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Unidad 3 – Lección 3.1
Derivadas de Funciones Exponenciales y
Logarítmicas
06/10/2011 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 13
Actividades 3.1
• Referencia: Section 12.3: Derivadas de Funciones
Exponenciales y Logarítmicas; Ejemplos del 1 al 8;
problemas impares 1 – 79 de la página 518 a 519
(4ta Ed páginas 525 a 526).
• Asignación 4.2: Páginas 518-519; Problemas 40, 48,
70 y 74.
• Referencias del Web:
– Moises Grillo (Video) – Derivadas de Funciones
Exponenciales y Logarítmicas
– Nilsa Toro – Derivadas de Funciones
Exponenciales
– Visual Calculus – Differentiation Formulas; Derivative of the
Exponential Functions.
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Objetivo
• Calcular la derivada de funciones
exponenciales
• Calcular la derivada de funciones
logarítmicas.
• Calcular la derivada de funciones
compuestas que envuelven funciones
exponenciales y logaritmos.
• Calcular el costo marginal, costo promedio
marginal e ingreso marginal
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Derivadas de la funciones exponenciales
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
aaadx
d xx ln)(
)( xedx
d
Ejemplos:
)3( x
dx
d3ln3x
eex ln xe
2xedx
d x
xex 2
2xdx
de
dx
d x
21
8 xdx
d x 218 dx
dx
dx
d
dx
d x
8ln8x 11)1( x 0
28ln8 xx
2
18ln8
x
x
xx eedx
d)(
4 de 13
Ejemplo 1 • Calcule la derivada de
a)
b)
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
12 xey xu 2
xe2 2 0
xe22
xedx
dy 2 xdx
d2 1
dx
d
2
5x
dx
d
2
5x 2xdx
d
x25ln52
x
5ln522xx
Regla de la Cadena
Regla de la Cadena
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Ejercicio #1
1.
2.
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
34 xedx
d xx 34 x
dx
de
dx
d
dx
d xx
4ln4x
xedx
d 35)35(35 x
dx
de x
xe 353
Regla de la Cadena
xe 35 3
xe 23x
6 de 13
Ejemplo 2
Encuentre la ecuación de la recta tangente a
y = (ex + 1) por el punto (0, 2)
• Solución:
• Pendiente de la tangente en (0,2) es
• La ecuación de la tangente por (0,2) es:
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)1( xedx
d1
dx
de
dx
d x 0 xe xe
1
0xdx
dy )0( e
𝑦 − (2) = (1)(𝑥 − 0 )
𝑦 − 2 = 𝑥
𝑦 = 𝑥 + 2
7 de 13
Derivadas de la funciones logarítmicas
axx
dx
da
ln
1)(log
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
exx
dx
d
ln
1)(ln
Ejemplos:
)(log5 xdx
d
5ln
1
x
)(log3
2 xdx
d
3
2ln
1
x
)(log xdx
d
10ln
1
x
x
1
xx
dx
d 1)(ln
8 de 13
Ejemplo 3
• Calcule
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
)2ln( 23 xdx
d
dx
dy
)2(2
1 23
23
x
dx
d
x
2
236
2
1x
x
)2ln( 23 xdx
d
9 de 13
23
2
2
6
x
x
Ejemplo 4
Calcule cuando
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
x
xy
ln1
ln1
2)ln1(
)ln1()ln1()ln1()ln1(
'x
xdx
dxx
dx
dx
y
2)ln1(
1)ln1(
1)ln1(
x
xx
xx
2)ln1(
2
x
x
2)ln1(
ln1ln1
x
x
x
xx
x
x
2)ln1(
2
xx
dx
dy
10 de 13
Ejercicio #2
• Calcule cuando
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
dx
dy )10ln( 2 xy
)10(10
1' 2
2
x
dx
d
xy
xx
210
12
11 de 13
10
22
x
x
Ejemplo 5
• Calcule el costo marginal y el costo promedio
marginal para la función costo
• Solución:
• La función costo marginal es 𝐶′ 𝑥 :
• La función costo promedio es 𝐶(𝑥) =𝐶(𝑥)
𝑥 :
Prof. José G. Rodríguez Ahumada 06/10/2011
𝐶 𝑥 = 100 + 𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝐶′ 𝑥 = 0 + 1 + 𝑒−0.5𝑥 ∙ (−0.5)
= 1 − 0.5𝑒−0.5𝑥
𝐶(𝑥) =𝐶(𝑥)
𝑥 =
100 + 𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝑥
Continúa …
12 de 13
𝐶(𝑥) =100
𝑥+ 1 +
𝑒−0.5𝑥
𝑥
Ejemplo 5 …
• La función costo promedio marginal es:
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𝐶′(𝑥) =−100
𝑥2+ 0 +
= 100𝑥−1 + 1 + 𝑥−1𝑒−0.5𝑥 𝐶(𝑥) =100
𝑥+ 1 +
𝑒−0.5𝑥
𝑥
𝑥−1𝑑
𝑑𝑥𝑒−0.5𝑥 + 𝑒−0.5𝑥
𝑑
𝑑𝑥𝑥−1
=−100
𝑥2+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥+
−𝑒−0.5𝑥
𝑥2
=−100
𝑥2+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥−
𝑒−0.5𝑥
𝑥2
=−100 − 𝑒−0.5𝑥
𝑥2+
−0.5𝑒−0.5𝑥
𝑥
13 de 13
