercises in the previous issue, with special emphasis on the methodology of its resolution. Comments on previous issues. Martin Gardner and his problems. New proposal to solve problems including the series of "Problems of grandparents".

Keywords Problem solving methodology, Martin Gardner, Strategies, Research in the classroom; Omniheurística. Grandparent Issues.

Nuestro admirado Martin Gardner, en sus artículos y libros, también trató (¡cómo no!) los problemas. Y lo hizo de forma magistral.

Primero fue en sus artículos de la revista “Scientific American”, que más tarde unificaba en sus libros recopilatorios. Como ejemplo veamos uno de ellos:

“Comunicación extraterrestres y otros pasatiempos matemáticos” (Cátedra, 1986)

que constituye la sexta recopilación de sus artículos. En la introducción al mismo nos indica:

“Es parte del lento y doloroso reconocimiento por parte de los educadores que los estudiantes aprenden mejor cuando están motivados mejor. Las matemáticas nunca han sido aburridas, aunque con demasiada frecuencia han sido enseñadas de la forma más aburrida posible.”

En el capítulo 12 de este libro, bajo el nombre de “El viaje alrededor de la luna y otros siete problemas” nos plantea problemas como el siguiente:

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de Canarias-

Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). [email protected] / [email protected]

A propósito de Gardner y sus problemas, algunas soluciones y más de abuelos J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

150

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Las monedas del reino

En Estados Unidos, hacen falta al menos ocho monedas para obtener la suma de 99 centavos: medio dólar, un cuarto de dólar, dos monedas de diez centavos y cuatro de un centavo. Imagínese el lector como el dirigente de una pequeña nación recientemente independizada. Tiene la tarea de establecer un sistema monetario basado en el centavo, como unidad más pequeña. Su objetivo es acuñar el número más pequeño posible de monedas diferentes que permitan construir cualquier valor desde 1 hasta 100 centavos (ambos inclusive) con no más de dos monedas.

Por ejemplo, el objetivo se satisface fácilmente con 18 monedas de los siguientes valores: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 20,30, 40, 50, 60, 70, 80,90. ¿Puede hacerlo mejor el lector? Todo valor debe obtenerse mediante una moneda o como suma de dos monedas. Por supuesto, las dos monedas no necesitan tener diferentes valores.

Una segunda forma de presentar problemas la realizó en la revista “Isaac Asimov’s Science Fiction Magazine” desde la fundación de ésta en 1976, y que también recopiló en dos libros. Tenían estos problemas forma de cuento breve (brevísimo) de ciencia ficción, que además encadenaba con un segundo también relacionado y hasta un tercero y un cuarto alrededor del mismo tema, presentando así varios niveles de dificultad o profundización.

Del segundo libro de esta serie, bajo el título “Juegos y enigmas de otros mundos” (Gedisa, 1987) seleccionamos el siguiente problema:

Tania al tuntún

El coronel Renald, Couth, jefe científico de la computadora de la nave espacial Bagel, acababa de recibir información desde la Tierra sobre las nuevas órdenes para la nave.

- ¿Cuál es la misión, papá? – preguntó Tania, su hija de doce años. - Se acaba de descubrir un nuevo sistema solar cerca del extremo de la galaxia. Vamos en

camino para investigar. - ¿Existen formas de vida en alguno de los planetas? - Sí, me dijeron que tres de los cinco primeros planetas de la estrella central tienen cierta forma

de vida. - ¿Cuál exploramos primero? - El quinto.

Tania aplaudió.

- ¡Qué emocionante! Me pregunto si la vida se basa en el carbono.

El coronel Couth alzó las cejas.

- ¿Cómo sabes que el quinto planeta no es uno de los dos estériles? - El coronel se rió cuando Tania se lo explicó. ¿Qué le dijo?

Como es natural, Gardner se encargó de dar las respuestas a los problemas que proponía, bien con solución suya o con alguna de las que mandaban sus lectores. Usted puede ir directamente a buscarlas en los libros que mencionamos, pero como dice el propio Martin Gardner:


151

P R

O B

L E M

A S



“De más está decir que el lector se divertirá mucho más, y también aprenderá bastante, si intenta seriamente resolver cada problema antes de buscar la solución”.

¡Y siempre le quedará la “Inspiración Aha!”

De artículos anteriores

Hemos recibido el siguiente comentario sobre uno de los problemas propuesto, resuelto y discutido en un número anterior.

Una vez más tenemos que decir que eso es lo que esperamos de nuestros lectores. Que participen, que resuelvan y comuniquen sus resultados, que expresen su disconformidad con las respuestas ofrecidas y que lo hagan mandando la suya propia.

En un clima amigable, como es natural, pero haciendo que nuestra sección esté viva. Agradecemos, pues, a la profesora Ferreira su amable comunicación.

Propusimos en el artículo anterior, como siempre, algunos problemas para ser resueltos. Estas son nuestras soluciones:

Estimados profesores: Me comunico con ustedes en relación al problema:

Cinco chicos se pesan de dos en dos, de todas las maneras posibles. Los pesos de las parejas son: 90kg, 92kg, 93kg, 94kg, 95kg, 96kg, 97kg, 98kg, 100kg y 101kg.

cuya respuesta comenta el profesor Sergio Alexander Hernández Hernández en el último número. Considero que el razonamiento del profesor Hernández presenta un error al considerar la distribución de los pesos por parejas. Suponiendo el orden A<B<C<D<E , es posible asegurar que A+B=90 , A+C =92 , E+D= 101 y E+C=100. Sin embargo de las demás parejas sólo puedo hacer algunas consideraciones a partir de las mencionadas igualdades: Como C-B = 2 entonces D+C =D+B+2 , también: E+C = E+B+2 de donde E+B = 98 (Alex consideró 97 y de allí parte el error) Como D-C = 1 entonces A+D = A+C+1 de donde A+D =93 Finalmente A+E = 190-(B+C) Con estos resultados, es posible asignar los valores que restan: D+C = 97 , D+B = 95 , B+C = 94 y A+E = 96 . Resolviendo el sistema así planteado, no existe ninguna contradicción y los pesos de cada uno de los chicos son: A = 44kg, B = 46kg, C = 48kg, D = 49kg, E = 52kg. y, efectivamente, todos juntos pesan 239kg. como se indicaba en la ayuda brindada por ustedes en el número 73. Saludos cordiales Prof. Nora Ferreyra La Pampa - Argentina


152

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Del 1 al 9

Coloca los números del 1 al 9 en cada cuadrícula, sin repetir ni saltarte ninguno, de manera que al sumar las líneas horizontales y verticales sean iguales a los números dados.

Teniendo en cuenta que ya dimos el procedimiento para resolver este tipo de problema, nos limitaremos a dar la única solución que tiene:

Calculogramas

Añade los números del 1 al 9 de forma que las equivalencias sean correctas. Te damos un número para hacértelo más fácil.

La primera pista nos la ofrece el signo de división. Como la división es por 4, está claro que el único número divisible por él, distinto de 4, es 8. Y la consiguiente división se completa con la suma de 3 para resultar 5.

La segunda pista está en la columna central que es una doble multiplicación con resultado 8 y uno de los tres factores conocido, el 4. Por tanto, los otros dos factores han de ser 2 y 1. El 1 no puede estar en la casilla superior pues, en ese caso, su fila no podría dar 19. Por tanto:

Faltan por colocar los números 7, 6, 5 y 9. El 9 no puede formar parte de la última fila, pues 9 + 1 = 10, y el 4, que completaría 14 ya está colocado. La única combinación posible es:

7 5 2 14

4 9 3 16

1 6 8 15

12 20 13

x + 19

- x -

: 4 + 5

+ x +

+ + 14

3 8 13

x + 19

- x -

8 : 4 + 3 5

+ x +

+ + 14

3 8 13

x 2 + 19

- x -

8 : 4 + 3 5

+ x +

+ 1 + 14

3 8 13

5 x 2 + 9 19

- x -

8 : 4 + 3 5

+ x +

6 + 1 + 7 14

3 8 13


153

P R

O B

L E M

A S



Pirámide numérica

Completa la pirámide colocando un número (de uno o más dígitos) en cada casilla de manera que cada uno dé la suma de los dos inferiores. Ya están colocados algunos números.

Puesto que no hay ninguna suma que podamos realizar de entrada, debemos hacer una pequeña “investigación” de las estructuras numéricas piramidales posibles, de más simple a más compleja.

Con tres ladrillos (dos pisos):

Conocidos A y B, podemos hallar el valor del piso superior mediante una suma.

Conocidos M y N, podemos hallar el valor del ladrillo inferior desconocido mediante una resta.

Con seis ladrillos (tres pisos):

Mediante dos sumas hallamos el segundo piso, y una suma más para hallar el tercer piso (Tabla I) Mediante dos restas y una suma completamos los ladrillos desconocidos. (Tabla II) Mediante una resta y dos sumas completamos los ladrillos desconocidos. (Tabla III) Mediante una suma y dos restas completamos los ladrillos desconocidos. (Tabla IV) Mediante una resta y dos sumas completamos los ladrillos desconocidos. (Tabla V) Llamando X al valor inscrito en el ladrillo central del primer piso, (Tabla VI), está claro que las sumas A + X y X + B serán los valores de los ladrillos del segundo piso. Vueltos a sumar, tendremos que C = A + 2X + B. Por tanto, para llenar los ladrillos de valor desconocido bastará con calcular primero X = (C – A – B): 2. Y luego, mediante dos sumas completamos el resto de la pirámide parcial.

141

41 38

28

12 11 8

9

A B

N

M

N

M

A B C

Tabla I

C

A B

Tabla II

C

A B

Tabla III

C

A B

Tabla IV

C

A B

Tabla V

C

A B

Tabla VI


154

P

R

O

B

L

E

M

A

S


No es necesario investigar otras estructuras. Con éstas es suficiente para resolver el problema. Basta, para ello, con detectar estas estructuras dentro de la pirámide total e ir resolviendo de manera organizada.

La primera que se debe resolver es la que está señalada en color azul:

141

41 38

28

12 11 8

9

Y una vez resuelta esa, resolveremos la que se señala a continuación.

141

72 69

41 31 38

28

12 11 8

9

141

72 69

41 31 38

17 14 28

12 11 6 8

9


155

P R

O B

L E M

A S



Resultará muy fácil ahora completar, mediante sumas y restas, y siguiendo las estructuras estudiadas inicialmente, la pirámide completa, cuya solución es:

603

303 300

162 141 159

90 72 69 90

49 41 31 38 52

25 24 17 14 24 28

12 13 11 6 8 16 12

5 7 6 5 1 7 9 3

Nuevas propuestas para resolver:

Todos conocen nuestras fuentes a la hora de seleccionar los problemas que proponemos. Desde el primer artículo de la sección hemos indicado, siempre que hemos utilizado un préstamo, el origen del mismo. Ya hemos hablado, y mucho, del Rally Matemático Transalpino. Utilizamos repetidamente sus problemas porque compartimos de forma plena su manera de enfocarlos en el aula.

Ahora toca el turno de recordar una de las grandes secciones de resolución de problemas. Se trata de la que lleva el profesor José Paulo Viana en la revista portuguesa “Educaçao e Matemática”, bajo el nombre de “O problema do trimestre”.

Varios problemas, sacados de esas páginas, hemos propuesto en nuestros artículos. Y como homenaje a su trabajo y a la continuidad desde enero de 1987, hoy queremos proponerle un problema sacado del nº 48 de la revista, correspondiente ya a fechas más recientes.

Bailando el tango

El otro día fui a un club de danza. Estaban allí siete parejas ensayando para los próximos campeonatos de tango. Cada uno de los bailarines tenía su número en la espalda. Números todos diferentes, claro, y que iban de 1 a 14.

En el primer baile reparé en un hecho curioso: en cada pareja, la suma de los dos números era un cuadrado perfecto.

Para el segundo baile hubo un cambio de parejas y se dio una nueva coincidencia. Todas las parejas tenían una suma que era un número primo. Y además: en las tres parejas que estaban al lado izquierdo la suma era la misma, las tres que estaban a la derecha tenían sumas iguales, y el par que danzaba en el centro tenía una suma diferente de las anteriores.

Isabel tenía el número 1 en la espalda.

¿Cuáles son los números de las otras seis bailarinas?


156

P

R

O

B

L

E

M

A

S


Y seguimos la serie de problemas dedicada a los abuelos. ¡Qué vamos a hacer! Es nuestra condición, que nos puede…

El abuelo y su nieto

El abuelo dice: “Cuando yo tenía un tercio de mi edad actual, nació mi hija mayor. Cuando ella tenía 2/3 de su edad actual, con menos de treinta años, tuvo a mi primer nieto, que ahora tiene un tercio de la edad de su madre”.

¿Cuáles son sus edades, todas ellas números enteros?

El abuelo y su nieta

Dice el abuelo a su nieta mayor:

- Cuando yo tenía la edad que tu padre tiene hoy – dice el abuelo a su nieta-, él tenía la edad que tú tendrás cuando él llegue a mi edad y, por otra parte, cuando tú tengas la edad actual de tu padre yo tendré la edad que tendrá entonces tu padre más tu edad actual.

- Vaya abuelo, pensé que tenías 63 años. - Pues no, soy algo mayor.

¿Cuáles son sus edades?

Y aquí quedamos hasta la próxima entrega. Pero insistimos, sigan el ejemplo de nuestra lectora argentina de La Pampa. Lean el artículo, resuelvan los problemas, úsenlos con sus alumnos, si es posible. Pero aporten luego a nuestra revista sus comentarios, soluciones, propuestas o simplemente el rico anecdotario acerca del comportamiento de la clase al resolver uno de estos problemas o cualquier otro. Sería maravilloso. Vamos, anímense.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista

Un saludo afectuoso del Club Matemático.





E N

L A R

E D

Los clickers en el aula de matemáticas

Isabel Marrero (Universidad de La Laguna)

Resumen Los clickers son unidades de votación electrónica sin cable las cuales permiten a los estudiantes interactuar con una presentación para distintos fines, que van desde controlar la asistencia a clase hasta realizar evaluaciones sumativas o formativas, respondiendo a test conceptuales. En la presente nota se exponen sucintamente las características técnicas de este tipo de sistemas de respuesta, se discuten sus posibilidades docentes, se sugieren buenas prácticas de uso que puedan servir como orientación a quienes decidan experimentarlos en el aula, y se referencian algunos materiales accesibles en la red y potencialmente útiles para implementar este recurso en la enseñanza de las matemáticas.

Palabras clave Clickers, aprendizaje activo, instrucción por iguales, ConcepTest.

Abstract Clickers are wireless digital voting units which allow students to interact with a presentation on everything as basic as attendance, to summative assessments or concept tests. In this note the technical features of this kind of response systems are briefly described, their use in education is discussed, good practices (which might be of some aid to those willing to carry this new technology to their classrooms) are suggested, and some materials, available online and potentially helpful to implement this resource in the teaching of mathematics, are referenced.

Keywords Clickers, active learning, peer instruction, ConcepTest.

1. Introducción

Los clickers son unidades de votación electrónica, similares a un mando de televisión que, mediante infrarrojos o radiofrecuencia, transmiten al ordenador del profesor, en tiempo real, las respuestas de los estudiantes a diferentes cuestiones que el docente formula en el transcurso de la clase. Las preguntas, con sus posibles soluciones, se muestran en una pantalla o proyector, los estudiantes votan por una de estas soluciones pulsando en el clicker, un receptor USB captura las respuestas, y el software asociado las cuantifica, agrega y resume al instante para enseñarlas en la pantalla de proyección, generalmente en forma de tabla, diagrama de barras o diagrama de sectores. La sesión de trabajo puede quedar registrada para posteriores consultas, incluyendo o excluyendo, según se desee, las respuestas del alumnado.

Esta tecnología innovadora se encuentra muy extendida en las universidades estadounidenses y empieza a ser habitual en Europa, pero quizá no tanto en España: en la actualidad, que sepamos, sólo está implantada institucionalmente en la Universidad de Navarra [http://www.unav.es/servicio/innovacioneducativa/clickers1], con algunas experiencias piloto en asignaturas aisladas de las Universidades Autónoma de Barcelona, Autónoma de Madrid y La Laguna. El propósito de la presente nota es exponer sucintamente las características técnicas de este tipo de sistemas, discutir sus posibilidades docentes, sugerir buenas prácticas de uso que sirvan de orientación a quienes decidan experimentarlos en el aula, y recomendar algunos materiales, disponibles online, de

Los clickers en el aula de matemáticas I. Marrero

158

E

N

L

A

R

E

D


potencial utilidad para la implementación de este recurso en la enseñanza de las matemáticas. Aunque los clickers son susceptibles de ser empleados en todos los niveles educativos, en este trabajo nos referiremos fundamentalmente al ámbito universitario. La bibliografía citada, junto con las referencias contenidas en cada ítem, permitirá al lector ampliar conforme a sus intereses la información que reseñamos aquí.

2. Aspectos técnicos

Los clickers reciben hasta 26 denominaciones alternativas; para facilitar la localización de bibliografía relacionada, enumeramos a continuación las más comunes:

• Sistemas de Respuesta de la Audiencia (Audience Response Systems, ARS) • Sistemas de Respuesta Automáticos (Automated Response Systems, ARS) • Sistemas de Funcionamiento de la Clase (Classroom Performance Systems, CPS) • Sistemas de Respuesta por Ordenador (Computer Response Systems, CRS) • Sistemas de Votación Electrónica (Electronic Voting Systems, EVS) • Sistemas de Respuesta Personal (Personal Response Systems, PRS) • Sistemas de Respuesta de los Estudiantes (Student Response Systems, SRS)

Existen varios fabricantes que comercializan este tipo de tecnología. A título exclusivamente informativo, listamos algunos de los más conocidos:

• Educlick [http://www.educlick.es] • eInstruction [http://www.einstruction.com] • Enjoy [http://www.enjoy-ars.com] • Hyper-Interactive Teaching Technology [http://www.h-itt.com] • i>Clicker [http://www.iclicker.com] • InterWrite PRS [http://www.interwritelearning.com/products/prs] • Option Technologies Interactive [http://www.optiontechnologies.com] • Powervote [http://www.powervote.com/es] • Qwizdom [http://www.qwizdom.com] • Turning Technologies [http://www.turningtechnologies.com]

Figura 1. Receptor USB y ResponseCard RF LCD de Turning Technologies.




E N

L A R

E D

Figura 2. Pantalla de configuración de canales de radiofrecuencia para la ResponseCard RF LCD.1

Desde el punto de vista técnico, un sistema de respuesta personal consta típicamente de cuatro elementos: software de encuestas, dispositivos de respuesta (los clickers propiamente dichos), receptor de respuestas y sistema de almacenamiento de sesiones. El elemento didáctico básico asociado está constituido por una pregunta, un conjunto de posibles respuestas, un gráfico que muestra lo que ha contestado la clase y un informe posterior, individual o grupal.

Los distintos productos disponibles en el mercado ofrecen características y prestaciones similares, si bien los basados en radiofrecuencia presentan mayor estabilidad y fiabilidad que los que funcionan bajo infrarrojos. Algunos fabricantes cuentan con un software para configurar los teléfonos móviles como dispositivos emisores. En nuestro caso hemos tenido ocasión de experimentar con algunos de los productos comercializados por la empresa Turning Technologies, que comentaremos a continuación.

El clicker ResponseCard RF LCD (Figura 1) funciona por radiofrecuencia (Figura 2) e incluye una pantalla LCD que permite a los usuarios confirmar visualmente su elección, además de mostrar el canal bajo el cual está operando el dispositivo y el estado de carga de la batería. Se trata de una unidad muy ligera, delgada y resistente, aproximadamente del tamaño de una tarjeta de crédito, lo que le confiere una gran manejabilidad y portabilidad.

El software de encuestas TurningPoint es gratuito y se integra perfectamente con Microsoft PowerPoint y con el paquete Microsoft Office, herramientas informáticas que el profesorado conoce y maneja de forma habitual en su trabajo. Como, además, el uso de su interfaz es muy sencillo e intuitivo, este recurso puede ser incorporado al aula sin que ello resulte gravoso para el docente.

Uno de los puntos clave en la tarea del profesor en relación con el uso de los clickers es formular buenas preguntas; con cada una y sus posibles respuestas se configura una diapositiva. El software presenta una gran versatilidad a la hora de diseñarlas: es posible crear nuevas presentaciones interactivas o bien incorporar diapositivas interactivas a presentaciones ya elaboradas. La existencia de una biblioteca de patrones de diapositivas (pasatiempos para “romper el hielo” y enseñar a la audiencia el manejo del sistema, preguntas sí/no, preguntas verdadero/falso, tipo Likert, de opción múltiple, de respuesta corta, etc.) junto al libre diseño permite plantear las cuestiones de distintos

1 Se trata de una utilidad imprescindible para evitar las interferencias al emplear el sistema en dos aulas contiguas e independientes.


160

E

N

L

A

R

E

D


modos, atendiendo a lo que el profesor pretenda evaluar y a la manera en que quiera recabar y almacenar la información (Figura 3). Y ante cualquier circunstancia imprevista (una duda, un debate surgidos en el desarrollo de la clase), resulta sencillo añadir sobre la marcha una nueva diapositiva con el tipo de pregunta que se considere más apropiada al caso.

Figura 3. Diapositiva para “romper el hielo”

Figura 4. Diapositivas con pregunta verdadero/falso (i) y con pregunta de opción múltiple. Los resultados de las votaciones se muestran en forma de diagramas de barras y de sectores, respectivamente. Ambas incluyen un contador de respuestas emitidas, un señalizador de respuesta correcta y un control del tiempo remanente.

Las respuestas pueden ser textos o imágenes, y entre ellas debemos indicar la que pretendemos que el ordenador reconozca como acertada; naturalmente, a priori ésta no se muestra como tal. Cabe asignar una puntuación a cada respuesta. Si deseamos que los estudiantes reciban retroalimentación instantáneamente, insertaremos en la diapositiva un señalizador de la respuesta correcta, que aparecerá una vez se haya cerrado la votación de esa pregunta. Igualmente, se puede limitar el tiempo de respuesta de cada una, indicando con una alerta el momento en que empieza la cuenta atrás y el tiempo restante (Figura 4). Para testear cómodamente el diseño de la presentación, el software permite introducir datos de prueba o simular el envío de respuestas mediante el teclado.

Al arrancar una sesión de clickers podemos hacer que los estudiantes permanezcan o no identificados en el transcurso de la misma; la segunda opción interesará, por ejemplo, si entre los objetivos de la sesión se encuentra pasar lista o realizar una evaluación sumativa. Se puede crear una primera pregunta para separar a los estudiantes en grupos, y en tal caso obtener las respuestas también




E N

L A R

E D

por grupos. De la misma manera, es factible diseñar un itinerario de aprendizaje guiado, condicionando el flujo de la presentación a las respuestas que emitan los estudiantes: si la mayoría son erróneas entonces la presentación se redirige a diapositivas aclaratorias del mismo tema, mientras que si son correctas progresa hacia temas nuevos.

Los resultados de una sesión pueden ser guardados y administrados mediante una gran variedad de informes: por alumnos, por grupos de alumnos, por preguntas, con o sin gráficos, etc.

3. Uso didáctico de los clickers

Con la utilización de los clickers en el aula se pretende promover el aprendizaje activo (Johnson 2004), cuyos beneficios en la educación superior han sido ampliamente proclamados por diversos autores (Chickering y Gamson, 1987; Guthrie y Carlin, 2004). Si se emplean correctamente, los clickers pueden ayudar a dinamizar las clases y facilitar tanto al profesorado como al alumnado el seguimiento y valoración de su propio desempeño en la asignatura.

3.1. Beneficios del uso de los clickers

Distintos estudios realizados sobre su impacto en el aula han permitido concluir que, más allá del posible “efecto novedad” del recurso tecnológico, los clickers constituyen un instrumento motivador para los estudiantes, quienes generalmente valoran de forma positiva la experiencia de usarlos (Figura 5). Otros beneficios reportados han sido los siguientes:

• Incremento de la atención de los estudiantes durante la clase. El alumno intenta prestar más atención a los temas que se están tratando si sabe que en cualquier momento se le puede plantear una pregunta.

• Aumento de la participación. Los clickers permiten al estudiante expresar sus opiniones desde el anonimato, sin necesidad de correr públicamente el riesgo de emitir una respuesta incorrecta; este mero hecho ya puede incitarle a participar. Si, además, su respuesta coincide con la que se muestra en la pantalla como acertada, experimentará un refuerzo positivo considerable que le animará a expresarse en voz alta.

• Proporcionan feedback al alumnado. Gracias a los clickers, los estudiantes pueden objetivar su grado de conocimiento y asimilación de los distintos temas abordados, y así mejorar sus propias estrategias de aprendizaje. Además, este sistema les permite ejercitarse en la realización de exámenes de tipo test y afrontar el examen final, si lo hubiese, con mayores garantías de éxito.

• Proporcionan feedback al profesorado. Las preguntas que presentan tasas muy bajas de respuestas correctas por parte de los alumnos permiten al profesor identificar aquellos conceptos que no han sido bien comprendidos y adaptar en consecuencia el ritmo de la clase. Los clickers también pueden facilitar al profesor la tarea de evaluar de forma continuada el progreso de los estudiantes, especialmente en grupos numerosos.

• Favorecen la introspección del profesorado en su tarea docente. El uso de clickers obliga al profesor a preparar sus clases formulando buenas preguntas y anticipando posibles explicaciones según sean las respuestas que obtenga; en otras palabras, le hace situarse en el lugar de los estudiantes y adecuar sus conocimientos y su discurso al nivel de éstos.

• Simplifican los controles de asistencia. Los clickers constituyen un recurso muy útil para pasar lista en clase sin necesidad de invertir mucho tiempo en ello.


162

E

N

L

A

R

E

D


3.2. Aspectos metodológicos: cómo, cuándo y para qué utilizar clickers

La utilización de los clickers se relaciona frecuentemente con la teoría del aprendizaje denominada “instrucción por iguales” (“peer instruction”) de E. Mazur (Crouch y Mazur, 2001), según la cual se debe fomentar la participación de los alumnos en clase a través de una serie de preguntas o “test conceptuales” (“ConcepTest”) donde se apliquen las ideas básicas presentadas durante la misma. El esquema metodológico es el siguiente: se explica un tema y se plantea un “ConceptTest”. Durante un máximo de 2 minutos los estudiantes responden individualmente. Después, discuten sus respuestas con sus compañeros durante un máximo de 4 minutos. Entonces el profesor vuelve a pedir las respuestas individuales a la pregunta (que pueden haber cambiado tras el debate), explica la solución correcta y avanza al siguiente tema.

Por su parte, Wieman et al. (2009) proponen cuatro pasos para la utilización de los clickers en el aula:

• Paso 1. Proyección de la pregunta. • Paso 2. Tiempo para la discusión entre iguales. • Paso 3. Votación. • Paso 4. Discusión en gran grupo.

Figura 5. Un grupo de estudiantes vota con clickers.

Al comienzo de la clase, los clickers son útiles para sondear los conocimientos previos de los estudiantes acerca de un tema determinado, el grado de realización de las tareas que se les han propuesto para trabajar fuera del aula, etc.

Durante la clase, su uso a intervalos regulares sirve para subrayar las ideas principales o recapitular lo expuesto. También, para realizar sondeos sobre el grado de asimilación de los conceptos




E N

L A R

E D

que se están impartiendo, o convertir preguntas formuladas por un estudiante en preguntas abiertas al gran grupo. El profesor puede propiciar que aquellos alumnos que hayan respondido acertadamente a las cuestiones planteadas por él resuelvan también las dudas formuladas por sus compañeros, aumentando así la participación y la interacción. Se promueve la discusión y el intercambio de opiniones si se asigna un clicker a cada grupo de alumnos y se propone que los miembros del grupo debatan entre sí antes de dar una respuesta colectiva. Cuando la materia es especialmente ardua, se favorece la distensión planteando alguna pregunta jocosa o un pasatiempo.

Al final de la clase, los clickers pueden ser utilizados para sintetizar y extraer conclusiones, motivar mediante una pregunta los contenidos a tratar en la clase siguiente, pasar encuestas…

3.3. Buenas prácticas de uso

Robertson (2000), Duncan (2005) y los expertos de Turning Technologies (2011) recomiendan las siguientes buenas prácticas en el uso de clickers:

1. Escribir textos cortos en las diapositivas, para optimizar la legibilidad. 2. Proponer, como máximo, cinco opciones en las preguntas de respuesta múltiple. 3. Evitar formular las cuestiones de un modo excesivamente complicado. 4. Utilizar el voto directo, aunque el sistema permita ramificaciones complejas. 5. Dejar tiempo suficiente para que los estudiantes respondan a las distintas preguntas.

Como regla general, se pueden adoptar los siguientes valores: a. Clases de menos de 30 estudiantes: 15-20 segundos por cuestión. b. Clases de 30 a 100 estudiantes: 30 segundos por cuestión. c. Clases de más de 100 estudiantes: 1minuto por cuestión.

6. Reservar un tiempo entre dos preguntas consecutivas para debatir. 7. Estimular el intercambio de ideas con la audiencia. 8. Evitar formular demasiadas preguntas, reservándolas para los conceptos clave. 9. Distribuir las preguntas periódicamente durante la presentación. 10. Incluir un mensaje tipo “responder ahora” a fin de distinguir las diapositivas que

contienen preguntas para ser contestadas mediante los clickers de las que son meramente expositivas.

11. Utilizar un indicador de “respuesta correcta” para identificar visualmente la respuesta acertada.

12. Incluir una “rejilla de respuestas” de modo que los estudiantes puedan constatar que sus votos están siendo registrados.

13. Para incrementar el interés por responder, utilizar un “contador hacia atrás” que cierre la recepción de respuestas después del tiempo establecido.

14. Probar el sistema en el sitio donde se vaya a utilizar con la suficiente antelación para detectar posibles problemas técnicos (iluminación, interferencias en la señal, etc.) y corregirlos.

15. El mismo día de la sesión, prever un tiempo para arrancar el sistema y configurar los clickers.

16. Ensayar previamente la presentación, asegurándonos de que se ejecuta correctamente. 17. Instruir claramente a la audiencia sobre el uso de los clickers. 18. Usarlos con moderación para evitar que pierdan su “potencial de enganche”.


164

E

N

L

A

R

E

D


3.4. Formular buenas preguntas

Resulta evidente que diseñar buenas preguntas es de fundamental importancia en un sistema de votación como el que nos ocupa. Algunas sugerencias para lograrlo son las siguientes:

• Conviene centrarse en el modo de favorecer el aprendizaje de los estudiantes en vez de formular cuestiones susceptibles de convertirse en un mero entrenamiento para el examen final.

• Las preguntas deben ceñirse a objetivos más que a temas, por ejemplo: extraer conclusiones, diferenciar dos conceptos relacionados, realizar paralelismos entre dos ideas diferentes, etc. Es aconsejable evitar las cuestiones factuales o memorísticas.

• Igualmente, las preguntas deben tener un cierto grado de dificultad: de las cuestiones triviales no se aprende nada. Hay que procurar que sea necesario considerar distintos factores antes de tomar una decisión, o establecer relaciones causa-efecto.

• Una ambigüedad moderada en las preguntas fomenta que los estudiantes aprendan a prestar atención a los detalles, estimula la reflexión y propicia el debate.

• Para abordar un tema complejo puede ser útil formular una cadena de preguntas relacionadas entre sí.

4. Los clickers en la clase de matemáticas

Como indicamos anteriormente, el uso de clickers en las aulas españolas parece ser todavía muy reducido; en lo que respecta a matemáticas, tan sólo conocemos la experiencia de González Dorrego (2008) en un curso de modelización impartido en la Universidad Autónoma de Madrid. Por el contrario, en Estados Unidos su uso está ya muy extendido, y en lo que a matemáticas se refiere se han desarrollado o están desarrollando al menos dos interesantes proyectos de creación de bancos de preguntas para clickers: MathQuest - Math Questions to Engage Students (2006-2009) y MathVote -Teaching Mathematics with Classroom Voting (2010-2012), ambos en el Department of Mathematics, Engineering, and Computer Science de Carroll College (Montana), con financiación de la National Science Foundation estadounidense. Estas iniciativas no solamente se han propuesto crear y testear bibliotecas de preguntas para llevar a cabo votaciones en el aula, sino también estudiar y discutir este tipo de metodología docente focalizada en las matemáticas. En la página web de ambos proyectos [http://mathquest.carroll.edu] se pueden encontrar cientos de preguntas para clickers sobre ecuaciones diferenciales, álgebra lineal, series, sucesiones y ecuaciones en diferencias, cálculo en varias variables, cálculo diferencial e integral, precálculo y estadística. Adicionalmente, la página alberga una colección de enlaces a bancos de preguntas de otras instituciones sobre estadística, álgebra lineal, cálculo, teoría de grupos, etc. así como a recursos y documentación variada (artículos, páginas web...) al respecto.

El blog de D. Bruff [http://derekbruff.com/teachingwithcrs] también contiene interesantes reflexiones sobre el uso de los clickers en general y en la enseñanza de las matemáticas en particular.

Bibliografía

Beatty, I. (2004) Transforming Student Learning with Classroom Communication Systems. ECAR Research Bulletin, 2004(3) [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://net.educause.edu/ir/library/pdf/ERB0403.pdf.

Bode, M., Drane, D., Kolikant, Y. B.-D., y Schuller, M. (2009) A Clicker Approach to Teaching Calculus. Notices of the AMS, 56, 253-256 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.ams.org/notices/200902/rtx090200253p.pdf.




E N

L A R

E D

Bressoud, D. (2009) Should Students Be Allowed to Vote? Launchings, Mathematical Association of America [en línea]. Recuperado en enero de 2001, de http://www.maa.org/columns/launchings/launchings_03_09.html.

Bruff, D. (2011) Teaching with Classroom Response Systems [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://derekbruff.com/teachingwithcrs.

Caldwell, J. E. (2007) Clickers in the Large Classroom: Current Research and Best-Practice Tips. CBE-Life Sciences Education, 6, 9-20 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.lifescied.org/cgi/reprint/6/1/9.pdf.

Carnegie Mellon University (2011) Teaching with Clickers [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.cmu.edu/teaching/clickers/index.html.

Carrol College (2011) MathQuest/MathVote [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://mathquest.carroll.edu.

Chickering, A. y Gamson, Z. (1987) Seven Principles for Good Practice in Undergraduate Education. AAHE Bulletin, 39, 3-7 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://learningcommons.evergreen.edu/pdf/fall1987.pdf.

Crouch, C. H. y Mazur, E. (2001) Peer Instruction: Ten years of experience and results. American Journal of Physics, 69, 970-977 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://english.web.tr/wp-content/uploads/2010/09/Crouch_Mazur.pdf.

Duncan, D. (2005) Clickers in the Classroom. Upper Saddle, N.J.: Addison-Wesley. Gauci, S. A., Dantas, A. M., Williams, D. A. y Kemm, R. E. (2009) Promoting student-

centered active learning in lectures with a personal response system. Advances in Physiology Education, 33, 60-71 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://advan.physiology.org/content/33/1/60.full.pdf+html.

González Dorrego, M. R. (2008) Uso de la tecnología para el aprendizaje activo en matemáticas. RELADA, 2(2), 66-71 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://serviciosgate.upm.es/ojs/index.php/relada/article/viewFile/37/37.

Griff, E. R. y Matter, S. F. (2008) Early identification of at-risk students using a personal response system. British Journal of Educational Technology, 39(6), 1124-1130 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1111/j.1467-8535.2007.00806.x/pdf.

Guthrie, R. W. y Carlin, A. (2004) Waking the Dead: Using Interactive Technology to Engage Passive Listeners in the Classroom. Proceedings of the Tenth Americas Conference on Information Systems, New York, August 2004 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.mhhe.com/cps/docs/CPSWP_WakindDead082003.pdf.

Johnson, C. (2004) Clickers in Your Classroom. Wakonse-Arizona E-Newsletter, 3(1). Kaleta, R. y Joosten, T. (2007) Student Response Systems: A University of Wisconsin System Study

of Clickers. ECAR Research Bulletin, 2007(10) [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://net.educause.edu/ir/library/pdf/ERB0710.pdf.

Kay, R. H. y LeSage, A. (2009) Examining the benefits and challenges of using audience response systems: A review of the literature. Computers & Education, 53(3), 819-827 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.sciencedirect.com.

Moss, K. y Crowley, M. (2011) Effective learning in science: The use of personal response systems with a wide range of audiences. Computers & Education, 56(1), 36-43 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.sciencedirect.com.

Ribbens, E. (2007) Why I Like Clicker Personal Response Systems. Journal of College Science Teaching, 37(2), 60-62.

Robertson, L. J. (2000) Twelve Tips for Using a Computerized Interactive Audience Response System. Medical Teacher, 22(3), 237-239 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://cidd.mansfield.ohio-state.edu/workshops/documentation/twelvetips.pdf.

Sharma, M. D., Khachan, J., Chan, B. y O’Byrne, J. (2005) An investigation of the effectiveness of electronic classroom communication systems in large lecture classes. Australasian Journal of


166

E

N

L

A

R

E

D


Educational Technology, 21(2), 137-154 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.ascilite.org.au/ajet/ajet21/sharma.html.

Strasser, N. (2010) Who wants to pass math? Using clickers in calculus. Journal of College Teaching & Learning, 7(3), 49-52 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.et.kent.edu/fpdc-db/files/calculus.pdf.

Terrell, M. (2003) Asking good questions in the mathematics classroom. AMS-MER Workshop Excellence in Undergraduate Mathematics: Mathematics for Teachers and Mathematics for Teaching, Ithaca College, Ithaca, New York [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.math.cornell.edu/~GoodQuestions/Plenarytalkpaper.pdf.

Turning Technologies (2011) Student Response Best Practices [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.turningtechnologies.com/studentresponsesystems/researchcasestudies/bestpractices.

Universidad de Navarra (2011) Guía del Profesor: Cómo utilizar los clickers en clase [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.unav.es/servicio/innovacioneducativa/clickers1.

West, J. (2005) Learning Outcomes Related to the Use of Personal Response Systems in Large Science Courses. Academic Commons, December 9 [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.academiccommons.org/commons/review/west-polling-technology.

Wieman, C. et al. (2009) An instructor’s guide to the effective use of personal response systems (clickers) in teaching. UBC-CWSEI & CU-SEI [en línea]. Recuperado en enero de 2011, de http://www.cwsei.ubc.ca/resources/files/Clicker_guide_CWSEI_CU-SEI_04-08.pdf.

Isabel Marrero es profesora titular de Análisis Matemático de la Universidad de La Laguna. Investiga en análisis funcional; también le interesan la divulgación de las matemáticas y el uso de las nuevas tecnologías en educación matemática. Ha sido vocal de la Comisión de Publicaciones y de la Comisión de Mujeres y Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española, y miembro del comité editorial de La Gaceta. Actualmente es codirectora de Matematicalia y pertenece al comité editorial de la revista Far East Journal of Mathematical Education.




J U E

G O

S

La Matemagia en Martin Gardner. (Introducción al uso de la matemagia en la escuela) Graduación de la dificultad en el Cubo SOMA (II)

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Ampliamos el artículo anterior sobre el Cubo SOMA y, en humilde homenaje a Martin Gardner, exponemos cómo usar algo de Matemagia en las clases, usando cuadrados numéricos y dados. Este recurso permite enfocar, desde otros puntos de vista, conocidos conceptos matemáticas.

Palabras clave Cubo SOMA; Matemagia; Matemagia como recurso didáctico; Soluciones a problemas de construcciones con el Cubo Soma. Trucos con cuadrados mágicos; trucos con dados.

Abstract We extend the previous article on the SOMA Cube, and in humble tribute to Martin Gardner, we show how to use some Matemagia in classes, using dice and numerical square. This feature allows you to focus, from other points of view known mathematical concepts

Keywords SOMA cube; Matemagia; Matemagia as a teaching resource; solutions to construction problems with the Soma Cube. Tricks magic squares; tricks with dice

Martin Gardner fue para nosotros -y para muchos otros- la persona más influyente en el camino que íbamos a tomar.

Su idea de la matemática, como puede apreciarse en el título del libro cuya portada reproducimos, se vio reflejada en toda su producción. Para nosotros fue una

iluminación entender que una matemática divertida puede ser tan seria como la que aparecía en los libros de texto.

Aunque fue en diciembre de 1956 cuando comenzó su sección de “Juegos matemáticos” en la revista Scientific American no fue hasta 1976 que fue editada en español con el nombre de Investigación y Ciencia. Aquí podemos ver la portada del número 3 de la revista:

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón, del IES de Canarias-

Cabrera Pinto (La Laguna), y Manuel García Déniz, del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de Tenerife). [email protected] / [email protected]

La Matemagia en Martin Gardner. (Introducción al uso de la matemagia en la escuela). Graduación de la dificultad en el Cubo SOMA (II) J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

168

J

U

E

G

O

S


Su artículo de ese número (diciembre de 1976) tenía por título Problemas de combinatoria, viejos unos, otros nuevos, tratados mediante ordenador y comenzaba así: La “revolución de la combinatoria” en matemáticas, está todavía en auge, ya que los libros y los artículos sobre combinatoria continúan proliferando.

Y aunque su sección americana desapareció en 1986, aún tuvimos la oportunidad de un último artículo en español en el número de Investigación y Ciencia de octubre de 1998, donde hacía un repaso de su trayectoria bajo el título “Un cuarto de siglo de matemáticas recreativas” . El creador de la sección Juegos matemáticos de Investigación y Ciencia evoca 25 años de rompecabezas amenos y descubrimientos serios”.

Aquí, entre otras cosas, volvía a presentar el Cubo Soma con la siguiente ilustración:

De la siguiente manera: “Las piezas pueden también ensamblarse para formar con ellas todas las estructuras representadas a la derecha, salvo una. ¿Sabría el lector determinar qué estructura es imposible de construir?”

Sus trabajos impulsaron nuestra afición a la matemática recreativa y nos llevó a trabajar en el aula con juegos y puzles, e incluso con “matemagia”, para seguir su estela divulgativa más tarde en estos modestos artículos que la revista NÚMEROS nos permite publicar. Nunca le estaremos lo suficientemente agradecidos. ¡Va por ti, maestro!

EL CUBO SOMA (2ª parte)

Continuamos, pues, hablando del cubo SOMA. En nuestro artículo anterior proponíamos algunos ejercicios para realizar con el Cubo: dos de tipo sencillo, con tres piezas y con seis piezas respectivamente, y otro, algo más complejo, consistente en una secuencia de transformación entre tres figuras diferentes, el “Cubo”, transformarlo en “Cama” y, después, en “Túnel”.

Veamos sus respectivas soluciones. Con tres piezas. Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta:

1º. El número de cubos necesarios es de 3x2x2 = 12.

2º. Eso significa que debemos utilizar tres tetracubos 3x4 = 12, y no podremos utilizar nunca el tricubo.

3º. Con seis tetracubos podremos realizar 20 combinaciones posibles. Todas ellas no permiten construir la figura propuesta.

4º. Habrá, posiblemente varias soluciones. ¿Cuántas? He aquí dos de ellas.

La Matemagia en Martin Gardner. (Introducción al uso de la matemagia en la escuela). Graduación de la dificultad en el Cubo SOMA (II)

J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

169

J U E

G O

S



Primera solución:

Segunda solución:

Con seis piezas:

Presentamos la solución con la notación numérica indicada en la primera parte (artículo anterior), aunque el código de colores no es el mismo de Conway, usado en el ejercicio anterior. La pieza número 1 (tricubo) no forma parte de la figura, sino que ésta no es otra cosa que una reproducción aumentada de la misma.

Solución de la secuencia de transformación entre tres figuras diferentes; del “Cubo” pasar a la “Cama” y, después, al “Túnel”.

Figura 1: Se forma la mitad del cubo con las piezas 3, 5 y 7. La llamaremos módulo A y se mantendrá siempre igual en todo el ejercicio Figura 2: Se forma la otra mitad del cubo con las piezas 1, 2, 4 y 6. La llamaremos módulo B y cambiará ligeramente en cada parte del ejercicio.

Figura 1 Figura 2

Figura 3: Se forma el cubo, primera figura de la secuencia, acoplando los dos módulos A y B de forma adecuada. Figura 4: Se descompone el módulo B separando las piezas 2 y 4, y disponiéndolas de nuevo en la forma mostrada.

Figura 3 Figura 4

6 7 7 6 3 7 6 6 7 3 3 3

Piso bajo Piso alto

6 5 5 6 5 2 6 6 5 2 2 2

Piso bajo Piso alto

1 1 7 2 6 6 7 7 4 6

1 3 2 2 2 7 4 4 6

3 3 5 4

3 5 5 5


170

J

U

E

G

O

S


Figura 5: Se montan las piezas de nuevo formando el módulo C, tal y como se muestra. Figura 6: Uniendo el módulo A con el módulo C obtenemos la segunda figura de la secuencia: la cama.

Figura 5 Figura 6

Figura 7: Se descompone de nuevo el módulo B separando las piezas 2 y 4, y disponiéndolas ahora de manera diferente Figura 8: Se gira hacia arriba la parte formada por las piezas 1 y 6, y se acoplan las piezas 2 y 4 de la forma que se aprecia en la imagen, que constituye el módulo D.

Figura 7 Figura 8

Figura 9: Uniendo el módulo A con el módulo D obtenemos la tercera figura de la secuencia: el túnel.

Figura 9

Imagen de la secuencia:

Para aquellos que se hayan convertido en Somadictos y quieran nuevos retos, aquí van algunos:

¿Por qué no se construye un Soma de papel con técnicas de Origami?

¿Y resolver nuevas figuras?

¿Y buscar videos en You Tube que expliquen las soluciones paso a paso?

http://www.youtube.com/watch?v=0Sns6tRvJS8



171

J U E

G O

S



¿Y conocer juegos basados en el Soma?

Éste que presentamos aquí es uno muy interesante y recibe el nombre CUBIFORMAS.

Estos son sus datos de registro:

Titular: Tri-One, S.L. Terrassa, Barcelona. Concesión: 01.06.92

Inventores: Martínez Pascual, Jehová y Rojas Tortosa, Juan Carlos

Título: Juguete para la formación de cuerpos geométricos a partir de cubos elementales.

Se caracteriza por comprender múltiples piezas cúbicas elementales dotadas de orificios en cada una de sus caras, en idéntica posición en cada una de ellas y con igual sección transversal y profundidad, siendo susceptibles de recibir un vástago de acoplamiento según un montaje con ligera presión, para la interrelación de cada pieza cúbica elemental con otras adyacentes para formar la pieza geométrica final deseada.

Sus reglas, que aparecen condensadas e ilustradas en la parte inferior de la caja son las siguientes:

El juego consiste en que cada jugador debe montar a base de cubitos, un cubo grande compuesto por 27 cubitos.

Cada uno de los dos cubos grandes estará formado por 14 cubitos de un color y 13 cubitos del otro color.

El cubo grande debe completarse con los 27 cubitos sin dejar ningún hueco.

Cada jugador dispone de un tablero de juego, que le sirve de guía para montar el cubo grande. Este tablero indica la disposición de colores que han de seguir los cubitos; cada jugador formará su cubo grande de color inverso al otro.

Es obligatorio seguir la ordenación alternativa de los colores en el momento de colocar los cubitos. Los cubitos que forman parte del cubo grande no se podrá, quitar o desmontar.

Las cartas indican las figuras (policubos) que pueden montar los jugadores para después encajarlas en el cubo grande. Si no encaja, pasará su turno y deberá coger una nueva carta para el turno siguiente.

El jugador que primero completa el cubo grande gana la partida.

No olvidar, también, visitar los sitios web y páginas indicadas en nuestro anterior artículo. En ellas pueden encontrar más ideas de cómo trabajar este fantástico puzzle.


172

J

U

E

G

O

S


Martin Gardner estaba lleno de sorpresas: la primera era el uso de los juegos y puzles con un tratamiento fuertemente matemático, sin perder por ello su atractivo lúdico. La segunda era, sin duda, su visión de los problemas, llenos de originalidad en su planteamiento y de creatividad en sus soluciones. Y la tercera, nuestro ojito derecho: la Matemagia.

Fue un mago reconocido y, lógicamente, dedicó parte de sus publicaciones a la magia (y también a la “antimagia”). Hemos usado algunos de sus trucos matemágicos como recurso en nuestras clases y también como una actividad realizada en Centros Escolares, Jornadas Matemáticas, Ferias o encuentros culturales, etc., y aunque ya hemos incluido algunos elementos de matemagia en nuestros artículos anteriores, hoy traemos ahora estos ejemplos de los trucos matemágicos de nuestras sesiones, propuestos originalmente por Martin Gardner y desarrollados después por nosotros mismos, para que se animen, tras unos pocos ensayos con público familiar, a sorprender a alumnos y compañeros con la matemagia…

Nuestra forma de plantear la matemagia ha tenido, al menos, tres aspectos: el espectáculo, para atraer al público en general hacia una matemática divertida; los aspectos lógicos y de resolución de problemas trabajados por el público, de forma interactiva, bajo nuestra dirección; la presentación temas matemáticos no curriculares, a partir de trucos aparentemente mágicos pero rebosantes de matemáticas, que inciten al público a buscar más información sobre los mismos y profundizar en su conocimiento.

Truco con matrices de números enteros

En sus primeros artículos en Scientific American, en la segunda mitad de los cincuenta del siglo pasado, aparecen algunas propuestas de trucos basados en propiedades de los números, de la geometría, de las matemáticas… Recogidos en su “Hexaflexagons and other mathmatical diversions: the first Scintific American Book of puzzles & games: with a new afterword” (University oh Chigago Press Edit.)

En el 2º capítulo: “Magic with a Matrix” aparece el siguiente truco matemágico.

Considérese el cuadro de números de la figura 10 que se muestra a los espectadores. A uno de ellos se le pide que coloque una ficha (un botón, una moneda) sobre uno de los números (o que lo rodee con una circunferencia) Hecha la elección tachemos la columna y la fila a los que pertenece el número.

Repetimos el proceso cinco veces más, eligiendo cada vez uno de los números restantes no tachados o marcados anteriormente. Los cinco números elegidos suman 57, resultado que previamente hemos escrito en una tarjeta y

dado a guardar a otro espectador.

El tablero está construido colocando la segunda fila en la parte superior del cuadro vacío y la última columna de la izquierda del cuadro (Figura 11). Entonces en cada casilla colocamos la suma del número que encabeza la columna con el de la izquierda de la columna. Por ejemplo, 25 aparece como la suma de 7 y 18.

19 8 11 25 7

12 1 4 18 0

16 5 8 22 4

21 10 13 27 9

14 3 6 20 2

Figura 10

12 1 4 18 0 7 25 0 4 8 9 2

Figura 11



173

J U E

G O

S



Otra manera de presentar el truco consiste en colocar sobre el cuadro una transparencia (podemos usar retroproyector con otra transparencia donde figura el cuadro numérico) y que un alumno, disponiendo de rotuladores de cinco colores diferentes trace una línea en cada fila, luego otro alumno traza otras cinco líneas sobre las columnas (por supuesto, usando los colores en el orden que quieran) Sumando los números sobre los que se cruzan líneas del mismo color, obtendremos el resultado que debemos haber entregado en un sobre cerrado a otro de los alumnos, al tiempo de explicar el procedimiento que vamos a llevar a cabo.

El truco se puede variar también ampliando el número de filas y columnas a 8x8. La matriz (Figura 12) se obtiene a partir de la fila 9, 7, 6, 4, 2, 0, 3, 1 y la columna 3, 0, 2, 1, 7, 4, 6, 5. Si ahora seleccionamos un cuadro de 4x4 casillas contiguas, lo podremos hacer de 25 maneras.

Tal como está construida la matriz de 8x8 cada uno de los cuadros es tal que sus dos diagonales principales suman lo mismo, y esta suma es distinta para los 25 cuadros posibles.

Las sumas de estas diagonales vienen expresadas en el cuadro de la figura 13, en el que podemos comprobar que a partir de la esquina superior izquierda (con valor de 32) hacia la derecha tenemos dos saltos de -7 y otros dos de -3; mientras que en la columna donde se encuentra este valor de

32 y en sentido descendente, las sumas aumentan de 4 en 4. Estas variaciones (-7, -3 y 4) son fácilmente recordables.

Estamos en condiciones de realizar ahora la siguiente variante del truco de la matriz.

1 Pedimos al alumno/a que seleccione un cuadrado de 4x4 cualquiera dentro de la matriz (superponiendo por ejemplo una transparencia con el cuadro dibujado en blanco, sobre otra transparencia con la matriz de 8x8 al completo).

2 Ha de rodear con una circunferencia uno cualquiera de los 16 números seleccionados. 3 Tacha ahora todos los números que están en la misma fila y en la misma columna que el

número elegido. 4 Selecciona uno cualquiera de los números no tachados restantes y tacha los números que se

encuentran en la misma fila y en la misma columna que el ahora marcado. 5 Repite el proceso hasta que ha marcado los cuatro números posibles. 6 Suma los cuatro números seleccionados y dice el resultado al matemago.

Este, sin dilación, indica cuál es el cuadro de 4x4 elegido al principio.

Cuestiones a plantear a los alumnos al realizar un truco de este grupo. (No en este orden)

• ¿Suman todos los cuadrados de 4x4 lo mismo? ¿Por qué no deben sumar igual? • ¿Qué líneas suman lo mismo en cada cuadrado? • ¿Puedes construir otra matriz, quizá con menos elementos, con la misma propiedad? • …

9 7 6 4 2 0 3 1

3 12 10 9 7 5 3 6 4

0 9 7 6 4 2 0 3 1

2

1

7

4

6

5

Figura 12

32 25 18 15 12

36 29 22 19 16

40 33 26 23 20

44 37 30 27 24

48 41 34 31 28

Figura 13


174

J

U

E

G

O

S


El truco aparece también en su “The incredible Dr Matrix” (The Magic Numbers of Dr Matrix) Los mágicos números del Dr Matrix. Ed. Gedisa. Cap. 16.

Truco con dados.

(Mathematic Magic Show) (Festival Mágico-matemático) Cap. 18

El mago, vuelto de espaldas, le pide a un espectador que lance tres dados normales, y que sume las puntuaciones que obtenga, reservándolas para si. Después el espectador toma uno cualquiera de los dados y suma el anterior total al número que se hallaba en la cara oculta, en contacto con la mesa. Se lanza nuevamente este dado y su puntuación se suma al total.

El mago se vuelve y hecha una mirada a los dados por primera vez. Aunque no puede saber cuál de los dados se lanzó dos veces, el mago sí puede dar el total final.

Este truco es tan sencillo, cono la variante que utilizamos nosotros en nuestro ”espectáculo” de matemagia, con alumnos de primaria y de la ESO. Basta con sumar 7 al total de los dados visibles.

Usamos dados gigantes construidos con cubos de espuma. Uno de nosotros se vuelve de espalda y el otro pide a un alumno que lance el dado o que lo coloque con cara que quiera hacia arriba; nuestro compañero no lo va a ver mientras lo hace.

Cuando haya terminado de colocarlo se volverá y rápidamente dirá cuál es la cara oculta, la que está sobre el piso (o sobre la mesa).

Cuando el mago se vuelve, rodea el dado observándolo con máximo detalle, manos a la espalda, volviendo atrás y luego de dar un par de vueltas alrededor del dado, entre ciertos murmullos que se oyen entre los alumnos y la exaltación del otro compañero respecto a la “rapidez” con la que está averiguando la cara oculta, anuncia que ya sabe cuál es el valor de esa cara. Se pide silencio y da el valor. El matemago que ha estado dirigiendo la acción da la vuelta al dado y muestra al “respetable” esta cara, comprobando lo correcto de la “adivinación”. Murmullos más audibles y alguna voz que dice:

- “Eso también lo sé hacer yo”

¡Han picado! Rápidamente “fichamos” a alguno de los alumnos o alumnas que afirman saber hacerlo y lo convertimos en presunto matemago.

Le pedimos que se vuelva de espaldas, y entonces, a otro alumno, que salga a colocar el dado. Pero ¡Oh sorpresa! Aparecen dos o tres dados más que coloca en columna, uno encima del otro, sin que el alumno matemago, entre las risas cómplices de los compañeros a los que por señas pedimos silencio.

Cuando el ayudante se vuelve refleja en su cara el asombro de encontrarse con la columna de dados, entre el jolgorio del respetable. Le explicamos que un solo dado es muy fácil, que con seguridad él es capaz de conocer cuánto suman las caras no visibles de la columna de dados.

Imagen realizada con dados.



175

J U E

G O

S



Normalmente hace un par de intentos, tratando de ver, para cada dado, qué valores no aparecen en sus caras visibles; y generalmente no lo logran.

Viene ahora el auténtico acto de magia. El mago se vuelve y el alumno recoloca los dados de la columna. Ahora sí. Al volverse de nuevo el mago que estaba de espalda, y sin vacilación alguna, rápidamente, da un total de puntos que es lo que deben sumar las caras no visibles de los dados, Se deshace la columna comprobando los valores ocultos y realizando su suma en voz alta, apoyados por el coro de alumnos.

¡Ovación para los matemagos!

Otro truco con dados que permite la práctica de operaciones elementales, extraído también de Martin Gardner, es el siguiente:

El alumno coloca un dado a su izquierda y otro a su derecha, con las caras que quiera hacia arriba, y ahora realiza las siguientes operaciones, anotando los resultados.

1 Multiplica las dos caras superiores. 2 Multiplica las dos caras inferiores. 3 Multiplica el superior de la izquierda por el inferior de la derecha. 4 Hace el producto de la inferior izquierda por la superior derecha. 5 Suma los cuatro resultados obtenidos.

Esta suma coincide con una cantidad que previamente habíamos entregado escrita en un papel o cartulina, en el interior de un sobre cerrado, a otro alumno.

Cuestiones a plantear a los alumnos:

1 ¿Todos los dados son iguales? Ejemplos de dados no cúbicos. 2 ¿Cómo se ordenan los puntos de un dado? Dados orientales y occidentales. 3 ¿Cuánto suman los puntos de un dado? 4 ¿Qué tipo de progresión forman?

Solemos llevar algunos dados de diversas formas y valores de nuestra colección de dados para ilustrar las variantes a las que aludimos: dados no cúbicos, con letras, en otros sistemas de numeración, no transitivos, cargados, etc. Y siempre comprobamos su sorpresa. Sobre todo si les inducimos que todos los dados son cúbicos y son sus caras punteadas.

Y esto es todo por el momento. Ahora nos esperan otros juegos y puzzles. Ya veremos. Nos gustaría recibir sugerencias o peticiones de nuestros lectores sobre el tratamiento de alguno en concreto, pero si no las recibimos haremos como casi siempre, tirar de nuestros trabajos de clase.

Hasta el próximo pues. Un saludo.

Club Matemático





L E E

R M

A T

E M

Á T

I C A

S

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas

Martin Gardner

RBA

ISBN: 978-84-986-7754-6 294 páginas

Este libro es una reedición de la primera versión en español – realizada en 1988 por la editorial Labor – de la versión original en inglés publicada también en 1988 bajo el título Time travel and other mathematical bewilderments. Contiene 22 artículos sobre problemas, juegos matemáticos y otros temas de divulgación científica, publicados por Martin Gardner, el gran divulgador de la matemática recreativa, en la revista Scientific American. Cada capítulo incluye una bibliografía sobre el tema abordado, unos complementos y las soluciones de los problemas planteados.

En este libro, con su proverbial maestría, Gardner nos adentra de una forma amena en diversos problemas y juegos matemáticos, como son los números figurados, los rompecabezas chinos o tangrams, el problema del motel, el poliedro de Császár, el arte anamórfico, las técnicas de representación de mapas geográficos, las teselaciones del plano, los cuadrados mágicos, los números de Catalan y los problemas de plantación de árboles, entre otros.

A continuación presentamos una breve descripción de los contenidos de cada uno de los artículos.

Viajes por el tiempo y otras perplejidades matemáticas. Martin Gardner Reseña: J. M. Méndez Pérez

178

L

E

E

R

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S


El primer capítulo, Viajes por el tiempo, trata sobre las historias y novelas de ciencia ficción, con sus contradicciones y paradojas, analizadas a la luz de la teoría de la relatividad.

El segundo capítulo, Hexas y estrellas, está dedicado a los números figurados, que son aquéllos que se pueden representar por configuraciones regulares de puntos en el plano o en el espacio, caso de los números poligonales: triangulares, cuadrados, pentagonales, hexagonales,… Euler encontró los números que son a la vez cuadrados y triangulares, cuya secuencia es: 1, 36, 1225, 41616,… Resulta curiosa la fórmula

(((( )))) (((( ))))32

22121721217

−−−−−−−−++++++++====

nn

na

que da el n-ésimo número cuadrado triangular. Nos podemos divertir con otras configuraciones planares no poligonales, los denominados números hexagonales centrados o hexas, y los números esteriformes o estrellas.

La división de una figura plana (o de un sólido) en varias piezas para rehacerla o construir otras figuras diferentes es una de las actividades lúdico-matemáticas más habitual a lo largo de la historia. Destacan los rompecabezas chinos o tangrams. Se originan recortando un cuadrado en siete piezas, llamadas tans, jugando luego a formar con ellas una infinidad de figuras (objetos, animales, personas,…), los tangramas. El capítulo 3 se centra en algunos detalles históricos y en los aspectos más recreativos de los tangrams, mientras que el capítulo 4 se refiere a los contenidos más matemáticos, relacionados con la resolución de problemas combinatorios.

Es sabido que la relación “menor que” en el conjunto de los números reales o la “inclusión” de conjuntos son relaciones transitivas. El capítulo 5 se dedica al análisis de las relaciones no transitivas o intransitivas, aparentemente contrarias a la intuición, pero que comparecen – con más frecuencia de la que se podría imaginar – en algunos campos de las matemáticas, como la teoría de la decisión y la probabilidad.

Los problemas y trucos matemáticos que se pueden realizar con las cartas de una baraja son ilimitados. El clásico problema del motel es llevado por Gardner a la baraja. Colóquense las cartas de un palo en hilera e intercámbiense dos cartas consecutivas (como los huéspedes intercambiaban de habitación en el motel). En el capítulo 6 se pregunta si existe algún algoritmo que pueda realizar y comprobar esta tarea. Ello tiene un gran interés en informática y en combinatoria.

El capítulo 7, Máquinas de composición musical, cuestiona la existencia de algún algoritmo que sea capaz de componer una melodía agradable al oído utilizando un juego de reglas combinatorias. Además, hoy se cuenta con la inestimable ayuda de potentes ordenadores.

El capítulo 8 está dedicado al arte anamórfico. Consiste en una clase de pintura en que las figuras se pintan tan deformadas por una transformación proyectiva que resulta difícil reconocer lo que representa. Se puede recuperar la pintura inicial por reflexión en un adecuado espejo o mirando sesgadamente la figura anamórfica. Hoy en día las lentes anamórficas son muy utilizadas en la industria cinematográfica.


179

L E E

R M

A T

E M

Á T

I C A

S



Les invito a que se diviertan en el noveno capítulo, tratando de resolver ocho preciosos problemas. Por ejemplo, una oruga se desplaza a la velocidad de 1 cm/s sobre una cuerda elástica de 1 km de longitud, que se estira 1 km transcurrido cada segundo. ¿Alcanzará la oruga el extremo de la cuerda? O este otro: considérese el número 4134. Ordénense sus dígitos en orden descendente y réstesele el número que resulta al invertir las cifras de este último. Se obtiene 4431 – 1344=3087. Repítase el proceso con 3087. Resulta 8730 – 0378=8352. Y repítase: 8532 – 2358=6174 que, como el lector puede comprobar, se regenera a sí mismo. Al número 6174 se le conoce como constante de Kaprekar, en honor de este famoso matemático indio. ¡Ello ocurre, a lo más en ocho pasos, con cualquier número de cuatro dígitos, claro está, que no sean todos iguales! Más sorprendente son los autonúmeros de Kaprekar, ¡pero mejor que el lector lo compruebe por sí mismo!

El capítulo 10 es un artículo sobre seis supuestos sensacionales descubrimientos acaecidos en 1974 y que no merecieron la suficiente difusión a través de los medios, que – en cambio – sí dedican grandes espacios a temas esotéricos y pseudocientíficos. Se trató de una popular inocentada gastada por Gardner. No conocía esta broma de Gardner. Piqué en el famoso teorema de los cuatro colores, no porque fuera falso, como se recogía en la narración, sino porque me alegraría que se cuestionase su demostración establecida por W. Haken y K. Apple en 1976, como es sabido, con ayuda de ordenadores. ¿Es eso una demostración matemática?

El capítulo 11 presenta un curioso poliedro, el de Császár, que es el único poliedro conocido – junto con el tetraedro – que no posee diagonales, es decir, segmentos de recta que unen dos vértices cualesquiera no conectados por una arista.

En el capítulo 12 se recogen varios juegos bipersonales y se discute si alguno de los jugadores posee una estrategia de victoria. Como el dodgem, inventado por Colin Vout en 1972, cuando era estudiante de matemáticas en la Universidad de Cambridge. Se juega en un tablero de cualquier tamaño, sea n x n, con n-1 fichas blancas y negras situadas, respectivamente, en los costados oeste y sur del damero, de modo que la casilla de la esquina suroeste esté vacía. Se trata de que cada jugador, con ciertas reglas y venciendo los bloqueos del rival, lleve sus fichas al lado opuesto de su posición inicial, ganando el primero que saque todas las fichas fuera del tablero.

Las teselaciones han sido empleadas desde tiempos inmemoriales para recubrir suelos y paredes con mosaicos. Hasta el artista holandés M. C. Escher – maestro en este divertimento – se maravilla al contemplar la excelencia que alcanzaron en esta faceta los artesanos árabes en la Alhambra de Granada. En el capítulo 13 se describen, con gran amenidad, todos los polígonos convexos capaces de teselar el plano, mientras que en el capítulo 14 se generaliza el problema, ahora con polígonos no convexos.

En el capítulo 15 Gardner explica cómo se generan los mapas de nuestro planeta. Además de los métodos clásicos (proyección estereográfica, proyección cilíndrica, proyección de Mercator, etc.), se da a conocer de una forma muy amena una variedad de mapas raros.

El capítulo 16, El sexto símbolo y otros problemas, muy entretenido, colecciona cinco divertidos problemas o tests, como los de determinar en una secuencia de cinco figuras cuál es la diferente o cuál es la sexta, o resolver criptarritmos,…


180

L

E

E

R

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S


En el capítulo 17 se aborda el estudio, existencia y exhaustiva clasificación de los cuadrados mágicos y su asombrosa generalización, los cubos mágicos.

El capítulo 18 concierne al problema de empaquetamiento, es decir, a cómo rellenar con objetos matemáticos, de la forma más eficiente posible, un determinado espacio. Tiene gran importancia en informática y ciencia de la computación, donde se buscan algoritmos para almacenar y recuperar información. También en la vida cotidiana: el almacenamiento óptimo de mercancías y objetos en almacenes, barcos, aviones,…

El capítulo 19 tiene que ver con los principios de la lógica y, como expresa Gardner, con “las dificultades con que tropieza la filosofía de la ciencia al tratar de comprender por qué funciona la ciencia”.

Aunque no tan famosos y conocidos como los números de Fibonacci, la sucesión 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796,… también aparece profusamente en diversas situaciones, particularmente en problemas de combinatoria. En el capítulo 20 Gardner nos deleita con distintos problemas en cuya solución se presentan estos números, llamados números de Catalan, en honor del matemático belga Eugène Charles Catalan. Sin embargo, fue el genial Leonard Euler quien primero los descubrió al estudiar la triangulación de los polígonos convexos por sus diagonales.

Con distintos ejemplos, unos puramente matemáticos y otros más recreativos, sostiene Gardner en el penúltimo capítulo que el uso adecuado y en su momento, en la enseñanza elemental, de la calculadora puede estimular el interés de los alumnos hacia las matemáticas.

En el último capítulo se describen algunos de los múltiples pasatiempos y rompecabezas que se pueden generar basándose en la disposición de n puntos en un plano, siendo los más populares los denominados problemas de plantación de árboles. Resulta sorprendente la enorme dificultad que surge, incluso en el caso más sencillo, a la hora de determinar el número máximo de hileras en que se pueden “plantar” n puntos en hileras de 3, así como su relación con temas matemáticos como las curvas cúbicas, las funciones elípticas, los códigos de corrección de errores,...

La edición está muy bien cuidada. Sólo he hallado algún fallo anecdótico. El anunciado prefacio, que figura en el índice, no aparece en el texto, y la pintura anamórfica que debe servir de portada al libro – según se señala en el capítulo 8 – me temo que no es la que quería Gardner (la edición de Labor es correcta).

Los temas tratados son todos interesantes y amenos. De algunos capítulos se puede extraer material didáctico para llevar a las aulas de enseñanza secundaria y, de todos, a las universitarias.

He tratado de convencer al lector de que merece la pena leer este libro, de que su lectura es altamente recomendable. Quizás, al realizar esta recensión, le he aburrido y he causado el efecto contrario. En tal caso, resulta obvio, la culpa es mía, no del maestro Gardner. Pero ¡no saben lo que se pierden!

José M. Méndez Pérez (Departamento de Análisis Matemático, Universidad de La Laguna)




L E E

R M

A T

E M

Á T

I C A

S

Rosquillas anudadas

Martin Gardner

RBA Colección: Tanto por Saber

ISBN: 9788498676921 304 páginas

Martin Gardner (1914-2010), está considerado como uno de los mayores divulgadores científicos del siglo XX, a la altura de gente tan conocida como Isaac Asimov o Carl Sagan, con quienes mantenía una gran amistad. Para este divulgador, resolver un problema matemático era una cuestión visceral. “Existe una fuerte sensación de placer, difícil de describir, cuando consideras detalladamente una comprobación elegante, e incluso un placer mayor al descubrir una comprobación que no se conocía”, decía Gardner. Sostenía que sus propias carencias eran una gran baza. “Más allá del cálculo estoy perdido”, aseguraba. “Ese era el secreto del éxito de mi columna. Me llevaba tanto tiempo entender de lo que estaba escribiendo que sabía cómo escribirlo de manera que la mayoría de lectores lo entendería”. Ese espíritu es el que le llevó a divulgar juegos matemáticos durante veinticinco años desde su columna Mathematical Games, en la revista estadounidense Scientific American, que lo convirtió en un referente de los juegos lógicos, las paradojas, los fractales, los rompecabezas, unidos a otras ciencias ó pseudociencias. Su legado es tan amplio, que abarca cerca de sesenta volúmenes. La clave de esta ingente producción era, en parte, por el gusto de los rompecabezas matemáticos que nutrían buena parte de sus libros, en los que hace gala de un estilo ameno e irónico, trufado de alusiones literarias y artísticas.

Rosquillas anudadas. Martin Gardner Reseña: J. Rodríguez Expósito

182

L

E

E

R

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S


Por otro lado, poner al descubierto las carencias de la pseudociencia fue otra de sus pasiones vitalicias. Arremetió contra todo tipo de fraude científico, ya fueran los platillos volantes, la percepción extrasensorial o las teorías que aseguraban que la tierra es plana. En el prestigioso libro ¿Tenían ombligo Adán y Eva? desmontaba todo tipo de falacias, mitos y supercherías. De hecho, en 1976 se unió a un grupo de científicos para poner en marcha el Committee for the scientific investigation of claims of the paranormal, actual Committee for Skeptical Inquiry, una organización sin ánimo de lucro que buscaba impulsar el pensamiento crítico y la investigación racional con el ánimo de desmontar falsas creencias y supercherías.

Gardner se consideraba a sí mismo “un teísta filosófico” y sentía una atracción notable por los asuntos teológicos. Abordó cuestiones como la fe, la oración, el mal y la inmortalidad en Los porqués de un escritor filosófico y en The Flight of Peter Fromn, novela semiautobiográfica en la que el protagonista y un profesor ateo debaten durante años en torno a la cuestión de Dios.

De su amplio legado, entresacamos su libro Rosquillas anudadas. Libro que, a lo largo de sus diferentes ediciones, ha sido revisado y retocado el texto, añadiendo secciones complementarias con la doble finalidad de incluir el material enviado por los lectores y de poner al día capítulos donde no hubiera sido fácil incluir novedades en el texto anterior. Cada capítulo acaba con una bibliografía donde se dan con mayor detalle las referencias citadas en los mismos.

El lector observará que el libro está dividido en veintiún capítulos, que a su vez podemos agrupar en determinados bloques, como son las pseudociencias y fenómenos paranormales, matemática recreativa, teoría de grafos, ábacos, paradojas, conjeturas, juegos, problemas de economía, etc. Un mismo capítulo puede ser colocado en diferentes grupos. A continuación se presenta una breve descripción de algunos de los capítulos que conforman el libro.

Lo referente a la pseudociencia y los fenómenos paranormales, de los que como hemos dicho, era enemigo acérrimo, viene representado en parte en el capítulo uno, de una manera suave (a pesar de ser muy crítico), dándonos a entender cómo, desde el comienzo de la historia, las coincidencias han venido reforzando la convicción de que la vida está sujeta al influjo de fuerzas ocultas, a leyes misteriosas desconocidas por las ciencias y las matemáticas. La estimación de la probabilidad de que, detrás de una serie de aparentes coincidencias, esté actuando una ley es tarea difícil, y los estadísticos han ideado refinadas técnicas para averiguarlo. Muchas paradojas y ejemplos son expresados de tal modo que no es complicado hacerse cargo de que quienes se ven personalmente implicados en alguna notable coincidencia puedan quedar convencidos de la actuación de oscuras fuerzas. Si bien es cierto que existen numerosos ejemplos en los que es posible calcular la probabilidad con total precisión, sin embargo, para la mayoría de los acontecimientos de la vida ordinaria las estimaciones de la probabilidad de las coincidencias son necesariamente vagas. Por ejemplo se ha investigado muchísimo sobre el “problema de lo pequeño que es el mundo”: ¿Cuál es la probabilidad de que al encontrarnos en un avión con una persona desconocida, esta persona y nosotros tengamos ambos un conocido común? No solamente resulta difícil obtener datos estadísticos precisos, sino que también resulta imposible definir con rigor los términos del problema mismo. ¿A quiénes, exactamente, hemos de considerar “conocidos” nuestros? A


183

L E E

R M

A T

E M

Á T

I C A

S



pesar de tan formidables dificultades, existen fuertes pruebas de que el mundo es efectivamente más pequeño de lo que la mayoría de nosotros imagina.

A pesar de que en la actualidad el sistema de numeración decimal se utiliza en todo el mundo, no son pocas las veces en que matemáticos y ordenadores manipulan enteros valiéndose de otros sistemas de bases. Uno de los más útiles de tales sistemas es el código Gray, nombre que deriva del físico Frank Gray, y que es expuesto en el segundo capítulo de Rosquillas anudadas. Tras explicar el mencionado código y recordarnos que existe una infinidad de códigos Gray, dado que el sistema es utilizable en toda base de numeración y, además, para cada base existen muchas diferentes formas de construir el código, Gardner señala que es importante imponer unos requisitos: 1) sus reglas de formación deben ser aplicables a la totalidad del conjunto de los números naturales; 2) las reglas de conversión para traducir la expresión ordinaria de un número a la expresión Gray equivalente, y viceversa, tienen que ser sencillas. Hemos de observar que los códigos Gray más sencillos son los binarios.

Los aficionados a la matemática recreativa tuvieron la primera noticia del cubo de Soma, ideado por Piet Hein y publicado en un artículo de Gardner en 1958, como se puede ver en su capítulo tres sobre policubos. El cubo de Soma consta de siete formas irregulares que se pueden formar por combinación de tres o cuatro cubos unitarios, y que constituyen la totalidad de policubos no convexos de órdenes 1 a 4. A raíz de este cubo de Soma, numerosos matemáticos han inventado y creado diferentes policubos con distintas denominaciones comerciales como destaca el cubo diabólico o el rompecabezas de seis policubos conocido como impuzzables.

En el campo de la matemática recreativa y en los estudios de juegos de palabras, nos encontramos “la cifra de Bacon” que debe su nombre a Francis Bacon, escritor, filósofo y lord canciller de Isabel I de Inglaterra, aunque no muy ducho en matemáticas, pero sí muy inteligente, lo que le permitió inventar un ingenioso sistema de cifrado que revistió considerable interés. No obstante, su método científico era rudimentario y primitivo. Por otra parte tuvo una profética visión de que la ciencia era una empresa inmensa, colectiva y sistemática, capaz de proporcionar a la humanidad un conocimiento jamás soñado. Y el conocimiento, repetía Bacon, es poder. Dentro de este grupo, podemos colocar el capítulo diez de Rosquillas anudadas, referido al problema de los ascensores, en el cual se exponen cuatro insólitos problemas que, como dice Gardner, han sido injustamente olvidados por la matemática recreativa.

La belleza y el contenido de las matemáticas topológicas aparecen en el capítulo “Rosquillas: En cadenas y anudadas”, donde Gardner explica que las superficies, si las pensamos como finas membranas que se pueden estirar y comprimir tanto como se quiera, pueden ser deformadas hasta adquirir la forma de una superficie tórica perfecta.

Los huesos de Napier están basados en un antiguo procedimiento de multiplicación que se dio en llamar “regla de la celosía”, porque las líneas de su retículo tenían un aspecto similar a los enrejados de las ventanas italianas. Fueron inventados por John Napier, matemático escocés del siglo XVI que descubrió los logaritmos. Gardner dedica los capítulos siete y ocho a este matemático. En el capítulo siete describe su vida y algún procedimiento; en el capítulo ocho expone un curioso método de cálculo basado en ir moviendo cuentas sobre un tablero de


184

L

E

E

R

M

A

T

E

M

Á

T

I

C

A

S


ajedrez, método que parece haber caído en el olvido más completo y que Gardner nos lo recuerda por ser un dispositivo didáctico muy valioso y de considerable interés histórico, por ser considerada como la primera computadora binaria del mundo, nacida casi cien años antes de que Leibniz explicase cómo calcular con números binarios.

La teoría moderna de grafos es reflejada en el capítulo once, donde, tras explicar que un grafo es una figura compuesta por puntos y líneas que conectan alguno de los puntos, nos hace comprender que, en el grafo, lo verdaderamente importante es la estructura topológica.

Dos insólitos problemas relativos a la superficie de la esfera, tan sólo resueltos en parte recientemente, son expuestos en el capítulo doce. Estos problemas proporcionan una vía amena de introducción a algunas propiedades topológicas elementales de los conjuntos de puntos.

Los capítulos trece y catorce, el autor los dedica a la paradoja de Newcomb, que recibe su nombre de su originador, Willian A. Newcomb, físico teórico, a quién se le ocurrió el problema en 1960, mientras meditaba sobre una famosa paradoja de la teoría de juegos conocida por “dilema del preso”. La paradoja dispone de una elección irrevocable entre dos acciones. En ella comparece un marco indeterminista y la idea de que las decisiones son tomadas por una clase de generador de azar instalado en nuestra mente. La fe comparece en este problema de Newcomb ya que trata de un Ser que tiene la capacidad de pronosticar las elecciones que hagamos. Aunque la creciente literatura sobre este problema demuestra que los filósofos distan de estar de acuerdo sobre cómo tratarlo, Gardner expone algunas consideraciones personales de carácter aproximativo, en las que sus simpatías están de parte de quienes afirman que tal predictor no puede existir.

Por otro lado, a lo largo de algunos capítulos de este libro, se presentan juegos de una belleza singular, que nos hacen reflexionar y pensar que las matemáticas son una de las ramas más importante de las ciencias, y que Gardner, como buen divulgador, las coloca en ese escenario por las diferentes estrategias que nos presenta a la resolución de estos juegos. Si bien es cierto que algunas son propuestas por diferentes autores.

En el capítulo veinte nos presenta el I Ching (ye ying) o libro de los cambios, que es uno de los libros más viejos del mundo y, también, uno de los más enigmáticos. Durante más de 2000 años se ha utilizado en el Oriente como libro de adivinación, y todavía se estudia con gran respecto como fuente rica en sabiduría confuciana y taoísta. Muchos jóvenes, especialmente en Estados Unidos consultan hoy el I Ching con la misma seriedad que consultan la tabla Ouija o las cartas del Tarot. Se desconoce los orígenes del I Ching. Es muy probable que empezara, hacia el siglo VIII antes de Cristo, como una colección de textos, de signo pronóstico, alumbrado en un ambiente agrícola. Lentamente, a lo largo de los siglos, dichos documentos se fueron combinando con prácticas adivinatorias realizadas por medio de palillos. Pocos siglos antes de Cristo, adquirió su forma actual, convirtiéndose en uno de los grandes clásicos del canon confuciano. La base combinatoria del I Ching consta de 64 hexagramas: que muestran todas las permutaciones posibles de dos tipos de líneas, al tomarlas de seis en seis. Cada hexagrama tiene un nombre chino tradicional. Los dos tipos de línea revelan la dualidad básica de la metafísica china: la línea discreta o cortada corresponde al yin y la línea continua al yang. No obstante, las respuestas de los I Ching, aparentemente hermosas y pertinentes, según Gardner, no son sino resultado de que la mente busca


185

L E E

R M

A T

E M

Á T

I C A

S



ansiosamente el método de aplicar a una situación presente pasajes de significado ambiguo, de igual modo que los devotos de la astrología se engañan a sí mismos haciéndose creer que existen correlatos paranormales entre sus vidas y las lecturas de los horóscopos.

El libro culmina en el capítulo veintiuno con “la curva de Laffer”, tema relacionado con la economía, donde el autor, tras mostrarnos la importancia que tienen las gráficas para los economistas de la escuela clásica, porque sus métodos de la teoría de precios eran explicados por medio de las mismas, nos muestra cómo, actualmente y como consecuencia del creciente interés que suscitan las teorías de oferta, la curva que está de moda, es la conocida como curva de Laffer. No obstante, con el fin de acomodar mejor la curva de Laffer a las complejidades de una economía de tipo mixto, como la actual, han ideado lo que se llama “curva neo-lafferiana”, por brevedad “curva NL”. Al igual que la antigua curva de Laffer, el valor de la nueva es sólo metafórico, aunque sin duda ofrece un modelo más perfecto de la situación real.

Pensemos, que esto transcurría siendo presidente de Estados Unidos Ronald Reagan, donde los partidarios de la teoría de la oferta habían logrado convencerle de que, al rebajar los impuestos, la economía experimentaría un empujón tal que sería posible aumentar los gastos en Defensa. Todo esto llevó a Gardner a hacer la siguiente reflexión: ¿Tendrán éxito las ideas lafferistas hoy en la administración norteamericana, o por contrario, como muchos economistas temen, sumirán más profundamente al país en la inflación galopante y el desempleo? La verdad es que los economistas lo ignoran. Tal vez las clases ricas y ociosas decidan no invertir lo que van a ahorrarse de impuestos, como predicen los lafferistas que harían, sino gastarlo en bienes de consumo. Tal vez las clases trabajadoras opten por no rendir más, sino menos. Y quizá las grandes sociedades y grupo de empresas no hagan gran cosa con los excedentes fiscales, aparte de adquirir nuevas compañías.

Posiblemente todos estos pensamientos, a lo largo de las diferentes administraciones posteriores a Reagan, nos han llevado a la crisis que padecemos actualmente en casi todo el mundo.

Esto es una breve síntesis de lo que expresa el libro, algunas veces en palabras del propio autor y, no es sino un medio para tratar de acercar la ciencia a la gente inquieta y un homenaje a Martin Gardner, como matemático de hecho.

José Rodríguez Expósito (Universidad de La Laguna)




I F O

R M

A C

I O N

E S

Congresos

Lugar: UBI – Universidad de Beira Interior. Covilhã. Convoca: Associação de Professores de Matemática Portugal Fecha: 26 al 29 de Mayo de 2011 Información: http://www.apm.pt/encontro/cihem.php

II Evento Internacional la Matemática, la Informática y la Física en el siglo XXI,

FIMAT XXI

Fecha: Del 15 al 17 de junio de 2011 Organiza: Universidad de Ciencias Pedagógicas “José de la Luz y Caballero” Lugar: Holguín. Cuba Información: [email protected]

XIII CIAEM XIII Conferencia Iberoamericana de Educación

Matemática Lugar: Universidad Federal de Pernambuco. Recife, Brasil Convoca: Comité Interamericano de Educación Matemática Fecha: Del 26 al 29 de Junio de 2011 Información: http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011

188

I

F

O

R

M

A

C

I

O

N

E

S


XV Jornadas de Aprendizaje y Enseñanza de

las Matemáticas JAEM

Fecha: Del 3 al 6 de julio de 2011. Organiza: Federación Española de Profesores de Matemáticas. Lugar: Gijón. Asturias. España. Informaciones: http://www.15jaem.org

XV Simposio de la Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática SEIEM

Fecha: Del 7 al 9 de septiembre de 2011. Organiza: Universidad de Castilla la Mancha. Lugar: Ciudad Real. Castilla la Mancha. España. Información: http://www.seiem.es




N O

R M

A S

P A

R A

L O S

A U

T O

R E

S

1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected] 3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de

revisión o publicación en ninguna otra revista. 4. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista. • Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía. • Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección

electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento, títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumen de no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés, un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos. • Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar

el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares. • Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones. • Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de

texto (no enviarlas por separado). • Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el

autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53). • Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,

ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo: o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y

científicos en los niños. Madrid: Morata. o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on

whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/

5. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.