República Bolivariana de VenezuelaMinisterio el Poder Popular para la Educación

Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”Ingeniería Electrónica (44)

Extensión – Porlamar

CALCULO NUMERICOY

MANEJO DE ERRORES

Realizado Por:

Jonathan Boada

C.I: 25.807.065

Sección “3C”

Porlamar, 5 de Junio de 2016.

1. Análisis numérico

El análisis numérico siendo una rama de la matemática básica y

fundamental en cuanto a resolución de numerosos problemas matemáticos se

trata, ya que esta se basa en proyectar algoritmos a través de reglas matemáticas

simples para luego simular procesos matemáticos de mayor complejidad

Esta rama de la matemática, también ayuda a las resoluciones de

ecuaciones y sistemas de ecuaciones, utilizándose distintos métodos de acuerdo

el tipo y grado de esta, sabiendo esto podemos emplearla para buscar puntos

máximos y mínimos, y así optimizar la tecnología que se quiera desarrollar

Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la

máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El

problema ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si

nos estamos alejando de la solución del problema.

En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que

nos puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número

de pasos finitos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se

les da el nombre de métodos constructivos a estos algoritmos numéricos. El

análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores.

2. Métodos Numéricos e importancia

Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular

problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones

aritméticas.

El análisis numérico trata de diseñar métodos para “aproximar” de una manera

eficiente las soluciones de problemas expresados matemáticamente. El objetivo

principal del análisis numérico es encontrar soluciones “aproximadas” a problemas

complejos utilizando sólo las operaciones más simples de la aritmética. Se

requiere de una secuencia de operaciones algebraicas y lógicas que producen la

aproximación al problema matemático.

Los métodos numéricos pueden ser aplicados para resolver procedimientos

matemáticos en: Cálculo de derivadas Integrales Ecuaciones diferenciales

Operaciones con matrices Interpolaciones Ajuste de curvas Polinomios Los

métodos numéricos se aplican en áreas como: Ingeniería Industrial, Ingeniería

Química, Ingeniería Civil, Ingeniería Mecánica, Ingeniería eléctrica, entre otros.

3. Calculo de errores

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una

fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos

tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

Error absoluto es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado

como exacta. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al

valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas

que las de la medida. El error absoluto de una medida no nos informa por sí solo

de la bondad de la misma. Es evidente, que no es igual de grave tener un error

absoluto de 1 cm al medir la longitud de una carretera que al medir la longitud de

un folio.

Error relativo es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor

exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual

que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto)

porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Medir es comparar cierta cantidad de una magnitud, con otra cantidad de la

misma que se ha elegido como unidad patrón.  Por ejemplo,  para medir

longitudes las comparamos con su unidad patrón, el metro.

Magnitud es cualquier propiedad de un cuerpo que puede ser medida.

Cualquier medida debe de ir acompañada del valor estimado del error de la

medida, y a continuación, las unidades empleadas.

Los errores se deben dar solamente con una única cifra significativa. Únicamente,

en casos excepcionales, se pueden dar una cifra y media (la segunda cifra 5 ó 0).

4. Cota de errores absolutos y relativos

Una cota del error absoluto es un numero ϵ que cumple

Ea≤∈

En una aproximación cualquiera, una cota de error absoluto es una

unidad del orden n de la última cifra significativa:

E= 110n

El orden n será uno si la última cifra significativa corresponde a las

décimas, dos si corresponde a las centésimas, tres a las milésimas y

así sucesivamente.

Si la aproximación es por redondeo se puede afinar algo más: una

cota de error absoluto es media unidad del orden n de la última cifra

significativa:

∈= 12∗10n

A partir de una cota del error absoluto podemos obtener una cota del error

relativo. Teniendo en cuenta que Ea ≤ ϵ y la definición del error relativo, se

tiene:

Er=EaV e≤ ∈V e

Como se ha dicho, si el valor exacto es irracional no puede

utilizarse en los cálculos. En este caso, se utiliza la fórmula:

Er≤∈

V a−∈

5. Fuentes básicas de Errores

Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos: Error de

truncamiento y error de redondeo.

El Error de Redondeo se asocia con el número limitado de dígitos con que se

representan los números en una PC (para comprender la naturaleza de

estos errores es necesario conocer las formas en que se almacenan los números

y como se llevan a cabo las sumas y restas dentro de una PC).

El Error de Truncamiento, se debe a las aproximaciones utilizadas en la

fórmula matemática del modelo (la serie de Taylor es el medio más importante que

se emplea para obtener modelos numéricos y analizar los errores de

truncamiento). Otro caso donde aparecen errores de truncamiento es al aproximar

un proceso infinito por uno finito (por ejemplo, truncando los términos de una

serie).

6. Errores de suma y restaEn esta sección estudiamos el problema de sumar y restar muchos números

en la computadora. Como cada suma introduce un error, proporcional a la

épsilon de la máquina, queremos ver como estos errores se acumulan durante el

proceso. El análisis que presentamos generaliza al problema del

cálculo de productos interiores.

En la práctica muchas computadoras realizarán operaciones aritméticas en

registros especiales que más bits que los números de máquinas usuales. Estos

bits extras se llaman bits de protección y permiten que los números existan

temporalmente con una precisión adicional. Se deben evitar situaciones en las que

la exactitud se puede ver comprometida al restar cantidades casi iguales o la

división de un número muy grande entre un número muy pequeño, lo cual trae

como consecuencias valores de errores relativos y absolutos poco relevantes.

7. Estabilidad e Inestabilidad

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los

cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente

inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumenta considerablemente

por el método numérico.

Un proceso numérico es inestable cuando los pequeños errores que se

producen en alguna de sus etapas, se agrandan en etapas posteriores y degradan

seriamente la exactitud del cálculo en su conjunto.

El que un proceso sea numéricamente estable o inestable debería decidirse

con base en los errores relativos, es decir investigar la inestabilidad o mal

condicionamiento, lo cual significa que un cambio relativamente pequeño en la

entrada, digamos del 0,01%, produce un cambio relativamente grande en la salida,

digamos del 1% o más. Una fórmula puede ser inestable sin importar con qué

precisión se realicen los cálculos.

8. CondicionamientoLas palabras condición y condicionamiento se usan de manera informal para

indicar cuan sensible es la solución de un problema respecto de pequeños

cambios relativos en los datos de entrada. Un problema está mal condicionado si

pequeños cambios en los datos pueden dar lugar a grandes cambios en las

respuestas. Para ciertos tipos de problemas se puede definir un número de

condición: "Un número condicionado puede definirse como la razón de

los errores relativos".

Si el número de condición es grande significa que se tiene un problema mal

condicionado; se debe tomar en cuenta que para cada caso se establece un

número de condición, es decir para la evaluación de una función se asocia un

número condicionado, para la solución de sistemas de ecuaciones lineales se

establece otro tipo de número de condición; el número condicionado proporciona

una medida de hasta qué punto la incertidumbre aumenta.