2. C L C U L O DE V A R I A S V A R I A B L E S T R A S C E N D
E N T E S T E M P R A N A S S P T I M A E D I C I N J A M E S S T E
W A R T McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO T r a d u c c i
n Mara del Carmen Rodrguez Pedroza R e v is i n tc n ica Dr.
Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional en Ingeniera y Tecnologas
Aplicadas Instituto Politcnico Nacional M. en C. Manuel Robles
Bernal Escuela Superior de Fsica y Matemticas Instituto Politcnico
Nacional Dr. Abel Flores Amado Coordinador de la materia de Clculo
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey Campus
Puebla Mtro. Gustavo Zamorano Montiel Universidad Popular Autnoma
del Estado de Puebla CENGAGE ** Learnng1 Australia Brasil Corea
Espaa Estados Unidos* Japn Mxico Reino Unido Singapur
3. CENGAGE t+ Learning1 Clculo de varias variables.
Trascendentes tempranas Sptima edicin James Stewart Presidente de
Cengage Learning Latinoamrica Fernando Valenzuela Migoya Director
Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para
Latinoamrica Ricardo H. Rodrguez Gerente de Procesos para
Latinoamrica Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para
Latinoamrica Ral D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de
Contenidos en Espaol Pilar Hernndez Santamarina Coordinador de
Manufactura Rafael Prez Gonzlez Editores Sergio Cervantes Gonzlez
Gloria Luz Olgun Sarmiento Diseo de portada Irene Morris Imagen de
portada Irene Morris Composicin tipogrfica 6Ns D.R. 2012 por
Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de Cengage
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Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, Mxico, D.F. Cengage
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informacin, a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo27
de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por
escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus. Early
trascendentals. Seventh Edition. James Stewart Publicado en ingls
porBrooks/Cole, una compaa de Cengage Learning 2012 ISBN:
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Clculo de varias variables. Trascendentes tempranas. Sptima edicin
ISBN: 978-607-481-8987 Visite nuestro sitio en:
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1 4 1 3 1 2
4. Contenido P r e f a c io ix A l e s tu d ia n te xxiii E x m
e n e s d e d i a g n s ti c o x x v Ecuaciones paramtricas y
coordenadas polares 635 10.1 C urvas definidas po r m ed io d e
ecuaciones p aram tricas 636 Proyecto de laboratorio
Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 644 10 .2 C
lculo con curvas p aram tricas 645 Proyecto de laboratorio Curvas
de Bzier 653 10.3 C o o rd en ad as polares 654 Proyecto de
laboratorio Familias de curvas polares 664 10 .4 reas y longitudes
en co o rd en ad as polares 665 10 .5 S eccio n es cnicas 670 10 .6
S eccio n es cnicas en co o rd en ad as polares 678 R ep aso 685 P
r o b l e m a s a d i c i o n a l e s 688 Sucesiones y series
infinitas 689 11.1 S ucesiones 690 Proyecto de laboratorio
Sucesiones logsticas 703 11 .2 Series 703 11.3 L a pru eb a d e la
integral y estim acin de sum as 7 1 4 11 .4 P ruebas po r co m p
araci n 722 11 .5 Series alternantes 727 11 .6 C o n v erg en cia
absoluta y las pruebas d e la razn y la raz 732 11.7 E strategia
para p robar series 739 11 .8 Series de potencias 741 11 .9 R
epresentacin de las funcionescom o series de potencias 746 1 1 .1 0
Series de T ay lo r y d e M aclaurin 753 Proyecto de laboratorio Un
lmite escurridizo 767 Redaccin de proyecto Cmo descubri Newton la
serie binomial 767 v
5. V i CONTENIDO 11.11 A plicaciones de los p olinom ios de T
aylor 768 Proyecto de aplicacin Radiacin proveniente de las
estrellas 777 R epaso 778 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e s
781 Vectores y geometra del espacio 785 12.1 S istem as tridim
ensionales de coordenadas 786 12.2 V ectores 791 12.3 El p roducto
pun to 800 12.4 El p roducto cruz 808 Proyecto para un
descubrimiento Geometra de un tetraedro 816 12.5 E cu acio n es d e
rectas y planos 816 Proyecto de laboratorio Poniendo tres
dimensiones en perspectiva 826 12.6 C ilindros y superficies
cudricas 827 R epaso 834 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e s
837 Funciones vectoriales 839 13.1 F un cio n es vectoriales y
curvas en el espacio 840 13.2 D erivadas e integrales de funciones
vectoriales 847 13.3 Longitud de arco y cu rv atu ra 853 13.4 M o v
im ien to en el espacio: velocidad y aceleracin 862 Proyecto de
aplicacin Leyes de Kepler 872 R e p as o 873 P r o b l e m a s a d
i c i o n a l e s 876 Derivadas parciales 877 F un cio n es de
varias variables 878 L m ites y continuidad 892 D erivadas
parciales 900 Planos tangentes y apro x im acio n es lineales 915 R
egla de la c ad e n a 924 D erivadas direccionales y el vector
gradiente 933 V alores m x im o s y m n im o s 946 Proyecto de
aplicacin Diseo de un camin de volteo 956 Proyecto para un
descubrimiento Aproximaciones cuadrticas y puntos crticos 956
6. CONTENIDO V I I 14.8 M ultiplicadores d e L agrange 957
Proyecto de aplicacin Ciencia para cohetes 964 Proyecto de
aplicacin Optimizacin de turbinas hidrulicas 966 R ep aso 967 P r o
b l e m a s a d i c i o n a l e s 971 Integrales mltiples 973
Integrales d obles sobre rectngulos 97 4 Integrales iteradas 982
Integrales d obles sobre regiones generales 988 Integrales d obles
en co o rd en ad as polares 997 A plicaciones de las integrales
dobles 1003 rea de superficie 1013 Integrales triples 1017 Proyecto
para un descubrimiento Volmenes de hiperesferas 1027 Integrales
triples en co o rd en ad as cilindricas 1027 Proyecto de
laboratorio Interseccin de tres cilindros 1032 Integrales triples
en co o rd en ad as esfricas 1033 Proyecto de aplicacin Carrera de
objetos circulares 1039 15.10 C am b io de variables en integrales
m ltiples 1040 R ep aso 1049 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e
s 1053 Clculo vectorial 1055 16.1 C am p o s vectoriales 1056 16.2
Integrales de lnea 1063 16.3 T e o re m a fu ndam ental d e las
integrales de lnea 1075 16.4 T e o re m a de G reen 1084 16.5 R
otacional y d iv erg e n cia 1091 16.6 S uperficies param tricas y
sus reas 1099 16.7 Integrales de superficie 1110 16.8 T e o re m a
d e S tokes 1122 Redaccin de proyecto Tres hombres y dos teoremas
1128 16.9 El teo rem a d e la d iv erg e n cia 1128 16.10 R esum en
1 135 R ep aso 1136 P r o b l e m a s a d i c i o n a l e s
1139
7. v iii CONTENIDO Ecuaciones diferenciales de segundo orden
1141 17 . 1 E cu acio n es lineales de seg u n d o orden 1142 17.2
E cu acio n es lineales no h o m o g n e as 1148 17.3 A plicaciones
de las ecu acio n es diferenciales de seg u n d o orden 1156 17.4 S
olu cio n es po r series 1164 R epaso 1169 Apndices A1 F D em o
straci n de teorem as A2 H N m ero s co m p lejo s A l 3 I R
espuestas a ejercicios de n m ero im par A21 ndice A51
8. Prefacio Un gran descubrimiento resuelve un gran problema,
pero siempre hay una pizca de descubrimiento en la solucin de
cualquier problema. El problema puede ser modesto, pero si desafa
su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas para
resolverlo por sus propios medios, usted puede experimentar la
emocin y disfrutar el triunfo del descubrimiento. G E O R G E P O L
Y A El arte de la en seanza, d ijo M ark V an Doren, es el arte de
ayudar a descubrir. He in te n tado escribir un libro que ayude a
los estudiantes a descubrir el C lculo, tanto por su u ti lidad
prctica c o m o por su sorprendente belleza. En esta edicin, c o m
o en las seis prim eras ediciones, mi objetivo es m o strar a los
estudiantes un sentido de la utilidad del C lculo y desarrollar en
ellos u n a c o m p e ten c ia tcnica, pero tam bin intento
ilustrar la belleza in trn seca de la m ateria. Sin duda, N ew ton
ex perim ent una sensacin de triunfo c u an d o hizo sus grandes
descubrim ientos: es mi d eseo que los estudiantes co m p artan un
poco de esa sensacin. El nfasis e st en la co m p ren si n de los
conceptos. C reo que casi todo el m u n d o est d e acuerdo con que
esta co m p ren si n debe ser el objetivo principal de la en se an
z a del C lculo. D e h echo, el im p u lso para la actual refo rm a
en la en se an z a del C lculo vino d esd e la C o n feren cia de T
ulane en 1986, donde se form ul su prim era recom endacin: C o n
cen tra rse en la com prensin d e lo s co n cep to s He intentado
im p lem en tar este objetivo m ediante la reg la d e lo s tres:
Los tem as deben presentarse con enfoques geom tricos, num ricos y
algebraicos . L a visualizacin, la e x p e rim e n tac i n n u m
ric a y g rfica y otro s e n fo q u es han m o d ific a d o la m a
n e ra en que se en se a el razo n am ien to conceptual. L a regla
de los tres se h a am p liad o para convertirse en la reg la d e lo
s cu a tro al hacer hincapi en la verbalizacin y lo descriptivo. En
la redaccin de la sptim a edicin me he p ropuesto lograr u n a co m
p ren si n c o n ceptual y co n serv ar an lo m ejo r del C lculo
tradicional. El libro contiene elem en to s de la reform a, pero
den tro del c o n tex to d e un currculo tradicional. Versiones
alternativas He escrito otros libros d e clculo que podran ser
preferidos po r algunos m aestros. La m ay o ra de ellos tam bin
vienen en versiones de u n a variable y d e varias variables. C
lculo: tra n scen d en tes tem p ra n a s, sptim a edicin, versin
hbrida, es sim ilar al presente libro en co n ten id o y co b ertu
ra salvo q u e todos los ejercicios d e la seccin estn d isponibles
slo en E nhanced W ebA ssign. El texto im p reso incluye un repaso
de todo el m aterial al final de captulo. C lcu lo , sptim a
edicin, es sim ilar al presente libro de texto ex cep to que las
funciones trigonom tricas inversas, logartm icas y exp o n en
ciales se tratan en un seg u n d o sem estre.
9. X PREFACIO C lculo, sptim a edicin, versin hbrida, es
similar al libro C lculo, sptim a edicin, en co n ten id o y co b
ertu ra salvo que todos los ejercicios al final d e la seccin estn
d isponibles slo en E nhanced W ebA ssign. El texto im preso
incluye un repaso de todo el m aterial al final del captulo. C lcu
lo esen cia l es un libro m u ch o m s breve (800 pginas), aunque
contiene casi todos los tem as del C lculo, sptim a edicin. La
relativa brevedad se logra a travs de una exposicin m s concreta de
algunos tem as y poniendo algunas caractersticas en el sitio web. C
lcu lo esencial: tra n scen d en tes tem p ra n a s se asem eja a C
lcu lo esen cia l, slo que las funciones trigonom tricas inversas,
exponenciales y logartm icas se tratan en el captulo 3. C lculo: co
n cep to s y c o n texto s, cuarta edicin, d estaca la c o m p ren
si n conceptual an m s fuertem ente que este libro. L a cobertura
de tem as no es e n ciclo p d ica y el m aterial sobre funciones
trascendentes y ecuaciones param tricas es tejido a lo largo del
libro en lugar de ser tratados en captulos separados. C lculo: prim
eros vecto res introduce los vectores y las funciones vectoriales
en un prim er sem estre y las integra en todo el libro. Es adecu ad
o para los estudiantes que tom an cu rso s de ingeniera y fsica sim
ultneam ente con el d e Clculo. C lcu lo a p lica d o a b revia d o
e st d estinado a estudiantes de negocios, ciencias sociales y
ciencias d e la vida. [ Qu hay de nuevo en la sptima edicin? L o s
c a m b io s han sido un re su lta d o d e los c o m e n ta rio s d
e m is c o le g a s y e stu d ia n te s de la U n iv ersid ad de T
o ro n to y de la lec tu ra de diarios, as c o m o d e las su g e
ren c ias de los u su a rio s y los revisores. E stas son alg u n
as de las m u c h a s m ejo ras q u e he in co rp o ra d o e sta ed
icin. Parte del m aterial h a sido reescrito para m ayor claridad o
m ejo r m otivacin. V ase, po r ejem p lo , la introduccin a las
series en la pgina 703 y la m otivacin para el p roducto cruz en la
pg in a 808. Se han agregado nu ev o s ejem p lo s (vase el ejem
plo 4 en la p g in a 1021), y las soluciones a algunos d e los ejem
p lo s existentes han sido am pliadas. El p ro g ram a de arte h a
sido renovado: se han incorporado nuevas figuras y un porcentaje im
portante de las actuales figuras han sido redibujadas. Se han
actualizado los datos de ejem p lo s y ejercicios para ser m s
pertinentes. Se h a agregado un nu ev o proyecto: L as F a m ilia s
d e curx'as p o la re s (pgina 664) exhiben las fascinantes form as
de curvas polares y c m o ev o lucionan en el contexto de una
familia. L a seccin sobre la superficie de la grfica de u n a
funcin de dos variables h a sido restaurada c o m o seccin 15.6
para la com odidad de los instructores a qu ien es les gusta e n se
arlo d esp u s de las integrales dobles, aunque el tratam iento c o
m p le to de la superficie se m antiene en el captulo 16.
10. PREFACIO X S igo b u sc a n d o ejem p lo s de c m o el
Clculo se aplica a m u ch o s aspectos del m undo real. En la pgina
909 podr v er herm osas im genes de la fuerza del cam p o m agntico
terrestre y su seg u n d a d erivada vertical calculada a partir de
la ecuacin de Laplace. A gradezco a R oger W atson por traer a mi
atencin c m o sta se utiliza en la geofsica y la exploracin d e m
inerales. M s de 2 5 % de los ejercicios de c a d a captulo son
nuevos. stos son algunos de m is favoritos: 11.2.49-50,
11.10.71-72, 12.1.44, 12.4.43-44 y los problem as 4, 5 y 8 de las
pginas 837-838. Mejoras tecnolgicas Los m ed io s de c o m u n
icaci n y tecnologa para ap o y ar el texto se han m ejo rad o para
d ar a los profesores un m a y o r control sobre su curso, p
roporcionar ay u d a adicional para hacer frente a los diversos
niveles de preparacin de los estudiantes del cu rso de C lculo y
fortalecer el ap o y o para la com prensin conceptual. L as
caractersticas del n u e v o E n h an c ed W eb A s s ig n incluyen
(en ingls) un C e n g a g e Y o u B o o k p e rso n aliza d o , un
re p aso J u s t in T im e, un S h o w y o u r W ork, un E v a lu a
d o r d e re sp u e sta s, un Plan d e e s tu d io p e rso n aliza
d o , M aster It, so lu ci n en videos, v id eo clip s d e c o n
fere n cias (con preguntas aso ciad as) y un V isu a lizin g C a
lcu lu s (an im acio n es T E C con preguntas asociadas) que se han
d esarrollado para facilitar el m ejo r aprendizaje d e los
estudiantes y hacer flexible el trabajo docente en el aula. El T E
C (H erra m ien ta s p a ra E n q u e c e r el C lcu lo ) h a sido
com p letam en te rediseado y e st disponible en Enhanced W eb A
ssig n , C ou rseM ate y Pow erL ecture. Selected V isuals y M
odules estn disponibles en w w w .stew artcalcu lu s.co m
Caractersticas EJERCICIOS CONCEPTUALES La m an e ra m s im portante
de fom entar la com prensin co nceptual es a travs d e los p ro b
lem a s que p ro ponem os. Para ello he ideado varios tipos d e
problem as. A lg u n o s c o n ju n tos de ejercicio com ien zan
solicitando la explicacin del significado d e los conceptos bsicos
de la seccin. (V ase, por ejem p lo , los prim eros ejercicios en
las secciones 11.2, 14.2 y 14.3). D el m ism o m o d o , todas las
secciones d e repaso com ien zan con u n a verifi cacin de c o n
cep to s y un E x am en rpido V erdadero-Falso. L os ejercicios de
verificacin de com prensin conceptual a travs de grficos o tablas
se ven en los ejercicios 10.1.24-27, 11.10.2, 13.2.1-2, 13.3.33-39,
14.1.1-2, 14.1.32-42, 14.3.3-10, 14.6.1-2, 14.7.3-4, 15.1.5-10,
16.1.11-18, 16.2.17-18 y 16.3.1-2. O tro tipo de ejercicios
utilizan la descripcin verbal para verificar la co m p ren si n c o
n ceptual. C onsidero de valor especial los problem as que co m b
in an y co m p aran los enfoques num ricos, grficos y algebraicos.
CONJUNTOS DE EJERCICIOS C ad a con ju n to de ejercicios es cu
idadosam ente calificado, pro g resan d o desde ejercicios
CALIFICADOS co n cep tu ales bsicos y p ro b lem as para el
desarrollo d e h abilidades hasta p ro b lem as m s desafiantes d e
aplicaciones y dem ostraciones. DATOS DEL MUNDO REAL M is a y u d
an tes y y o h e m o s p a sa d o m u c h o tiem po b u sc a n d o
en b ib lio tecas, p o n in d o n o s en c o n ta cto con e m p re
sa s y o rg a n is m o s g u b ern am en tales, y b u s c a n d o
in fo rm aci n en in tern et con el fin d e p resen tar, m o tiv a
r e ilustrar los c o n c e p to s del C lcu lo a partir de
11. X PREFACIO datos del m u n d o real. C o m o resultado, m u
ch o s de los ejem p lo s y ejercicios se tratan con funciones d
efinidas po r estos datos num ricos o grficos. Por ejem p lo , las
funciones de dos variables son ilustradas por una tabla de valores
del ndice de viento fro c o m o una funcin de la tem p eratu ra y
la velocidad del viento (ejem plo 2 d e la seccin 14.1). Las deriv
ad as parciales son introducidas en la seccin 14.3 con la revisin
de una c o lu m n a en u n a tabla de valores del ndice d e calo r
(tem peratura percib id a del aire) c o m o u n a fu n cin de la
tem p eratu ra actual y la h u m ed ad relativa. Este e jem p lo
est con ectad o con las apro x im acio n es lineales (ejem plo 3 de
la seccin 14.4). L as deriv ad as direccionales se introducen en la
seccin 14.6, utilizando un m ap a de curvas de tem p eratu ra para
estim ar la razn d e cam b io d e la tem p eratu ra d e R eno en
direccin a L as V egas. L as integrales d obles son usadas para
estim ar el p ro m ed io de nevadas en C olo rad o durante el 20 y
21 de diciem bre de 2006 (ejem plo 4 de la seccin 15.1). Los cam
pos vectoriales son introducidos en la seccin 16.1 a trav s de re p
re se n ta c io n e s actu ales de los c a m p o s v e cto riales
de los pailo n es de la velocidad del viento en la B aha de San
Francisco. P R O Y E C T O S U n a m an era de interesar y activar
a los estudiantes es hacerlos trabajar (quizs en grupos) en
proyectos ex ten d id o s que den la sensacin d e triunfo al
obtener un logro sustancial una vez finalizados. H e incluido
cuatro tipos de proyectos: p ro y e c to s d e a p lic a c i n que
in v o lucran aplicaciones diseadas para apelar a la im aginacin de
los estudiantes. El proyecto d esp u s de la seccin 14.8 utiliza
los m ultiplicadores de L agrange para d eterm in ar la m as a de
las tres etap as del lanzam iento de un cohete, as c o m o tam bin
m in im iz a r la m as a total m ientras el cohete alcanza la
velocidad deseada. Los p ro y e c to s d e la b o ra to rio se
refieren a la tecnologa: el que sigue de la seccin 10.2 m uestra c
m o usar curvas de B zier para d ise a r fo rm as q u e rep resen
tan letras para u n a im p reso ra lser. L os p r o y e c to s p a
ra un descubrim iento exploran aspectos de la geometra: tetradrica
(despus de la seccin 12.4), h iperesferas (despus de la seccin
15.7) e intersecciones de tres cilindros (despus de la seccin
15.8). El proyecto escrito, d esp u s de la seccin 17.8, ex p lo ra
los orgenes h ist ricos y fsicos del teo rem a de G reen y del
teorem a de Stokes, y la interaccin de los h o m bres involucrados.
Proyectos adicionales se encuentran en la g u a d e l instructor. R
E S O L U C I N DE P R O B L E M A S L os estudiantes suelen tener
dificultades con problem as p a ra los q u e no existe algn p ro
ced im ien to bien definido para obtener la respuesta. C reo que
nadie h a m ejo rad o m u ch o la estrategia de G eorge P o ly a c
o n sus cuatro etap as para resolver un problem a, po r lo que, en
co n secuencia, he incluido u n a versin d e sus principios para
resolver problem as, d espus del captulo 1. E stos principios,
tanto explcita com o im plcitam ente, se aplican en todo el libro.
D e sp u s de los otros c ap tu lo s he c o lo c ad o seccio n es
llam ad as p ro b le m a s a d ic io na les, q u e incluyen ejem p
lo s d e c m o afrontar problem as difciles de C lculo. En la selec
cin de los variados p ro b lem as para estas secciones tom en cu en
ta el co n sejo d e David Hilbert: un p ro b lem a m atem tico debe
ser difcil p a ra co n v en cern o s, pero no inaccesible c o m o
para frustrar nuestros esfu erz o s . C u an d o propongo estos
desafiantes p ro b lem as en tareas y ex m en es, los califico d e
m an era diferente. A q u prem io significativam ente a un
estudiante po r sus ideas y aportaciones orientadas h acia u n a
solucin y po r reco n o cer c u les principios d e resolucin de p
ro b lem as son relevantes. TECNOLOGA L a d isp o n ib ilid ad d e
la tec n o lo g a no h ace m enos, sino m s im p o rtan te c o m p
re n d e r c la ram ente los conceptos que subyacen en las im genes
en la pantalla. C uando se utilizan correctam ente, las
calculadoras y dispositivos de graficacin son poderosas herram
ientas para analizar y com p ren d er los conceptos. Este libro de
texto puede utilizarse con o sin tec nologa y utilizo dos sm bolos
especiales para indicar claram ente cundo se requiere un tipo
especial de m quina. El icono ^ indica un ejercicio que definitivam
ente requiere de esta tec nologa, pero no indica que no sea posible
usarla en otros ejem plos. El sm bolo |sac| se utiliza para problem
as que requieren todos los recursos de un sistem a algebraico com
putarizado (Derive, M aple, M athem atica o la TI-89/92). A pesar
de todo, la tecnologa no deja obsole tos al lpiz y papel. Con
frecuencia son preferibles los clculos y trazos hechos m anualm
ente
12. PREFACIO x iii H E R R A M IE N T A S P A R A E N R IQ U E
C E R EL C L C U L O T A R E A S S U G E R ID A S E N H A N C E D W
e b A s s ig n w w w . s t e w a r t c a l c u l u s . c o m para
ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores c o m o
estudiantes necesitan d e sa rrollar la capacidad de decidir c u n
d o es apropiado trabajar a m an o o con m quina. T E C es un acom
paante de este libro de texto y est pensado para en riquecer y c o
m p le m entar su contenido (disponible desde internet en w w w
.stew artcalculus.com y en Enhanced W ebA ssign y C ourseM ate). D
esarrollado por Harvey K eynes, D an Clegg, H ubertH ohn y por m, T
E C utiliza un enfoque exploratorio y de descubrim iento. En las
secciones del libro do n d e la tecnologa es particularm ente
apropiada, los iconos al m argen dirigen a e stu d ian tes hacia m
dulos T E C que proporcionan un ento rn o d e laboratorio en el que
puede e x p lo rar el tem a de diferentes m aneras y en diferentes
niveles. V isu a l s o n a n im a c io n e s de f ig u r a s e n el
texto: M o d u le so n a c tiv id a d e s m s e la b o r a d a s e
in clu y e n ejercicios. Los profesores pueden optar por participar
en varios niveles diferentes, que van desde sim p le m ente alentar
a los estudiantes a usar V isual y M odule para la exploracin
independiente, hasta asignar ejercicios especficos de los incluidos
en M odule, o a la creacin de ejercicios adicionales, laboratorios
y proyectos que hacen uso de V isual y M odule. A q u se presentan
tareas sugeridas en form a d e preguntas y tratan de e m u la r un
asistente efectiv o de e n se a n z a al fu ncionar c o m o un
discreto tutor. En c a d a seccin del texto se incluyen sugerencias
para los ejercicios representativos (no rm alm en te im pares),
indicando el n m ero del ejercicio en rojo. L os ejercicios estn c
o n stru id o s d e m an era que no revelan m s de la solucin real
d e lo que es m n im o necesario para av an zar m s y estn
disponibles a los estudiantes en stew artcalculus.com , C ourseM
ate y E nhanced W ebA ssign. L a tecnologa est teniendo im p acto
en la form a en que se asignan tercas a estudiantes, particularm
ente en grupos num erosos. El uso de tareas en lnea es creciente y
su inters d e p en d e de la facilidad de uso, calidad d e
calificacin y confiabilidad. Con la sptim a e d i cin h em o s
estad o trabajando con la com unidad de C lculo y W eb A ssig n
para desarrollar un sistem a m s slido de tareas en lnea. Hasta 7 0
% de los ejercicios de c a d a seccin son asignables c o m o tareas
en lnea, incluyendo respuestas libres, opcin mltiple y otros varios
form atos. El sistem a tam bin incluye ejem p lo s activos, en los
que los estudiantes son guiados en tutoriales paso a paso a travs
de ejem p lo s textuales, con en laces al libro de texto y a las
soluciones en video. L as nu ev as m ejo ras al sistem a incluyen
un eB o o k personalizable, una m u estra d e las caractersticas d
e su trabajo (Show Y o u r W ork), un repaso de prerrequisitos de
preclculo (Ju st in T im e), un editor de tareas m ejorado (A ssig
n m en t E ditor) y un e v alu a do r de respuestas (A n sw er E va
lu a to r) que acepta respuestas m atem ticam ente equivalentes y
perm ite la calificacin de las tareas del m ism o m o d o en que lo
hace el profesor. Este sitio incluye lo siguiente. T areas
sugeridas R epaso d e lgebra Mi calcu lad o ra m iente y la c o m p
u ta d o ra me dijo H istoria de las m atem ticas, con vnculos a
los m ejo res sitios histricos T p ico s adicionales (co m p lem en
tad o s con con ju n to s de ejercicios): series de fourier, frm
ulas para el trm ino del residuo en la serie de T aylor, rotacin de
ejes P roblem as archivados (ejercicios d e prctica que aparecieron
en las ediciones anteriores, ju n to con sus soluciones) P roblem
as de desafo (algunos de los problem as especiales que aparecieron
en secciones de ediciones anteriores) V n cu lo s p a ra tpicos
particulares a recursos externos de la w eb T o o ls for E n rich
in g C alculus (T E C ), M odule y V isual
13. PREFACIO Exmenes de diagnstico Un previo de Clculo 1
Funciones y modelos 2 Lmites y derivadas 3 Reglas de derivacin 4
Aplicaciones de la derivada 5 Integrales 6 Aplicaciones de la
integracin 7 Tcnicas de integracin 8 Aplicaciones adicionales d la
integracin Contenido El libro c o m ie n z a con cuatro ex m en e s
d e diagnstico relacionados con lgebra bsica, geo m etra analtica,
funciones y trigonom etra. Se p resen ta una visin general del tem
a e incluye u n a lista de preguntas para m otivar el estudio del
clculo. D esde el principio, se hace hincapi en varias
representaciones d e las funciones: verbal, num rica, visual y
algebraica. U n a discusin d e los m o d elo s m atem tico s c o n
d u ce a una revisin de las funciones estndar, incluyendo las
funciones e x p o n en ciales y logartm icas, d esd e esto s cuatro
puntos d e vista. El m aterial sobre lm ites est m otiv ad o po r
un debate previo acerca d e los p ro b lem as d e la recta tangente
y la velocidad. Los lm ites son tratados desde puntos de vista
descriptivos, grficos, n u m rico s y algebraicos. L a seccin 2.4,
sobre la definicin precisa e -8 de un lm ite, es u n a seccin
opcional. L as secciones 2.7 y 2.8 tratan de deriv ad as (especialm
ente con funciones definidas grfica y n um ricam ente) antes de
estudiar las reglas de derivacin en el cap tu lo 3. A q u los ejem
p lo s y ejercicios exploran los significados de derivadas en
diversos contextos. L as deriv ad as de orden super.or se presentan
en seccin 2.8. A q u se derivan todas las funciones bsicas,
incluyendo las ex ponenciales, logartm icas y trigonom tricas
inversas. C u an d o las deriv ad as se calculan en situaciones
aplicadas, se pide a los estu d ian tes e x p licar su significado.
En este c ap tu lo se e stu d ian el crec im ien to y d ecaim ien
to exponencial. Los hechos bsicos relativos a los valores extrem os
y a las form as de las curvas se deducen del teo rem a del valor m
edio. Las grficas con tecnologa hacen hincapi en la interaccin
entre el C lculo y las calculadoras y el anlisis de las fam ilias
de curvas. Se proporcionan algunos p ro b lem as im portantes,
inclu y en d o una explicacin del porqu necesita levantar su c a b
e z a 42 para ver la parte superior de un arcoris. Los problem as
del rea y la distancia sirven para m otivar el estudio de la
integral definida, recurriendo a la notacin sigm a c ad a vez que
sea necesario. (En el apndice E se proporciona un tratam iento com
pleto de la notacin sigm a.) Se enfatiza la explicacin del
significado de la integral en diversos contextos y en la estimacin
de sus valores en grficas y tablas. A q u presento las aplicaciones
de la integracin rea, volum en, trabajo, valor prom edio que razo n
ab lem en te pueden hacerse sin tcnicas especializadas d e
integracin. Se hace hincapi en m to d o s generales. El objetivo es
que los estudiantes p uedan dividir u n a c a n tidad en trozos peq
u e o s, estim arla con sum as de R iem ann, y reconocer su lmite c
o m o u n a integral. A q u se cubren los m to d o s estn d ar
pero, por supuesto, el verd ad ero desafo es re co n o cer qu
tcnica se utiliza m ejo r en u n a situacin dada. En co n
secuencia, en la seccin 7.5, presento una estrategia para la
integracin. El uso de sistem as d e lgebra c o m p u tarizad o s se
explica en la seccin 7.6. A q u aparecen las aplicaciones de
integracin: rea de u n a superficie y longitud de un arco, para las
que es til tener disponibles todas las tcnicas de integracin, as c
o m o aplicacio nes a la biologa, la e c o n o m a y la fsica
(fuerza hidrosttica y centros d e m asa). T am b in he incluido una
seccin de probabilidad. A q u hay m s aplicaciones de las q ue en
realidad se pueden cubrir en un curso determ in ad o , as que los
profesores deb en seleccionar las aplicaciones ad ecu ad as para
interesar a los estudiantes y a ellos m ism os.
14. PREFACIO X V 9 Ecuaciones diferenciales 10 Ecuaciones
paramtricas y coordenadas polares 11 Sucesiones y series infinitas
12 Vectores y la geometra del espacio 13 Funciones vectoriales 14
Derivadas parciales 15 Integrales mltiples 16 Clculo vectorial 17
Ecuaciones diferenciales de segundo orden El m o d elad o es el tem
a que unifica este tratam iento prelim inar de las ecu acio n es d
ifere n ciales. L os c am p o s direccionales y el m todo de E uler
se estudian antes de resolver las ecu acio n es lineales y
separables d e form a explcita, po r lo que los en fo q u es
cualitativos, n u m rico s y analticos reciben igual consideracin.
E stos m to d o s se aplican a los m o d e los exp o n en ciales,
logsticos y otros para el estudio del crecim ien to de la poblacin.
Las prim eras cuatro o cinco secciones de este captulo son u n a b
u e n a introduccin a las e c u a ciones diferenciales de prim er
orden. U na seccin final opcional utiliza el m o d elo d e p re d
ad o r-p resa para ilustrar los sistem as de ecuaciones
diferenciales. Este captulo introduce las curvas param tricas y
polares y las aplicaciones del Clculo en ellas. L as curvas param
tricas estn bien adaptadas a los proyectos de laboratorio: los tres
presentados involucran a familias de curvas y curvas de Bzier. Un
breve tratam iento de las cnicas en coordenadas polares prepara el
c a n in o para las leyes de K epler en el captulo 13. Las pruebas
de co n v erg en cia tienen justificaciones intuitivas (vea pg in a
714) as c o m o d e m o stracio n es form ales. L as e stim acio n
es num ricas de sum as de series estn b asad as en cul pru eb a se
us para d e m o stra r u n a convergencia. El nfasis est en la
serie y p o lin o m io s d e T a y lo r y sus a p licacio n es a la
fsica. L as e stim a cio n es de e rro r incluyen los de
dispositivos d e graficacin. El material tridimensional de geom
etra analtica y vectores est dividido en dos captulos. El captulo
12 trata con vectores, producto punto y producto cruz, lneas,
planos y superficies. Este captulo cubre funciones valuadas c o m o
vectores, sus deriv ad as e integrales, la lo n gitud y c u rv a tu
ra de un e sp a cio d e c u rv as y la velo cid ad y aceleraci n a
lo largo d e ese espacio, term in an d o en las leyes de Kepler.
Funciones de dos o m s variables son estudiadas de form a verbal,
num rica, visual y desde el punto de vista algebraico. En
particular, introduzco las derivadas parciales exam inando una co
lum na especfica en una tabla de valores del ndice de calor
(percibido en la tem peratura del aire) c o m o una funcin de la
tem peratura actual y de la hum edad relativa. Las derivadas par
ciales son em pleadas para estim ar curvas en m apas de
temperatura, presin y nevadas. L o s m ap a s d e c o n to rn o y
la reg la del pun to m ed io son utilizad o s p a ra e stim a r el
p r o m e d io de nevadas y de tem peraturas en regiones dadas. L
as integrales d obles y triples son e m p lead as para calcular
probabilidades, reas y superficies, y (en proyectos) vo l m en es
de hiperesferas y de la interseccin de tres cilindros. L as co o rd
en ad as cilindricas y esfri cas son introducidas en el co ntexto
de la evaluacin de las integrales d obles y triples. Los c a m p o
s vectoriales son introducidos a travs de ilustraciones d e los c
am p o s de v e lo cidad del viento y sus patrones en la B ah a de
San Francisco. Se hace nfasis en las sim i litudes con el teo rem a
fu ndam ental para integrales de lnea, el teo rem a de G reen, el
teo rem a de Stokes y el teo rem a de la divergencia. A partir de
las ecu acio n es diferenciales de prim er orden, vistas en el
captulo 9, este c a p tulo final trata con las ecu acio n es
diferenciales de segundo orden y sus aplicaciones en la vibracin de
resortes, circuitos elctricos y solucin de series. Material
auxiliar C lculo. T ra scen d en tes tem p ra n a s, sptim a
edicin, se ap o y a en un con ju n to c o m p le to de m ateriales
auxiliares d esarrollados bajo mi direccin. C a d a parte se h a d
ise ad o para m ejo rar la co m p ren si n del estudiante y
facilitar la en se an z a creativa. Con e sta edicin, se han d
esarrollado nu ev o s m edios y tecnologas que ayudan al estudiante
a visualizar el Clculo y a los instructores a personalizar el
contenido para m ejorar la form a en que ensean su curso. L as
tablas en las pg in as xx-xxi describen c a d a uno de estos
auxiliares.
15. x v i PREFACIO Agradecimientos P ara la preparacin de sta y
las anteriores ediciones he invertido m u ch o tiem po leyendo las
opiniones (aunque a veces contradictorias) de un gran n m ero de
astutos revisores. A g rad ezco en o rm e m e n te a todos ellos po
r el tiem po d ed icad o a la c u id a d o sa lectura y a la co m p
ren si n del en fo q u e adoptado. He aprendido algo d e c ad a u n
o d e ellos. R EVISO R ES DE LA S P T IM A E D IC I N A m y A
ustin, T exa s A & M U n iversity A nth o n y J. B evelacqua, U
n iversity o f N o rth D akota Z h e n -Q in g C hen, U n iversity
o f W a sh in g to n S eattle Je n n a C arpenter, L o u isia n a
Tech U niversity Le B arn O. Perguson, U n iversity o f C a lifo rn
ia R iversid e Shari H arris, J o h n W o o d C o m m u n ity C o
lleg e A m e r Iqbal, U n iversity o f W a sh in g to n S ea ttle A
k h tar K han, R o ch e ster In stitu te o f T ech n o lo g y M
arianne K orten, K anscis S ta te U niversity Joyce L o n g m an ,
V illanova U niversity Richard M illspaugh, U n iversity o f N o
rth D a ko ta Lon H. M itchell, V irginia C o m m o m vea lth U
niversity H o Kuen Ng, San J o s S ta te U niversity N o rm a O
rtiz-R obinson, V irginia C o m m o n w ea lth U niversity Qin S
heng, B a y lo r U niversity M a g d alen a T o d a, T exa s T ech
U niversity Ruth T rygstad, S a l L a ke C o m m u n ity C o lleg e
K laus V olpert, V illanova U niversity P eiy o n g W an g , W
ciyne S ta te U niversity R EVISO R ES DE LA TE C N O LO G A Maria
Andersen, Muskegon Community College Eric Aurand, Eastfield College
Joy Becker, University of)Visconsin-Stout Pr/einy slaw Bogacki, OId
Dominion University Amy Elizabeth Bowman, University o fAlabam a in
Huntsville Monica Brown, University o f Misso uri-St. Louis Roxanne
Byrne, University o f Colorado en Denver y Health Sciences Center
Teri Christiansen, University o f M issouri-Columbia Bobby Dale
Daniel, Lamar University Jennifer Daniel, Lam ar University Andras
Domokos, California State University, Sacramento Timothy Flaherty,
Caniegie Mellon University Lee Gibson, University o f Louisville
Jane Golden, Hillsborougb Community College Semion Gutman,
University o f Oklahoma Diane Hoffoss, University o f San Diego
Lorraine Hughes, Mississippi State University Jay Jahangiri, Kent
State University John Jernigan, Community College o f Philadelphia
Brian Karasek, South Mountain Community College Jason Kozinski,
University o f Florida Carole Krueger, The University o f Texas at
Arlington Ken Kubota, University o f Kentucky John Mitchell, Clark
College Donald Paul, Tulsa Community College Chad Pierson,
University o f Minnesota, Duluth Lanita Presson, University o f
Alabam a en Huntsville Karin Reinhold, State University o f New
York atA lbany Thomas Riedel, University o f Louisville Christopher
Schroeder, Morehead State University Angela Sharp, University o f
Minnesota, Duluth Patricia Shaw, Mississippi State University Cari
Spitznagel, John C arm ll University Mohammad Tabanjeh, Virginia
State University Capt. Koichi Takagi, United States Naval Academ y
Loma TenEyck, Cliemeketa Community College Roger Werbylo, Pinta
Community College David Williams, Clayton State University Zhuan
Ye, Northern Illinois University
16. PREFACIO X V R EVISO R ES DE E D IC IO N E S A N T E R IO R
E S B. D. Aggarwala, Ur.iversity o f Calgary John Alberghini, M
anchester Community College Michael Albert, Carnegie-Mellon
University Daniel Anderson, University o f lowa Donna J. Bailey,
Northeast M issouri State University Wayne Barber, Cherreketa
Community College Marilyn Belkin, Villcnova University Neil Berger,
University o f Illinois, Chicago David Berman, University o f New
Orleans Richard Biggs, University o f Western Ontario Robert
Blumenthal, Oglethorpe University Martina Bode, Northwestern
University Barbara Bohannon, Hofstra University Philip L. Bowers,
Florida State University Amy Elizabeth Bowman, University ofA labam
a en Huntsville Jay Bourland, Colorado State University Stephen W.
Brady, Wichita State University Michael Breen, Tennessee
Technological University Robert N. Bryan, University o f Western
Ontario David Buchthal, University o f Akron Jorge Cassio,
Miami-Dade Community College Jack Ceder, University o f California,
Santa Barbara Scott Chapman, Trinity University James Choike,
Oklahoma State University Barbara Cortzen, DePaul University Cari
Cowen, Purdue University Philip S. Crooke, Vanderbilt University
Charles N. Curts, Missouri Southern State College Daniel Cyphert, A
nnstw ng State College Robert Dahlin M. Hilar}' Davies, University
o f Alaska Anchorage Gregory J. Davis, University o f W isconsin-G
reen Bay Elias Deeba, University o f Houston-D owntown Daniel
DiMaria, Suffolk Community College Seymour Ditor, Uniersity o f
Western Ontario Greg Dresden, Washington and Lee University Daniel
Drucker, Wayne State University Kenn Dunn, Dalhousie University
Dennis Dunninger, Michigan State University Bruce Edwards,
University o f Florida David El lis, San Francisco State University
John Ellison, G w ve City College Martin Erickson, Traman State
University Garret Etgen, University o f Houston Theodore G.
Faticoni, Fordham University Laurene V. Fausett, Georgia Southern
University Norman Feldman, Senoma State University Newman Fisher,
San Francisco State University Jos D. Flores, The University o f
South Dakota William Francis, Michigan Technological University
James T. Franklin, Valencia Community College, East Stanley
Friedlander, Bronx Community College Patrick Gallagher, Columbio U
niversity-New York Paul Garre, University o f M innesota-M
inneapolis Frederick Gass, Miami University o f Ohio Bruce
Gilligan, University o f Regina Matthias K. Gobbert, University o f
Maryland, Baltimore County Gerald Goff, Oklahoma State University
Stuart Goldenberg, California Polytechnic State University John A.
Graham, Buckingham Browne & Nichols School Richard Grassl,
Ur.iversity o f New Mxico Michael Gregory, University o f North
Dakota Charles Groetsch, University o f Cincinnati Paul
Triantafilos Hadavas, Armstrong Atlantic State University Salim M.
Haidar, Grand Valley State University D. W. Hall, Michigan State
University Robert L. Hall, University o f Wisconsin-M ilwaukee
Howard B. Hamilton, California State University, Sacramento Darel
Hardy, Colorado State University Gary W. Harrison, College o f
Charleston Melvin Hausner, New York University/Courant nstitute
Curts Herink, Mercer University Russell Hermn, University o f North
Carolina at Wilmington Alien Hesse, Rochester Community College
Randall R. Holmes, Auburn University James F. Hurley, University o
f Connecticut Matthew A. Isom, Atizona State University Gerald
Janusz, University o f Illinois en Urbana-Champaign John H.
Jenkins, Embry-Riddle Aeronautical University, Prescott Campus
Clement Jeske, University ofW isconsin, Platteville Cari Jockusch,
University o f Illinois a t Urbana-Champaign Jan E. H. Johansson,
University ofV erm ont Jerry Johnson, Oklahoma State University
Zsuzsanna M. Kadas, St. M ichael's College Nets Katz, Indiana
University Bloomington Matt Kaufman Matthias Kaw ski, A tizona
State University Frederick W. Keene, Pasadena City College Robert
L. Kelley, University o f Miami Virgil Kowalik, Texas A A !
University Kevin Kreider, University o f Akron Leonard Krop, DePaul
University Mark Krusemeyer, Carleton College John C. Lavvlor,
University ofV erm ont Christopher C. Leary, State University o f
New York en Geneseo David Leeming, University o f Victoria Sam
Lesseig, Northeast M issouri State University Phil Locke,
University o f Maine Joan McCarter, Anzona State University Phil
McCartney, Northern Kentucky University James McKinney, California
State Polytechnic University, Pomona Igor M alyshev, San Jos State
University Larry Manseld, Queens College Mary Martin, Colgate
University Nathaniel F. G. Martin, University o f Virginia Gerald
Y. Matsumoto, American River College Tom Metzger, University o f
Pittsbu/gh
17. x v iii PREFACIO Michael Montano, Riverside Com m um ty
College Teri Jo Murphy, University o f Oklahoma Martin Nakashima,
California State Polytechnic University, Pomona Richard Nowakowski,
Dathousie University Hussain S. Nur, California State University,
Fresno Wayne N. Palmer, Utica College Vincent Pnico, University o
fth e Pacific F. J. Papp, University o f M ichigan-D earborn Mike
Penna, Indiana UniversityPurdue University Indianapolis Mark
Pinsky, Northwestern University Lothar Redlin, The Pennsylvania
State University Joel W. Robbin, University ofW isconsin-M adison
Lila Roberts, Georgia College and State University E. Arthur
Robinson, Jr., The George Washington University Richard Rockwell,
Pacific Union College Rob Root, Lafayette College Richard
Ruedemann, Arizona State University David Ryeburn, Siman Fraser
University Richard St. Andre, Centra( Michigan University Ricardo
Salinas, San Antonio College Robert Schmidt, South Dakota State
University Eric Schreiner, Western Michigan University Mihr J.
Shah, Kent State University-TrumbuU Theodore Shifrin, University o
f Georgia Wayne Skrapek, University o f Saskatchewan Larry Small,
Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith, Blinn College
William Smith, University o f North Carolina Donald W. Solomon,
University o f W isconsin-M ilwaukee Edward Spitznagel, Washington
University Joseph Stamptli, Indiana University Kristin Stoley,
Blinn Coilege M. B. Tavakoli, Chaffey College Paul Xavier Uhlig,
St. M ary's University, San Antonio Stan Ver Nooy, University o f
Olegn Andrei Verona, C alifom a State University-Los Angeles
Russell C. Walker, Cam egie Mellon University William L. Walton,
McCallie School Jack Weiner, University o f Guelph Alan Weinstein,
University o f California, Berkeley Theodore W. Wilcox, Rochester
nstitu te o f Technology Steven Willard, University o f Alberto
Robert Wilson, University ofW isconsin-M adison Jerome Wolbert,
University o f M ichigan-Ann A rbor Dennis H. Wortman, Un'versity o
f M assachusetts, Boston Mary Wright, Southern Illinois
University-Carbondale Paul M. Wright, Austin Community College Xian
Wu, University o f South Carolina A d em s, m e gustara dar las
gracias a Jordn Bell, G eorge B erg m an , L en G erber, M ary Pugh
y S im n Sm ith po r sus sugerencias: Al S henk y D ennis Zill po r
su perm iso para utilizar ejercicios d e sus textos de clculo: C O
M A P po r su perm iso para utilizar el m aterial d e los
proyectos: G eo rg e B erg m an , David Bleecker. D an C legg, V
ictor Kaftal, A nth o n y L am , Jam ie Lavvson, Ira R osenholtz,
Paul Sally, L o w ell Sm ylie y Larry W allen po r sus ideas para
los ejercicios: D an D ru c k er por el proyecto del D erby de
rodillos: T h o - m as B anchoff, T o m Farm er, Fred G ass, John
Ram say, Larry R iddle, Philip Straffin y K laus V olpert po r sus
ideas para los proyectos: Dan A n d erso n , D an C legg, Je ff
Col, Dan D rucker y B arbara Frank por resolver los nuevos
ejercicios y sugerir form as para m e jo rarlos: M arv R iedesel y
M ary Johnson por su precisin en la correccin: y Je ff Col y Dan C
leg g por su c u id a d o sa preparacin y correccin del m anuscrito
de respuesta. A sim ism o , doy las gracias a qu ien es han
contribuido a pasadas ediciones: Ed B arbeau, Fred B rauer, A ndy B
u lm an -F lem in g , B o b Burton, D avid C usick, T o m D iC
iccio, Garret Etgen, C hris Fisher, Stuart G oldenberg, A rnold G
ood, G ene H echt, H arvey K eynes, E.L. K oh, Z dislav K ovarik, K
evin K reider, E m ile L eB lanc, D avid Leep, G erald Leibow itz,
Larry Peterson, L o th ar R edlin, Cari R iehm , John R ingland,
Peter R osenthal, D o u g Shaw , Dan Silver, Norton Starr, S aleem
W atson, A lan W einstein y G ail W olkow icz. T am b in agradezco
a Kathi T o w n e s, Stephanie K uhns y R ebekah M illion o f T E C
H arts po r sus servicios de produccin y al siguiente personal de B
rooks/C ole: C heryll Linthi- cu m , gerente d e proyecto de
contenido: L iza N eustaetter, e d ito r asistente: M aureen Ross,
editor d e m edios: S am Subity, gerente d e m edios de edicin:
Jennifer Jones, director de m arketing: y V ernon B oes, d irecto r
de arte. T o d cs han hech o un trabajo excepcional. He sido m u y
afortunado de h ab er trabajado con algunos de los m ejores en el
negocio de la edicin en M atem ticas d u ran te las ltim as tres
dcadas: Ron M unro, Harry C a m p bell, C raig Barth, Jerem y H
ayhurst, Gary O stedt, B o b Pirtle, Richard Stratton y ahora Liz C
ovello. T o d o s ellos han co n trib u id o en gran m edida al
xito de este libro. J A M E S S T E W A R T
18. PREFACIO x ix A sim ism o , d eseam o s agradecer la
valiosa co laboracin d e los profesores Dr. Ernesto Filio L pez, de
U P IT A (IPN): M. en C. M anuel R obles Bernal: L.F .M . L uis
ngel Filio R ivera, d e E S IM E Z acaten co (IPN): M. en C. Lilia
Q uintos V zq u ez, de E S IM E T ico m n (IPN): Dr. A bel Flores A
m ad o , del IT E S M C am pus Puebla, y al M tro .G u stav o Z am
o ran o M ontiel, de la U P A E P (Puebla) en la revisin de esta sp
tim a edicin en espaol. A d e m s ag rad ecem o s al Dr. H ugo G
ustavo G onzlez H ernndez, D irector del D e p a r tam ento de
Ciencias y al Dr. A bel Flores A m ado, C oordinador de la m ateria
de Clculo, as c o m o a los siguientes profesores del IT ES M C am
p u s Puebla por la co n fian za dep o sitad a en la o b ra C
lculo. T ra scen d en tes tem pranas de S tew art y adoptarlo para
sus cursos. Dr. Juan Jos G m ez Diaz M aster A id a Ignacia Salazar
C. M aster A lvaro A ndrade A ndrade M aster Jorge Luis hig u ero a
R am rez Dr. Juan M anuel M erlo Dr. Julio C esar R am rez San Juan
M aster Luis D aniel B ravo A tentam ente, Los Editores.
19. A u x ilia re s para instructores P o w e r L e c t u r e
ISBN 0-8400-5421-1 Este DVD contiene todo el arte del texto en form
atos de PowerPoint y jpeg, ecuaciones clave y tablas del texto
completo predefinida de conferencias en PowerPoint, una versin
electrnica de la gua del instructor, un generador de soluciones; un
software de pruebas ExamView, herramientas para enriquecer el
clculo (TEC), un video de instrucciones y un comando Joinln sobre
el contenido de TurningPoint In s tru c to r's G u id e Por Douglas
Shaw ISBN 0-8400-5418-1 Cada seccin del texto se analiza desde
varios puntos de vista. La gua del instructor (Instructor's Guide)
contiene tiempo sugerido de asignacin, puntos a destacar, temas de
debate del texto, materiales bsicos para la clase, sugerencias para
trabajo en taller, ejercicios de trabajo de grupo en una form a
adecuada para su entrega y sugiere las asignaciones de tareas. Una
versin electrnica de la gua del instructor est disponible en el DVD
de PowerLecture. C o m p le t e S o lu t io n s M a n u a l S in g
le V a r i a b l e E a r ly T ra n s e en d e n t is Por Daniel
Anderson, Jeffery A. Col y Daniel Drucker ISBN 0-8400-4936-6 M u l
t i v a r i a b l e Por Dan Clegg and Barbara Frank ISBN
0-8400-4947-1 Contiene las soluciones detalladas de todos los
ejercicios del texto. S o lu tio n B u i ld e r
www.cengage.com/sol.itionbuilder Esta base de datos en lnea para el
instructor ofrece soluciones muy elaboradas para todos los
ejercicios en el texto. E l generador de soluciones (Solution
Builder) permite crear impresiones personalizadas de soluciones
seguras (en form ato PDF) que coinciden exactamente con los
problemas asignados en clase. P r in t e d T e s t B a n k Por
William Steven Hamion ISBN 0-8400-5419-X Contiene textos especficos
de opcin mltiple y exmenes de respuesta libre. E x a m V i e w T e
s tin g Crear, entregar y personalizar los exmenes en form atos
impresos en lnea con ExamView, perm ite una evaluacin de f cil uso
a travs de ur software tutorial. Exam View contiene cientos de
elementos pura exmenes de respuesta mltiple y libre. Exam View est
disponible en el DVD de PowerLecture. A u x ilia re s para
instructores y estudiantes S t e w a r t W e b s i t e w w w.stew
arte ale ulu s.com Contenido: Tareas sugeridas Repaso de Algebra
Temas adicionales ejercicios de Simulacin Problemas de desafo
Enlaces web Historia de las matemticas Herramientas para Enriquecer
el Clculo (TEC) m i T o o ls fo r E n r ic h in g C a lc u lu s Por
James Stewart, Harvey Keynes, Dan Clegg y el desarrollador Hu Hohn
Herramientas para enriquecer el clculo (TEC) funciona como una
poderosa herramienta para instructores, a s como un entorno
tutorial en el que los estudiantes pueden explorar y revisar temas
seleccionados. Los mdulos de simulacin en Flash en TEC incluyen
instrucciones escritas y en audio de los conceptos y ejercicios.
TEC est accesible en CourseMate, WebAssign y PowerLecture. Los
elementos seleccionados en Visual y M odule estn disponibles en Hhh
stewartca leutus.com. E n h a n c e d W e b A s s ig n w w
w.webassign.ne t E l sistema de distribucin de tareas de WebAssign
permite a los instructores entregar, recoger, calificar y elaborar
listas a travs de la web. Enhanced WebAssign para el Clculo de Stew
art involucra ahora a los estudiantes en la revisin del contenido
al comienzo del curso y al principio de cada seccin a s como en los
conocimientos previos. Adems, para los problemas seleccionados, los
estudiantes pueden obtener ayuda adicional en form a de "m ayor
retroalim entacin (las respuestas) y soluciones en video. Otras
caractersticas clave incluyen: m iles de problem as del Clculo de
Stewart. Un personalizable Cengcge YouBook, un plan de estudio
personal, una muestra de su trabajo, un repaso en el m om ento, un
evaluador de respuestas, mdulos de animaciones y visualizado/! del
Clculo, concursos, videos de conferencias (con preguntas asociadas)
y mucho ms. C e n g a g e C u s t o m iz a b l e Y o u B o o k
YouBook es un eBooic en Flash interactivo y personalizable, que
tiene todo el contenido del Clculo de Stewart. Las caractersticas
de YouBook son una herramienta de edicin de texto que perm ite a
los profesores m odificar la narrativa de! libro de texto segn sea
necesario. Con YouBook, los profesores pueden reordenar rpidamente
captulos y secciones enteras u ocultar cualquier contenido que no
ensean, para crear un libro electrnico que coincida perfectam ente
con su plan de estudios. Los profesores pueden personalizar an ms
el texto aadiendo sus ideas o enlaces de video en YouTube. Los
activos de medios adicionales incluyen: figuras animadas,
videoclips, destacando notas y ms. YouBook est disponible en
Enhanced WebAssign. Electrnicos Impresos XX
20. C o u ' i e M t e C o i r s e M a t e w w w.cengage
brain.com CourseM ate es una perfecta herramienta de
autoaprendizaje para estudiante: y no requiere ningn apoyo de los
profesores. CourseM ate trae conceptos con aprendizaje interactivo,
estudio y herramientas interactivas para la preparacin de exmenes
que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate para el Clculo de
Stewart incluye: un libro electrnico interactivo, herramientas para
enriquecer el Clculo, videos, cuestionarios, tarjetas en flash y
ms. Para los profesores, CourseM ate incluye Engagem ent Tracker,
una herramienta de primera en su tipo que supervisa el trabajo
estudiantil. M a p l e C D - R O M M aple proporciona un
dispositivo avanzado de clculo matemtico de cito rendimiento plenam
ente integrado con smbolos num reos, todos accesibles desde un
entorno tcnico desde WYSIWYG. C e n g a g e B r a in .c o m Para
accesos de materiales adicionales de! curso y recursos de apoyo, p
or favor visite www.cengagebrain.com. En esta pgina busque por ISBN
o p or ttulo (desde la cubierta posterior de su libro) usando el
comando de bsqueda en la parte superior de la pgina. Esto !e llevar
a la pgina del producto donde se pueden encontrar gratuitam ente
recursos de apoyo. A u xilia re s para estudiantes S t u d e n t S
o lu tio n s M a n u a l S in g le V a r i a b l e E a rly T r a n
s e e n d e n t is Por Daniel Anderson, Jeffery A. Col y Daniel
Drucker ISBN 0-8400-4934-X M u l t i v a r i a b l e P o r D a n C
le g g a n d B a r b a ra F r a n k ISBN 0-8400-4945-5 Proporciona
soluciones completamente detalladas para todos los ejercicios
impares en el texto, dando a los estudiantes una oportunidad de
verificar sus respuestas y asegurar que hicieron los pasos
correctos para llegar a una respuesta. Para cada seccin del texto,
la Gua de estudio proporciona a los estudiantes una breve
introduccin, una breve lista de conceptos al profesor a s como
resumen y preguntas de enfoque con respuestas explicadas. La Gua de
estudio tambin contiene preguntas Tecnologa Plus" y preguntas tipo
examen de opcin mltiple y de estilo "su propia respuesta". C a lc L
a b s w i t h M a p l e S in g le V a r ia b l e Por Philip B.
Yasskin y Robert Lpez ISBN 0-8400-5811-X M u l t i v a r i a b l e
Por Philip B. Yasskin y Robert Lpez ISBN 0-8400-5812-8 C a l c L a
b s w i t h M a t h e m a t i c a S in g le V a r i a b l e Por
Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5814-4 M u l t i v a r i a b l e Por
Selwyn Hollis ISBN 0-8400-5813-6 Cada uno de estos comprensibles
manuales de laboratorio ayudar a los estudiantes a aprender a usar
las herramientas de tecnologa a su disposicin. CalcLabs contienen
ejercicios claram ente explicados y una variedad de proyectos para
acom paar el texto y laboratorios. A C o m p a n io n to C a lc u
lu s Por Dennis Ebersole, Doris Schattschneider, Alicia Sevilla y
Kay Somers ISBN 0-495-01124-X Escrito para mejorar el lgebra y las
habilidades para resolver problem as de los estudiantes que estn
tomando un curso de Clculo. Cada captulo de este acompaante tiene
una clave referente a un tema de Clculo, que proporciona
antecedentes conceptuales y tcnicas de Algebra especficos
necesarios para com prender y resolver problemas de Clculo
relacionados con ese tema. Est diseado para cursos de Clculo que
incluyen la revisin de los conceptos de preclculo o para uso
individual. S tu d y G u id e S in g le V a r i a b l e E a rly T r
a n s e e n d e n t is Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5420-3 M u
l t i v a r i a b l e Por Richard St. Andre ISBN 0-8400-5410-6 L in
e a r A l g e b r a fo r C a lc u lu s Por Konrad J. Heuvers,
William P. Francis, John H. Kuisti, Deborah F. Lockhtrt, Daniel S.
Moak y Gene M. Ortner ISBN 0-534-25248-6 Este comprensible libro
est diseado para com plem entar el curso de Clculo. Proporciona una
introduccin y un repaso de las ideas bsicas del Algebra lineal.
Electrnicos Impresos x x i
21. Al estudiante Leer un libro de texto de Clculo es diferente
a la lectura de un peridico, una novela o incluso un libro de
fsica. N o se desaliente si tiene que leer un prrafo ms de una vez
para entenderlo. Debe tener lpiz, papel y calculadora disponibles
para esbozar un diagram a o hacer un clculo. Algunos estudiantes
comienzan por abordar sus problemas de tarea y leen el texto slo si
se bloquean en un ejercicio. Sugiero que un plan m ucho m ejor es
leer y com prender una seccin del texto antes de enfrentar los
ejercicios. En particular, debe leer con cuidado las definiciones
para ver el significado exacto de cada trmino. Antes de leer cada
ejemplo, le sugiero que lle gue a la solucin tratando de resolver
el problema usted mismo. O btendr m ucho m s que m irando la
solucin si es que lo hace. Parte del objetivo de este curso es
inducir el pensamiento lgico. Es muy importante apren der a
escribir las soluciones de los ejercicios de manera articulada,
paso a paso, con com enta rios explicativos, no slo una cadena de
ecuaciones o frmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios
de nm ero impar aparecen al final del libro, en el apndice I.
Algunos ejercicios piden una explicacin verbal, interpretacin o
descripcin. En tales casos no hay una nica forma correcta de
expresar la respuesta, por lo que no se preocupe si no ha en co n
trado la respuesta definitiva. A dem s, a menudo hay varias formas
diferentes para expresar una respuesta numrica o algebraica, as que
si su respuesta aparenta ser diferente a la ma, no asuma
inmediatamente que se equivoc. Por ejemplo, si la respuesta dada al
final del libro es y/2 1 y usted obtuvo l / ( l -I- y /l) ,
entonces est usted en lo correcto y racionalizar el denom inador
demostrar que las respuestas son equivalentes. El icono indica un
ejercicio que sin duda requiere el uso de una calculadora
graficadora o una com putadora con software de grficos (en la
Seccin 1.4 se analiza el uso de estos dispo sitivos de graficacin y
algunas de las dificultades que puedan surgir). Sin embargo, esto
no sig nifica que los dispositivos de grficos no puedan utilizarse
para com probar el trabajo de otros ejercicios. El smbolo [sac] se
reserva para problemas en los que se requieren todos los recursos
de un sistema algebraico computarizado (Derive, M aple, M athem
atica o la T I -89/92).
22. Tam bin se usar el smbolo para cuidar que no se cometa un
error. He puesto este sm bolo en los mrgenes en situaciones donde
he advertido que una gran parte de mis estudiantes tienden a com
eter el m ism o error. Las H erram ientas para enriquecer el
clculo, acompaantes de este texto, estn indicadas por medio del
smbolo K h j y estn disponible en Enhanced W ebAssign y en CourseM
ate (los recursos Visual y M odule estn disponibles en ww w.stew
artcalculus.com ). A qu se dirige al estudiante a los m dulos en
los que puede explorar los aspectos del Clculo para los que la c o
m putadora es particularmente til. En T E C tam bin se e n cu e n
tra T a rea s su g erid a s p a ra ejercicios representativos que
estn indicados n m ero en rojo: 5. Estas sugerencias pueden
encontrarse en stew artcalculus.com as c o m o en E nhanced W eb A
ssig n y C ourseM ate. Estas sugerencias de tareas hacen p re
guntas al estudiante que le perm iten avanzar hac:a u n a solucin
sin realm ente d ar la res puesta. Es necesario que el estudiante
siga activam ente c a d a pista con lpiz y papel a la m an o para d
estacar los detalles. Si una sugerencia particular no perm ite
resolver el p ro b lem a, puede h a ce r clic para ver la siguiente
sugerencia. Le re c o m ie n d o que c o n s e rv e este libro p a
ra fines d e c o n s u lta d e s p u s de te rm in a r el cu rso .
Es p ro b ab le que olvide algunos de los detalles especficos del C
lculo, por lo que el libro servir c o m o u n a referencia til c u
an d o sea necesario u tilizar el C lcu lo en c u r sos
posteriores. P u esto que este libro contiene ms m aterial del que
es posible cu b rir en to d o un cu rso , tam b in p uede servir c
o m o un valioso recurso para un trabajo cientfico o de ingeniera.
El Clculo es un tem a apasionante, justam ente considerado u n o d
e los m a y o re s logros del in telecto h u m a n o . E sp e ro q
u e el estudiante d escubra que no slo es til, sino tam bin
intrnsecam ente herm oso. J A M E S S T E W A R T
23. Exmenes de diagnstico El xito en Clculo depende en gran
medida del conocimiento de las matemticas que le preceden: lgebra,
geometra analtica, funciones y trigonometra. Los siguientes exm
enes estn destinados a diagnosticar las debilidades que el
estudiante pueda tener en estas reas. Despus de cada examen puede
verificar sus respuestas comparndolas con las respuestas
determinadas y, si es necesario, actualizar sus habilidades
haciendo referencia a los materiales de repaso que se proporcionan.
Examen de diagnstico: lgebra 1. Evale las siguientes expresiones
sin utilizar calculadora: a) {3)4 b) 34 c) 3-4 23 d) e) f) l 6 - :"
5' 2. Simplifique las siguientes expresiones. Escriba su respuesta
sin exponentes negativos: a) V 20- - v'YF b) (3a3>3)(42)2 c) / 3
* 3/2y 3Yx Y l/2) 3. Desarrolle y simplifique las siguientes
expresiones: a ) 3 ( at + 6 ) + 4 ( 2 .v - 5 ) b ) (x + 3 ) ( 4 a-
- 5 ) c ) (y f + y jb )(y f - sf b ) d ) (2x + 3)2 e) (X + 2)3 4.
Factorice las siguientes expresiones: a ) 4 a -2 - 2 5 b ) 2at2 + 5
a- - 12 c ) a-3 - 3 .r 2 - 4 a- + 12 d ) a-4 + 27a- e) 3a-3/2 - 9 a
: 1/2 + 6 a - " ,/2 f) x 3y - 4 .v y 5. Simplifique las siguientes
expresiones racionales: A 2 + 3 a + 2 2 A 2 - X - 1 A + 3 a ) ; b )
--------- ;----------------------------- A 2 - A - 2 A 2 - 9 2 A +
1 L _ A 2 A + 1 A y c ) :------------ d ) a + 2
________________________ J ______ 1_ y a XXV
24. X X V EXMENES DE DIAGNSTICO 6. Racionalice y simplifique
las siguientes expresiones: v/T" v"4 + h - 2 a) 7= b) - h 7.
Reescriba las siguientes expresiones completando un trinomio
cuadrado perfecto: a) .r2 + .v + 1 b) 2.y2 - 12a- + II 8. Resuelva
las siguientes ecuaciones (encuentre slo las soluciones reales). ,
2x 2.x - I a) x + 5 = 14 - x b) = ------ X + 1 X c ) . r - .x - 12
= 0 d ) 2 a 2 + 4 .x + I = 0 e) .x 4 3 .x 2 + 2 = 0 f ) 3 | .x 4 |
= 10 g) 2 .x (4 - .x )_ l/ 2 - 3 v "4 - A' = 0 9. Resuelva las
siguientes desigualdades y exprese la solucin en intervalos: a) - 4
< 5 3 a ^ 17 b) a 2 < 2 a + 8 c) a ( a - I ) ( a + 2) > 0
d) | A 4 | < 3 2.x - 3 e) ^ I .x + 1 10. Indique si cada una de
las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa: a) (p +q)z= p 2 +
q 2 b)yab = >fa jb I + TC c) y/a2 + b 2 = a + b d) ----- = 1 + 7
1 1 1 1/x 1 e) = f) = -------- x y x y a /x - b jx a - Respuestas
al examen de diagnstico A: lgebra 1. a) 81 d ) 2 5 2. a) 6 V 2 b)
-8 1 e ) 7 C ) 87 f) k b) 48a*b7 c) r 9>- 3. a) 11a 2 b) 4.x2 +
7.x - 15 c) a - b d ) 4.x2 + I2 .X + 9 4. a ) ( 2 a - 5 ) ( 2 a + 5
) b ) ( 2 a - 3 ) ( .v + 41 c) ( a - 3 ) (a - 2 ) ( a + 2 ) d ) a (
a + 3 ) ( a 2 - 3 a + 9) e) 3.x " i /2( a - l)(.x - 2) f) .x y (.x
- 2 ) ( .x + 2 ) 5. a) c) .x + 2 .x - 2 1 .x - 2 b) x - 1 .x - 3 d
) - (.x + y) 6. a) 5 y jl + 2 n/10 b) v4 + h + 2 7. a) (.v + } ) 2
+ b ) 2 ( a - 3 ) 2 - 7 8. a) 6 b ) 1 c) - 3 , 4 d ) - h M e) 1,
.>2 2 21 0 7 , 7 g) 12 5 9. a) [ - 4 ,3 ) b ) ( - 2 , 4 ) c ) (
- 2 , 0 ) U (1, ) d ) (1,7) e) ( - 1 , 4 ] 10. a) Falsa b )
Verdadera c) Falsa d ) Falsa e) Falsa f) Verdadera Si tiene usted
dificultades con este examen, puede consultar Review of Algebra
(repaso de lgebra) en el sitio web w w w .stew artcalcjlu s.co
m
25. EXMENES DE DIAGNSTICO X X V 1. Encuentre la ecuacin de la
recta que pasa por (2, 5) y a) tiene pendiente 3 b) es paralela al
eje x c) es paralela al eje y d) es paralela a la recta 2x 4 y = 3
2. Encuentre la ecuacin de la circunferencia con centro en (1, 4) y
que pasa por el punto (3, -2 ) . 3. Encuentre el centro y el radio
de la circunferencia cuya ecuacin es .r2 + y 2 - 6.v + lOy + 9 = 0.
4. Sean A( 7,4) y B (5, 12) puntos en el plano. a) Encuentre la
pendiente de la recta determinada por A y B. b) Encuentre la
ecuacin de la recta que pasa por A y B. Culessonlos puntos de
interseccin con los ejes? c) Encuentre el punto medio del segmento
AB. d) Encuentre la longitud de! segmento AB. e) Encuentre la
ecuacin de la perpendicular que b iseca a AB. f ) Encuentre la
ecuacin de la circunferencia para la que AB esdimetro. 5. Trace la
regin en el plano xy definida por la ecuacin o desigualdades, a) -
1 =S y 3 b) |.v|< 4 y | v | < 2 c) y < l - x d) y x 2 - l
e) x 2 + y 2 < 4 f) 9.2 + 16>2 = 144 Examen de diagnstico:
geometra analtica Respuestas al examen de diagnstico B: geometra
analtica 1. a) y = -3.x + i c) .V= 2 2. (x + l ) 2 + (y - 4)2 = 52
3. Centro (3, 5), radio 5 b) y d) y -5 .r - 6 4. a) b) 4 a + 3y +
16 0 : interseccin en x = 4, 16 interseccin en y = c) ( - 1 , - 4 )
d) 20 13e) 3.r - 4y f) ( x + )2 + (y + 4Y 100 Si tiene usted
dificultades con este examen, puede consultar el repaso de geometra
analtica en los apndices B y C
26. x x v iii EXMENES DE DIAGNSTICO Examen de diagnstico:
funciones t 0 !F IG U R A P A R A EL P R O B L E M A 1 1. La grfica
de una funcin/est dada a la izquierda. a) Determine el valor d e /
( I). b) Estime el valor de /(2). c) Para qu valores de .ves / ( a)
= 2? d) Estime los valores de x tales que /(a ) = 0. e) Establezca
el dominio y el rango de /. / (2 + h) - / ( 2) 2. Si f{ x ) = .v3,
evale el cociente de diferencias 3. Encuentre el dominio de la
funcin 2x + 1 h y simplifique su respuesta. a ) / ( a ) b) g(A) :)
h(x) = v'4 - A + v'A2 ~ 1 A + A - 2 A" + 1 4. Qu aspecto tiene cada
una de las grficas siguientes a partir de la grfica de / ? a) y = -
f ( x ) b) y = 2 /(a) - 1 c) y = f ( x - 3) + 2 5. Sin usar
calculadora, haga un bosquejo de cada una de las grficas
siguientes: a) y = x 3 b) y = (a + I)3 c) y = (x - 2)3 + 3 d) y = 4
- x 2 e) y = yfx f) y = 2 yfx g) y = 2* h) y = 1 + x~ 6. Sea/(.v) /
1 x * s* ~l x + I si .v SO .v > 0 a) Evale / ( 2) y / ( l ) . b)
Trace la grfica d e / 7. Si /(.r) = a 2 + 2.v 1 y g(x) = 2x 3,
encuentre cada una de las siguientes funciones: a) f g b) g o f C)
g o g o g Respuestas al examen de diagnstico C: funciones 1. a) - 2
b) 2.8 c) - 3 , 1 d) -2 .5 ,0 .3 e) [ - 3 , 3], [ - 2 , 3] 2. 12 +
6/t + h2 3. a) (-co, - 2) U ( - 2 , I) U (I,) b) (-~ ,c o ) c)
(-co, - l ] U [1,4] 4. a) Reflexin respecto al eje x b)
Alargamiento vertical en un factor de 2 y despus un desplazamiento
de 1 unidad hacia abajo c) Desplazamiento de 3 unidades a la
derecha y 2 unidades hacia arriba b) yj i J 1 r 0 f) 6. a) - 3 , 3
7. a) (f g ){ x ) = 4 a 2 - 8a + 2 b) (g /)(*) 2 a 2 + 4 a - 5 c )
(9 9