Tema: La derivada

Autor: Erick Vicente Yagual Guevara

Sea 𝑓(𝑥) una función, se define a su derivada

𝑓’(𝑥), como:

𝑓’ 𝑥 = lim∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Para toda 𝑥 , siempre que el límite exista y se

representa por:

𝑦′, 𝑓′ 𝑥 ,𝑑𝑦

𝑑𝑥𝑜 𝐷𝑥𝑦

Interpretación geométricaEl valor de la derivada en cualquier punto de la curva es

igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto.

Donde:

∆𝑥: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑥∆𝑦: 𝑖𝑛𝑐𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑦

En la gráfica se observa que la pendiente de la recta L

es:

𝑚𝑡 =∆𝑦

∆𝑥=𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Si ∆𝑥 tiende a cero, la recta 𝐿 coincide con 𝐿𝑡, entonces

la pendiente de𝐿𝑡, será el límite de 𝑚𝑡.

lim∆𝑥→0

𝑚𝑡 = lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Por definición, la derivada es:𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥 + ∆𝑥 + 𝑓(𝑥)

∆𝑥

Regla de los 4 pasos

Sea una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces:

1. Agregar el incremento en x e y.

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥

2. Despejar ∆𝑦 y se le resta la función original.

∆𝑦 = 𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥

3. Dividir para ∆𝑥.

∆𝑦

∆𝑥=

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥

∆𝑥

4. Límite cuando ∆𝑥 tiende a cero.

𝑑𝑦

𝑑𝑥= lim

∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥= lim

∆𝑥→0

𝑓 𝑥+∆𝑥 −𝑓 𝑥

∆𝑥

1.- Hallar la derivada mediante la regla de los 4 pasos

para la siguiente función:

𝒚 = 𝒙𝟐

𝑦 + ∆𝑦 = (𝑥 + ∆𝑥)2

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2

∆𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2−𝑦∆𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2− 𝑥2

∆𝑦 = 2𝑥∆𝑥 + (∆𝑥)2

∆𝑦

∆𝑥=

2𝑥∆𝑥

∆𝑥+(∆𝑥)2

∆𝑥∆𝑦

∆𝑥= 2𝑥∆𝑥 + ∆𝑥

lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥lim∆𝑥→0

2𝑥 + ∆𝑥 = 2𝑥 + 0 = 𝟐𝒙

𝑓′ 𝑥 = 𝟐𝒙 𝑹/.

2.- Encuentra la derivada de la función 𝒇 𝒙 =𝟐𝒙−𝟏

𝒙+𝟓,

aplica la definición.

𝑦 + ∆𝑦 =2(𝑥 + ∆𝑥) − 1

𝑥 + ∆𝑥 + 5

∆𝑦 =2(𝑥 + ∆𝑥) − 1

𝑥 + ∆𝑥 + 5−2𝑥 − 1

𝑥 + 5

∆𝑦 =𝑥 + 5 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − (2𝑥 − 1)(𝑥 + ∆𝑥 + 5)

(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

∆𝑦

∆𝑥=

𝑥 + 5 2𝑥 + 2∆𝑥 − 1 − (2𝑥 − 1)(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

∆𝑥

∆𝑦

∆𝑥=

2𝑥3 + 2𝑥∆𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 + 10∆𝑥 − 5 − (2𝑥3 + 2𝑥∆𝑥 + 10𝑥 − 𝑥 − ∆𝑥 − 5)

∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

∆𝑦

∆𝑥=

2𝑥3 + 2𝑥∆𝑥 − 𝑥 + 10𝑥 + 10∆𝑥 − 5 − 2𝑥3 − 2𝑥∆𝑥 − 10𝑥 + 𝑥 + ∆𝑥 + 5

∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

∆𝑦

∆𝑥=

11∆𝑥

∆𝑥(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

lim∆𝑥→0

11

(𝑥 + ∆𝑥 + 5)(𝑥 + 5)= lim

∆𝑥→0

11

(𝑥 + 0 + 5)(𝑥 + 5)= lim

∆𝑥→0

11

(𝑥 + 5)(𝑥 + 5)

𝒇′ 𝒙 =𝟏𝟏

(𝒙 + 𝟓)𝟐𝑹/.

3.- ¿Cuál es la derivada de la función 𝒚 = 𝒙 + 𝟐?

Nota: En este ejercicio utilizamos la conjugada.

𝑦 + ∆𝑦 = 𝑥 + ∆𝑥 + 2

∆𝑦 = 𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐

∆𝑦

∆𝑥=

𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐

∆𝑥

∆𝑦

∆𝑥=

𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝒙 + 𝟐

∆𝑥∗

𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2

𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2

∆𝑦

∆𝑥=( 𝑥 + ∆𝑥 + 2)2−( 𝒙 + 𝟐)2

∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)

∆𝑦

∆𝑥=

𝑥 + ∆𝑥 + 2 − (𝑥 + 2)

∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)=

𝑥 + ∆𝑥 + 2 − 𝑥 − 2

∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)

∆𝑦

∆𝑥=

∆𝑥

∆𝑥( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)=

1

( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)

lim∆𝑥→0

∆𝑦

∆𝑥

lim∆𝑥→0

1

( 𝑥 + ∆𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)= lim

∆𝑥→0

1

( 𝑥 + 0 + 2 + 𝑥 + 2)= lim

∆𝑥→0

1

( 𝑥 + 2 + 𝑥 + 2)

𝒇′ 𝒙 =𝟏

𝟐 𝒙 + 𝟐𝑹/.

Ejercicios Propuestos

Deriva las siguientes funciones, utilizando la regla de

los 4 pasos.

1.- 𝒚 = 𝟑𝒙 + 𝟐2.- 𝒚 = 𝒙𝟑

3.- 𝒚 =𝟐𝒙

𝒙−𝟏

4.- 𝒚 =𝟑

𝒙𝟐

5.- 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟐

6.- 𝒚 =𝟐

𝒙

7.- 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝟒

1.- 𝑦′ = 32.- 𝑦′ = 3𝑥2

3.- 𝑦′ = −2

(𝑥−1)2

4.- 𝑦′ = −6

𝑥3

5.- 𝑓′ 𝑥 =1

2 𝑥−2

6.- 𝑦′ = −1

𝑥 𝑥

7.- 𝑓′ 𝑥 =𝑥

𝑥2+4