Aplicación de la derivada

Fernando Emiliano Barajas Díaz15490543

Cálculo diferencial e integral (9:00-10:00)

Máximos y mínimosUna función f tiene un máximo absoluto (máximo global) en c si © >= para toda x en D donde D es el dominio de . El número f(c) se llama valor máximo de f en D.De manera análoga, f tiene un mínimo absoluto en c si f(x) <= f(x) para toda x en D; el número f(c) se denomina valor mínimo de f en D.

Los valores máximo y mínimo de f se conocen como valores extremos de f.

ExtremosSi c es un número crítico de una función continua f.Si f’(x) cambia de positivo a negativa en c,

entonces f tiene un máximo local en cSi f’(x) cambia de negativa a positiva en c,

entonces f tiene un mínimo local en cSi f’(x) no cambia de signo en c (esto es, f’ es

positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados), entonces f carece de extremo local en c

ConcavidadSea f(x) una función derivable en el intervalo (a.b), entonces:Se dice que la gráfica de f(x) es cóncava hacia

arriba si f’(x) es creciente en dicho intervaloSe dice que la gráfica de f(x) es cóncava hacia

abajo si f’(x) es decreciente en dicho intervalo

Teoremas (concavidad)Si f”(x) >0 para todo x en (a,b), entonces la gráfica

de f(x) es cóncava hacia arribaSi f”(x) <0 para todo en x en (a,b), entonces la

gráfica de f(x) es cóncava hacia abajoSi f”(x) =0 para todo x en (a,b), entonces la gráfica

de f(x) es una línea recta

Graficar las funciones es una de las herramientas visuales que permiten determinar los puntos críticos y las concavidades de una función

Funciones crecientes y decrecientes

Sea f una funcion continua con ecuacion y = f(x), definida en un intervalo [a,b]. La siguiente es la repre- sentacion grafica de f en el intervalo [a, b].

Funciones crecientes y decrecientes

En la representacion grafica anterior puede observarse la funcion f es: 1. Creciente en los intervalos ]a, x3[ , ]x5, x6[2. Decreciente en los intervalos ]x3, x5[ , ]x6, b[

Las derivadas en la administración

Las derivadas resultan de cierta utilidad en este rubro dada su naturaleza para realizar cálculos marginales, es decir, hallar la razón de cambio cuando se agrega una unidad adicional al total, sea cual fuere la cantidad económica en cuestión (costo, ingreso, beneficio o producción).

Las derivadas en la microeconomía

Teniendo en cuenta que la microeconomía es el estudio sobre la asignación de los recursos escasos entre finalidades alternativas; el análisis de este estudio se asocia con la teoría de precios y sus derivaciones. Extrapolar esto en conjunto con las unidades microeconomicas tales como la familia, y a las derivadas en sus distintas presentaciones (razón de cambio, variación instantánea, etc.) optimiza los resultados de cualquier investigación.

Ejemplo ASi x es el número de unidades de un bien; y el

precio de cada unidad entonces las funciones de oferta y demanda pueden representarse: Y=f(x)

Donde Si: f>0 ; la funcion es de Oferta Si: f<0 ; la funcion es de Demanda

El punto de interseccion de las funciones de Oferta y Demanda se llama punto de equilibrio

Continuación del ejemplo A

Para hallar el punto de equilibrio y las pendientes en ese punto de las funciones de Oferta y Demanda respectivamente:Y= (2008 -8x –x^2) / 16 ;y= (x^2) / 13 Y= (208 -8x –x^2) / 16 = x=8 ;y=5Y= (1+x^2)/13 = -11.5 : y = 10.4Se toma en cuenta solo la 1ra solución ya que x debe ser siempre positivo.

Ejemplo BSea C=f(x) la funcion de Costo que una empresa incurre al producir x unidades de un cierto artículo o proveer cierto servicio.

El costo marginal se define como la razón instantanea de cambio del costo respecto al número de artículos producidos o de bienes ofrecidos:

Continuación del ejemplo B

El costo marginal representa el costo de producir un artículo adicional de los normalmente producidas.

Para fines prácticos la función de costo se modela a través de una función polinominal:

Continuación del ejemplo B

Donde el término a0 representa los costos fijos (rentas, mantenimientos, etc) y los demás términos representan los costos variables (gasto en los insumos, sueldos y salarios, etc). Si se deriva esta función, se observa que el costo marginal solo depende de los costos variables, es decir, la capacidad instalada no influye en el costo de incrementar la producción.

ConclusionesLas teorías administrativo-contables utilizan modelos formales que intentan explicar y predecir, utilizando supuestos simplificadores, el comportamiento de los consumidores y productores, y la asignación de los recursos que surge como resultados de su interación en el mercado; dicho esto, el cálculo de derivadas puede llegar a ser un instrumento útil si se vincula de forma pertinente y correcta.