Aislacion sismica tesis pealmave

Tesis para obtener el Titulo Profesional

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Bach. Rafael Arribasplata Díaz Bach. Peter A. Marín Velásquez

RESUMEN.

Los análisis sísmicos convencionales que se realizan en nuestro medio

se hacen a partir de dos análisis ortogonales, hechos por separado en

las direcciones principales del edificio. Las estructuras están

expuestas a recibir la carga sísmica en cualquier dirección. Se plantea

hacer un análisis dinámico sometiendo la estructura a recibir carga

sísmica en distintas direcciones, partiendo de un eje principal “X”

considerándolo como “0º” (cero grados) e ir girando de 10º en 10º

hasta completar una circunferencia, de este modo podremos observar

el comportamiento del edificio; a través de esta comparación se

quiere determinar a que acción de sismo una estructura es mas

vulnerable como también determinar si existe alguna relación entre

las respuesta estructural del edificio para diferentes entradas de

sismo.

En nuestro país no se cuenta con un código sobre sistemas

antisísmicos de aislamiento de base o disipadores de energía. El

siguiente trabajo presenta una investigación analítica de aislamiento

en la base para el Edificio Policlínico de la U.N.C. Se diseña el

aislamiento sísmico en la base del edificio y se hace una comparación

de los resultados de las respuestas dinámicas con el mismo edificio

pero de base fija, previo sometimiento sísmico de ambas estructuras

a señales sísmicas y se pretende abarcar un tema de riesgo sísmico

por que a través de esta tesis de gran importancia pretendemos

demostrar la funcionalidad de una estructura de base aislada

mediante la comparación de desplazamientos de entrepiso y

aceleraciones en los elementos resistentes.

En la presente tesis se hace una conceptualización al tema de

Aislación Sísmica de Base, y evaluamos de forma comparativa un

edificio de base fija y el mismo de base aislada presentando una serie

de conclusiones respecto a los parámetros más representativos como

son periodo, desplazamiento, aceleración y solicitaciones.


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INDICE.

1. CAPITULO I

1.1. Introducción.

1.2. Planteamiento del problema.

2. CAPITULO II MARCO TEORICO.

2.1. Antecedentes.

2.2. Teorías existentes relativas al problema.

2.2.1 Teoría de estructuras convencionales de estructuras de base fija.

3.4.2.1 Elementos de dinámica.

A. Dinámica de una partícula.

B. Principio de D’alembert.

C. Movimiento armónico simple.

D. Vibraciones.

E. Movimiento armónico y una fuerza variando en el tiempo.

F. Fuerza restitutiva lineal con amortiguamiento viscoso.

G. Fuerza restitutiva lineal, amortiguamiento viscoso y excitación armónica.

3.4.2.1 Elementos de dinámica de estructuras.

A. Modelos dinámicos.

B. Ecuaciones del movimiento para edificios con comportamiento lineal.

C. Características dinámicas de las estructuras.

D. Características de amortiguamiento de las estructuras.

E. Respuesta sísmica de sistema lineal con un grado de libertad.

F. Respuesta de sistemas con varios grados de libertad mediante análisis modal.

3.4.2.1 Comportamiento dinámico de las estructuras.

A. Modos de vibración.

B. Espectros de respuesta.

2.2.2 Teoría de aislamiento de base.

D. Base teórica de la aislación sísmica.

D.1. Teoría lineal.

D.2. Extensión de la teoría a los edificios.

D.2.1. Ecuaciones de movimiento para sistemas de varios grados de libertad.

D.2.2. Análisis modal de sistemas de varios grados de libertad.

D.3. Análisis dinámico de ecuaciones acopladas.

E. Características Mecánicas y Modelamiento de Aisladores.

E.1. Introducción.

E.2. Características mecánicas de los apoyos elastoméricos.

E.3. Características mecánicas de los apoyos con núcleo de plomo.

E.4. Características mecánicas de los sistemas de péndulo de fricción (FPS)

E.5. Modelamiento de los apoyos aislados por diseño bilineal.


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F. Pandeo y elasticidad de un aislador elastomérico.

F.1. Introducción.

F.2. Estabilidad bajo un gran desplazamiento lateral.

F.3. Estabilidad al rollout.

G. Diseño sísmico para un movimiento de una señal del suelo.

G.1. Introducción.

G.2. Características del movimiento sísmico del suelo.

H. Provisiones del código Norteamericano para Aislamiento Sísmico.

H.1. Introducción.

H.2. Nivel de daños sísmicos.

H.3. Método de diseño.

H.4. Análisis estático.

H.4.1. Factor sísmico de zona.

H.4.2. Tipo de perfil de suelo del lugar.

H.4.3. Tipo de fuente sísmica A, B, C.

H.4.4. Factor de fuentes cercanas: Na y Nv.

H.4.5. Sistema efectivo de periodos de vibración: TD y TM.

H.4.6. Desplazamiento de diseño: DTD Y DTM.

H.4.7. Fuerzas de diseño.

H.4.8. Distribución de la fuerza vertical.

H.4.9. Limites de desplazamiento de entrepiso.

H.5. Análisis dinámico.

H.5.1. Análisis tiempo Historia.

H.5.2. Escalas.

2.3. Formulación de la hipótesis.

3. CAPITULO III METODOLOGIA DE LA INVESTIGACIÓN.

3.1. Tipo y diseño de investigación.

3.2. Procedimiento y técnicas de recolección de datos.

3.3. Descripción del equipo e instrumentos de medición.

3.4. Procesamiento de datos.

3.4.1 Procesamiento de datos hipótesis I.

3.4.1.1 Secuencia para elaborar el modelo estructura.

A. Levantamiento arquitectónico.

B. Levantamiento estructural.

C. Modelo tridimensional.

D. Definición de las propiedades de los materiales.

E. Cálculo de masas y centro de masas.

F. Calculo de Inercias.

G. Definición de cargas de la estructura.

3.4.1.2 Entrada sísmica a utilizar.


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3.4.1.3 Generación de resultados.

3.4.1.4 Comparación e interpretación de resultados.

3.4.1.4.1 Comparación e interpretación de desplazamientos para el bloque I – III – IV

– V y VI -Hipótesis I.

3.4.1.4.2 Comparación e interpretación de desplazamientos para el bloque II –

Hipótesis I

3.4.2 Procesamiento de datos para la hipótesis 2.

3.4.2.1 Selección de los aisladores.

3.4.2.2 Parámetros utilizados para el diseño de los aisladores.

A. Criterios tomados para la compatibilización de parámetros de la UBC y NTE – 030

a. Tipo de suelo.

b. Factor de zona.

c. Factor de reducción de corte RI, para construcción de base aislada.

3.4.2.3 Diseño del aislador seleccionado.

3.4.2.4 Registros sísmicos a utilizar.

3.4.2.5 Modelamiento de la estructura de base aislada.

3.4.2.6 Generación de resultados.


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1. CAPÍTULO I:

1.1 INTRODUCCIÓN.

En nuestra practica diaria de diseño sísmico siempre consideramos el

análisis en dos direcciones X e Y debido al trabajo tedioso que

representa analizar gran cantidad de datos, pero teniendo en

consideración que en una construcción cualquiera habitan seres

humanos y que mientras tengamos mas conocimiento e información

de cómo se comporta una estructura mejor nos permitirá prevenir

desastres , es por ello la intención de la presente tesis que pretende

abarcar este tema mediante la determinación de los desplazamientos

producidos por señales sísmicas a diferentes direcciones con

referencia a un eje de coordenadas Globales a través del modelo

“Edificio Policlínico UNC”.

También haremos notar algunas diferencias en cuanto al

diseño convencional de estructuras frente a un diseño con aislamiento

de base, como por ejemplo las estructuras sismo resistentes

convencionales fundamentan sus conceptos en la ductilidad y en la

redundancia estructural que hace asimilar la fuerzas inducidas por los

sismos, en este tipo de diseños los elementos estructurales se

encargan de disipar la energía, desarrollando la ductilidad en las

secciones mas esforzadas lo que ocasiona daño en los materiales que

lo conforman, en el diseño de un sistema aislado por la base se

desacopla el movimiento de la base del edificio del movimiento del

terreno mediante conectores, ubicados entre la estructura y su

cimentación. Los edificios convencionales toman las fuerzas del sismo

originando la plastificación de sus elementos estructurales e inclusive

no estructurales mientras que los edificios aislados reducen estos

efectos sobre la estructura por que el aislamiento flexible de la base

hace que se modifiquen las características dinámicas del edificio

aumentando el periodo fundamental alejando ha este de las

frecuencias que predominan en los eventos esperados.


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1.2 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA.

o Evaluación del comportamiento de una estructura sometida a

diferentes direcciones de acción sísmica y falta de información

referente a este tema.

o Evaluación del comportamiento de una estructura aislada por la

base vs. La misma de base fija.

1.3 OBJETIVO DE LA INVESTIGACIÓN.

1.3.1 OBJETIVO GENERALES

o Contribuir con el desarrollo de la ingeniería en el país.

o Contribuir con nuestra región Cajamarca.

1.3.2 OBJETIVOS ESPECIFICOS

o Determinar los desplazamientos de la estructura provocados por

la aplicación de sismos a diferentes direcciones y evaluarlos su

magnitud mediante gráficos y cuadros.

o Analizar la estructura para saber a que dirección de aplicación de

sismo produce las máximas deformaciones.

o Diseño de apoyos aislados para la estructura.

o Analizar y comparar el comportamiento sísmico de la estructura

aislada por la base vs. La estructura actual de base fija.


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2. CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO

2.1 ANTECEDENTES.

Como antecedentes a la presente tesis solo contamos con el

“Proyecto a nivel de Ejecución Construcción del Edificio Policlínico

UNC” del cual nos apoyaremos con la parte de metrado de cargas y

pre-dimensionamiento de elementos, referente al tema de

investigación se cuenta con teorías referentes a la respuesta sísmica

de un edificio en dos direcciones, mas no hemos hallado bibliografía

en cuanto a la respuesta de un edificio a diferentes direcciones de

sismo de una misma magnitud, también para el análisis se hace

referencia a la Norma Peruana E.0-30 de Diseño Sismo Resistente.

Referente al aislamiento sísmico contamos con bibliografía en

Páginas Web y de un texto que nos servirá de guía para las

comparaciones que se quiere hacer, también aremos uso de algunas

Provisiones del Código Norteamericano de Aislamiento sísmico (UBC)

para el diseño del sistema de aislamiento de base (Aisladores).

2.2 TEORÍAS EXISTENTES RELATIVAS AL PROBLEMA DE

INVESTIGACIÓN.

Las teorías existentes relativas al problema de investigación

son dos una de análisis sísmico de estructuras con base fija y otra es

la teoría de aislamiento sísmico las que describimos dentro de la

presente tesis.

2.2.1 TEORIA DE ESTRUCTURAS CONVENCIONALES DE BASE FIJA

Acá describiremos todo lo referente al análisis sísmico de

estructuras convencionales halladas en los libros, además normas

que mencionaremos en la bibliografía.


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A-ELEMENTOS DE DINÁMICA Para comprender el Comportamiento Dinámico de las Estructuras es conveniente entender algunos conceptos de Dinámica Elemental, en éste acápite nos encargaremos de hacer un repaso breve de éstos conceptos. A.1 DINÁMICA DE UNA PARTÍCULA: Consideremos la partícula de la figura A.1 con masa “M”, a la que se le aplica una fuerza “F”. No existe fricción entre la partícula y el plano de deslizamiento. Sabemos además que el movimiento de este cuerpo está gobernado por la 2º Ley de Newton.

aMF *= (A-1)

Figura A.1

Donde “a” es la aceleración que imprime la fuerza “F” a la masa “M” al ser aplicada sobre ésta. Si “x” es el desplazamiento de la partícula en la dirección de aplicación de la fuerza, la ecuación anterior puede escribirse como:

2

2

dt

xdMF =

O lo que es lo mismo:

M

F

dt

xd =2

2

(A-2)

En un caso general podemos tener a “F”: como constante igual a “F0”; como función del tiempo, “F(t)”; de la velocidad, “F(v)”; o del desplazamiento, “F(x)”. Si integramos la ecuación (A-2) para cada uno de éstos casos nos lleva a distintos resultados. Caso 1 (F = F0): La ecuación de movimiento de la partícula a partir de la ecuación (2) es:

10 Ct

M

Fv

dt

dx +== (A-3)

2120

2CtCt

M

Fx ++= (A-4)


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Siendo C1 y C2 constantes de integración. Considerando t=0, v=v0, x=x0 (condiciones iniciales), podemos obtener las bien conocidas ecuaciones:

tM

Fvv 0

0 += (A-5)

2000 2

1t

M

Ftvxx ++= (A-6)

Caso 2 (F = F(t)): La ecuación (A-2) la podemos expresar como:

M

F

dt

xd t )(

2

2

=

Integrando:

1)( Cdt

M

Fv

dt

dx t +== ∫ (A-7)

y

21)( CdtCdt

M

Fx t +

+= ∫ ∫ (A-8)

Caso 3 (F = F(v)): La fuerza resultante depende de la velocidad de la partícula:

M

F

dt

xd v)(

2

2

=

o lo que es igual:

M

F

dt

dv v)(=

Reescribiendo:

dtMF

dv

v

1

)(

= (A-9)

Integrando:

1)(

1Ct

MF

dv

v

+=∫ (A-10)


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Esta solución da “t” en términos de “v”, sin embargo se puede resolver “v” en términos de “t” como:

( )1,Ctfv = (A-11)

Y volviendo a integrar:

( )∫ += 21, CdtCtfx (A-12)

Caso 4 (F = F(x)): La fuerza depende de la posición de la partícula, podemos escribir:

)(xFdt

dvM = (A-13)

Siguiendo la regla de la cadena:

dx

dvMv

dt

dx

dx

dvM

dt

dvM ==

Sustituyendo en la ecuación (A-13):

)(xFdx

dvMv =

o:

dxFMvdv x)(=

que se puede integrar como:

∫ += 1)(2

2

1CdxFMv x (A-14)

Resolviendo para v:

2/1

1)(

2

+== ∫ CdxFMdt

dxv x

y finalmente:

22/1

1)(

2C

CdxFM

dxt

x

∫∫

+

+= (A-15)

Las ecuaciones (A-14) y (A-15) permiten conocer “v” o “x” como funciones del tiempo para una “F(x)” determinada. En todos los casos C1 y C2 son constantes de integración que se pueden evaluar de condiciones iniciales.


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A.2 PRINCIPIO DE DÀLEMBERT: La 2º Ley de Newton, que rige el movimiento de un cuerpo sometido a la acción de una fuerza, puede expresarse como:

0)(→→→

=−+ aF M (A-16)

Siendo:

aF→→

, = Vectores de fuerza y aceleración del cuerpo.

0→

= Vector nulo.

Si consideramos que el término aM→

− es una fuerza, ésta ecuación es una

ecuación e equilibrio de la partícula y el problema del movimiento de la masa se puede trabajar como un problema de la Estática.

A la fuerza aM→

− se la conoce como fuerza de DÀlembert, y a la ecuación

(A-16) como principio de DÀlembert. Cuando el problema se refiere a un cuerpo rígido y no a una partícula, el principio de DÀlembert puede escribirse como:

0*→→→

=

−+∑ aF Mi

i

(A-17)

Siendo:

∑→

iiF = Suma de las fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo.

M = Masa total del cuerpo rígido.

→*a = Vector de aceleración del centro de masa del cuerpo.

Así, la resultante de las fuerzas externas y la fuerza de DÀlembert para centro de masa forman un vector nulo para un cuerpo rígido. A.3 MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE:


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Tomaremos como ejemplo de fuerza que actúa como función de la posición sobre una partícula a la figura A.2.

Figura A.2

En la figura se muestra el cuerpo en su posición original cuando el resorte no se ha deformado. La fuerza horizontal del resorte sobre la masa depende de la posición de ésta (o sea, del alargamiento del resorte) y se dirige hacia el origen. Una solución alternativa de la 2º Ley de Newton puede ser:

02

2

=+ xM

k

dt

xd (A-18)

Donde: k: Rigidez (constante del resorte) En esta forma la ecuación (A-18) es una ecuación diferencial de 2º orden con coeficientes constantes, dándole solución a ésta ecuación:

tM

kCt

M

ksenCx cos21 += (A-19)

Diferenciando:

tM

ksen

M

kCt

M

k

M

kCv 21 cos −= (A-20)

Las ecuaciones (A-19) y (A-20) definen el llamado “Movimiento Armónico Simple” y las constantes C1 y C2 se calculan de las condiciones iniciales del problema.


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A.4 VIBRACIONES: Consideremos la figura A.2 representada por la ecuación (A-19). Cada una de las funciones que aparecen en ésta ecuación puede representarse por medio de vectores de magnitud que corresponden a los coeficientes de las funciones.

Figura A.3

Si t=0, el vector C2 se encuentra sobre el eje x. Para cualquier valor de t, la proyección de C2 sobre el eje horizontal representa la función:

tM

kC cos2

Trigonométrica mente determinamos que:

tM

ksenC1

Puede ser reemplazada por:

Π− 2/cos1 t

M

kC

Representaremos ésta última función en la figura A.4.


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Figura A.4

Acá la representación de la función es un fasor de magnitud C1, con

velocidad angular: Mk y que está desfasado por Π/2 respecto al vector C2.

Como C1 y C2 giran a la misma velocidad angular, la combinación de ambas funciones puede representarse por la suma de los vectores C1 y C2, tomando la proyección del vector resultante sobre el eje x, como se muestra en la figura A.5.

Figura A.5

Observemos que:

22

213 CCC += (A-21)

2

1arctanC

C=β

Como C1, C2 son constantes arbitrarias, C3 y β también son constantes arbitrarias, lo que nos dice que la ecuación (A-19) podemos escribirla como:

−= βt

M

kCx cos3 (A-22)


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La ecuación (A-22) representa la forma general del movimiento armónico simple, para estudiar la ecuación anterior se dan a continuación algunas definiciones: CICLO: Parte del movimiento que al repetirse configura todo el movimiento. FRECUENCIA: Número De ciclos que se dan en una unidad de tiempo. La frecuencia está dada por:

π2M

k

f = (A-23)

sus unidades son ciclos por unidad de tiempo. La frecuencia natural o frecuencia circular se obtiene expresando la frecuencia en radianes por unidad de tiempo:

M

k=ω (A-24)

PERIODO: Tiempo en el cual ocurre un ciclo, por ello es recíproco a la frecuencia:

M

kT

π2= (A-25)

AMPLITUD: Es el máximo desplazamiento que sufre una partícula durante un ciclo, o sea C3. ANGULO DE FASE: Ángulo comprendido entre el fasor y el eje x para t=0 o sea el ángulo β.

Figura A.6 La ecuación (A-22) es representada por la figura A.6 cuando se grafica “x” en función del tiempo.


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Evaluaremos a continuación las constantes arbitrarias C1, C2 o C3, β. Las condiciones iniciales para las ecuaciones (A-19) y (A-20) son: Para t = 0, x = x0, v = v0

Sabemos que:

0)0( =sen

1)0cos( =

Reemplazando:

)1()0( 210 CCx +=

)0()1( 210 M

kC

M

kCv −=

Por lo tanto:

02 xC =

(A-26)

M

k

vC 0

1 =

Por ultimo la ecuación del movimiento quedará como:

tM

ksen

M

k

vt

M

kxx 0

0 cos += (A-27)

tM

kvt

M

ksen

M

kxv cos00 +−= (A-28)

Podemos generalizar este último resultado para cualquier acción que produzca una fuerza sobre una masa dependiente de la posición de ésta en lugar del resorte de la figura A.2. Para esto encontraremos una constante equivalente del resorte, “ke” que puede obtenerse si conocemos la deflexión δ producida por una acción “F” conocida, decimos entonces:

δF

ke = (A-29)

Entonces la frecuencia natural del sistema queda como:

π2M

k

w

e

n = (A-30)


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Notemos que la frecuencia natural depende sólo de la masa y la rigidez del sistema, ésta frecuencia natural depende es el número de ciclos que el sistema repetirá en una unidad de tiempo. A.5 MOVIMIENTO ARMÓMICO Y UNA FUERZA VARIANDO EN EL TIEMPO: Llamaremos a la fuerza xkF e= “Fuerza Restitutiva de Sistema”. Puede

presentarse el caso de que sobre las partículas esté actuando simultáneamente una fuerza que varía en el tiempo, como se ve en la figura A.7.

Figura A.7

En éstas condiciones, la ley de newton toma la forma:

)(2

2

tFkxdt

xdM +−== (A-31)

Reacomodando términos y dividiendo entre “M”:

M

tFx

M

k

dt

xd )(2

2

=+ (A-32)

Si el miembro derecho de la ecuación (A-32) es cero, se trata de una ecuación homogénea y la ecuación (A-32) se convierte en la ecuación (A-18) (Movimiento Armónico Simple). Si en éste miembro aparece algún valor constante o alguna función de “t” la ecuación es no homogénea. Consideremos el caso en que:

tsenFtF ω0)( = (A-33)

Donde ω es la frecuencia con la cual se presenta una fuerza de amplitud “F0” que varía en forma senoidal con el tiempo. La ecuación diferencial correspondiente es:


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tsenM

Fx

M

k

dt

xd ω02

2

=+ (A-34)

Cuya solución general es:

tsen

Mk

MF

tM

kCt

M

ksenCx

e

ωω 2

21 cos

−++= (A-35)

Para 0

..

0 ,,0 xxxxt === :

Encontramos:

02 xC =

(A-36)

Mk

Mk

MF

Mk

xC

)( 2

0.

1

ω

ω

−−=

En la ecuación (A-35) podemos observar que tenemos la superposición de dos movimientos armónicos. Uno con la frecuencia natural ωn, del sistema y el otro con la frecuencia de la fuerza de excitación ω. En un caso general estas 2 frecuencias no son iguales, haciendo una representación con fasores de éstos movimientos veríamos que la superposición no es un movimiento armónico ya que al no tener la misma velocidad angular, su suma no puede representarse por otro fasor. A la parte del movimiento con frecuencia ω la llamaremos estado estacionario y a la parte con frecuencia ωn la llamaremos transiente. Veamos la parte la parte del estado estacionario del movimiento:

tsen

Mk

MF

xp ωω 2

0

−= (A-37)

Dividiendo el numerador y denominador entre k/M, o sea ωn

2, encontramos:

tsenkF

tsen

kMk

F

x

n

p ωω

ωωω 2

0

2

0

)(1)(1 −=

−= (A-38)


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Figura A.8

En la figura A.8 se ve la variación del valor absoluto 2)(1

1

nωω−

respecto a

ω/ωn. Fácilmente se observa que cuando la frecuencia de la excitación se acerca a la

frecuencia natural del sistema el término: 2)(1

1

nωω−

tiende al infinito y por lo tanto, la

amplitud de la vibración forzada tiende también al infinito. Esta es la conocidísima condición de resonancia. Realmente la fricción despreciada hasta el momento reduce la amplitud, sin embargo la condición de resonancia ω = ωn indica la posibilidad de tener amplitudes muy grandes en el movimiento. Estas amplitudes pueden ser peligrosas porque producen esfuerzos muy grandes tanto en el sistema restitutivo como en el cuerpo que está moviéndose, lo que puede originar el colapso. A.6 FUERZA RESTITUTIVA LINEAL CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO:

Figura A.9


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La figura A.9 representa un caso particular de la fricción que es el amortiguamiento viscoso. La fuerza de fricción entre “M” y la superficie sobre la cual desliza es independiente de los materiales de que estén compuestos pero depende de la naturaleza del fluido que se encuentra entre ellos. Esta fuerza es proporcional a la velocidad relativa de los dos cuerpos separados por el fluido.

reldt

dxf

−= η (A-39)

Donde η es el coeficiente de amortiguamiento del fluido y el signo menos indica que la fuerza de fricción se opone al movimiento. En éste caso la ley de newton puede expresarse en la forma:

dt

dxkx

dt

xdM η−−=

2

2

(A-40)

Arreglando los términos:

02

2

=++ kxdt

dx

dt

xdM η (A-41)

Que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden con coeficientes constantes; su solución tiene la forma:

pteCx 1= (A-42)

Siendo:

M

k

MMp −

±−=2

22

ηη (A-43)

Pueden presentarse 3 casos distintos para el valor de “p” y en consecuencia para la ecuación del movimiento.

PRIMER CASO: M

k

M⟩

2

η si se cumple ésta condición, el valor de “p” es

real, y la ecuación (A-42) toma la forma:

−+=

−

−

− tM

kMtM

kMtM eCeCex

22

22

21

2ηηη

(A-44)

Siendo C1 y C2 constantes arbitrarias. Como:

M

k

MM−

⟩

2

22

ηη

En la ecuación (A-44) al aumentar el tiempo “t”, el movimiento es el de una exponencial de amplitud decreciente, esto es, no se pueden presentar oscilaciones. Este movimiento, mostrado en la figura A.10, recibe el nombre de sobre amortiguado.


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Figura A.10

SEGUNDO CASO: M

k

M⟨

2

η en esta condición, el término encontrado

dentro del radical de la ecuación (A-43) es negativo, y las raíces son imaginarias. Sabemos

que: 1−=i entonces:

2

22

−±−=MM

ki

Mp

ηη (A-45)

Y la ecuación del movimiento resulta:

−+

−= −t

MM

ksenCt

MM

kCex

tM

2

4

2

32

22cos

ηηη (A-46)

En donde C3 y C4 son constantes arbitrarias, teniendo la particularidad de que C4 es compleja. La cantidad encerrada en los corchetes es un movimiento armónico con frecuencia menor que la frecuencia natural no amortiguada del sistema, y el término exponencial a la izquierda sirve para disminuir continuamente la amplitud del movimiento. En la figura A.11 se representa éste movimiento.


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Figura A.11

TERCER CASO: M

k

M=

2

η caso límite entre el movimiento sobre

amortiguado y aquel que si permite oscilaciones, y recibe el nombre de movimiento con amortiguamiento crítico. Aquí la ecuación (A-43) se convierte en:

Mp

2

η−= (A-48)

Y la ecuación del movimiento queda como:

( ) tMetCCx 221

η−+= (A-49)

Al no tener los términos trigonométricos es obvio que no se presente el movimiento oscilatorio, además cuando “t” tiende al infinito la exponencial tiende a cero más rápidamente que C2t tiende al infinito. Éste movimiento tiene la misma gráfica que la figura A.10. La constante de amortiguamiento en este caso recibe el nombre de constante crítica de amortiguamiento y se presenta como ηcr y de la ecuación (A-47) deducimos que:

kMcr 2=η (A-50)

A.7 FUERZA RESTITUTIVA LINEAL, AMORTIGUAMIENTO VISCOSO Y EXCITACIÓN ARMÓNICA: Acá combinaremos los 3 últimos tipos de movimiento que hemos visto: Fuerza Restitutiva Lineal (F = kx), Amortiguamiento Viscoso: (F = -η dx/dt) y excitación armónica (F = F0 cosωt). La ecuación diferencial, ya ordenada, que representa la ley de Newton es:

tM

Fx

M

k

dt

dx

Mdt

xd ωηcos0

2

2

=++ (A-51)

Ésta es una ecuación no homogénea, su solución, es resolver la ecuación homogénea (solución particular) tratada anteriormente, más una solución particular.


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Usando el método de los coeficientes indeterminados se llega a la siguiente solución general:

( )( ) ( )

tsen

M

MF

t

M

MF

xx

nn

n

c ωωηωω

ωηω

ωηωω

ωω2

222

20

2222

220

cos

+−

+

+−

−

+= (A-52)

Acá xc es la solución complementaria que se encontró en la ecuación (A-42), en alguno de sus tres casos. La solución complementaria es un transiente y la solución particular (estado estacionario) es un movimiento armónico que tiene la misma frecuencia que la excitación y cuya amplitud se afecta por la presencia del amortiguamiento. Vamos a ver lo que ocurre con el estado estacionario si lo representamos con fasores así como en la figura A.12.

Figura A.12

Ya que las velocidades angulares son las mismas, se puede sumar los 2 fasores:

( )αω −= tAxp cos (A-53)

Donde:

( ) ( )222

0

ωηω +−=

kM

FA (A-54)

2arctan

ωωηαMk −

= (55)

Dividiendo el numerador y denominador de la ecuación (A-54) entre “k” y además de la ecuación (A-50):

12 =

cr

kM

η


=============================================================


Obtenemos:

( )2

2

2

22

0

211 ωη

ηωω

+

−

=

crn

kM

k

kF

A

(A-56)

222

21

+

−

=

ncrn

estA

ωω

ηη

ωω

δ

Siendo δest = F0/k la flexión estática. El término:

222

21

1

+

−

ncrn ωω

ηη

ωω

es al factor de amplificación, adimensional, que da la amplitud del movimiento del estado estacionario por unidad de deflexión estática.

Figura A.13

En la figura A.13 se grafica el factor de amplificación contra ω/ωn para distintos valores de η/ηcr. Podemos notar que cuando ω se mantiene lejos del valor de ωn o cuando el


=============================================================


amortiguamiento es grande, la vibración resulta ser pequeña. La amplitud máxima no se presenta exactamente en la resonancia sino un poco antes excepto para el caso de amortiguamiento nulo. Sin embargo, para amortiguamientos pequeños podemos aceptar que para ω/ωn = 1, la amplitud es muy cercana a la amplitud máxima posible del sistema.

B-ELEMENTOS DE DINÁMICA DE ESTRUCTURAS

B.1 MODELOS DINÁMICOS: ESTRUCTURAS Y MODELOS ESTRUCTURALES: Numéricamente la respuesta sísmica es el resultado de filtrar la señal sísmica a través de la misma estructura. El análisis sísmico requiere que se defina previamente tanto el movimiento del terreno como las características estructurales. El sujeto de análisis no es la propia estructura, sino un modelo mecánico de la misma, en este caso vendría a ser uno dinámico. La definición del modelo depende del tipo de estructura analizada y pretende además de proporcionar una descripción realista de su comportamiento, desarrollar una serie de relaciones entre las acciones y la respuesta que describe el modelo matemático del problema. La modelización de una estructura debe seguir los pasos que pueden verse en el diagrama de bloques de la figura B.1.

Figura B.1

Para definir un modelo matemático, las características físicas que se deben tener en cuenta son la masa, el amortiguamiento y la rigidez de la estructura. Un cálculo completo supone determinar la respuesta sísmica en todos los puntos de la estructura, esto es, en un número infinito de puntos y en un número también infinito de instantes de tiempo, lo cual impide que se pueda dar una solución numérica al problema a resolver. Para poder darle una solución numérica al problema, se definen los modelos dinámicos con un número finito de puntos en los cuales se pretende calcular la respuesta. En resumen el método introduce estimaciones físicas durante la fase de desarrollo del modelo dinámico, da una formulación acorde a su modelo matemático y, posteriormente, calcula la respuesta mediante procedimientos numéricos apropiados. GRADOS DE LIBERTAD: En una estructura podemos definir como grados de libertad a los desplazamientos que identifican su posición deformada a lo largo del tiempo. La figura B.2 tiene un número infinito de grados de libertad, y sólo un número infinito de desplazamientos x(y) definen, en general, su posición deformada durante la vibración.


=============================================================


Figura B.2 En el caso de estructuras uniaxiales con masa distribuida, como en la figura B.2, también es posible utilizar una simplificación que reduzca el número de grados de libertad. La simplificación consiste en admitir la hipótesis que los desplazamientos de la estructura, descritos por la función x(y,t), pueden definirse como una combinación lineal de un número finito de funciones de la forma elemental Ψi(y), como las que pueden verse en la figura B.3, con amplitudes βi(t) que dependen del tiempo.

Figura B.3

∑=

=n

iii tytyx

1

)()(),( βψ (B-1)

Las funciones de forma Ψi(y) deben ser compatibles con las condiciones de apoyo de la estructura. Las funciones βi(t) son conocidas con el nombre de coordenadas generalizadas y este método de discretización es el de los desplazamientos generalizados. En el caso de los edificios, la masa de la estructura está habitualmente concentrada en unas zonas de la estructura fácilmente identificables. Es posible modelar una estructura continua como un sistema discreto de masas concentradas, conectadas entre si mediante resortes. Las masas se concentran en puntos predeterminados de la estructura y simulan el efecto de las fuerzas reales que se producen en la estructura durante su vibración. El número de grados de libertad puede definirse como el número total de componentes de desplazamiento según los cuales las masas concentradas vibran.


=============================================================


Figura B.4

La figura B.4 muestra en (a) un pórtico plano sometido a un movimiento sísmico de aceleración a(t) en su plano. Si despreciamos las deformaciones axiales de los pilares y forjados, el pórtico puede modelarse mediante el sistema con varios grados de libertad con masas concentradas de la figura B.4 (b). La figura B.4 muestra en (c) un pórtico tridimensional sometido a un movimiento sísmico que produce vibraciones en la dirección “X” que como podemos darnos cuenta está en el plano de simetría del pórtico. La hipótesis de forjado flexible supone que la estructura tendría 10 grados de libertad (x1, x2, … x10), si suponemos que los forjados son rígidos, el número de grados de libertad queda reducido a 2, siendo éstos los desplazamientos de los pisos X1 y X2 de la figura B.4 (d). Si el pórtico no tuviera un plano de simetría o la dirección del terremoto no estuviera en dicho plano, en el modelo se tendría que adicionar grados de libertad con el fin de incluir en el análisis la posibilidad de giros de los forjados en su propio plano, es decir el fenómeno de torción global del edificio que se muestra en la figura B.5.

Figura B.5

Identificar los grados de libertad de una estructura es de gran importancia ya que de esto dependen los resultados del análisis dinámico. El método de las masas concentradas es eficiente en estructuras que se caracterizan por concentrar realmente su masa en algunos puntos discretos. En tal caso, el modelo dinámico se


=============================================================


obtiene concentrando toda la masa en éstos puntos, suponiendo que el resto de la estructura tiene rigidez pero no masa. B.2 ECUACIONES DEL MOVIMIENTO PARA EDIFICIOS CON COMPORTAMIENTO LINEAL: GENERALIDADES: Las ecuaciones de movimiento son expresiones matemáticas que rigen la respuesta dinámica de las estructuras. Las que se obtienen aplicando principios de mecánica clásica. En edificios los modelos dinámicos más usuales son el edificio de cortante y el pórtico tridimensional. EDIFICIOS DE CORTANTE: Éste es el modelo más sencillo con varios grados de libertad que se puede usar para describir el comportamiento dinámico de un edificio.

Figura B.6 El modelo de la figura B.6 está basado en la hipótesis de que el edificio es simétrico, los forjados son infinitamente rígidos, los pilares no sufren deformación por axial y, por tanto, los únicos movimientos de los nudos son horizontales. En la figura B.6 podemos definir: a(t): Aceleración horizontal de origen sísmico. v(t): Velocidad del movimiento sísmico del terreno. d(t): Desplazamiento del movimiento sísmico del terreno. La figura B.6 (b) muestra el equilibrio dinámico de la masa mr mediante el


=============================================================


Principio de dÀlembert:

),...,2,1(,0)()()( nrtFtFtF arerir ==−− (B-2)

Donde: irF : Fuerzas de inercia referidas al grado de libertad r.

erF : Fuerzas elásticas referidas al grado de libertad r.

arF : Fuerzas de amortiguamiento referidas al grado de libertad r.

Para cada masa tenemos:

0)()()(

0)()()(

0)()()(

0)()()(

222

111

=−−

=−−

=−−=−−

tFtFtF

tFtFtF

tFtFtF

tFtFtF

anenin

arerir

aei

aei

M

M (B-3)

En forma matricial tenemos:

0)()()( =−− tFatFetFi (B-4)

Definiendo los vectores:

)()(

)()(

)(1)()(

.

..

tXCtFa

tKXtFe

tatXMtFi

=

=

+−=

(B-5)

Donde: )(tFi : Vector de fuerzas de inercia.

)(tFe : Vector de fuerzas elásticas.

)(tFa : Vector de fuerzas de amortiguamiento.

X : Vector de desplazamientos respecto a la base del edificio de cortante. 1 : Vector formado por unos.

K : Matriz de rigidez. Para el caso particular es tridiagonal:


=============================================================


−+−

−+−−+−

−+

=

++

n

rrrr

k

kkkk

kkkk

kkkk

kkk

K

0

00

00

000

000

11

4433

3322

221

LLLLLLLLL

LLLLLLLLL

Donde:

3

12

r

rr h

EIk = : Rigidez de cortante en el grupo de pilares “r”

rI : Suma de momentos de inercia de los pilares situados entre

los pisos “r” y “r-1”. rh : Altura de los pilares.

M : Matriz de masas (diagonal para el edificio de cortante). C : Matriz de amortiguamiento (proporcional a la matriz “M” o “K” o a una combinación lineal de las 2). Si reemplazamos (B-5) en (B-4):

)(1)()()(...

taMtKXtXCtXM −=++ (B-6)

Para sistemas de un solo grado de libertad (una sola masa):

)()()()(...

tmatkxtxctxm −=++ (B-7)

Donde: m : Masa. c : Coeficiente de amortiguamiento. k : Rigidez del modelo. x(t) : Desplazamiento según el grado de libertad. MODELO GENERAL DE PÓRTICOS: Se deben considerar en el modelo 6 grados de libertad por nudo, 3 desplazamientos y 3 giros. Además es conveniente incluir en las ecuaciones del movimiento el efecto de la propagación del terremoto en una dirección arbitraria respecto a la estructura. Por ello descomponemos a(t) en 3 componentes:

→)(

)(

)(

)(

ta

ta

ta

ta

z

y

x

De lo anterior para un grado de libertad en la ecuación (B-7) tenemos para una masa “r”:


=============================================================


[ ])()()()()()(...

tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxrrrrrrr ++−=++ (B-8)

Donde: rm : Masa en el grado de libertad “r”.

Rotaciones

esTraslacionzyxz

y

x

tdzryrxr

rrr

zr

yr

xr

r

r

r

r →→

→

=),,(

),,()(

ϕϕϕ

ϕϕϕ

=

=

=

0

0

0

1

0

0

,

0

0

0

0

1

0

,

0

0

0

0

0

1

zyx jjj Incluyendo algunos grados de libertad.

En todo el edificio de cortante:

[ ])()()()()()( 111

.

111

..

1 tajtajtajmtdktdctdm zzyyxx ++−=++

[ ])()()()()()( 2222

.

22

..

2 tajtajtajmtdktdctdm zzyyxx ++−=++

M

[ ])()()()()()(...

tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxrrrrrrr ++−=++ (B-9)

M

[ ])()()()()()(...

tajtajtajmtdktdctdm zzyyxxnnnnnnn ++−=++

Expresado en forma matricial:

[ ])()()()()()(...

taJtaJtaJMtKDtDCtDM zzyyxx ++−=++ (B-10)

En la ecuación (10) D(t) tiene 6 elementos por cada grado de libertad.

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]Tn

Tr

TTT

n

r

tdtdtdtdtD

td

td

td

td

tD )(...)(...)()()(

)(

)(

)(

)(

)( 21

2

1

=⇒

=

M

M


=============================================================


[ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]znynxnnnnzryrxrrrrzyxzyxT zyxzyxzyxzyxtD ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ ,,,,,...,,,,,...,,,,,,,,,,)( 222222111111=

(B-11)

Las matrices M, K y C de la ecuación (B-10) fueron ampliadas de acuerdo a la ecuación (B-11) es decir de acuerdo a la definición de D(t). La ecuación (B-10) puede expresarse de la forma:

)(...

tMJaKDDCDM −=++ (B-12)

Donde J es el vector que realiza la descomposición de a(t) en las tres direcciones (x, y, z) y tiene valores diferentes de cero (0) sólo en los grados de libertad del modelo correspondientes a una traslación. En general los elementos diferentes de cero (0) de J son cosenos directores.

n

r

j

j

j

j

J

n

r

j

j

j

j

J

n

r

j

j

j

j

J

z

z

z

z

z

y

y

y

y

y

x

x

x

x

x

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

M

2

1

;

2

1

;

2

1

=

=

=


=============================================================


=

=

=

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

00

0

0

1

0

0

;

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

00

0

0

0

1

0

;

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

10

0

0

0

0

1

M

M

M

M

M

Mzyx JJJ

Si hablamos de vibraciones libres tenemos:

0...

=++ KDDCDM (B-13)

Si no tomamos en consideración el amortiguamiento:

0..

=+ KDDM (B-14)

Tanto en las ecuaciones (B-10), (B-12), (B-13) y (B-14) K es la misma matriz que en el caso estático, M es una matriz diagonal y si D(t) estaría incluyendo giros se incluiría la inercia rotacional en la matriz M, pero la influencia de esos giros en la solución del problema es en general pequeña.


=============================================================


B.3 CARACTERÍSTICAS DINÁMICAS DE LAS ESTRUCTURAS: MODELOS CON UN GRADO DE LIBERTAD: Considerando un solo grado de libertad y sin tener en consideración el amortiguamiento las vibraciones libres están gobernadas por la ecuación:

0)()(..

=+ tkxtxm (B-15)

Definiendo las características dinámicas del sistema:

ω : Frecuencia circular o frecuencia de vibración del modelo (rad/seg), T : Período natural (seg) y f : Frecuencia cíclica (hertz) como:

mk /=ω

ωπ2=T

πω2

1 ==T

f

Podemos dividir entre m a toda la ecuación (B-15) y tendríamos:

0)()( 2..

=+ txtx ω (B-16)

La solución general de la ecuación (B-16) puede escribirse de la

siguiente forma:

)()( ψω += tAsentx (B-17)

Donde: A : Amplitud del movimiento. Ψ : Angulo de fase. Demás A y Ψ se calculan a partir de las condiciones iniciales es decir

cuando t = 0.

Para 0)0( xx = y .

0

.

)0( xx = tenemos:

0

.

0

2.

020 tan;

x

xxxA

ωψ

ω=

+= (B-18)

MODOS NATURALES DE VIBRACIÓN: Las características dinámicas de los modelos con varios grados de libertad se definen analizando sus vibraciones libres, que están gobernadas por la ecuación (B-14) que se reescribe aquí:

0..

=+ KDDM (B-19)


=============================================================


Esta ecuación tiene soluciones particulares del tipo:

tiAetD ω=)( (B-20)

El vector A contiene las amplitudes del desplazamiento, ω es la pulsación y Ψ el ángulo de fase. Aplicando la ecuación (B-20) en la ecuación (B-19):

0)( 2 =− AMK ω (B-21)

Este sistema de ecuaciones algebraicas lineales y homogéneas constituye un problema de autovalores. Para que el modelo vibre A deberá tener soluciones distintas a la trivial o sea:

02 =− MK ω (B-22)

Si el determinante se desarrolla en su forma polinómica se obtiene la ecuación característica:

0... 21

422

221

2 =+++++ −−−

nnnnn αωαωαωαω (B-23)

Para el caso de modelos estructurales, la matriz de rigidez K y la de masa M son reales y simétricas. Además, K es definida positiva y M es semidefinida positiva como mínimo. En el caso de que M sea definida positiva, la ecuación característica proporciona n soluciones de 2

iω por lo tanto n valores de iω reales. Si la matriz M

es semidefinida positiva, el número de soluciones iω es menor. Los n autovalores

iω son frecuencias propias o pulsaciones del modelo estructural.

Las pulsaciones iω pueden ser ordenadas en la diagonal principal de la

matriz espectral Ω donde la pulsación más baja 1ω se llama frecuencia

fundamental. Los períodos propios del sistema se definen como:

niTi

i ,...,2,1,2 ==ωπ

(B-24)

A partir de la frecuencia fundamental 1ω se calcula el período fundamental

1T .

El autovector Ai se obtiene de la ecuación (B-21), expresamos todos los Ai en función de todos los Ai1. Entonces definimos los autovectores normalizados como:

niA

A

i

,..,2,1,1

11 ==ϕ donde: 11 =ϕ .

Otro modo de normalizar los autovectores es haciendo la relación siguiente:

*ii

Ti MMAA = (B-25)

Lo que nos permite aplicar la siguiente fórmula:

niMA iii ,...,2,1;)( 2/1* == −ϕ (B-26)


=============================================================


Lo que asegura que: 1=i

Ti Mϕϕ .

Los autovectores se ordenan en la matriz modal Φ, representan las formas del sistema durante la vibración en cada una de sus autofrecuencias. Los autovectores son las formas naturales de vibración o las formas modales. Los modos naturales de vibración están dados por un autovalor ωi con su respectivo autovector ϕi. La condición de ortogonalidad de 2 vectores está dada por:

jijTi ≠= ;0ϕϕ (B-27)

Aplicamos la condición de ortogonalidad respecto a M:

jiM jTi ≠= ;0ϕϕ (B-28)

Aplicamos la condición de ortogonalidad respecto a K:

jiK jTi ≠= ;0ϕϕ (B-29)

Las condiciones de normalidad y ortogonalidad pueden expresarse de manera compacta como condición de ortonormalidad respecto a la matriz de masa

IMT =ΦΦ , donde I es la matriz identidad. Si no se utiliza esta última condición, puede escribirse la siguiente ecuación para la matriz de masa y de rigidez:

*MMT =ΦΦ (B-30)

*KKT =ΦΦ (B-31)

Donde:

*M : Es diagonal. *K : Es diagonal donde los términos diferentes de cero (0) son

iTiii KK ϕϕ=* .

Luego tenemos el problema de los autovalores:

0)( 2 =Φ− MK ω (B-32)

se resuelve mediante técnicas numéricas pero en muchos casos no es necesario calcular todos los autovalores contenidos en la ecuación. De hecho, es posible obtener una aproximación a la solución del problema dinámico utilizando solamente los autovalores más bajos de la estructura.


=============================================================


B.4 CARACTERISTICAS DE AMORTIGUAMIENTO DE LAS ESTRUCTURAS: DEFINICIÓN DEL AMORTIGUAMIENTO EN SISTEMAS CON UN SOLO GRADO DE LIBERTAD: La ecuación que describe las vibraciones libre amortiguadas de un modelo con un solo grado de libertad es:

0)()()(...

=++ tkxtxctxm (B-33)

Si suponemos un amortiguamiento del tipo viscoso podemos definir:

ωβ mmc cc 22 == que es el amortiguamiento crítico. En estructuras de ingeniería

civil sometidas a acciones dinámicas el amortiguamiento es inferior al crítico ccc < .

Este tipo de amortiguamiento puede definirse mejor mediante la fracción de amortiguamiento crítico:

ωξ

m

c

c

c

c 2== (B-34)

De la ecuación (B-34) podemos definir la frecuencia de vibración amortiguada como:

21 ξωωξ −= (B-35)

Podemos escribir la solución general de la ecuación (B-33) como:

)()( ψωξξω += − tsenAetx t (B-36)

Donde A y Ψ se calculan a partir de las condiciones iniciales del problema. SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD CON AMORTIGUAMIENTO PROPORCIONAL: Una hipótesis que se aplica en las estructuras de edificaciones para simplificar la matriz de amortiguamiento, para obtener una representación numérica razonable de las propiedades de amortiguamiento de la estructura, consiste en suponer que existe un mecanismo de pérdida de energía homogéneo en toda la estructura. Por ello puede desarrollarse una matriz de amortiguamiento que cumpla la condición de ortogonalidad respecto a la matriz modal.

ΦΦ= CC T* (B-37)

En la ecuación C* es la matriz diagonal de amortiguamiento generalizado. Esta condición define el amortiguamiento proporcional que indica la manera de obtener la matriz de amortiguamiento; ésta se considera proporcional a la matriz de masa, a la de rigidez o se obtiene a partir de una combinación lineal de ambas. Hacemos C proporcional a la matriz de masa y tenemos:

MC 1α= (B-38)


=============================================================


Donde se puede verificar la condición de ortogonalidad: jic jTi == ;0ϕϕ

sustituyendo la ecuación (B-38) en la ecuación (B-37), obtenemos la ecuación de definición de la matriz de amortiguamiento generalizado:

*11

* MMC T αα =ΦΦ= (B-39)

Expresando la fracción de amortiguamiento iξ en cada modo de vibración i

tenemos:

niM

c

ii

ii ,...,2,1;

2 *

*

==ω

ξ

Ahora hacemos C proporcional a la matriz de rigidez KC 2α= entonces se

obtienen las condiciones de ortogonalidad *2

* KC α= donde C*es diagonal. La

combinación lineal de los 2 casos sería:

KMC 21 αα += (B-40)

B.5 RESPUESTA SÍSMICA DE SISTEMAS LINEALES CON UN GRADO DE LIBERTAD: RESPUESTA TEMPORAL: Considerando un solo grado de libertad el movimiento de un sistema está dado por la ecuación:

)()()()(...

tmatkxtxctxm −=++ (B-41)

Dividiendo todo entre “m” obtenemos:

)()()(2)( 2...

tatxtxtx −=++ ωξω (B-42)

Usando la respuesta del sistema amortiguado la respuesta puede expresarse como:

[ ] ττωτω ξ

τξω

ξ

dtseneatxt

t∫ −−= −−

0

)( )()(1

)( (B-43)

La ecuación (43) se conoce con el nombre de integral de Duhamel y proporciona la respuesta en el dominio del tiempo de un sistema con un solo grado de libertad sometido a una carga cualquiera. Esta respuesta no considera el efecto de las condiciones iniciales. Si al aplicarse la excitación a(t) el sistema no parte del reposo la solución general )0(gx de la ecuación (42) es calculada a partir de las condiciones iniciales

0)0( xxg = y .

0

.

)0( xxg = es:


=============================================================


[ ]∫ −−++= −−−t

ttg dtseneatxtsen

xxetx

0

)(0

0

.

0 )()(1

)cos()( ττωτω

ωωωξω

ξτξω

ξξξ

ξ

ξω (B-44)

La integral de Duhamel tiene solución analítica solamente para ciertas funciones particulares que describen la excitación, por lo que en general debe resolverse numéricamente. ESPECTROS SÍSMICOS DE RESPUESTA: La respuesta estacionaria en desplazamientos de un sistema con un solo grado de libertad viene dada por la ecuación (B-43), donde x(t) es una función de

ωξ , y a(t).

Derivando la ecuación (B-43) respecto al tiempo obtenemos la historia de la respuesta en velocidades.

∫ +−−= −−t

t txdteatx0

)(.

)()(cos)()( ξωττωτ ξτξω (B-45)

Derivando (B-45) obtenemos la historia de la respuesta en aceleraciones totales del sistema.

)()()(2)()()()( 2

0

.)(

..

txtxdtseneatatxt

t ξωξωττωτω ξτξω

ξ −−−=+ ∫ −− (B-46)

Los espectros en desplazamientos, velocidades y aceleraciones que corresponden a un cierto acelerograma se definen como los valores máximos en respuesta puestos en función de ω y ξ .

máx

rd txS )();( =ξω

máx

rv txS )();(

.

=ξω (B-47)

máx

ra tatxS )()();(

..

+=ξω

Reemplazando en las ecuaciones (B-47) las expresiones (B-43), (B-45) y (B-46) tenemos:


=============================================================


)50()()()(2)()();(

)49()()(cos)();(

)48()()(1

);(

0

2.

)(

0

)(

0

)(

−−−−=

−+−−=

−−=

∫

∫

∫

−−

−−

−−

BtxtxdtseneaS

BtxdteaS

BdtseneaS

máx

ttr

a

máx

ttr

v

máx

ttr

d

ξωξωττωτωξω

ξωττωτξω

ττωτω

ξω

ξτξω

ξ

ξτξω

ξτξω

ξ

Las ecuaciones (B-48), (B-49) y (B-50) son las respuestas máximas para un modelo de un solo grado de libertad. Como en estructuras de ingeniería civil ξ = 2% a 20% entonces ωωξ = es

decir que podemos despreciar los términos que están fuera de las integrales (B-49) y (B-50). En la ecuación (B-49) el seno se deberá reemplazar por coseno. Estas aproximaciones se basan en la aleatoriedad de a(t) y se obtienen los seudoespectros de respuesta:

máx

tt

d dtseneaS ∫ −−= −−

0

)( )()(1

);( ττωτω

ξω τξω (B-51)

máx

tt

v dtseneaS ∫ −−= −−

0

)( )()();( ττωτξω τξω (B-52)

máx

tt

a dtseneaS ∫ −= −−

0

)( )()(1

);( ττωτω

ωξω τξω (B-53)

De lo que deducimos:

dva SSS 2ωω == (B-54)


=============================================================


B.6 RESPUESTA DE SISTEMAS CON VARIOS GRADOS DE LIBERTAD MEDIANTE ANÁLISIS MODAL: DESACOPLAMIENTO MODAL: Considerando un modelo regido por la ecuación (B-12).

)(...

tMJaKDDCDM −=++ (B-12)

Sus vibraciones libres no amortiguadas están regidas por la ecuación (B-14).

0..

=+ KDDM (B-14)

Al solucionar el sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas resulta la ecuación (B-32):

0)( 2 =Φ− MK ω (B-32)

Donde se encuentran las “n” frecuencias naturales jω y las “n” formas

propias de vibración jϕ . Los vectores jϕ son ortonormales a K y M, al formar la

matriz modal Φ una base completa es posible escribir la ecuación.

∑=

Χ=n

jjj tD

1

)(ϕ (B-55)

Donde )(tjΧ es la respuesta generalizada.

Aplicando la ecuación (B-55) en la ecuación (B-12):

)()()()(11

.

1

..

tMJatKtCtMn

jjj

n

jjj

n

jjj −=Χ+Χ+Χ ∑∑∑

===ϕϕϕ (B-56)

Premultiplicando la ecuación (B-56) por T

iϕ :

)()()()(11

.

1

..

tMJatKtCtM Ti

n

jjj

Ti

n

jjj

Ti

n

jjj

Ti ϕϕϕϕϕϕϕ −=Χ+Χ+Χ ∑∑∑

=== (B-57)

Usando condiciones de ortogonalidad en M, K y C:

==

==

==

∑

∑

∑

=

=

=

n

ji

Tij

Ti

n

ji

Tij

Ti

n

ji

Tij

Ti

cCCC

bKKK

aMMM

1

*

1

*

1

*

).58(

).58(

).58(

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

(B-58)

Poniendo las ecuaciones (B-58) en la ecuación (B-57):


=============================================================


)()()()(.

*.

*..

* tMJatKtCtM Tiiiiiii ϕ=Χ+Χ+Χ (B-59)

Así la ecuación (B-12) se reduce a “n” ecuaciones diferenciales independientes, si dividimos la ecuación (B-59) entre *

iM tenemos:

)()()()(2)( 2...

taQtaM

MJttt i

iTi

Ti

iiiiii −=−=Χ+Χ+Χϕϕ

ϕωωξ (B-60)

Donde:

iTi

Ti

i M

MJQ

ϕϕϕ= (B-61)

Es el coeficiente de participación modal.

C-COMPORTAMIENTO DINAMICO DE LAS ESTRUCTURAS.

Un sistema vibratorio es un conjunto de elementos que tienen capacidad de

desarrollar movimientos oscilatorios o periódicos, ocasionados por solicitaciones

externas o interacciones. Podemos decir que sus elementos son: Masas o

elementos inertes, elementos restitutivos y elementos amortiguadores.

Usando leyes de la dinámica Newtoniana, y en especial el principio de D’Alembert,

podemos obtener conclusiones de sumo interés. Considerando que en las masas

actúan fuerzas actúan fuerzas efectivas y fuerzas de inercia exclusivamente, y que

una partícula no es capaz de alterar por si misma el estado de reposo o movimiento

en que se encuentre, lo que equivale a decir que la derivada con respecto al tiempo

de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a la fuerza que produce el

movimiento, y se puede escribir:

Fdt

VMd =)*( (C-1)

Donde:

M= Masa de la partícula.

V = Velocidad de la partícula.

F = Fuerza que produce el movimiento.

Para estos efectos “M” es una constante en el tiempo y.

adt

Vd =)( (C-2)


=============================================================


Entonces.

aMF *= (C-3)

Y considerando el principio de D’alembert:

0)*( =−+ aMF (C-4)

En los sistemas vibratorios que estudiaremos los elementos de restitución se

consideran con un comportamiento elástico lineal y con una masa despreciable: Su

función es transformar energía de deformación en energía cinética sin que haya

pérdidas. En base a sus características elásticas y al hecho de que restringen los

desplazamientos del sistema se obtiene que la fuerza generada en tales elementos,

cuando hay un movimiento vibratorio, es una función lineal del desplazamiento de

sus extremos y su sentido será aquel que tienda a restablecer el equilibrio.

Matemáticamente esto se expresa.

xKFr *−= (C-5)

Donde

Fr = Fuerza restitutiva.

K = Constante de proporcionalidad (Constante equivalente del

resorte)

x = Desplazamiento.

Hay que notar que la constante de proporcionalidad puede tener

varias interpretaciones como serian: La rigidez angular o lineal de una barra

de sección determinada, la rigidez al cortante, etc.

Los elementos amortiguadores son aquellos que disipan la energía

que se induce al sistema vibratorio. La fuerza que se provoca en una

partícula durante está disipación será proporcional a la velocidad relativa de

la misma, y de signo contrario:

xFd &*η−= (C-6)

Siendo.

Fd = Fuerza disipadora.

η = Constante de amortiguamiento.


=============================================================


x& = Velocidad.

Este tipo de amortiguamiento recibe el nombre de viscoso o de Newton y en

Ingeniería Sísmica se denomina lineal.

Si consideramos ahora las fuerzas externas, llamadas de excitación que

pueden actuar en un sistema vibratorio tal como se muestra en la fig C.1:

Fig. C.1 SISTEMA VIBRATORIO

De la condición de equilibrio de fuerzas tenemos.

∑ = 0F

0=+++ FrFdFiFe

0*** =−−− xKxxMFe &&& η

xKxxMFe *** ++= &&& η (C-7)

Por inspección se ve que la ecuación C-7 es una ecuación diferencial lineal y

debido a esto el sistema toma el nombre de sistema vibratorio lineal.

Puede presentarse el caso de que el lugar donde se apoya el sistema

vibratorio se encuentra también en movimiento con desplazamiento x o,

velocidad x& o y aceleración x&& o, entonces la ecuación C-7 nos queda:

)(*)(** xoxKoxxxMFe −+−+= &&&& η (C-8)

En esta ecuación, el término xM &&* corresponde a la fuerza de inercia y

como esta es independiente del sistema de referencia, la aceleración x&& o del

terreno no interviene en el.


=============================================================


Los sistemas vibratorios pueden tener diversos tipos particulares de

movimiento, dependiendo de las acciones que obren en sus masas, entre

ellos están los siguientes:

2) La vibración libre, que es cuando el sistema tiene oscilaciones en

ausencia de acciones y movimientos externos a el. Puede ser

amortiguada o no dependiendo si existen o no los elementos

amortiguadores. Entonces.

Si 0==== oxoxxoFe &&&

Si 0≠η , Hay amortiguamiento.

Si 0=η , no hay amortiguamiento.

2) Si existe en un intervalo de tiempo un agente mecánico que actué en el

sistema vibratorio o bien el lugar donde este se apoya tiene un

movimiento, entonces se presenta la vibración forzada que puede ser

amortiguada o no.

La analogía que se tiene entre los sistemas vibratorios sujetos a fuerzas

de excitación y las estructuras sujetas a solicitaciones sísmicas es de

especial interés. Se ha observado que cuando una estructura esta bajo la

acción de un fenómeno sísmico, su base se mueve tanto horizontalmente

como verticalmente. Por medio del estudio de acelerogramas registrados

en las partes inferiores de las estructuras (los sótanos) se deduce que las

dos componentes horizontales del movimiento de la base son

perpendiculares, tienen casi la misma intensidad que las registradas en

el terreno. Las aceleraciones verticales suelen producir esfuerzos que son

fracciones de los debidos a fuerza gravitacional de la estructura y por

esto solo en algunos casos se considera necesario analizar estas

oscilaciones verticales.

En base a lo anterior, podemos como sistema vibratorio a una estructura

de un grado de libertad, de comportamiento lineal y con cierto

amortiguamiento. El estudio de sus características ayuda a la

comprensión de la forma en que pueden vibrar estructuras más

complejas, con varios grados de libertad, durante un temblor.

Para hacer un análisis un análisis de la estructura en movimiento

debemos hacer algunas hipótesis, entre ellas las siguientes.


=============================================================


a) La masa esta concentrada en el centro de gravedad del cabezal.

b) Los elementos restitutivos del sistema tienen comportamiento

lineal, son las barras que tienen como constante equivalente del

resorte la rigidez a la fuerza horizontal.

c) Existe un amortiguamiento viscoso, lo cual se indica con el

amortiguador de la fig. C.2

Entonces, si en el sitio de apoyo sufre desplazamiento en dirección X

tal como se muestra en la fig.C-2, podemos usar la ecuación C-8 y si

hacemos:

uxox =−

uoxx &&& =−

oxüx &&&& += (C-9)

Sustituyendo las ecuaciones C-9 en la ecuación C-8 se tiene:

uKuoxMüMFe **** +++= && η

Como 0=Fe ,

oxMuKuüM && **** −=++η (C-10)

Podemos constatar que C-1 es una ecuación diferencial lineal no

homogénea de segundo orden, y para su solución podemos proceder

a los siguientes pasos:

1. Obtener la solución de la ecuación homogénea.


=============================================================


0*** =++ uKuüM &η (C-11)

2. Encontrar una solución particular de la ecuación:

oxMuKuüM &&& **** −=++η (C-12)

3. Hacer la combinación lineal de ambas.

Si se presenta el caso de una vibración libre tendríamos:

0*** =++ uKuüM &η

Dividiendo entre M:

0** =++ uM

Ku

Mü &

η (C-13)

Si en C-13 introducimos:

MKWn /2 =

y WnM **2

ηξ = (C-14)

llegamos a.

0*** 2 =++ uWnuWnü &ξ (C-15)

Que, nos permite decir que Wn es la frecuencia circular natural o

angular, del movimiento no amortiguado (en radianes por unidad de

tiempo), y ξ es la fracción del amortiguamiento crítico.

Para valores de ξ comprendidos entre 0.0 y 0.10, el periodo natural

T, del sistema puede considerarse con suficiente aproximación (Biggs, 1961)

como:

Wn

Tπ

*2=

O bien

Wn

MT **2 π= (C-16)


=============================================================


Y la frecuencia natural del movimiento, en ciclos por unidad de

tiempo, será:

M

KWnfn *

*2

1

*2 ππ== (C-17)

C.1- MODOS DE VIBRACIÓN

Queda claro que los efectos de las excitaciones sísmicas en

estructuras de varios grados de libertad no pueden ser analizados

satisfactoriamente mediante el modelo de un grado de libertad. Para estas

estructuras tendremos un modelo de las siguientes características:

1. La masa de la estructura, y la de todos los elementos que

soporta (muebles, canceles, muros aparentes, etc.), esta

concentrada en el nivel de cada piso.

2. La rigidez lateral de la estructura depende de las

características mecánicas y geométricas de las columnas y

de los elementos que las unen.

3. Los pisos de la estructura no giran cuando ocurren

movimientos laterales, solo se desplazan horizontalmente.

4. La rigidez de los elementos estructurales del sistema de piso

ante deformación horizontal es muy grande en comparación

con la de los elementos verticales.

5. La rotación de la estructura por deformación del suelo de

cimentación es despreciable.

Consideremos el caso de un sistema elástico no amortiguado

de n grados de libertad, donde xi (t) es el desplazamiento de

la masa Mi en cierto instante t de una vibración libre, tal

como se muestra (para n=3) en la fig. C.3


=============================================================


De la ecuación C-3, en forma matricial, tenemos:

)(* tXMF &&= (C-18)

Donde

F = Vector fuerzas.

M = Matriz diagonal de las masas del sistema.

)(tX&& = Vector de aceleraciones.

Y recordando que podemos calcular las fuerzas elásticas que

ejercen los elementos de rigidez sobre las masas Mi mediante la

relación.

Fuerza = (Rigidez)x(Desplazamientos)

Como se vio en la ecuación C-5, o bien:

)(* tXKF −= (C-19)

Siendo

K la matriz de rigideces del sistema, entonces:

)(*)(* tXKtXM −=&&

Ordenando.


=============================================================


0)(*)(* =+ tXKtXM && (C-20)

Ahora bien, toda estructura elástica puede vibrar libremente

en forma tal que el desplazamiento de cada una de sus

masas con respecto a su posición de equilibrio estático es

igual al producto de una función de la posición de la masa

considerada por una función del tiempo, que es la misma

para todas las masas. En otras palabras, los

desplazamientos se pueden expresar como

ZttX *)()( ϕ= (C-21)

Siendo:

)(tX = Vector de los desplazamientos de las masas.

)(tϕ = Función del tiempo.

Z = Vector que da la forma a la vibración.

A estas formas de vibrar se le llama modos naturales, al

vector Z se le llama configuración del modo (constantes

independientes del tiempo), y el periodo de la función del tiempo

)(tϕ , en caso de que exista, se llama periodo natural.

Escojamos )(tϕ de manera que:

)(*)( 2 tt ϕρϕ −=&& (C-22)

Donde ρ es una constante arbitraria que después

determinaremos. Derivando C-21 dos veces y tomando en cuenta a

C-22 se obtiene.

ZttX *)(*)( 2 ϕρ−=&& (C-23)

Sustituyendo a C-21 y a C-23 en C-20, y simplificando

tenemos

0***2 =+− ZKZMρ

Que podemos escribir como:


=============================================================


0*)*( 2 =− ZMK ρ (C-24)

Para que el sistema de ecuaciones de 2.24 tenga solución diferente

de la trivial debe cumplirse que:

0*2 =− MK ρ (C-25)

La expresión C-25 al desarrollarse formara un polinomio en

2ρ de grado n con n raíces ( ),....,,,22

3

2

2

2

1ρρρρ

n

las cuales al

sustituirse una a una en C-24 servirán para obtener los n vectores

zn) .z3, z2, (z1, … que darán la forma de cada uno de los modos de

vibración (este problema en matemáticas se conoce como problema

de valores y vectores característicos).

Consideremos la expresión C-22 que es una ecuación

diferencial homogénea, de 2º orden, con coeficiente constante,

cuya solución es de la forma:

)*cos(*)*(*)( tpBtsenAt += ρϕ (C-26)

De acuerdo con lo anterior existen modos de libración que

satisfacen la ecuación C-21 y como se ve de C-26 el movimiento es

armónico simple de periodo ρπ

*2=T ; a ρ le llamaremos

frecuencia circular natural del modo.

Es fácil demostrar (Newmark y Rosenblueth, 1973) que:

0** =jTi ZMZ Para ji ≠ (C-27)

A esta propiedad se le conoce como ortogonalidad de los

modos con respecto a las masas. En el caso de que ji = el

producto de C-27 es igual a una constante arbitraria.

La importancia de lo anterior se manifiesta en el hecho de

que una configuración cualquiera Y puede expresarse como una

combinación lineal de las formas de los modos, esto es que.

∑= ii ZcY *

Si multiplicamos C-28 por MZTj * tenemos que:

iij

n

ii

Tj ZMZCYMZ ***** ∑=


=============================================================


Y como para ji ≠ el segundo miembro de C-29 se anula por

la propiedad de ortogonalidad (C-27) podemos escribir que:

jTjj

Tj ZMZCYMZ ***** =

De donde:

j

Tj

Tj

j ZMZ

YMZC

**

**=

A jC se le conoce como el factor de participación del modo “j” en una

configuración arbitraria Y.

C.2- ESPECTROS DE RESPUESTA.

La ecuación que gobierna el movimiento de una estructura cuando la fuerza

externa es nula es.

oxMuKuüM &&& **** −=++η (C-31)

Esta ecuación, como se ha mencionado puede integrarse por distintos

métodos. Cuando no hay movimiento del terreno )0( =ox&& la ecuación C-31

corresponde a una vibración libre no amortiguada. El valor del coeficiente η

que corresponde al caso limite de movimiento periódico es llamado

coeficiente de amortiguamiento critico y su magnitud esta dada por.

ncr wM **2=η (C-32)

Donde nw es la frecuencia natural no amortiguada, esta dada por la

ecuación:

M

Kwn =2

Ó

M

Kwn = (C-33)

La frecuencia, nf y el periodo, T, naturales están dados por las relaciones:

π*2n

n

wf =


=============================================================


nw

Tπ*2=

Definiremos la fracción de amortiguamiento crítico,ξ como la razón entre η

y su valor crítico dado en C-32:

nwM **2ηξ = (C-34)

Aunque la obtención de la respuesta dinámica como

función del tiempo de un sistema con características

particulares es una labor tediosa, es posible realizarla. Como

ejemplo para el temblor de la fig. C.4 se obtuvo por

integración numérica.


=============================================================


Fig. C.4 RESPUESTA DE UN SISTEMA CON T=0.005 seg. , %5=ξ


=============================================================


Los resultados dibujados son de un sistema que tiene un periodo

de vibración T=0.005, un amortiguamiento critico del 5% ( %5=ξ ) y

propiedades elásticas.

La característica más significativa de graficas como la de la fig.

C.4 es el máximo desplazamiento (o deformación) relativa del sistema. Si

el desplazamiento relativo máximo en una estructura es conocido, la

fuerza en las columnas o el máximo cortante pueden ser determinados, y

estos valores son útiles directamente para el diseño.

Para una excitación específica en un sistema simple (de un grado

de libertad) que tiene cierto porcentaje de amortiguamiento critico, la

respuesta máxima es una función del periodo natural de vibración del

sistema. Una grafica de la respuesta máxima (Por ejemplo, del

desplazamiento relativo, u; del desplazamiento absoluto ; X ;

aceleración, X&& ; fuerza cortante, V; etc.), contra el periodo de vibración,

T; o contra la frecuencia natural de vibración , nf ; o la frecuencia circular

de vibración nw ; es llamado espectro de respuesta.

Un espectro de respuesta es una curva que relaciona periodos de

oscilación de varias estructuras de un grado de libertad, con la máxima

respuesta o efecto máximo promedio que produce en cada movimiento

conocido en su base (por ejemplo sismo), igual para todas ellas como se

observa en la figura C.5. Este tipo de graficas relacionan entre si las

características de las estructuras, expresadas por medio de los

parámetros del movimiento vibratorio (periodo, frecuencia) y las

características de las ondas sísmicas que se obtienen de los registros de

los temblores.

A manera de ejemplo veamos la fig. C.5


=============================================================


Fig. C.5 ESPECTROS DE RESPUESTA PARA DISTINTO AMORTIGUAMIENTO


=============================================================


2.2.2 TEORIA DE AISLAMIENTO DE BASE

D-BASE TEORICA DE LA AISLACION SISMICA

D.1 TEORIA LINEAL

Para explicar esta teoría haremos uso de la grafica que se muestra en la fig. D.1. En la

cual m representa la masa de la superestructura, bm representa la masa sobre el

sistema aislado (masa de la subestructura), además la rigidez y el amortiguamiento

están representados por sk y sη (sistema estructural) y en tanto del sistema de

aislamiento por bk y bη .

m

kη

s sk

s

bk bη; ; ηbkb

mbgx

xb

sx

Fig. D.1 SISTEMA AISLADO POR LA BASE

Los desplazamientos absolutos están representados por sx y bx pero es conveniente

representar estos por desplazamientos relativos.

bss xxu −=

gbb xxu −=

Donde gx es el máximo desplazamiento, la utilización de estos desplazamientos

relativos ( su y bu ) es particularmente conveniente para el análisis por que nos muestra

dos resultados importantes del sistema aislado representado por bu y la intensidad de

desplazamiento de entrepiso representado por su .

En términos de ecuaciones, las ecuaciones básicas del movimiento de un sistema de

dos grados de libertad como la del modelo son:


=============================================================


gbbbbbsbb ummukuumumm &&&&&&& )()( +−=++++ η (D-1)

gsssssb umukuumum &&&&&&& −=+++ η (D-2)

Cuya denotación matricial es.

m

M

m

m

s

b

ü

ü+

0bη

sη0

s

b

u

u

&

&+

0bk

sk

0

s

b

u

u= -

m

M

m

m

0

1gu (D-3)

Donde.

bmmM +=

La notación matricial de D-3 es.

,,,,, guMrkuuuM &&&&& −=++η

Definiendo la relación de masa por:

M

m

mm

m

b

=+

=γ (D-4)

Y las frecuencias nominales bw y sw dadas por.

b

bb mm

kw

+=2

m

kw s

s=2 (D-5)

Y asumimos que 2

2

s

b

w

w=ε y )10(0 2−=ε

Los factores de amortiguamiento bβ y sβ dados por.

b

bbb mm

w+

= ηβ2 m

w sss

ηβ =2 (D-6)

En términos de ecuaciones. Volviendo a las ecuaciones básicas del

movimiento (D-1 y D-2) tenemos.

gbbbbbbs uuwuwuu &&&&&&& −=+++ 22 βγ (D-7a)

gssssssbs uuwuuwuu &&&&&&&& −=+++ 22 β (D-7b)

Los modos clásicos de la combinación del sistema están denotados por 1φ y 2φ ,

donde.


=============================================================


),( is

ib

iT φφφ = i=1,2

Con frecuencias 1w y 2w , la ecuación característica de las frecuencias es.

0)()1( 222224 =++−− sbbs wwwwwwγ (D-8)

Cuya solución es:

( ) 2/122222222

1 4)1(2

1

+−−+

−= sbsbsb wwwwwww γ

γ

( ) 2/122222222

2 4)1(2

1

+−++

−= sbsbsb wwwwwww γ

γ (D-9)

Cuyas ecuaciones en función de ε están dadas por.

)1(221 γε−= bww )1(

)1(

222 γε

γ+

−= sw

w (D-10)

Y la forma modal con )1( =ibφ , i=1,2, esta dado por

),1(1 εφ =T

−−−= εγ

γφ )1(1

1,12T

(D-11)

La expresión original del desplazamiento en coordenadas modales la

escribimos por:

22

11 bbb qqu φφ += 2

21

1 sss qqu φφ +=

Donde 1q , 2q son coeficientes modales dependientes del tiempo.

Las cantidades modales Mi, Li los denotamos por.

iii MM

T

φφ= MrLMTi

ii φ=

El primer termino esta dado por.

)21(1 γε+= MM γ

εγγ )1(21)1(2

−−−=

MM (D-12)

y

γε−= 11L γε=2L (D-13)

Cuando ),( sb uu en las ecuaciones D-1 y D-2 son expresados en términos

de 1φ y 2φ , tenemos dos ecuaciones en la forma modal con los coeficientes

),( 21 qq .

guLqwqqwq &&&&&& 1121211111 2 −=+++ λβ (D-14)

guLqwqwqq &&&&&& 2222222122 2 −=+++ βλ (D-15)


=============================================================


Los términos 112 βw y 222 βw se calculan de la siguiente forma.

=

02 bi

iii

T

wMη

φβ i

s

φη

0

De donde obtenemos:

)21(22 11 γεββ −= bbww

)22(1

12 22 bbss www βγβ

γβ +

−=

Lo que nos lleva a.

)23

1(1 γεββ −= b (D-16)

)2

1()1( 2/1

2/12

2

γεγ

εγβββ −−

+= s (D-17)

El par de coeficientes 1λ y 2λ están calculados de la

forma.

=

01

11bT

Mη

φλ 20φ

η

s

=

02

22bT

Mη

φλ 1110

Ms

λφη

=

De este modo.

=

0),1(11

bMη

ελ sbs

aa

εηηη

−=

−

10

[ ])1(11 γεγ

−−=a

Usando ),( 21 MM la ecuación D-12 toma la forma.

[ ][ ])21(

2)1(1)/1(21 γε

βεγγεβλ+

−−−=M

mwMw ssbb

[ ]γ

γεγβεβ−

−+−=1

)1(2122 ssbb wMw

[ ] γ

γβεεγβ−

−−+=1

)1(212 2/1sbbw (D-18)

Y


=============================================================


εγγγ

βεγγεβλ

)1(21/)1(

2)1(1)/1(22 −−−

−−−=

M

mwMw ssbb

[ ]γ

γεγβεβ−

−+−=1

)1(21)22( ssbb wMw

[ ] γ

γβεεγβ−

−−+=1

)1(212 2/1sbbw (D-19)

En más aplicaciones estructurales se asume que el amortiguamiento es

bastante pequeño tal que el efecto de las componentes diagonales ),( 21 λλ es

despreciable. Y que la solución puede obtenerse por la combinación modal de las

ecuaciones de movimiento, mostradas.

gxLqwqwq &&&&& 11211111 2 −=++ β

gxLqwqwq &&&&& 22222222 2 −=++ β

Si el tiempo historia de un movimiento, )(txg&& , es conocido, entonces las

componentes modales )(1 tq , )(2 tq pueden ser calculadas por la siguientes

ecuaciones.

τττ τβ dwsenetxw

Lq wt

g )()( 101

11

11−−= ∫ && (D-20a)

τττ τβ dwsenetxw

Lq wt

g )()( 202

22

22−−= ∫ && (D-20b)

Los máximos de 1q y 2q pueden estar dados por.

),( 111max1 βwSLq D= (D-21a)

),( 222max2 βwSLq D= (D-21b)

Donde ),( βwSD es el desplazamiento de respuesta para un movimiento

sísmico. )(tug&& , con frecuencia w y factor de amortiguamiento β .Para estimar varias

cantidades de respuesta espectral pico, es necesario utilizar el método SRSS

(CUADRATICO). Los valores máximos de desplazamiento y deformación estructural en

un sistema aislado están dados por.

2/12

max222

2

max112max

)()( qqus φφ += (D-22a)

2/12

max22

12

max111max

)()( qqub φφ += (D-22b)


=============================================================


Insertando los resultados obtenidos en las ecuaciones (D-12), (D-13), (D-22a) y

(D-22b) obtenemos.

2/12

111

2

111max),(),( ββ wSLwSLu DDb +=

2/12

11222

112 ),(),()1( βεγβγε wSwS DD +− (D-23)

Y

2/12

22

2

2222

1122

max),()1(1

1,()1( βεγ

γεγβγεε wSwSu DDs −−+−=

2/12

22

22

112 ),()1(21,()21( βεγβγεε wSwS DD −−+−= (D-24)

Generalmente el término 2

212 ),( βε wSD puede despreciarse con espectros de

sismo donde el desplazamiento a las frecuencias altas ).,.( 2wei es mucho más pequeño

que a las frecuencias bajas ).,.( 1wei , Esto nos da

),()1( 11maxβγε wSu Db −= (D-25)

Si despreciamos algunos términos mayores que 2ε , entonces la deformación

estructural o intensidad de drift de entrepiso, esta dado por.

2/12

22

2

11max),(,( ββε wSwSu DDs += (D-26)

Similarmente el coeficiente de cortante en la base sC dado por.

max

2

maxss

sss uw

m

ukC ==

Se vuelve.

2/1222

211

2 ),(),( ββε wSwSwC DDss +=

2/12

22422

114 ),(),( βεβ wSwwSw DsDb +=

2/12

2222

11 ),(),( βεβ wSwS AA += (D-27)

Si solo consideramos los primeros términos, obtenemos

),(max bbD

b

Vs wS

w

Su βεε == (D-28a)

),(max bbD

b

Vb wS

w

Su β== (D-28b)


=============================================================


Y el coeficiente de diseño por cortante en la base sC definido por.

ssss

s uwm

ukC 2==

Se vuelve

),(1

1),(12

12

1

21

222

bbAbbAVbs wSwSw

wSwC β

γεβε =

−+=

+= (D-29)

Indicando que para ε pequeño y para un espectro de diseño típico, el sistema

de aislamiento puede diseñarse, al menos en la fase inicial para un desplazamiento

relativo bajo de ),( bbD wS β y el edificio para un coeficiente de cortante bajo de

),( bbA wS β . La reducción en el cortante de base es comparada con una estructura de

base fija. Donde ),( ssAS wSC β= , esta dado por ),(/),( bbAbbA wSwS ββ , que para una

constante del espectro de velocidad es sb ww / , que es aproximadamente del orden de

2/1ε , Esta subestimación de la reducción del cortante en la base es por que en

general, bβ es mas grande que sβ .

D.2 EXTENSION DE LA TEORIA A LOS EDIFICIOS

D.2.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO PARA SISTEMAS DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD

El análisis simple desarrollado para un sistema de dos grados de libertad puede

extenderse para el caso de varios grados de libertad. Si nosotros representamos el

sistema estructural de un edificio por la matriz de masas M , el amortiguamiento por la

matriz η , y la rigidez por la matriz K , para una estructura convencional, el

desplazamiento relativo u de cada grado de libertad con respecto al suelo esta dado

por.

gMrükuuMü −=++ &η (D-30)

Donde r es un vector que acopla cada grado de libertad al movimiento del

suelo. Cuando este modelo estructural es superpuesto a un sistema de base aislada con

masa bm , amortiguamiento bη , y rigidez bk , la ecuación D-30 viene dada por.

)( bg vüMrkvvvM &&&&& +−=++η (D-31)


=============================================================


Donde v es el desplazamiento relativo a la plataforma y bv es el desplazamiento

relativo de la plataforma a la base del suelo. La ecuación general de movimiento para

el edificio en conjunto y la plataforma de la base es.

0)()( =++++++ bbbbgbbgbT vkvüvmrüvrvMr &&&&&&& η (D-32)

Que puede escribirse de la forma.

gbbbbbbbT ummvkvvrmmvMr &&&&&&& )()( +−=++++ η (D-33)

En la ecuación (D-33) identificamos a Mrr T como la masa total m del edificio;

Por consiguiente, bmm+ es la masa sobre el sistema de aislamiento, la forma matricial

de estas ecuaciones es.

gurMvKvvM &&&&&******** −=++η (D-34)

+=

Mr

mmM b*

M

Mr T

=

0* bη

η

C

0

=

0* bk

K

K

0

=

0

1*r

=

v

vv b*

D.2.2 ANALISIS MODAL DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE

LIBERTAD

Los modos naturales de una estructura de base fija se asumen conocidos y se

denotan por iφ , donde .,.....1 ni = y se refiere a las formas del modo de vibración, el

desplazamiento de cada grado de libertad de la estructura esta representado por.


=============================================================


in

iiqv φ∑

=

=1

(D-35)

Las frecuencias naturales 2iw están dadas por.

ii

i KwM φφ =2

Y asumiendo que 0=jiηφφ si ji ≠ .

Las ecuaciones matriciales de movimiento se reduce a 1+n ecuaciones.

gbbbbbbbii

n

i

T vmmvkvvmmqMr &&&&&&& )()(1

+−=++++∑=

ηφ (D-36a)

y

)(2 2gbiiiiiii uvLqwqwq &&&&&& +−=++ β ni .,,.........1= (D-36b)

Donde iL define los factores de participación de los modos de base fija. Que son.

ii

i

iM

MrL T

T

φφφ=

La masa generalizada o masa modal de base fija viene dada por.

iii MM

T

φφ=

Podemos escribir estas ecuaciones de la forma.

gbbbbbbi

n

i b

ii uvwvwvqmm

ML&&&&&&& −=+++

+∑=

2

1

2 β (D-37a)

y

giiiiiiibi uLqwqwqvL &&&&&&& =+++ 22 β (D-37b)

El análisis modal completo de 1+n ecuaciones esta desarrollado en Kelly (65),

donde el cálculo de las frecuencias y formas modales se describe. En la mayoría de los

casos el primer modo es muy superior tal que los otros modos no juegan un papel


=============================================================


importante en el diseño de los sistemas aislados, por consiguiente solo necesitamos

incluir el primer modo de vibración.

Comparando las ecuaciones de movimiento (Ecs. D-37 a y D-37 b), con las

ecuaciones anteriores de una estructura de un grado de libertad (Ecs. D-7 a y D-7

b).las ecuaciones pueden corresponder si nosotros remplazamos bv en el análisis

elemental con ,1 bvL gü con güL1 , y.

M

m

mm

m

b

=+

=γ

con

bmm

ML

+= 1

21

1γ

Nos da.

gbbbbbbb

uLvLwvLwvLqmm

ML&&&&&&& 11

2111

121 )()(2)( −=++++

β

gb uLqwqvL &&&&&&&& 111111 2)( −=++ β

En la solución de esta ecuación, el resultado de 1q sigue al de sv en un sistema

simple de un grado de libertad.

Los resultados de un sistema básico de un grado de libertad lo podemos escribir

de la forma que.

),(1

2max bAb

b wbSw

v β= (D-38)

Y

[ ] 21

**222** ),()1(),( ssAbbAs wSwSC βγεβ −+= (D-39)

Si reemplazamos de la forma que sigue. El mayor desplazamiento relativo en la base

esta dado por.


=============================================================


),(1

12max1 bAb

b wbSLw

vL β= (D-40)

Y por que 1L aparece en ambos lados, el resultado es el mismo que antes.

Para obtener el cortante en la base nosotros tenemos.

21

*

**221

2

*

**221

2

max1 44

),(),(

+=

s

ssA

b

bbA

w

wSL

w

wSLq

βεβε (D-41)

Con *sw , *

sβ calculados antes y ε remplazando por 21

21 / wwb=ε , El vector de

desplazamientos relativos v esta dado por.

11φq=v (D-42)

Y si nosotros despreciamos la contribución del amortiguamiento, la fuerza de

inercia en cada elemento es.

21

11

11 wMqKqKvF φφ === (D-43)

La fuerza total horizontal en la superestructura es

11211 MLwq=Fr T (D-44)

Y esta expresada en términos del coeficiente de cortante de base sC tenemos.

Fr T=mCs (D-45)

21

*

**221

22

122

111

4

),()1(),(

−+=

s

ssAbbAs

w

wSLwSL

m

MLC

βεγβ

[ ] 21

**2221

2121 ),()1(),( ssAbbA wSwSm

ML βεγβ −+= (D-46)

Con 21

21 / wwb=ε , establecido previamente.


=============================================================


D.3 ANALISIS DINÁMICO DE ECUACIONES ACOPLADAS

En la mayoría de aplicaciones estructurales se asume que el

amortiguamiento es bastante pequeño tal que el efecto de las

componentes diagonales es despreciable y requiere una solución que

puede obtenerse del acoplamiento modal de las ecuaciones de

movimiento. El análisis previo despreciando las componentes de la

diagonal, se realiza llevando todos lo resultados simples como

desplazamiento de base, Cortante de base, e intensidad de

desplazamiento drift.

bbww ββ 22 11 = ssww βγ

β 21

12 22 −

=

bbw βλ 21 = γ

γβλ−

=1

22 bbw

Para que las componentes fuera de la diagonal, sean del mismo orden

que los términos de la diagonal. Y recordando que )1(01 ≈L y )(02 ε≈L ,

asumimos que la influencia de 11q&λ sobre los resultados de 1q es

despreciable pero la influencia de 12q&λ sobre 2q pueden ser significantes.

Así, asumimos que las ecuaciones (D-14 y D-15) son modificadas, pero

que )(1 tq esta dado por la solución.

gb uLqwqwq &&&&& 1121111 2 −=++ β

Y )(2 tq por.

1222222222 2 quLqwqwq g &&&&&& λβ −−=++

Para simplificar la solución, Es útil usar la transformación de Laplace en

estas ecuaciones.

[ ] ∫∞

− ==0

)()()( sfdttfetfLT st

En términos de la transformación de Laplace tenemos.


=============================================================


2111

21

1 2

)()(

wsws

saLsq

++−=

β

)2)(2(

)(

2

)()(

2111

22222

212

2111

22

2 wswswsws

sasL

wsws

saLsq

+++++

++−=

ββλ

β

)()()()( 21212 sasALsasAL λ+−=

Donde [ ]gs üLTsa =)( . El termino )(2 sA puede reducirse en fracciones

parciales a.

22

22111

22 22)(

wsws

dsc

wsws

bsasA

ss ++++

+++=

ββ

Donde después de desarrollos obtenemos.

D

wwwa

)22( 112221 ββ −=

D

wwb

21

22 −=

D

wwwc

)22( 112222 ββ −=

D

wwd

21

22 −−= (D-47)

Y

)22)(22()( 112222

211122

221

22 ββββ wwwwwwwwD −−+−= (D-48)

La inserción de los dos términos de )(2 sA viene de.

)cos()( 22

1 tes

sLT t γ

γαα α=

+−−−

y

)(1

)(

122

1 tsenes

LT t γγγα

α=

+−−


=============================================================


Pero que la inserción de )2/()( 2111

2 wswsbsa +++ β es.

1

1111

)()()cos(

11

11

w

twsenewbatwbe

twtw

ββ β

−− −+

Y que de )2/()( 2222

2 wswsdsc +++ β es

2

2222

)()()cos(

22

22

w

twsenewbctwde

twtw

ββ β

−− −+

Donde.

212

111 )1( β−= ww 212

222 )1( β−= ww

El resultado final de )(1 tq y )(2 tq es obtenido por el desarrollo y

substitución de a, b, c y d en la ecuación D-47.

τττ τβ dwsenetuw

Ltq

tw

g )()()( 1

01

11

11∫ −−−= &&

ττττβ dutwsenew

Ltq g

ttw )())(()( 2

0

)(

2

22

22&&−−= ∫ −− (D-49)

−−+ ∫ −−t

gtw dutwe

D

wwL

0 1)(

21

22

12 )())(cos(11 τττλ τβ&&

τττββ τβ dxtwsenewD

wwwww t

gtw )())((

1)()2(0 1

)(

1

1122

2122

21 11∫ −+−+ −−

&&

ττττβ dutweD

ww t

gtw )())(cos(

)(0 2

)(22

21 22∫ −−− −−

&&

−−++ ∫ −− τττββ τβ dutwsenewD

wwwww t

gtw )())((

12)(0 2

)(

2

112222

22

21 22

&& (D-50)

El desarrollo de estas integrales puede calcularse para cualquier elección de )(tüg , pero

para propósitos de esta demostración, es necesario solamente tener un orden de la

magnitud de los resultados.


=============================================================


En términos de 21,ww pueden expresarse las frecuencias nominales sb ww , para

usar la ecuación (D-9), de la que nosotros tenemos.

[ ] 21

2222221

22 4)(

1

1sbbs wwwwww γ

γ−−

−=−

γ−+=+

1

2221

22

bs wwww

γ−=

1

2222

21

bswwww

El denominador D de cada termino en la ecuación (D-50) puede ser escrita como.

2122

2121

22

21

22

21

221

22 )(4)(4)( ββββ wwwwwwwwD +++−−=

Que se reduce a.

[ 22

21

22222222

)1(44)()1(

1 ββγγγ bsbsbs wwwwwwD −−+−

−=

]21222/1 )()1(4 ββγ bsbs wwww +−+

Una reducción extensa de cada término es posible si nosotros asumimos los siguientes

órdenes de magnitud:

)1(0=γ 12

2

<<= εs

b

w

w

El primer termino de orden en ε , seria

[ ]εγγ

)21(21)1( 2

4

−−−

= swD

Y los multiplicadores de cada integral se vuelven.

[ ]D

w

D

ww s 1)21(1

1

221

22 εγ

γ−−

−=−


=============================================================


[ ]εγγ)21(1

12

−+−−=sw

121

1122

2122

21 1)()2( βγββ

swDw

wwwww −−=−−

222

112222

22

21 12)( βγββ

swDw

wwwww −=−+

Dando las cuatro condiciones en los paréntesis en la ecuación (D-50).

[ ]

−−+−∫ −−t

gtw

s

dütwew 0 1

)(2 )())(cos()21(1

111 τττεγγ τβ

−− ∫ −−t

gtw dütwe

0 2)( )())(cos(22 ττττβ

τττβ τβ dütwsenet

gtw )())((

0 1)(

111∫ −− −−

∫ −+ −−t

gtw dütwsene

0 2)(

2 )())((22 τττβ τβ

Los resultados para 1q y 2q al primer orden en ε es.

τττ τβ dtüwsenetw

Ltq g

tw )()()()( 1

01

11

11∫ −−−= (D-52)

ττττβ dütwsenew

Ltq g

ttw )())(()( 2

0

)(

2

22

22 −−= ∫ −−

[ ]

−−+−+ ∫ −−t

gtw

s

dütwew

L0 1

)(212 )())(cos()21(1

111 τττεγγλ τβ

−− ∫ −−t

gtw dütwe

0 2)( )())(cos(22 ττττβ

τττβ τβ dütwsenet

gtw )())((

0 1)(

111∫ −− −−

∫ −− −−t

gtw dütwsene

0 2)(

2 )())((22 τττβ τβ (D53)

Es conveniente denotar el desarrollo de las integrales ecuaciones (D-52) y (D-53) por

,,, 321 III y ,4I donde:

ττττβ dütwseneIt

gtw )())((

0 1)(

111∫ −= −−

∫ −= −−t

gtw dütwseneI

0 2)(

2 )())((22 ττττβ


=============================================================


∫ −= −−t

gtw dütweI

0 1)(

3 )())(cos(11 ττττβ

∫ −= −−t

gtw dütweI

0 2)(

4 )())(cos(22 ττττβ

En este análisis las cantidades de interés son la intensidad de desplazamiento (drift) y

la aceleración del suelo, que están representados por sv y .sü las cuales están

relacionados por.

m

vkü ss

smax

max=

Para que la evaluación de sv también proporcione la aceleración del suelo. La intensidad

de desplazamiento (drift) sv viene dado por.

22

11 sss qqv φφ +=

Llevando a.

[ ] 22

21

1

1 )1(11

Iw

LI

w

Lvs εγ

γε −−+−=

[ ] 221143212 )()21(11

)1(11

IIIIw

Ls

ββγεγλεγγ

+−−−+−−−− (D-54)


=============================================================


Es útil aquí separar las tres contribuciones desplazamiento de entrepiso como sigue:

(i) Es producido por el esfuerzo generado en la base por el sistema de aislamiento.

11

1)1( Iw

Lvs ε−= (D-55)

(ii) Que da las ecuaciones desacopladas.

[ ] 22

2)2( )1(11

Iw

Lvs εγ

γ−−= (D-56)

Y

(iii) Que el acoplamiento de términos, que es generalmente despreciable en la

mayoría de los análisis

[ ] [ ] 221143222)3( )()21(1

1)1(1

1IIII

wLv

ss ββγεγλεγ

γ+−−−+−−−−= (D-57)

El desarrollo de las integrales ,,, 321 III y 4I puede ser estimado con el propósito

de demostración con el método de análisis del espectro de respuesta.

Reconociendo que.

),(1

11max11

βwSIw D= ),(

122max2

2

βwSIw D=

Donde DS es la respuesta de espectro de desplazamiento.

La expresión.

max0

)()())(cos(∫ −−−t

g

twdütwe ττττβ

Es la velocidad relativa de respuesta espectral ),( βwSRV para un solo grado de

libertad de vibración con frecuencia w y el factor de amortiguamiento β . Esta

aproximación para la pseudo-velocidad del espectro de respuesta ),( βwSV está dado

por ).,( βwwSD El valor pico del desarrollo de las cuatro integrales en paréntesis en la


=============================================================


ecuación (D-53) ocurrirá en momentos diferentes y debe sumarse por el método de

SRRS. Primero estimando el máximo de las tres contribuciones a sv .

Tenemos.

),( 111max

)1( βε wSLv Ds =

[ ] ),()1(11

222max

)2( βεγγ

wSLv Ds −−=

[ ] [ ] [ ] ),(),()21(11

)1(11

2222

21122

12

222max

)3( ββγεγλεγγ

wSwwSww

Lv DDs

s +−+−−−=

21

2222

22211

221

21 ),(),( ββββ wSwwSw DD ++ (D-58)

Todos los códigos de diseño de estructuras aisladas están basados en constantes de la

velocidad espectral. Pero que varios de los términos anteriores pueden relacionarse a

través de.

)(),( ββ HSwS VV =

Donde VS es constante y )(βH es una función modificada del amortiguamiento que

convenientemente disminuye al incremento de β y es igual a la unidad para 05.0=β .

Se han usado muchas funciones continuas o tablas en los códigos. Una forma particular

y simple es el de Kawashima-Aizawa cuya función es.

5.04015.1

)( ++

=β

βH (D-59)

Donde si 2)0( =H , 1)05.0( =H , y 5.0→H cuando ∞→β , usando una constante de

velocidad espectral y los resultados de las cantidades modales ...,,, 2121 wwLL después

de varios desarrollos, obtenemos los resultados.

)( 1max

)1( βε Hw

Sv

b

Vs =

)()1( 22/13/2

max

)2( βγε Hw

Sv

b

Vs −=

[ ] )()21(212 122

1max

)3( ββεγεβ Hv bs +−+=


=============================================================


[ ] b

V

w

SH 2

1

222

2 )()21(21 ββεγ +−++ (D-60)

Claramente, para valores pequeños de bβ , para 10.0≈β , el primer termino max

)1(sv ,

es el dominante. Para todos los valores el segundo término max

)2(sv es siempre más

pequeño que el primer termino y es despreciable. El significado del tercer termino

max

)3(sv depende del valor de bβ . Para valores usuales de sβ el valor de 2

2β es pequeño

comparado con la unidad, la relación entre ellos se vuelve.

)(

)()()1(2

1

21

22

122

1)2(

)3(

βββββ

H

HHR

v

vb

s

s ++== (D-61)

Ahora si bββ ≈1 y.

)()1(

1 2/12/12 bs βγεβ

γβ +

−≈

Supongamos que adoptamos la fórmula de Kawashima-Aizawa para )(βH y tomamos

25/1=ε , 2/1=γ y 02.0=sβ la relación de los dos términos es de 0.33 cuando

10.0=bβ e incrementa a 80.1 cuando 5.0=bβ .Para poner esto en números

apropiados por ejemplo, suponemos que el código manda un desplazamiento de 76.00

cm , un amortiguamiento del 5% y un periodo de 2.5 segundos , la reducción es muy

aceptable, supongamos que los amortiguadores viscosos lineales se colocan para

proporcionar un amortiguamiento alrededor del 50% al punto que el factor de

reducción es 0.57. El desplazamiento es nuevamente aceptable, y la notación en los

códigos para el cortante en la base viene dada por KDFs = , qué antes era.

Wg

WD

M

KFs 50.0==

Reduciendo ahora a W285.0 , qué nuevamente es bastante razonable; sin embargo, la

fuerza amortiguadora es.

DMwFv&β2=

Qué está fuera de fase con sF si 50.0=β y wDD =& , exactamente igual que sF , el

máximo cortante en la base es.

WFs 40.02 =


=============================================================


La máxima aceleración correspondiente al suelo es.

max

2

max sss vwü =

Es.

)()( 12)1(

maxββε HSwwH

w

Sü Vbs

b

Vs ==

y

)()( 12)3(

maxββε HSwwH

w

Sü Vbs

b

Vs ==

[ ] b

V

w

SH 2

1

222

2 )()21(21 ββεγ +−++

[ ] 122

1 )()21(212 ββεγβ Hw bb +−+=

Para el mismo ejemplo las dos componentes )1(

maxsü , )3(

maxsü y su suma

como una función de bβ se muestran en la fig. D.2. Vemos ese )1(

maxsü se

hace igual a )3(

maxsü cuando bβ esta al rededor de 0.26, pero su suma tiene

un valor mínimo a aproximadamente de 0.12.

Este resultado implica que el incremento de amortiguamiento

(lleva a valores grandes de bβ ), mientras controlamos el desplazamiento

del aislador reduciendo bv . Tiene el efecto opuesto de incrementar la

intensidad de desplazamiento y las aceleraciones del suelo. Para una

constante de velocidad generamos el espectro de aceleraciones por el

acoplamiento de términos dominantes. Esto no es ampliamente

apreciable en las estructuras aisladas de modos altos. Que tienen las


=============================================================


aceleraciones del suelo y las intensidades de desplazamiento (drift) casi

ortogonales a la base de corte. Para que un corte bajo en la base no sea

garantía de un sistema de aislamiento eficaz. Respecto al esfuerzo por

mejorar la respuesta del sistema añadiendo un amortiguamiento excesivo

es un esfuerzo inevitablemente contraproducente

E-CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS Y MODELAMIENTO DE AISLADORES

E.1 INTRODUCCIÓN:

El proceso de diseño para un sistema de aislamiento generalmente empieza con

un diseño preliminar que usa los parámetros de un proyecto anterior o los datos de un

fabricante para estimar el posible desplazamiento máximo del sistema y valores

máximos de varias cantidades (como el esfuerzo cortante) y también para estimar el

cortante basal de la estructura, estabilidad de los aisladores, y posibilidad de

levantamiento. Después de que el proceso de éste diseño preliminar se completa, se

tomará como diseño final del aislador y se sujetarán al código asignado del programa

de prueba de prototipo. Dependiendo de los resultados de las pruebas del prototipo, el

diseño preliminar puede o no necesitar ser modificado. Para minimizar el número de

iteraciones en el diseño, depende de tener los datos exactos y que tan buenos sean los

procedimientos de cálculo en la fase del diseño preliminar.

E.2 CARACTERÍSTICAS MACÁNICAS DE LOS APOYOS ELASTOMÉRICOS:

La propiedad mecánica más importante de los apoyos elastoméricos es su

rigidez horizontal y está dada por:

rH t

GAK =

Donde:

G : Modulo de corte del elastómero.

A : Área llena de la sección del elastómero.

tr : Espesor total del caucho.

El desplazamiento horizontal máximo D se relaciona a la deformación por corte

máximo γ como:


=============================================================


rt

D=γ

La rigidez vertical Kv y la rigidez de torsión expresadas como EI por analogía con

la teoría de vigas también son dadas por una teoría elástica lineal simple que se

necesitan para diseñar un apoyo.

La frecuencia vertical de una estructura aislada, a menudo es un criterio

importante de diseño y es controlada por la rigidez vertical de los apoyos que

comprende el sistema. Para encontrar esta frecuencia vertical, es necesario para el

diseñador calcular sólo la rigidez vertical de los apoyos bajo una carga muerta

especificada, y para esto un análisis lineal es adecuado. La respuesta inicial de un

apoyo bajo una carga vertical es no lineal y depende de varios factores. Normalmente,

los apoyos tienen un desplazamiento sustancial antes que la rigidez vertical se

desarrolle por completo. Estos desplazamientos son fuertemente influenciados por la

alineación del refuerzo del apoyo y otros aspectos de calidad en el proceso de

fabricación, éstos detalles no pueden predecirse en el análisis pero generalmente puede

ser de poca importancia para el cálculo de la respuesta vertical de un apoyo.

Otra propiedad importante que debe analizarse para el diseño es el

comportamiento de pandeo del aislador. Para hacer este análisis es necesaria, la

respuesta del apoyo al momento generado por la compresión. La rigidez torcional,

puede determinarse por una extensión del mismo análisis que se hace para determinar

la rigidez vertical.

La rigidez vertical del elastómero está dada por la formula:

r

cv t

AEK =

donde A es la sección transversal del apoyo (en este caso es normal que se tome como

el área del plato), tr es el espesor total del elastómero del apoyo, y Ec es el módulo

compuesto de elasticidad instantáneo de caucho-acero bajo el nivel especificado de

carga vertical. El valor de Ec para una sola capa de caucho es controlado por el factor

de la forma S, definió por:

S=Área cargada/Área libre de carga

qué es una medida adimensional respecto a una sola capa del elastómero. Por ejemplo,

en una tira infinita de ancho 2b y con espesor de capa t,


=============================================================


t

bS = (E-1)

para un apoyo circular de diámetro Φ o de radio R y espesor t,

t

R

tS

24=Φ= (E-2)

Y para una capa cuadrada de lado a y espesor t,

t

aS

4= (E-3)

Para una sola capa en forma de círculo completo el módulo de elasticidad Ec

está dado por:

26GSEc=

y para una forma cuadrada el resultado es:

273.6 GSEc=

En algunos casos los apoyos se diseña con agujeros centrales llenos. El

resultado para un apoyo de radio interior a y radio exterior b es:

26 GSEc λ=

donde:

2

2222

)(

)(ln)(

ab

ababab

−

−−+=λ

Si 0→ba , entonces 1→λ ; y, Ec=6GS2 que es el resultado para una apoyo

circular lleno. Si 1→ba , podemos escribir ε−=1ba y permitiendo 0→ε , nosotros

encontramos que 3/2→λ y 24GSEc → que es el resultado para una tira infinita. Es

interesante evaluar rápidamente el resultado para los λ aproximados a 2/3. Para


=============================================================


ilustrar esto, la solución para λ se grafica versus la relación a/b en el intervalo

1/0 ≤≤ ba en la figura E.1 claramente se nota que para el caso cuando a/b>0.1, el

valor de λ es casi dos tercios, mientras que la presencia incluso de un agujero

pequeño conlleva a un gran efecto en Ec; por consiguiente, en la mayoría de los casos

para los apoyos con agujeros centrales, el valor de (Ec) debe tomarse como 4GS2 en

lugar de 6GS2.

Figura E.1 Reducción del módulo de elasticidad Ec para un apoyo anular.

Bajo compresión directa el confinamiento proporcionado por el vínculo de acero

produce una deformación al cortante en el caucho que se denota por cγ . La

deformación de compresión nominal cε se da por:

rc t

∆=ε

donde ∆ es el desplazamiento vertical, entonces:

cc Sεγ 6=

Ésta es la deformación máxima por corte desarrollada en los bordes del apoyo y a

menudo es usado en el diseño.

La deformación de corte máxima debida a la compresión no es la única cantidad de

interés para el diseñador. También es útil estimar la deformación medida de la manera

siguiente: Debido a que el caucho es un poco sensible al esfuerzo, G se modifica a


=============================================================


menudo según el nivel de esfuerzo, particularmente en los cauchos muy llenos. En

compresión el esfuerzo de corte varía ampliamente sobre del volumen del apoyo; por

consiguiente, el valor apropiado del módulo se estima por la media de deformación

basada en un cálculo de la energía elástica almacenada en el apoyo.

De este cálculo la media de deformación al corte aveγ se da por:

cave Sεγ 6=

Aunque se necesita un cierto grado de ensayo y error, los cálculos de este tipo le

permiten al diseñador estimar el valor apropiado de G que puede usarse para calcular

la rigidez vertical. Primero nosotros debemos asumir un valor de G para calcular εc y de

eso calcular aveγ ; podemos modificar entonces G e iterar cuanto sea necesario. Debido

a que el módulo no es muy sensible al esfuerzo anterior, aproximadamente 20%, se

necesitan pocas iteraciones.

El esfuerzo de torción de un apoyo se calcula usando una aproximación similar

con el mismo tipo de desplazamientos asumidos. El apoyo se supone cargado por un

momento puro M, y se asume que la deformación es una rotación de la cabeza y base

unidas por platos, como se muestra en la figura E.2. El ángulo relativo entre la cabeza

y los platos de la base se denotan por α , y el radio de curvatura ρ generado por la

deformación se relaciona con α por:

r

αρ

=1

Por analogía con la teoría de vigas, donde:

ρEI

M =


=============================================================


Figura E.2 Apoyo de caucho entre las placas rígidas de confinamiento en puro momento

de torción.

tEIM eff

α)(=

Para un apoyo circular de

radio R, el resultado es

y para una viga de sección circular

4

4RI

π=

Pero en este caso, tomando E en EI como Ec=6GS, tenemos el resultado

124Rπ para I que es un tercio del momento de inercia de la viga. La diferencia es

causada por el hecho que la distribución de presión varía como una parábola cúbica por

el apoyo, considerando que en una viga, la distribución de esfuerzo de torción es lineal.

En el caso de un apoyo circular, el EI efectivo es muy cercano de un tercio del EI de la

viga, siendo

)3291.0()( Ceff EEI =

Para un bloque circular con un agujero en el centro, tenemos

22

22 )(

2)(ab

abIGSEI eff −

+=

La deformación al corte inducida por la torción está dada por

bb Sεγ 6=

1223 6

3

R

t

GM

πα=


=============================================================


Donde )/( tRb αε = es el borde sometido a una fuerza de compresión producida por la

torción. El promedio de la deformación por corte (respecto a la energía de deformación

por corte) está dada por:

αγ 22Saveb =

t

RSave

b

αγ4

2 2=

baveb Sεγ 2=

Cuando el factor de forma del apoyo es grande, el efecto en compresión del apoyo de

caucho es importante. La compresión puede ser aproximada en las formulas previas

por medio de la modificación ad hoc. (73)

KEE cc

111`

+=

donde cE`1 es el módulo en compresión asumiendo un comportamiento de

incompresibilidad y K es el módulo volumétrico del material. Fórmulas más exactas han

sido desarrolladas para este efecto pero el módulo volumétrico es una cantidad difícil

de medir, pero usando la fórmula simple ad hoc es bastante buena para los propósitos

de diseño. El valor de K varía ampliamente en referencia al material, para un rango de

1000 MPa a 2500 Mpa. El valor comúnmente usado, que se muestra en las pruebas de

laboratorio sobre apoyos, es de 2000 Mpa.

Reescribiendo para Ec la ecuación ad hoc:

KE

KEE

c

cc +

=`

`

y para un apoyo circular, tenemos 26` GSE c = , así

KGS

KGSEc +

=2

2

66

+

=KGS

GSEc /61

16 2

2


=============================================================


Cuando S es pequeño, tenemos

−=

K

GSGSEc

22 6

16

Pero para decir que, S tiene un 10% de exactitud, es semejante a:

G

KS

606 2 <

con K = 2000 Mpa y G = 0.7 Mpa, S<7.

Cuando S es grande y KGS26 es mucho más grande que la unidad,

−= 261

GS

KKEc

Vemos que K es superior a un límite de Ec y aproximadamente determinamos Ec con

una certeza menor a un 10%

101

6 2<

GS

K

O

706.0

2/1

≈

>G

KS

Los factores de forma de ésta magnitud son inciertos, pero las fórmulas vistas para una

tolerancia en compresión es necesaria para los factores de forma aproximadamente

sobre 10.

E.3 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS APOYOS CON NÚCLEOS DE PLOMO:

Los apoyos con núcleo de plomo son siempre modelados como elementos bilineales,

con características basadas en 3 parámetros: K1, K2 y Q (vistas más adelante en la

figura E.4). La rigidez K1 elástica es difícil de medir, usualmente se toma un múltiplo


=============================================================


empírico de K2, la rigidez posterior a la rotura, que puede ser estimada con precisión

para el módulo de corte del caucho y en el diseño de un apoyo. La característica de la

fuerza Q es la intersección de un lazo de histéresis y la fuerza axial es estimada con

precisión para el esfuerzo a la fluencia del plomo (10.3 Mpa en el área de un núcleo de

plomo).

La rigidez efectiva de un apoyo con núcleo de plomo, definida en base a un pico

de cargas pico, firmemente reducidas con desplazamientos; en términos de los

parámetros básicos K1, K2 y Q, esta dada por

D

QKKeff += 2 yDD ≥ (E-4)

donde Dy es el desplazamiento a la fluencia. La frecuencia natural ω está dada por

W

gKeff=ω

D

gµωω += 20

donde WQ=µ , WgK20 =ω , y el periodo efectivo T está dado por

ωπ2=T

D

gT

µω

π

+=

20

2

El amortiguamiento efectivo effβ para yDD ≥ está definido por

2effK2

histéresis de curva la de áreaDeff π

β = (E-5)

El área de la curva de histéresis está dado por )(4 yDDQ − ; para colocar effβ en

términos de estos parámetros básicos, notamos que


=============================================================


1K

FD y

y = yy DKQF 2+=

Pero que

21 KK

QDy −

= (E-6)

Usando la definición de effβ y el resultado de la ecuación (E-4) para effK tenemos

DQDK

DDQ yeff )(2

)(4

2 +−

=π

β

Como regla general manejamos que la rigidez elástica K1 es tomada como 10K2, para

que )9( 2KQDy = obtenemos.

DQDK

KQDQeff )(2

)9(4

2

2

+−=

πβ

E.4 CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS SISTEMAS DE PENDULO DE FRICCIÓN

(FPS):

Si la carga en un aislador de péndulo de fricción es W, el desplazamiento horizontal es

D, y el coeficiente de fricción es µ, entonces la fuerza de resistencia F se da por

)(sgnDWDR

WF µ+=

Donde R es el radio de curvatura del plato. El primer término es la fuerza restauradora

debido al levantamiento de la masa, proporcionando una rigidez horizontal

R

WKH =

qué produce un período T a la estructura aislada dado por


=============================================================


gRT π2=

Que es independiente de la masa movida. El segundo término es la fuerza de fricción

entre la superficie cóncava y el deslizador. El coeficiente de fricción µ depende de la

presión p y de la velocidad de deslizamiento D. El coeficiente decrece con el incremento

de la presión y se torna independiente de la rapidez para velocidades por encima de 51

mm/s con presiones mayores que aproximadamente 14 Mpa. Un típico laso de

histéresis para sistemas de péndulo de fricción en el simulador de sismos es mostrado

en la figura (E.3). La naturaleza muy lineal de la fuerza restauradora, la alta rigidez

antes que ocurra el deslizamiento, y la disipación de la energía a la fricción deslizante

están claras en la figura. La rigidez equivalente (pico a pico) está dada por

D

W

R

WKeff

µ+=

Figura E.3 Laso de histéresis de prueba en el simulador para FPS.

El amortiguamiento producido por la fricción en las superficies deslizantes puede

estimarse por la fórmula del código

2effK4

histéresis de curva la de áreaDeff π

β =

El área del lazo de histéresis es WDµ4 ; así

( )[ ] µµ

πµπµβ

+=

+=

RDdWDRW

Wd 22

4


=============================================================


Con rangos desde π2 para un pequeño D a )//(2 DRπµ cuando D aumenta. Por

ejemplo, si D = 254mm y R = 1m con µ = 0.06, tenemos %12=β .

Para entender la geometría del sistema de péndulo de fricción, es conveniente

invertir la ecuación anterior que relaciona T con R. Para períodos T estables tenemos

( )2

2

2

102

TgT

R ≈=π

Para esto requerimos un radio de alrededor 1m para 2 segundos de período. Si el

desplazamiento horizontal D de el sistema es 254mm, entonces el desplazamiento

ascendente Vδ está dado por

−=R

DarcsenRv cos1δ

será alrededor de 32mm. De este modo el desplazamiento horizontal de mm254± con

un período de alrededor de 2 segundos también genera un movimiento vertical con un

rango 32mm a un período de 1 segundo. La formula aproximada para el

desplazamiento vertical es

R

Dv

2

21=δ

lo que indica que el desplazamiento vertical es aproximadamente cuadrático respecto al

desplazamiento horizontal.

Otro aspecto del sistema de péndulo de fricción es que si el desplazamiento es

menor que un cierto factor del radio, la fuerza restauradora puede ser menor que la

fuerza de fricción y el sistema no será equilibrado. Este factor es obtenido de igualar

los dos términos en la ecuación de la fuerza. Así el sistema no quedará equilibrado si

µ≤RD . Éste puede ser un problema en los sistemas de períodos largos; por ejemplo,

si T = 5 segundos, R = 6.35m, con µ = 0.06, el sistema no quedará en equilibrio si

mmD 381≤ .

El sistema extremadamente sencillo del péndulo friccionante lo hace muy

atractivo; no obstante, su misma simplicidad es la desventaja principal del sistema. Es

esencialmente un sistema de un parámetro, y ese parámetro se controla por el radio de


=============================================================


la superficie cóncava. Para que las varias superficies articuladas se deslicen juntas,

todas las superficies tienen que ser esféricas. De este modo, la respuesta es lineal en

todo el rango de desplazamientos.

E.5-MODELAMIENTO DE APOYOS AISLADOS POR DISEÑO BILINEAL:

En la practica todos los apoyos aislados son diseñados por un modelo bilineal basado

sobre los tres parámetros K1, K2 y Q, como se muestra en la figura (E.4). La rigidez

elástica K1 es estimado o por los lazos de histéresis de la prueba del apoyo

elastomérico o como un múltiplo de K2 por apoyos con núcleo de plomo y apoyos de

péndulo friccionante. La fuerza característica Q es calculada de los lazos de histéresis

de el apoyo elastomérico. Para apoyos con núcleo de plomo Q está dado por el esfuerzo

producido en el plomo y el área del plomo, mientras que en el apoyo de péndulo

friccionante está dada por el coeficiente de fricción de la superficie deslizante y la carga

movida por el apoyo. La rigidez post falla puede estimarse con precisión o puede

predecirse para los tres tipos de apoyos.

La rigidez efectiva, se define como la secante inclinada de los valores picos de

un laso del histéresis, está dada por

D

QKKeff += 2 yDD ≥

Figura E.4 Parámetros básicos de un laso histerético

Donde Dy es el desplazamiento producido. En término de parámetros primarios,


=============================================================


21 KK

QDy −

=

Y el área del lazo de histéresis (energía disipada por ciclo), WD, está dada por

)(4 yD DDQW −=

El amortiguamiento efectivo effβ es definido por

22

)(4

DK

DDQ

eff

yeff π

β−

=

Esto puede ser expresado en cantidades adimensionales definiendo un desplazamiento

adimensional

yD

Dy =

Y una fuerza característica adimensional

yDK

Qa

2

=

Con lo que el amortiguamiento efectivo se convierte en

yay

yaeff )(

12

+−=

πβ 1≥y (E-7)

Para ajustar 0, =βa con 1=y y tendiendo a cero como ∞→y el máximo valor de β

está dado por 0/ =dydβ ocurre a causa de

2/1)1(1 ay ++=

Con


=============================================================


)2()1(2

122/1 aa

amáx +++

=π

β (E-8)

Ahora yDKQa 2= de este modo por la ecuación (E-6) tenemos

2

21

K

KKa

−= (E-9)

Esto lleva al curioso resultado que el máximo valor del amortiguamiento efectivo

depende sólo de la relación K1 a K2. La segunda pendiente, K2, es fácil de determinar

para cualquier tipo de sistema aislado, pero la primera pendiente, K1, normalmente

pasa por el origen y puede variar sobre un rango amplio. Puesto que la fuerza

característica Q también puede ser determinada con precisión, el valor de K1 no tiene

influencia en la rigidez efectiva pero obviamente tiene una fuerte influencia sobre el

amortiguamiento y, en particular, sobre el máximo valor, qué puede ser un valor

promocional importante por el sistema propio.

Para ilustrar el efecto de la selección de K1 en el amortiguamiento, consideramos

un sistema con los mismos valores de Q y K2 (así el mismo período efectivo para todos

los valores de D y el mismo lazo de histéresis) pero modelado para diferentes valores

de K1. (figura E.4).

Asumimos Q = 44.5kN y K2 = 350kN/m:

ientoamortiguamgran con caucho de apoyoun de ejemplo Otro3

ientoamortiguamgran con caucho de apoyoun a ienteCorrespond6

plomo de nucleocon apoyoun a ienteCorrespond21

fricción de péndulo de sistemaun a ienteCorrespond51

241

231

221

211

KK

KK

KK

KK

====

Los valores de Dy para éstos son

mmD

mmD

mmD

mmD

y

y

y

y

5.63225.44

4.2525

5.44

35.62205.44

5.22505.44

4

3

2

1

=⋅

=

=⋅

=

=⋅

=

=⋅

=

0.2

0.5

0.20

0.50

4

3

2

1

====

a

a

a

a


=============================================================


Los valores picos de β y los desplazamientos son como sigue

170.0

268.0

410.0

480.0

4

3

2

1

====

máx

máx

máx

máx

ββββ

mmparaD

mmparaD

mmparaD

mmparaD

5.173

6.87

6.35

8.20

====

Figura E.5 Amortiguamiento efectivo en función de los desplazamientos para diferentes

valores de K1.

La variación de β con D para los tres casos se muestra en la figura (E.5), ilustrando

cómo el amortiguamiento para desplazamientos pequeños pueden ser muy altos si K1

es seleccionado para ser grande. Esto también muestra que como D se torna grande,

todas las curvas β Vs. D tienden a tornarse iguales. El punto es que el mismo lazo de

histéresis cuando se diseña por un modelo bilineal puede tener un patrón muy diferente

de valores de amortiguamiento, dependiendo sólo de la rigidez inicial seleccionada.

Para poner los valores usados en la figura (E.5) en proyección, suponemos que

la segunda pendiente, K2 =350kN/m, corresponde a un aislador en un sistema con un

período de 3 segundos. El peso soportado por un aislador es

kNgK

W 786386*)2(

9*222

2 ===πω

La fuerza característica Q = 44.5kN entonces

%6.5==W

Qµ


=============================================================


Que representa el coeficiente de fricción para un sistema de péndulo friccionante o la

relación de fuerza para un apoyo con núcleo de plomo.

E-6 IMPLICANCIAS DEL MODELAMIENTO BILINEAL:

El problema que enfrenta el diseñador de aisladores es que habiendo obtenido el valor

de VMC para el lugar y supuestos posibles valores del período y amortiguamiento, es

inmóvil el confinamiento de máximo valor aceptable para el MCE desplazamiento DM.

Suponiendo que ,,βT y D se especifican y es necesario calcular los parámetros del

modelo, es decir, K2 y Q, para proporcionar estos valores.

Con el período especificado, la rigidez efectiva Keff está dada por

22

=Tg

WKeff

π

Entonces

βπ 22 DKW effD =

Puede calcularse

βππ 22

22)(4 D

Tg

WDDQ y

=−

En éste punto olvidamos Dy y calculamos Q con

βπDK

D

WQ eff

D

24==

Llegando a un valor inicial de WQ . Esto es entonces posible de calcular

DQKK eff −=1 y Dy, asumiendo, por ejemplo para un apoyo con núcleo de plomo

21 10KK = o para un sistema de péndulo friccionante 21 100KK = . Con un valor

aproximado de Dy, el cálculo de Q y K2 puede mejorarse, y con estos valores el diseño

del sistema puede proceder.

Por ejemplo, suponiendo para la formula DM del código un desplazamiento del

plomo de 76cm para un período de 2.5 segundos y 5% de amortiguamiento. Para


=============================================================


reducir esto a un nivel factible de desplazamiento, digamos, 50cm, requerimos que

5.1=B y 30.0=β . El valor de effK para segundosT 5.2= es

mWkNKeff /644.0=

Y el valor de WD está dado por

mWkNWWD /308.0)25.0)(644.0(2)3.0( == π

De lo que conseguimos (dejando Dy de la primera estimación)

154.0)5.0(4

303.0

4===

D

W

W

Q D

La primera estimación para K2 es

WK

WK

366.0

5.0154.0

644.0

2

2

=

−=

Y

mDy 51.0)336.0(9

154.0 ==

Un recalculo de Q, incluyendo el cálculo de Dy, es 171.0=WQ , con una segunda

estimación de K2 tal como

mWkNK /306.02 =

Así necesitamos un núcleo de plomo que produzca una fuerza característica del 17% de

W para conseguir éste nivel de amortiguamiento. Nos suponemos ahora sometidos a un

nivel de terremoto (SLE), por ejemplo, ese terremoto que podría tener un 50% de

probabilidad de retorno en 50 años, y asumimos que para este nivel de entrada el

coeficiente sísmico CV es la mitad que el DBE, que es, DCC VVS 21= , entonces


=============================================================


VMVS CC4.2

1= . Por consiguiente podemos prever un desplazamiento Ds lo que no es

más que MD)4.2/1( . Asumiendo que en este caso D es aproximadamente 125mm de

éste nivel de desplazamiento tenemos.

mkNK

WWK

eff

eff

/1674125.0171.0

306.0

=

+=

Y

mkNW

W

DDQW

D

D

yD

/0506.0

)51.0125.0)(171.0(4

)(4

=−=

−=

Dando

31.0=β

Y

52.1101*20.05.1 =+=B

El período T = 1.56 segundos. Asumiendo que VMVS CC )4.21(= y que VMC lleva a 76cm

para T = 2.5 segundos y %5=β tenemos

mmDS 13052.11

5.256.1

4.230 ==

El no reducido cortante basal en este desplazamiento es

WkNDK

WDK

Seff

Seff

22.0

13*674.1

=

=


=============================================================


Que está sólo un poco por encima de la fuerza característica WQ 171.0= ; por

consiguiente con este diseño, es posible un efecto de aislamiento muy pequeño.

Para un dispositivo de péndulo friccionante los resultados son similares. Ya que

Dy para el sistema del péndulo friccionante normalmente es despreciable, el Q

requerido es sólo 0.154W correspondiendo a un factor de fricción de 15.4%. El K2

requerido en éste caso es

mWkNK

K

/34.0508.0154.0

644.0

2

2

=

−=

Si asumimos eso para un SLE tenemos un desplazamiento DS de alrededor 125mm

encontramos

mWkNK

WK

/573.1125.0

154.0341.0

2

2

=

−=

Y

mWkNW

WW

D

D

/077.0

125.0)154.0(4

==

Dando

496.0=β .61.1 segT = 0.2=B

Llevando a

mmDS 100230

50.261.1

4.21 ==

Y el cortante basal no reducido es WKeff 189.0*4 = , que excede a la fuerza de

deslizamiento, 0.154W, por consiguiente, para este nivel de entrada, el sistema no se

moverá.

F-PANDEO Y ESTABILIDAD DE UN AISLADOR ELASTOMERICO


=============================================================


F.1 INTRODUCCION

Un apoyo con varias capas puede ser susceptible a un tipo de pandeo de

inestabilidad similar al de una columna pero dominada por la baja rigidez del apoyo.

El análisis previo del conjunto de deformaciones de un apoyo simple puede ser

usado en un análisis de pandeo que trata de los apoyos como un sistema

compuesto y continuo. Este análisis considera al apoyo como una viga y la

deformación se asume tal que las secciones planas perpendiculares a la deformada

del eje central permanecen planas pero no necesariamente perpendiculares al eje

de deformación.

La teoría del pandeo de un apoyo aislado deriva del trabajo de Hanringx en

1947 sobre las características mecánicas de resortes de acero helicoidales y varas

de caucho usadas para la vibración. Este trabajo fue publicado en series de

reportes, la tercera parte trata de la estabilidad de un sólido de caucho. La teoría de

Hanringx después fue aplicada por Gent(1944) al problema de la estabilidad en

compresión del resorte de varias capas de caucho, y es esta aplicación que forma la

teoría básica descrita acá.

El método parecido al análisis lineal elástico del Pandeo de una columna de Euler

para modelar el aislador de caucho como una viga continua, para esto es necesario

introducir ciertas modificaciones a las cantidades definidas previas ha esta sección.

Considerando que el apoyo es una columna de longitud h con un área de sección de

corte A y definiendo la rigidez de corte por unidad de longitud como SS GAP = . Donde

es el área de corte efectiva dada por.

rS t

hAA =

Donde h es la altura total del apoyo (caucho y acero) y rt simplemente la altura

total del caucho. El incremento de Aes necesario para considerar que el acero

no se deforma en el sistema compuesto. La rigidez torcional es modificada

similarmente tal que .)( efectEIpara un único bloque de espesor t esta dado por

SEI . Donde.

r

CS t

hIEEI )

31

(=

En términos de estas cantidades, el conjunto de rigideces horizontales

HK ( )rtGA/ viene dado por.


=============================================================


h

GAK S

H =

Y la carga de pandeo de Euler para una columna sin deformación al corte es.

2h

EIP S

E π=

La situación usual para un apoyo en un sistema aislado se observa en la

fig. F.1. El apoyo esta restringido a la rotación en ambos extremos y es libre

para moverse lateralmente en la parte superior. El resultado para la carga crítica

del pandeo critP es la solución de la ecuación.

02 =−+ ESS PPPPP (F-1)

De lo cual la carga critica critP esta dado por.

2

42ESSS

crit

PPPPP

++−= (F-2)

Si nuevamente asumimos que GAPS = y.

≈≈

A

ISGA

h

IGSPE

22

2

22 2631 ππ

Además, para muchos casos de apoyos tenemos 5≥S , SE PP >> , la carga critica puede

aproximarse a.

2/1)( EScrit PPP = (F-3)

Fig. F.1 Condiciones de contorno para un apoyo asilado sobre el cual actúa una carga P.

Usando esta expresión y calculando nuevamente que


=============================================================


rS t

hGAP =

rCE t

hIE

hP

31

2

2π= (F-4)

Tenemos

=

r

rrcrit

t

GASr

t

hArGS

ht

hGA

Pπ

π

2

631

2/1

222

22/1

Donde el radio de giro esta denotado por 32/ar AI == Para un apoyo cuadrado de

lado a y 4/φ para un apoyo circular de diámetro φ .

La presión critica APp critcrit /= puede expresarse en términos de Sy la

cantidad 2S , referido b

rr t

ao

tS

φ=2

Así

cuadradoapoyounpara

circularapoyounpara

SS

SS

G

Pcrit

=

2

2

6

22π

π

(F-5)

En el diseño actual la carga que llega al apoyo (W), será menor que la carga critica, y

despreciando el efecto de la carga vertical sobre la rigidez horizontal HK del apoyo, que

esta dado por rH tGAK /= que a su vez esta relacionado con la frecuencia horizontal

Hw a través de.

gW

Kw H

H =2

Así, el factor de seguridad SF contra el pandeo, es definido por WPSF crit /= , dado por

g

rSwSF H

22π= (F-6)

Siendo todo lo demás igual, los incrementos del factor de seguridad con el factor de

forma S, frecuencia Hw , o tamaño del apoyo (como φoa ).


=============================================================


El tamaño que el apoyo tendrá, dependerá de la carga que lleva. Si la presión

AWp /= esta especificada, entonces.

−−−

−−−

=

)8(32

1

)7(2

2/1

2/1

FcuadradoapoyoParap

W

FcircularapoyoParap

W

r

π

Si la presión es fijada, el factor de seguridad disminuirá a 2/1W , llegando al resultado

inesperado que el pandeo puede llegar a ser un problema para apoyos que están

ligeramente cargados.

Obtener una opinión de la magnitud de las cantidades involucradas supone que

el factor de seguridad debe ser al menos 3, el factor de forma S es 10, y la frecuencia

es π radianes por segundo (Periodo 2 segundos), todos estos valores típicos, en este

caso, r deben al menos ser.

mmr 0.67*10*2

9810*32

==ππ

Si el apoyo es circular, entonces mm268=φ . Esta dimensión mínima es independiente

de la carga aplicada o la presión. Pero si la presión esta especificada, por ejemplo

digamos unos 6.9 MPa, Esto traducido en una carga mínima de 390KN. Para la mayoría

de edificios los apoyos tienen dimensiones mayores a las mínimas y las cargas

aplicadas están por debajo de las que resiste, por lo cual probablemente para este caso

el pandeo no es un problema de diseño.

Sin embargo ha habido casos, cuando ha sido necesario diseñar el aislador

debido a cargas ligeras, por ejemplo, los interruptores de circuito en una planta de

energía eléctrica en donde cambian de patios. Estos componentes pesan pocas

toneladas y el apoyo bajo diseño debería ser estable que soporte cargas de 10 hasta

50KN. Apoyos desarrollados similarmente para aplicaciones referidos como ha

“Incrementar la estabilidad del apoyo”. En apoyos esta rigidez al pandeo es aumentada

ya sea haciendo al apoyo una unión de pequeñas apoyos conectados por láminas de

acero (69) o por discos del caucho individuales conectados por láminas de acero (128).

La primera aplicación conocida de un apoyo de este tipo, fue ejecutada en la Planta de

Energía Edmunson cerca de Bakersfield, California (69). El análisis de estabilidad dado

acá para un apoyo simple es aplicable a este incrementando la estabilidad del apoyo.


=============================================================


Influencia de la Carga vertical Sobre la Rigidez Horizontal. Cuando la carga

vertical aplicada es similar a la carga de pandeo, la rigidez horizontal HK se reduce. La

reducción es obtenida usando algún análisis lineal elástico y esta dado por.

−=

2

1crit

SH P

P

h

GAK (F-9)

Si la carga es menor que 0.32 veces la carga de pandeo, La exactitud de la fórmula

usual para HK es mejor en 10%, en la mayoría de diseños se garantizara que este sea

el caso.

El desplazamiento vertical Vδ de la parte superior de un apoyo producido por la

aplicación de una carga vertical P y un desplazamiento D en la parte superior del

apoyo producido por un movimiento lateral es también dado por el análisis al pandeo

en la forma.

h

D

P

PP

E

SV

2+=δ (F-10)

En la mayoría de casos; SPP >> ; entonces.

h

D

P

P

P

P

E

s

crit

2

= (F-11)

Nuevamente.

22

2

2

2

2 IS

Ah

EI

hGA

P

P

S

S

E

s

ππ== (F-12)

En términos de 2/1)/( AIr = , tenemos.

2

2

2 h

D

rS

h

P

P

h crit

V

πδ = (F-13)

Este desplazamiento vertical es una adición al producido por la compresión pura del

aislador y es causado por la rotación del acero en el centro del aislador. Esta rotación

produce un esfuerzo cortante causado por la componente de la carga vertical junto con

la rotación de las capas, y el resultado de los esfuerzos de corte produce el movimiento

vertical de la parte superior del apoyo.

F.2 ESTABILIDAD BAJO UN GRAN DESPLAZAMIENTO LATERAL

El análisis del pandeo para un aislador elastomerito esta basado en la teoría lineal que

es análoga al análisis de pandeo de una columna, como es el caso en la teoría usual,

Prever la carga de pandeo o el esfuerzo de pandeo en la posición de un


=============================================================


desplazamiento pero no contar con ninguna información de la estabilidad de un apoyo

en la posición desplazada, la inestabilidad se manifestará por la pérdida de rigidez

horizontal incremental positiva. Este tipo de inestabilidad es de importancia crucial en

el diseño del apoyo desde la carga máxima sobre un aislador, ocurrirá alguna vez el

desplazamiento máximo horizontal y en combinación será una de los estados límite

para las cuales el aislador necesitará estar diseñado.

En principio un análisis no lineal complejo necesitara predecir el comportamiento

del apoyo bajo la carga vertical máxima y el máximo desplazamiento horizontal. Hay

dos hipótesis simples para una aproximación al estado límite, el que se produce cuando

un aislador es cargado lateral y verticalmente.

La primera hipótesis es que el desplazamiento crítico, esta definido como el

desplazamiento debajo el cual el apoyo tiene rigidez horizontal incremental cero

también es el desplazamiento lateral el cual reduce el de esfuerzo a compresión

calculado por la carga axial dividida por rA (El área de traslape entre la base y la parte

superior) alcanza la presión critica critp dada por la ecuación (F-5).

La segunda hipótesis es que el área A en la expresión para la carga crítica en la

configuración deformada (Ecuación F-4) es remplazada por el área reducida rA .

Posiblemente esto sea lo mas cierto de las dos posibilidades como la concentración del

esfuerzo vertical debido al desplazamiento esto no afectaría la resistencia a la torsión

pero puede reducir la resistencia lateral.

Para un apoyo cuadrado de lado B el área reducida esta dada por.

)( DBBAr −= (F-14)

Pero la primera hipótesis es correcta, el desplazamiento critico critD bajo una carga

especifica P esta dada por.

rcrit ApP =

)(6 2 critDBBGSS −= π

(F-15)

Que es.

2)6/( GSS

PBDcrit π

−=

critP

P−= 1 (F-16)

Por otra parte, si la segunda hipótesis es correcta, el desplazamiento critico viene dado

por.


=============================================================


2

2 )(

r

efecr t

EIGAP

π=

critr P

A

A2/1

= (F-17)

2

=

crit

r

P

P

A

A

22

2 1)(

−=

=−

crit

crit

crit

crit

P

P

g

Do

P

P

B

DBB(F-18)

Ambos resultados son lo mismo para P cerca a critP , ambos difieren para el rango de

la aplicación practica donde critPP < .

La mejor evidencia empírica para el uso de la segunda hipótesis es una serie de

pruebas en apoyos pequeños de caucho que se dirigieron en el EERC por I.G Buckle en

1995. Los resultados experimentales fueron reportados por Nagarajiah (98). Los

apoyos usados en estas pruebas fueron de 127mm*127mm y 5.1mm de elastómero. El

elastómero de caucho natural fue de bajo amortiguamiento con un modulo al corte de

0.74 MPa sobre el rango al esfuerzo de corte en 50 a 200%. El bajo amortiguamiento y

el modulo constante significa que el efecto histerético del material sobre la estabilidad

fueron minimizadas. Los apoyos fueron cargados bajo una carga vertical constante y

desplazado bajo un desplazamiento controlado en la maquina de prueba. El

desplazamiento critico generado por la fuerza horizontal en la maquina de pruebas ya

no incrementa con los desplazamientos incrementados que se registraron. Los

resultados muestran que la primera hipótesis es más conservadora, Y el segundo,

también conservador, es bastante exacto para el rango de cargas y desplazamientos

que se pondrán en servicio en diseños prácticos. Los resultados para cargas verticales

muy altas y pequeños desplazamientos laterales críticos no son previstos por la

formula, Pero el hecho está que en estas pruebas los apoyos son cargados para niveles

axiales de carga que exceden la carga prevista del pandeo sin desplazamiento del

apoyo. Esto puede ocurrir desde que el apoyo en la máquina de prueba esté bajo

desplazamiento controlado y las condiciones de borde no son aquellas descritas en la

teoría del capítulo F.1.

El área de traslape de un poyo cuadrado es muy fácil calcularlo pero es mas

difícil calcular esta en un apoyo circular de radio R . Con la notación que se muestra en


=============================================================


la figura F.2, donde θ es la mitad del ángulo por el centro de la intersección de los

círculos superior e inferior y θφ π −= 2 , el desplazamiento D y el área reducida rA

están dados por:

θθ RsenRcosD 2== (F-19)

y

)(2 2 θθθ cossenRAr −=

−−= )2

2 2 θθφπcossenR (F-20)

Fig. F.2 Notación del área reducida

Es conveniente adimensionar estas definiciones como.

22 R

Aay

R

Dd r

π==

Lo que nos conduce a.

θθ sencos ==d

( )θθθπ

cossen2 −=a

φφπ

φπ

cossen22

1 −−= (F-21)

La única curva que resulta de la solución simultánea de estas dos ecuaciones esta

dada en el cuadro F.1 y que se muestra en la figura (F.3) una forma rápida de cálculo

de los resultados a falta de un cuadro o grafico, es útil para ampliar las dos ecuaciones

para los valores pequeños de φ correspondientes a un valor pequeño d y pequeños


=============================================================


desplazamientos o para valores pequeños de θ corresponden valores pequeños de a y

desplazamientos muy grandes.

TABLA F.1 Normalizacion del Area reducida

d θ rads a p0.10 1.471 0.87289 0.87289 0.9340.20 1.369 0.74706 0.74706 0.8640.30 1.266 0.62384 0.62384 0.790.40 1.159 0.50463 0.50461 0.710.50 1.047 0.39100 0.39090 0.6250.60 0.927 0.28476 0.28437 0.5340.70 0.795 0.18812 0.18687 0.4340.80 0.644 0.10409 0.10049 0.1074 0.3230.85 0.555 0.06815 0.0697 0.2610.90 0.451 0.03739 0.0380 0.1930.95 0.318 0.01332 0.0134 0.1931.00 0.000 0.00000 0.0000 0.193

aaa 1 a

aa 2

Note: πππ 10

33241 5

1 dda da ++−= y ( ) 2

33

282 1 daa −=π

Cuando φ es pequeño, la primera ecuación puede ser escrita como.

dsen1−=φ

.....403

6

53

+++= ddd

Y

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10

D/R

a

Fig. F.3 Normalización del Área reducida 2RAr/a π= como una función de D/2R

)2(21

cossen φφφ sen=

++−= .....

12032

68

221 53 φφφ

Así.


=============================================================


51523

322cossen φφφφφφ +−=+

51526

613

325

4033

61 )1()(2 dddddd ++−+−=

52013

312 ddd −−=

Aproximando 1aa a a de la forma.

πππ 103

241

531 d

dd

aa ++−= (F-22)

Esta ampliación es correcta en un 4 % hasta d = 0.80 y mejora para valores de

menores que éste, como se muestra en cuadro F.1. Más allá de estos se usara una

expansión para valores pequeños de θ , con.

)1(22

12

dd −=−= θθ (F-23)

Buscando una segunda aproximación para 2aa dada por.

−−= 32

68

2212 θθθ

πaa

3

322 θ

π=

[ ] 23

)1(234

d−=π

( ) 23

13

28d−=

π (F-24)

Esto es cierto en 3 % para 0.80 d = y mejora para los valores de d mayor que este.

Para un apoyo circular el desplazamiento crítico, critD es dado por crit2Rd , donde el critd

es el valor de d que lleva a.

2

=

critP

Pa (F-25)

Dando.

2

2/3)1(3

2

=−

critP

Pd

πδ

(F-26)


=============================================================


3/23/2

2

31

−=critP

Pd

δπ

3/43/2

43

21

1

−=critP

Pπ (F-27)

Esto debería ser razonablemente cierto para estos valores de d para lo cual 2aa fue

exacto (ósea 1≤≤ d0.8 y 01.0 ≥≥ a ), Desde que 2)/( critPPa = , esto quiere decir que

esta dentro el rango.

3.00 ≤

≤

criP

P

Por otro lado la aproximación.

πd

a4

1−= (F-28)

Es muy buena para 5.0≤d y bastante buena (10% de certeza) para 8.0≤d , esto nos

lleva a.

)1(4

ad −= π

−=

2

14 critP

Pπ (F-29)

Desde que 0.5 d = quiere decir que 0.4a = , esto debería ser cierto para 1 p 0.6 ≤≤ .

La respuesta exacta para el valor de critPP / que hace una especificación del

valor crítico de d es obtenida en la tabla F.1. y la curva producida por esta solución

inversa puede ser comparada con las dos aproximaciones. Cuando plateamos en

conjunto (Fig. F.4) esta claro que para critPP / pequeño, los valores falsos encima de la

curva exacta son exactos hasta 5.0/ =critPP y para critPP / con valores mas cercanos a

1 los valores falsos debajo la curva exacta son exactos para 6.0/ ≥critPP .


=============================================================


Figura F.4 Desplazamiento crítico normalizado vs. Carga crítica normalizada.

F.3. ESTABILIDAD AL ROLLOUT.

Un apoyo aislado aun si intrínsicamente es estable bajo su carga de diseño,

puede experimentar otra forma de inestabilidad si este es conectado bajo la fundación

y la superestructura de arriba a través de llaves de esfuerzo al corte que no pueden

sostener cargas de tensión. Entonces Inicialmente los diseñadores consideraron que el

caucho no debería estar supeditado a la tensión; Por consiguiente, los primeros diseños

de apoyos de caucho usados sujetaron con clavija de conexión al esfuerzo al corte en

vez de conexiones fijadas con pernos.

HhFbP =− )( maxδ

Donde b es el ancho del apoyo ( a si es cuadrado φ si es circular), la relación

entre la fuerza lateral HF y el desplazamiento δ se muestra en la figura F.5b.

Tomando δHH KF = tenemos.

hKP

P

b H+=maxδ


=============================================================


Fig. F.5 Mecánica de rollout para apoyos de clavija.

Si tomamos HK como rt y la presión APp /= , viene dado por.

)/)(/(1

1max

rthpGb +=δ

En apoyos típicos donde MPaG 828.0≈ (120 psi), MPap 90.6≈ (1000 psi), y

rth 2.1= . Por ejemplo:

88.0max =b

δ

Así mismo, si el desplazamiento lateral es menos del 88% del ancho del apoyo de la

clavija. Esto puede esperarse para la estabilidad contra rollout. Inversamente, si el

apoyo es fijado con pernos dentro del lugar. Ninguna tensión significante se

desarrollara en el apoyo hasta que el desplazamiento exceda este valor. Recientes

encuestas hechas al EERC y en Japón demostraron que el caucho es capaz de soportar

esfuerzos de tensión muy altos, actualmente su uso mas común es el de fijación con

pernos en vez de conexiones con clavija para apoyos aislados. Investigaciones

adicionales sin embargo necesitan ser terminadas conforme al proceso de falla en

tensión, que todavía no esta entendida; en apoyos esto implica cavitación en el caucho

o perdida de elasticidad Aunque muchas encuestas muestran que han sido casos donde


=============================================================


el desplazamiento ha excedido el diámetro del apoyo, ciertamente esto es una buena

practica de diseño para limitar el desplazamiento al valor rollout, aun cundo estas

conexiones empernadas sean usadas.

G-DISEÑO SÍSMICO PARA UN MOVIMIENTO DE UNA SEÑAL DEL SUELO

G.1. INTRODUCCIÓN.

Cada sistema estructural es diseñado para tener una capacidad sísmica que exceda la

demanda sísmica anticipada. La capacidad es una función compleja de la Fuerza,

rigidez, y de la deformada supuesta, por la configuración del sistema y propiedades del

material del sistema de aislamiento y de la súper estructura. La demanda sísmica por

otro lado para una estructura dada es controlada por lo que comúnmente se llama el

criterio de diseño para una señal sísmica del suelo. Este criterio puede ser definido por

uno o más de las siguientes tres distintas formas:

• Estática del esfuerzo cortante en la base y formulas de distribución de fuerzas

laterales.

• Un conjunto de espectro de diseño y.

• Un conjunto de registros tiempo historias de sismos.

El diseño para una señal sísmica del suelo puede ser definido en la forma más simple

de aplicación de ecuaciones de diseño codificadas de esfuerzo al corte en la base y

formulas de la estática de distribución de fuerza lateral. Estas formulas son en esencia

interpretaciones simplificadas de un espectro de diseño de cierta forma y amplitud al

periodo de vibración correspondiente a una estimación conservadora de un periodo

fundamental de una estructura aislada.

Para análisis más complejos, el criterio de diseño para una señal sísmica del

suelo puede ser definido por series de cualquier código especificado o un punto

especifico del espectro de diseño y reglas sobre como aplicar este espectro y como

interpretar los resultados. Si el diseño sísmico de un proyecto requiere la aplicación de

un análisis dinámico Tiempo Historia entonces un apropiado conjunto de registros

sísmicos tienen que ser seleccionados y las reglas tienen que ser establecidas sobre

como estos registros son aplicados en el análisis y diseño y a los registros sísmicos en

este caso, son necesarios en adición a un punto especifico del espectro de diseño y las

reglas tienen que ser un conjunto sobre como estos registros producen una demanda

que es consistente con el punto especifico de peligro sísmico, lo cual es usualmente

resumido en la forma del espectro de diseño.

Mientras establecemos un criterio de diseño para una señal sísmica del suelo, se

espera proporcionar una expresión consistente de demanda independiente de su forma,


=============================================================


haremos un énfasis cuidadoso en una forma sobre las otras, sin comprender correcta la

fuerza y limitaciones de cada forma, pueden resultar diseños poco realista y a veces

ridículos requerimientos para el movimiento del suelo. Tales requisitos irrazonables

pueden ser contraproducentes cuando son aplicados ciegamente al diseño de

estructuras sísmicas aisladas.

El objetivo de este capitulo es familiarizarnos con las suposiciones básicas y

procedimientos involucrados en el desarrollo del diseño para una señal sísmica del

suelo en proyectos sísmicos aislados y los peligros comunes asociados a tales

esfuerzos. Todas las aplicaciones del diseño para una señal sísmica están basadas en

observaciones del movimiento sísmico del suelo; una breve revisión de las

características y limitaciones de datos existentes en observaciones del movimiento

sísmico son presentado en Kelly, James M y Farzad Naeim, 1999 (Design of seismic

isolated structures). Diseños contemporáneos de estructuras sísmicas aisladas parecen

ser inseparables desde la aplicación del análisis del Espectro de Respuesta en una

forma u otra. Para un buen entendimiento de conceptos son introducidos y

contrastados los principios básicos del Espectro de Respuesta Sísmico y Espectro de

diseño que son esenciales para un diseño significativo de una estructura aislada.

Una evaluación de peligro sísmico en un sitio dado requiere probablemente una

estimación del movimiento sísmico del suelo en el sitio, esto es por que: (a) Es

sumamente raro que para los sitios que se registró el movimiento sea fácilmente

disponible. (b) Incluso para sitios donde tales registros estén disponibles, no hay

garantía que futuros movimientos de suelo tengan las mismas características de los

movimientos previamente observados.

Posibles movimientos de suelo para un sitio son estimados mediante el uso de

varias técnicas de análisis de regresión en un subconjunto seleccionado de registros

sísmicos disponibles considerados propiamente para tal estimación. El resultado de las

formulas matemáticas que proveen estimaciones de parámetros de respuesta máximos

como picos de aceleración del suelo o espectros de respuesta ordinarios para un sitio

son llamados relaciones predictivas o relaciones de atenuación. El termino atenuación

es usado por que estas relaciones empíricas de hecho representan formulas para la

atenuación de ondas sísmicas originadas desde una fuente dada a una distancia dada a

través de un medio dado. Se han desarrollado docenas de relaciones de atenuación,

introducimos un pequeño número de estas relaciones ampliamente usadas.

El análisis del espectro de respuesta, aun cuando relativamente simple y veraz,

tiene ciertas limitaciones si es aplicado a estructuras sísmicas aisladas. Examinaremos

estas limitaciones explorando la energía contenida en los movimientos sísmicos del

suelo, particularmente en las regiones de fuentes cercanas, y evaluando la influencia


=============================================================


de valores altos de amortiguamiento con la precisión de suposiciones comunes que

rutinariamente acompañan al análisis del espectro de respuesta.

Una vez que la fuente de peligro sísmico cercano al sitio (fallas activas y

semiactivas en un radio de 100Km del sitio) y las condiciones de suelo del sitio son

establecidas el postulado de peligro sísmico en el sitio puede ser establecido por

técnicas de análisis de peligro sísmico determinístico y/o probabilístico. Los principios

de estas técnicas de análisis de peligro sísmico y la naturaleza de incertidumbres

involucradas son descritos con las consecuencias del diseño de incertidumbres de

movimientos del suelo.

Al menos en California, el diseño de estructuras sísmicas aisladas requiere la

realización de un análisis de Tiempo Historia no lineal. Tales análisis requieren una

selección cuidadosa de un conjunto de registros de tiempo historias apropiadas, para

escalas Tiempo Historia en cualquier dominio de tiempo o dominio de frecuencia para

aproximarse al punto específico de peligro sísmico comúnmente representado en la

forma del espectro de diseño. La escala de tiempos historia ha sido, y continúan siendo

el aspecto mas problemático del desarrollo y aplicación del criterio de diseño de

movimiento del suelo para estructuras sísmicas aisladas. En algunas instancias, los

requisitos gobernantes del código han publicado diseños irracionales estrictamente

apegándose a procedimientos absurdos de escala. Presentaremos series de tiempo

historia que consideramos adecuados para el diseño de estructuras aisladas por la base

en adición analizaremos los procedimientos actuales usados para las escalas de tiempo

historia equivalentes a un espectro de diseño dado, y nos centraremos en los diseños

inconsistentes y pobres que pueden resultar al seguir ciegamente algunos de estos

procedimientos. Y también evaluaremos algunos de los requerimientos del código

actual para el diseño por técnicas de análisis de tiempo historia y nos centraremos en

los aspectos más problemáticos de estos requerimientos mientras sugerimos más

alternativas racionales.

G.2 CARACTERISTICAS DEL MOVIMIENTO SISMICO DEL SUELO

El número de registros sísmicos disponibles ha crecido rápidamente durante la década

pasada. En tanto que obtener acelero-gramas sísmicos no fue simple a mediados de la

década de 1980 cientos de registros sísmicos ahora pueden ser filtrados, vistos y

bajados desde Internet, u obtenidos a un costo nominal desde varias agencias publicas

(en el Perú CISMID) la figura G.1 muestra el intervalo y las distribuciones acumulativas

de registros sísmicos disponibles de importancia para aplicaciones de diseños

)5.5( >M ; [la aceleración pico del suelo (PSA )>0.05g] para América del Norte y


=============================================================


Central durante el periodo 1933 – 1974. El número de registros, menores que 100

antes del evento de San Fernando de 1971, ahora sobrepasa los 2000.

Figura G.1 Record de sismos de Amerita del Norte y del Centro (M>5.5;

PGS>0.05g) durante el período de 1933-1944).

Un staff del Centro Nacional de Investigación en Ingeniería Sísmica (NCEER) de

la universidad de Bufalo en New York, el centro de investigación en Ingeniería Sísmica

(EERC) de la Universidad de Berkeley, en California y la U.S. Geological Survey

(USGS) rutinariamente monitorea y documenta procedencias de registros de sismos.

El instituto del mundo de investigación de ingeniería sísmica de banda ancha de Web

(World Wide Web WWW) también provee muchos de estos recursos. Un listado

moderno de enlaces para páginas conteniendo tal información puede obtenerse de

estas agencias. Con la revolución de información actualmente en camino, se espera

que la facilidad de vía de entrada para bases de datos globales de registros de

terremoto mejorara exponencialmente durante los siguientes años.

Los parámetros que pueden usarse para caracterizar la severidad y el daño

potencial de movimientos del suelo de un sismo pueden ser agrupados en tres

categorías principales: (a) Los valores de dominio del tiempo obtenidos directamente o

por algún de cálculo simple son digitalizados y la versión corregida del instrumento de

registro.(b) Los valores del espectro obtenidos por parámetros de integración de la

ecuación de movimiento en el rango elástico e inelástico para sistemas de un grado de

libertad y (c) Los valores del espectro obtenidos usando ecuaciones del balance de

energía tanto para sistemas elásticos como inelásticos.

En el dominio del tiempo se incluyen parámetros de aceleración máxima del

suelo (PA), velocidad máxima (PV), y el desplazamiento máximo del suelo (PD). De

estos que más a menudo es asociado con la severidad registrada en un movimiento del


=============================================================


suelo por sismo es la aceleración máxima del suelo, sin embargo este generalmente

viene a ser reconocido como un parámetro pobre de evaluación del daño potencial,

esto es particularmente cierto para estructuras aisladas . La aceleración máxima del

suelo es generalmente asociada con frecuencias altas de vibración (Periodos bajos), Las

cuales está lejos de los períodos efectivos de vibración de una estructura aislada típica.

Estudios realizados por Naeim y Anderson (91,92) muestran que la velocidad espectral

máxima del suelo es un mejor indicador de daño potencial que la aceleración máxima.

Anderson y Berter (9) Han sugerido el uso de la velocidad máxima incremental

(IV) y el desplazamiento máximo incremental (ID) para la caracterización del daño

potencial por movimientos de sismo cerca de la región. La velocidad incremental

representa el área bajo un pulso de aceleración, por lo tanto, el cambio mas largo en

velocidad, es el pulso más largo en aceleración, de manera similar, el área bajo un

pulso de velocidad es igual a un desplazamiento incremental.

Otro parámetro importante en el dominio del tiempo es la duración de un

movimiento sísmico fuerte. Hay varios métodos para asignar un movimiento fuerte en

un acelerograma (82). McCann y Shah (77) usan una relación común de Energía de

llegada. Bolt en la pagina 25 a la pag. 105 estimó un rango de duración definida como

el intervalo de tiempo entre la primera y ultima aceleración mas grande que un valor

especificado, usualmente seleccionando como un valor (tal que 0.05g) debajo el cual el

daño no se espera. Esta definición implica un acoplamiento entre el nivel de

movimiento del suelo (nivel de aceleración del suelo especificada) y la duración de

este. Como consecuencia que la escala de un registro cambie se estima el rango de

duración.

Husid (50) define la duración de un movimiento fuerte como el intervalo de

tiempo en el cual una contribución significante del cuadrado de la serie del tiempo,

tiene lugar (vea la fig.G.2). Si el comienzo del tiempo historia es una banda ancha de

Tiempos Historias de velocidad, entonces la cantidad medida por el cuadrado de la

velocidad es energía verdadera. Husid definió que la duración independiente del nivel

de movimiento del suelo y puede ser usado en conjunto con mediciones de niveles de

movimientos del suelo como la aceleración máxima, velocidad máxima, y la respuesta

de las ordenadas espectrales en las frecuencias especificadas para proveer una

caracterización más completa del movimiento del suelo. La escala del tiempo historia

no cambia la duración medida por este método.

Pero Bolt y Husid definieron los incrementos de duración con los incrementos de

magnitud como un resultado del incremento de las dimensiones de rotura del sismo.

Sin embargo en otras estimaciones las dos definiciones de duración se comportan en

forma que son bastante diferentes y en algunas formas opuestas para otros. Por

ejemplo el rango de duración decrece fuera del origen del sismo por su dependencia


=============================================================


con el nivel de movimiento del suelo. Mientras Husid define que la duración del

movimiento incrementa fuera de la fuente porque la energía tiende a disiparse

conforme aumenta la distancia.

Los parámetros de movimiento de la tierra basados en los Espectros de

Respuesta, incluye la aceleración efectiva Pico (EPA), y una velocidad efectiva pico

(EPV) estos parámetros, que fueron inicialmente definidos en la Publicación del Concilio

de Tecnología Aplicada (ATC – 3-06), están basados en las ordenadas promedio del

Espectro de Respuesta en Bandas de Periodos seleccionados (0.1-0.5 seg. para EPA y

alrededor de 1.0 para EPV) y son extensamente usados en códigos de diseño sísmico

contemporáneo.

El espectro de Fourier y el Espectro de Respuesta elástica e Inelástica calculado

de un conjunto de periodos distintos son la representación más comunes de registros

sísmicos en el dominio de frecuencia. El análisis del Espectro de Respuesta es la técnica

mas común usada para el análisis dinámico de estructuras. Incluso si se necesitarían

análisis más elaborados se procedería a un análisis detallado de la Respuesta Espectral.

Debido a la importancia del espectro de respuesta y su equivalente del diseño, el

espectro de diseño, estos tópicos son discutidos con más detalle en la sección 8.3.

El espectro inelástico es un intento de extender el análisis del espectro de

respuesta en un rango no lineal de respuesta estructural. Una de las más significativas

fallas del actual espectro de diseño elástico e inelástico, es el hecho de que ellos no

consideren adecuadamente para la duración de la entrada del movimiento del suelo.

Esta es una característica significante que puede ser direccionada por el uso del

espectro de energía que refleja la posibilidad de demanda de disipación de alta energía

con larga duración.

El tipo de impulso de movimiento del suelo resulta en una repentina explosión

de energía dentro de la estructura que debe ser disipada inmediatamente. Esta energía

usualmente se caracterizada por un largo recorrido producido con pocos cambios de

sentido. Por otro lado un movimiento de tierra sinusoidal de larga duración requiere

disipación mas estable de energía para un largo periodo de tiempo con numerosos

cambios de sentido Las características del Dominio del Tiempo de esta manera no son

adecuadamente representadas por métodos actuales del espectro de respuesta sísmico.

Los atributos de energía de un fuerte movimiento tal como la relación de la

entrada y la energía histérica así como la entrada y el espectro de energía histérica

proveen indicadores más confiables de daño potencial. Sin embargo la tecnología para

la aplicación directa de conceptos de energía en el diseño de estructuras complejas

todavía no está totalmente desarrollada.

H PROVICIONES DEL CODIGO PARA AISLAMIENTO SISMICO


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H.1 INTRODUCCION

Los nuevos edificios diseñados sísmicamente aislados por la base están gobernados por

cualquiera de estos dos códigos:

La edición de 1997 del Uniform Building Code UBC-1997 publicado por la conferencia

internacional de construcciones oficiales (55) titulo 24 parte II del código de

regulaciones de California división III (115) referido al OSHPD-96.

El titulo 24 es muy similar al de 1994 UBC pero incluye mas requerimientos

rigurosos para hospitales de base aislada y otras construcciones del estado en

California. Para el tiempo que este libro alcancé el Marketing esta anticipado que

OSHPD-96 será revisado para ser compatible con los requerimientos del UBC-91

tratando de regular los diseños de nuevos edificios, la UBC y OSHPD-96 no cubre el

diseño previo de los edificios existentes usando aislamiento, aunque muchos de los

proyectos previos siguen las regulaciones de UBC muy de cerca sumado ha esto la UBC

no dirige el tema de aislamiento vertical ni tampoco cubre el aislamiento de equipos o

artefactos tales como objetos de arte en los museos.

Las regulaciones están escritas de tal manera que nos son especificas con

respecto a los sistemas de aislamiento, ningún sistema de aislamiento particular esta

identificado como aceptable pero las regulaciones requieren que cualquier sistema de

aislamiento debe ser estable para el desplazamiento requerido, provee aumento de

resistencia con aumento de desplazamiento y tienen propiedades que no se degradan

bajo repetido cargamento cíclico. La causa de la filosofía de estos códigos es que en un

edificio aislado diseñado usando estas regulaciones se espera que mejoren las

construcciones de base fija en terremotos moderados y largos.

El objetivo de los códigos no es reducir el costo de la estructura si no controlar

los daños de las estructuras y sus contenidos, tomando ventaja del hecho que la

aislación sísmica permita una respuesta elástica en la estructura y las aceleraciones

bajo el suelo para una entrada grande de sismo.

Cada vez mas el diseño sísmico de versión mejorada esta influenciada por el

programa nacional de reducción de daños por sismos (NEHRP) son directrices para la

rehabilitación sísmica de edificios (FEMA-273) y su comentario (FEMA-274) las cuales

son publicadas por la agencia de manejo general de emergencias (41,42), las

provisiones de FEMA-273 son muy similares a la de UBC-91 con una excepción FEMA-

273 permite un nuevo análisis del enfoque llamado análisis estático o el método de

“PUSHOVER”.

Estos códigos y guías han evolucionado para diseñar previsiones que fueran

desarrolladas en los años 1980 por un subcomité de la Asociación Estructural de

Ingenieros del norte de California (SEAONC). Es en 1986 (SEAONC) publicó un


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documento [121] conocido como el libro amarillo, titulado “Tentative Seismic Isolation

Designed Requeriments” estas previsiones han servido como base para varios

procedimientos recomendado por la asociación estructural de ingenieros de California

(SEAONC) e implementado en varias ediciones de la UBC el Código mas usado para el

Diseño Sísmico de edificios resistentes en Estados Unidos.

En el libro amarillo, se puso énfasis en los procedimientos equivalentes a la

fuerza lateral y el nivel de demanda sísmica que fue requerido para el diseño de

estructuras de base fija, un nivel de movimiento del suelo que tiene un 10% de

probabilidad de ser excedido en un periodo de 50 años, métodos dinámicos de análisis

fueron permitidos (y para algunos tipos de estructuras requeridas), pero las simples

formulas estáticamente equivalentes dieron como resultado un nivel mínimo para el

diseño.

En este capitulo presentamos y evaluamos críticamente los procedimientos

requeridos de 1997 UBC, donde apropiadamente compararemos y contrastaremos los

requerimientos de UBC -97 con aquellos del OSHPD-96, FEMA-273 y otros documentos

importantes.

H.2 NIVEL DE DAÑOS SISMICOS

El criterio sísmico adoptado por modelos de códigos actuales abarca un enfoque de

dos niveles para daños sísmicos y son los siguientes:

o Bases de diseño para sismo (DBE) : .-Es el nivel de movimiento del suelo

que tiene 10% de probabilidad de ser excedido en 50 años.

o Capacidad máxima de sismos (MCE): .-Es el máximo nivel de movimiento

del suelo que se puede encontrar en el sitio de construcción.

Este puede ser tomado como el nivel de movimiento del suelo que tiene

10% de probabilidad de ser excedido en 100 años.

Los documentos NEHRP-97 [100] y FEMA-273 se refieren al DBE como

BSE-2 (Seguridad básica para terremotos 2). El documento de SEAOC

visión-2000 [120] describe un DBE como raro y un MCE como eventos muy

raros, respectivamente.

H.3 METODO DE DISEÑO

Versiones anteriores del código UBC enfatizan un método simple

estáticamente equivalente que toma ventaja del hecho que para una

estructura aislada los desplazamientos están concentrados en el nivel de

aislación y por lo tanto la estructura se mueve como un cuerpo rígido. El

diseño basado en un modo simple de vibración y las fuerzas de diseño para

la superestructura fueron calculados para las fuerzas en los aisladores en

el desplazamiento de diseño. Esto resulta en un proceso simple de diseño.


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Como el código ha evolucionado, sin embargo, las situaciones donde más

debe ser usado un análisis dinámico han incrementado, e incentivos han

sido insertados en el código para motivar el uso del análisis dinámico en

los casos donde no puede ser requerido.

Para todos los diseños sísmicos de aislamiento hay que realizar un análisis

estático. Esto establece un nivel mínimo de desplazamientos de diseño y

fuerzas. El análisis estático es útil también para el diseño preliminar del

sistema de aislación y la estructura cuando el análisis dinámico es

requerido y para revisar el diseño bajo ciertas circunstancias que puede

ser el único método de diseño usado.

El análisis dinámico es requerido en muchos casos (en todos los casos

por OSHPD-96) y puede efectuarse en la forma de análisis del espectro de

respuesta o de un análisis tiempo historia. Sitios específicos de movimiento

del suelo son requeridos en los siguientes casos:

o La estructura aislada esta localizada en un suelo suave, suelo tipo

S3 o S4.

o La estructura aislada esta localizada a una distancia de 10Km (6.2

millas) de una falla activa [15 km (9.3millas) en la OSHPD-96].

o El periodo para la estructura aislada (MCE) es mayor a los 3

segundos.

Un análisis con Espectro de Respuesta es requerido en los siguientes

casos.

o Los espectros específicos en el sitio son requeridos.

o La estructura es irregular ya sea vertical u horizontalmente.

o La estructura es mayor de 4 pisos o 19.8 m en altura.

o El periodo de la estructura aislada (DBE) es menor en 3 veces que

el periodo elástico de base fija (i.e., 9/1>ξ )

El análisis tiempo historia puede ser usado en lugar del Análisis del

Espectro de Respuesta, pero si el sistema de aislación o

superestructura es altamente no lineal, un análisis tiempo historia es

necesario.


=============================================================


H.4 ANÁLISIS ESTÁTICO

Las formulas del Análisis Estático proveen desplazamientos y fuerzas que

son basadas en un espectro de velocidad constante sobre el periodo en

un rango de 1.0 – 3.0 segundos.

En UBC-94[54] y OSHPD-96, el valor del espectro de velocidad

constante es derivada de la tecnología aplicada al conjunto de

provisiones ATC-306 [13] y para Z=0.40 un factor de suelo S=1 y 5% de

amortiguamiento es de 0.60m/s, llevando a un espectro de

desplazamiento SD dado por.

mTZZT

w

SS V

D *25.0)60.0(4

**2

≈==π

El espectro es entonces modificado por un factor de suelo y un factor de

amortiguamiento ajustado para otras zonas sísmicas, conduciéndonos al

desplazamiento requerido de diseño D. Los tres niveles de

desplazamiento a ser calculados son los siguientes:

o El desplazamiento de diseño D, Siendo este el desplazamiento en

el centro de rigidez del sistema de aislamiento en el DBE.

o El desplazamiento total DT , Siendo este el desplazamiento de un

apoyo en una esquina de un edificio y incluyendo los componentes

del desplazamiento a torsión en la dirección D; y

o El máximo desplazamiento DTM, Siendo este el desplazamiento

total de diseño evaluado en el MCE.

El desplazamiento de diseño D en UBC-94, es el punto de partida para

todo proceso de diseño y siempre debe ser calculado así el análisis

dinámico no sea usado. Se basa en la suposición que las deformaciones

de la superestructura son insignificantes y está dado por.

mB

TSNZD 11 ****25.0= (H-1)

Donde

Z= Factor de Zona.

N=Coeficiente de proximidad al sitio.


=============================================================


S1=Coeficiente de suelo.

T1=Periodo efectivo en segundos.

B = Coeficiente de amortiguamiento.

Mientras el concepto sigue siendo el mismo, la formulación de UBC-97

es más compleja. Un gran número de términos nuevos que han sido

añadidos al código. Por ejemplo, ahora hay seis desplazamientos

diferentes que tienen que ser calculados. El número de tipos de suelo ha

sido aumentado a 6 de los cuales 3 son para roca dura, roca y roca suave.

Hay cuatro coeficientes sísmicos para calcular, pero en la zona 4 donde la

mayoría de edificios aislados en EE.UU. están localizados, Es necesario

calcular los siguientes factores: aN y vN , los cuales dependen del tipo de

fuente sísmica y distancia al epicentro, MM depende de VZN y AMC y

VMC , los cuales dependen del MM , aN y vN . El resultado es que el

cálculo de un análisis estático simple de versiones anteriores del código

han sido reemplazadas por una secuencia de definiciones, de tablas y

fórmulas.

Aunque todos los proyectos aislados están actualmente diseñados usando

un análisis dinámico (Basados en un análisis tiempo historia, como hay

muchos programas de computo ahora disponibles para este propósito), El

análisis estático es requerido para asegurar que el diseño no caiga bajo

ciertos niveles mínimos determinados por el análisis estático.

De acuerdo al UBC-97 los dos desplazamientos básicos a ser calculados

son DD y MD o DBE y MCE al centro de rigidez del sistema de aislación.

Ellos son calculados usando las fórmulas.

mmB

TCgD

D

DVDD

)*4/( 2π= (H-2)

mmB

TCgD

M

MVMM

)*4/( 2π= (H-3)

Donde:


=============================================================


g es la aceleración gravitacional, VDC y VMC son los coeficientes

sísmicos, DT y MT son periodos aislados, DB y MB son coeficientes de

amortiguamiento correspondientes a los niveles de respuesta DBE y

MCE respectivamente. Los términos VDC y VMC son funciones del factor

Z de la zona sísmica, el tipo de suelo en el sitio y uno de los factores de

proximidad al sitio VN

H.4.1 FACTOR SÍSMICO DE ZONA Z:

El factor sísmico de zona varía de 0.075 para la zona 1 a 0.4 para la zona 4

mostrado en la figura H.1 (UBC-97, Tabla 16-I). Este factor se mantiene con respecto a

lo establecido en versiones anteriores del código.

Figura H.1 Factores sísmicos de zona UBC-97

H.4.2 TIPO DEL PERFIL DE SUELO DEL LUGAR:

Los perfiles de suelo de Sa a Se se basan en el promedio de la velocidad de las

hondas de corte a una profundidad de 30.5m del suelo (ver figura E.2 o UBC-97, tabla

16-J). Estas velocidades varían desde las más bajas 180m/s en suelos sueltos (Se)

hasta las más altas 1500m/s para suelos de roca dura (Sa). Otra clase de suelo es el

perfil tipo (Sf), que requiere evaluación específica del lugar, esta clasificación no está

basada en la velocidad de las hondas de corte sino constituye suelos de muy bajas

condiciones, propensos a problemas de licuefacción.

H.4.3 TIPOS DE FUENTE SÍSMICO: A, B Y C.


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Las fallas sísmicas están agrupadas en tres categorías basadas en la seriedad de

daños que ellas representan. Fallas capaces de producir terremotos de grandes

magnitudes ( )0.7≥M y tienen un alto nivel de actividad sísmica [promedio anual

sísmico SR va de 5mm a más] están clasificados como tipo de fuente A.

Fallas capaces de producir terremotos de moderada magnitud ( )5.6<M con un

bajo nivel relativo de actividad sísmica [SR ≤ 2mm] están clasificados como fuentes del

tipo C. Todas las fallas fuera de los tipos A y C están clasificadas como fuentes del tipo

B.

H.4.4 FACTORES DE FUENTES CERCANAS: Na Y Nv:

Dos factores son usados para modelar la amplificación del movimiento del suelo

elaborado para efectos de fuentes cercanas. El primero no está previsto para el rango

de período corto correspondiente a un segmento de aceleración constante del espectro

de respuesta. El segundo factor Nv, el cual corresponde al rango del periodo medio o

segmento de velocidad constante del espectro de respuesta, es el primer factor de

fuente de cercanía usado en aplicaciones de aislamiento sísmico y el tipo de fuente

sísmica (ver Fig. H.3 y Fig. H.4 ) UBC-97

Figura H.2 UBC-97, categorías del tipo de suelo


=============================================================


Figura H.3 Factor de cercanía Na

Que define la distancia del lugar de la fuente como la distancia más cercana entre el

sitio y la proyección vertical de las fallas en la superficie.

La proyección de la superficie no necesita incluir porciones de fuentes a profundidad 10

Km. O más, por lo tanto un lugar ubicado directamente en la cima de una falla más

profunda que 10 km. Es considerada un sitio de fuente cercana.

Figura H.4 Factor de fuente de cercanía Nv


=============================================================


H.4.5 MCE COEFICIENTE DE RESPUESTA MM

El MCE coeficiente de respuesta MM intenta estimar la respuesta MCE basado en las

características del DBE tales como MM es definida como una función ZNV = 0.075 a

1.20 para ZNV ≥ 0.50 (ver Fig. H.5).

La lógica para asignar valores más grandes MM a eventos más pequeños DBE proviene

del hecho que en regiones con bajo nivel de sismos, el espacio entre los eventos DBE y

MCE generalmente mucho mas grandes que aquellos en las zonas de alto nivel

sísmico, valores de MM están listados en UBC-97 , tabla A-16-D .

H.4.6 COEFICIENTES SISMICOS ESPECTRALES: CVD, CVM y CAD CAM

Estos coeficientes intentan definir el espectro mínimo para ser usado en el diseño. Los

términos CVD y CAD corresponden a la velocidad constante, en regiones del espectro

MCE.

Para las estructuras sísmicas aisladas CVD y CAD son los mismos como CV y CA definidas

para estructuras convencionales por UBC-97, tablas16-Q y 16-R, los valores de CVM y

CAM sin embargo están dados en el apéndice de aislación sísmica de UBC-97 (tabla A-

16-G y A-16-F).

Como se muestra en las figuras H.6 y H.7, CVD y CAD son funciones de factor de zona

sísmica y tipo de perfil de tipo de suelo.

También se nota que para zona 4 los valores mostrados en éstas figuras, deben ser

multiplicados por el factor de fuente de cercanía apropiado NV o NA.

Figura H.5 Coeficiente de respuesta Mm


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Figura H.6 Coeficiente sísmico Cv

Información similar para CVM y CAM está mostrada en las figuras H.8 y H.9, aquí el

coeficiente de respuesta MCE entran en juego. Los valores mostrados en éstas figuras

para MMZNV o MMZNa valores más grandes que 0.40 deberían ser multiplicados por el

factor indicado en la figura.

H.4.7 COEFICIENTES DE AMORTIGUAMIENTO: BD Y BM.

El amortiguamiento β efectivo en el sistema, a los niveles de respuesta DBE y MCE

(referidos como βD y βM) son calculados por las siguientes fórmulas:

= 2

D ,K

histéresis de lazo del totalÁrea

2

1

DD máxDπ

β (H-4)

= 2

M ,K

histéresis de lazo del totalÁrea

2

1

MM máxDπ

β (H-5)

Figura H.7 Coeficiente sísmico Ca


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Figura H.8 Coeficiente sísmico Cvm

Donde: KD,máx y KM,máx son términos efectivos definidos en la sección H.4.8.

El factor de reducción de amortiguamiento β (βD para el DBE y βM para el MCE) están

dados en términos de β en forma tabular (UBC-97, tabla A-16-C) con interpolación

lineal para usar valores intermedios. Una aproximación muy cercana a los valores de

esta tabla está dada por:

)1(25.01 ββ

Ln−= (H.6)

Donde β está dado como una fracción de amortiguamiento crítico (no como

porcentaje).

Valores de β del código y la fórmula están mostrados en la figura H.10.

Figura H.9 Coeficiente sismico Cam


=============================================================


H.4.8. SISTEMA EFECTIVO DE PERÍODOS DE VIBRACIÓN: TD Y TM.

Los períodos TD y TM que corresponden a las respuestas DBE y MCE son calculados de:

gK

WT

DD

min

2π= (H-7)

gK

WT

MM

min

2π= (H-8)

Donde:

W = Peso del edificio.

g = Gravedad.

KD,eff = )/()( −+−+ −− DDDD DDFF

KM,eff = )/()( −+−+ −− MMMM DDFF

KD,min = Valor minimo de KD,eff a DD como determinado por prueba.

KD,max = Valor máximo de KD,eff a DD como determinado por prueba.

KM,min = Valor minimo de KM,eff a DM como determinado por prueba.

KM,max = Valor máximo de KM,eff a DM como determinado por prueba.

Los valores de KD,min, KD,máx, KM,min y KM,máx no son conocidos por el diseñador durante la

fase de diseño preliminar.

El procedimiento de diseño comenzará con un valor asumido de Keff, el cual es obtenido

de ensayos previos en componentes similares o usando características similares del

material y un esquema del aislador propuesto.

Después el diseño preliminar es satisfactoriamente completado. prototipos de aislador

serán ordenados y probados, y los valores de KD,min, KD,máx, KM,min y KM,máx serán

obtenidos de los resultados del programa prescrito de pruebas en los prototipos.

Los términos −+−+MMDD FFFF ,,, y −+−+

MMDD DDDD ,,, son las fuerzas máximas y mínimas y

desplazamientos en los prototipos, correspondientes a los niveles de respuesta DBE y

MCE, usados para determinar las características mecánicas del sistema.

Los resultados de las pruebas del prototipo son usados para refinar el diseño

preliminar, y cuando el análisis dinámico es usado, ellos establecen límites en las

cantidades de diseño, porque la rigidez efectiva y el amortiguamiento efectivo son


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usualmente dependientes del desplazamiento, el proceso de cálculo de períodos

efectivos del sistema y amortiguamientos es reiterativo.

H.4.9. DESPLAZAMIENTO TOTAL DE DISEÑO: DTD Y DTM.

El desplazamiento total de diseño DTD y DTM (el cual incluye torción) están dados por:

+

+=22

121

db

eyDD DTD (H.9)

+

+=22

121

db

eyDD MTM (H.10)

Donde “e” es la excentricidad actual más 5% de excentricidad accidental y “y” es la

distancia a una esquina perpendicular a la dirección de la carga sísmica.

Esta fórmula asume que la carga sísmica KeffD es aplicada a través del centro de masa,

la cual está localizada a una distancia “e” del centro de rigidez (mostrado en la figura

H.11) asumiendo un diseño rectangular, con dimensiones bxd y una distribución

uniforme de aisladores, la rigidez torcional del sistema de aisladores es

12/)( 22 dbKeff + y la rotación θ de igual manera.

[ ] 2222

1212/)( db

De

dbK

DeK

eff

eff

+=

+=θ

El aporte adicional de desplazamiento a rotación es:

ydb

De22

12+

Guiándonos a las ecuaciones (H.9) y (H.10) arriba mostradas, si la rigidez torcional

actual del sistema es calculada y el aporte adicional de desplazamiento a KeffD a través

de “e” se convierte en un menor valor que el dado por las ecuaciones (H.9) o (H.10)

entonces éste valor puede ser usado, pero debe ser al menos 1.1 veces DD y 1.1 veces

DM respectivamente.


=============================================================


El desplazamiento total máximo DTM es requerido para verificación de la estabilidad del

sistema de aislación.

Figura G.10 Dimensiones en planta para el cálculo de DTD y DTM

H.4.10. FUERZAS DE DISEÑO

Las fuerzas de diseño, de la súper estructura y les elementes inferiores de la interfase de aislación se diseñan para un desplazamiento, de diseña D. Los elementes inferiores del sistema de aislación se calculan usando la formula.

DDb DKVMAX

*= (H-11)

Los niveles de esfuerzo para el diseño de les elementos inferiores del sistema aislado en términos de la mínima fuerza sísmica lateral de cortante, esta dada par la formula.

1/* RDKV DDS MAX

= (H-12)

Donde R1 es el factor de reducción de la fuerza de diseño, en un rango de 1.4 a 2 mostrando. Este factor puede ser elegido de acuerdo al factor de reducción R de sistemas estructurales con base fija. En todos los casos el valor de Vs debería ser menor que:

♦ La fuerza sísmica requerida para el código UBC para estructuras de base fija.

♦ Al cortante de base correspondiente a las cargas de diseño por viento. Y.

♦ 1.5 veces la fuerza lateral requerida para activar totalmente la aislación.


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Los factores de reducción para el diseño de base fija son mucho más altos que los de base aislada. Por una razón; Un el elemento importante es el cambio de período. Como la estructura cede el periodo aumenta y la demanda de fuerza se reduce. Simultáneamente el amortiguamiento de la estructura se incrementa, por que debido a la acción histerética el sistema estructural cede. En adición, el sobreesfuerzo y la redundancia tienden a propagar la deformación a otros elementos. En el caso de una estructura aislada, solo el sobreesfuerzo y la redundancia son aplicables.

H.4.11 DISTRIBUCION DE LA FUERZA VERTICAL

En anteriores versiones del código, la distribución vertical de fuerzas de inercia

sobre el sistema estructural estaba basada en la suposición que la

participación de los modos superiores eran insignificantes y que las

aceleraciones eran aproximadamente las mismas en todos los niveles de la

estructura. Sin embargo Existió algún interés, este no podría ser

suficientemente conservador, y la distribución vertical se varió en ediciones

subsiguientes del código UBC a uno donde las fuerzas laterales en el nivel x

denotadas por xF son calculadas a partir de la fuerza de corte en la base sV

por.

∑=

=N

iii

xxSx

hw

whVF

1

*

** (H-13)

Donde xw y iw son los pesos al nivel i o x , xh y ih son las alturas respectivas de la

estructura sobre el nivel de aislación.

Esta formula nos conduce a una distribución triangular de la fuerza, mientras

que la teoría básica indicaría que la distribución debería estar cercana a una uniforme,

una distribución triangular es especificada Para dar una explicación a contribuciones de

modos superiores generadas por no linealidades en el sistema aislado. Por ejemplo, por

barras de plomo en los apoyos elastomeritos, o el efecto de fricción en apoyos

friccionantes.

Que son las implicaciones de este código requerido en términos de un

coeficiente sísmico de cortante de base SC , Encontramos.

I

SS RTB

SZN

W

VC

1*

1*

**==


=============================================================


Por ejemplo, si N=1, Z=0.40, y S=1.40 (UBC-94 Suelo tipo S2 , el que es

aproximadamente equivalente para UBC-97 suelo con perfil tipo SE ) y el sistema tiene

un amortiguamiento viscoso equivalente al 10%, entonces.

=

lS RT

C1

*1

*)47.0(

Que para un elemento estructural con 2=lR y un periodo de 2 segundos, el código

estableció una norma que SC es 0.1175. SC comparable para una estructura de base

fija en la misma zona y tipo de suelo esta dado por.

l

S RTC

1*

60.03/2

=

Y por que R=8.5 cuando 2=IR , el coeficiente de diseño por corte es igual a 0.0706

para un periodo de 1.00 segundo de un edificio de base fija, claramente, las

reducciones en la fuerza sísmica que se esperan por el aislamiento (Aproximadamente

2/1ξ ) no se encuentra disponible en el diseño.

H.4.12 LIMITES DE DESPLAZAMIENTO DE ENTREPISO

El máximo desplazamiento de entrepiso para un edificio aislado es también mas

riguroso que los limites para un edificio de base fija y no debe exceder a lR

01.0 (i.e.,la

deformación elástica debido a DD DK max, aplicado en un modelo triangular para la

estructura no debería exceder al 1%). Este limite es mas pequeño que la mitad de

2.5% permitido para un edificio de base fija con un periodo fundamental mas pequeño

que 0.7 segundos y la mitad del 2% limite permitido para edificios de base fija con un

periodo fundamental mas grande.

H.5 ANALISIS DINAMICO

Espectro de Diseño: Los espectros específicos en el sitio son requeridos si.

• 0.3≥MT segundos o

• El tipo de suelo es ES , FS o

• La estructura esta localizada dentro de los 10 Km de una falla activa.

Un análisis dinámico es también requerido si el periodo efectivo de la estructura

aislada, DT , es mas grande en tres veces que el periodo elástico de la estructura de

base fija sobre el sistema de aislación. Si un espectro de sitio especificado se usa, este


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puede ser mayor o menor, pero este no puede ser menor que el 80% del espectro de

respuesta dado en el código.

H.5.1 ANALISIS TIEMPO HISTORIA

Los pares de componentes horizontales de al menos tres eventos registrados

son necesarios para un análisis de tiempo historia. Los eventos deben ser

representativos del sitio, suelo, características de la fuente, y duraciones consistentes

con el DBE y MCE. El tiempo historia desarrollado para un sitio dentro de los 15 km de

una falla activa principal están obligados a incorporarse los fenómenos cercanos a la

falla. Aunque cerca a la falla los fenómenos no están definidos.

H.5.2 ESCALAS

Para cada par de movimiento del suelo, el SRSS para un 5% de

amortiguamiento es calculado el espectro. Los movimientos son modificados a escala

(multiplicados por un factor) A fin de que el promedio de los espectros SRSS no caigan

por debajo de 1.3 veces el espectro de diseño para el DBE o MCE por más que el 10 %

este encima de DT5.0 segundos para los MT25.1 segundos. Cuando se usa un análisis

dinámico, los valores de diseño son calculados de la siguiente manera.

• Si se usan tres Historias tiempo, el diseño debe basarse en cantidades máximas

de respuesta.

• Si se usa siete historias de tiempo, el diseño puede basarse en cantidades de

respuesta excedente.

Cuando se hace un análisis dinámico, es posible tener desplazamientos y fuerzas de

diseño menores que aquellas dadas por las formulas estáticas equivalentes. Los limites

especificados en los códigos, limitan el rango de valores de diseño pueden caer por

debajo de los valores estáticos, que están resumidos en tabla H.2.

El desplazamiento total de diseño TDD para el sistema aislado puede ser

reducido hasta el 90% que da la formula estática, y el máximo desplazamiento total

TMD puede ser reducido hasta el 80% del resultado obtenido por la formula estática,

los desplazamientos TDD y TMD son calculados a partir de DD y MD por el uso de

múltiplos, y el código permite una reducción adicional reemplazando DD y MD en las

formulas estáticas por 'DD y '

MD , donde:


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2

'

1

+

=

D

DD

TT

DD H-14

2

'

1

+

=

M

MM

TT

DD H-15

SiendoT el periodo de base fija de la superestructura calculada por la formula empírica

del código.

Esta es una reducción adicional a la flexibilidad de la Superestructura. Las

formulas de estática [Eqs. (H-2) y (H-3))] asume que la superestructura es rígida y que

si alguna deformación tiene lugar en la superestructura, el desplazamiento en el

sistema aislado se reduce. Pero usando el modelo de los dos-grado-de-libertad

desarrollado fácilmente e ignorando las aproximaciones muy pequeñas. Es posible ver

que esta formula no es realmente correcta. Así del análisis simple resulta, con

dependencias en la relación de masas γ y relación de frecuencias sb ww / visto en la fig.

H.12, demostrando que la formula correspondiente al resultado para 1=γ y para

1/ ≤sb ww , Las funciones de análisis que la corrección [ Eqs. H-14 y H-15] Estiman

demasiado la reducción en DD y MD debido a la flexibilidad en la superestructura.

TABLA H.2 Valores mínimos del codigo, Cuando se usa un análisi Dinámico.

PARAMETRO ESTÁTICO RESPUESTA ESPECTRAL TIEMPO HISTORIA

DTD DTD≥ 1.10 DD 0.90DTD 0.90DTD

DTM DTM≥ 1.10 DM 0.80DTM 0.80DTM

Vb Vb≥ k DmaxDD ≥0.9Vb ≥0.90Vb

Vs regular Vs≥ k DmaxDD/R1 ≥ 0.8Vs ≥ 0.60VsVs irregular Vs≥ k DmaxDD/R2 ≥ 1.0Vs ≥ 0.80VsDrift 0.010/R1 0.015/R1 0.02/R1


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2.3 FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS.

En la presente tesis estamos analizando dos temas:

_Respuesta dinámica a diferentes direcciones de acción sísmica de una

estructura convencional de base fija.

_Respuesta sísmica de un edificio de base Fija vs. Base Aislada a

acciones sísmicas.

Por lo cual tendremos dos hipótesis las cuales son.

Hipótesis 1:

Demostrar si la estructura puede ser mas vulnerable en

otras direcciones que no sean las principales X e Y en base

a los desplazamientos producidos por una acción sísmica de

la misma magnitud pero actuando a diferentes direcciones.

Hipótesis 2:

Demostrar si una estructura aislada tiene mejor

comportamiento que una estructura de base fija.

Estas demostraciones se harán en base a comparaciones de

desplazamientos laterales (drift) y aceleraciones. La demostración de

estas hipótesis se lo efectuara mediante un análisis dinámico utilizando el

Programa SAP 2000.


=============================================================


3. CAPÍTULO III: METODOLOGÍA DE LA INVESTIGACIÓN

3.1 TIPO Y DISEÑO DE INVESTIGACIÓN.

El tipo de investigación realizada es DOCUMENTAL, aunque se realizaron

las mediciones del edificio en campo, esto no es tan relevante ya que la

tesis tiene su tema principal elaborado en bases documentales, (modelo

matemático del problema).

3.2 PROCEDIMIENTOS Y TÉCNICAS DE RECOLECCIÓN DE DATOS.

La recolección de datos se basa en acumular la mayor cantidad de

información de la estructura en estudio así como también información

sobre la teoría, procedimientos, técnicas, métodos, etc necesarios para el

desarrollo de éste trabajo.

3.3 DESCRIPCIÓN DEL EQUIPO E INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN.

Las mediciones realizadas en el presente trabajo son de dos tipos

de campo y de gabinete.

EQUIPO DE CAMPO E INSTRUMENTOS

Wincha.

Libreta de campo.

Lapicero.

Papel Bond.

Cámara fotográfica.

EQUIPO DE GABINETE E INSTRUMENTOS

Planos.

Escalimetro.

Computadora.

Impresora.

Windows XP.

AutoCAD.

Excel.

Sap 2000 student V 9.1.6.

Útiles de escritorio.

Bibliografía.


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3.4 TECNICAS DE PROCESAMIENTO Y ANALISIS DE DATOS.

3.4.1 PROCESAMIENTO DE DATOS PARA LA HIPOTESIS 1.

Con esta hipótesis se quiere demostrar si la estructura puede ser

mas vulnerable en otras direcciones que no sean las principales X e Y en base

a los desplazamientos producidos por una acción sísmica de la misma

magnitud pero actuando a diferentes direcciones. Para entender mejor el

tema haremos una explicación breve y sencilla del procesamiento en base a

vectores los cuales serán usados en SAP 2000.

Sea )(tP→

una acción externa que varia en función del tiempo (Fuerza

Dinámica), θ es el ángulo que define la dirección de la entrada de dicha

acción con respecto al eje Global X, m es la masa concentrada del sistema

estructural mostrado, esta fuerza puede ser descompuesta en sus dos

componentes ortogonales paralelas a los ejes globales (X , Y) (t)Px y

(t)Py , que son la componente en el eje X e Y respectivamente. De lo

expuesto podemos decir lo siguiente.

Que la fuerza externa )(tP→

al ser aplicada en el centro de masa nos

produce un desplazamiento →D , cuyas componentes son Dx y Dy tal que

D^2=Dx^2+Dy^2.

Que la componente de la fuerza (t)Px multiplicada por un vector unitario

paralelo al eje X nos da el vector (t)Px

→

, y esta fuerza al ser aplicada en el

centro de masas nos produce un desplazamiento 1→D cuyas componentes

son Dxx y Dyx.

Que la componente de la fuerza (t)Py multiplicada por un vector unitario

paralelo al eje Y nos da el vector (t)Py

→

, y esta fuerza al ser aplicada en el

centro de masas nos produce un desplazamiento 2→D cuyas componentes

son Dxy y Dyy.


=============================================================


Por descomposición vectorial sabemos que )(tP→

=(t)Px

→

+(t)Py

→

, por lo

tanto →D = 1

→D + 2

→D reemplazando 1

→D y 2

→D tenemos que:

→D =

++

=

DyyDyx

DxyDxx

Dy

Dx, por lo cual para la presente tesis se analiza la

respuesta sísmica aplicando el método de superposición descrito, cabe

indicar que para obtener los resultados se seguirán procedimientos y

conceptos descritos en el marco teórico.


=============================================================


Para demostrar o rechazar esta hipótesis se procedió del siguiente

modo:

3.4.1.1) SECUENCIA PARA ELABORAR EL MODELO ESTRUCTURAL:

A. LEVANTAMIENTO ARQUITECTONICO:

Para el levantamiento arquitectónico del edificio se contó con los planos de

distribución arquitectónica del proyecto profesional: “EDIFICIO POLICLÍNICO

U.N.C.” y además se hizo mediciones de la estructura existente, quedando los

planos de distribución tal como se presenta en el ANEXO PLANOS.

B. LEVANTAMIENTO ESTRUCTURAL:

Se verificó las secciones de los elementos estructurales de la estructura

existente respecto a los planos, como también distancia entre ejes de vigas,


=============================================================


columnas, zapatas, placas, losas; no existiendo variaciones en la edificación

actual respecto a la del proyecto.

C. MODELO TRIDIMENCIONAL:

Haciendo uso de herramientas CAD se elaboró un modelo en tres dimensiones

con los datos recolectados de los levantamientos antes mencionados, para lo

cual se trabajó con los ejes de la estructura, tomando un punto de referencia

con coordenadas (0,0,0), como podemos apreciar en el ANEXO PLANOS. Para la

exportación del modelo tridimensional al SAP 2000 se optó por exportar el

modelo con extensión DXF.

D. DEFINICIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LOS MATERIALES:

Para definir las propiedades de los materiales se hizo uso de las normas de

Estructuras Peruanas, de la información recolectada apreciamos que todos los

elementos estructurales (Vigas, Columnas, Placas, losas) son de concreto

armado f’c=210kg/cm2 y de una resistencia a la fluencia del acero

fy=4200Kg/cm2.

Para la determinación del modulo de elasticidad del concreto se uso la siguiente

ecuación.

cfEc '15000= (Norma E. 060: Concreto Armado - Parte 4: Requisitos


=============================================================


Generales - Capitulo 9: Requisitos generales para el

Análisis y diseño)

E. CÁLCULO DE MASAS Y CENTROS DE MASA:

Para la obtención del centro de masa se utilizo las ecuaciones de la estática para

cada nivel:

∑

∑

=

==n

i

n

i

Pi

PiXi

Xcm

1

1

*

∑

∑

=

== n

i

n

i

Pi

PiYiYcm

1

1

*

g

PiM

n

i∑

== 1

Donde:

Xcm : Coordenada del centro de masa en la dirección “X”.

Ycm : Coordenada del centro de masa en la dirección “Y”.

M : Masa.

Xi, Yi : Coordenadas del centro de masa de cada elemento.

Pi : Peso de cada elemento.

g : Valor de la gravedad (9.81 m/s2)

Se calculo el centro de masa de Albañilería, Ventanearía, Losas y Cargas Vivas

(Según Norma E. 030: Diseño Sismorresistente - Capitulo 4: Análisis de Edificios

- Artículo 16: Generalidades).

F. CÁLCULO DE INERCIAS:

Se aplicó el teorema de los ejes paralelos conocido con el nombre de teorema de

Steiner.:


=============================================================


MdIxcmIx *2+=

MdIycmIy *2+=

IyIxJ +=

Donde:

Ix, Iy : Momento de inercia en la dirección X, Y respecto a un eje paralelo.

J : Momento polar de inercia.

d2 : Distancia entre ejes paralelos.

Ixcm : Momento de inercia respecto a su centroide dirección X.

Iycm : Momento de inercia respecto a su centroide dirección Y.

El cálculo de las inercias sólo se efectuó de los diafragmas de piso rígido.

G. DEFINICIÓN DE CARGAS DE LA ESTRUCTURA:

Se tomó como base para definir las cargas de la estructura, la distribución

arquitectónica del edificio así como las cargas ya establecidas en el proyecto

original según Reglamento Nacional de Construcciones.

Cargas Muertas o permanentes:

Las que están en función de las dimensiones de los diferentes elementos

y del tipo de material:

Aligerado de e = 25 cm 350 Kg/m2

Aligerado de e = 20 cm 300 Kg/m2

Carga uniforme equivalente a tabiquería 100 Kg/m2

Peso volumétrico del concreto armado 2400 Kg/m3

Unidades de albañilería sólida 1800 Kg/m3

Cobertura 40 Kg/m2

Cargas Vivas o Sobrecargas:

Las que estarán en función del uso al que han sido destinados los diferentes

ambientes del edificio:

Salas de operación, laboratorios 300 Kg/m2

Consultorios 250 Kg/m2

Bibliotecas 300 Kg/m2

Oficinas 250 Kg/m2

Auditorios 300 Kg/m2

Cuartos de proyección 500 Kg/m2

Museos 300 Kg/m2


=============================================================


Corredores y escaleras 500 Kg/m2

Baños 200 Kg/m2

Cobertura liviana 150 Kg/m2

Fuerzas de sismo y/o viento:

Se consideran sólo las fuerzas de sismo horizontales que actúan concentradas a

nivel de cada piso (Centros de Masa), para el cálculo de éstas fuerzas se lo ha

hecho utilizando el análisis modal y tiempo historia, mediante el programa SAP

2000 haciendo actuar el sismo a diferentes direcciones horizontales para el caso de

la estructura convencional de base fija, haciendo uso de la Norma E. 030.

ENTRADA SÍSMICA A UTILIZAR:

La totalidad de la selección de los parámetros sísmicos se hizo haciendo uso de la

Norma E. 030, para poder diseñar el espectro de diseño; los parámetros elegidos

según reglamento fueron:

g.R

ZUSCSa=

25.1

*5.2

=T

TpC ; 5.2≤C

Donde:

Sa : Aceleración espectral.

Z : Factor de Zona.

U : Factor de uso e importancia.

S : Factor de suelo.

C : Factor de amplificación sísmica.

R : Coeficiente de reducción de solicitación sísmica.

g : Aceleración de la gravedad.

T : Periodo de un modo en el análisis dinámico.

Tp : Periodo que define la plataforma del espectro para cada tipo

de suelo.


=============================================================


Para el caso específico de la tesis de acuerdo al reglamento se eligió los siguientes

valores.

De acuerdo a la zonificación Cajamarca se encuentra ubicada en la zona 3

Z = 0.4

De acuerdo a la categoría de las edificaciones podemos ubicar a nuestro edificio

en estudio dentro de la categoría A - Edificaciones esenciales – cuya función no

debería interrumpirse inmediatamente después que ocurra un sismo (Policlínico).

U=1.5


=============================================================


ESPECTRO DE ACELERACIONES RNC-PERU

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14

T

Sa/

g

Para el factor del suelo de acuerdo al análisis de suelos tomado del “Proyecto

Edificio Policlínico UNC” nuestro suelo es de perfil tipo S3: Suelos flexibles con

estratos de gran amplitud.

S3=1.4

Para el caso del Factor de amplificación sísmica “C” el Periodo Tp que define la

plataforma del espectro para perfil de suelo tipo S3, Tp es igual a 0.9 segundos

quedando definido el coeficiente como:

5.29.0

*5.225.1

≤

=T

C .

El Coeficiente de reducción de solicitación sísmica R de acuerdo al sistema

estructural es un sistema porticado de concreto armado.

R=8.

Quedando definida la aceleración espectral por.

gga 2625.0*T

0.9*0.105S

25.1

≤

=


=============================================================


3.4.2 PROCESAMIENTO DE DATOS PARA LA HIPOTESIS 2.

Con esta hipótesis se quiere demostrar que una estructura aislada

por la base tiene mejor comportamiento estructural que una estructura

de base fija. Para demostrar la hipótesis se tuvo que hacer el modelo de

la misma estructura tanto para base aislada como para base fija. Estos

modelos serán sometidos a señales sísmicas de tiempo historia y

aceleraciones del espectro del RNC, en las dos direcciones principales de

análisis convencional. Para poder hacer las comparaciones deseadas, la

estructura de base fija y la aislada por la base tendrán que ser las

mismas, es decir los elementos estructurales que la conforman son los

mismos.

Para demostrar esta hipótesis se precedió del siguiente modo en la

estructura de base aislada:

3.4.2.1 SELECCIÓN DE LOS AISLADORES:

Para la presente tesis el tipo de aislador a utilizara es el Neocelandés con

Núcleo de Plomo.

3.4.2.2 PARAMETROS UTILIZADOS PARA EL DISEÑO DE LOS

AISLADORES:

Los parámetros utilizados para el diseño de aisladores se tomaron

del Uniform Building Code (UBC del 97). Estos parámetros fueron

descritos en el marco teórico.

Fue necesario compatibilizar y adaptar estos parámetros sísmicos

a nuestro medio de acuerdo al tipo de Suelo, Tipo de estructura, cercanía

de Fallas activas, Factor de Zona, coeficiente de reducción sísmica para

este tipo de estructuras aisladas por la base, A continuación se presentan

los criterios para compatibilizar parámetros del RNC – Norma Técnica E-

030 y la UBC 97 de Estados Unidos.

A. CRITERIOS TOMADOS PARA LA COMPATIBILIZACIÓN DE

PARÁMETROS DE LA UBC Y NT E-030:

a. TIPO DE SUELO (S): Para la elaboración del proyecto profesional

de Edificio Policlínico UNC, se tomó correctamente el tipo de suelo S3

de la NTE-030 de acuerdo a las características del suelo del lugar.

Una de las descripciones a las que hace referencia la norma E-030


=============================================================


para la decisión del tipo de suelo es la velocidad de onda de corte

menor que de una roca. La UBC 97` en la tabla 16-J Soil Profile

Types muestra 6 tipos de suelo, el tipo de suelo Sc está justo debajo

de la velocidad de ondas de corte de una roca, se tomó por optar el

suelo Sc de la UBC como equivalente del S3 de la NTE ya que en las

referencias de el Proyecto profesional del policlínico toman una

resistencia del suelo de 1.00 kg/cm2 que significa mejorar bastante el

tipo de suelo existente en el sitio.

b. FACTOR DE ZONA (Z): Para calcular el cortante basal de un

edificio, la norma peruana tiene la misma concepción lógica que la

UBC, por no decir que usa la misma ecuación con algunas pequeñas

variaciones en los períodos y en el límite superior del factor de

amplificación sísmica (C). La NTE-030 establece 3 factores de zona

los que varían de 0.15 para la zona 1 hasta 0.4 para la zona 3. La

UBC (tabla 16-I Seismic Zone Factor Z) establece 5 factores de zona

que varían desde 0.075 para la zona 1 hasta 0.4 para la zona 4, es

fácil notar que la zona 4 de la UBC es equivalente a la zona 3 de la

norma peruana.

La UBC 94` propone parámetros adicionales necesarios para el diseño

de aisladores, en la presente tesis se utiliza éstos parámetros.

El uso de estos parámetros comienza cuando se desea obtener el

desplazamiento máximo de los aisladores que tiene una probabilidad de

10% para ser excedido en 50 años, este desplazamiento está dado por

Bd)*^2*Td/(4*Cvd*g=Dd π y se requiere conocer el coeficiente de

amortiguamiento (Bd), factor de cercanía (Nv) y coeficiente sísmico

espectral (Cvd) de la estructura aislada

Coeficiente sísmico espectral (Cvd): este valor depende del factor

de cercanía a una falla activa (Nv) y de una constante; el coeficiente está

dado por: Cvd=0.56Nv según la tabla 16-R Seismic Ciefficient Cv, que

relaciona el tipo de suelo (S) con el factor de zona (Z) para determinar la

constante.

Tipo de Fuente Sísmica: Es necesario saber el tipo de fuente para

determinar el factor de cercanía (Nv), la UBC en su tabla 16-U Seismic

Source Type describe 3 tipos de fuente sísmica, la descripción se basa en

la capacidad de las fallas de producir eventos sísmicos de grandes

magnitudes, tasas de actividad sísmica y tasas de deslizamiento anuales,

se optó por seleccionar un tipo de fuente sísmica tipo A.


=============================================================


Factor de cercanía: Para calcular este valor la UBC cuenta con la

tabla 16-T Near Source Factor Nv, que relaciona el tipo de fuente sísmica

con la distancia a una falla sísmica activa, se consideró que no existe una

falla sísmica activa a menos de 15km del lugar en estudio, lo que nos

lleva a un Nv=1.00.

Factor de amortiguamiento: La UBC propone calcular este factor

de la tabla A-16-C Damping Coefficients, Bd y Bm, en esta tabla el factor

de amortiguamiento se toma acorde con el amortiguamiento efectivo.

Kelly y Naeim por su parte proponen usar la fórmula (). Se optó por

tomar la fórmula ya que en el rango de nuestros amortiguamientos ésta

formula arroja muy buenas aproximaciones.

Otros parámetros se usan cuando se desea saber el

desplazamiento máximo de los aisladores que tienen una probabilidad de

10% para ser excedido en 100 años, este desplazamiento es

Bm)*^2*Tvm/(4*Cvm*g=Dm π .

Coeficiente de respuesta (Mm): Para calcular el coeficiente sísmico

espectral Cvm = Mm*Z*Nv es necesario tener el valor de Mm, la UBC da

un valor de Mm en función de el factor de cercanía (Nv) y el factor de

zona (Z) en su tabla A-16-D Maximum Capable Earthquake Responce

Coefficient Mm. En nuestro caso se tomó un criterio aproximado

propuesto por Naeim y Kelly que dice que Dm es mayor en 25% a Dd.

c. Factor de reducción de cortante RI, para construcciones de

base aislada: Este factor es tomado acorde con el sistema

estructural de la construcción igual que el factor R para edificios de

de base fija, la tabla A-16-E Estructural Systems Above the Isolation

Interface, en nuestro caso RI=1.6.

La selección de las características mecánicas del caucho se la hizo

de acuerdo a valores establecidos por fabricantes, como es el modulo

de corte y amortiguamiento.

Para el diseño de un aislador elastomérico de Caucho con núcleo

de plomo es de suma importancia la selección del periodo de

vibración que se desea asignar a la estructura, generalmente este

periodo deseado esta en un rango de 2 a 3 segundos. Para el diseño

seleccionamos un periodo adecuado de 2.5 segundos.

La selección de la carga axial es muy importante para el diseño de

estos aisladores, si tomamos una carga axial por debajo de la ideal

puede ocasionar que sea muy flexible ocasionando desplazamientos

muy elevados, lo contrario puede ocurrir si la carga de diseño es muy


=============================================================


Disminucion de fuerzas sismicas gracias al aumento del periodo logrado por el aislamiento de base (Periodos del Bloque estruct ural II)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 2 4 6 8 10 12 14

T

Sa/

g

RNC-ESPECTRO T-Base fija T-Base Aislada

superior a la adecuada puede rigidizar al aislador ocasionando que el

periodo fundamental no sea tal que permita a la estructura alejarla

de las aceleraciones máximas del suelo. La figura muestra la

disminución de fuerzas sísmicas debido al aumento del período

logrado por el aislamiento, de la comparación del bloque II.


=============================================================


3.4.2.3 DISEÑO DEL AISLADOR SELECCIONADO: Se muestra a

continuación el diseño del grupo de aisladores del bloque

estructural I.

¡Error! Vínculo no válido.








=============================================================


5.- CORTANTE DE BASE REDUCIDO

Vs=KH*D/Rw1

Vs= 0.289

Cuando calculamos el maximo nivel de desplazamiento (MCE)

DM= g*CVM*TVM/(4*π^2*BM)

Donde:g (m/s^2): 9.81 (Aceleración de la gravedad)

Z= 0.40 Factor de zonaMM= 1.25 Coeficiente de respuestaNv: 1.00 (Factor de cercanía)

CVM= 1.40 (Coeficiente sísmico espectral)

MM*ZV*NV= 0.50

CVM= 0.70 PARA UN SOLO AISLADORTIPO AISLADOR KEFF

A 0.330

Keff=Kr+Q/D

Kr= 1.508Q= 0.082

DM= 0.315 SE ASUME QUE DM ES MAYOR EN 25% MAS QUE DD

Keff= 1.768

la energia total disipada por ciclo es WD=4*Q*(DM-DY)

PARA UN SOLO AISLADORDy=Q/(9KR) TIPO AISLADOR DY

Dy= 0.006 A 0.009

WD= 0.101

βefec=WD/(2*π*Kefec*DM^2) 9.15% (Coeficiente de amortiguamiento)

BM=1/(0.25(1-Ln(βefec))): 1.18 (Coeficiente de amortiguamiento)

Donde el nuevo periodo es TM=2*π/(K/M)^0.5

TM= 2.22

Conduciendonos a

DM= 0.327m


=============================================================


Recalculandoi Keff con DM 0.327m PARA UN SOLO AISLADORTIPO AISLADOR KEFF

A 0.328Keff= 1.76MN/m

T= 2.22seg

βefec=WD/(2*π*Kefec*DM^2) 8.54%

DTD=(m) 0.285

DTM=(m) 0.370Estos desplazamientos no exeden la dimensión del aislador, lo que hace omitir el problema del Rollout.

+

+=22

121

db

eyDD DTD

+

+=22

121

db

eyDD MTM


=============================================================


Keff(MN/m): 0.347K1(MN/m): 2.627

K2/K1: 0.100Fy(MN): 0.024βefec(%): 12.69%

Keff: Rigidez efectivaK1: Rigidez antes de la fluenciaK2: Rigedez posterior a la fluencia Fy: Fuerza de fluenciaβefec: Amortiguamiento efectivo

Parámetros de Diseño delAislador

HISTERESIS DEL AISLADOR A

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3

DESPLAZAMIENTO m

FU

ER

ZA

MN

LAZO DE HISTERESIS RIG. EFECTIVA

Grafico que muestra la envolvente del lazo de histéresis del Aislador A del Bloque

estructural I, se puede observar claramente el comportamiento bilineal de este mismo.


=============================================================


3.4.2.4 REGISTROS SÍSMICOS A UTILIZAR: Para notar mejor la

diferencia de respuestas del sistema de base fija vs sistema de

base aislada, se introdujo 3 señales sísmicas una espectral que

es el espectro del RNC y dos señales de tiempo historia una que

es representativa en Perú Huaraz 1970, y otra registrada en la

presa de Lexington – Loma Prieta – Estado de California - USA

en 1989. En los anexos se muestra los acelerogramas de dichos

registros.

3.4.2.5 MODELAMIENTO DE LA ESTRUCTURA DE BASE AISLADA:

El modelamiento de la estructura se hizo usando el programa SAP

2000 el cual hace uso del análisis matricial, y de elementos finitos,

para lo cual tuvimos que introducir, las propiedades mecánicas de

los elementos (vigas, Columnas, Placas y Aisladores), además de

introducir las tres señales sísmicas descritas en el acápite anterior,

para el espectro del RNC se uso los criterios de superposición que

se obtienen de la respuesta máxima esperada (r) tanto para las

fuerzas internas en los elementos componentes de la estructura,

para los parámetros Fuerza cortante en la base y desplazamientos

totales.

La respuesta máxima elástica esperada (r) correspondiente al

efecto conjunto de los diferentes modos de vibración empleados

ir . Se determino usando la siguiente

expresión. ∑∑==

+=m

ii

m

ji rrr

1

2

1

75.025.0 .

para modelar también es importante dar los grados de libertad a

analizar el cual para la estructura aislada solo se analizo en las

direcciones X, Y, y la rotación alrededor del eje Z.

3.4.3 ANALISIS DE DATOS HIPOTESIS Nº 01.

Para la hipótesis Nº 01 se analizará desplazamientos versus entrada de

sismo, este análisis se efectuara en los 360º de la circunferencia, con un

incremento de 10º, iniciando en 0º que coincide con el eje global de las

absisas (X) y finalizando el análisis a los 350º, como se muestra en la

figura 3.4.3 (a). Efectuándose una comparación de magnitud entre los ejes

principales (0º y 90º) y los demás ejes, este análisis se efectuara en los

cuatro extremos de los bloques estructurales.


=============================================================


Los resultados generados, tema de interés en la hipótesis 1 de la presente

tesis, son los desplazamientos laterales, los cuales se obtienen a través de

un análisis dinámico (modal) utilizando como herramienta fundamental el

programa SAP 2000. Que utiliza el análisis matricial, modal y elementos

finitos.

La respuesta que deseamos tener de la estructura, para generar los

desplazamientos laterales, está directamente relacionada con la dirección

de entrada de la señal sísmica.

Figura 3.4.3 (a)

Figura 3.4.3 (b)


=============================================================


3.4.4 ANALISIS DE DATOS HIPOTESIS Nº 02

Para este ítem se analizara parámetros de interés en la respuesta

sísmica de una estructura como desplazamientos, aceleraciones y periodo

de vibración.

Desplazamientos: Para poder analizar y comparar los

desplazamientos de la estructura con Aislamiento de Base y la estructura

de base Fija, es necesario medir los desplazamientos máximos con

respecto a los desplazamientos máximos de la base de un modelo

respecto al otro, la finalidad es ver cual de las estructuras tiene mayor

deformación, Es decir el parámetro a comparar será:

.maxmaxmax bii DDD −=∆

.minminmin bii DDD −=∆

Donde

minmax,iD∆ =Desplazamiento relativo a la base.

minmax,iD =Desplazamiento absoluto del nivel i.

minmax,bD =Desplazamiento absoluto de la base.

Este parámetro maxiD∆ y miniD∆ es tanto para la base fija y

también para la estructura con aislamiento sísmico de base.

Estos desplazamientos serán presentados mediante

cuadros y gráficos para una mejor visualización.

Aceleraciones: Para poder analizar y comparar la aceleración de

la estructura con Aislamiento de Base y la estructura de base Fija, es

necesario medir las aceleraciones máximas con respecto a las

aceleraciones máximas en la base de un modelo respecto al otro, la

finalidad es ver cual de las estructuras tiene mayor aceleración relativa.

Es decir el parámetro a comparar será:

.maxmaxmax bii aaa −=∆

.minminmin bii aaa −=∆

Donde

minmax,ia∆ =Aceleración relativa a la base del nivel i.

minmax,ia =Aceleración absoluta del nivel i.

minmax,ba =Aceleración absoluta de la base.

Este parámetro maxia∆ y minia∆ es tanto para la base fija y

también para la estructura con aislamiento sísmico de base.


=============================================================


Este parámetro de interés se representara mediante cuadros y

gráficos para una mejor visualización.

Períodos de vibración: Se hará una comparación del período

fundamental de vibración de la estructura aislada por la base con la

de base fija, para cada bloque estructural. Este período corresponde

al modo representativo de vibración. Se verificará si la estructura

aislada por la base logró su objetivo de desacoplar el movimiento

de la estructura respecto a su base aumentando su período de

vibración. Éste será un indicador que comprueba el buen diseño de

los aisladores y el buen comportamiento de la estructura aislada.


=============================================================


4. CAPITULO IV: PRESENTACION Y DISCUCIÓN DE RESULTADOS

4.1. RESULTADOS DE LA INVESTIGACIÓN

En este ítem se presenta los resultados obtenidos de la investigación los cuales

se presentan mediante cuadros y gráficos tanto para la hipótesis nº 01 y nº 02.

4.1.1 RESULTADOS PARA LA HIPOTESIS Nº 01

En este ítem se presentan los desplazamientos para cada extremo

generados por el programa SAP 2000, los cuales están representados

mediante el uso de cuadros y gráficos radiales por bloque extremo y nivel,

las unidades en las que se representan estos desplazamientos es en el

sistema M.K.S.


=============================================================


CUADROS Y GRAFICOS PARA LA HIPOTESIS 1


=============================================================


CUADROS COMPARATIVOS DE LOS

DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR

SISMOS A DIFERENTES DIRECCIONES EN

LOS EXTREMOS

BLOQUE-I



=============================================================






=============================================================


GRAFICOS COMPARATIVOS DE LOS



LOS EXTREMOS

BLOQUE-I

¡Error! Vínculo no válido.¡Error! Vínculo no válido .¡Error! Vínculo no válido.¡Error! Vínculo no

válido.


=============================================================


GRÁFICAS COMPARATIVAS DE LOS



LOS EXTREMOS

BLOQUE-II


=============================================================


GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION

B-II Extremo 1

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350

2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL 5º NIVEL 6º NIVEL 7º NIVEL

GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMOS A DIFERENTE DIRECCION

B-II Extremo 1

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

S (

m)



=============================================================



B-II Extremo 9

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

4.50E-02

5.00E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-II Extremo 9

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

4.50E-02

5.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCIÓN DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m

)



=============================================================



B-II Extremo 14

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-II Extremo 14

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================


GRAFICO DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS POR SISMO S A DIFERENTE DIRECCION B-II Extremo 21

0.00E+00

1.00E-02

2.00E-02

3.00E-02

4.00E-02

5.00E-02

6.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)


GRAFICO RADIAL DE LOS DESPLAZAMIENTOS GENERADOS PO R SISMOS A DIFERENTE DIRECCION B-II Extremo 21

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

4.50E-02

5.00E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150160

170180

190200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330340

350



=============================================================



=============================================================



B-III Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350

2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL


B-III Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZA

MIE

NTO

S (m

)



=============================================================



B-III Extremo 2

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-III Extremo 2

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

S(m

)



=============================================================



B-III Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-III Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================



B-III Extremo 4

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

010

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350360



B-III Extremo 4

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================



B-IV Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150160

170180

190200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330340

350



B-IV Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

S(m

)



=============================================================



B-IV Extremo 4

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150160

170180

190200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330340

350



B-IV Extremo 4

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZA

MIE

NT

O(m

)



=============================================================



B-IV Extremo 6

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-IV Extremo 6

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO(m

)



=============================================================



B-V Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-V Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

S(m

)



=============================================================



B-V Extremo 6

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-V Extremo 6

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================



B-V Extremo 13

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-V Extremo 13

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================



B-V Extremo 18

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-V Extremo 18

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZA

MIE

NT

O(m

)



=============================================================



B-VI Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-VI Extremo 1

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZ

AM

IEN

TO

(m)



=============================================================



B-VI Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-020

1020

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

140

150

160170

180190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340350



B-VI Extremo 3

0.00E+00

5.00E-03

1.00E-02

1.50E-02

2.00E-02

2.50E-02

3.00E-02

3.50E-02

4.00E-02

0 50 100 150 200 250 300 350 400

DIRECCION DE SISMO

DE

SP

LAZA

MIE

NT

O(m

)



=============================================================


0.6

00

0.300

90º

0º

4.2. ¡Error! Vínculo no válido. ANALISIS DE LA INFORMACIÓN

4.2.1 ANALISIS DE LA INFORMACIÓN HIPOTESIS Nº 01

4.2.1.1 COMPARACIÓN DE RESULTADOS:

Una vez generado los resultados estos serán comparados según su

Desplazamiento absoluto )Dy(DxD 22 += , las comparaciones se

harán en las cuatro esquinas y por nivel de cada bloque estructural

teniendo en consideración que para cada entrada de sismo le

corresponde desplazamientos diferentes, objeto de análisis.

Para las comparaciones hacemos uso de cuadros y gráficos, que

relacionan los desplazamientos con la dirección de entrada de sismo,

presentados anteriormente por bloque estructural, solo se describirá los

gráficos y donde se ha necesario se hará análisis adicionales.

4.2.1.1.1 COMPARACION DE DESPLAZAMIENTOS PARA EL

BLOQUE I- III-IV- V y VI HIPOTESIS 1

De los gráficos y cuadros de los bloques estructurales I – III –IV - V y VI,

podemos apreciar que los desplazamientos máximos para una entrada de

sismo según el RNC y con la configuración estructural simétrica dada

ocurren a la dirección de 0º y 180º con desplazamientos menores a la

dirección de 90º y 270º, estos indicadores nos da a conocer que la los

bloques estructurales son mas vulnerables a la dirección de 0º y 180º,

analizando la distribución de columnas podemos apreciar que

estructuralmente el bloque I tiene cuatro columnas distribuidas tal como

se muestra en la figura 4.1.I (Ver anexos Planos Bloque I) de donde

podemos manifestar que la rigidez estructural del bloque es mayor en la

dirección de 90º y 270º y menor a la dirección de 0º y 180º , esta

condición de desplazamientos es igual en los cuatro extremos como

vimos anteriormente en los gráficos para este bloque y sus cuatro

extremos de columnas (Esquinas).

En estos bloques estructurales los desplazamientos máximos y mínimos

coinciden con los ejes principales 0º y 90º.

Fig. 4.1.I columna típica del bloque I

F90º

F0º


=============================================================


En la figura 4.1.I se puede apreciar que F90º Y F0º son fuerzas

sísmicas actuantes a diferente dirección pero de igual magnitud, los

elementos resistentes (columnas) tienen mayor inercia para la dirección a

90º (cuando se aplica F90º lo que nos indica a grandes rasgos que la

estructura tendrá desplazamientos mayores en la dirección de 0º mas que

en la dirección a 90º. También se puede apreciar que a medida que varia

el ángulo de entrada del sismo de 0º a 90º manteniendo la misma

magnitud de fuerza sísmica de entrada el desplazamiento varia en una

forma radial las graficas mostradas generadas para los desplazamientos se

aproximan a una lemniscata de Bernoulli cuya ecuación es

( ) )(*)cos(* θθθρ SenBA +=

Donde:

:)(θρ Es el desplazamiento lateral de la estructura

producida por la fuerza sísmica de igual magnitud pero

actuando a diferente dirección.

:ByA Son constantes que están en función de la

magnitud de la fuerza sísmica y de la rigidez de la

estructura.

:θ Define el ángulo de entrada del sismo.

4.2.1.2 COMPARACION DE DESPLAZAMIENTOS PARA EL BLOQUE

II- HIPOTESIS 1

En este bloque estructuralmente es asimétrico mientras que

geométricamente es simétrico, esta asimetría en cuanto a rigieses es

causada por las placas donde se ubica el ascensor por lo cual los gráficos

de los desplazamientos en sus cuatro extremos no se asemejan por ello

se hará una comparación de cada extremo de este bloque.

Extremo 1

Este extremo presenta sus máximos desplazamientos a la dirección de

los 310º y 130º ,y sus menores desplazamientos a los 220º y 40º se

puede apreciar que estos desplazamientos máximo y mínimo son

ortogonales para este extremo, otro parámetro de comparación es la

relación entre el desplazamiento máximo y las direcciones principales 0º

y 90º, el cuadro siguiente muestra esta relación del cual podemos

observar que los desplazamientos máximos para todos los niveles esta

en el orden del 30% mas que los desplazamientos máximos en las

direcciones principales.


=============================================================


PISO Nº DESP.2º NIVEL 40 220 0.004993º NIVEL 50 230 0.012994º NIVEL 60 240 0.021415º NIVEL 60 240 0.029646º NIVEL 60 240 0.037027º NIVEL 60 240 0.04206

MINIMOS BLOQUE II EXT. 9DIRECCIONES

PISO Nº DESP.2º NIVEL. 120 300 0.006553º NIVEL. 120 300 0.016134º NIVEL. 120 300 0.025315º NIVEL. 120 300 0.033726º NIVEL. 110 290 0.040947º NIVEL. 0 180 0.04615

DIRECCIONESMAXIMOS BLOQUE II EXT. 9

NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D0º 1.0792E+002º DMAX/D90º 1.0978E+003º DMAX/D0º 1.0577E+003º DMAX/D90º 1.0766E+004º DMAX/D0º 1.0372E+004º DMAX/D90º 1.0557E+005º DMAX/D0º 1.0195E+005º DMAX/D90º 1.0383E+006º DMAX/D0º 1.0066E+006º DMAX/D90º 1.0270E+007º DMAX/D0º 1.0000E+007º DMAX/D90º 1.0263E+00

RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)

NIVEL RELACIÓN VALOR2º DMAX/D00º 134.4040%2º DMAX/D90º 132.8479%3º DMAX/D00º 132.9975%3º DMAX/D90º 130.7149%4º DMAX/D00º 131.4500%4º DMAX/D90º 128.9442%5º DMAX/D00º 129.8871%5º DMAX/D90º 127.6660%6º DMAX/D00º 128.2600%6º DMAX/D90º 126.6701%7º DMAX/D00º 126.9411%7º DMAX/D90º 126.1475%

Extremo 9

A diferencia del extremo anterior que en todos sus niveles los

desplazamientos máximos y mínimos ocurren a la misma dirección, en

este extremo hay cierta variación como se muestra en los siguientes

cuadros.

La relación entre los desplazamientos máximos y los desplazamientos

máximos en la dirección principal (0º y 90º) son mayores en un rango

que va de 0% a 10% más q ue en las direcciones principales, como se

muestra en el cuadro adjunto.


=============================================================


NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D00º 137%2º DMAX/D90º 129%3º DMAX/D00º 136%3º DMAX/D90º 126%4º DMAX/D00º 135%4º DMAX/D90º 124%5º DMAX/D00º 133%5º DMAX/D90º 123%6º DMAX/D00º 132%6º DMAX/D90º 121%7º DMAX/D00º 131%7º DMAX/D90º 121%

RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)BLOQUE II EXT. 14

PISO Nº DESP.2º NIVEL. 120 300 0.006963º NIVEL. 120 300 0.017074º NIVEL. 110 290 0.026785º NIVEL. 110 290 0.035686º NIVEL. 100 280 0.043177º NIVEL. 100 280 0.04779

MAXIMOS BLOQUE II EXT. 21DIRECCIONES

PISO Nº DESP.2º NIVEL 40 220 0.005073º NIVEL 40 220 0.013214º NIVEL 40 220 0.021875º NIVEL 40 220 0.030476º NIVEL 40 220 0.038307º NIVEL 150 330 0.04239

MINIMOS BLOQUE II EXT. 21DIRECCIONES

Extremo 14

En este extremo su configuración de desplazamientos es similar al

extremo 1, presenta sus máximos desplazamientos a la dirección de los

310º y 130º ,y sus menores desplazamientos a los 220º y 40º se puede

apreciar que estos desplazamientos máximo y mínimo son ortogonales

para este extremo, otro parámetro de comparación es la relación entre el

desplazamiento máximo y las direcciones principales 0º y 90º, el cuadro

siguiente muestra esta relación del cual podemos observar que los

desplazamientos máximos para todos los niveles esta en el orden del

21% al 37% mas que los desplazamientos máximos en las direcciones

principales.

Extremo 21

Este extremo tiene una configuración de desplazamientos máximos muy

similar al extremo Nº 09, a continuación se presenta unos cuadros que

nos indica a que dirección ocurren los máximos y mínimos

desplazamientos.


=============================================================


NIVEL RELACION VALOR2º DMAX/D00º 114%2º DMAX/D90º 108%3º DMAX/D00º 112%3º DMAX/D90º 106%4º DMAX/D00º 110%4º DMAX/D90º 104%5º DMAX/D00º 108%5º DMAX/D90º 103%6º DMAX/D00º 107%6º DMAX/D90º 101%7º DMAX/D00º 106%7º DMAX/D90º 101%

BLOQUE II EXT. 21RELACIÓN DMAX/(D0º O D90º)

La relación entre los desplazamientos máximos y los desplazamientos

máximos en la dirección principal (0º y 90º) son mayores en un rango

que va de 0% a 14% más q ue en las direcciones principales, como se

muestra en el cuadro adjunto.


=============================================================


4.3. COMPROBACIÓN O RECHAZO DE LA HIPOTESIS.

HIPOTESIS Nº 01

La hipótesis nº 01 ha sido comprobada ya que en el bloque

estructural Nº II los desplazamientos máximos, no ocurren por

fuerzas sísmicas en las direcciones principales X y Y (0º y 90º).

HIPOTESIS Nº 02

La hipótesis Nº 02 ha sido comprobada ya que en todos los

casos el periodo fundamental de la estructura aislada es mayor

al de la estructura convencional, además los desplazamientos

relativos obtenidos en el sistema con aislamiento de base son

menores que en el de base fija lo que nos indica que una

estructura con aislamiento de base es menos vulnerable que una

estructura convencional.


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5. CAPITULO V

5.1. CONCLUSIONES

5.1.1 CONCLUSIONES HIPOTESIS Nº 01

• La hipótesis Nº 01 ha sido demostrada ya que no siempre

los máximos desplazamientos producidos por los sismos

ocurren a una entrada de 0º y 90º (X y Y).

• En bloques con asimetría estructural (Ejemplo Bloque Nº

II) es necesario hacer un análisis a diferentes direcciones

de entrada de sismo, por que la asimetría estructural de

un edificio modifica el buen comportamiento de este.

• En el bloque estructural Nº II los desplazamientos

máximos producidos fueron causadas por fuerzas

sísmicas que no fueron aplicadas en las direcciones

principales, esto se explica por que en este bloque existen

placas en el ascensor las cuales modificaron el

comportamiento de este bloque.

• En los bloques con simetría estructural y con la

configuración de columnas dadas como en los bloques I,

III, IV, V y VI, los desplazamientos máximos ocurrieron

por fuerzas sísmicas aplicadas en las direcciones

principales.

5.1.2 CONCLUSIONES HIPOTESIS Nº 02

• La hipótesis Nº 02 ha sido demostrada.

• Los periodos obtenidos para el sistema con aislamiento de

base han sido cercanos a los deseados (2.5 Segundos).

• En todos los bloques estructurales los periodos con

aislamiento de base han sido mayores a los periodos del

sistema de base fija.

• Las aceleraciones relativas del sistema aislado fueron

menores que en el sistema de base fija esto se cumplió

en todos los bloques.

• Los desplazamientos relativos de entrepiso en el sistema

aislado han sido menores que en el sistema de base fija

esto se cumplió en todos los bloques estructurales.


=============================================================


• Las aceleraciones acumuladas Vs tiempo en el sistema de

base fija es mayor que un sistema con aislamiento de

base.

5.2. RECOMENDACIONES.

• Para hacer un trabajo de investigación como lo es una

tesis es necesario identificar los parámetros directos e

indirectos que influyen en esta.

• Es necesario seguir haciendo este tipo de trabajos ya que

con más investigación nuestro país y región avanzaran.

• Se recomienda hacer pruebas a escala para verificar estas

hipótesis.


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6. CAPITULO VI

6.1. BIBLIOGRAFIA.

• Normas Peruanas de diseño de Estructuras Instituto de la

Construcción y Gerencia. FONDO EDITORIAL ICG.

• Diseño sísmico de edificios – Bazán/Meli. LIMUSA Noriega

Editores.

• Tesis PROYECTO A NIVEL DE EJECUCION “ Edificio

Policlínico de la UNC”. Octavio Benavides Oblitas, Simon

Ramos Lulaico, Vicente Manuel Tavera Burgos.

• ANALISIS SÍSMICO DE EDIFICIOS Javier Piqué del Pozo,

Hugo Scaletti Farina. Edición Capitulo de Ingeniería Civil.

• Normas Americanas de Aislamiento Sísmico por la Base.

• Norma Chilena 2547c 2002.

• DESING OF SEISMIC ISOLATED ESTRUCTURES From

theory to practice. Farzad Naeim, James M. Nelly./ JOHN

WILEY & SONS, INC.

• DISEÑO SISMO RESISTENTE DE EDIFICIOS Técnicas

convencionales y avanzadas. Luis M. Bozzo. Alex H.

Barbat/ REVERTÉ, S.A.

Engineering

Aislacion sismica tesis pealmave