Aplicaciones de los números complejos

En matemáticas

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Un raíz o cero del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0;

Un resultado importante de esta definición es que todas las ecuaciones polinómicas (algebraicas) de grado n tienen exactamente n soluciones en el cuerpo de los números complejos, esto es, tiene exactamente n complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple que si z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado; por esto los matemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora de resolver ecuaciones.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas)   del polinomio característico, lo que permite expresar la solución

general del sistema en términos de funciones de base de la forma:  .

Fractales

Muchos objetos fractales, como el conjunto de Mandelbrot, pueden obtenerse a partir de propiedades de convergencia de una sucesión de números complejos. El análisis del dominio de convergencia revela que dichos conjuntos pueden tener una enorme complejidad auto similar.

En física

Los números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de las señales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo   podemos pensar en   como la amplitud y en   como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos una corriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal)

como la parte real de una función de variable compleja de la forma   donde ω representa la frecuencia angular y el número complejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades e inductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas). Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a la intensidad de corriente.

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios de Hilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).

En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son mucho más simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

Raíz cuadrada de un número negativo

En matemáticas se denomina raíz cuadrada de un número a otro número que siendo mayor o igual que cero, elevado al cuadrado, es idéntico al primero. Se puede decir entonces que el cálculo de una raíz cuadrada corresponde a la operación opuesta de lo que se llama cuadrar un número. Se nota la raíz cuadrada de un número x de esta forma:

√x.

En este artículo veremos entonces que sucede con la raíz cuadrada de un número negativo.Si se eleva un número negativo a segunda potencia, el resultado será positivo:

(-5) × (-5) = 25.

Pero también tenemos conocimiento que √25 puede ser -5

Esto es así ya que cada raíz tiene dos soluciones. Una de estas soluciones es positiva

mientras que la otra es negativa. Habitualmente nos interesamos tan sólo en la solución

positiva.

¿es posible realizar el cálculo de la raíz de un número negativo?

Este caso es tiene gran diferencia con el que explicamos al principio. Puesto que la

situación es la siguiente:

√-25.

Entonces,

¿Existe entonces la posibilidad hallar un número cuya potencia secundaria sea

correspondiente -25?

Sabemos que 5 no es una opción puesto que 5 × 5 = 25. Y -5 tampoco sirve ya que,

(-5) × (-5) = 25.

Por lo cual concluimos en que no hay solución en el conjunto de los reales (o sea aquellos

números que poseen una expresión decimal y abarcan tanto a los números racionales,

como 38, 37/22, 29,4, como a los números irracionales, que no pueden representarse en

forma fracción y que poseen también infinitas cifras decimales sin periodicidad).Pero esto

no se cumple si nos referimos a los números imaginarios.

Los números imaginarios son aquellos que tienen como cuadrado a un número negativo.

En el año 1777 el matemático y físico suizo Leonhard Euler denotó a la raíz de -1 con la

letra i. Si recordamos siempre que debemos multiplicar por √-1 cuando tenemos “i” nos

será fácil resolver problemas donde hacen falta las raíces cuadradas de los números

negativos. Cualquier número imaginario puede ser expresado como ib. b corresponde a

un real y como ya hemos dicho, la letra i hace referencia a la unidad imaginaria, con la

siguiente propiedad:

Si nos referimos a los números imaginarios podemos encontrar la solución para √-25 =

5i,o para cualquier otro número negativo, donde i es la unidad imaginaria. Dicha unidad

puede ser utilizada para el desarrollo de la raíz cuadrada de los números con signo

negativos. De igual modo la raíz de un número imaginario es a la vez un complejo.

También es importante saber que la raíz de un número complejo será habitualmente otro

número complejo.

RAIZ CUBICA DE 1 APLICANDO LA LEY DE MOIVRE

Resultado:

GRAFICA

r=√(1)2+(0)2

3√1

r=√1

r=1

∅=arcotan1=0.78 rad

3√1 3√1¿¿

PeriodicidadK= 0

113 ¿¿3√1

3√11[cos (0.26 )+isen(0.26)]

Forma Binomica:0.96 + 0.25i

RAICES CUBICAS DE i APLICANDO LA LEY DE MOIVRE

Resultado:

GRAFICA

3√ i

r=√(0)2+(1)2

r=√1

r=1

3√1 3√1¿¿

PeriodicidadK= 0

113 ¿¿3√1

3√1

1[cos (0.26 )+isen(0.26)]

Forma Binomica:0.96 + 0.25i

∅=arcotan1=0.78 rad

1. Aplique la raíz cubica a resolver (i y 1)

2. Sustituí el valor de 1e i por el numero entero3. Multiplique los dos términos que están en la raíz y después los sume y le saque la

raíz del resultado4. Después, saque la tangente de 1 en radianes5. Multiplique el coseno y el seno por 1 que es lo que vale la i y el 1.6. Saque el valor de K7. Multiplique la raíz cuadrada en números fraccionarios con el coseno y el seno de

la tangente y lo dividí entre 3 que es lo que vale la raíz cuadrada.8. Saque el resultado del coseno y el seno con el resultado del anterior paso.9. Finalmente saque la forma binomica del coseno y el seno.10. Trace la grafica