PRINCIPIO DE CONSERVACION DE LA MATERIA

En un sistema termodinámico que intercambia materia (masa) con

su entorno, durante un determinado periodo de tiempo ( t∆ ), se debe

cumplir que:

] ] ] ]tfftftostoi

tftoe mmmm +=+

SISTEMA CERRADO

Es aquel que no intercambia materia con el entorno.

Luego: ] 0=∆tem ; ] 0=∆tsm ; ] ]tfftoi mm =

Es decir: ] tsistema ctem ∆=

En un sistema cerrado, la masa y la composición de la materia

permanecen constantes en todo el periodo t∆ .

Es aquel que intercambia materia con el entorno.

SISTEMA ABIERTO

Luego: ] ] 0≠∆∆ tste moym

m

e

ms

t∆ = (tf - to)

]toim ]tffm

.mSi el flujo másico ( ) es la cantidad de materia que entra y sale de

un sistema por unidad de tiempo cuando 0→t∆ , luego:

] dtmm t *2

1

.

21 ∫=−∆

Si .

m = cte; ] tmm t ∆∆ *.

= en [kg]

Si .

m ≠ cte; (caudal variable = f(t) )

Como: ρ = vm ∴ m = ρ * v /: t∆

tv

tm

∆∆*ρ=

.v * ρ=

.m o

dtdv

dtdm *ρ=

Donde:

ρ = densidad

m = masa

v = volumen .

m = flujo másico .v = flujo volumétrico

t = tiempo

El intercambio de masa entre sistema – entorno puede efectuarse

con materia de igual o de distinta naturaleza (composición).

FORMAS DE INTERCAMBIO DE MATERIA SISTEMA – ENTORNO

Naturaleza Materia Sist. – Ent.

Composición materia en f (t)

Tipo de flujo en f (t)

Propiedad de materia en

f (t)

IGUAL

FIJA

Constante Invariables

Variables

Variable Invariables

Variables

DISTINTA

FIJA

Constante Invariables

Variables

Variable Invariables

Variables

VARIABLE

Constante Invariables

Variables

Variable Invariables

Variables

Luego:

] ] ] ]tfftftostoi

tftoe mtmmtm +∆=+∆ **

..

Por lo tanto:

] ] tmmmm setoitf

f ∆

−=− *

...

(Para ctem =.

)

] tmmm setftosist ∆

−=∆ *

..

Si los flujos de intercambio de materia son variables en el transcurso

del periodo “ t∆ ”, es decir )(.

tfm =

] ( )( ) ( )( ) ttfmtfmm setftosist ∆

−=∆ *

..

PRINCIPIO DE CONTINUIDAD

En sistemas abiertos sin acumulación de masa en su interior en el

transcurso de todo intervalo t∆ , se debe cumplir que:

] 0=∆ tftosistm y

t

s

t

e mm∆∆

=

..

t

sst

ee∆∆

∀=

∀∴

..** ρρ

Si A e y A s

.V

son áreas de las secciones transversales

perpendiculares al flujo en la entrada y salida del sistema

respectivamente, entonces el caudal se puede expresar como:

→

∫∫ == dcAdtdlAv **

.

Si .

V = cte y A = cte ∴→c = cte

Si fluido es incomprensible (líquidos): se ρρ =

Si fluido es gas ideal: se ρρ ≠ Si se PP ≠ ó se TT ≠

A: Área →c : velocidad

Ecuación de estado de

un gas ideal →

=

RTPρ

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGIA

Para un sistema termodinámico que intercambia energía con su

entorno durante un periodo de tiempo t∆ , debe cumplirse que:

] ] ] ]tfftstoite EEEE +=+ ∆∆

La energía que el sistema intercambia con su entorno puede ser:

a) A través de sus fronteras (Q: calor; W: trabajo)

b) A través de intercambio de flujos de masa.

W m

e

Q ms

Trabajo desarrollado por sistema contra entorno (W

Por convención se adopta:

sale

Trabajo desarrollado por entorno contra el sistema (W

) : (+)

entra

Calor suministrado al sistema por el entorno (Q

): (-)

entra

Calor evacuado por el sistema al entorno (Q

): (+)

sale

): (-)ç

En un sistema cerrado: m

CONSERVACIÓN D ELA ENERGIA EN SISTEMAS CERRADOS

e = ms = 0 y mi = mq = cte.

Q W

Luego, las únicas

formas de energía que se pueden intercambiar con el entorno son: Q y/o

W.

Ue eKe ePe Wfe

]toii Em ; mf ; Ef ] tf

Us eKs ePs Wfs

mi = mf = cte

∴ ] ] ] ]tffttoit EWEQ +=+ ∆∆

] ( ) ] ] ( )]tffffttoooot ePekumWePeKumQ +++=+++ ∆∆ Si sistema permanece fijo en el espacio: 0=∆eK ; 0=∆eP

fo UWUQ +=+

( ) WUUQ of +−=

WUQ +∆= En [kj]

En caso de flujos:

tQQ ∆= *.

; }( )

( )kwoskjenN

kwoskjenQ

tNW

∆=:

*

.

∴ tNUtQ ∆+∆=∆ **.

Para 1kg. de masa del sistema:

wuq +∆= en

kgkj

En donde:

- eK = Energía cinética.

- eP = Energía potencial

- U =Energía Interna

- N = Potencia

TRABAJO EN UN SISTEMA CERRADO Y PROCESOS REVERSIBLE.

El trabajo es una interacción de energía entre un sistema y su

entorno originado por un desequilibrio de fuerzas en la frontera entre

ellos, ocasionando un desplazamiento de ella, o bien del sistema como

un todo.

dxFdW x *= ∴ dxFW x *∫=

Donde: - F= fuerza

- dx = desplazamiento

- P = presión

Como área “A” del pistón es invariable y sea:

P = Pi – P ∴o APFx *=

y ∫=2

1** dxAPW

∫=2

1* dvPW en [kj]

(P = presión)

El trabajo realizado por un sistema cerrado (m = cte) que efectúa un

proceso reversible entre los estados 1 y 2, depende del tipo de proceso

efectuado entre ambos estados, es decir, es función de la trayectoria, y

en consecuencia no es una función de estado (propiedad

termodinámica).

De otra forma, para sistema cerrados:

(Q – W) = U∆

El intercambio neto de energía (Q – W) entre un sistema cerrado y

su entorno depende de:

a) Magnitud de cambio entre el estado final y el estado inicial

del sistema.

b) Como Q y W son funciones de trayectorias y no propiedades

de estado; (Q – W) dependerá también del tipo de proceso que

experimente el sistema en un intervalo t∆ . Es decir, Q y W

dependen también de la sucesión de estados intermedios por los

que pase el sistema durante el intervalo t∆ .

Fx P

o

Pi

Desde el punto de vista teórico, esto último significa que hay

infinitas formas o caminos para lograr un mismo cambio entre dos

estados de un sistema (infinitos tipos de procesos).

Para valorar W=

PROCESOS REVERSIBLES

∫ dvP * se ha supuesto:

- Sistema conformado por gas ideal (acción intermolecular

despreciable (nula))

- Inexistencia de roce cilindro y pistón (roce externo)

- Inexistencia de choque entre moléculas del gas (roce interno)

- Masa del pistón despreciable (sin inercia)

- Desplazamiento infinitesimal de la frontera del sistema ocasionado

por una fuerza resultante infinitesimal, lo que origina una sucesión de

cambios infinitesimales de “cuasi – equilibrio”.

El proceso así descrito es un proceso ideal denominado “proceso

reversible”, el cual no existe en la naturaleza.

Un proceso reversible es un proceso teórico ideal, que considera que el

sistema realiza una sucesión de cambios de estados a través de condiciones

de “cuasi – equilibrio” (tanto interno como externo) a medida que intercambia

energía con el entorno, de modo tal, que es posible volver al estado inicial del

sistema efectuando las mismas transformaciones en sentido inverso, con

idéntico intercambio de energías.

En la naturaleza todos los procesos son irreversibles.

Un proceso tiende a ser reversible en la medida que los cambios de

estado que experimenta el sistema tiendan a ocurrir lentamente

( )∞→∆t ; que el potencial diferencial entre sistema – entorno que impulsa

el proceso sea pequeño las fuerzas de proceso sea pequeño ( )0→∆P ;

y que las fuerzas de roce (tanto externas como internas) sean pequeñas.

Para un sistema fijo en el espacio: K∆ = 0; 0=EP∆

Por consiguiente, la ecuación del primer principio para un sistema

cerrado (m = cte) que realiza un proceso reversible puede escribirse

como:

∫+∆=2

1* dvPUQ en [kj] /:m

∫+∆=2

1* dvPuq en

kgkj

En forma diferencial:

pdvdudq += en

kgkj

Donde:

dwdvP =* (Trabajo reversible) en

kgkj

También:

Si W = 0 (no se suministra ni realiza trabajo)

∴ Q = U∆ = f (m; c; t∆ ) (y de la fase de la materia).

CONSERVACIÓN DE ENERGÍA EN SISTEMAS ABIERTOS

Un sistema de abierto (volumen de control) se caracteriza por

intercambiar mas y energía a través de sus fronteras con el entorno. Por

consiguiente, debe cumplirse en él los principios de conservación de

masa y energía.

(Volumen de Control)

Un volumen de control (v. c.) es un volumen arbitrario (real o

imaginario) que posee fronteras fijas, denominadas superficies de

control.

Luego: ] ] ] ]tfftstoite EEEE +=+ ∆∆

em.

O bien:

En forma de flujos:

( ) ] tEtEE tftovcse ∆∆=∆

− :/*

..

( )t

EEEE ifse∆−

=−..

Si ot →∆

( )vcse EdtdEE =−

.. en

skj o [ ]KW

ECC. GENERAL DE CONSERVACIÓN DE ENERGÍA PARA UN SISTEMA ABIERTO.

Q

W

] ] ( ) ]tftovctste EEE ∆=− ∆∆

] ] ( ) ( ) WWePeKumQWePeKumEE fsssssfeeeeetste −+++−++++=− ∆∆

( ) ] ( ) ( )iiiifffftftovc ePeKumePeKumE ++−++=∆ en [kj]

( )] ] ] ( ) ]tftovctoitf

ftse EEEEE ∆=−=− ∆

]tffm ]tffE

ue eKe ePe wfe

us eKs ePs wfs

eZ

]toim ]tofE

eA

sm.

kgkj

sA

sZ

Si: sistema esta fijo en el espacio: eki = ekf = 0 y variación del centro

de gravedad del sistema es pequeño: eP ≈i eP

Luego: f

Si además: Ze ≈ zs ∴ ePe ≈ ePs

] ( ) QvPePeKumE eeeeeete ++++=∆ *

Pero: eee vpuhe += en

kgkj

Un flujo de materia (

ENERGÍA INTERCAMBIADA POR EL VOLUMEN DE CONTROL A TRAVÉS DE FLUJOS DE MATERIA

.m ) que atraviesa una superficie de control

posee normalmente energía interna (u); energía cinética (EK;); energía

potencial (EP); y además para ingresar al volumen de control (V.C) debe

efectuar un trabajo denominado trabajo de flujo (Wf) o energía de flujo.

Para una masa M, con volumen V,

que ingresa al (v.c) a través de una

superficie (A), se tiene:

Wf = Fx * X en [kj]

Pero: APFx *=

∴ XAPWf **=

en [kj]

Para 1 kg. de masa:

en

kgkj

Luego: ] ( )] teeeete WfEPEKUE ∆∆ +++= en [kj]

( ) ] ( )eftftovc UUE −=∆ en [kj]

VPWf *=

vpWf *=

xF

X

P

CV.

vM

A

en

skj o [ ]KW

Luego: ] QgzchmE eeeete +

++=∆

221* en [kj] /: t∆

.

2..

21* QgzchmE eeeee +

++= en

skj o [ ]KW

Y: ] WgzchmE ssssts +

++=∆

221* en [kj] /: t∆

.

2..

21* WgzchmE sssss +

++= en

skj o [ ]KW

.2..2...

22Wgz

chmQgz

chmEE s

ssse

eeese −

++−+

++=

−

Además:

( ) ] ( ) ( ) ( )ifififtftovc EPEPEKEKUUE −+−+−=∆ en [kj]

Es un sistema en el cual se cumple que:

SISTEMA DE FLUJO PERMANENTE Y CONDICIONES ESTACIONARIAS.

)( m∆ vc = 0 y )( E∆ vc = 0

Por consiguiente es un sistema en el cual no existe acumulación de

masa ni d energía, en todo el intervalo t∆ . Es decir, la masa y energía

dentro del volumen de control permanece constante.

Si: ( ) 0=∆ vcm ; ( ) ( )vcfvci mm = Y se mm..

=

( ) 0=∆ vcE ; ( ) ( )vcfvci EE = Y se EE..

=

Luego:

( ) ( ) ....WePeKwfumQePeKwfum ssssseeeee ++++=++++

( )eeeee WfePeKumE +++=..

.2..2.*

2*

2Wzg

chmQzg

chm s

ssse

eee −

++=+

++ en [kw]

en [kw]

Si además: sese eKeKcc ≈∴≈→→

sese ePePzz ≈∴≈

en [kw]

Para 1kg., la ecc del primer principio

en un sistema abierto de flujo en permanente estado estacionario es:

( )]seePeKwfuwq ∆+∆+∆+∆=− en

kgkj

( )]seePeKhwq ∆+∆+∆=−

Para los procesos reversibles se cumple que:

∫ Pdv = q - u∆ en

kgkj

Por lo tanto, de la primera ecc se tiene:

q - u∆ = w + w∆ f + eK∆ + eP∆ en

kgkj

∴ ePeKwwdvP f ∆+∆+∆+=∫2

1*

En un sistema abierto de flujo permanente y estado estacionario que

experimenta un proceso reversible, la ∫ dvP * representa el trabajo más

las otras formas de energía mecánica.

También: )*( vpuh ∆+∆=∆

∴ ( ) ( )

−+

−+−=− eseses zzgcchhmWQ 22

...

21

( )es

es HhmWQ

∆=∆=−

....

dpvdvpdudh ** ++= o

pvvpuh ∆+∆+∆=∆ **

Y como: )()( ePdeKddhdwdq ++=−

∴ )()()( ePdeKdvdppdvdudwdq ++++=−

)()(** ePdeKddpvdvpdwdudq ++++=−

P*dv

Si proceso es reversible: dvpdudq *=−

∴ ( ) ( ) ( ) ( )ePdeKddwdpvePdeKddpvdvpdwdvp ++=−++++= ****

( ) ( )∫ ∆+∆+=− ePeKwdpv *

Y como: ( ) ( )ePeKWWdvp f ∆+∆+∆+=∫ *

en

kgkj

( ) ( )ePeKWWdvpdpv f ∆+∆+=∆−=− ∫∫2

1

2

1**

DEFINICIÓN DE ENTROPIA (S)

Cuando un sistema termodinámico intercambia calor en forma

reversible con su entorno, a través de sus fronteras, se origina en él un

cambio de estado, que se manifiesta en la variación de alguna(s)

propiedad(es) termodinámicas (p; T; v; etc.) o (u; h; s).

La variación de entropía ( S∆ ) que experimenta un sistema que

intercambia una cantidad de calor (dq) con su entorno, se define como: 2

1 2 1

dQ kjST K−

∆ = ∫ Para m kg. de masa

Si se considera 1kg. de masa del sistema (/:m); la “variación de

entropía especifica” del sistema será:

( ) ∫∫ ==∆ −2

1

2

121 * Tdq

TmdQs en

Kkgkj*

Es decir, la “variación de entropía” ( S∆ ) de un sistema esta definida

como la relación entre una función termodinámica (Q) (cuya magnitud

depende del tipo de proceso) y de una propiedad intensiva (T).

La entropía (S) es una propiedad termodinámica dado que para una

misma variación de estado ( 21 → ) que experimenta el sistema, la

variación ( 21−∆S ) es idéntica, cualquier sea el proceso utilizado para

transferir calor (Q) al sistema. ( ) ( ) BABA SSyQQ )( 2121 −− ∆=∆≠

Como: dqdsT

= *

kJkg K

( )iii PTS ;→ ( )ffq PTS ;→

Q

Y dtcdq *= (c: calor específico)

∴ 2

1 2 1

*c dTsT−∆ = ∫

Si c es cte (gas ideal): 1

221 ln*

TTcS

−

− =∆ en

Kkgkj*

También: pdvdudq += (primera ley, sistema cerrado o sistema

abierto de flujo constante)

∴ ( )∫∫∫ +=

+=∆ −

2

1

2

1

2

121*T

dvPYd

TPdvd

S uu

Para gases ideales: dTcd vu *−

= ;

=

RPvT

∴ ∫∫

+=∆

−

−2

1

2

121

*

*

rvP

dvPTdTcS v

=−

vc Calor específico o volumen constante.

También: vpuh *+= en

Kkgkj*

vdppdvdcdh ++=

dq

∴ dpvdhdq *−=

Por lo tanto: ( )∫∫

−=∆ −

2

1

2

121*

Tdpvdh

TdqS

Para gases ideales: dTcdh p *= Y RvPT *=

(cp= calor especifico a presión constante)

+=∆

−

−1

2

1

221 ln*ln*

vvR

TTcS v

Kkgkj*

∴ ∫−

=∆

−

−

RvP

dPvTTcS p

*

*ln*1

221

Kkgkj*

( ) ctepS =∆ ( ) cteTS =∆

( ) ( )Tapa SSS 2121 −−− ∆+∆=∆

O

( ) ( )sbPb SSS 2121 −−− ∆+∆=∆

Nota: Falta hacer grafico S vs T

−

=∆

−

−1

2

1

221 ln*ln*

PPR

TTcS p