E

~"",,~:tek~ no es un proyecto lucrativo, sinoun esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAMpara facilitar el acceso a los materiales necesarios para laeducacin de la mayor cantidad de gente posible. Pensamoseditar en formato digital libros que por su alto costo, o bienporque ya no se consiguen en bibliotecas y libreras, no sonaccesibles para todos.

Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto asugerir ttulos, a prestamos los textos para su digitalizacin y aayudarnos en toda la labor tcnica que implica su reproduccin.El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participacin decualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas.

Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad deCiencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguientedireccin de correo electrnico:

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Calculus

TOIT1 M. Apostol

CALCULUSVOLUMEN I

Clculo con funciones de una variable, con unaintroduccin al lgebra lineal

Segunda edicin

"EDITORIAL REVERTE, S. A.Barcelona -Bogot -Buenos Aires - Caracas -Mxico

Ttulo de la obra original:CALCULUS, One -Variable Calculus,with an introduction to Linear Algebra

Edicin original en lengua inglesa publicada por:Blaisdell Publishing Company, Waltham, Massachusetts

Copyright by Blaisdell Publishing Company, 1967

Versin espaola por:Dr. D. Francisco Vlez CantarellProfesor adjunto de la Facultad de Ciencias de Barcelona

Revisada por:Dr. D. Enrique Lins EscardCatedrtico de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid

Propiedad de:EDITORIAL REVERT, S. A.Loreto, 13-15, Local B08029 Barcelona - ESPAAE-mail: reverte@reverte.comInternet: http://www.reverte.com

y REVERT EDICIONES, S.A. DE C.VRo Pnuco 141 Col Cuauhtmocc.P. 06500 Mxico, D.F. - MXICOE-mail: resavbp@data.neLmx101545.2361@compuserve.com

Reservados todos los derechos. La reproduccin total o parcial de esta obra, porcualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamientoinformtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pbli-cos, queda rigurosamente prohibida sin la autorizacin escrita de los titulares del copy-right, bajo las sanciones establecidas por las leyes.

Edicin en espaol

EDITORIAL REVERT, S. A., 1984 REVERT EDICIONES, s.A. de C.V., 19999" Reimpresin 2001

Impreso en Espaa - Printed in Spain

ISBN - 84 - 291 - 5002 - 1 (Espaa)ISBN - 968 - 6708 - 10 - 3 (Mxico)Depsito Legal: B - 32464 - 2001

Impreso por Imprimeix S.L.Eduard Maristany, 10008912 Badalona (Barcelona)

mailto:reverte@reverte.comhttp://www.reverte.commailto:resavbp@data.neLmxmailto:101545.2361@compuserve.com

a

Jane y Stephen

PRLOGO

Extracto del prlogo a la primera edicin

Parece que no hay acuerdo sobre 10 que ha de constituir un primer cursode Clculo y Geometra Analtica. Unos sostienen que el camino verdadero paraentender el Clculo principia con un estudio completo del sistema de los nmerosreales desarrollndolo paso a paso de manera lgica y rigurosa. Otros insistenen que el Clculo es ante todo un instrumento para los ingenieros y fsicos; y porconsiguiente, que un curso debe llevar a las aplicaciones del Clculo apelando a laintuicin, para despus, por el ejercicio en la resolucin de problemas, alcanzardestreza operatoria. En ambos puntos de vista hay mucha parte de razn.El Clculo es una ciencia deductiva y una rama de la Matemtica pura. Al mismotiempo es muy importante recordar que el Clculo tiene profundas races en pro-blemas fsicos y que gran parte de su potencia y belleza deriva de la variedad desus aplicaciones. Mas es posible combinar un desarrollo terico riguroso con unasana formacin tcnica, y este libro representa un intento de establecer un sensibleequilibrio entre las dos tendencias. Aunque se trate el Clculo como ciencia deduc-tiva, no por eso se abandonan las' aplicaciones a problemas fsicos. Las demos-traciones de todos los teoremas importantes se consideran como una parte esencialen el desarrollo de las ideas matemticas, y con frecuencia van precedidas de unadiscusin geomtrica o intuitiva para dar al estudiante una visin ms penetrantedel porqu de la demostracin. Aunque estas discusiones intuitivas pueden sersuficientes para el lector que no est interesado en los detalles de la demostracin,tambin se incluye la demostracin completa para aquellos que prefieran unaexposicin ms rigurosa.

La disposicin de este libro ha sido sugerida por el desarrollo histrico yfilosfico del Clculo y la Geometra Analtica. Por ejemplo, se estudia la integra-cin antes de la diferenciacin. Aunque esta manera de ordenar la materia delcurso sea poco frecuente, es histricamente correcta y pedaggicamente adecuada.Adems, es el mejor camino para hacer patente la verdadera conexin entre laderivada y la integral.

El concepto de integral se define en primer lugar para funciones escalonadas.Puesto que la integral de una funcin escalonada no es ms que una suma, la

VII

VIII Prlogo

teora de la integracin es extremadamente sencilla en este caso. Mientras el estu-diante aprende las propiedades de la integral para funciones escalonadas, adquiereexperiencia en el uso de la notacin sumacin y al mismo tiempo se familiarizacon el simbolismo de la integral. De esta manera se van construyendo los peldaospara que la transicin de funciones escalonadas a otras funcicnes ms generalesparezca fcil y natural.

Prlogo a la segunda edicin

La segunda edicin difiere de la primera en muchos aspectos. Se ha aadidoel lgebra lineal; los teoremas del valor medio y las aplicaciones del Clculo sehan introducido en los primeros captulos, y se ha aadido buen nmero denuevos y sencillos ejercicios. Una inspeccin del ndice revela que el libro se hadividido en captulos de menor extensin, desarrollndose cada uno sobre unconcepto importante. Varias secciones han sido escritas de nuevo y reorganizadaspara proporcionar una mejor fundamentacin y mejorar la fluidez de las ideas.

Al igual que en la primera edicin, cada concepto nuevo importante vieneprecedido de una introduccin histrica, que describe su desarrollo desde unaprimera nocin fsica intuitiva hasta su formulacin matemtica precisa. El estu-diante descubre en parte los esfuerzos del pasado y los triunfos de los hombresque ms han contribuido al tema. De este modo el estudiante se convierte enparticipante activo en la evolucin de las ideas y no queda como mero observadorpasivo de los resultados.

La segunda edicin, como la primera, est dividida en dos volmenes. Las dosterceras partes primeras del Volumen 1 tratan del Clculo con funciones de unavariable, incluyendo las series y una introduccin a las ecuaciones diferenciales.La ltima tercera parte del Volumen 1 introduce el lgebra lineal con aplicacionesa la Geometra y al Anlisis. Gran parte de estos temas se apoya slidamente enel clculo de ejemplos que ilustran la teora general. Ello proporciona una mezclade lgebra y de Anlisis y contribuye a preparar el camino para la transicindel Clculo con una variable al Clculo con varias variables, que se trata en elVolumen Il. Un desarrollo ms amplio de lgebra lineal se har necesario en lasegunda edicin del Volumen 11.

Una vez ms reconozco con agrado mi deuda con los profesores H. F. Boh-nenblust, A. Erdlyi, F. B. Fuller, K. Hoffman, G. Springer, y H. S. Zuckerman.Su influencia en la primera edicin ha continuado en la segunda. En la prepara-cin de la segunda edicin, recib tambin la ayuda del profesor Basil Gordon,que sugiri muchas mejoras. Estoy tambin agradecido a George Springer yWilliam P. Ziemer, que leyeron las ltimas pruebas. El personal de BlaisdellPublishing Company, como siempre, ha prestado una gran ayuda; aprecio susimptica aceptacin de mis deseos en lo relativo al formato y a la tipografa.

Prlogo IX

Por ltimo, tengo especial satisfaccin en expresar mi gratitud a mi esposapor haber contribuido en diversas formas a la preparacin de las dos ediciones.En testimonio de mi agradecimiento le dedico este libro.

T.M.A.Pasadena, California

11.1I 1.2I 1.3

*1 1.4I 1.5I 1.6

I 2.1I 2.2I 2.3I 2.4I 2.5

I 3.1I 3.2

*1 3.3I 3.4

*1 3.5I 3.6I 3.7

I 3.8I 3.9

NDICE ANALTICO

l. INTRODUCCIN

Parte 1. Introduccin histrica

Los dos conceptos bsicos del ClculoIntroduccin histricaEl mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbolaEjerciciosAnlisis crtico del mtodo de ArqumedesLa introduccin al Clculo que se utiliza en este libro

Parte 2. Conceptos bsicos de la teora/ de conjuntos

Introduccin a la teora de conjuntosNotaciones para designar conjuntosSubconjuntosReuniones, intersecciones, complementosEjercicios

Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistemade nmeros reales

IntroduccinAxiomas de cuerpoEjerciciosAxiomas de ordenEjerciciosNmeros enteros y racionalesInterpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntosde una rectaCota superior de un conjunto, elemento mximo, extremo superiorAxioma del extremo superior (axioma de completitud)

XI

1349

1012

1314151719

212224242626

282830

XII

I 3.10I 3.11

*1 3.12*1 3.13*1 3.14*1 3.15

I 4.1I 4.2

*1 4.3I 4.4

*1 4.5I 4.6I 4.7I 4.8I 4.9

*1 4.10

1.11.2

*1.31.41.51.61.71.81.91.101.111.121.131.141.151.161.171.18

/ndice analtico

La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros realesPropiedades fundamentales del extremo superiorEjerciciosExistencia de races cuadradas de los nmeros reales no negativosRaces de orden superior. Potencias racionalesRepresentacin de los nmeros reales por medio de decimales

Parte 4. Induccin matemtica, smbolossumatorios y cuestiones relacionadas

Ejemplo de demostracin por induccin matemticaEl principio de la induccin matemticaEl principio de buena ordenacinEjerciciosDemostracin del principio de buena ordenacinEl smbolo sumatorioEjerciciosValor absoluto y desigualdad triangularEjerciciosEjercicios varios referentes al mtodo de induccin

1. LOS CONCEPTOS DEL CLCULOINTEGRAL

Las ideas bsicas de la Geometra cartesianaFunciones. Ideas generales y ejemplosFunciones. Definicin formal como conjunto de pares ordenadosMs ejemplos de funciones realesEjerciciosEl concepto de rea como funcin de conjuntoEjerciciosIntervalos y conjuntos de ordenadasParticiones y funciones escalonadasSuma y producto de funciones escalonadasEjerciciosDefinicin de integral para funciones escalonadasPropiedades de la integral de una funcin escalonadaOtras notaciones para las integralesEjerciciosLa integral de funciones ms generalesIntegrales superior e inferiorEl rea de un conjunto de ordenadas expresada como una integral

323334353637

40414244454649505354

596165666970737475777879818586889192

lndice analtico

1.191.201.211.221.23

1.241.251.261.27

Observaciones relativas a la teora y tcnica de la integracinFunciones montonas y montonas a trozos. Definiciones y ejemplosIntegrabilidad de funciones montonas acotadasClculo de la integral de una funcin montona acotadaClculo de la integral f~xP dx siendo p entero positivoPropiedades fundamentales de la integralIntegracin de polinomiosEjerciciosDemostraciones de las propiedades fundamentales de la integral

2. ALGUNAS APLICACIONES DE LAINTEGRACIN

2.12.2

IntroduccinEl rea de una regin comprendida entre dos grficas expresadacomo una integralEjemplos resueltosEjerciciosLas funciones trigonomtricasFrmulas de integracin para el seno y el cosenoDescripcin geomtrica de las funciones seno y cosenoEjerciciosCoordenadas polaresLa integral para el rea en coordenadas polaresEjerciciosAplicacin de la integracin al clculo de volmenesEjerciciosAplicacin de la integracin al concepto de trabajoEjerciciosValor medio de una funcinEjerciciosLa integral como funcin del lmite superior. Integrales indefinidasEjercicios

2.32.42.52.62.72.82.92.102.112.122.132.142.152.162.172.182.19

3. FUNCIONES CONTINUAS

3.1 Idea intuitiva de continuidad 1553.2 Definicin de lmite de una funcin 1563.3 Definicin de continuidad de una funcin 1603.4 Teoremas fundamentales sobre lmites. Otros ejemplos de

funciones continuas 1623.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre lmites 167

XIIl

939495979899101102104

109

109111116117121126129133134136137140141144145147148153

XIV

4.144.154.16

4.174.184.194.204.21

ndice analtico

3.63.73.83.93.103.113.123.133.143.153.163.173.183.193.20

EjerciciosFunciones compuestas y continuidadEjerciciosTeorema de Bolzano para las funciones continuasTeorema del valor intermedio para funciones continuasEjerciciosEl proceso de inversinPropiedades de las funciones que se conservan por la inversinInversas de funciones montonas a trozosEjerciciosTeorema de los valores extremos para funciones continuasTeorema de la continuidad uniformeTeorema de integrabilidad para funciones continuasTeoremas del valor medio para funciones continuasEjercicios

4. CLCULO DIFERENCIAL

4.14.24.34.44.54.64.74.84.94.104.11

Introduccin histricaUn problema relativo a velocidadDerivada de una funcinEjemplos de derivadaslgebra de las derivadasEjerciciosInterpretacin geomtrica de la derivada como una pendienteOtras notaciones para las derivadasEjerciciosRegla de la cadena para la derivacin de funciones compuestasAplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variacinligados y derivacin implcitaEjerciciosAplicaciones de la derivacin a la determinacin de los extremosde las funcionesTeorema del valor medio para derivadasEjerciciosAplicaciones del teorema del valor medio a propiedadesgeomtricas de las funcionesCriterio de la derivada segunda para los extremosTrazado de curvasEjerciciosEjemplos resucitas de problemas de extremosEjercicios

4.124.13

169172174175177178179180182183184186187189190

191192195197201204207209211213

216219

221224227

228230231233234237

':'4.22':'4.23

5.55.65.75.85.95.10

':'5 .11

Indice analtico

Derivadas parcialesEjercicios

5. RELACIN ENTRE INTEGRACINy DERIVACIN

5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamentalde l c lculoTeorema de la derivada nulaFunciones primitivas y segundo teorema fundamental del clculoPropiedades de una funcin deducidas de propiedades de suderivadaEjerciciosLa notacin de Leibniz para las primitivas1ntegracin por sustitucinEjercicios1n tcgracin por partesEjerciciosEjercicios de repaso

5.25.35.4

6. F1C1\CTN LOGARITMO, FUNCINEX POXENCIAL y FUNCIONESTRIGONOM~TRICASINVERSAS

6.16.26.36.46.56.66.7

J ntrcduccinDefinicin del logaritmo natural como integralDefinicin de logaritmo. Propiedades fundamentalesGrfica del logaritmo naturalConsecuencias de la ecuacin funcional L(ab) = L(a) + L(b)Logaritmos referidos a una base positiva b =1= 1Frmulas de derivacin e integracin en las que intervienenlogaritmosDerivacin logartmicaEjerciciosPolinomios de aproximacin para el logaritmoEjerciciosLa funcin exponencialExponenciales expresadas como potencias de eDefinicin de e' para x real cualquieraDefinicin de a" para a>O y x realFrmulas de derivacin e integracin en las que intervienenexponenciales

6.86.96.106.116.126.136.146.156.16

xv

239245

247250250

253254257259264266269272

277278281282282284

286288289291296296298299300

300

XVI

6.176.186.196.206.216.226.236.24

7.17.27.37.47.57.6

*7.77.87.9

lndice analtico

6.256.26

EjerciciosFunciones hiperblicasEjerciciosDerivadas de funciones inversasInversas de las funciones trigonomtricasEjerciciosIntegracin por fracciones simplesIntegrales que pueden transformarse en integrales de funcionesracionalesEjerciciosEjercicios de repaso

304307308308309314316

323326328

333335337340341342347348

350354356357362363366368371

8.1 Introduccin 3738.2 Terminologa y notacin 3748.3 Ecuacin diferencial de primer orden para la funcin exponencial 3768.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 3778.5 Ejercicios 381

7. APROXIMACIN DE FUNCIONESPOR POLINOMIOS

7.107.117.127.137.147.157.167.17

IntroduccinPolinomios de Taylor engendrados por una funcinClculo con polinomios de TaylorEjerciciosFrmula de Taylor con restoEstimacin del error en la frmula de TaylorOtras formas de la frmula de TayIor con restoEjerciciosOtras observaciones sobre el error en la frmula de Taylor. Lanotacin 0-Aplicaciones a las formas indeterminadasEjerciciosRegla de L'Hpital para la forma indeterminada O/OEjerciciosLos smbolos + 00 y - oo , Extensin de la regla de L'HpitalLmites infinitosComportamiento de log x y ea: para valores grandes de xEjercicios

8. INTRODUCCIN A LAS ECUACIONESDIFERENCIALES

8.6

8.78.88.98.108.118.128.138.148.15

In dice analtico

8.16

Algunos problemas fsicos que conducen a ecuaciones diferencialesde primer ordenEjerciciosEcuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantesExistencia de soluciones de la ecuacin y" +by =OReduccin de la ecuacin general al caso particular y" +by =OTeorema de unicidad para la ecuacin y" +by =OSolucin completa de la ecuacin y" + by =OSolucin completa de la ecuacin y" +ay' + by =OEjerciciosEcuaciones lineales no homogneas de segundo orden concoeficientes constantesMtodos particulares para la determinacin de una solucinparticular de la ecuacin no homognea y"+ay' +by =REjerciciosEjemplos de problemas fsicos que conducen a ecuaciones linealesde segundo orden con coeficientes constantesEjerciciosObservaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no linealesCurvas integrales y campos direccionalesEjerciciosEcuaciones separables de primer ordenEjerciciosEcuaciones homogneas de primer ordenEjerciciosAlgunos problemas fsicos y geomtricos que conducen a ecuacionesde 'primer ordenEjercicios de repaso

8.178.18

8.198.208.218.228.238.248.258.268.27

8.28

9. NMEROS COMPLEJOS

9.19.29.39.49.59.69.79.89.99.10

Introduccin histricaDefiniciones y propiedadesLos nmeros complejos como una extensin de los nmeros realesLa unidad imaginaria iInterpretacin geomtrica. Mdulo y argumentoEjerciciosExponenciales complejasFunciones complejasEjemplos de frmulas de derivacin e integracinEjercicios

XVII

382390394395396397398399401

402

406408

408414416417421422424425429

429434

437437440441443445446449451453

XVIII lndice analtico

10.110.210.310.410.510.610.710.810.9

*10.1010.1110.1210.1310.1410.15

10.1610.1710.1810.1910.20

* 10.2110.2210.2310.24

11.111.211.311.411.511.611.711.8

11.911.10

10. SUCESIONES, SERIES, INrrEGRALESIMPROPIAS

La paradoja de ZennSucesionesSucesiones montonas de nmeros realesEjerciciosSeries infinitasPropiedad de linealidad de las series convergentesSeries telescpicasSerie geomtricaEjerciciosEjercicios con expresiones decimalesCriterios de convergenciaCriterios de comparacin para series de trminos no negativosEl criterio integralEjerciciosCriterios de la raz y del cociente para series de trminos nonegativosEjerciciosSeries alternadasConvergencia condicional y absolutaCriterios de convergencia de Dirichlet y AbelEjerciciosReordenacin de seriesEjercicios varios de repasoIntegrales impropiasEjercicios

11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES

Convergencia puntual de sucesiones de funcionesConvergencia uniforme de sucesiones de funcionesConvergencia uniforme y continuidadConvergencia uniforme e integracinUna condicin suficiente para la convergencia uniformeSeries de potencias. Crculo de convergenciaEjerciciosPropiedades de las funciones representadas por series reales depotenciasSerie de Taylor generada por una funcinCondicin suficiente para la convergencia de una serie de Taylor

457462465467469471472474477479480482484486

487490492496496499501506508513

517519520521522524526

528532532

11.11

*11.1211.1311.1411.1511.16

12.112.212.312.412.512.612.712.812.9

12.1012.1112.1212.1312.1412.1512.1612.17

ndice analtico

Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial ytrigonomtricasTeorema de BernsteinEjerciciosSeries de potencias y ecuaciones diferencialesLa serie binmicaEjercicios

12. LGEBRA VECTORIAL

Introduccin histricaEl espacio vectorial de las n-plas de nmeros realesInterpretacin geomtrica para n ::;3EjerciciosProducto escalarLongitud o norma de un vectorOrtogonalidad de vectoresEjerciciosProyecciones. ngulo de dos vectores en el espacio den dimensionesLos vectores coordenados unitariosEjerciciosEnvolvente lineal de un conjunto finito de vecotresIndependencia linealBasesEjerciciosEl espacio vectorial Vn(C) de n-plas de nmeros complejosEjercicios

13. APLICACIONESDEL ALGEBRA VECrrORIAL

A LA GEOMETRA ANALTICA

13.1 Introduccin13.2 Rectas en el espacio n-dimensional13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas13.4 Rectas y funciones vectoriales13.5 Ejercicios13.6 Planos en el espacio eucldeo n-dimensional13.7 Planos y funciones vectoriales13.8 Ejercicios13.9 Producto vectorial

XIX

533535536538541542

545546549551552554557558

559561563565567570571573575

577578579581584585589590591

xx

13.1013.1113.1213.13

13.1413.1513.1613.1713.1813.1913.2013.2113.2213.2313.2413.25

14.114.214.314.414.514.6

14.714.8

14.914.1014.1114.1214.1314.1414.1514.1614.1714.1814.19

lndice analtico

El producto vectorial expresado en forma de determinanteEjerciciosProducto mixtoRegla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuacioneslinealesEjerciciosVectores normales a planosEcuaciones lineales cartesianas para planosEjerciciosLas secciones cnicasExcentricidad de las secciones cnicasEcuaciones polares de las cnicasEjerciciosCnicas simtricas respecto al origenEcuaciones cartesianas de las cnicasEjerciciosEjercicios varios sobre cnicas

14. CLCULO CON FUNCIONESVECTORIALES

Funciones vectoriales de una variable realOperaciones algebraicas. ComponentesLmites, derivadas e integralesEjerciciosAplicaciones a las curvas. TangenciaAplicaciones al movimiento curvilneo. Vector velocidad, velocidady aceleracinEjerciciosVector tangente unitario, normal principal y plano osculador auna curvaEjerciciosDefinicin de longitud de un arcoAditividad de la longitud de arcoFuncin longitud de arcoEjerciciosCurvatura de una curvaEjerciciosLos vectores velocidad y aceleracin en coordenadas polaresMovimiento plano con aceleracin radialCoordenadas cilndricasEiercicios

595597598

601602604606607609612614615616618621623

627627628632633

637641

643646648651652655657659660663664665

14.2014.21

15.115.215.315.415.515.615.715.815.915.1015.1115.1215.1315.1415.15

15.16

16.116.216.316.416.516.616.716.816.916.1016.1116.1216.1316.1416.1516.16

In dice analtico

Aplicaciones al movimiento planetarioEjercicios de repaso

15. ESPACIOS LINEALES

IntroduccinDefinicin de espacio linealEjemplos de espacios linealesConsecuencias elementales de los axiomasEjerciciosSubespacios de un espacio linealConjuntos dependientes e independientes, en un espacio linealBases y dimensinEjerciciosProductos interiores, espacios eucldeos. NormasOrtogonalidad en un espacio eucldeoEjerciciosConstruccin de conjuntos ortogonales. Mtodo de Gram-SchmidtComplementos ortogonales. ProyeccionesAproximacin ptima de elementos de un espacio eucldeo porelementos de un subespacio de dimensin finitaEjercicios

16. TRANSFORMACIONES LINEALESY MATRICES

Transformaciones linealesNcleo y recorridoDimensin del ncleo y rango de la transformacinEjerciciosOperaciones algebraicas con transformaciones linealesInversasTransformaciones lineales uno a unoEjerciciosTransformaciones lineales con valores asignadosRepresentacin matricial de las transformaciones linealesConstruccin de una representacin matricial en forma diagonalEjerciciosEspacios lineales de matricesIsomorfismo entre transformaciones lineales y matricesMultiplicacin de matricesEjercicios

XXI

667671

675675677679680681683685686687691694696701

704706

709711712714716718721723725726730732733735736740

XXII lndice analtico

16.17 Sistemas de ecuaciones lineales16 .18 Tcnicas de clculo16.19 Inversas de matrices cuadradas16.20 Ejercicios16.21 Ejercicios varios sobre matricesSoluciones a los ejerciciosndice alfabtico

742745750752754757805

Calculus

INTRODUCCIN

Parte l. - Introduccin histrica

1 1.1 Los dos conceptos bsicos del Clculo

El considerable progreso habido en la ciencia y en la tcnica durante losltimos cien aos procede en gran parte del desarrollo de las Matemticas.La rama de la Matemtica conocida por Clculo integral y diferencial es uninstrumento natural y poderoso para atacar mltiples problemas que surgen enFsica, Astronoma, Ingeniera, Qumica, Geologa, Biologa, y en otros campos,incluyendo recientemente algunos de Ciencias sociales.

Para dar una idea al lector de los muy diversos tipos de problemas quepueden tratarse por los mtodos de Clculo se expone a continuacin una pe-quea muestra de cuestiones seleccionadas entre los ejercicios que aparecen encaptulos posteriores de este libro.

Con qu velocidad debera ser impulsado un cohete para que nunca volvieraa la Tierra? Cul es el radio del menor disco circular que cubra a todo tringuloissceles de permetro L? Cul es el volumen de material extrado de una esferade radio 2r al atravesarla por un orificio cilndrico de radio r cuyo eje pase porel centro de la esfera? Si un cultivo de bacterias crece en razn directa a la can-tidad que hay en cada instante, y la poblacin se duplica en una hora, en cuntose habr incrementado al cabo de dos horas? Si una fuerza de diez libras estirauna cuerda elstica una pulgada, qu trabajo se necesita para estirarla un pie?

Estos ejemplos, elegidos en distintos campos, ilustran algunas de las cues-tiones tcnicas que pueden ser resueltas como aplicaciones ms o menos ruti-narias del Clculo.

El Clculo no slo es un instrumento tcnico, sino que contiene una colec-cin de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humanodurante centurias. Estas ideas estn relacionadas con velocidad, rea, volumen,razn de crecimiento, tangente a una lnea, y con otros conceptos referentes aotros dominios. El Clculo obliga a detenerse y a pensar cuidadosamente acercadel significado de estos conceptos. Otro carcter notable del Clculo es su poder

2 Introduccin

unificador. Muchos de estos problemas pueden ser formulados de manera que sereduzcan a otros problemas de naturaleza puramente geomtrica. A continuacinse procede a una breve descripcin de tales problemas.

Considrese una curva C situada encima de una lnea horizontal base, comose indica en la figura 1.1. Se supone que esta curva tiene la propiedad de sercortada por cada vertical, en un punto a lo ms. La parte sombreada de lafigura est formada por aquellos puntos situados por debajo de la curva C, enci-ma de la horizontal, y entre dos segmentos verticales paralelos que unen C conla base. El primer problema fundamental del Clculo es el siguiente: Determinarun nmero que mida el rea de esta regin sombreada.

Considrese despus una recta que sea tangente a la curva, tal como seve en la figura 1.1. El segundo problema fundamental puede formularse de lasiguiente manera: Determinar un nmero que mida la pendiente de esta recta.

FIGURA I.1

Fundamentalmente, el Clculo se ocupa en la formulacin precisa y la reso-lucin de estos dos problemas considerados. En el Clculo se definen los con-ceptos de rea y tangente y se calculan el rea de una regin dada y la pen-diente de la tangente a una curva dada. El Clculo integral se ocupa del problemadel rea y ser discutido en este captulo 1. El Clculo diferencial se ocupa delproblema de la tangente y ser introducido en el captulo 4.

El estudio del Clculo exige una cierta preparacin matemtica. El presentecaptulo trata de estos conceptos bsicos y est dividido en cuatro partes: La l ."parte da una perspectiva histrica; la 2.a se refiere a la notacin y terminologaen la matemtica de conjuntos; la 3.a trata del sistema de nmeros reales; la4.a ofrece la induccin matemtica y la notacin sumatoria. Si el lector est infor-mado de estos temas, puede abordar directamente el desarrollo del Clculo inte-gral en el captulo 1. Si no, deber familiarizarse con las materias contenidasen esta introduccin antes de iniciar el captulo 1.

1ntroduccin histrica 3

I 1.2 Introduccin histrica

El origen del Clculo integral se remonta a ms de 2000 aos, cuando losgriegos intentaban resolver el problema del rea ideando el procedimiento quellamaron mtodo de exhaucin. Las ideas esenciales de este mtodo son real-mente muy simples y se pueden describir brevemente como sigue: Dada unaregin cuya rea quiere determinarse, se inscribe en ella una regin poligonalque se aproxime a la dada y cuya rea sea de fcil clculo. Luego se elige otraregin poligonal que d una aproximacin mejor y se contina el proceso to-mando polgonos con mayor nmero de lados cada vez, tendiendo a llenar laregin dada. La figura 1.2 es una ilustracin del mtodo en el caso de una reginsemicircular. Este mtodo fue usado satisfactoriamente por Arqumedes (287-212 A.C.) para hallar frmulas exactas de las reas del crculo y de algunasotras figuras especiales.

Desde Arqumedes, el desarrollo del mtodo de exhaucin tuvo que esperarcasi 18 siglos, hasta que el uso de smbolos y tcnicas algebraicas se hizo pre-ciso en los estudios matemticos. El lgebra elemental que hoy da es familiara la mayora de los alumnos de los ltimos cursos de enseanza secundaria, eratotalmente desconocida en tiempos de Arqumedes, lo que haca imposible exten-der el mtodo a cualquier clase de regiones, sin poseer manera adecuada depoder expresar los largos clculos en forma simplificada.

FIGURA 1.2 El mtodo de exhaucin aplicado a una regin semicircular.

Un cambio lento pero revolucionario, en el desarrollo de las notaciones ma-temticas, empez en el siglo XVI D.C. El engorroso sistema de numeracinromano fue desplazado gradualmente por los caracteres arbigos utilizados hoyda; los signos + y - fueron introducidos por primera vez, y se empezaron areconocer las ventajas de la notacin decimal. Durante este mismo perodo, losbrillantes resultados de los matemticos italianos Tartaglia, Cardano y Ferrarique dieron soluciones algebraicas a las ecuaciones cbica y curtica, estimulel desarrollo de la Matemtica y anim a la aceptacin del lenguaje algebraiconuevo y superior. Con la introduccin muy extendida de los bien elegidos sm-bolos algebraicos, revivi el inters por el antiguo mtodo de exhaucin y enel siglo XVI descubrieron mltiples resultados parciales, los que como Cava-lieri, Toricelli, Roberval, Fermat, Pascal y Wallis fueron pioneros.

4 Introduccin

Gradualmente, el mtodo de exhaucin fue transformndose en lo que hoyse conoce como Clculo integral, nueva y potente disciplina que tiene numero-ssimas aplicaciones no slo en problemas relativos a reas y volmenes, sinotambin en problemas de otras ciencias. Este mtodo, que mantiene alguno delos caracteres originales del mtodo de exhaucin, recibi su mayor impulsoen el siglo XVII, debido a los esfuerzos de Isaac Newton (1642-1727) y GottfriedLeibniz (1646-1716), y su desarrollo continu durante el siglo XIX, hasta queAugustin-Louis Cauchy (1789-1857) y Bernhard Riemann (1826-1866) le dieronuna base matemtica firme. Posteriores afinamientos y extensiones de la teorahan llegado hasta la Matemtica contempornea.

1 1.3 El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola

Antes de proceder al estudio sistemtico del Clculo integral, ser instruc-tivo aplicar el mtodo de exhaucin directamente a una de las figuras particu-lares tratadas por el mismo Arqumedes. La regin en cuestin est presentadaen la figura 1.3 y puede describirse como sigue: Si se elige un punto arbitrariode la base de la figura y se designa por x su distancia a 0, la distancia verticalde este punto a la curva es x', En particular, si la longitud de la base es b laaltura de la figura es b2 La distancia vertical de x a la curva se denomina orde-nada de x. La curva as descrita se denomina parbola y la regin limitada porella y por los dos segmentos rectilneos, se llama segmento parablico.

r-----------------

o x Aproximacin por defectoFIGURA 1.3 Segmento parablico FIGURA 1.4

Aproximacin por exceso

El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 5.

Esta figura puede encerrarse en un rectngulo de base b y altura b", comose ve en la figura 1.3. Observando la figura parece natural afirmar que el readel segmento parablico es menor que la mitad del rea del rectngulo. Arqu-medes hizo el sorprendente descubrimiento de que el rea del segmento para-blico es exactamente un tercio de la del rectngulo; es decir, A=b3/3, dondeA designa el rea del segmento parablico. Se ver a continuacin cmo sellega a este resultado.

Se hace notr que el segmento parablico dibujado en la figura 1.3 no estelegido exactamente tal como lo dibuj Arqumedes y que los detalles que

b"rea del rectngulo = -. k2n

kb ... b = nbn n

o b 2bn n

FIGURA 1.5 Clculo del rea de un segmento parablico.

siguen no son exactamente los utilizados por l. Sin embargo, las ideas esencialesson las de Arqumedes; lo que aqu se expone puede considerarse como el m-todo de exhaucin expuesto con la notacin moderna.

El mtodo consiste simplemente en lo siguiente: se divide la figura en uncierto nmero de bandas y se obtienen dos aproximaciones de la regin, unapor defecto y otra por exceso, utilizando dos conjuntos de rectngulos comose indica en la figura 1.4. (Se utilizan rectngulos mejor que polgonos arbitrariospara simplificar los clculos.) El rea del segmento parablico es mayor que elrea total de los rectngulos interiores pero menor que la de los rectngulosexteriores.

Si cada banda se subdivide a su vez, se obtiene una nueva aproximacincon mayor nmero de bandas, la reunin de las reas de los rectngulos inte-

6 Introduccin

riores crece, mientras que el total de las reas de los rectngulos exterioresdecrece. Arqumedes vio que se poda lograr el rea con el grado de aproximacindeseado sin ms que tomar un nmero suficiente de bandas.

El clculo efectivo en este caso se realiza como se indica a continuacin.Con objeto de simplificar se subdivide la base en n partes iguales, cada una delongitud bf n (vase fig. 1.5). Los puntos de subdivisin corresponden a los si-guientes valores de x:

o, ~ , 2b , 3b , ... , (n - l)b , nb = b .n n n n n

La expresin general de un punto de la subdivisin es x =kb In, donde k tomalos valores sucesivos k = O, 1, 2, 3, .. , n, En cada punto kb I n se construye elrectngulo exterior de altura (kbln)2 como se indica en la figura 1.5. El reade este rectngulo es el producto de la base por la altura y es igual a:

Si se designa por S; la suma de las reas de todos los rectngulos exteriores,puesto que el rea del rectngulo k-simo es (b3 In3)k2 se tiene la frmula:

(1.1 )

De forma anloga se obtiene la frmula para la suma s de todos los rectngulosinteriores:

(1.2)

La forma de estas sumas es de gran importancia para su clculo. Nteseque el factor que multiplica a b" In3 en la ecuacin (1.1) es la suma de los cua-drados de los n primeros nmeros naturales:

12 + 22 + ... + n2

(El factor correspondiente en la ecuacin (1.2) es anlogo salvo que la sumatiene nicamente n - 1 sumandos.) Para valores grandes de n la obtencin deesta suma por adicin directa de sus sumandos es pesada, pero afortunada-

El mtodo de exhaucin para el rea de un segmento de parbola 7

mente existe una interesante identidad que hace posible obtener esta suma porun camino ms simple, y es la siguiente:

(1.3)3 2

12 22 2 n n n+ +"'+n =-+-+-.3 2 6

Esta identidad es vlida para todo entero n 2: 1 Y puede demostrarse del siguien-te modo: Se parte de la frmula (k+ l)3=k8+3F+3k+ 1 Y se pone en la forma

3k2 + 3k + 1 = (k + 1)3 - k3.Haciendo k= 1, 2, ... , n - 1, obtenemos las n - 1 frmulas

3 . 12+ 3 . 1 + 1 = 23 - 133 . 22 + 3 . 2 + 1 = 33 - 23

3(n - 1)2 + 3(n - 1) + 1 = n3 - (n - 1)3.

Al sumar estas frmulas, todos los trminos del segundo miembro se reducenexcepto dos y se obtiene

3[P + 22 + ... + (n - 1)2] + 3[1 + 2+ ... + (n - 1)] + (n - 1) = n3 - P.La segunda suma del primer miembro es la suma de los trminos de una pro-gresin aritmtica cuyo valor es t n(n - 1). Por tanto la ltima igualdad nos da

(lA)3 2

12 + 22 + ... + (n - 1)2 = !!..- _ !!..- + !:!. .3 2 6

Sumando n' a los dos miembros, obtenemos (1.3).Las expresiones exactas dadas en los segundos miembros de (1.3) y (1.4) no

son necesarias para el objeto que aqu se persigue, pero sirven para deducirfcilmente las dos desigualdades que interesan

(I.5) n3

12 + 22 + ... + (n - 1)2 < - < 12 + 22 + ... + n23

que son vlidas para todo entero n 2: 1. Estas desigualdades pueden deducirsefcilmente como consecuencias de (1.3) Y (I.4), o directamente por induccin.(Vase la Seccin 1 4.1.)

8 Introduccin

Multiplicando ambas desigualdades en (1.5) por ba /na y haciendo uso de(1.1) Y (1.2) se tiene:

(1.6)

para cada n, y observndose que se presenta por primera vez el nmero b" /3.Las desigualdades en (1.6) expresan que para cada n el nmero ba /3 est com-prendido entre s.; y S Pero ahora es fcil probar que b' /3 es el nico nmeroque goza de esta propiedad; es decir, que si A es un nmero que verifica lasdesigualdades

(1.7)

para cada entero positivo n, ha de ser necesariamente A =ba!3. Por esta razndedujo Arqumedes que el rea del segmento parablico es ba!3.

Para probar que A =ba!3 se utilizan una vez ms las desigualdades (1.5).Sumando n2 a los dos miembros de la desigualdad de la izquierda en (1.5) seobtiene:

Multiplicando por ba! na y utilizando (1.1) se tiene

(1.8)

Anlogamente, restando n2 de los dos miembros de la desigualdad de la derechaen (1.5) y multiplicando por b" /na se llega a la desigualdad:

(1.9)

Por tanto, cada nmero A que satisfaga (1.7) ha de satisfacer tambin:

(LlO)

para cada entero n ;:: 1. Ahora bien, hay slo tres posibilidades:

A < b33 '

Ejercicios 9

Si se prueba que las dos primeras conducen a una contradiccin habr de serA = b" j 3, ya que, al estilo de Sherlock Holmes, se agotan as todos las posibili-dades.

Supngase que la desigualdad A > b" j 3 fuera cierta. De la segunda desi-gualdad en (1.10) se obtiene:

(I.11)b3 b3A--

10 Introduccin

3. Las desigualdades (1.5) y (1.12) son casos particulares de las desigualdades ms generales

(1.13)nk+1

lk + 2k + ... + (n - l)k < -- < lk + 2k + ... + nkk + 1

que son vlidas para cada entero n ~ 1 Y cada entero k 1. Supuestas vlidas (1.13)generalcense los resultados del ejercicio 2.

1 1.5 Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes

Mediante clculos anlogos a los realizados en el apartado 1 1.3,Arqumedeslleg a la conclusin de que el rea del segmento parablico considerado es b3/3.Este hecho se acept como un teorema matemtico, hasta que pasados unos2000 aos se pens que deban analizarse los resultados desde un punto de vistams crtico. Para comprender por qu hubo quien puso en duda la validez de lasconclusiones de Arqumedes, es necesario tener presente los cambios importantesque han tenido lugar en la reciente historia de la Matemtica.

Cada rama del conocimiento es un conjunto de ideas descritas por mediode palabras y smbolos, y no se pueden comprender estas ideas sin un conoci-miento exacto de las palabras y smbolos que se utilizan. Ciertas ramas del cono-cimiento conocidas por sistemas deductivos, se distinguen de otras porque enellas se elige a priori un nmero de conceptos no definidos y todo otro conceptoen el sistema se define a partir de aqullos. Ciertas relaciones entre estos conceptosno definidos se toman como axiomas o postulados y otras relaciones que puedendeducirse de estos axiomas se denominan teoremas. El ejemplo ms familiar desistema deductivo es la Geometra elemental euclidiana, que ha sido estudiadapor toda persona culta desde la poca de la Grecia antigua.

El espritu de la Matemtica griega, siguiendo el mtodo de postulados yteoremas como en la Geometra de los Elementos de Euclides, domin el pen-samiento de los matemticos hasta la poca del Renacimiento. Una fase nuevay vigorosa en el desarrollo de la Matemtica empez con la aparicin del lgebraen el siglo XVI; Y los 300 aos que siguieron fueron testigos de gran cantidad dedescubrimientos importantes. El razonamiento lgico preciso del mtodo deductivocon el uso de axiomas, definiciones y teoremas, estuvo manifiestamente ausenteen este perodo. Los matemticos de los siglos XVI, XVII Y XVIII recurran a unamezcla curiosa de razonamiento deductivo combinado con la intuicin y la puraconjetura; y no es extrao que algunos de sus resultados se haya visto posterior-mente que eran incorrectos. No obstante, un nmero sorprendente de descubri-mientos importantes ocurren en este perodo, y una gran parte de esta obra ha so-brevivido la prueba de la Historia, representando un tributo a la destreza ytalento de aquellos cientficos.

Anlisis crtico del mtodo de Arqumedes 11

Cuando empez a disminuir el caudal de nuevos descubrimientos, apareciun nuevo perodo de anlisis crtico; y poco a poco, los matemticos se vieronobligados a volver a las ideas clsicas del mtodo deductivo, al intentar ponerfundamentos firmes a la nueva Matemtica . Esta fase del desarrollo, que empeza principios del siglo XIX y ha continuado hasta el momento presente, ha alcanzadoun grado de abstraccin y pureza lgica que ha superado todas las tradiciones de laciencia griega. A la vez, ha. proporcionado una comprensin ms clara de losfundamentos no slo del Clculo, sino de todas las ramas de la Matemtica.

Hay muchas formas de estructurar el Clculo como sistema deductivo. Unamanera posible, es tomar los nmeros reales como conceptos no definidos o primi-tivos. Algunas de las reglas que rigen las operaciones con los nmeros realespueden tomarse como axiomas. Este sistema de axiomas se ha incluido en laparte 3 de esta introduccin. Nuevos conceptos, tales como integral, lmite, conti-nuidad, derivada, pueden definirse a partir de los nmeros reales. Las propiedadesde estos conceptos se deducen como teoremas a partir de los axiomas.

Considerando el Clculo como una parte del sistema deductivo, el resultadode Arqumedes para el rea del segmento parablico no puede aceptarse comoun teorema si no se da previamente una definicin satisfactoria de rea. No esclaro que Arqumedes hubiera formulado alguna vez una definicin precisa delo que l entenda por rea. Parece haber tomado como convenio que cada regintiene una rea asociada a ella. Con esta hiptesis se ocupa de calcular reas deregiones particulares. En sus clculos utiliza propiedades del rea que no sepueden probar mientras no se precise qu se entiende por rea. Por ejemplo,supone que si una regin es interior a otra, el rea de la regin menor no puedeexceder a la de la regin mayor; y tambin que si una regin se descomponeen dos o ms partes, la suma de las reas de cada parte es igual al rea de todala regin. Todas estas propiedades se atribuyen al rea, y en toda definicin que sed del rea estas propiedades han de poder deducirse como teoremas. Es verosmilque el mismo Arqumedes tomara el rea como concepto primitivo, utilizandolas propiedades mencionadas como axiomas.

Actualmente se considera la obra de Arqumedes como importante ms quepor calcular reas de figuras particulares, porque ha sugerido un camino razonablepara definir el concepto de rea para figuras ms o menos arbitrarias. A su vez,el mtodo de Arqumedes sugiere un mtodo para definir un concepto mucho msgeneral, que es la integral; y a su vez, la integral no slo se utiliza para definiry calcular reas, sino tambin para establecer conceptos como longitud de unarco, volumen, trabajo y otros.

Anticipndose a futuros desarrollos, y utilizando la terminologa del Clculointegral, el resultado del clculo efectuado en la Seccin 1 1.3, para el segmentoparablico, se expresa frecuentemente como sigue:

La integral de x2 de O a b es b3/3.

12 Introduccin

y se escribe simblicamente:(bx2dx = h3.Jo 3

El smbolo f (una S alargada) se llama signo integral y fue introducido porLeibniz en 1675. El proceso que determina el nmero b3/3 se denomina integra-cin. Los nmeros O y b que afectan al signo integral se denominan lmites de inte-graci6n. El signo fg x2 dx se ha de considerar como un todo. Su definicin debedarse de la misma manera que el diccionario describe la palabra Marte sin hacerreferencia a mar ni a te.

El smbolo de Leibniz para la integral fue aceptado pronto por muchos mate-mticos, porque vean en la integracin un tipo de proceso de sumacin quepermita sumar infinitas cantidades infinitamente pequeas. Por ejemplo, en elcaso del segmento parablico, el rea se conceba como la suma de una infinidadde rectngulos infinitamente pequeos de altura x2 y base dx. El signo integralrepresenta el proceso de sumacin de todos estos rectngulos. Esta forma derazonar es muy sugestiva y til frecuentemente. Desde el punto de vista lgico,adolece del defecto de no poder atribuir un significado exacto al concepto can-tidad infinitamente pequea. Actualmente se sabe cmo introducir la integralmediante el nmero real, sin utilizar conceptos misteriosos e inexplicables, comoinfinitesimal. Esta definicin se dar en el captulo 1.

1 1.6 La introduccin al Clculo que se utiliza en este libro

Una exposicin rigurosa y completa tanto del Clculo integral como del dife-rencial, depende esencialmente de un estudio cuidadoso del sistema de los nmerosreales. El estudio en s de este sistema llevado a cabo en su totalidad, es un temamuy interesante pero un tanto largo, de forma que requiere un pequeo volumenpara su completa exposicin. El mtodo seguido en este libro es empezar con losnmeros reales como elementos primitivos y tomar simplemente algunas de suspropiedades fundamentales como axiomas. Estos axiomas y algunos de los teoremasms sencillos que pueden deducirse de ellos se discutirn en la parte 3 de estecaptulo. Muchas de las propiedades de los nmeros reales que se han tomadocomo axiomas son probablemente familiares al lector, por sus estudios de lgebraelemental. Sin embargo, hay algunas propiedades de los nmeros reales que no sesuelen tener en cuenta en el lgebra elemental, pero que juegan un papel impor-tante en el Clculo. Estas propiedades son consecuencia del llamado axioma delextremo superior (conocido tambin por axioma de la continuidad) que se estudiaraqu con detalle. El lector puede parar su atencin en ia parte 3 antes de entraren el cuerpo fundamental del texto, o bien dejar la lectura de esta materia params adelante cuando se encuentre con aquellas partes de la teora en las que se

Introduccin a la teora de conjuntos 13

utilizan propiedades del extremo superior. Las materias en el texto que dependandel axioma del extremo superior se sealarn claramente.

Para desarrollar el Clculo como una teora matemtica completa, seranecesario exponer, junto al sistema de axiomas del nmero real, un conjuntode mtodos de demostracin que permitieran deducir los teoremas a partir delos axiomas. Cada afirmacin en la teora tendra que ser justificada o comouna ley establecida (es decir, un axioma, una definicin o un teorema previa-mente probado), o como el resultado de aplicar a leyes establecidas uno de losmtodos de demostracin aceptados. Un programa de esta naturaleza resultaraextremadamente largo y trabajoso, y ayudara muy poco a la comprensin de lamateria por el principiante. Afortunadamente no es necesario proceder de estaforma para llegar a una buena comprensin y manejo del Clculo. En este libro seintroducen las cuestiones prescindiendo de un formalismo exagerado y se haceamplio uso del razonamiento geomtrico cuando se cree conveniente; pero almismo tiempo, se procura que la exposicin de las materias goce de la precisin yclaridad propias de la ciencia moderna. Todos los teoremas importantes de lateora en cuestin, estn explcitamente expuestos y rigurosamente demostrados.

Para evitar interrumpir la sucesin de ideas, algunas de las demostracionesaparecen en secciones separadas sealadas con asterisco. Por la misma razn,algunos de los captulos van acompaados de secciones suplementarias en lascuales se tratan con detalle algunos temas importantes relacionados con el Clculo.Algunos de ellos estn tambin sealados con asterisco para indicar que puedenomitirse o posponerse sin que se interrumpa la continuidad de la exposicin.El que se tomen ms o menos en consideracin los apartados con asterisco, de-pende en parte de la preparacin del lector y en parte de su inters. La personaque desee un curso completo de Clculo tanto en teora como en la prctica,tendr que leer toda la materia. El que se interese primeramente por las ideasbsicas y la prctica, podr suprimir los apartados con asterisco.

Parte 11. - Conceptos bsicos de la Teora de conjuntos

I 2.1 Introduccin a la Teora de conjuntos

En el estudio de cualquier rama de la Matemtica, sea Anlisis, lgebra oGeometra, resulta til emplear la notacin y la terminologa de la Teora de con-juntos. Esta teora, que fue desarrollada por Boole y Cantor (t) a fines del siglo XIX,ha tenido una profunda influencia en el desarrollo de la Matemtica en el si-

(t) George Boole (1815-1864) fue un lgico-matemtico ingls. Su libro, Investigacin de lasleyes del pensamiento, publicado en 1854, seala la creacin del primer sistema prctico deLgica simblica. George F. L. P. Cantor (1845-1918) y su escuela crearon la moderna Teorade conjuntos en el perodo 1874-1895.

14 Introduccin

glo xx. Ha unificado muchas ideas aparentemente inconexas y ha contribuido areducir gran nmero de conceptos matemticos a sus fundamentos lgicos por unmtodo elegante y sistemtico. Un estudio riguroso de la Teora de conjuntos re-querira una amplia discusin que consideramos fuera del alcance de este libro.Por fortuna, las nociones bsicas son en nmero reducido, y es posible desarrollarun conocimiento prctico de los mtodos e ideas de la Teora de conjuntos atravs de una discusin informal. En realidad. no vamos a hacer una discusinde la moderna Teora de conjuntos, sino precisar la terminologa que deberemosaplicar a las ideas ms o menos familiares.

En Matemticas, la palabra conjunto se emplea para representar una co-leccin de objetos considerada como una sola entidad. Las colecciones designadascon nombres tales como rebao, tribu, muchedumbre, equipo y elec-torado son todas ejemplos de conjunto. Los objetos que constituyen la coleccinse llaman elementos o miembros del conjunto, y de ellos se dice que perteneceno que estn contenidos en el conjunto. A su vez, se dice que el conjunto contieneo est compuesto de sus elementos.

Nos ocuparemos principalmente de conjuntos de entes matemticos: conjuntosde nmeros, de curvas, de figuras geomtricas, etc. En muchas aplicaciones con-viene considerar conjuntos en los que no se supone nada acerca de la naturalezade sus elementos. Tales conjuntos se llaman abstractos. La Teora de conjuntosabstractos ha sido desarrollada para tratar con tales colecciones de objetos arbi-trarios, y precisamente a esa generalidad se debe el gran alcance de tal teora.

1 2.2. Notaciones para designar conjuntos

Corrientemente los conjuntos se designan con letras maysculas: A, B, e, ... ,x, Y, Z: y los elementos con minsculas: a, b, e, ... , x, y, z. Utilizamos la notacin

XESpara indicar que x es un elemento de S o que x pertenece a S, Si x no perte-nece a S esoribimos x r$ S. Cuando convenga, desigharemos conjuntos escribiendolos elementos entre corchetes; por ejemplo, el conjunto de los enteros positivospares menores que 10 se expresa con el smbolo {2, 4, 6, 8} mientras que el detodos los enteros positivos se representa con {1, 2, 3, ... }; los tres puntos signi-fican y as sucesivamente. Los puntos suspensivos tan slo se utilizan cuandoel significado de y as sucesivamente sea claro. El mtodo de citar los elementosde un conjunto entre corchetes se llama frecuentemente la notacin en lista.

El primer concepto fundamental que relaciona un conjunto con otro es laigualdad de conjuntos:

DEFINICIN DE IGUALDAD DE CONJUNTOS. Se dice que dos conjuntos A y Bson iguales (o idnticos) si constan exactamente de los mismos elementos, en cuyo

Subconjuntos 15

caso escribiremos A =B. Si uno de los conjuntos contiene algn elemento que noest en el otro, decimos que los conjuntos son distintos y escribimos A#B.

EJEMPLO 1. De acuerdo con esta definicin, los dos conjuntos {2, 4, 6, 8}Y {2, 8, 4, 6} son iguales, ya que ambos constan de los cuatro elementos 2, 4, 6,Y 8. De este modo, cuando usamos la notacin en lista para expresar un conjunto,el orden en que aparecen los elementos es indiferente.

EJEMPLO 2. Los conjuntos {2, 4, 6, 8} Y {2, 2, 4, 4, 6, 8} son iguales apesar de que en el segundo conjunto los elementos 2 y 4 estn citados dos veces.Ambos conjuntos contienen los cuatro elementos 2, 4, 6, 8 Y no otros, as quela definicin exige que consideremos iguales esos conjuntos. Este ejemplo ponede manifiesto que no debemos exigir que los elementos citados en la notacin enlista sean todos distintos. Anlogamente el conjunto de letras en la palabraMississippi es idntico al conjunto {M, i, s, p} que consta de las cuatro letrasdistintas M, i, s, y p.

1 2.3 Subconjuntos

A partir de un conjunto dado podemos formar nuevos conjuntos, llamadossubconjuntos de aqul. Por ejemplo, el conjunto de los enteros positivos menoresque 10 y divisibles por 4 (que es el conjunto {4, 8}) es un subconjunto de losenteros positivos pares menores que 10. En general, daremos la definicin siguiente:

DEFINICIN DE SUBCONJUNTO. Se dice que un conjunto A es un subconjuntodel conjunto B, y escribimos

Ar;;B,

cuando todo elemento de A pertenece tambin a B. Decimos tambin que A estcontenido en B o que B contiene a A. El smbolo r;; se utiliza para representarla relacin de inclusin de conjuntos.

La relacin A r;; B no excluye la posibilidad de que B r;; A. En realidad, po-demos tener las dos relaciones A r;; B y B r;; A pero esto se presenta tan slo siA y B tienen los mismos elementos. En otras palabras,

A =B si y slo si A r;; B Y B r;; A .

Este teorema es consecuencia inmediata de las definiciones anteriores de igualdade inclusin. Si A r;; Bpero A *- B, decimos que A es un subconjunto propio de B;indicamos esto escribiendo A e B.

En todas nuestras aplicaciones ocurrir que tendremos fijado de antemano uncierto conjunto S, y slo nos interesarn subconjuntos de aqul. El conjunto fun-

16 Jntroduccin

damental S puede variar de una aplicacin a otra; y ser considerado como elconjunto universal de cada teora particular. La notacin

{x I x E S Y x satisface P}

designar el conjunto de todos los elementos x de S que satisfacen la propiedad P.Cuando el conjunto universal al que nos refiramos se sobrentiende, omitiremosel citarlo abreviando la notacin poniendo {x I x satisface P}. Esto se lee el con-junto de todos los x que satisfacen P. Los conjuntos representados de este modoquedan caracterizados por una propiedad definidora. Por ejemplo, el conjunto detodos los nmeros reales positivos podra designarse por {x I x>O}; el conjuntouniversal S en este caso se sobrentiende que es el conjunto de todos los nmerosreales. Del mismo modo, el conjunto de todos los nmeros pares positivos{2, 4, 6, ... } puede designarse con {x I x entero par positivo}. Naturalmente, laletra x puede reemplazarse por otro signo adecuado. As, se puede escribir

{x Ix> O} = {y I y > O} = {t I t > O}etctera.

Puede ocurrir que un conjunto no contenga elementos. Un tal conjunto sellama conjunto vaco, y se representa mediante el smbolo 0. Consideremos el 0como subconjunto de cualquier conjunto. Hay quien imagina un conjunto comoun recipiente (tal como una bolsa o una caja) que contiene ciertos objetos, suselementos. Entonces, el conjunto vaco sera un recipiente vaco.

Para evitar dificultades y confusiones, debemos distinguir entre el elemento xy el conjunto {x} cuyo nico elemento es x. (Una caja con un sombrero dentro, esconceptualmente distinto del sombrero considerado solo.) En particular el con-junto vaco 0 no es lo mismo que el conjunto { 0 }. En realidad el conjunto vacoo no contiene elementos, mientras que el conjunto {0} contiene un elemen-to, 0 (Una bolsa que contiene una bolsa vaca no est vaca.) Los conjuntos quecontienen un solo elemento se llaman conjuntos de un elemento.

Con frecuencia nos ayudamos de diagramas para hacer intuitivas las relacionesentre conjuntos. Por ejemplo, podemos pensar que el conjunto universal S es unaregin en el plano, y cada uno de sus elementos un punto Los subconjuntos de Spueden imaginarse como colecciones de puntos interiores a S. Por ejemplo, en lafigura 1.6(b) la porcin sombreada es un subconjunto de A y tambin de B.Las ayudas grficas de este tipo se llaman diagramas de Venn y se utilizan paracomprobar la validez de ciertos teoremas de la Teora de conjuntos o para sugerirmtodos de demostracin de los mismos. Naturalmente, tales demostraciones sebasan en las definiciones y conceptos y su validez depender de un razonamientocorrecto y no precisamente de los diagramas.

Reuniones, intersecciones, complementos

1 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos

17

A partir de dos conjuntos dados A y B, siempre podemos formar un nuevoconjunto llamado reunin de A y B. Este nuevo conjunto se representa con elsmbolo

Ca) A u B

A U B (se lee A reunin B)

o A n B Ce) A n B = 0

FIGURA 1.6 Reuniones e intersecciones.

y se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a A o a B o aambos. Es decir, A U B es el conjunto de todos los elementos que pertenecenpor lo menos a uno de los conjuntos A, B. En la figura I.6(a) la parte sombreadarepresenta A U B.

Anlogamente, la interseccin de A y B que se representa con el smbolo

A n B (se lee: A interseccin B)

se define como el conjunto de los elementos comunes a A y a B. En la figura I.6(b)se representa la interseccin de A y B. En la figura I.6(c) se ve que la intersec-cin de A y B es el conjunto 0, puesto que A y B no tienen elementos comunes.Dos conjuntos A y B se llaman disjuntos si A n B= 0.

Dados dos conjuntos A y B, se define la diferencia A - B (que tambin sellama complemento de B relativo a A) como el conjunto de los elementos de Aque no pertenecen a B. As pues, segn la definicin

A - B = {x I x E A Y x rF B} .En la figura I.6(b) la porcin no sombreada de A representa A - B; la no som-breada de B representa B - A.

Las operaciones de reunin e interseccin poseen muchas analogas formalescon la adicin y multiplicacin ordinarias de nmeros reales. Por ejemplo, puesto

18 Introduccin

que no existe cuestin de orden en las definiciones de reunin e interseccin, sededuce que A U B=B U A Y que A n B=B nA. Es decir, la reunin y la in-terseccin son operaciones conmutativas. Asimismo dichas definiciones estn dadasde tal modo que las operaciones son asociativas:

(A U B) U C = A U (B U C) y (A n B) n C = A n (B n C) .

Estos y otros teoremas relativos al lgebra de conjuntos se citan como Ejerciciosen la Seccin 12.5. Uno de los mejores mtodos para que el lector se familiaricecon la terminologa y las notaciones antes introducidas es deducir las demostra-ciones de cada una de estas leyes formales. Una muestra del tipo de razonamientoque se necesita aparece inmediatamente despus de los Ejercicios.

Las operaciones de reunin e interseccin pueden extenderse a coleccionesfinitas o infinitas de conjuntos, de la manera siguiente: Sea .'!F una clase (t) novaca de conjuntos. La reunin de todos los conjuntos de .'!F se define como elconjunto de todos aquellos elementos que pertenecen por 10 menos a uno de losconjuntos de .'!F, y se representa con el smbolo

UA.AeF

Si ff es una coleccin finita de conjuntos, sea por ejemplo ff = {Al> A2, ,An}, escribimos

nU A = U Ak = Al U A2 U ... U An AeF k~l

Anlogamente, la interseccin de todos los conjuntos de .'!F se define como elconjunto de aquellos elementos que pertenecen a todos los conjuntos de.'!F; serepresenta con el smbolo

Al igual que antes, para colecciones finitas de conjuntos escribimos:

nn A = nAk = Al n A2 n ... nA.A~ ~ n

(t) Para simplificar el lenguaje llamamos clase a una coleccin de conjuntos. Para representarclases empleamos letras maysculas cursivas. La terminologa y la notacin usuales de laTeora de conjuntos se aplica, naturalmente, a las clases. As, por ejemplo, A E ~ significa queA es uno de los conjuntos de la clase~, y d S; [!J significa que todo conjunto de d pertenecea ~, y as sucesivamente.

Ejercicios 19

La reunin y la interseccin se han definido de manera que las leyes asociati-vas se satisfacen inmediatamente. En consecuencia no existir ambigedad cuandoescribimos Al u A2 U ... U An o Al n A2 n ... n An .

1 2.5 Ejercicios

l. Utilizar la notacin en lista para representar los siguientes conjuntos de nmeros reales.

A = {x I x2 - 1 = O} .B = {x I (x - 1)2 = O} .e = {x I x + 8 = 9} .

D = {x I x3 - 2x2 + x = 2} .E = {x I (x + 8)2 = 92}.F = {x I (x2 + 16x)2 = 172}

2. Para los conjuntos del Ejercicio 1, obsrvese que B S; A. Citar todas las relaciones deinclusin S; que son vlidas entre los conjuntos A, B, e, D, E, F.

3. Sean A = {I }, B = {1, 2}. Discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probarque unas son ciertas y explicar por qu las otras son falsas).

(a) A e B.(b) A S; B.(e) A E B.

(d) 1EA.(e) ISA.(f) 1 e B.

4. Resolver el Ejercicio 3 si A = {1} YB = {{1}, 1}.5. Dado el conjunto S = {1, 2, 3, 4}. Expresar todos los subconjuntos de S. Hay en total

16, si contamos 0 y S.6. Dados los cuatro conjuntos siguientes

A = {I, 2}, B = {{l}, {2}}, e = {{l}, {l, 2}}, D = {{l}, {2}, {l, 2}},discutir la validez de las afirmaciones siguientes (probar que unas son certas y explicarpor qu las otras no lo son).

(a) A = B.(b) A e; B.(e) A e C.

(d) A E C.(e) A e D.(f) B e C.

(g) BcD.(h) BE D.(i) A E D.

7. Demostrar las propiedades siguientes de la igualdad de conjuntos.

(a) {a, a} = {a}.(b) {a, b} = {b, a}.(e) {a} = {b, e} si y slo si a = b = c.

Demostrar el conjunto de relaciones de los Ejercicios 8 al 19. (Al final de esta Seccin sedan ejemplos de estas demostracnes).

8. Leyes conmutativas; A v B = B v A, A n B = B n A.

20 Introduccin

9. Leyes asociativas: A U (B U C) = (A U B) U C, A r, (B r. C) = (A rv B) n C.

10. Leyes distributivas: A n (B U C) = (A nB) U (A nC),

A U (B n C) = (A U B) n (A U C).

11. A uA =A, A nA =A,12. A S A u B, A n B S A.13. A U 0 = A, A n 0 = 0.14. A U (A n B) = A, A n (A U B) = A.15. Si A S C y B S C, entonces A U B S C.16. Si C S A Y C S B, entonces C S A n B.17. (a) SiA e B y Be C,probar que A e C.

(b) SiA S B Y B S C,probar que A S C.(e) Qu puede afirmarse si A e B y B S C?(d) Si x E A Y A S; B, es cierto necesariamente que x E B?(e) Si x E A Y A E B, es cierto necesariamente que x E B?

18. A - (B n C) = (A - B) u (A - C).19. Sea ~ una clase de conjuntos. Entonces

B - U A = n (B - A)AE.'F AE.'F

y B - nA = U (B - A).AE.'F AE.F

20. (a) Demostrar que una de las dos frmulas siguientes es siempre correcta y la otra algu-nas veces es falsa:

(i) A - (B - C) = (A - B) U C,

(ii) A - (B u C) = (A - B) - C.

(b) Establecer una condicin necesaria y suficiente adicional para que la frmula quesea incorrecta sea siempre vlida.

Demostracin de la ley conmutativa A U B=B U A. Sean X=A U B,Y=B U A. Para demostrar que X=Y se demuestra que X S; Y e Y S X. Su-pngase que x E X. Entonces x est por lo menos en A o en B. Luego, x est porlo menos en B o en A; de modo que x E Y. As, pues, todo elemento de X esttambin en Y, con lo que X S; Y. Anlogamente, encontramos que Y S X, demodo que X=Y.

Demostracin de A n B s; A. Si x E A n B, x est simultneamente en Ay en B. En particular, x E A. As, pues, todo elemento de A n B est tambinen A; por lo tanto, A n B S; A.

Introduccin 21

Parte 11I.- Un conjunto de axiomas para el sistemade nmeros reales

I 3.1 Introduccin

Hay muchos mtodos para introducir el sistema de los nmeros reales. Unmtodo corriente es el de empezar con los enteros positivos 1,2,3, ... y utilizarloscomo base para construir un sistema ms amplio que tenga las propiedadesdeseadas. Brevemente, la idea de este mtodo es tomar los enteros positivos comobase para formar un sistema ms amplio, que es el de los nmeros racionalespositivos (cocientes de enteros positivos). Los nmeros racionales positivos seutilizan a su vez como base para construir los irracionales positivos (nmerosreales como V2 y 7T que no son racionales). El paso final es la introduccin delos nmeros reales negativos y el cero. La parte ms difcil del proceso total es elpaso de los nmeros racionales a los nmeros irracionales.

Aunque la necesidad del nmero irracional se haba presentado ya a losmatemticos de la antigua Grecia en sus estudios geomtricos, no se introdujeronmtodos satisfactorios de construccin de los nmeros reales a partir de los racio-nales hasta entrado el siglo XIX. En esta poca se perfilaron tres teoras distintaspor Karl Weierstrass (1815-1897), Georg Cantor (1845-1918) y Richard Dede-kind (1831-1916). En 1889, el matemtico italiano Giuseppe Peana (1858-1932)dio cinco axiomas para los enteros positivos que se utilizaron como punto departida para la construccin total. Una exposicin detallada de esta construccinempezando por los axiomas de Peana y utilizando el mtodo de Dedekind paraintroducir el nmero irracional, se encuentra en el libro de E. Landau, Funda-mentos del Anlisis (Nueva York, Chelsea Publishing Co., 1951).

El punto de vista adoptado aqu no es constructivo. Se inicia el proceso enun punto bastante avanzado, considerando los nmeros reales como conceptosprimitivos que satisfacen a un cierto nmero de propiedades que se toman comoaxiomas; es decir, se supone que existen ciertos objetos, llamados nmeros reales,que satisfacen los 10 axiomas enunciados en las cinco Secciones que siguen.Todas las propiedades de los nmeros reales que se utilizarn en este libro, o estnentre los axiomas o se pueden deducir de ellos. Cuando los nmeros reales sedefinen mediante un proceso constructivo, las propiedades que se toman comoaxiomas tendrn que demostrarse como teoremas.

Mientras no se diga 10 contrario, las letras a, b, e, ... x, y, z que aparecenen los axiomas representan nmeros reales cualesquiera. Los axiomas se agrupanen forma natural en tres grupos, que son, axiomas de cuerpo, axiomas de ordeny axioma del extremo superior (llamado tambin axioma de continuidad o axiomade completitud).

22 1ntroduccin

1 3.2 Axiomas de cuerpo

Junto con el conjunto de los nmeros reales se supone la existencia de dosoperaciones llamadas adicin y multiplicacin, tales que para cada par de nmerosreales x e y se puede formar la suma de x e y, que es otro nmero real designadopor x+y y el producto de x por y designado por xy o X' y. La suma x+y y elproducto xy estn unvocamente determinados por x e y. A los signos + y . nose les asigna otro significado especial que el precisado en los axiomas.

AXIOMA 1. PROPIEDAD CONMUTATIVA. x+y=y+x, xy=yx.

AXIOMA 2. PROPIEDAD ASOCIATIVA. x+(y+z)=(x+y)+z, x(yz)= (xy)z.AXIOMA 3. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA. x(y+z)=xy+xz.

AXIOMA 4. EXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS. Existen dos nmeros rea-les distintos, que se indican por O y 1 tales que para cada nmero real x se tiene:O+x=x+O=x y I.: X=X' 1=x.

AXIOMA 5. EXISTENCIA DE NEGATIVOS. Para cada nmero real x existe unnmero real y tal que x+y=y+x=O.

AXIOMA 6. EXISTENCIA DEL RECPROCO. Para cada nmero real x =1= O existeun nmero real y tal que xy=yx= 1.

Nota: Los nmeros O y 1 de los axiomas 5 y 6 son los mismos que los del axioma 4.

De los axiomas anteriores se puede deducir todas las leyes usuales del lgebraelemental. Las ms importantes de ellas se recogen a continuacin como teoremas.En todos estos teoremas las letras a, b, e, d, representan nmeros reales cuales-quiera.

TEOREMA 1.1. LEY DE SIMPLIFICACIN PARA LA SUMA. Si a+b=a+c,entonces b= c. (En particular esto prueba que el nmero O del axioma 4 es nico.)

TEOREMA 1.2. POSIBILIDAD DE LA SUSTRACCIN. Dados a y b existe uno yslo un x tal que a+x=b. Este x se designa por b - a. En particular O - a se es-cribe simplemente -a y se denomina el negativo de a.

TEOREMA 1.3. b - a = b + (-a).TEOREMA lA. -(-a) = a.

TEOREMA 1.5. a(b - e) = ab - ac.

TEOREMA 1.6. O a = a' 0= O.

Axiomas de cuerpo 23

TEOREMA 1.7. LEY DE SIMPLIFICACIN PARA LA MULTIPLICACIN. Siab= ac y a # O, entonces b= c. (En particular esto demuestra que el nmero 1 delaxioma 4 es nico.)

TEOREMA 1.8. POSIBILIDAD DE LA DIVISIN. Dados a y b con a =1= O, existeuno y slo un x tal que ax=b. La x se designa por b/ a o ~ y se denomina cocienteade b y a. En particular 1/a se escribe tambin a:' y se designa recproco de a.

TEOREMA 1.9. Si a ~ O, entonces b]a = b . a-l.

TEOREMA 1.10. Si a ~ O,entonces (a-1)-1 = a.TEOREMA 1.11. Si ab=O entonces o a=O o b=O.

TEOREMA I.12. (-a)b = -(ab) y (-a)( -b) = ab.

TEOREMA I.13. (a/b) + (c/d) = (ad + bc)/(bd) si b; O Y d; O.TEOREMA I.14. (a/b)(c/d) = (ac)/(bd) si b; O Y d ~ O.

TEOREMA I.15. (ajb)j(c/d) = (ad)j(bc) si b ~ O, e ~ O, Y d ~ O.

Para poner de manifiesto cmo estos teoremas pueden obtenerse como con-secuencia de los axiomas, se dan las demostraciones de 1.1 hasta 1.4, Y sera ins-tructivo para el lector tratar de demostrar los restantes.

Demostracin de 1.1. Dado a+b=a+c. En virtud del axioma 5, se puedeelegir y de manera que y+a=O, con lo cual y+(a+b)=y+(a+c), y aplicandola propiedad asociativa (y+a)+b=(y+a)+c, o sea, O+b=O+c. Pero en virtuddel axioma 4, se tiene O+b=b y O+c=c, o sea, b=c. Obsrvese que este teore-ma demuestra que existe un solo nmero real que tiene la propiedad del O en elaxioma 4. En efecto, si O y O' tuvieran ambos esta propiedad, entonces,0+0'=0 y 0+0=0; por tanto, 0+0'=0+0 y por la ley de simplificacin 0=0'.

Demostracin de 1.2. Dados a y b se elige y de manera que a+y=Oy sea x=y+b. Entonces, a+x=a+(y+b)=(a+y)+b=O+b=b. Por tanto, haypor lo menos una x tal que a+x=b. Pero en virtud del teorema 1.1, hay a losumo una. Luego hay una y slo una x en estas condiciones.

Demostracin de 1.3. Sea x=b-a y sea y=b+( -a). Se trata de probarque x=y. Por definicin de b-a, x+a=b y

y + a = [b + (-a)] + a = b + [(-a) + a] = b + O = b.

24 Introduccin

Por tanto, x+a=y+a, Yen virtud de 1.1, x=y.

Demostracin de 1.4. Se tiene a+( -a)=O por definicin de -a. Pero estaigualdad dice que a es el opuesto de (-a), es decir, que a= -( -a) como seafirma en el teorema.

1 3.3 Ejercicios

1. Demostrar los teoremas del 1.5 al 1.15, utilizando los axiomas 1 al 6 y los teoremas1.1 al 1.4.

En los ejercicios del 2 al 10, demostrar las afirmaciones indicadas, o establecer las igual-dades dadas. Aplquense los axiomas 1 al 6 y los teoremas del 1.1 al 1.15.

2. -O = O.3. 1-1= 1.4. El cero no tiene recproco.5. - (a + b) = - a-b.6. - (a - b) = - a + b,7. (a - b) + (b - e) = a-e.8. Si a ; OY b ; O, entonces (ab)-l = a-1 s.9. - (a/b) = ( - aib) = a/( - b) si b ; O.

10. (a/b) - (e/d) = (ad - be)/(bd) sib ; O Y d; O.

1 3.4 Axiomas de orden

Este grupo de axiomas se refiere a un concepto por el que se establece unaordenacin entre los nmeros reales. Segn esta ordenacin se puede decidir si unnmero real es mayor o menor que otro. Se introducen aqu las propiedades deorden, como un conjunto de axiomas referentes al nuevo concepto primitivo depositivo, para definir despus los conceptos de mayor que y menor que a partirdel de positivo.

Supondremos que existe un cierto subconjunto R+ e R, llamado conjunto denmeros positivos, que satisfacen los tres axiomas de orden siguientes:

AXIOMA 7. Si x e y pertenecen a R+, lo mismo ocurre a x+y y xy.

AXIOMA 8. Para todo real x # O, o X E R+ o -x E R+, pero no ambos.

AXIOMA 9. O rf: R+.

Ahora se pueden definir los smbolos , ~, y ~ llamados respectivamentemenor que, mayor que, igual o menor que, e igual o mayor que, de la manerasiguiente:

x

Axiomas de orden 25

y>x significa que x

26 Introduccin

Si x =1= O, el axioma 8 afirma que o x > O o x < O, pero no ambos; por consi-guiente, o es a < b o es b < a, pero no ambos. Por tanto se verifica una y slouna de las tres relaciones a = b, a < b, b < a.

Demostracin de 1.17. Si a < by b < c, entonces b - a > O y e - b > O.En virtud del axioma 7 se puede sumar obtenindose (b - a) + (c - b) > o.Es decir, e - a > O, y por tanto, a < c.

Demostracin de 1.18. Sea x = a + e, y = b + c. Entonces y - x = b - a.Pero b - a> O, por tanto, a < b. De donde y - x > O, lo que significa x < y.

Demostracin de 1.19. Si a < b entonces b - a > O. Si c> O en virtuddel axioma 7, se puede multiplicar e por (b - a) obtenindose (b - a) e > o.Pero (b - a)c = be - ac, por tanto, be - ac > O y esto significa be > ac comose quera demostrar.

Demostracin de 1.20. Si a> O, en virtud del axioma 7 a- a > o. Sia < O, entonces - a > O y, por tanto, (- a) (- a) > O en virtud del axioma 7.En ambos casos se tiene a2 > O.

Demostracin de 1.21. Aplicando el teorema 1.20 al caso a = 1.

*1 3.5 Ejercicios

1. Demostrar los teoremas 1.22 al 1.25 utilizando los teoremas anteriores y los axiomasdel 1 al 9.

En los ejercicios del 2 al 10 demostrar las proposiciones y establecer las desigualdadesdadas. Se pueden utilizar los axiomas del 1 al 9 y los teoremas del 1. 1 al 1. 25.

2. No existe ningn nmero real tal que x2 + 1 = O.3. La suma de dos nmeros negativos es un nmero negativo.4. Si a > O; tambin l/a> O; si a < O, entonces l/a < O.5. Si O< a < b, entonces, O< b-l < a-l.6. Si a :$ b Y b -s e, es a :$ c.7. Si a :$ b Y b s: c y a = c, entonces b = c.8. Para nmeros reales a y b cualesquiera, se tiene a2 + b2 ~ O. Si ab ~ 0, entonces

es a2 + b2 > O.9. No existe ningn nmero real a tal que x :$ a para todo real x.10. Si x tiene la propiedad que O :$ x < h para cada nmero real positivo h, entonces x = O.

1 3.6 Nmeros enteros y racionales

Hay ciertos subconjuntos de R que se distinguen porque tienen propiedadesespeciales de que no gozan todos los nmeros reales. En esta Seccin se discutirndos de estos subconjuntos, los nmeros enteros y los nmeros racionales.

N meros enteros y racionales 27

Para introducir los enteros POSItiVOSse empieza con el nmero 1, cuyaexistencia queda asegurada por el axioma 4. El nmero 1 + 1 se representa por2, el 2 + 1 por 3, y as sucesivamente. Los nmeros 1, 2, 3, ... , obtenidos deeste modo por la adicin repetida del 1 son todos positivos, y se llaman enterospositivos. En rigor, esta descripcin de los enteros positivos no es del todo precisapues no hemos explicado con detalle lo que entendemos por y as sucesivamenteo por adicin repetida del 1. Si bien la significacin intuitiva puede parecerclara, en un estudio cuidadoso del sistema de los nmeros reales es necesario daruna definicin ms precisa de los enteros positivos. Hay varios modos de hacerlo.Un mtodo consiste en introducir primero la nocin de conjunto inductivo.

DEFINICIN DE CONJUNTO INDUCTIVO. Un conjunto de nmeros reales se de-nomina conjunto inductivo si tiene las propiedades siguientes:

a) El nmero 1 pertenece al conjunto.b) Para todo x en el conjunto, el nmero x + 1 pertenece tambin al

conjunto.

Por ejemplo, R es un conjunto inductivo. Tambin lo es el conjunto R+. Definire-mos los enteros positivos como aquellos nmeros reales que pertenecen a todoconjunto inductivo.

DEFINICIN DE ENTEROS POSITIVOS. Un nmero real se llama entero positivosi pertenece a todo conjunto inductivo.

Sea P el conjunto de todos los enteros positivos. Es un conjunto inductivoya que a) contiene el 1, y b) contiene a x + 1 siempre que contenga x. Puesto quelos elementos de P pertenecen a todo conjunto inductivo, nos referiremos a Pcomo el menor conjunto inductivo. Esta propiedad del conjunto P constituye labase lgica para un tipo de razonamiento que los matemticos denominan demos-tracin por induccin, que se expone con detalle en la parte 4 de esta Introduccin.

Los opuestos de los enteros positivos se llaman enteros negativos. Los enterospositivos junto con los enteros negativos y el O (cero), constituyen un conjunto Zque se llama simplemente conjunto de los enteros.

En un estudio completo del sistema de los nmeros reales, sera necesario alllegar aqu demostrar ciertos teoremas acerca de los enteros. Por ejemplo, la suma,la diferencia o el producto de dos enteros es un entero, pero el cociente de dosenteros no es necesariamente entero. Sin embargo, no entraremos en los detallesde tales demostraciones.

Los cocientes de enteros a/b (siendo b =1=O) se llaman nmeros racionales.El conjunto de los nmeros racionales, representado por Q, contiene a Z comosubconjunto. El lector debera comprobar que Q satisface todos los axiomas decuerpo y de orden. Por esta razn se dice que el conjunto de los nmeros racio-

28 Introduccin

nales es un cuerpo ordenado. Los nmeros reales que no pertenecen a Q se llamanirracionales.

I 3.7 Interpretacin geomtrica de los nmeros reales como puntos de una recta

Sin duda que el lector debe estar familiarizado con la representacin de losnmeros reales por medio de los puntos de una recta. Se elige un punto pararepresentar el O y otro a la derecha del O para representar el 1, como se indicaen la figura 1.7. Esta eleccin determina la escala. Si se adopta un conjunto deaxiomas apropiados para la Geometra eucldea, cada nmero real correspondea uno y slo un punto de la recta y, recprocamente, cada punto de la recta a unnmero real y slo uno. Por esta razn la recta se denomina frecuentemente rectareal o eje real, y es costumbre utilizar las palabras nmero real y punto comosinnimos. Por eso se dice muchas veces el punto x en vez del punto corres-pondiente al nmero real x.

La relacin de orden entre los nmeros reales tiene una interpretacin geom-trica simple. Si x < y, el punto x est a la izquierda del punto y, como se ve en lafigura 1.7. Los nmeros positivos estn a la derecha del O y los negativos a laizquierda del O. Si a < b, un punto x satisface las desigualdades a < x < b,si y slo si x est entre a y b,

Esta posibilidad de representar geomtricamente los nmeros reales es unauxiliar poderoso, pues permite descubrir y comprender mejor ciertas propiedadesde los nmeros reales. Aunque el lector debe observar que todas las propiedadesde los 'nmeros reales que se han dado como teoremas deben deducirse de losaxiomas sin ninguna referencia geomtrica, esto no prejuzga que no deba hacerseuso de la Geometra en el estudio de las propiedades de los nmeros reales. Por elcontrario, la Geometra sugiere a menudo el mtodo de demostracin para unteorema particular, y algunas veces un argumento geomtrico es ms sugestivoque la demostracin puramente analtica (dependiente exclusivamente de los axio-mas del nmero real). En este libro, se utiliza con frecuencia la intuicin geom-

I I I IO I x y

FIGURA 1.7 Nmeros reales representados geomtricamente en una lnea

trica para aclarar determinadas cuestiones o para inducir a discusiones de otras.No obstante, las demostraciones de todos los teoremas importantes se presentan enforma analtica.

I 3.8 Cota superior de un conjunto. elemento mximo, extremo superior

Los nueve axiomas expuestos hasta ahora contienen todas las propiedadesde los nmeros reales estudiados ordinariamente en lgebra elemental. Hay otro

Cota superior de un conjunto 29

axioma de importancia fundamental en el Clculo que de ordinario no se estudiaen los cursos de Algebra elemental. Este axioma (u otro equivalente) es necesariopara establecer la existencia del nmero irracional.

En Algebra elemental se presentan nmeros irracionales cuando se trata deresolver ciertas ecuaciones cuadrticas. Por ejemplo, se desea tener un nmeroreal x tal que x2 = 2. A partir de los nueve axiomas anteriores no se puede probarque exista un x en el sistema de los nmeros reales que verifique tal ecuacin, yaque estos nueve axiomas son satisfechos tambin por los nmeros racionales y nohay ningn nmero racional cuyo cuadrado sea 2. (En el Ejercicio 11 de la Sec-cin 13.12 se esboza una demostracin de esta afirmacin.) El axioma 10 permiteintroducir nmeros irracionales en el sistema de los nmeros reales. Se vertambin que atribuye al conjunto de los nmeros reales una propiedad de conti-nuidad que es especialmente importante en el estudio del Clculo.

Antes de exponer el axioma 10, conviene introducir alguna terminologay notacin especiales. Sea S un conjunto no vaco de nmeros reales y supongamosque existe un nmero B tal que

x~B

para todo x de S. Entonces se dice que S est acotado superiormente por B. El n-mero B se denomina una cota superior para S. Decimos una cota superior debidoa que todo nmero mayor que B tambin es una cota superior. Si una cota supe-rior B pertenece tambin aS, entonces B se llama el elemento mximo de S. A losumo puede existir un B que sea elemento mximo. Si existe, se escribe

B = maxS.

As que, B = max S si B E S Y x ~ B para todo x de S. Un conjunto sin cota su-perior se dice que es no acotado superiormente.

Los ejemplos que siguen ilustran el significado de estas denominaciones.

EJEMPLO 1. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales positivos. Es unconjunto no acotado superiormente. No tiene cotas superiores ni elemento mximo.

EJEMPLO 2. Sea S el conjunto de todos los nmeros reales x tales queO .~ x ~ 1. Este conjunto est acotado superiormente por el 1. Su elemento mxi-mo es el 1.

EJEMPLO 3. Sea T el conjunto de todos los nmeros reales x tales queO ::::;;x < 1. Es parecido al conjunto del ejemplo 2 salvo que el punto 1 no estincluido. Este conjunto est acotado superiormente por el 1 pero no tiene elemen-to mximo.

30 1ntroduccin

Algunos conjuntos, parecidos al del ejemplo 3, estn acotados superiormentepero no tienen mximo. Para ellos existe un concepto que sustituye al del mximo.Este se llama extremo superior del conjunto y se define como sigue:

DEFINICIN DE EXTREMO SUPERIOR. Un nmero B se denomina extremo su-perior de un conjunto no vaco S si B tiene las dos propiedades siguientes:

a) B es una cota superior de S.b) Ningn nmero menor que B es cota superior para S.

Si S tiene mximo, ste es tambin extremo superior de S. Pero si S no poseemximo, puede tener extremo superior. En el ejemplo 3 precedente, el nmero 1es extremo superior para T si bien T no tiene mximo. (Ver figura 1.8.)

cotas superiores de T

/1~///////////////

extremo superior de T

OS/

cotas superiores de S

/.~1"" O

T/

mximo de S

a) S tiene mximo:maxS=l

b) T no tiene mximo, pero sextremo superior: sup T = 1

FIGURA 1.8 Cotas superiores, mximo y extremo superior.

TEOREMA 1.26. Dos nmeros distintos no pueden ser extremos superiorespara el mismo conjunto.

Demostracin. Sean B y e dos extremos superiores para un conjunto S.La propiedad b) implica que e ~ B puesto que B es extremo superior; anloga-mente, B e ya que e es extremo superior. Luego, tenemos B = C.

Este teorema nos expresa que si existe extremo superior para un conjunto S,hay solamente unoy puede decirse el extremo superior.

Con frecuencia se emplea el trmino supremo de un conjunto en vez deextremo superior utilizando la abreviatura sup, escribiendo entonces:

B = sup S.

1 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud)

Podemos ahora establecer el axioma del extremo superior para el sistema denmeros reales.

Axioma del extremo superior 31

AXIOMA 10. Todo conjunto no vaco S de nmeros reales acotado superior-mente posee extremo superior; esto es, existe un nmero real B tal que B = sup S.

Insistamos una vez ms en que el extremo superior de S no pertenece nece-sariamente a S. En realidad sup S pertenece a S si y slo si S posee mximo, encuyo caso max S = sup S.

Las definiciones de cota inferior, acotado inferiormente, mnimo, se formulanen forma parecida. El lector debera hacerlo como ejercicio. Si S tiene mnimo,se expresa poniendo min S.

Un nmero L se llama extremo inferior (o nfimo) de S si a) L es una cotainferior para S, y b) ningn nmero mayor que L es cota inferior para S. El extre-mo inferior de S, cuando existe, es nico y se designa por inf S. Si S posee mnimo,entonces min S = inf S.

Con el axioma 10, se puede demostrar el siguiente

TEOREMA 1.27. Todo conjunto no vaco S acotado inferiormente posee extre-mo inferior; esto es, existe un nmero real L tal que L = inf S.

Demostracin. Sea - S el conjunto de los nmeros opuestos de los de S.Entonces -S es no vaco y acotado superiormente. El axioma 10 nos dice queexiste un nmero B que es extremo superior de -S. Es fcil ver que - B = inf S.

Consideremos una vez ms los ejemplos de la Seccin anterior. En el ejem-plo 1, el conjunto de todos los nmeros reales positivos, tiene el O como extremoinferior. Ese conjunto no tiene mnimo. En los ejemplos 2 y 3, el O es el mnimo.

En todos esos ejemplos resulta fcil decidir si el conjunto S es o no acotadosuperior o inferiormente, y tambin es fcil determinar los nmeros sup S e inf S.El ejemplo siguiente muestra que averiguar la existencia de las cotas superior oinferior puede resultar difcil.

EJEMPLO 4. Sea S el conjunto de todos los nmeros de la forma (l + l/n)n,donde n = 1, 2, 3, .... Si, por ejemplo, hacemos n = 1,2, Y 3, encontramos quelos nmeros 2,L y .~.~pertenecen a S. Todo nmero del conjunto es mayor que 1,con lo que el conjunto est acotado inferiormente y por tanto tiene un extremoinferior. Con un pequeo esfuerzo podemos probar que 2 es el menor elementode S de modo que inf S = min S = 2. Tambin el conjunto S est acotado supe-riormente, aunque no es tan fcil demostrarlo. (Intntese!) Una vez sabido que Sest acotado superiormente, el axioma 10 nos asegura la existencia del extremosuperior de S. En este caso no resulta fcil determinar el valor del extremo superiorde S a partir de la definicin de este conjunto. En un prximo captulo veremosque el sup S es un nmero irracional aproximadamente igual a 2,718. Es un n-mero importante en Clculo llamado nmero de Euler o nmero e.

32 Introduccin

1 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales

Esta Seccin contiene algunas propiedades importantes del sistema de losnmeros reales que son consecuencia del axioma del extremo superior.

TEOREMA 1.28. El conjunto P de los enteros positivos 1, 2, 3, ., . no estacotado superiormente.

Demostracin. Supngase P acotado superiormente. Demostraremos queesto nos conduce a una contradiccin. Puesto que P no es vaco, el axioma 10nos dice que P tiene extremo superior, sea ste b. El nmero b - 1, siendo menorque b, no puede ser cota superior de P. Luego, existe un mnimo entero positivo ntal que n > b - 1. Para este n tenemos n + 1 > b. Puesto que n + 1 pertenecea P, esto contradice el que 'b sea una cota superior para P.

Como corolarios del teorema 1.28, se obtienen inmediatamente las conse-cuencias siguientes:

TEOREMA 1.29. Para cada real x existe un entero positivo n tal que n > x.

Demostracin, Si no fuera as, x sera una cota superior de P, en contra-diccin con el teorema 1.28.

TEOREMA 1.30. Si x > O e y es un nmero real arbitrario, existe un enteropositivo n tal que nx > y.

Demostracin. Aplicar el teorema 1.29 cambiando x por y].

La propiedad descrita en el teorema 1.30, se denomina frecuentementepropiedad arquimediana del sistema de los nmeros reales. Geomtricamente signi-fica que cada segmento, tan largo como se quiera, puede ser recubierto por unnmero finito de segmentos de longitud positiva dada, tan pequea como sequiera. En otras palabras, una regla corta puede medir distancias tan largas comose q