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El estudio de las figuras planas y sus propiedades geométricas,
abarca a los polígonos en general — tanto regulares como
irregulares — como así también al círculo, que puede ser
considerado un caso especial de polígono.
Dicho estudio comprende:
Las relaciones referentes a las líneas, puntos y ángulos de los
polígonos regulares;
Los métodos para el dibujo de los polígonos regulares;
Los métodos para el cálculo de la superficie de los polígonos
regulares e irregulares.
Líneas y puntos en los polígonos. En los polígonos regulares, se
consideran las propiedades geométricas de las siguientes líneas
y puntos:
El perímetro — que está formado por la continuidad, o la suma,
de todos sus lados.
La diagonal — que es la línea que une dos ángulos no
consecutivos.
El centro — que es el punto que se encuentra a una misma
distancia de todos sus vértices.
El radio — que es la línea que une el centro con uno de sus
vértices; por lo cual un polígono regular tiene tantos radios
como ángulos.
El apotema — que es la línea perpendicular que une el centro
con cualquiera de sus lados; por lo cual un polígono regular
tiene tantos apotemas como lados.
Ir al principio
Líneas y puntos en el círculo.
El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por
lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular
con infinitos lados.
En el círculo se consideran las propiedades geométricas de las
siguientes líneas y puntos:
La circunferencia — que lo delimita, y que es el equivalente al
perímetro.
El centro — es el punto del cual equidistan todos los puntos de
la circunferencia.
El radio — es la medida de distancia entre el centro y la
circunferencia, es el equivalente al radio de los polígonos
regulares, y también al apotema.
El diámetro — que es la línea que pasando por el centro une dos
puntos opuestos de la circunferencia, y por lo tanto mide el
doble del radio, es el equivalente a la diagonal.
La secante — que es la línea que incluye dos puntos de la
circunferencia, sin pasar por el centro. El tramo entre esos
puntos, es la cuerda.
La tangente — que es la una línea recta que toca solamente un
punto de la circunferencia.
El arco — que es el tramo de la circunferencia comprendido
entre dos puntos distintos de la misma.
La flecha — que es la una línea perpendicular al punto medio de
la secante, que lo une con la circunferencia.
El sector — que es la superficie comprendida entre dos radios y
el arco que delimitan.
Los ángulos en los polígonos. En los polígonos regulares se
distinguen dos tipos de ángulos:
Los ángulos interiores — que son los que se forman en el
vértice entre los lados.
Los ángulos centrales — que son los que se forman con vértice
en el centro del polígono, y cuyos lados son los radios que unen
ese centro a dos vértices consecutivos. Por lo tanto, un polígono
regular tiene tantos ángulos centrales, todos iguales, como
lados.
Por lo tanto, como la medida de la suma de todos los ángulos
que pueden formarse alrededor de un punto, es de 360° la
medida del ángulo central de un polígono regular es igual a 360
dividido por la cantidad de lados.
Ángulo central del triángulo equilátero: 360° ÷ 3 = 120°.
Ángulo central del cuadrado: 360° ÷ 4 = 90°.
Ángulo central del pentágono: 360° ÷ 5 = 72°.
Ángulo central del hexágono: 360° ÷ 6 = 60°.
Ángulo central del octógono: 360° ÷ 8 = 45°.
Ángulo central del decágono: 360° ÷ 10 = 36°.
Polígonos inscriptos y circunscriptos.
Se dice que un polígono está inscripto en un círculo, cuando
todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia.
Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando
los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de
su circunsferencia.
Esa determinación se realiza a partir del conocimiento de los
valores de los ángulos centrales del polígono que se desea
construir.
Para trazar un triángulo equilátero inscripto en un círculo,
manteniendo el radio (abertura del compás) empleado para
trazar el círculo, se determina un punto de la circunferencia
(preferiblemente en la vertical inferior de su centro), y
centrando en ese punto se traza un arco con extremos en la
circunsferencia.
Los puntos de intersección (A y B) determinan un lado del
triángulo equilátero; por lo cual tomando la medida de ese
segmento con el compás y trasladándola sobre la parte superior
de la circunferencia, se determinará el vértice (C) de unión de
los otros dos lados.
Cálculo de la superficie de las figuras planas.
La medida de la superficie de las figuras planas, se designa
corrientemente en geometría con el nombre de área. Ella se
expresa en unidades de medida de superficie, que se basan en
la figura del cuadrado; por lo cual se llaman metros, decímetros
o centímetros cuadrados.
El punto de partida para la determinación del método aritmético
de cálculo de la medida de la superficie comprendida en las
figuras geométricas planas, es el estudio del cuadrado.
Subdividiendo un cuadrado en varios cuadrados cuyo lado sea
una parte del cuadrado original, resulta fácil apreciar que la
cantidad de cuadrados menores — que pueden considerarse
como unidad de medida — es igual a la multiplicación del
número de cuadrados contenidos en dos de los lados del
cuadrado originario: 5 × 5 = 25.
Conviniendo en denominar base al lado horizontal del cuadrado
original, y altura el vertical; el procedimiento de cálculo de la
superficie del cuadro puede expresarse en la fórmula:
SUPERFICIE DEL CUADRADO = BASE × ALTURA
En el caso del rectángulo, el mismo procedimiento permite
establecer que el procedimiento de cálculo de su superficie es
igual al del cuadrado: 5 × 8 = 40.
SUPERFICIE DEL RECTÁNGULO = BASE × ALTURA
La fórmula de cálculo del área del triángulo, es una derivación
de las anteriores, atendiendo a que la diagonal de rectángulos
lo divide en dos triángulos; por lo cual la superficie de todo
triángulo es igual a la mitad de la del polígono que resultaría de
duplicarlo tomando uno de sus lados como eje de simetría: 5 × 8
= 40 ÷ 2 = 20. Si se observa un trapecio, se percibe que cada
una de sus diagonales lo convierte en la suma de dos triángulos.
Por lo tanto, la superficie de un trapecio es la suma de las
superficies de uno de los dos pares de triángulos que se forman
al trazar una diagonal.
En el trapecio, se denomina base mayor al mayor de sus lados
paralelos, y base menor al otro lado paralelo. De tal manera, la
base mayor resulta ser la base de uno de los triángulos, y la
base menor resulta ser la base del otro; en tanto que la altura
del trapecio es la altura de ambos triángulos. Puede obtenerse
la suma de ambas superficies en una única operación, sumando
ambas bases, dividiendo el resultado entre 2, y multiplicando
por la altura: 9 + 6 = 15 ÷ 2 = 7,5 × 5 = 37,5.
Propiedad fundamental de los polígonos regulares.
Observando las resultantes del estudio de las líneas de los
polígonos regulares se detecta la siguiente propiedad
fundamental:
En todos los polígonos regulares, el trazado de sus radios los
divide en tantos triángulos como lados posean; cuyas alturas
son iguales al apotema del polígono, y cuyas bases sumadas son
iguales al perímetro del polígono.
EN CONSECUENCIA, LA SUPERFICIE DE UN POLÍGONO REGULAR SERÁ IGUAL A LA SUMA DE LAS SUPERFICIES DE LOS TRIÁNGULOS QUE LO FORMAN. EXTENDIENDO LA FÓRMULA DE CÁLCULO DE LA SUPERFICIE DEL TRIÁNGULO, SE DED
puntos notables del triangulo
Altura es cada una de las rectas perpendiculares trazadas desde
un vértice al lado opuesto (o su prolongación).
Ortocentro
Es el punto de corte de las tres alturas.
Medianas de un triángulo
Mediana es cada una de las rectas que une el punto medio de un
lado con el vértice opuesto.
Baricentro
Baricentro
Es el punto de corte de las tres medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el
segmento que une el baricentro con el vértice mide el doble que
el segmento que une baricentro con el punto medio del lado
opuesto.
BG = 2GA
Mediatrices de un triángulo
Mediatriz es cada una de las rectas perpendiculares trazadas a
un lado por su punto medio.
Circuncentro
Circuncentro
Es el punto de corte de las tres mediatrices.
Es el centro de una circunferencia circunscrita al triángulo.
Bisectrices de un triángulo
Bisectriz es cada una de las rectas que divide a un ángulo en
dos ángulos iguales.
Incentro
Es el punto de corte de las tres bisetrices.
Es el centro de una circunferencia inscrita en el triángulo.
Recta de Euler
Recta de Euler
El ortocentro, el baricentro y el circuncentro de un triángulo no
equilátero están alineados; es decir, pertenecen a la misma
recta, llamada recta de Euler.
ángulos entre paralelasÁngulos entre paralelas
Dos rectas que se cortan decimos que son secantes. Al cortarse
determinan 4 ángulos, como puedes ver en la figura. Pero esos
ángulos están relacionados entre sí, de modo que si
conociéramos cuanto mide uno de ellos, podríamos determinar
inmediatamente los otros tres.
Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas,
reciben distintos nombres. Los llamamos ángulos opuestos por el
vértice cuando comparten el vértice y los lados de uno son
prolongación de los lados del otro, como sucede en los ángulos A
y C. Decimos que son ángulos adyacentes cuando tienen el
vértice y un lado común y los otros lados tales que uno es
prolongación del otro. Son adyacentes, por ejemplo, el A y el B.
Cuando dos rectas paralelas son cortadas por otra recta, a la que
llamaremos transversal se forman 8 ángulos, como puedes ver en
la figura. Estos ocho ángulos también guardan una estrecha
relación entre sí, de modo que, como en el caso anterior, en
cuanto conocemos uno de ellos podemos averiguar lo que valen
los demás.
La posición relativa de los ángulos con respecto a las rectas hace
que esos ángulos reciban unos nombres específicos. Así,
llamamos ángulos correspondientes a los que están situados al
mismo lado de las paralelas y al mismo lado de la transversal.
Son correspondientes, por ejemplo, el A y el E, o también el B y
el F.
Llamamos ángulos alternos internos los que están a distinto lado
de las paralelas y a distinto lado de la transversal. Son alternos
internos el B y el H y también el C y el E.
Son ángulos alternos externos los que están en la parte exterior
de las paralelas, a distinto lado de ellas y a distinto lado de la
transversal.
