UNIVERSIDAD TÉCNICA DE MANABÍ

INSTITUTO DE CIENCIAS BÁSICASTEMA:APLICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIASA PROBLEMAS DE VACIADO DE TANQUES

ELABORADO POR:

DOCENTE: ING. JOSÉ GUANOLUISA

Planteamiento del problemaEncontramos las ecuaciones

diferenciales en la mayoría de las áreas de la Ingeniería Civil, abarca desde la Resistencia de Materiales hasta la Hidráulica. No obstante, debemos recordar que además tienen como propósito servir como mecanismo para estudiar los cambios que se presentan en el mundo físico. Son por estas razones que se plantean aplicaciones como la del problema de braquistócrona, las leyes de Kepler, el oscilador armónico, la teoría potencial, entre otras, debido a que el tratamiento matemático de estos problemas es un gran logro para la sociedad.

La base de la enorme cantidad de aplicaciones corresponde a que la derivada se puede interpretar como el índice de cambio de una variable respecto de la otra, y las variables que explican los fenómenos que se relacionan entre sí por sus índices de cambio. Cuando se manifiestan estas relaciones a través de símbolos matemáticos se obtiene una gran cantidad de ecuaciones diferenciales.

En el presente documento se trata de coordinar, de una manera adecuada, el conocimiento teórico con las distintas aplicaciones, específicamente con el problema del vaciado de tanques, para lograr una comprensión clara sobre los conceptos y sistemas de que se necesitan para resolver la problemática en estudio

*Formulación del problema

A partir del problema planteado se manifiesta lo siguiente: ¿Qué tipo de ecuaciones diferenciales podemos aplicar para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el contenido líquido de un tanque?

*JustificaciónEl incentivo principal del presente documento investigativo es promover una percepción general del uso de las ecuaciones diferenciales de primer orden en el vaciado de tanques, con la finalidad de ofrecer una fuente de conocimiento en el campo del análisis matemático a los estudiantes y personas en general que se han planteado preguntas con relación al tema objeto de esta investigación.

Se pretende resolver preguntas como: ¿Por qué ciertos tanques se vacían más rápido que otros si tienen tamaño similar e igual contenido?, ¿Por qué no es proporcional la salida del líquido con el tiempo?, a través de la aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden para calcular y determinar el tiempo que se requiere en vaciar un tanque por gravedad, debido a que existen variaciones de presión en los tanques con respecto al nivel del líquido, identificando a la vez en qué momento se vuelve más lento el flujo de salida, demostrando finalmente que a menor cantidad de líquido dentro de un tanque será menor el caudal y la velocidad de salida.

GENERAL ESPECÍFICOS

Aplicar ecuaciones diferenciales ordinarias para calcular el tiempo que se tarda en vaciar el contenido líquido de un tanque.

Definir las ecuaciones diferenciales ordinarias, así como su orden, grado y tipo de solución.

Calcular el tiempo que tarda el vaciado de tanques mediante la resolución de ejemplos de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias.Comparar el tiempo de salida del líquido calculado por las ecuaciones diferenciales y el tiempo medido por un cronómetro y determinar posibles factores que afectan este fenómeno a través de métodos numéricos.

OBJETIVOS

Presentar los resultados calculados numéricamente.

Marco Teórico, conceptual y referencial

Marco

teórico

En las ciencias Matemáticas el Análisis se ha convertido en una de las ramas que ha tenido

relevancia durante trescientos años, el

Análisis centra su estudio en las ecuaciones

diferenciales, ya que además es una de los mejores métodos para

comprender las ciencias físicas y las distintas

técnicas que se utilizan en ella.

Las ecuaciones diferenciales aparecen en modelos

matemáticos que tratan de describir situaciones de la

vida real. Así, muchas leyes naturales pueden ser traducidas al lenguaje matemático mediante

ecuaciones que envuelven derivadas, como en física,

donde la velocidad y la aceleración aparecen como derivadas; en biología, la

derivada se utiliza como una razón de crecimiento de poblaciones; en química,

como rapidez de reacciones, entre otros más.

Una ecuación diferencial es una relación entre una

función y una o varias de sus

derivadas sucesivas. La

incógnita en estas ecuaciones en la función que se

está derivando.

Una ecuación que establece una relación entre la variable independiente x, la función buscada y sus

derivadas y, y’, y’’,…, yn se llama ecuación diferencial.

Ecuación diferencial

aquellas que contienen derivadas respecto a una sola variable independiente.

Ecuaciones diferenciales ordinarias:

aquellas que contienen derivadas respecto a dos o más variables.

Ecuaciones en derivadas parciales:

El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la ecuación.

Orden de una ecuación

diferencial. Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.

Grado de una ecuación

diferencial

Marco conceptual

Una función que verifica la ecuación, pero que no se obtiene particularizando la solución general.

Si fijando cualquier punto P=(X_0,Y_0) por donde debe pasar necesariamente la solución de la ecuación diferencial, existe un único valor de C, y por lo tanto de la curva integral que satisface la ecuación, éste recibirá el nombre de solución particular de la ecuación en el punto P=(X_0,Y_0), que recibe el nombre de condición inicial. Es un caso particular de la solución general, en donde la constante (o constantes) recibe un valor específico

una solución de tipo genérico, expresada con una o más constantes. La solución general es un haz de curvas. Tiene un orden de infinitud de acuerdo a su cantidad de constantes (una constante corresponde a una familia simplemente infinita, dos constantes a una familia doblemente infinita, etc). En caso de que la ecuación sea lineal, la solución general se logra como combinación lineal de las soluciones (tantas como el orden de la ecuación) de la ecuación homogénea (que resulta de hacer el término no dependiente de ni de sus derivadas igual a 0 más una solución particular de la ecuación completa.

Solución de una

Ecuación Deferenci

al.

Solución particul

ar:

Solución general:

Solución

singular:

Marco referencial

TEOREMA DE TORRICELLI

𝑉 𝑡=√2∗𝑔 (h+ 𝑣02

2∗𝑔 )

El teorema de Torricelli es una aplicación del principio de Bernoulli y estudia el flujo de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio, bajo la acción de la gravedad. A partir del teorema de Torricelli se puede calcular el caudal de salida de un líquido por un orificio. "La velocidad de un líquido en una vasija abierta, por un orificio, es la que tendría un cuerpo cualquiera, cayendo libremente en el vacío desde el nivel del líquido hasta el centro de gravedad del orificio":

𝑉 𝑟=𝐶𝑣 √2∗𝑔∗h

Para velocidades de aproximación bajas, la mayoría de los casos, la expresión anterior se transforma en:

Experimentalmente se ha comprobado que la velocidad media de un chorro de un orificio de pared delgada, es un poco menor que la ideal, debido a la viscosidad del fluido y otros factores tales como la tensión superficial, de ahí el significado de este coeficiente de velocidad.

El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que dependerá del nivel de líquido en el mismo. Al no haber ingreso de masa sal tanque, esta descarga provocará un cambio en el contenido inicial del equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma:

VACIADO DE TANQUES

12𝑚𝑣2= h𝑚𝑔 →𝑣=√2 h𝑔

𝑣=√2 h𝑔

Modelo Matemático Del Vaciado De Tanques

Sea h (t) la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y V(t) el volumen del agua del tanque en ese instante. La velocidad v del agua a través del orificio es

Donde g es la gravedad. La ecuación anterior representa la velocidad que una gota de agua adquirirá al caer libremente desde la superficie del agua hasta el agujero. En condiciones reales, hay que tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, por lo que se obtendrá

Donde c es el coeficiente de descarga comprendido entre 0 y 1. En algunos problemas, cuando el coeficiente de descarga no se indica, se asume que c=1.

Se considera un recipiente lleno de agua hasta una altura h, donde A es el área de la sección transversal constante, y a es el área de un orificio de sección transversal por el que fluye el agua, el cual está ubicado en la base del tanque. Sea h la altura del agua en el tanque en un tiempo t (nivel 1) y h + Ah la altura en un tiempo t + At (nivel 2). Se desea establecer la altura del líquido en el tanque en cualquier instante t y el tiempo que este demora en vaciarse. La cantidad de agua que se pierde cuando el nivel baja de 1 a 2 es igual a la cantidad de agua que se escapa por el orificio.

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, la cual al resolver sujeta a la condición de conocer la altura inicial h0 para el tiempo t=0, permite obtener la variación de la altura del líquido en el tanque en función del tiempo.

Según el Teorema de Torricelli, la razón con la que el agua sale pro el agujero (variación dl volumen de líquido en el tanque respecto al tiempo) se puede expresar como el área del orificio de salida por la velocidad v del agua. Esto es Sustituyendo en la ecuación:Si A(h) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura h, aplicando el método del volumen por secciones transversales se obtiene

𝑣=∫0

h

𝐴 (h ) h𝑑

Derivando respecto a t y aplicando el teorema fundamental del cálculo

𝑑𝑉𝑑𝑡 =−𝑎𝑣

𝑑𝑉𝑑𝑡 =−𝑎𝑐√2 h𝑔

𝑑𝑉𝑑𝑡 =𝐴(h) h𝑑

𝑑𝑡

Comparando las ecuaciones

𝐴 (h ) h𝑑𝑑𝑡=−𝑎𝑐√2 h𝑔

Algunos Tipos De Tanques

Caso 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro d.

Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C, así:

Entonces de la ecuación se despeja el tiempo

Esto es el tiempo que demora en vaciarse el tanque cilíndrico vertical. y separando variables,

Integrando

Caso 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo.

Entonces Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0=0 y h=2r, se halla la constante de integración. El tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0

Caso 3: Un cono circular recto de altura h0 y radio R dispuesto verticalmente con orificio circular en el fondo de diámetro d.

 

Por semejanza de triángulos se conoce que

Condiciones iniciales cuando t=0 y h= h0, el tiempo de vaciado tv se produce cuando h=0

El diseño de tanque más difundido es sin dudas, el tanque cilíndrico de eje vertical con fondo plano. Considerando este y otros diseños, ya detallados, como base se puede calcular el tiempo de descarga de los mismos, que se pueden obtener simplemente utilizando la ecuación diferencial, hallada anteriormente, claro, teniendo en cuentas las condiciones iniciales que se dan en cada caso.

Tiempo De Descarga En Tanques Y Recipientes

Influencia De La Geometría Del Recipiente

Muchos problemas físicos dependen de alguna manera de la geometría. Uno de ellos es la salida de líquido de un tanque a través de un orificio situado al

fondo del mismo. La forma geométrica del recipiente

determina el comportamiento físico del agua. A medida que se produce la descarga del líquido y según la forma geométrica del tanque, pueden presentarse dos

situaciones:Que el área transversal del recipiente sea constante en toda su altura, o

Que el área transversal varíe en distintos niveles.

Aplicaciones

CASO 1: Cilindro circular de altura h0 y radio R, dispuesto en forma vertical y con un orificio circular de diámetro d.

Hy separando variables,

Integrando

Con las condiciones iniciales t=0 y h= h0, se halla la constante C así:

Entonces de la ecuación se despeja el tiempo

CASO 2: El mismo cilindro pero dispuesto horizontalmente y con el orificio en el fondo

Entonces Reemplazando en (*)

Con las condiciones iniciales, t0= 0 y h=2r, se halla la constante de integración. El tiempo de vaciado t(v) se produce cuando h=0.Un cilindro recto circular de 10 pies de radio y 20 pies de altura, está lleno con agua. Tiene un pequeño orificio en el fondo de 1 pulgada de diámetro, ¿Cuándo se vaciará el tanque?

Esta ecuación debe resolverse sujeta a la condición que para t=0, y h=20 pies

Luego se integra

Se sustituyen los resultados en la ecuación

Sustituyendo los valores iniciales del problema

−14400 √h=𝑡−14400√20∗− 114400

Descriptiva

Bibliográfica

El estudio y la recolección de información acerca del problema planteado llevan a describir y brindar información sobre el vaciado de tanques, los resultados se

interpretan objetivamente.

La información en el proyecto se basa en fuentes bibliográficas, libros adicionalmente también de fuentes informáticas.

Métodos de investigaciónEl proyecto se adecuó a los propósitos de la investigación no experimental. Exponiendo los objetivos en el presente estudio, brindamos análisis sobre las ecuaciones diferenciales en los vaciados de tanques.

Metodología Tipo de investigaciónCon respecto al tema objeto de estudio referente a la aplicación de ecuaciones diferenciales ordinarias a problemas de vaciado de tanques, la investigación se enmarco dentro de la siguiente metodología: Descriptiva y bibliográfica.

*CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

•Se invita al uso de las ecuaciones diferenciales ordinarias aplicadas en problemas de vaciado de tanque para calcular el tiempo que tarda drenarse el líquido porque nos permite determinar las incógnitas que buscamos.

•Para obtener un resultado lo más exacto posible en el cálculo del tiempo del drenado de un taque hay que tener en cuenta los factores que puedan dar a un pequeño marguen de error, pero igual es algo mínimo por lo que no afecta mucho aquello por lo que calculamos el tiempo.

Recomendaciones

Se recomienda saber las definiciones de las ecuaciones diferenciales ordinarias en su orden, grado y tipo para así de esta manera tener un mejor manejo de ellas en las diversas áreas y problemas que este tipo de ecuaciones son usadas.