5. ECUACIONES DIFERENCIALES Isabel Carmona Jover Departamento
de Matemticas Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de
Monterrey PEARSON Educacin Mxico Argentina Brasil Colombia Costa
Rica Chile Ecuador Espaa Guatemala Panam Per Puerto Rico
UruguayVenezuela http://carlos2524.jimdo.com/
6. CUARTA EDICiN, 1992 Primera reimpresin, 1994 Segunda
reimpresin, 1996 Tercera reimpresin, 1997 Cuarta reimpresin, 1998
Longman de Mxico Editores, SA de C.V. D.R. 1998 por Addison Wesley
Longman de M'lico, S.A. de C.v. Atlacomulco Nm. 500-5 Piso Col.
Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico CNIEM
1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de
esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse,
por un sistema de recuperacin de informacin, ninguna forma o por
nungn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o
electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso
previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier
otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la
autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 968-444-150-9
Impreso en Mxico. Printed in Mexico.
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7. Para mis padres ISABEL y JESS
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8. http://carlos2524.jimdo.com/
9. "Cuando cojo este libro, sbitamente se me pone limpio el
corazn, lo mismo que un pomo cristalino. -Me da luz en mi espritu,
luz pasada por mirtos vespertinos, sin ver yo sol alguno ... - Qu
rico me lo siento! Como un nio que no ha gastado nada de su vivo
tesoro, y an lo espera todo de sus lirios -la muerte es siempre
para los vecinos- todo lo que es sol: gloria, aurora, amor,
domingo." Juan Ramn Jimnez As te lo deseo, lector amIgo.
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10. http://carlos2524.jimdo.com/
11. Prlogo El mundo es, en todas sus partes, una arit- mtica
viviente en su desarrollo, y una geo- metra realizada en su reposo.
Platn: Timeo. Desde tiempo inmemorial, la matemtica ha ejercido una
fascinacin especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se
enfrenta a ella, toma partido a favor o en contra; a favor, por lo
sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitucin; en
contra, por sentirse, quiz, ante una tarea superior a las pro- pias
fuerzas. Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la
matemtica no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja
exactamente como una estructura matemtica, pues obtiene
conclusiones acerca de hechos o suposiciones lgicas, compara,
infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de
las veces usando las leyes lgicas, algebraicas, topolgicas y otras
que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemtica
posee a su vez tal armona, tal proporcin, exactitud y belleza que
se identifica con la "msica de las esfe- ras", citando libremente a
Pigoras. El libro que est en sus manos en este momento pretende
presentarle una introduccin, a nivel elemental y bsico, de una
parte de la matemtica suma- mente til y aplicable a casi todas las
ramas del saber: las ecuaciones diferen- ciales. El texto contiene
la exposicin y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer
y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras.
Tambin se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se
desarrollan los mtodos de series y transformadas de Laplace. El
libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el
estudiante ponga a prueba su aptitud, y cuando resuelva los de
opcin mltiple podr aquilatar la precisin del resultado evitando
caer en errores bastante comunes. Cada captulo contiene un resumen
y un examen de autoevaluacin, este ltimo con un nivel de
conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensin
del texto. Se ha procurado rodear a cada captulo de un ambiente
humans!ico, me- diante biografas, comentarios, curiosidades y
pasatiempos. El requisito para leer este libro es conocer el clculo
diferencial e integ!':ll. [9] " http://carlos2524.jimdo.com/
12. 10 PRLOGO Este libro naci, creci y sali a la luz gracias a
la colaboracin de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y
de mi familia, cada uno de ellos aport lo que a su rea competa.
Especialmente agradezco al Lic. Juan Manuel Silva Ochoa, maestro,
colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic. Christian
Garrigoux Michel su participacin en la redaccin de las biografas.
Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta
obra que deseo disfrute y le sea til en su formacin profesional y
en su trabajo. http://carlos2524.jimdo.com/
13. PRLOGO n de mis no de ellos an Manuel y al Lic. biografas.
obra que jo. Estructura lgica de los captulos 1 Ecuaciones
diferenciales en general . .. 2 3 Ecuaciones diferenciales H
Aplicaciones de las de primer orden ecuaciones diferenciales de
primer orden ...r 4 5 Ecuaciones lineales Aplicaciones de las de
segundo orden ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden
...r 6 7 Solucin mediante Transformadas de series de potencias
Laplace 'r 8 9 Series de Fourier Mtodos numricos [11]
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14. http://carlos2524.jimdo.com/
15. Gottfried Wilhelm, Barn von Leibniz (1646-1716) [13]
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16. Gottfried-Wilhelm, Barn von Leibniz "Este sabio gemetra
empez donde los de- ms haban acabado. Su clculo lo llev a pases
hasta entonces desconocidos donde hizo descubrimientos que son una
sorpresa para los matemticos ms hbiles de Eu- ropa". G. de L'Hpital
Gottfried-Whilhelm Leibniz naci el 21 de junio de 1646 en Leipzig,
en la actual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la
universidad. En 1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestra en
filosofa y jurisprudencia en 1664. A los 20 aos fue doctor en
leyes, despus de superar algunas difi- cultades administrativas
debidas a su edad. Empez entonces a trabajar como diplomtico, lo
que le permiti trabajar en Europa e indirectamente lo llev a la
creacin del clculo. En efecto, durante una estancia en Pars conoci
al gran cientfico holands Huygens quien lo inici seriamente en el
conocimiento de las matemticas. . En 1676, despus de varios aos de
estudio autodidctico, invent un nuevo mtodo matemtico que public en
1684 bajo el ttulo: Un mtodo nuevo para mximos, mnimos y tangentes.
Esta publicacin desat la ms famosa contro~ versia en cuanto a la
prioridad de la Grea-Gin de una obra oientfca, puesto que Newton,
si bien no lo haba manifestado pblicamente, era ya poseedor del
clculo. Hoy en da, se considera que Newton se adelant a Leibniz,
pero que ste ltimo invent independientemente el clculo y us un
simbolismo ms apropiado, de hecho vigente hasta la fecha. A la
clsica comparacin entre ellos, a favor de la mente ms rigurosa y
profunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de
Leibniz quien fue, adems, uno de los mayores filsofos de su siglo,
as como un pionero en el estudio sistemtico de las leng>ua~. A
pesar de que no logr satisfacer su deseo de crear una lgica
simblica se adelant a su poca ms de un siglo y con su muerte,
acaecida en 1716, desapareci probablemente el ltimo de los sabios
con conocimientos univer- sales. [14]
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17. , Indice Pgina Prlogo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o 9 Estructura lgica de los captulos o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11 Leibniz o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 13 Simbologa o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o 20 Qu son las ecuaciones
diferenciales? Cmo resolver una ecuacin diferencial? o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o Definiciones bsicas o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Clasificacin dp. las
ecuaciones diferenciales o o o o o o o o o o o ' Solucin de una
ecuacin diferencial ... ..... o o SoluCin general, solucin
particular .... . ..... o o o o o Solucin singular o o o o o o o o
o o o . . . . . . . .. . . o . . . . . . . . Interpretacin
geomtrica . . .. . .. . o o o o o o o o o o o o o o o o Campo
direccional . . o o o o o o o o o o o Isoclinas ." o o o o o o o o
o o o o o Ortogonalidad .... . o o o o o o o o o o o o Trayectorias
ortogonales '" o o o o o o o o o o o o o o Existencia y unicidad de
las soluciones o o o o o o o o o o o o o Resumen o o o o o o" o o o
o ' o o o o o . o . Autoevaluacin 1 .. o o o o o o o o o o o o o o
o o o Riemann Comentarios 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de
primer orden Variables separables o o o o o o o o o o o o o o
Homogneas . . , o o o o o o o o o o o o o o o Exactas .. ' o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o Factores integrantes .. o o o o
o o o o o o o o o o o Lineales o o o o o o o o o o o o o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o Resumen o. o o o o o . o o o o o o o
' o o o o . o " o o o o ' o o ' o . o Autoevaluacin 2 " o o o o o o
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Cauchy . o o . o o . o
o . o ' o o ' o o o o o o o o o ' . o o o o . ' o . o . o o o o" o
o o o ' o o " o o . o Comentarios 3 Aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales de primer orden 21 23 23 25 25 29 35 36 37 43 45 49
53 54 59 61 67 75 82 94 103 116 118 124 lZ Geometra . .. ... o o o
o o o o o o o , 129 Ecuacin de Bernoulli o o o o o o o o o o o o o
o o o 150 [15] http://carlos2524.jimdo.com/
21. Simbologa R Conjunto de nmeros reales. C Conjunto de nmeros
complejos. E Elemento de. (a, b) Intervalo abierto (no contiene a
los extremos del mismo). [a, b] Intervalo cerrado. (a, b] Intervalo
semiabierto por la izquierda. [a, b) Intervalo semiabierto por la
derecha. o "Qued demostrado". .~ Es el smbolo de implicacin usado
en el texto, las ms de las veces, como entonces. Doble implicacin,
se lee "si y slo si". Equivalencia o idnticamente igual. Semejante
o aproximadamente igual. Por lo tanto, en conclusin. fx Significa
derivada parcial de la funcin f(x) con respecto a x. [19]
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22. http://carlos2524.jimdo.com/
23. 1 Qu son las ecuaciones diferenciales? Lo que precede, en
Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos
queremos or. Es un lenguaje. Para representar la realidad en
movimiento usamos tambin una clave espe- cial, una simbologa
sinttica que nos informa acerca de una velocidad, de un descenso de
temperatura, de un aumento de poblacin, de un monto de inte- reses,
hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta.
Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en comn que
son variaciones a travs del tiempo, esa dimensin inmutable (en el
sentido de una cuarta dimensin) en la cual se mueven la materia y
la conciencia. As pues, en matemticas usamos el lenguaje de las
ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.
Cmo resolver una ecuacin diferencial? Hay dos maneras de aprender a
patinar sobre ruelo. Primera: En una librera se compra uno los
siguientes manuales: Cmo dominar el patinaje en 15 leccio- nes,
Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre
hielo en el [21] http://carlos2524.jimdo.com/
24. 22 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Paleoltico y sus
repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patn, El patn, su
constitucin, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografa e
ilustraciones a todo coloT; se va uno a su casa, se instala en su
lugar favorito y se sumerge en la lectura, sin olvidar tomar
apuntes, hacer anlisis comparativos y aplicar el clculo de
probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegar un
momento en el que ya est uno totalmente capacitado para estrenar
los patines - regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que
quiz ya sufri uno su primer reuma. Segunda: Se toma el par de
patines y amparndose en el instin- to de conservacin se lanza uno a
la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos
ro,l:os. As se aprenden muchas cosas: hacindolas. Para resolver una
ecuacin diferencial lo mejor es arriesgarse: intentemos integrarla,
y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambios
de variable o transformaciones que lleven a integrales ms o menos
familiares. Si tenemos la llamamos ecuacin diferencial de segundo
orden. Integrando: dy x! - - = - + Cl dx 2 Si volvemos a integrar:
obtenemos un1 funcin-solucin que podemos comprobar al instante:
derivando: derivando de nuevo con respecto a x: el resultado nos
convence de la exactitud del mtodo empleado. As, en este captulo se
exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferen-
ciales y el mtodo geomtrico para obtener soluciones.
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25. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 23 Definiciones
bsicas Definicin 1.1. Una ecuacin ,diferencial es aquella ecuacin
que contiene derivadas o diferenciales. Definicin 1.2. Orden de una
ecuacin diferencial es el de la derivada ms alta contenida en ella.
Definicin 1.3. Grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la
que est elevada la derivada ms alta, siempre y cuando la ecuacin
diferen- cial est dada en forma polinomial. CLASIFICACIN DE LAS
ECUACIONES DIFERENCIALES Ordinarias Tipo Parciales Primer orden
Segundo orden Orden Tercer orden Orden n J neales Grado No lineales
La ecuacin diferencial contiene de- rivadas de una o ms variables
depen- dientes con respecto a una sola va- riable independiente. La
ecuacin diferencial contiene de- rivadas parciales de una o ms
varia- bles dependieiites con respecto a dos o ms variables
independientes. F(x, y, y') = O F(x, y, y', y") = O F(x, y, y', y",
y"') =O F(x, y, y', ... , yen)) = O a) La variable dependimte y y
todas sus derivadas son de 1er. grado. b) Cada coeficiente de y y
sus deri- vadas depende solamente de la va- . riable independiente
x (puede ser constante) . { Las ~ue no cumplen las propiedades
antenores. http://carlos2524.jimdo.com/
26. 24 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Ejemplo de
ecuaciones diferenciales: Tipo Orden Grado Lineal dy = 2e-x
Ordinaria 1 1 S dx oy ox 0Y. , -- = -- + kx - -- Parcial 1 1 SI ot
ot Os x2y" + xy' + y = O Ordinaria 2 1 S uv" + ry = x Ordinaria 2 1
No (porque el coef. de y" no depende de x exclusiva- mente) oy 02y
-- + -- =: C Parcial 2 1 S ot OS2 d2 y dy x2 -- + x-- + (r-v2 )y =
O Ordinaria 2 1 S dr dx 04V (02m) 2 -4- = kv -2- Parcial 4 1 No ot
on (yVl- y'" + y" - y2 = O Ordinaria 5 3 No y' + y = x/y Ordinaria
lINo sen y' + y = O Ordinaria 1? No Ejercicios 1.1 Escoger la opcin
que da la clasificacin correcta de las siguientes ecuaciones
diferenciales: 1. y" + xyy' = sen x A. Ordinaria, orden 2, grado 1,
lineal. B. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. C. Ordinaria, orden
2, grado 1, no lineal. D. Ordinaria, orden 3, grado - 1, no lineal.
05X 02y 2. e' __ + -- = cte. ot5 or2 A. Ordinaria, orden 2, grado
2, lineal. B. Parcial, orden 5, grado 1, lineal. C. Parcial, orden
2, grado 2, no lineal. D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal. CMO R
3. x3yy'" A. B. C. O. 4. A. B. Parcia lineal. C. Ordin lineal. ---
Definici no conti tuir la identida -- -- Definici que con integrae
-- -- Definici ein eu --- --- EJEMP La fune Porque en otra
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27. NCIALES? ineal S S S No el coef. o depende exclusiva- ente)
S S No No No No cuaciones o 2, lineal. 1, lineal. do 2, no 1,
lineal. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 3. ryy'" _ x2yy" + y
= O A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. B. P.arcial, orden
2, grado - 1, no lineal. C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal. D.
Parcial, orden 1, grado 1, lineal. 4. y" + 2x3y' - (x - 1)y = xy3/2
A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal. B. Parcial, orden 2,
grado 3 2' no lineal. Ordinaria, orden 3, 3C. grado -, no 2 lineal.
D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal. . Ordinaria, orden 3, grado
1, lineal. A. Ordinaria, orden 2, grado 2, no lineal. B. Parcial,
orden 1, grado 2, lineal. C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal.
D. Parcial, orden 2, grado 1, no lineal. Respuestas. 1. C; 2. B; 3.
C; 4. A; 5. D. Definicin 1.4. Solucin de una ecuacin diferencial es
una funcin que no contiene derivadas y que satisface a dicha
ecuacin; es decir, al susti- tuir la funcin y sus derivadas en la
ecuacin diferencial resulta una identidad. Definicin 1.5. Solucin
general de una ecuacin diferencial es la funcin que contiene una o
ms constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivas
integraciones) . Definicin 1.6. Solucin particular de una ecuacin
diferencial es la fun- cin cuyas constantes arbitrarias toman un
valor especfico. 25 EJEMPLO 1 La funcin x + y2 = C es la solucin
general de la ecuacin diferencial: dy Porque derivndola
implcitamente tenemos: 1 + 2y -- = O, o expresado nx dy dx en otra
forma: 1 ---- 2y 2yy' =-1 http://carlos2524.jimdo.com/
28. 26 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Sustituyendo y y y'
obtenemos una identidad: 2.yc=x(- 1 J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x} donde y =
-vc=x. EJEMPLO 2 La funcin y = e-X + 8 es solucin particular de la
ecuacin diferencial y' + e-X = O, porque derivando la solucin y
sustituyndola en la ecua- cin dada, obtenemos: EJEMPLO 3 y' = _ e-X
_ e-x + e-X =O :. O= O La funcin y =3:x! + CX + C2 es solucin
general de la ecuacin diferen- cial y" = 6, porque: y' = 6x + C y
y" = 6 :.6 = 6 EJEMPLO 4 La funcin t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) + f(x.)
es la solucin general de la ecuacin diferencial parcial: (it - -=4y
+6x oy ox . Porque: ~ =2y2 + 6xy + f(x) ox 02t y -~-- =4y + 6x;
sustituyendo: 4y + 6x =4y + 6x. ay ox EJEMPLO 5 La funcin y = ce-x
+ C2eX + C3e-2X + C4e2X es solucin general de la ecuacin
diferencial: y/V _ 5y" + 4y = O http://carlos2524.jimdo.com/
29. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? Porque: Sustituyendo:
EJEMPLO 6 y' = - cle- X+ C2eX - 2c3e-2X + 2c4e2X y" = + cle- x +
C2eX + 4c3e-2X + 4c4e2X --------------y/v - 5cle-X - 5C2ex -
20c3e-2X - 20c4e2X ---- -.............. -- 5y" + 4cle-x + 4c2ex +
4c3e-2X + 4c4e2x = O '-~----..-----~-----.._--+ 4y :. O=O La funcin
y = eX(3 cos 2x + sen 2x) es solucin particular de la ecuacin
diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque: y' = eX(- 6 sen 2x + 2 cas
2x) + eX(3 cas 2x + sen 2x) y" = eX(_ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_
6 sen 2x + 2 cas 2x) + eX(_ 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(3 cas 2x +
sen 2x); Sustituyendo: eX(_ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + 2eX(_ 6 sen 2x
+ 2 cos 2x) + eX (3 cas 2x + sen 2x) + eX(12 sen 2x - 4 cas 2x) +
eX(_ 6 oas 2x - 2 sen 2x) + eX (15 'cas 2x + 5 sen 2x) = eX[- 12
cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x + 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x + 12
sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x _ 2 sen 2x + 5 sen 2x + 15 cos 2x] =
eX(O) = O. :.0=0. 27 http://carlos2524.jimdo.com/
30. 28 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Ejercicios 1.2
Averiguar si las siguientes funciones son solucin de la
correspondiente ecua- cin diferencial. l. Y =Ge X de y' - y =O 1 2.
Y =2e - 2x + - eX de y' ~- 2y =pX 3 3. Y =B In x + G de y' = /64x V
x3 4. y =G,e- x + G2e 2X de y" - y' - 2!J =O 5. y =Be X + xe X de
y" - 2y' + Y =O '6. sen x Y - - - de xy ' + y = Gas x- 3x 1 7. y -
- - = O de y' - y tan x = O Gas x 3 8. y = - de y' = 3y2 3x + 2 9.
y =1 + G .j1 - X2 de (1 - X2)y' + xy =x 10. y =2x VT=7' de yy' =4x
- RX3 1 11. y =e-X Gas - x 2 1 12. y = e-X Gas -X 2 x =Gas t}13. y
=et x 14. y= - - Gas x x =Gas t }15. y=.2 sen t _1 16. y =esen 2x
de 4y" + By' + 5y = O d '" 1e y + y =e-x Gas - x 2 d ' y O ey + ~=1
- X2 de xy' - y =r tan x seG x de yy ' + 4x =O de xy' - y tan in y
= O http://carlos2524.jimdo.com/
31. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL!' Respuestas: S son
solucin, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12. NOTA. Usando este
tringulo: ~~SiX cos t sen t x y la regla de la cadena, se pueden
verificar algunas soluciones anteriores. Definicin 1.7. Solucin
singular de una ecuaClOn diferencial es una fun- cin cuya tangente
a su grfica en cualquier punto (X, Yo) coincide con la tangente de
otra solucin, pero ya no coincide con esta ltima tangente en
ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequea que sta sea. 29
Estas soluciones no se obtienen a partir de la solucin general. Un
mtodo para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuacin
diferencial dada con respecto a y', con lo cual formamos un sistema
de ecuaciones: F(x, y, y') = oF(x, y, y') -----=0, oy' del cual,
eliminando y', se obtienen una o ms soluciones singulares. EJEMPLO
Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuacin
diferencial: y'2 = 16x2 Derivando con respecto a y', tenemos: :?y'
= De donde y' = O; sustituyendo en la ecuacin, obtenemos x = 0, que
es l a solucin singular. En efecto, las soluciones generales de
dicha ecuacin son: y =2 X2 + c, Y =- 2x2 "+ c, y para el punto
(0,0) su grfica es y = 2 X2 http://carlos2524.jimdo.com/
32. 30 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? y
------~E----------..... x Figura 1.1 I Y X =es el punto de contacto
con las pendientes de y = + 2r en el punto (0,0). Definicin 1.8.
Problema con valor inicial es la ecuacin diferencial acom- paada de
condiciones iniciales. EJEMPLO 1 Resolver la ecuacin diferencial:
Para la condicin inicial: y' -4xy = 1 Y = - cuando x = 0, o bien,
brevemente: 5 1 y(O) = - 5 La ecuacin puede escribirse como: dy dy
=4xy dx o -- =4x dx, y integrando ambos lados de la igualdad,
tenemos: -In y = 2X2 + c 2 Y = ce2x .
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33. C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL? 1 1 1 Sustituyendo
los valores del punto (O, - ), tenemos que: - =ce'l ~ C =-.5 5 5
Entonces la solucin particular es: EJEMPLO 2 1 2 y =_ e2X 5
Resolver la siguiente ecuacin diferencial: y" =x, para y(-2) =4
y'(O) = 1 Integrando ambos lados de la ecuacin tenemos: , r y =- +
Cl 2 Volviendo a integrar: X 3 Y = - + C1X + C2 es solucin general.
6 Aplicando las condiciones iniciales dadas: para y' para y 1 = O +
Cl ~ Cl = 1 -8 4 = -- - 2Cl + C2 6 -4 4 = 3 - 2(1) + C2 22 C2 = - -
3 X 3 22 .'. y =6' + x + 3' es solucin particular. Comprobacin:
derivando la solucin particular y sustituyndola en la ecuacin, debe
satisfacerla: y' = r + 1 2 y" =x. 31
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34. 32 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? OBSERVACIN. Se
necesita igual nmero de condiciones iniciales que el del orden de
la ecuacin diferencial. EJEMPLO 3 Dada la siguiente funcin: como
solucin (la forma de obtenerla se estudiar ms adelante) de la
ecuacin diferencial: y'" - 4y" + y' -i- 6y = O Encontraremos la
solucin particular para las siguientes condiciones ini- ciales:
y(O) =4, y'(O) = -1, y"(O)=O y"(O) =4cl + C2 + 9C3 .~ 4cl + C2 +
9C3 =O Resolviendo el sistema de ecuaciones: Cl + C2 + C3 =4
Obtenemos: Cl = 10/ 3, C2 = 29/ 12, C3 = -7/4 . 10 29 7 . , . . . y
= - e 2x + _ e-x _ - e 3x es la soluclOn particular para las
condIcIones 3 12 4 dadas. http://carlos2524.jimdo.com/
35. FERENCIALES? les que e del ante) de la diciones ini-
condiciones CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 33 Ejercicios 1.3
Dada la ecuacin diferencial, su solucin y las condiciones
iniciales, determinar el valor de las constantes arbitrarias. 1.
yy' + 6x = O 2. y2y' - 4x = O 3. y' = 1 + y2 y = tan(x + e) tan x +
e 1-e tan x 4. y' = 1 _ y2 tanh-ly = x + e Donde - 1 < y < 1
5. yy' = e2X + 1 y2 = e2x + 2x + e 6. 2y" + y' - y = O 7. y" + y =
eos x + 4 . Escoger la opcin correcta. 8. Ecuacin y(O) = 4 1 y(-) =
O 2 Respuestas: e = 16 3 e=-- 2 1t e=Oy(-) = 1 4 y(O) = O e=O 1 3
y(O) =- e=-- 2 4 { y(O) =O 2 el=- 3 y'(O) = 1 2 e2=-- 3 {"(O) = 4
el = 1 y'(~) = 1 e2 = 4 2 y' = 12x y(.j2) =-1 Condicin inicial
Solucin general A. 24y = r + e B. y = 6x2 + e c. y = r + e 1 D. x =
- .,,:=c 6 Valor de las constantes e = -22 e = -13 e= -3 e =-4
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36. 34 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 9. Ecuacin xy' = 7
Solucin general A. y = 7 In x + C 7 B. y=-r+c 2 C. y = In x + C D.
y = In cx7 10. Ecuacin y" = 2x + 1 Solucin general A. 6y = 2X3+ 3r
+ Clx + C2 1 1 B. y=-x3 +-r+cx+c3 2 1 2 C. Y =r + CIX + C2 1 1 D.
y=-r+-x+cl X+C2 3 2 11. Ecuaoin Solucin general A. y = eX + clx +
C2 C. y = Cl + c2x + e 2x D. y = eX + clx + C2 Condicin inicial
y(l) = 7 Valor de las constantes c=7 7 c=- 2 c=7 Condicin inicial
y(O) =1 y'(l)=- Z Valor de las constantes { Cl = 1 . C2 = - 12 {~~
=;- 3 { CI =- 3 C2 = 1 13 6 Condiciones iniciales y(O) = In 2 y'(ln
2) = O Valor de las constantes { CI =In 2 - 1 C2 = - 2 + (In 2) (ln
2 - 1) { CI =O C2 =In 2 { CI = In 2 C2 =O -1 { CI = - 2 C2 = In 2 -
1 http://carlos2524.jimdo.com/
37. ENCIALES? 1) CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 35 12.
Ecuacin Condicin inicial yy I =Gas x 1t y(-) = 3 2 Solucin general
Valor de las constantes A. y2 = 2 Gas x + G G=9 B. In y = Gas x + G
G = In 3 C. y2 G = 7/2-= sen x + G 2 D. In y = sen x + G G = In 3
-1 Respuestas: 8. B, Sol. particular y = 6x2 - 13 9, A, Sol.
particular y = 7 ln x + 7 1 1 10. B, Sol. particular y = - x3 + -
x2 - 3x + 1 . 3 2 11. D, Sol. particular y = eX - 2x + In 2 - 1 1/
7 12. C, Sol. particular - = sen x + - 2 2 o 1/ = 2 sen x+-7
Geomtricamente, la solucin general representa una familia de
curvas. As: r + y2 = G 2 representa una familia de circunferencias
(figura 1.2). y y y = Xl -4x ------~--~~-7----------X Figura 1.2
Figura 1.3 http://carlos2524.jimdo.com/
38. 36 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? La solucin general
y = x2 + c es una familia de parbolas (figura 1.3). La solucin
particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que
se obtiene cuando las constantes arbitrarias toman un valor
especfico a causa de las condiciones iniciales. As, en las figuras
1.2 y 1.3 la forma que tiene la solucin particular para c = 1 Y e =
- 4, es r + if = 1 Y Y = x 2 - 4, res- pectivamente. Definicin 1.9.
La terna (x, y, y') determina la direccin de una recta que pasa por
el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas es la
representacin geomtrica del campo direccional; Se puede resolver
una ecuacin diferencial trazando el campo direccional, en donde,
para cada curva de la familia solucin, la tangente en cada uno de
sus puntos tiene la misma direccin que el campo en ese punto.
EJEMPLO t El campo direccional de la ecuacin diferencial: y' = (y
-1)x Podemos dibujarlo dando valores enteros para x y y y calcular
las pendien- tes correspondientes: ~ -3 -2 -,1 O 1 2 3 4 -3 12 8 4
O -4 -8 - 12 -16 -2 9 6 3 O -3 -6 - 9 - 12 -1 6 4 (2) O 8) -4 - 6 -
8 O 3 0 1 O -1 E-~ - 3 - 4 1 O O O O O O O O @ 0 - 0) G)2 -3 -1 O 1
3 -6 -4 @ O 0 G) 6 8 4 -9 -6 -3 O (3) 6 9 12 Figura 1.4 CMO El co'
con una propieda Defini tes id' As, v familia d y dando Si y' = k o
bien: para k = k= k= http://carlos2524.jimdo.com/
39. ---_._-_._-- - - - -- -- - - - - -- - - - - CMO RESOLVER
UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 37 El conjunto de los trazos ese! campo
direccional (figura 1.5). Cruzando con una curva los segmentos de
igual pendiente, se obtienen curvas con la propiedad de atravesar
segmentos con idntica pendiente; entonces: Definicin 1.10.
Isoclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendien- tes
idnticas. Figura 1.5 As, vemos que las isoclinas de la ecuacin
diferencial y' = (y - I)x son una familia de hiprbolas. Para
obtener las isoclinas, se iguala y' a una constante, y' = k, y
dando valores a k se pueden graficar. Si y' = k ~ (y - l)x = k o
bien: para k =0, k = 1, k=-l k y = - + 1 es la familia de
hiprbolas, x y =1, asntota horizontal 1 y=-+ 1 x 1 Y =- - + 1, etc.
x http://carlos2524.jimdo.com/
40. 38 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Observamos que en
los cuadrantes 1 y 3, y' > O (las soluciones crecen) y en los
cuadrantes 2 y 4, y' < O (las soluciones decrecen). Ya podemos
trazar aproximadamente las curvas solucin: una familia de parbolas.
Figura 1.6 EJEMPLO 2 Obtener la solucin aproximada de la ecuacin
diferencial: y' = x, por el mtodo de las isoclinas y' = k o sea k =
O y' = O k = 1 y' = 1 k=-l y'=-l k = 2 y' = 2 x=k donde y' > O
para X> O y y' < O para x < O etc. Las isoclinas son
rectas paralelas al eje y y las curvas solucin forman una familia
de parbolas. CMO Ejercicio Identifica '-1. Y - 2. y' = 3. y' = 4.
y' = 5. y' = 6. y' = 7. y' = 8. y' = 9. y' = 10. y' =
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41. NCIALES? crecen) y os trazar , por el o o forman CMO
RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 39 k=-1 y k = 1 x Figura 1.7
Ejercicios 1.4 Identificar las isoclinas de las siguientes
ecuaciones diferenciales. Familia de isoclinas: l. Y , =x-y 2. y ,
=x+3 3. y , =y+x 4. y , = yeX 5. y' = y_ x3 6. , x y - --- y 7. y ,
= y(x + 2) 8. y , = 2y(x + y) 9. , 1 Y -- - Y 10. Y , = GOS (x - y)
y=x-k x=k-3 y =k- x y = ke=" y=k+X3 x y=-- k k y=x+2 k = y2 +- xy 1
y=- k { k=1 k = - 1 x = (2n + 1)7t (n = 0, 1, 2, 3, ... ) x = Znr:
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42. 40 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 11. y' = y2 -r 12.
y'=-JX2 +y2 13. y' =-JX2 + 2x + 1 + y2 14. y' = -JX2 + 11 - 4x - 6y
+ 13 15. y' = 1 - yx 16. y' = y + r Figura 1.8 Familia de
isoclinas: y2=k+r r + y2 = k2 k2 = (x + 1l + y2 k2 = (x - 2l + (y -
3l 1-k y=-- x En los siguientes ejercicios, trazar el campo
direccional y algunas curvas solucin. 17. y' = ~ y
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43. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 18 ' y - x . y = - -
y+x Figura 1.9 Figura 1.10 41 k =- % x
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44. 42 19. y' = xy 20. y' = 3x-y QU SON LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES? Respuesta: El campo direccional es semejante al de
la figura 1.6 obser- var que la asntota horizontal est en y = o. x
Figura 1.11 Adems del mtodo de isoclinas para obtener soluciones de
las ecuaciones diferenciales, tambin existen otros: el de Euler y
el de aproximaciones suce- sivas, aparte de los mtodos numricos
iterativos tan ' rpidamente elaborados por una computadora.
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45. cMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? Definicin 1.11. Dos
curvas son ortogonales en un punto ~ sus tangentes son
perpendiculares en el punto de interseccin. y x Figura 1.12 43
Recordamos que las pendientes de estas tangentes son recprocas y de
signo contrario, excepto en el caso en que las tangentes sean
paralelas a los ejes de coordenadas. EJEMPLo 1 1 Dadas las
funciones y = - y x los puntos de interseccin. 1 Y ="'3 x3 ,
averiguar si son ortogonales en x = 1 Y - --- ~ los puntos de
interseccin en los reales son :- -if3 Derivando las funciones para
obtener su pendiente, tenemos: dy 1 ml= -- =- dx r dy m2= -- =X2 dx
1 http://carlos2524.jimdo.com/
46. 44 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? C y 1 m(PI) = - -J3
1 m(P2) = - -J3 mlPI) = ..j3 toma: 1 En ambos puntos se cumple que
mI = - --o m2 y 1 Y =_x3 3 mI = .s 1 Y=3 m2(P2) = ..J3 De' for F(
ell x1 rna = - .,,s Figura 1.13 P EJEMPLO 2 ~m Sean las funciones y
= e" y y = e-x, su punto de interseccin es (0,1). y y = e-XI I I
--- EJ mI I Ha Su En die I I x m2 Figura 1.14 I I Qu
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47. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? dy m=--=ex dx dy
m2=--=-e-X dx m(O) = 1 mz(O) =-1 1 ..m=- Definicin 1.12.
Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando
ngulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacin F(x, y, y')
= O, la ecuacin diferencial de las trayectorias ortogonales a ella,
es otra familia de la forma: 1 F(x, y, - - ,)=0 y 45 Para obtener
las trayectorias ortogonales de una ecuacin diferencial, se dy
toma: m =-d = f(x, y), y como m2 =.x 1 dy 1 -+ m2 =-- = - da la
trayectoria ortogonal a la primera ecuacin dx f(x,y) EJEMPLO 1
Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas y =ex.
. ~ ~ y Su pendIente es: m = - - = e; o sea: -- =- dx dx x Entonces
una familia ortogonal a estas rectas ser la que tenga como pen-
diente: dy 1 m2 = -- = dx e Que tambin se puede expresar como: o
sea dy dx x y http://carlos2524.jimdo.com/
48. 46 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? ydy = - xdx y2 x2
Integrando: -- = - -- + c, o bien: y2 + x2 = c 2 2 y y=x 1111 ~
II11 .x -1 y=-x 2 y=-x Figura 1.15 La familia de circunferencias
con centro en el origen y la familia de rectas que pasan por el
origen son mutuamente trayectorias ortogonales. EJEMPLO 2 Hallar
las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ex', dy
Ootenemos: m, = - = 2cx y como e = y/r dx dy ~ - = 2(y/x2 )x dx dy
= 2y/x dx dy -x Buscamos: m2 = - = -- o bien: 2y dy = - x dx,
integrando: dx 2y CMO o Ejcrcici Obtener 1. Y = 2. y= 3. y = 4. y2_
5. y3_ 6. yln 7. y= http://carlos2524.jimdo.com/
49. Trayectorias ortogonales: 1. y=er 2y2 + r = e 2. 4 4y + 7x
= ey =7x + e =ct. 8 3. y = (X2 + ef - y3j 2 + ln x = e 3 4. y2 _ x2
= e xy = e 5. y. - 6x2 = e y (lnx + e) = 4 6. y ln ex = 3 2y3 _9x2
= e 7. y = ce" y2 + 2x = e ENCIALES? milia de gonales.
---------------------------------------------- CMO RESOLVER UNA
ECUACIN DIFERENCIAL? 47 y Figura 1.16 Observamos que es una familia
de elipses. Ejercicios 1.5 Obtener las trayectorias ortogonales de
las siguientes familias de curvas.
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50. 48 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 8. y = vx+ e 9. r =
ceas 28 Referencia: (Ver Cap. 3, pg. 131) 10. r =e(l -- eas 8)
Referencia: (Ver Cap. 3, pg. 131) 11. r = e - sen 8 Referencia:
(Ver Cap. 3, pg. 131) 12. Y =e eas x 14. y2 =2ex + 4 15. Y =e eash
x 16. Y =eln Ixl 17. sen y = ee- X 2 18. Y =eeX 19. eX eas y =e 20.
2y =X-JX2 - 1- ln(x + -Jr -1) + e 21. X2 + b2y2 =1 22. Para la
familia X2 = 2(y - e), determinar q~l curva de las trayectorias
ortogo- nales pasa por el punto (l, 2). 23. Para la familia y2 =2ax
(parbolas que pasan por el origen) , determinar qu curva de las
trayectorias ortogo- nales pasa por el punb (2, 4). 4 Y = - _ X 3 /
2 + e 3 r = esen2 8 r = e(1 + eas 8) e r = l/(ln ) see 8 + tanB y2
= 2ln(e sen x) y =ex y2 = 2ln(e eseh x) 2y2 =_2r ln Ixl + r + e eas
y =ee - X eX sen y =e y = - eash-IX + e y2 + r = 21nex Respuesta: y
+ ln x =2 Respuesta: y2 + 2X2 =24, elipse con centro en el origen.
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51. COMO RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL? 49 y
----~------~E-------_+--__.x Figura 1.17 Existencia y unicidad de
las soluciones En lgebra lineal nos encontramos con tres tipos de
sistemas de ecuaciones en el plano: { 2y + 3x =O 2 3 -- y--x = O 5
5 { y - x =5 y - x = 2 Figura 1.18 { 2Y + 3x =O y = x+5
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52. 50 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Estos sistemas
tienen: un nmero infinito de soluciones (cada punto de las rectas
en el plano satisface ambas ecuaciones), ninguna solucin (ningn
punto del plano es comn a las dos ecuaciones) y una sola solucin
(las dos ecuacio- nes tienen uno y slo un punto en comn),
respectivamente. Los dos primeros sistemas no nos ayudan mucho para
obtener respuestas congruentes. Las soluciones de las ecuaciones
diferenciales que nos interesan son aquellas que tienen una sola
forma y un nico valor para ciertas condiciones iniciales. Bajo qu
condiciones se puede garantizar que una ecuacin dife- rencial de
primer orden tenga una y slo una solucin? Teorema 1. Existencia y
unicidad Dada una ecuacin diferencial y' =f(x, y) donde f(x, y) est
definida en una regin rectangular R que contiene al punto (xo, Yo).
y Yo Figura 1.19 Dicho de otra manera: x Si f(x, y) satisface las
condiciones: a) f(x, y) es continua en R, b) !L. es continua en R,
ay .~ existe un intervalo 1 con centro en Xo y existe una y slo una
funcin y =g(x) definida en el intervalo 1 que satisface la condicin
inicial y(xo) = Yo Condiciones para la existencia de soluciones:
Continuidad de f(x, y) en R. Acotamiento de f(x, y) por R.
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53. CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? Condiciones para la
unicidad: 5f Continuidad de f(x, y) y 5Y en R. . 5f Acotamiento de
f(x, y) y -- por R. 5y 51 Estas condiciones son suficientes pero no
necesarias, porque puede existir una solucin nica que satisface
y(xo) = Yo, pero que no cumple la condicin a), o la condicin b), o
ninguna de las dos. EJEMPLO 1 S ' 3 ea Y =2" Y 3 '~f(x, y) = -,1,2
y 5f 5y En todos los puntos del eje x no se cumplen las condiciones
a) y b) porque f(x, y) y 5f son discontinuas en Y = O; sin embargo,
por cada punto del 5y eje x pasa una sola curva solucin. Y = 19x +
c o bien Y = .J9(x - xo) y x Figura 1.20
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54. 52 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? EJEMPLO 2 Hallar la
regin del plano xy en la cual la ecuacin diferencial: y' = xy tiene
una solucin nica en un punto (xo, Yo) de esa regin. 01 Entonces
I(x, y) =xy, oy =x; ambas son continuas en todos los puntos del
plano xy, y por cualquier 2 punto (xo, Yo) en el plano pasa una y
slo una solucin y = eeX /2, o bien, 2 Yo = ce'" /2 de donde :
EJEMPLO 3 Yo e = - -2- ' e("'o) 12 Dada la siguiente ecuacin
diferencial y'=W Averiguar en qu regin: a) Tiene ms de una solucin.
b) Tiene solamente una solucin. Solucin: 01 oy 2 3-lfY I es
continua en todo el plano xy. 01 d" l '- es Iscontmua en e eJe x.
oy ) E l h d . l" O (x + el da n e eje x ayos ecuacIOnes so UClOn y
= y y = --- que an 27 origen a un nmero infinito de parbolas
cbicas. http://carlos2524.jimdo.com/
55. RESUMEN b) En todo el plano excepto en el eje x dy Porque
-- = dx, y2/3 Resumen Definiciones (x + el y = 27 y 3ylJ = X + e,
Figura 1.21 x ECUACIN DIFERENCIAL: la que contiene derivadas o
diferenciales. ORDEN: el de la derivada ms alta. GRADO: el
exponente de la derivada ms alta. SOLUCIN: funcin sin derivadas que
satisface a la ecuacin. SOLUCIN GENERAL: con constantes
arbitrarias. SOLUCIN PARTICULAR: las constantes toman un valor
determinado. 53 SOLUCIN SINGULAR: su pendiente tiene un punto en
comn con la pendiente de otra solucin. PROBLEMA CON VALOR INICIAL:
ecuacin diferencial + condiciones iniciales. CAMPO DIRECCIONAL:
conjunto de segmentos de la terna (x.. y, y'). ISOCLINAS: curvas
que satisfacen: y' = f (x, y) = k.
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56. 54 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? CURVAS ORTOGONALES:
SUS pendientes son perpendiculares en el punto de inter- seccin.
TRAYECTORIAS ORTOGONALES: familias de curvas cuyas pendientes son
perpen- diculares entre s. Clasificacin: { ordinarias: una sola
variable independiente Tipo parciales: dos o ms variables
independientes Lineales { a) b) Cada coeficiente depende slo de x
y, y', y", .. . y(n), son de ler. grado Grado No lineales {No
cumplen lo anterior Teorema: Existencia y unicidad de las
soluciones. Continuidad y acota- miento de f(x,y) y ~ en la regin
R. oy Autoevaluacin 1 1. Definir: isoclinas. 2. Definir: campo
direccional. 3. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las
soluciones. 4. Escoger la opcin que contiene la definicin correcta
de: trayectorias ortogonales. A. Familias de curvas paralelas entre
s. B. Familias de curvas cuyas pendientes las cortan en ngulo
recto. 1 C. Dos familias de curvas de la forma F(x, y, - - ,-) = O.
y D. Familias de curvas que se intersectan formando ngulo recto.
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57. IALES? inter- erpen- o x acota- ctarias AUTOEVALUACI6N 1 55
5. Clasificar las siguientes ecuaciones por su tipo, orden y grado:
a) (oy) 2 + 02Z = ~ et ox of y b) (x-1)y" + y(y'/-x = O 6. Escoger
la opcin que contiene la clasificacin correcta de la siguiente
ecuacin diferencial: x(r -1)y'" + (xy'yz = ~. x A. Ordinaria, orden
3, grado 2, lineal. B. Ordinaria, orden 3, grado 1, no lineal. C.
Ordinaria, orden 4, grado 2, lineal. D. Parcial, orden 4, grado 1,
no lineal. 7. Verificar si la funcin e" = cx(y + 2)2 es solucin de
la ecuacin dife- rencial: xyy' = y + 2. 8. Elegir la opcin que da
la solucin general de la ecuacin diferencial correspondien te: A. 2
de , =2xy = OY = e-X + e y B. r + y = e de yy , =-x C. r + e- y2 =
e de ' 2 yy = xe" D. y = ce COSX de y , -y sen x = O 9. Sustituir
la funcin y = sen _1 2x en la siguiente ecuacin diferencial para
ver si la satisface: y' = 2 sec y. 10. Elegir la opcin que contiene
la correcta solucin particular de la si- guiente ecuacin
diferencial: (x + I)y' = xy, para y(O) = l. A. y = ln (x + 1) B. y
= e" - x C. y = e'( + 1) D. y(x + 1) = e".
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58. 56 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 11. Resolver el
problema con va}or inicial y(O) =7, y'(O) =O, y" =6x - 12. 12.
Seleccionar la opcin que contiene la solucin particular correcta
del problema con valor inicial. Ecuacin diferencial A. xy" = y' B.
yy" = (y' y c. yy' =y' + 2xy Condicin inicial y(O) =1, y'(l) = 4
y(O) = 1, y'(O) = 3 y(O) =1 y(O) = 12 Respuestas: y = 2:r + 1 y =
In y +:r + e y = tan X2 13. Encontrar las trayectorias ortogonales
de :la familia de curvas: y = e (tan x + sec x). 14. Seleccionar la
opcin que contiene la familia de trayectorias ortogo- nales de: y'
= 2xy c. y = ln:r + e D. y = In ex 15. Sealar la regin donde la
siguiente ecuacin diferencial tiene solucin nica: y' =-5x/y.
Respuestas de la autoevaluacin 1 1, 2 y 3, ver el texto. 4. D. La A
es falsa, porque la condicin es la perpendicularidad, no el
paralelismo. La B es falsa, porque una pendiente es tangente y
nunca corta a la curva. La C es falsa, porque est incompleta, debe
ser: una familia de la 1 forma F(x, y, y') con otra familia de la
forma F(x, y, - -,-J. Y 5. a) Parcial, orden 2, grado 1, no lineal.
b) Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal.
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59. AUTOEVALUACI6N 1 57 6. B. La A es falsa porque el grado de
la ecuacin es el exponente de y"' o sea 1. La e es falsa porque el
orden no es la suma de los rdenes de las derivadas que existan en
la ecuacin; el grado es 1, no es lineal porque y' est al cuadrado.
La D es falsa porque la ecuacin es ordinaria, slo hay una " . "' d
3 y , dy vanable mdependlente y =-- y y = __o el orden es 3. dx3 dx
' 7. S lo es. Derivando implcitamente: dy dy eY - = 2cx(y + 2)-- +
c(y + 21 dx dx eY , dy Sustituyendo c =---~ y tomando factor comun
-- ~+~ dx dy 2eY eY -(eY - - - ) = - dx y+2 x Dividiendo entre eY y
simplificando dy y 1 - ( - ) = - dx y+2 x xyy' = y + 2. O 8. C. La
solucin de la opcin A debe ser y = ce-x!, aplicando correc- tamente
las leyes exponenciales. La solucin de la opcin B es y2 + r =C. La
solucin de la opcin D es y = ce-cosx . 9. S. dy 2 Derivando --
=----~==:=? dx VI-4r Si Y =sen- l 2x ~ 2x =sen y y ..J1 - 4r = cos
y Derivando 2x =sen y dy 2 , --=--~y =2secy. dx cos y 2X~ 10. D.
Solucin general y(x + 1) =cex para y(O) =1 ~ e =l. Por lo tanto la
solucin particular es: y(x + 1) = ,r. 11. Y = x3 - 6r + 7.
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60. 58 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? 12. A. La opclOn B
tiene intercambiados los valores de las condiciones ini- ciales y
le falta el coeficiente 3 para satisfacer dicho cambio. En la opcin
e no se aplic la condicin inicial. Por error en la opcin D se tom
y(O) = O. 13. Derivando: dy Y -- =c(sec2 x + sec x tan x),
sustituyendo c =------dx tan x + sec x dy -- =ysec x .dx oos xdy dx
- --~ ydy == - Gas x ,dx, if + 2 sen x = c. y 14. B. La solucin de
A contiene la solucin de la ecuacin dada. Las solu- ciones e y D
emplean funcin logaritmo en vez de funcin exponencial. 5x of 5x 15.
Tomamos f(x, y) = - - y - = -; f es discontinua en y = O, o sea, en
y oy y2 el eje x; en el eje x se infringe la condicin b) del
teorema de existencia y unicidad, de hecho la solucin es y2 + 5x!
=c; en y =Ono hay soluciones. En qu parte del plano existe una y
slo una solucin, en cada punto del mismo? En todo el plano xy,
excepto en el eje x. http://carlos2524.jimdo.com/
61. BIOGRAFA 59 Georg Friedrich Riemann (1826-1866)
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62. 60 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Georg Friedrich
Riemann Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad fsica,
Riemann impact, sin embargo, el mundo de las matemticas como pocos
lo han hecho en la historia. Hijo del pastor de un pequeo pueblo en
Alemania, recibi no obstante una buena educacin que lo llev a
presentar su tesis doctoral delante de Gauss en Gottingen. Este
ltimo, reconocido como difcil de sorprender, qued entusiasmado por
el desarrollo que hizo Riemann sobre la teora de la funcin de una
variable compleja. Este episodio se recuerda como la nica vez en la
que Gauss haya expresado admiracin por un trabajo ajeno. Ah
aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generaran
el enfoque topolgico del anlisis. Un poco ms tarde clarific la
nocin de inte- gral mediante una nueva definicin conocida como la
"Integral de Riemann". Sus trabajos sobre los fundamentos de la
geometra le permitieron generalizar la nocin de espacio y son
precursores de las teoras del siglo XX sobre los espacios
abstractos. Pero su complexin dbil lo hizo presa de la
tuberculosis, un mal entonces incurable, y Riemann muri en 1866 a
los 40 aos. Sus obras, que caben en pocas pginas, son de una
densidad tal que dejan trabajo e ideas incluso para los matemticos
de hoy en da. http://carlos2524.jimdo.com/
63. COMENTARIOS 61 Comentarios " ... Estos acertijos, en cierto
modo, ms que ninguna otra rama de las matemticas, reflejan el .
espritu siempre joven, inquisi- tivo e intacto, de esta ciencia.
Cuando un hombre deja de maravillarse, de preguntar y jugar, est
acabado". E. Kasner y J. R. Newman. Averiguacin La funcin y =aX es
hija de - - -________ y vio la luz en 1679. a) Descartes b) Leibniz
c) Euler Demostracin de la falacia: n = n + 1 Sabemos que (n + 1/
=n2 + 2n + 1 (n + Il - (2n + 1) = n2 ; restando de ambos miembros
2n2 + n: (n + 1/- 2n - 1 - 2n2 - n = n2 - 2n2 - n; sacaooo factor
comn: (n + Il - (n + 1) (2n + 1) = n2 - n(2n + 1); sumando (2n +
1//4 a ambos miembros: (n + zy- (n + 1)(2n + 1) + (2n + Il/4 =n2 -
n(2n + 1) + (2n + Il/4; o sea: [(n + 1) - (2n + I)/2l =[n - (2n -i-
1)/2F, elevando a la potencia 1/ 2 n + 1 - (2n + 1)/ 2 =n- (2n +
1)/ 2 n+l=nD Dnde se gener el error?
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64. 62 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? Pensamiento "La
escala de la sabidura tiene sus pelda- os hechos de nmeros".
Blavatsky. Propiedades metafisicas del nmero 1 Representa el
principio de unicidad, de lo indivisible e ilimitado: Dios.
Pitgoras dice que es el padre, creador de todas las cosas; el
pensamiento, creador de todas las ideas; la memoria, el fundamento
del conocimiento. Como nmero, representa al hombre, el nico animal
que camina erecto. Elles lo determinado, la iniciacin, lo que insta
para que las cosas sean, la voluntad. Es la identidad, la igualdad,
la existencia y la persistencia. Repre- senta lo espiritual, la
luz, la inteligencia y la aptitud para proponer, considerar y
resolver. Es meditacin, reflexin y decisin, obrando como trabajo en
la mano de obra y como volicin en el pensamiento. Remontndonos a
los orgenes: Sistema de numeracin del Antiguo Egipto, (posiblemente
3000 A.C.) 1 6 10 23 100 1000 10000 100000
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65. COMENTARIOS HORIZONTALES 1. Curvas con pendiente constante.
Nota musical. 2. Mil. Cierto tipo de ecuaciones diferen- ciales. 3.
Artculo masculino singular. Entre- guen. Exponente de la derivada
de mayor orden en una ecuacin diferencial. Vocal. 4. Pronombre
relativo. Pasar la vista por lo escrito. (Al revs.) Ser supremo. 5.
Smbolo de "unin" en la teora de 63 6. El que profesa la ingeniera.
7. Descripcin, cuento, relato. 8. Piedra sagrada del altar. Smbolo
qU- mico del azufre. Bonita, agradable. 9. Participio del verbo
ser. Signo muy usado en las ecuaciones matemticas. 10. Artculo. (Al
revs.) Descanso, paro de! tra,bajo. Corriente caudalosa de agua.
11. Tipo de queso. Smbolo qumico del aluminio. conjuntps. Letra que
se usa para designar CRUCIGRAMA la constante de integracin.
Conjuncin co- pulativa que indica negacin. Examin, investigu,
estudi. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. Dos. Lengua provenzal o lemosn.
1 Abreviatura de licenciado. Nombre de varn. 7. Vocales. Pieza
herldica en forma de paja estrecha. Las 3 primeras letras de
Einstein. Especie de toro salvaje. 8. Smbolo qumico del Radn. Uno
en nmeros romanos. Recubro con oro. Otorga. Vocales. 9.
Perpendicular. Terminacin propia de los alcoholes. VERTICALES 1.
Ingeniero mecnico electricista. Amo. 2. Funcin sin derivadas que
satisface a una ecuacin diferencial. Consonante. 3. Lo da la
derivada ms alta de la ecua- cin diferencial. (Al revs.) Clase,
muestra. 4. Cien. Fino, exquisito. 5. f;cuacin diferencial donde la
y y sus derivadas son de primer grado y cada coefi- ciente depende
solamente de x. Logaritmo decimal. 2 3 4 5 6 7 8 9
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66. http://carlos2524.jimdo.com/
67. 2 Ecuaciones diferenciales ordinarias ~e primer orden En el
mundo de las bacterias se desat impensadamente un conflicto. Cuatro
de entre las ms jvenes decidieron intervenir en la dimensin de los
huma- nos, con el firme propsito de sumergirse en su sangre y
mediante una rapid- sima proliferacin segregar una sustancia
alrededor del corazn que lo inmu- nizara del mal, de la mentira y
de la fealdad. A pesar de la oposicin de la colonia bacteriana, las
cuatro amigas estudia- ron su plan. Vieron que si su rapidez de
crecimiento era proporcional a la cantidad de bacterias presente en
cada momento, en corto tiempo llegaran a recubrir un corazn humano
con la sustancia que llamaron biverbe. Observaron que se duplicaban
al cabo de 5 minutos y su pregunta siguiente fue qu can- tidad de
bacterias deba tener la nueva y revolucionaria colonia para que en
20 minutos hasta el corazn ms renuente fuera recubierto de biverbe.
Aqu es donde acudimos a nuestro lenguaje simblico para resolver a
nues- tras amigas su problema. Sea x la cantidad de bacterias
presente en cada momento del proceso, en- tonces, la
proporcionalidad observada viene dada por la relacin ~: IX x [65]
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68. 66 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Para . establecer
una igualdad, usamos una constante k, llamada constante de
proporcionalidad y as obtenemos la siguiente ecuacin diferencial:
dx - -=kx, dt la cual se resuelve por integracin inmediata: de
donde ln x = kt + c x= cekl Esta funcin exponencial convenci a las
bacterias de que su crecimiento iba a ser rpido, pero esta solucin
general les result ambigua porque haba demasiadas incgnitas.
Utilizando las condiciones iniciales de su experimento, se
encontraron los valores de c y k de la siguiente manera: para t =O,
que fue el momento inicial, haba x =4 bacterias. Sustituyendo en la
solucin: 4 = ceo . c = 4 x = 4ek t, y para t = 5 minutos el nmero
de bacterias se duplic: x = 2(4). Volviendo a sustituir estos
nuevos datos: k = ~ 5 As la solucin general, tiene la forma: x = 4
e(ln 2/5)t = (4)2t/ 5 Y la respuesta a la ltima pregunta quedara:
para t =20 minutos, x =?; entonces: x =(4)220 / 5 ; X =64
bacterias. Por tanto, slo 64 bacterias en un lapso de 20 minutos
pueden inmunizar un corazn humano. Entonces las bacterias se
desparramaron, comenzaron su trabajo y .. . En este captulo
trataremos especialmente las ecuaciones diferenciales ordi- narias
de primer orden: variables separables; homogneas (reducibles a
varia- bles separables) ; exactas; con factores integrantes
(reducibles a exactas), y lineales.
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69. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES Ecuaciones
diferenciales de variables separables Definicin 2.1. La ecuacin
diferenc-ial de variables separables es de la for- ma siguiente:
f(x) dx + g(y) dy = O, donde cada diferencial tiene como
coeficiente una funcin de su propia variable, o una constante.
Mtodo de solucin : integracin directa. f(X) dx + f g(y) dy = O 67
Cuando no pueden separarse las variables de una ecuaClOn y no
pueden agruparse en trminos, en cada uno de los cuales estn las
mismas variables, habr que usar otros mtodos para encontrar la
solucin. EJEMPLO 1 Resolver eX +Y y' = x, con las condiciones
iniciales y = ln 2 cuando x = O. 1) Separar las variables usando
las propiedades de las funciones involu- cradas y los artificios
algebraicos necesarios: dy eX eY - - =x; eY dy =x e-X dx. dx 2)
Integrar cada miembro de la ecuacin: f eY dy = f x e -x dx eY =- x
e-x - e-x + c, solucin general en la forma implcita porque no est
despejada la variable dependiente y, pero: y =ln Ie- X (- x - 1) +
c , solucin general en la forma explcita: y =f(x). 3) Aplicar las
condiciones iniciales: y(O) =ln 2 en la solucin general, ya sea en
su forma explcita o implcita. http://carlos2524.jimdo.com/
70. 68 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En la implcita:
e1n 2 = - O- 1 + e 2=-1+e e=3 .. eY = - x e-x - e-x + 3, solucin
particular. En la explcita: In 2 = In 11(0 - 1) + e 1; aplicando
exponencial, tenemos: 2=-1+e e=3 :. y = In 1e-X (- x - 1) + 31
EJEMPLO 2 Resolver xyy' =1 + y2, para y =3 cuando x =1 o bien y(l)
=3. 1) Separar variables: dy xy--= 1 + y2 dx y dy = dx 1 + y2 X 1
2) Integrar: 2 In 11 + y2 1= In 1x I + ln Ie I Observacin. La
constante de integracin no pierde su arbitrariedad, su carcter de
cualquier nmero, si est afectada por funciones. As, ln lel = e
porque el logaritmo natural de una constante es tambin una
constante; del mismo modo se puede usar eC , e2 , sen e, eosh e,
etc. Usando las propiedades de los logaritmos (por eso introdujimos
"In lel"): In 11 + y2 1'h = In 1ex 1 Aplicando exponencial: I 1 +
y2 1'h = 1ex 1 Elevando al uadrado: 1 + y2 = ex 2 CX2 _ y2 = 1,
solucin general implcita. http://carlos2524.jimdo.com/
71. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 3) Aplicar
las condiciones iniciales y(1) = 3 EJEMPLO 3 e(l) - 9 = 1 e = 10
1Ox! - y2 = 1, solucin particular. Resolver: sen x ea~y dx - eas x
sen y dy = O 1) Separar variables: sen x sen y d --dx - - - y = O
eas x eas2 y 2) Integrar trmino a trmino: 1 - ln leos xl - -- =e
eas y ln leos xl + see y = e, solucin general. En este caso que no
nos dieron condiciones iniciales, vamos a comprobar la solucin.
Derivando implcitamente: o EJEMPLO 4 Resolver: sen x - - - dx + see
y tan y dy = O easx sen x 1 sen y - --dx+-- - - dy=O eas x eas y
eas y - sen x cas2 y dx + eas x sen y dy =O sen x eos2 y dx - eas x
sen y dy = O O 1 e-x + y' = + 6x para y(O) =e -..;xr+l 69
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72. 70 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 1) Separar
variables: ECUACI dy dx 1 ..J r + 1 + 6x - e-X cin, punto A. y , B.
Y, C. y , D. y , Soluci opcin La op constan la absc l Ejercicios
Hallar la 1. y' = 2. y' = 3. y' =8 4. y' =x 5. y' = 6. y' = ( 7. y'
= e dy _ ( 1 )..JX2+1 + 6x - e-X dx 2) Integrar: y = senh=' x + 3r
+ e-X + e, solucin general explcita. 3) Aplicar condiciones
iniciales: e = e + 1. :. y = senh :' x + 3r + e-x + e + 1 solucin
particular. EJEMPLO 5 'Hallar una curva que pase por el punto (O,
-6), de tal forma que la pen- diente de la tangente en cualquiera
de sus puntos sea igual a la ordenada del punto ms 7 unidades.
Solucin: la primera derivada se representa geomtricamente por la
pen- diente de la tangente; aprovechando esta identificacin,
podemos plantear la ecuacin diferencial que cumple con la condicin
pedida: dy dx = Y + 7 Separando variables e integrando: dy --=dx
y+7 In Iy + 71 = x + e Aplicando la condicin de que la curva debe
pasar por el punto (O, - 6): In 1-6 + 71 = e, e = O; :. In Iy + 71
= x, o bien: y = e" - 7. http://carlos2524.jimdo.com/
73. 1. Y r =4x--6 2. y' = 1- 7r 3. y' = 8 + 2x - 3x2 4. ' 5 J Y
=x --+x X 2 (O,-6): 5. , 9r - 6 y - - r 6. y' = (4 + 3xl 7. y' =
e=:" + 2x R ORDEN 'cita. la pen- denada la pen- plantear ECUACIONES
DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES EJEMPLO 6 Escoger la opcin
que contiene la ecuacin diferencial, junto con su solu- cin, de la
curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto
es proporcional a la abscisa de dicho punto. A. y' = ky, Y = ce'"
B' x! . y =x, y =- + e 2 rc. y' = kx, y = k - + e 2 D. y' =~, y = k
ln [x] + e x Solucin: la opcin correcta es la e, el resultado es
una parbola. La opcin A plante el problema con respecto a la
ordenada y no a, la abscisa. La opcin B no expresa correctamente el
enunciado porque le falta la constante de proporcionalidad. La
opcin D considera el recproco de la abscisa en vez de la abscisa
que pide ve] enunciado del problema. Ejercicios 2.1 Hallar la
solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales: Solucin
general y = 2r - 6x + e 7 y=x--x3 +c 3 y = 8x + x2 - x! + e x6 1 x2
y=-+-+-+c 6 x 2 6 Y =9x + - + e x 1 Y = -(4+3xy + e 15 1 Y = - -
e-3x + x2 + e 3 71 http://carlos2524.jimdo.com/
74. 72 8. y' = 2 cos 5x ds 9.--dt - - sen 3t ds 10. - = lnt + 4
dt t ds 11. --2-~ d - yS , t 12. dy _ Vx+x dx - ...y-y 13. y' =
3r..Ji6+ y2 Y X3~ 14. y' = y3 x_y 15. y' = e 4 X+Y 16. y' = e y 17.
y' = 1 + x2 y2 8 '- ~1y_ y1 _ X cos' x 19. y' = -y Y 20. y' =
.,.;-T+7 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2 y = -sen 5x + e 5
1 s = -cas 3t + c 3 s = t ln t - t + 2t2 + e s = (t + cY 4y3/2 _
3y2 = 4xJ/2 + 3x2 + e .J 16 + y2 = x3 + c 2 y4 = _ (x4 _ 1f/2 + e "
3 eY = e" + e 4ex + e-Y = e ln y = tan _1 x + e 1 - + sen=! x = c y
1 y2 = X + - sen 2x + c 2 In y = senh_1 x + e En los ejercicios
siguientes, hallar la solucin particular correspondiente a las
condiciones iniciales dadas. 21. y' = 4 - 9x2 - 6x5 22. y' = 4 -
9x2 _ 6x5 23 ' _ 6x -12 Y - x2 y(I) = 2 y(I) = O y(I) = 20 Solucin
particular y = 4x - 3x3 - x6 + 2 Y = 4x - 3x3 - x6 12 Y = 6lnx + -
+ 8 x 24. y , dr 25. di dr 26. di 27. y' = 28. y' ~i 29. y' = 30.
y' = 31. y' = 32. y' = 33. y' = 34. y' = 35. y' = Escog cin dife
36. y' = http://carlos2524.jimdo.com/
75. ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 73 24. y'
= e4X _ 5 sen x dr 1 1 25. - = - Gas -t dt 2 2 dr 26. - = 2 sen t -
e- t dt 27. y' =..:.y xVX2 - 1 28. y'= - - - - Y 29. y' =ln x - 9X2
30. y' = eX cas2 y e- X 31. y' = - - sen y y2 32. y'=--- 1 + X2 33.
y' =e3x + 2Y , Gas2 x . 34. y = - -y2 35. y' = Y 1 2 - x y(O) = 5
r(7t) =O reO) = 4 y(1) =O y(- 1) = 1 y(1) =7 7t y(O) =- 4 y(I) = O
4 y(I) =- -7t y(O) = O y(7t) = - 1 y(O) =1 1 1 Y = - x + 5 Gas x -
- 4 4 1 r = sen -t-1 2 r = - 2 Gas t + e- t + 5 y =x 1n x - x - 3x3
+ 11 tan y =eX 1 Gas y = e-X + 1 - - e 1 - = - tan- I x y 2e3x +
3e-2Y =5 4y3 = 6x + 3 sen 2x - 4 - 67t 1n y =tanh- I x Escoger la
opcin que contiene la solucin general o particular de la ecua- cin
diferencial dada: 1 2 A. eY =- eX , solucin general 2 1 2 B. eY =-
eX + 4, solucin particular 2 1 2 C. eY =- eX, solucin particular 2
1 2 l ' lD. eY = - eX + G, so ucion genera 2
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76. 74 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 37. 10 xy y' = 1 _
y2 38. y ln y y' - ln x =O 39. dx = XVX2 -16 dy 40. (1 - ln x) dx +
(1 - ln y) dy =O A. 1 - y2 =ex- l / 5 , solucin general B. 1 - y2
=X - l / 5 + e, solucin gene- ral C. ln 11 - y2 1_ 5 = X + e,
solucin general D . 1 - y2 =X- l / 5 , solucin general para y(l) =
1 y2 A. - ln y = x ln x - x + 1 2 y2 1 B. -ln y - - y2 =x ln x - x
+ e 2 4 if 1 3 C. - ln y - - y2 =x ln x - x + - 2 4 4 D. y ln y - y
=x ln x - x para y(4) =O A. x =4 see 4y + e B. x = 4see 4y C. x
=4eos4y y2 D. ln(x + VX2 - 16) =- + ln4 . 2 para y(e) =e A. x ln x
+ y ln y =2e B. x(2 - ln x) + y(2 - In y) = 2e C. x - x ln x + y -
y ln y =O D. 2x - x ln x + 2y - y ln y =O
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77. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS 41. y' + 3y + 5 = O A.
(ce - X - 5)/3 B. (ce - 3X - 5)/3 C. (e - 3X + e - 5)/3 D. (e- X +
c - 5)/3 Respuestas: 36. D 37. A 38. e 39. B 40. B 41. B Ecuaciones
diferenciales homogneas Definicin 2.2. Polnomios homogneos son
aquellos en los que todos los trminos son del mismo grado. EJEMPLO
1 X2 Y + 8xy2 _ x3 + y3 La suma de los exponentes del primer trmino
es 2 + 1 = 3, lo mismo para el segundo 1 + 2 = 3, por tanto los
cuatro trminos son de grado 3. EJEMPLO 2 x Y Z2 - r y2 es un
polinomio homogneo de grado 4. Definicin 2.3. La ecuacin
diferencial homognea es de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy =0,
donde M y N tienen la propiedad de que para toda t > 0, la
sustitucin de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del
mismo grado n. M(tx, ty) = tn M(x, y) N(tx, ty) =tn N(x, y), n r::
R Por ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de
variables separables mediante sustituciones apropiadas. 75
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78. 76 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 3
Determinar si la funcin f(x, y) =2VxY+ x es homognea, si lo es, in-
dicar su grado: f(tx, ty) =2V(tx) (ty) + tx =2tVXij + tx = t[2yxy +
x] como f(tx, ty) =tn f(x, y), n E R, -? la funcin es homognea y de
grado 1. EJEMPLO 4 Sea la funcin f(x, y) = -vx+1.i; averiguar si es
homognea y su grado. f(tx, ty) = 'tx + ty = yt(x + y) =t1 / 2
-vx+1.i 1 como f(tx, ty) =t1 / 2f(x, y), la funcin es homognea y de
grado - . 2 EJEMPLO 5 Sea la funcin f(x, y) =x3 + x2y + y; vamos a
ver si es homognea y su grado. f(tx, ty) =(txl + (txY (ty) + ty =t3
x3 + t3 x2y + ty =F ef(x, y); la funcin no es homognea. EJEMPLO 6
X2 + y2 Determinar el grado de la siguiente ecuacin: y' =---xy Sean
M(x, y) =X2 + y" y N(x, y) =xy entonces M(tx, ty) =(Lx? + (tyj2
=t2(X2 + y2) es de 20. grado y N(tx, ty) =(tx) (ty) =t2xy es de 20.
grado; la ecuacin es homognea de . orden 1.
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79. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS Definicin 2.4. Las
ecuaciones diferenciales homogneas tambin tienen la siguiente
forma: dy - + g(u) =O donde u =f(x, y). dx 77 Mtodo de solucin:
usando sustituciones algebraicas apropiadas, se con- vierten en
ecuaciones de variables separables. Una de las ms comunes es:
EJEMPLO 7 y - = v ~ y = vx x Resolvemos la ecuacin diferencial (X2
+ y2) dx - xy dy =O Usando y = vx y dy = vdx + xdv Dividiendo entre
r Separando variables: Integrando: (X2 + dr)dx =vr(vdx + xdv) (1 +
'l} ) dx =v(vdx + xdv) (1 + v2 - v2 ) dx =v x dv dx -- = vdv x v2
ln !x! =- + c 2 y 1 y2 Como v=- .~ ln !x! = _. - + c :r 2 X2
Entonces: y2 ln !x! =- . + c. 2X2 http://carlos2524.jimdo.com/
80. 78 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EJEMPLO 8 Resolver
(x + y) dx + (x + y - 4) dy = O para y = O cuando x = - 1 Usando v
= x + y -+ y = v - x y dy = dv - dx vdx + (v - 4) (dv - dx) = O vdx
+ (v - 4) dv - (v - 4) dx = O Separando variables: (v-4)dv=-4dx
Integrando: v2 -- 4v = - 4x + e 2 v2 - Bv = - Bx + e Com~: v = x +
y .-+ (x + yf - B(x + y) = - Bx + e :. (x + y f - By = e Aplicando
condiciones iniciales: (- 1f - O = e -+ e = 1 . (x + y f - By = 1.
ECUACI 6. (y 7. x(x 8. xy , 9. xy , 10. (y 11. (7x 12. (3y2 13.
(2xy + (y 14. (2xy + (2 15. y' = 16. r- dy 17. - dx 18 dy dx 19. (r
+ 20. (r + Encon dadas: 21. (3xy2 para 22. (3xy2 para Ejercicios
2.2 Hallar la solucin general de las siguientes ecuaciones
diferenciales: Solucin general: 1. x y' = y - x y = xln~ x 2. xy' =
y + x 3. (x - y) dx + (x - y + 1) dy = O y = x ln e x 2 (x + y) =
ln e (2x - 2y + 1) 4. y' = y2 + r 2xy 5 dy x . d=-+~x y x y2 _ x2 =
ex 2 Y = 2ln Ixl + e x2 http://carlos2524.jimdo.com/
81. ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS 6. (y + -Jr + y2) dx = x
dy 7. x (x + y) dy = (r + y2) dx 8. xy' - y = rex 9. xy' = X2 sen x
+ y 10. (y + x) y' = x - y 11. (7x + 2y)y' =-2x -7y 12. (3y2 + r)y'
+ 2xy + 3X2 =O 13. (2xy + X2 + 3y2) y-' +(y2 + 2xy + 3x 2 ) =O 14.
(2xy + 2y2 + X2 + y2) y' + (2x2 + 2xy + X2 + y2) =O 15. , - 3y - 4x
y - - 2y - 3x 16. r - y2 =xy y' 17. dy = y - x + 1 dx y - x -6 dy
18. dx x+y +2 x+y - 4 19. (r + 2xy) y' = - 3X2 - y2 - 2xy 20. (X2 +
2xy) y' =- 2y2 - 3xy ln x = senh_1 !!..- + c x y y - - = ln c x (J
- -y x x y = - x cas x + c x y2 + 7xy + r = c (y + x) (y2 + r) =oC
(y - x) (y - 2x) = c (y - xl - 12y - 2x = c y =3 ln Ix + y - 1 I+ x
+ c X3 + x2y + xy2 = C x2y2 + X3y =C 79 Encontrar la solucin
particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas: 21.
(3xy2 + x3) y' =3y3 + x2y para y(J) =2 22. (3xy2 - x3) y' =3y3_ x2y
para y(l) = O Respuestas: y = 2x y3 + x2y =JOx3 y=O
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82. 80 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 23. , y-x+8 y
=---- y-x-l para y(l) = -2 Respuestas: (y - xy - 2 (y - x) = 18x -
3 (y - xy + 14y + 4x = 9 y eX / Y = 1 x eX / Y = e 1t Y = - eCOS
Y/X 2 para y(l) = O ln (x + y) + x - 2y = 1 xsen~ = 1 x Y 1t Y
sen-=- x 2 Escoger la opcin que contiene la solucin particular de
la ecuacin dife- rencial dada: 24. y-x-2 y' = y - x + 7 1 1 para
y("2) ="2 para y(1) = O 25. (y - x)y' + y = O para y(O) = 1 26. ry'
= y2 + xy para y(l) = 1 27. (X2 + xy sen ~)y' = y2 sen.!!.... x x
para y(l) = ~ 2 28. {1 - 2 (x + y)] y' + x + y + 1 = O Sugerencia:
v = x + y 29 y, Y Y x Gas - y = y Gas- - x seri - x x x para y( 1)
= 1t/2 30. (xYGas~ + x2sen~)y' = y2Gas~ x x x para y(l) = ~ 2 31. x
(eY/x - 1) y' ~ eY/X (y - x) A. Y = e1J / X + 1 B. C. D. No se 32.
x esen Y1 A. B. C. D. 33. y' = A. x-y B. x-y C. x-y D. x-y A. xy2 +
~ y2 B. -= ln x2 y2 C. -= in x2 D. y2 + xy 35. (2x + 3 A. 3y' + 4x
B. No pue gnea. http://carlos2524.jimdo.com/
83. ER ORDEN 18x - 3 =1 cuacin die- o ECUACIONES DIFERENCIALES
HOMOGNEAS B. y = x eY / x - 1 C. No puede usarse cambio de
variable. D. No se puede integrar por los mtodos directos. 32. x
ese" y/x GOs!!.... y' = r -/-y ese" y/x GOs!!...- x x para y(l) = O
A. x = ese" y/x -/- 1 B. x = e,eny/x - 2 C. x = ese" y/x D. x =
e,eny/x - 1 33. y' = y - 2x -/- 1 Y -2x-J para y(O) = 2 A. x - y -
2In 13 - y -/- 2x 1 = -2 B. x - y-/-2 In 1 y - 2x - 1 1 = - 2 C. x
- y-/-2 In 1 3 - y -/- 2x 1 = G D. x - y-/-2 In 1 y - 2x - 1 1 = G
34. (x -/- 2y) y' = - y - 2x para y(-2) = 2 A. xy2 -/- ry -/- x' =
G y2 Gr B. -=ln x2 2y -/- X y2 4r C. -=ln x2 2y -/- x D. y2 -/- xy
-/- x2 = 4 35. (2x -/- 3y) y' = 2 (x - y) para y(-l) = -/-1 A. 3y2
-/- 4xy - 2X2 -/- 5 = O B. No puede aplicarse la sustitucin y = vx
porque la ecuacin no es homo- gnea. 81
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84. 82 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN C. No puede
aplicarse la sustitucin x - y =v porque la ecuacin no es ho-
mognea. D. 3y2 + 4xu - 2X2 = -3. Respuestas: 31. B. La opcin A no
consider la constante de integracin. La opcin e niega el hecho de
que s puede usarse el cambio de variable y = vx. eV _ 1 d dx d . .
dLa D opina que v = - - no pue e llltegrarse, Sien o que ya v -ev x
es de variables separables y la integracin es inmediata. 32. C. En
las opciones A, B y D se aplicaron mal las condiciones iniciales.
33. A. La opcin B no tom la integral correspondiente al diferencial
de v. En la opcin e no se aplicaron las condiciones iniciales. La
opcin D contiene los errores de las opciones B y C. 34. D. En la
opcin A faltan las condiciones iniciales. En las opciones B y e hay
error en la integracin de la variable v. 35. D. En la opcin A estn
mal aplicadas las condiciones iniciales. La op- cin B ignora que la
ecuacin s es homognea y permite el uso de y = vx. La opcin e
contempla una sustitucin no apropiada. Ecuaciones diferenciales
exactas Definicin 2.5. Dada la funcin z =f(x, y), se dice que la
expresin dz = fx dx + fy dy es su diferencial total. Donde fx y fy
son las derivadas parciales de la funcin f (x, y), con respecto a
cada una de las dos variables independientes; adems, suponemos que
estas derivadas parciales son continuas en una regin R del plano
xy. EJEMPLO 1 Sea z = 4ry - 2xy3 + 3x -+ dz = (8xy - 2y3 + 3) dx +
(4r - 6xy2) dy es el dif.erencial total de la funcin z.
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85. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 83 EJEMPLO 2 Sea z = eX /
Y + xy 1X ~ dz = (- exflJ + y) dx - (- eX / Y - x) dy y y2 es el
diferencial total. Si tomamos el lado derecho de la expresin y lo
igualamos a cero, entonces: Definicin 2.6. La igualdad M(x, y) dx +
N(x, y) dy = O es una ecuacin diferencial exacta ~ el primer
miembro es una diferencial total. Es decir: Si df = fx dx +fy dy ~
f"dx + fydy = O es ecuaClOn diferencial exacta y fr = M (x, y), fy
= N (x, y). Encontrar la solucin de una ecuacin dife- rencial
exacta es hallar una funcin f (x, y) tal que su diferencial total
sea exac- tamente la ecuacin diferencial dada. Usando la notacin de
la diferenciacin parcial, tenemos: , of M=--, ox N=~ oy Si volvemos
a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otra
var.iable: . oN ox Por el clculo sabemos que si las derivadas
parciales son continuas entonces: , Esto significa que: oM oy oN ox
Por tanto, si la ecuacin es exacta se cumple esta condicin. Por f
so esta- bleceremos el siguiente teorema.
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86. 84 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Teorema 1. La
condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin dife- rencial M
(x, y) dx + N (x, y) dy = O sea exacta es que: oM oy oN ox
ECUA'CIONES As, en est el teorema La explicacin anterior demuestra
el teorema. Para ver si una ecuacin diferencial es exacta lo
aplicamos inmediatamente. EJEMPLO 3 Sea la ecuacin diferencial: x
sen y dx + y cos x dy = O. Es exacta? Sean M = x sen y y N = Y cos
x oM.~-- = x cos y, oy oN = _ y senx ox Mtodo de s 1) Dada la e 2)
Aplicamos fx = M(x, 3) Integramo f= fMd 4) Al resulta con respec
ot, =- f oy 5) Igualamos 6) Integramos Como x cos y *- -y sen x, no
es exacta. fx= M( EJEMPLO 4 Averiguar si la ecuacin diferencial e"
dx +x eY dy = Oes exacta M N oM _ eY ---- - , oy oN _ e"-- , ox
EJEMPLO Resolver la (6xy - 2y2) 1) M = 6xy M; =6x Es exact Como My
= Nx = e", s es exacta. 2) Existir cin; to EJEMPLO 5 Dada la
eouacin diferencial x dy - y dx = O, aplicar el teorema para pro-
bar que no es exacta. Mx= 1, Ny = -1, Mx*- N Si intercambia.nos los
diferenciales, las derivadas parciales deben obtenerse con respecto
a la variable independiente que no est multiplicando a la funcin.
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87. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS A ' M N d oM oN . diSI, en
este caso =x, = - y, en vez e tomar - - y -- como In ca oM oN el
teorema, tomamos -- y --o ox oy Mtodo de solucin 1) Dada la ecuacin
diferencial vemos si es exacta. 2) Aplicamos la definicin: fx =
M(x, y) o 3) Integramos con respecto a x o con respecto a y f= fMdx
4) Al resultado lo derivamos con respecto a y o fy =oy f M dx o o
5) Igualamos el nuevo resultado a N o a M. 6) Integramos por ltima
vez la ecuacin. EJEMPLO 6 Resolver la siguiente ecuacin diferencial
(6xy - 2y2) dx + (3X2 - 4xy) dy = 0, si es exacta. 1) M = 6xy -
2y2, N = 3X2 - 4xy, M y =6x-4y, Nx =6x - 4y. Es exacta porque My =
N:r oy ox fy = N(x, y) f = f Ndy con respecto a x ofx=- f N dy ox
2) Existir una funcin f tal que fx ~ M(x, y) y fy = N(x, y), por
defini- cin; tomamos cualquiera de las dos igualdades, por ejemplo:
fx=M(x,y) ~ fx=6xy-2y2 85 http://carlos2524.jimdo.com/
88. 86 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 3) Integrando con
respecto a x J fx = J (6xy - 2y2) dx f = 3ry - 2Xy2 + f(y) La
constante arbitraria de integracin ser una funcin de y, puesto que
y funge como constante en esta integral. 4) Derivando con respecto
a y: fy =3r - 4xy + rey) 5) Sabemos que fy = N(x, y) por definicin,
entonces: fy =3r -4xy Como dos cosas iguales a una tercera son
iguales entre s: 3X2 - 4xy + rey) = 3;(1 - 4xy ~ rey) = O 6)
Integrando: f(y) =c. .:. La solucin es: f(x, y) = 3ry - 2xy2 + c o
3ry - 2xy2 + c =O o bien 3x2y - 2xy2 =c. La comprobacin se reduce a
encontrar el diferencial total de la fun- cin solucin. Obtenemos el
mismo resultado, si en vez de tomar la ecuacin fa: = M(x, y),
tomamos fy = N(x, y). EJEMPLO 7 Verificar la solucin del problema
del ejemplo 6, tomando fy = N(x, y): 1) Vimos que My = Nx 3)
Integrando con respecto a y: Jfy= J(3X2-4xy)dy t =3x2y - 2xy2 +
f(x) http://carlos2524.jimdo.com/
89. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 4) Derivando con respecto
a x: fx = 6xy - 2y2 + f'(X) 5) fx =6xy - 2y2 + f(x) =6xy - 2y2
,~f'(x) =O 6) Integrando: f(x) = e ... 3~y - 2xy2 = e es la misma
solucin obtenida anteriormente. EJEMPLO 8 Resolver la siguiente
ecuacin diferencial, si es exacta: (2y - 2xy3 + 4x + 6) dx + (2x -
3~y2 - 1) dy =O para y(- 1) =O 1) M y =2 - 6xy2 =Nx , s es exacta
2) fx = M(x, y) por definicin, entonces: fx = 2y - 2xy3 + 4x + 6 3)
Integrando con respecto a x: f = 2xy - ~y3 + 2~ + 6x + f(y) 4)
Derivando con respecto a y: fy =2x - 3xV + f(y) 5) fy =N(x, y)
2x-3xV+f(y)=2x-3xV-l ~f(y)=-l 6) Integrando: f(y) = - y + e ... la
solucin es: 87 http://carlos2524.jimdo.com/
90. 88 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2xy - ry3 + 2X2 +
6x - y = e; para y( -1) = O 2(- q + 6(- 1) = c c=-4 2xy - ry3 + 2X2
+ 6x - y + 4 = O, es la solucin particular. EJEMPLO 9 Resolver (2x
+ 6ry) dx + (3x3 - 2xy) dy = O 1) M = 2x + 6ry N = 3x3 -2xy Nx=
9r-2yM = 6x2 My*Nx .'. No es exacta Observando la ecuacin, vemos
que puede dividirse entre x *O Y queda: (2+ 6xy) dx + (3r - 2y) dy
= O ~ My = 6x = N ya es exacta 2) i; = M(x, y) fx = 2 + 6xy 3)
Integrando con respecto a x: f = 2x + 3ry + f(y) 4) Derivando con
respecto a y: i,= 3r + rey) 5) fy- N(x, y) 3x2 + f(y) = 3r - 2y ~
f'(y) = - 2y 6) Integrando: f(y) = - y2 + c .". 2x + 3x2y _ y2 = c.
Solucin que satisface a las dos ecuaciones diferenciales. Ejerci
ECUAC Deter resolve 1. 2. Re 4. (- Re 5. (eX Re 6. (y Re 7. (1 Re
8. (1 Res, 9. y(l Re 10. Re http://carlos2524.jimdo.com/
91. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 89 Ejercicios 2.3
Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas;
si lo son, resolverlas. 1. (2x - 5y + 2) dx + (1 - 6y - 5x) dy = O
Respuesta: x: + 2x - 3y2 + Y - 5xy = G 2. (2xy3 - 4y + 4x - 3) dx +
(3xV - 4x) dy = O Respuesta: X2y3 - 4xy + 2x: - 3x = G 3. (16xy -
3x2 ) dx + (BX2 + 2y) dy = O Respuesta: Bx:y - x3 + y2 = G 4. (-
20xy2 + 6x) dx + (3y2 - 20X:y) dy = O 5. (eX + y) dx + (eY + x) dy
=O Respuesta: eX + xy + eY =G y 1 6. (y - -eIlIX)dx + (x +
-eIlIX)dy =0 X2 x Respuesta: xy + eYIX =G y 1 7. (1 - -; eYIX) dx +
(1 + _ .el/IX) dy = O X' x Respuesta: el/Ix + y + x = G 8. (1 - -~
el/IX) dx + el/Ix dy = O x Respuesta: xe"" = e ecuacin diferencial
no exacta. 9. y(l + GOS xy) dx + x(l + GOS xy) dy =O Respuesta: xy
+ sen xy = G 10. (6xy3 + y sen xy + 1) dx + (9xV + xsenxy) dy = O
Respuesta: 3X2y3 - GOS xy + X = e http://carlos2524.jimdo.com/
92. 90 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 11. (3x! + Y Gas
xy) dx + (3y2 + X Gas xy) dy = O Respuesta: x3 + sen xy + y3 = e
12. (4x3 - 4xy2+ y) dx + (4y3 - 4x2y + x) dy = O Respuesta: (X2 -
y2Y+ xy = G y y 1 Y 13. (sen y + - sen -) dx + (x Gas y - - sen -)
dy =O x! x x x y Respuesta: x sen y + Gas - = G X 14. (y Gosh xy +
2x) dx + (x Gosh xy - 2y) dy =O Respuesta: senh xy + X2 - y2 = G
15. eX cos y dx - x eX sen y dy = O Respuesta: No es exacta 16. eiX
Gas y dx - eX sen y dy = O Respuesta: eX Gas y = - 1 17. [Gas (x +
y) - l} dx + Gas (x + y) dy = O Respuesta: sen (x + y) = 1 + x 18.
eX sen y dx + (eX Gas y + eY) dy = O Respuesta: eX sen y + eY =1
19. (2x sen y + y eXY ) dx + (x Gas y + eXY ) dy =O Respuesta: No
es exacta 20. (2x sen y + y eXY ) dx + (x" Gas y + x eXY) dy = O
Respuesta: r sen y + e:ry =1 x 21. (-..JY+ 1) dx + (-- + 1) dy = O
2yy Respuesta: x vy+ x + y = 7 para y(O) =1t para y(O) =1t 1t para
y(O) =- 2 para y(O) = O para y(J) = 1 para y(1t) = O para y(1) = 4
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93. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 22. (4 + 5y) dx + (1 + 5x)
dy = O Respuesta: 4x + 5xy + y = O para y( - 1) = - 1 23. (1 - x )
dx + (1 - Y ) dy =O para YrO) =- 2 (X2 + y~y/2 (r + yzy/2 1 3
Respuesta: x + + y + - = O ,fx2 + y2 2 1 1 24. ( - + y) dx + (x - -
) dy =O para y(9) =1 2VX 2y3/2 1 Respuesta: vx+ xy + -- = 13 .,y -1
- y2 2y 25. ( . r - 1) dx + -x- dy = O Respuesta: 1 + y2 - r = 4x
26. Y Gas xy dx + (x Gas xy + sen y) dy =O Respuesta: sen xy - GOS
y + 1 = O 1 1 27. (- + 2x) dx + (- - 1) dy = O x y Respuesta: ln
Ixy I + X2 - y = O 1 1 28. (- + y eXY ) dx + (- + x eX!J) dy = O x
y Respuesta: ln Ixy I + eXY =e y y 1 Y 29. (2x- 2Gos-)dx+
(2Y+-Gos-)dy=O x x x x Respuesta: y2 + sen!!.- + X2 = 1 x 30 ( xy +
2x)dx + -Jl+?dy = O . ,fl +x2 Respuesta: y -J1 + r + X2 =6 para
y(l) = 2 para y(3) = O para y(1) = 1 1 para y(-) = 2 2 para y(1) =O
para y(O) = 6 91 http://carlos2524.jimdo.com/
94. 92 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Escoger la opcin
que contiene la solucin de la ecuacin diferencial dada: 1 x 31. (y
- -) dx + (x + -) dy = O Y y2 1 A. 1 +-y2 y B. xy- -= e x x c. xy
--= e y X2 -x;2 D. 1 - ln y + - + - = e 2 2y2 5 32. (2x - 4y)dx+(-
- -4x)dy=O y2 5 A. X2 - 4xy + - =e y 5 B. - - 4xy = O Y C. f:x:=- 4
5 D. X2 - 4xy + - + 18 = O Y 33. (eYX_ ~eY/x -1)dx + (eY/ x + 2y)dy
=0 x A. x eYX + y2 - X = O 1 YD. __ eY'X - _ eYX + 2x = e X2 r para
y(1) = 5 http://carlos2524.jimdo.com/
95. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS A. Y sen_1 x + ~ = e x B.
c. y sen-1 x + '!!.... = 1 x D. No es diferencial exacta y -x 1 35.
(cos-1 y - - eY!X) dx + ( ~ + - eY!X) dy = O X2 1 _ y2 X A. No es
ecuacin exacta B. c. X cos-1y + eY!X = e Respuestas: 93 31. C. La
opcin A no es la solucin sino la parcial de M con respecto a y o la
p'lrcial de N con respecto a x. La opcin B tiene un error de inte-
gracin. La opcin D tom fy = y _!....., en vez de f", = y - ~. y y
32. D. La opcin A no tom en cuenta las condiciones iniciales. En la
opcin B no se termin el proceso para encontrar fy. La opcin C da el
teo- rema My = N", = - 4 pero no es la solucin. 33. C. La opcin A
supone unas condiciones iniciales que no fueron dadas. La opcin B
representa My = N", pero no es la solucin. En la opcin D se tom mal
fx que debe ser eY!x - !!..- eY!X - 1. x 34. A. La opcin B contiene
My = NJ: pero no es la solucin. La opClOn C satisface a la ecuacin
diferencial pero no nos dieron condiciones ini- ciales, as que no
es la opcin correcta. La opcin D est incorrecta porque s es exacta.
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96. 94 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 35. C. La opcin A
es falsa, s es exacta. La opcin B representa My =N:x; 1 1 , , 'f x
1/pero no es a so ucion. La opcion D tomo x = + - eY x por .JI-y2 x
error. Ecuaciones diferenciales con factores integrantes Como se
vio en el ejemplo 9 de la seccin anterior, una ecuacin diferencial
que no es exacta puede convertirse en exacta mediante un factor
apropiado. Def~nicin 2.7 Si existe una funcin F (x, y) tal que F
(x, y) M dx + F (x, y) N dy = O es exacta, entonces F (x, y) se
llama fac- tor de integracin de la ecuacin diferencial Mdx + Ndy =
o. Conviene notar que una ecuacin diferencial no exacta puede tener
varios factores integrantes; es decir, puede convertirse en exacta
multiplicndola por 2 Y x 2 x,. xy, - , - , x y, etc. x y Mtodos
para encontrar el factor integrante F (x, y): 1) Por inspeccin de
la ecuacin diferencial suponemos una funcin que luego se prueba por
el teorema 1 de la pgina 84. 2) Si el factor es slo funcin de x ~
F(x) =e SP (X)d.:r My - Nx donde p(x) = N 3) Si el factor es slo
funcin de y ~ F(y) = e fp (Y )dy N:x; -My donde p(y) = --M--
EJEMPLO 1 Hallar el factor de integracin de la ecuacin: 3y dx + 4x
dy = O http://carlos2524.jimdo.com/
97. ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES Como My
=1= Nx, no es exacta. M=3y My=3 N =4x N~ =4 Observamos que es de
variables separables y su solucin es X3 y4 = e, pero debemos
encontrar su f.actor integrante. Sea F(x, y) = X2 y3 sugerido por
la forma de la solucin. ~ 3ry4 dx + 4X3 y3 dy = O ----- -----M N My
=12x2 l = Nx , ya es exacta, fx = 3ry4 f =xV + f(y), fy =4x3y3 + f
(y) =4X3 y3 rey) = O f(y) = e I ' Es la solucin que ya se haba
obtenido por el mtodo de variables se- parables. 95 Por tanto,
podemos usar la siguiente regla: Si la ecuacin diferencial .es de
la forma p y dx + q x dy =O, donde p, q E R ~ F(x, y) =xP- 1 yq-l
Si la ecuacin diferencial es de la forma y dx - x dy = O EJEMPLO 2
1 1 1 ~ - - -- son posibles factores integrantes. y2' X2' xy Hallar
el factor de integracin de: 4y dx - x dy = o. My =4 N_ =- 1, no
exacta. http://carlos2524.jimdo.com/
98. 96 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 1 Sea F(x, y) =-
xy 4 1 ~ -dx- -dy =0 x y -..- -.- M N M y = 0= Nx , ya es exacta. 4
fx=-x f =4ln x -1- f(y), I 1 fy = f (y) = -- y f(y) = -lny + lnc 4
In x - ln y = ln e que es el mismo resultado que obtenemos usando
separacin de variables. EJEMPLO 3 Encontrar el factor de integracin
de: 3x2y dx + y dy =O. My=3r, N",=O, probamos si F(x) = e Jp(y)dY
es factor de integracin. My - N r 3r p(x) = =-- no es funcin de x,
entonces buscamos: N y F(y) = e1p(y)dy con: N",-My p(y) =--M-::-' ~
F(y) = ef - dY / Y = e-tny =.!.- y *O Y 1 = - -, s lo es, y
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99. ECUACIONES DIFERENCIALES CON FACTORES INTEGRANTES
Multiplicando la ecuacin diferencial por este factor tenemos: 3r dx
+ dy =O N=I Ny = O, ya es exacta fx =3r, f =xJ + f (y), fy =l' (y)
=1, f(y) =Y + c EJEMPLO 4 . Resolver mediante un factor integrante:
x tan x dx - y cos x dy = O para y(O) = 2 M = x tan x N = - y cos x
Existir una F(x) o una F(y) que convierta en exacta esi
