Capítulo 3

Características de transmisión de fibrasópticas

En el capítulo anterior se han citado términos como atenuación, dispersión y ancho de banda, aunque seha hecho muy poco hincapie en ellos. Las características de transmisión son de importancia primordialcuando se evalua el uso de algún tipo de fibra. Las características de mayor interés son la atenuación(pérdidas de señal) y el ancho de banda.

Inicialmente el desarrollo de la fibra vino determinado por el tremendo potencial de las comunica-ciones ópticas en lo que se refiere al ancho de banda de transmisión, pero la gran limitación venía fijadapor las enormes pérdidas. De hecho unos pocos metros de un bloque de vidrio eran suficientes parareducir la señal a niveles despreciables de señal.

El arranque de las posibilidades reales de la fibra surgieron en 1970 cuando se anuncio la consecuciónde una fibra con una atenuación de 20dB/Km, cantidad considerada la mínima para competir con laslíneas de cobre. Desde entonces se han conseguido progresos considerables, las fibras comerciales tienenatenuaciones inferiores a 1dB/Km, algunas fibras especiales han llegado a 0.01dB/Km lo que posibilitala transmisión a distancias considerables sin regeneración de la señal.

La otra característica importante a analizar es el ancho de banda real, este nos determina el númerode bits que pueden transmitirse por unidad de tiempo. Cuando se consiguió bajar la atenuación a valoresaceptables se empezó a trabajar en este punto consiguiendose anchos de banda de decenas de gigaherziospara distancias de varios kilómetros.

En este capítulo vamos a tratar las características de transmisión óptica con detalle para poder enten-der los mecanismos que producen la atenuación y la dispersión temporal.

3.1 Atenuación

La atenuación o perdidas de transmisión han demostrado ser la espoleta que ha disparado la aceptaciónde estos sistemas como medio de transmisión en telecomunicaciones. La atenuación del canal es loque fija la distancia entre repetidores (amplificadores de señal), así pues la fibra empezó a ser un mediomuy interesante cuando bajó su atenuación por debajo de los 5dB/Km que es la atenuación típica de unconductor metálico.

La atenuación, como en los demás medios de transmisión, se mide en decibelios. El decibelio, que seusa para comparar dos niveles de potencia, se puede definir para una deteminada longitud de onda como

25

3.1. ATENUACIÓN 26

el cociente entre la potencia óptica a la entrada de la fibraPi y la potencia óptica a la salidaPo según lasiguiente fórmula

N �umero de decibelios (dB) = 10 log10PiPo

(3.1)

Esta unidad logarítmica tiene la ventaja que las multiplicaciones y divisiones se transforman en sumas yrestas, por lo contrario las sumas y restas aunque complejas no se usan casi nunca.

En comunicaciones ópticas la atenuación se expresa en decibelios por unidad de longitud según

�dBL = 10 log10PiPo

(3.2)

donde�dB es la atenuación por unidad de longitud yL es la longitud de la fibra.

Ejemplo 3.1

Si una fibra reduce tiene una atenuación de 3dB en 1Km que atenuación en dB’s tendrá unafibra de 10Km

Solución a)

Atenuaci�on total = �dBL = 3dB=Km � 10Km = 30dB

Solución b)

La potencia que queda tras un Km es

Po1 =Pi

exp (3dB=10)� Pi

2

en el 2ž Km la potencia será

Po2 =Po1

exp (3dB=10)� Po1

2� Pi

22

en el n-ésimo Km la potencia será

Pon =Pon�1

exp (3dB=10)� Pon�1

2� Pi

2n

y por tanto la atenuación en dB’s en 10 Km será

Atenuaci�on total = 10 log10Pi

Pi=210= 10 log10 2

10 = 10�(10 log10 2) = 10�3dB = 30dB

Así podemos ver como se cumple la fórmula fijada en la ecuación 3.2.

Una vez sabemos como se define la atenuación nos queda por conocer los mecanismos por los que estase produce. Estos mecanismos dependen de la composición de la fibra, la tecnica de preparación y purifi-cación del material y la estructura de la fibra. Se dividen en áreas que incluyen la absorción del material,la dispersión del material (dispersión lineal y no lineal), perdidas por curvaturas y microcurvaturas yperdidas por acoplamiento hacia modos no permitidos o con pérdidas. Cuando analicemos las perdidastotales del sistema además tendremos que tener en cuenta las debidas a empalmes y conectores, pero estoserá analizado en el tema correspondiente.

3.2. PÉRDIDAS POR ABSORCIÓN DEL MATERIAL EN FIBRAS DE SÍLICE 27

Figura 3.1: Espectro de atenuación teórico para los mecanismos de pérdidas intrínsecas en vidrios deSiO2-GeO2.

3.2 Pérdidas por absorción del material en fibras de sílice

Estas pérdidas son debidas a la composición de la fibra y al método de fabricación. La potencia perdidase transforma en calor en la fibra. La absorción puede ser intrínseca (causada por los componentes delvidrio) o extrínseca (causada por impurezas no deseadas).

3.2.1 Absorción intrínseca

Un vidrio de sílice tiene muy poca absorción debida a su estructura atómica en el rango espectral delinfrarrojo cercano. Sin embargo, hay dos mecanismos de absorción intrínseca en otras zonas del espectroy que generan una absorción en el rango entre 0.8 y 1.7�m. Esto puede apreciarse en la figura 3.1, dondese muestra la curva de atenuación en función de la energía del fotón y de la longitud de onda para unmaterial sin ninguna impureza.

Vemos las colas de dos picos de absorción, uno fundamental situado en la zona ultravioleta que esdebido a excitación electrónica (cambio de nivel de un electrón) y otro en el infrarrojo (alrededor de las7�m) que se produce por la interacción de los fotones con vibraciones moleculares. Estan absorcionesson las relacionadas con enlaces como los siguientes: Si-O (9.2�m), Ge-O (11.0�m). La atenuación delas fibras para�>1.5�m viene causada por las colas de estos picos.

Ambos picos de absorción aunque lejanos de la zona de interés limitan la mínima atenuación quepuede conseguirse.

La dispersión Rayleigh se explicará en el apartado 3.3.1.

Los efectos principalmente de la absorción debida a las vibraciones moleculares pueden limitarse.Por ejemplo, en algunos vidrios sin contenido en óxidos como los compuestos de fluoruros y clorurostienen sus picos de absorción mucho más alejados de la zona de interés, por encima de las 50�m, re-duciendo mucho la atenuación producida por la cola del pico.

3.2. PÉRDIDAS POR ABSORCIÓN DEL MATERIAL EN FIBRAS DE SÍLICE 28

Pico de absorción (nm) Atenuación (dB/Km)

Cr3+ 625 1.6C2+ 685 0.1Cu2+ 850 1.1Fe2+ 1100 0.68Fe3+ 400 0.15Ni2+ 650 0.1Mn3+ 460 0.2V 4+ 725 2.7

Tabla 3.1: Perdidas por absorción causadas por algunas impurezas metálicas ionizadas (para una con-centración de 10�9), junto con la longitud de onda de máxima absorción.

Figura 3.2: Espectro de absorción del iónOH� en la sílice.

3.2.2 Absorción extrínseca

En fibras comerciales fabricadas por medio de técnicas de manejo de material fundido (ver tema Fab-ricación de fibras) las principales fuentes de atenuación son causadas por la absorción de materiales nodeseados que son típicamente metales de transición. Algunas de las impurezas más típicas se muestranen la tabla 3.1, junto con la concentración necesaria para causar la susodicha atenuación. La contami-nación por metales de trtansición puede reducirse a niveles de concentración de 10�10 mediante métodoscomo la oxidación en fase vapor que elimina gran parte de este problema.

Otro problema relacionado con la absorción extrínseca es la causada por el agua (más concretamenteel iónOH�) disuelta en el vidrio. Este ión está ligado a la estructura del vidrio y tiene picos de absorciónpor vibración que pueden estar entre 2.7 y 4.2�m dependiendo a que punto de la red del vidrio esté ligado.Estas vibraciones fundamentales dan sobretonos que apareden de forma harmónica (como si de músicase tratara) a 1.38, 0.95 y 0.72�m, como puede verse en la figura 3.2. Además aparecen combinaciones delos sobretonos y las absorciones fundamentales delSiO2 a 1.24, 1.13 y 0.88�m con lo que se completala figura 3.2.

Como todos son picos son bastante abruptos aparecen valles entre los picos en la zona de 1.3 y1.55�m donde la atenuación se reduce, aparecen lo que se han dado en llama las ventanas de transmisión.

3.3. PERDIDAS LINEALES POR DISPERSIÓN ESPACIAL 29

Figura 3.3: Espectro de atenuación medido para una fibra monomodo de ultra baja absorción. En lafigura también aparecen los límites teóricos para la absorción intrínseca y Rayleigh.

Hay tres ventanas las dos anteriormente citadas más otra alrededor de 0.8�m (esta más por motivoshistóricos. Cuando en transmisión por fibra se habla de segunda ventana nos referimos a la transmisiónen 1.3�m y en tercera ventana en 1.55�m.

Si volvemos a mirar la figura 3.2 nos extrañaremos de que no se cite una ventana a 1.05�m, laexplicación la podemos encontrar en la figura 3.3, en ella se presenta una medida real de absorción deuna fibra monomodo. Aquí podemos apreciar mejor la segunda y tercera ventana de transmisión. Laprimera viene dada por que en un principio los únicos emisores que existían con potencia suficiente eranlos láseres de GaAs que emiten en el rango de las 0.8�m.

3.3 Perdidas lineales por dispersión espacial

La dispersión lineal transfiere parte de la potencia contenida en un modo de propagación a otro modode forma lineal (proporcional a la potencia del modo). Este proceso produce una atenuación ya queparte dela potencia transferida puede pasar a un modo no permitido que será radiado al exterior. Otracaracterística de este tipo de pérdidas es que no hay cambio de frecuencia (o longitud de onda) en elproceso de dispersión.

Hay dos tipos principales en la dispersión lineal la Rayleigh y la Mie.

3.3.1 Dispersión Rayleigh

Es el mecanismos de dispersión predominante entre las colas de los picos de absorción ultravioleta einfrarrojo. Es causado por las inhomogeneidades de pequeña escala, pequeñas al compararlas con eltamaño de la longitud de onda transmitida. Estas inhomogeneidades se manifiestan como fluctuacionesdel índice de refracción y surgen debido a variaciones de composición en la fibra que se producen cuandoesta se enfría en su fabricación. Estas variaciones pueden ser reducidas mediante mejoras en la fabri-cación, pero las fluctuaciones de índice debidas a la congelación de defectos inhomogéneos (la densidadde defectos no es constante) es algo de caracter fundamental y no puede evitarse, esto es lo que se repre-

3.4. PERDIDAS NO LINEALES POR DISPERSIÓN 30

senta en la figura3.1. La dispersión debido a estas inhomogeneidades, que ocurre en todas dirrecciones,produce una atenuación proporcional a��4 según la fórmula

R =8�3

3�4n8p2�cKTF (3.3)

de entre los términos de los que depende la relación anterior nos interesan que es el índice de refraccióny TF que es una temperatura ficticia que depende del método de fabricación1. Podemos apreciar que laatenuación disminuye con la longitud de onda, con lo que es preferible ir a longitudes de onda mayores(infrarrojo medio o lejano) y a índices de refracción menores (la elección del material también cuenta).

3.3.2 Dispersión Mie

La dispersión lineal también puede ser causada por inhomogeneidades de un tamaño similar a la longitudde onda transmitida. Son debidas a la estructura no exáctamente cilíndrica de la fibra que es causada porimperfecciones de la fibra como las irregularidades en la intercara núcleo-envoltura, estas pueden ser lavariación de la diferencia del índice de refracción a lo largo de la fibra, fluctuaciones en el diámetro,tensiones o burbujas. Cuando la inhomogeneidad es mayor que�=10 la intensidad dispersada dependemucho del ángulo.

Esta dispersión puede aminorarse

� reduciendo las imperfecciones debidas al proceso de fabricación

� controlar el proceso de la extrusión y recubrimiento

� incrementar la diferencia de índices de refracción.

de este modo se puede reducir este tipo de dispersión a niveles despreciables.

3.4 Perdidas no lineales por dispersión

La fibras ópticas no siempre se comportan como canales de transmisión lineales en los cuales el incre-mento en la potencia de entrada implique un incremento proporcional de la potencia de salida. Hay variosefectos no lineales que en el caso que nos ocupa, la dispersión, provoca unos incrementos muy altos enla atenuación. Este efecto ocurre para elevadas potencias ópticas. Esta dispersión no lineal genera quepotencia de un modo sea transferida a otro, tanto en la misma dirección de propagación como en la con-traria, este otro modo tendrá además una longitud de onda distinta. Esta disperción depende fuertementede la densidad de potencia óptica y sólo es significativa sobre determinados umbrales de potencia.

Los dos tipos de dispersión más importantes son la dispersión por estimulación Brillouin y la Raman,ambos tipos sólo son observados a altas densidades de potencia en fibras ópticas monomodo de granlongitud. Estos fenomenos dispersivos de hecho proporcionan ganancia óptica pero con una variación dela longitud de onda. Estos fenomenos pueden aprovecharse para amplificación óptica como ya veremosen el capítulo dedicado a óptica integrada.

1En ningún momento se exigirá la memorización de esta fórmula

3.4. PERDIDAS NO LINEALES POR DISPERSIÓN 31

3.4.1 Dispersión por estimulación Brillouin

La dispersión por estimulación Brillouin puede explicarse como una modulación de la luz debida a vi-braciones térmicas moleculares en el interior de la fibra. La luz dispersada aparece como unas bandas defrecuencia laterales (como una modulación de frecuencia), estas bandas laterales aparecen en transmisiónen la dirección contraria a la de la luz dispersada.

Aparte detalles físicos que no son nuestra prioridad podemos establecer que el umbral de potenciaPB para el que aparece esta dispersión es

PB = 4:4 � 10�3d2�2�dB� watios (3.4)

donded y � son el diámetro del núcleo y la longitud de onda transmitida, ambas en micrometros,�dBes la atenuación de la fibra en decibelios por kilómetro y� es el ancho de banda de emisión (láser) engigaherzios.

3.4.2 Dispersión por estimulación Raman

La dispersión por estimulación Raman es similar a la Brillouin excepto porque la modulación que gen-era las bandas laterales se produce a mayor frecuencia (las bandas están más alejadas de la frecuenciafundamental). La dispersión Raman puede ocurrir tanto en la dirección de la propagación como en lacontraria y suele tener una potencia umbralPR unos tres ordenes de magnitud mayor que la Brillouin.

Usando el mismo criterio para las variables que en el apartado anterior podemos ver que

PR = 5:9 � 10�2d2��dB watios (3.5)

para hacernos una idea de los niveles de potencia de los que estamos hablando vamos a ver un ejemplo

Ejemplo 3.4.2

Una fibra monomodo de longitud suficiente tiene una atenuación de 0.5dBKm�1 en unalongitud de onda de 1.3�m. La fibra tiene un núcleo de 6�m y el ancho ded banda espectraldel láser emisor es de 600MHz. Comparar los umbrales de potencia para que se produzca ladispersión por estimulación Brillouin y Raman a la longitud de onda de transmisión.

Solución: Según la fórmula 3.4 para la dispersión Brillouin

PB = 4:4 � 10�3d2�2�dB�= 4:4 � 10�3 � 62 � 1:32 � 0:5 � 0:6= 80:3mW

mientras que para la dispersión Raman

PR = 5:9 � 10�2d2��dB= 5:9 � 10�2 � 62 � 1:3 � 0:5= 1:38W

3.5. PERDIDAS POR CURVATURA DE LA FIBRA 32

Según el ejemplo 3.4.2 podemos deducir que pueden evitarse estos tipos de dispersión si se transmite pordebajo de un cierto nivel de potencia óptica y que la dispersión Raman ocurre para un nivel de potenciaen este caso superior en setenta veces a la Brillouin. Los valores presentados en el ejemplo anterior sonrealistas, no obstante se han observado dispersiones Brillouin para niveles de potencia de 10mW.

Los umbrales para las dispersiones no lineales en las fibras multimodo son tan elevados que no suelepresentarse, debemos recordar que el diámetro de estas es muy superior.

3.5 Perdidas por curvatura de la fibra

La fibra óptica tiene perdidas cuando se dobla, esto es debido a que la energía en el campo evanescenteen la parte exterior de la curva, ya que debe seguir el mismo frente de onda que el resto y por tanto debeir a una velocidad mayor, mayor que la velocidad de la luz. Esto es imposible y para remediarlo pierdeparte de su energía radiandola al exterior.

Esta pérdida puede ser representada numéricamente según un coeficiente de atenuación dado por

�r = c1 exp (�c2R) (3.6)

dondeR es el radio de curvatura yc1 y c2 son constantes.Para cualquier tipo de fibra se establece un umbral a partir del cual las perdidas son elevadas. Este

umbral se define de forma distinta para fibras monomodo y multimodo.Para fibras multimodo el radio crítico viene dado por

Rc ' 3n21�

4��n21 � n22

� 32

(3.7)

de donde podemos deducir que las perdidas por curvatura pueden reducirse si

� diseñamos fibras con gran�

� la � de transmisión es lo menor posible.

Estos criterios para la reducción de perdidas por curvatura también puede aplcarse a fibras monomodo.La teoría para estas nos da una forma distinta del cálculo del radio crítico

Rcs ' 20��n21 � n22

� 32

�2:748 � 0:996

�

�c

��3

(3.8)

donde�c es la longitud de onda de corte para dicha fibra monomodo.

3.6 Transmisión en el infrarrojo medio y lejano

En la zona del infrarrojo cercano la atenuación fundamental de la fibra está dominada por la dispersiónRayleigh y por el borde de absorción infrarrojo (figura 3.1). Las pérdidas totales de la fibra disminuyencuando� aumenta hasta llegar a un mínimo alrededor de las 1.55�m, para longitudes de onda may-ores vuelve a aumentar la absorción debido al borde infrarrojo. Las absorciones de las que hablamos

3.7. DISPERSIÓN TEMPORAL 33

Figura 3.4: Pérdidas intrínsecas teóricas para algunos materiales válidos para la transmisión en infrarrojomedio y lejano.

son fundamentales y no pueden ser reducidas, la única forma, pues, de reducir la absorción de la fi-bra es desplazarse a longitudes de onda mayores en el infrarrojo medio (2-5�m) y lejano (8-12�m) siconseguimos desplazar el borde de absorción infrarrojo también hacia esas longitudes de onda.

La forma de reducir la atenuación total es cambiar el material de la fibra para que las absorcionesdebidas a vibraciones térmicas moleculares. Las investigaciones en este tipo de fibras intentar conseguiratenuaciones muy pequeñas para sistemas de transmisión de larga distancia sin repetidores, no vamos ainsistir en composiciones materiales, sólo nos interesa analizar la figura 3.4, en la que podemos vercocomo se pueden conseguir atenuaciones teóricas inferiores a los 0.01dB/Km para fibras deBaF2 yZnCl2. El problema de este tipo de fibras es que no hay emisores para estas longitutes de onda coneficiencia suficiente para una transmisión correcta.

3.7 Dispersión temporal

La dispersión temporal de la señal óptica tiene los mismos efectos que para señales eléctricas, generadistorsión tanto en señales analógicas como digitales, es como pasar una señal a través de un filtro pasobajo. Si analizamos lo que le ocurre a una señal digital que se transmite como pulsos de luz a través deuna fibra ótica los mecanismos de dispersión temporal ensanchan los pulsos según avanzan en la fibra.El fenómeno aparece representado en la figura 3.5 allí puede observarse como cada pulso se ensanchay acaba superponiéndose con sus vecinos llegándo a ser indistinguible en la recepción. Este efecto seconoce como Interferencia entre Símbolos (en inglés ISI de InterSymbol Interference), el número deerrores en la recepción se incrementa cuando la ISI se incrementa2. La dispersión temporal por si sóla

2Otro problema que incrementa el número de errores es la relación señal a ruido (S/N), esta se verá en otro capítulo.

3.7. DISPERSIÓN TEMPORAL 34

Figura 3.5: Representación esquemática del ensanchamiento de los pulsos de luz según se transmitenpor la fibra óptica para el caso concreto de la transmisión de la secuencia 1011. (a) entrada a la fibra; (b)salida de la fibra a una distanciaL1; (c) salida de la fibra a una distanciaL2 > L1

3.7. DISPERSIÓN TEMPORAL 35

Figura 3.6: Representación esquemática de la relación entre frecuencia de señal y velocidad de trans-misión para codificación: (a) sin retorno a cero; (b) con retorno a cero.

limita el ancho de banda para una longitud de fibra determinada cuando los símbolos ya no puedensepararse.

Para que no haya superposición entre símbolos en un enlace de fibra óptica la velocidad de trans-misiónBT ha de ser menor que la inversa de la duración del pulso ensanchado (2� ), de donde

BT � 1

2�(3.9)

Para esta fórmula hemos considerado que el ensanchamiento del pulso ha sido� , lo cual nos indica quela duración inicial del pulso también era� . La ecuación 3.9 es bastante conservadora.

Otra fórmula menos conservadora puede obtenerse considerando que los pulsos a la salida de la fibratienen una forma gaussiana con una varianza�. Al contrario que la expresión 3.9, este tipo de análisispermite que haya un poco de solapamiento. La máxima velocidad de transmisión viene dada por

BT (max) ' 0:2

�bit s�1 (3.10)

esta ecuación da una aproximación razonables incluso para formas de pulsos no gaussianas. La forma decálculo de� se verá más adelante en el apartado 3.9.1.

Una vez hemos visto el cálculo de la velocidad de transmisión hay que convertirla a ancho de ban-da en herzios y ello depende del tipo de código digital usado, simplemente como ejemplo citaremosdos tipos de codificación:RZ (codificación con retorno a cero) yNRZ (sin retorno a cero). Ambostipos están representados en la figura 3.6, para la transmisión sin retorno a cero si el ancho de banda serepresenta comoB tenemos que

BT (max) = 2B (3.11)

mientras que con retorno a ceroBT (max) = B (3.12)

Otro método para calcular el ancho de banda es, si recuperamos nuestros conocimientos de circuitoselectrónicos, el punto de atenuación 3dB, el problema es que ahora estamos manejando señales ópticasy el punto 3dB para señales ópticas no es el mismo que para señales eléctronicas, así que hasta queaclaremos este punto en capítulos posteriores obviaremos este punto.

3.7. DISPERSIÓN TEMPORAL 36

Figura 3.7: Representación esquematica de una fibra abrupta multimodo, una gradual multimodo y unaabrupta monomodo. En cada una se muestra el ensanchamiento por dispersión temporal.

3.7.1 Diferencias entre tipos de fibras

Los tres tipos típicos de fibras y su efecto sobre la dispersión temporal de las señales que se transmitenpor ellas están representadas en la figura 3.7. Puede observarse que las fibras multimodo sufren de unadispersión temporal mayor que las monomodo y entre las multimodo la de índice abrupto tienen unadispersión mucho mayor que las de índice gradual. El ancho de banda de las fibras monomodo está enel rango de la gigaherzios mientras que en las multimodo estamos en el rango de entre decenas a cientosde megaherzios. Por supuesto no sólo el tipo de fibra fija el ancho de banda sino también la longitud delenlace, así pues para la comunicación por fibra óptica entre dos puntos el ancho de banda una vez fijadoel tipo de fibra viene determinado por la distancia entre repetidores regenerativos (amplifican la señal yla regeneran eliminando pues el ensanchamiento). Tras estos datos ya podemos entender el motivo porel cual la medida de las propiedades dispersivas de una fibra concreta se hace como el ensanchamientode la señal (tiempo) sobre una unidad de distancia, por ejemplons=Km.

El ancho de banda es inversamente proporcional a la distancia, esto conduce a la definición de unparámetro para la capacidad de la fibra para transmitir información, este parámetro se conoce como elproducto longitud-ancho de banda (L � Bopt). Como valores típicos de este parámetro para para los trestipos de fibras de la figura 3.7 tenemos 20MHzKm, 1GHzKm y 100GHzKm para las fibras abruptasmultimodo, graduales multimodo y monomodo respectivamente.

Para saber a que se debe la dispersión temporal hay que conocer los mecanismos por los que esta seproduce y a ello se dedica las dos siguientes secciones.

3.8. DISPERSIÓN TEMPORAL INTRAMODAL 37

3.8 Dispersión temporal intramodal

La dispersión intramodal o cromática puede darse en todos los tipos de fibra y es debido a que el emisoróptico no es totalmente monocromático sino que tiene un ancho de banda espectral. En el caso de losláseres el ancho de banda es pequeño pero en los LEDs ya es un porcentaje significativo respecto ala frecuencia central de emisión, este ancho de banda no nulo implica que puede haber diferencias enla velocidad de transmisión de cada una de las componentes espectrales de la señal. Las diferenciasen la velocidad de transmisión ensancharán los pulsos de luz dentro de un modo, por ello se llamaintramodal. Las diferencias en los retardos de las diferentes componentes cromáticas de cada modopueden ser debidas a dos motivos, las propiedades dispersivas del material de la fibra (dispersión delmaterial) y al guiado en la estructura de la fibra (dispersión de la guía-onda).

3.8.1 Dispersión del material

El ensanchamiento del pulso debido a la dispersión del material es el resultado de las velocidades de losdistintos componentes cromáticos que forman parte del espectro del emisor. La velocidad de fase de unaonda plana propagándose en el interior de la fibra varía de forma no lineal con la longitud de onda, se diceque un dieléctrico sufre de dispersión del material cuando la segunda derivada del índice de refracciónfrente a la longitud de onda es distinto de cero (d2n=d�2 6= 0). El ensanchamiento del pulso debido a ladispersión del material puede obtenerse a partir del retardo de grupo�g que es la inversa de la velocidadde grupovg que ya vimos en el capítulo anterior. El retardo de grupo es entonces

�g =d�

d!=

1

c

�n1 � �

dn1d�

�(3.13)

donden1 es el índice de refracción del núcleo de la fibra . El tiempo que tarda un pulso�m determinadopara atravesar una fibra de longitudL es pues

�m =L

c

�n1 � �

dn1d�

�(3.14)

Para un emisor con anchura espectral de valor cuadrático medio�� y una longitud de onda media�,el valor cuadrático medio del ensanchamiento debido a la dispersión material�m puede obtenerse de laexpansión en serie de Taylor de la ecuación 3.14 tomando como variable� según

�m = ��d�md�

+ ��2d2�md�2

+ ::: (3.15)

como el primer término de la ecuación anterior es el que típicamente domina podemos aproximarla por

�m ' ��d�md�

(3.16)

ahora si derivamos la ecuación 3.14 respecto a�

d�md�

=L�

c

dn1d�

� d2n1d�2

� dn1d�

!=�L�c

d2n1d�2

(3.17)

Sustituyendo en la ecuación 3.16 obtenemos

�m ' ��L

c

������d2n1d�2

����� (3.18)

3.8. DISPERSIÓN TEMPORAL INTRAMODAL 38

Figura 3.8: El parámetro de dispersión del material frente a la longitud de onda para la sílice.

La dispersión del material para fibras ópticas suele darse como el valor���2d2n1=d�2�� o también

como��d2n1=d�2��. Sin embargo lo más normal es proporcionar el parámetro de dispersión del material

M que se define como

M =1

L

d�md�

=�

c

�����d2n1d�2

����� (3.19)

y que típicamente tiene como unidadespsnm�1Km�1.

En la figura 3.8 puede verseM frente a� para la sílice. Podemos observar queM tiende a cero enuna zona del espectro alrededor de 1.3�m. Este detalle nos proporciona un nuevo acicate (además dela menor atenuación) para utilizar longitudes de onda superiores a las 0.8�m. Otro método de reducirla dispersión material es utilizar emisores de ancho de banda espectral estrecho y por tanto prima a losláseres frente a los LEDs.

3.8.2 Dispersión de la guía-onda

El fenómeno de guiado en el interior de la fibra también puede causar dispersión temporal. Es debidoa la variación de la velocidad de grupo con la longitud de onda para un modo particular. Basándonosen la aproximación geométrica sabemos que un modo se define con el ángulo que hay entre el rayo y eleje de la fibra. Si este ángulo se modificara al cambiar la longitud de onda3 tendríamos dispersión yaque los caminos recorridos serían distintos para cada longitrud de onda. Para un modo cuya constante depropagación es�, tendremos dispersión de la guía-onda sid2�=d�2 6= 0. Las fibras multimodo en lasque los modos principales se transmiten lejos de la longitud de onda de corte están prácticamente libresde este fenómeno, de hecho es despreciable frente a la dispersión del material. En las fibras monomodoel modo fundamental está cercano a la longitud de onda de corte y la dispersión de la guía-onda ya no esdespreciable, aunque es difícil separar ambos tipos de dispersión de forma numérica.

3Esta posibilidad no existe en óptica geométrica pero si en un análisis electromagnético.

3.9. DISPERSIÓN TEMPORAL INTERMODAL 39

Figura 3.9: Caminos seguidos por el modo axial y el modo que tiene el ángulo crítico en una fibra abruptaperfecta.

3.9 Dispersión temporal intermodal

El ensanchamiento de los pulsos debido a dispersión temporal intermodal, también llamada dispersiónmodal, es debida a los retardos de propagación entre distintos modos y por tanto no afecta a las fibrasmonomodo. Los distintos modos que constituyen un pulso lumínico tienen distintas velocidades de grupoy por tanto el ensanchamiento del pulso depende de las diferencias entre los tiempos de transmisión delmodo más lento y más rápido. Este mecanismo genera la diferencia mayor en el comportamiento de lasfibras de la figura 3.5. Las fibras multimodo sufren este fenómeno y entre ellas en mucha mayor medidalas de índice abrupto, por tanto a partir de ahora todos los comentarios irán dedicados a fibras multimodo.

El ensanchamiento en fibras graduales es mucho menor que el que se obtiene en fibras con índiceabrupto, la relación entre ambas puede ser de 100. Esto implica que las fibras graduales tienen una granventaja por su mucho mayor ancho de banda.

Para entender la diferencia entre ambos tipos de fibras es interesante que las comparemos desde elpunto de vista de la aproxiación geométrica.

3.9.1 Fibras abruptas multimodo

A partir de la teoría de rayos, el modo más rápico y más lento podemos deducir que son respectivamenteel rayo que va por el eje de la fibra y el que tiene el ángulo crítico (supongamos que este es un modopermitido). Los caminos que toman cada uno de estos rayos en una fibra perfecta se pueden ver en lafigura 3.9. El retardo entre la llegada de estos modos cuando viajan a través de una fibra nos permiteuna estimación de la dispersión intermodal. Como los dos rayos viajan a la misma velocidad, ya queatraviesan el mismo material de índice de refracciónn1, la diferencia temporal en recorrer la fibra vendrádeterminada por la diferencia entre sus caminos ópticos. así pues el tiempo que tarda el rayo axial parauna fibra de longitudL será

Tmin =L

v=

L

(c=n1)=Ln1c

(3.20)

mientras que para el rayo con ángulo crítico el tiempo será el máximo y valdrá

Tmax =L= cos �

c=n1=

Ln1c cos �

(3.21)

si utilizamos la ley de Snell

sin�c =n1n2

= cos � (3.22)

3.9. DISPERSIÓN TEMPORAL INTERMODAL 40

y sustituimos en la ecuación 3.21 obtenemos

Tmax =Ln21cn2

(3.23)

si ahora hacemos la diferencia entre elTmin y elTmax obtendremos�Ts la diferencia entre los dos modoscitados

�Ts = Tmax � Tmin =Ln21cn2

� Ln1c

=Ln1c

�n1 � n2n2

�(3.24)

que puede aproximarse como

�Ts ' Ln1�

csi �� 1 (3.25)

utilizando la relación entre� y NA obtenemos

�Ts ' L(NA)2

2n1c(3.26)

Las expresiones 3.25 y 3.26 se usan para estimar el ensanchamiento máximo en una fibra abrupta debidoa dispersión modal, de todas formas hay que tener encuenta que no hemos utilizado para nada los rayosno axiales que tienen ángulos de apertura�as > �a.

Si ahora queremos ver el ancho de banda de nuestro sistema deberíamos ver cuanto valdría el valorcuadrático medio para obtener la velocidad de transmisión según la fórmula 3.10, y con ella obtenerel ancho de banda del sistema. Cuando la señal de entrada a la fibra es un pulsopi (t) de área unidadtenemos que Z

1

�1

pi (t) dt = 1 (3.27)

y que la la altura del pulso es constante e igual a1=�Ts durante el intervalo

��Ts2

� p(t) � �Ts2

(3.28)

El ensanchamiento cuadrático medio�s a la salida de la fibra debido a la dispersión modal para unafibra abrupta multimodo cumple por definición

�2s =M2 �M21 (3.29)

dondeM1 es el valor medio del pulso (primer momento temporal) yM2 es el valor cuadrático medio(segundo momento temporal). Así pues

M1 =Z1

�1

tpi(t)dt (3.30)

M2 =Z1

�1

t2pi(t)dt (3.31)

El valor medioM1 es cero y por tanto tenemos que

�2s =M2 =Z1

�1

t2pi(t)dt (3.32)

3.9. DISPERSIÓN TEMPORAL INTERMODAL 41

Figura 3.10: Fibra multimodo de índice gradual: (a) Perfil de índice de refracción parabólico; (b) Rayosmeridionales en el núcleo de la fibra.

si integramos en la zona en que la señal es distinta de cero tenemos que

�2s =Z �Ts=2

��Ts=2t2

1

�Tsdt =

1

�Ts

"t3

3

#�Ts=2��Ts=2

=1

3

��Ts2

�2(3.33)

sustituyendo en la ecuación 3.25 resulta

�s ' Ln1�

2p3c

' L(NA)2

4p3n1c

(3.34)

De esta fórmula podemos deducir que el ensanchamiento de un pulso esss directamente proporcionala� y aL y por tanto para reducir la dispersión modal en fibras abruptas el único sistema es reducir�,es decir, hacer que la fibra tenga un guiado débil. Esta solución tiene un inconveniente ya que disminuye�a y por tanto laNA complicando las condiciones de inyección de luz en la fibra.

3.9.2 Fibras multimodo de índice gradual

La dispersión modal en fibras multimodo se reduce con el uso de fibras de índice gradual, de este modolas fibras graduales tienen mucho mayores anchos de banda. La razón para esta mejora puede entenderseobservando el diagrama de rayos de la figura 3.10. La fibra de la figura tiene un perfil de índice derefracción parabólico, si recordamos la forma matemática del índice

n(r) = n1

q1� 2� (r=a)2 r < a (n�ucleo)

n(r) = n1p1� 2� r � a (envoltura)

)(3.35)

En la figura 3.10(b) se pueden ver varios rayos en el núcleo de la fibra, puede apreciarse que ellossiguen trayectorias sinusoidales (ya lo vimos en el capítulo anterior) debido a el perfil de índice de lafibra. Ahora bien, como ya sabemos, la velocidad de grupo de cada modo es inversamente proporcionalal índice de refracción local, de este modo y como las curvas que viajan a zonas más alejadas del ejede la fibra lo hacen por zonas de índice de refracción menor van a una velocidad media mayor y estoiguala los tiempos de transmisión de los distintos modos. Como los distintos rayos de la figura 3.10 sonequivalentes a los modos citados hemos de concluir que este tipo de perfíl reduce las diferencias entrelas velocidades medias de los modos y por tanto la dispersión modal.

3.9. DISPERSIÓN TEMPORAL INTERMODAL 42

Figura 3.11: Ensanchamiento para una fibra gradual en función del perfil característico y para� = 1%.

La mejora obtenida utilizando una fibra parabólica frente a una abrupta (ambas multimodo) puedemedirse si tenemos en cuenta la diferencia temporal entre el modo más lento y más rápido y lo compara-mos con la ecuación 3.25. Las matemáticas son bastante más complejas en este caso por lo que daremosel dato directamente

�Tg =Ln1�2

8c(3.36)

La relación entre ambos retardos es�Ts�Tg

=8

�(3.37)

entonces para una� = 0:02 que es algo muy normal tendríamos que la relación sería 400.Este cálculo no es totalmente correcto ya que no se obtiene un ensanchamiento gaussiano en la

dispersión en fibras graduales. La relación de los ensanchamientos cuadráticos medios entre una fibraparabólica y una abrupta se rige por la ecuación

�g =�

D�s (3.38)

dondeD es una constante que vale entre 4 y 10 dependiendo del perfil exacto de la fibra.La � que determina el perfil de la fibra será muy importante para reducir el retardo modal. El perfil

óptimo para reducir al máximo la dispersión modal resulta ser

�opt = 2� 12�

5(3.39)

con este perfil óptimo se pueden conseguir una mejora de 1000 respecto a una fibra de índice abrupto.Para que tengamos una visión gráfica de la diferencia que supone el perfil en la dispersión modal

veamos la figura 3.11. Los perfiles prácticos que se pueden obtener en fibras realesnos permiten con-seguir productos longitud-ancho de banda de entre 0.5 y 2.5GHzKm.