1. terceraedicion MURRAY R SPIEGEL 2. ecuacrones diferenciales,
aplzcadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor matemtico y ex-profesor y
jefe, Departamento de Matemticas Rensselaer Polytechnic Institute
Hartford Graduate Center Traduccin: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc.,
Ingeniera Industrial, University of Pittsburgh PRENTICE-HALL
IHISPANOAMERICANA, S.A. M6xlco n Englewood Cllffs n Londres m
Sydney l Toronto n Nueva Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro
3. ecuaczones drjcerenciales~ aplicadas MURRAY R. SPIEGEL Consultor
matemtico y ex-profesor y jefe, Departamento de Matemticas
Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center
Traduccin: HENRY RIVERA GARCIA M. Sc., Ingeniera Industrial,
University of Pittsburgh PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Mbxico n Englewood Cliffs n Londres l Sydney H Toronto H Nueva
Delhi n Tokio n Singapur n Rio de Janeiro 4. ECUACIONES
DIFERENCIALES APLICADAS Prohibida la reproduccin total o parcial de
esta obra, por cualquier medio o rn&odo, sin autorizacin
escrita del editor. DERECHOS RESERVADOSOWS3, respecto a la primera
edicin en espafiol por: PRENTICE-HALL HISPANOAMERICANA, S.A.
Enrique Jacob No. 20, Col. El Conde C.P. 53500 NauCalPan de Juarez
. Edo. de Mxico. Miembro de la- Camara Nacional de la Industria
Editorial, Reg. Nm. 1524 Traducido de la tercera edicin en ingl6s
de APPLIED DIFFERENTIAL EQUATIONS Copyright @ MCMLXXXI by
Prentice-Hall Inc. ISBN O-13-234997-3 3456789012 E.C.-BE 86123457gO
Impreso en Mxico Printed in Mexico u oc1 PROGRAMAS EDUCATIVOS, S.A.
Calz. de Chabacano 65 Local A Col. Asturias Del. Cuauhtkmoc looo
1994 q 0 L 5. A mi madre 6. contenido PREFACIO . . XIII parte Z 1.
1.1 1.2 1.3 1 .4 + 2. 2.1 2 . 2 ecuaciones diferenciales ordinarias
1 CAPITULO UNO ECUACIONES DIFERENCIALES EN GENERAL Conceptos de
ecuaciones diferenciales Algunas definiciones y observaciones
Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial y de frontera
Soluciones generales y particulares Soluciones singulares
Observaciones adicionales relacionadas con las soluciones
Observaciones sobre existencia y unicidad Campo de direcciones y el
mtodo de las isoclinas CAPITULO DOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE
PRIMER ORDEN Y ORDINARIAS SIMPLES DE ALTO ORDEN 3 4 1. El m6todo de
separacin de variables 3 5 2. El mtodo de latransformacin de
variables 3 8 2 . 1 L a e c u a c i n homog6nea 3 8 2.2 Otras
transformaciones especiales 3 9 3. La idea intuitiva de exactitud 4
1 4. Ecuaciones diferenciales exactas 4 3 5. Ecuaciones hechas
exactas por un factor integrante apropiado 4 8 5.1 Ecuaciones
hechas exactas por factores integrantes que involucran una variable
4 9 vii 2 3 3 7 1 5 2 0 2 3 2 3 2 8 7. 5.2 5 . 3 6. 6.1 6 . 2 + 7 .
8. 1. 1.1 1.2 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. l l . 12.
13. 13.1 13.2 1 3 . 3 14. 14.1 14.2 1. 2. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 4
4. 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 VIII La ecuacin de primer orden lineal El
mtodo de inspeccin Ecuaciones de orden superior al primero que se
resuelven fcilmente Ecuaciones inmediatamente integrables
Ecuaciones con una variable ausente La ecuacin de Clairaut Revisin
de mtodos importantes 53 56 57 58 58 6 0 6 4 CAPITULO TRES
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y SIMPLES
DE ORDEN SUPERIOR 70 Aplicaciones a la mecnica Introduccin Las
leyes del movimiento de Newton Aplicaciones a los circuitqs
elctricas Introduccin Unidades La ley de Kirchhoff Trayectorias
ortogonales y sus aplicaciones Aplicaciones a la qumica y a las
mezclas qumicas Aplicaciones a flujo de calor de estado
estacionario Aplicaciones a problemas miscelneas de crecimiento y
decaimiento El cable colgante Un viaje a la Luna Aplicaciones
acohetes Problemas de fsica que involucran geometria Problemas
miscelneas en geometra La defleccin de vigas Aplicaciones a biologa
Crecimiento biolgico Un problema en epidemiologa Absorcin de drogas
en rganos o clulas Aplicaciones a la economa Oferta y demanda
Inventarios 71 71 7 1 82 82 8 4 8 4 8 9 9 5 101 1 0 6 1 ll 116 120
123 132 137 148 148 153 156 159 159 162 CAPITULO CUATRO ECUACIONES
DIFERENCIALES LINEALES 1 6 6 La ecuacin diferencial Ilneal general
de orden n Existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones
lineales iCmo obtener -Ia solucin complementaria? La ecuacin
auxiliar El caso de races repetidas El caso de races imaginarias
Independencia lineal y wronskianos iCmo obtener una solucin
particular? Mtodo de IOS coeficientes indeterminados Juswicacin al
mtodo de coeficientes indeterminados. El mtodo Aniquilador
Excepciones en el mtodo de los coeficientes Casos donde funciones
ms complicadas aparecen en el lado derecho 167 171 173 173 175 178
181 192 192 194 196 199 8. 4.5 El m&odo de variacin de
parmetros 4.6 Mtodos abreviados involucrando operadores - 5.
Observaciones relacionadas con ecuaciones con coefici.entes
variables . las cuales se pueden transformar en ecuaciones lineales
con coeficientes constantes: La ecuacin de Euler 6. Repaso de
mtodos importantes 2 0 2 2 0 7 2 1 5 2 1 8 CAPITULO CINCO
APLICACIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 2 2 3 1. 1.1 1.2
1.3 1 . 4 2 . 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 1 . 5 1.6
2. 3. 3.1 3 . 2 3 . 3 4 . 4.1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 Movimiento
vibratorio de sistemas mecnicos El resorte vibrante. Movimiento
armnico simple El resorte vibrante con amortiguamiento. Movimiento
sobre amortiguado y crticamente amortiguado El resorte con fuerzas
externas El fenmeno de resonancia mecnica Problemas de circuitos
elctricos 1 Problemas miscelneas El pndulo simple Oscilaciones
verticales de una caja flotando en un lquido Un problema en
cardiografa Aplicacin a la economa 2 2 4 2 2 4 2 3 2 2 4 0 2 4 3 2
4 6 2 5 0 2 5 0 2 5 2 2 5 3 2 5 5 CAPITULO SEIS S O L U C I O N D E
E C U A C I O N E S D I F E R E N C I A L E S P O R TRANSFORMADAS
DE LAPLACE 2 6 0 Introduccin al mtodo de las transformadas de
Laplace Motivacin para las transformadas de Laplace Definicin y
ejemplos de la transformada de Laplace Propiedades adicionales de
las transformadas de Laplace La funcin Gamma Observaciones
concernientes a la existencia de las transformadas de Laplace La
funcin salto unidad de Heaviside Funciones impulso y la funcin
delta de Dirac Aplicacin de las transformadas de Laplace a
ecuaciones diferenciales Solucin de ecuaciones diferenciales
sencillas. Transformadas inversas d e Laplace Algunos mtodos para
hallar transformadas inversas de Laplace Observaciones
concernientes a la existencia y unicidad de las transformadas
inversas de Laplace Aplicaciones a problemas fsicos y biolgicos
Aplicaciones a circuitos elctricos Una aplicacin a la biologa El
problema tautcrono-Aplicacin de una ecuacin integral en mecnica
Aplicaciones involucrando la funcin delta Una aplicacin a la teora
de control automtico y servorr,ecanismos 2 6 1 2 6 1 2 6 2 2 6 5 2
6 6 2 6 7 2 6 9 2 7 3 2 7 8 2 7 8 2 7 9 2 8 7 290 2 9 0 2 9 3 2 9 4
2 9 8 2 9 9 CAPITULO SIETE S O L U C I O N D E E C U A C I O N E S
D I F E R E N C I A L E S U S A N D O S E R I E S 3 0 4 1.
Introduccin al uso de serles 3 0 5 1.1 Motivacin para soluciones
con series 3 0 5 iX 9. 1.2 Uso de la notacibn sumatoria 3 0 7 1.3
Algunas preguntas de rigor 3 1 1 1.4 El m6todo de la serie de
Taylor 3 1 7 1.5 Mtodo de iteracih de Picard 3 1 9 2 . El m&odo
de Frobenius 3 2 2 2.1 Motivacin para el mtodo de Frobenius 3 2 2
2.2 Ejemplos usando el mkodo de Frobenius 3 2 6 3 . Soluciones con
series de algunas ecuaciones diferenciales importantes 338 3.1 La
ecuacin diferencial de Bessel 3 3 8 3 . 2 Ecuacin diferencial de
Legendre 3 4 8 3 . 3 Otras funciones especiales 3 5 0 + CAPITULO
OCHO FUNCIONES ORTOGONALES Y PROBLEMAS DE STURM-LIOUVILLE - 1. 1 .l
- 1.2 - 1.3 - 2. - 2 . 1 2 . 2 3 . 3.1 3 . 2 3.3 4 . 4.1 4.2 4.3
4.4 4.5 5 . 5.1 5 . 2 1 . 1 . 1 1.2 1.3 1.4 1.5 2 . Funciones
ortogonales Funciones como vectores Ortogonalidad Longitud o norma
de un vector. Ortonormalidad Problemas de Sturm-Liouville Motivacin
para los problemas de Sturm-Liouville. Eigenvalores y
Eigenfunciones Una aplicacin al pandeo de vigas Ortogonalidad de
las funciones de Bessel y Legendre Ortogonalidad de las funciones
de Bessel Ortogonalidad de las funciones de Legendre Funciones
ortogonales miscelneas Series ortogonales Introduccin Series de
Fourier Series de Bessel Series de Legendre Series ortogonales
miscelneas Algunos tpicos especiales Ecuaciones diferenciales as
mismo adjuntas El m&odo de ortonormalizacin de Gram-Schmidt 3 5
4 3 5 4 356 3 5 7 361 361 368 3 7 1 3 7 1 376 3 7 8 380 380 3 8 5
403 408 4 1 1 414 414 4 1 7 CAPITULO NUEVE LA SOLUCION NUMERICA DE
ECUACIONES DIFERENCIALES 4 2 0 Solucibn numrica de y=f(x. y) El
mtodo de pendiente constante o mtodo de Euler El mtodo de pendiente
promedio o mtodo modificado de Euler Diagramas de computador
AnBlisis de errores Algunas guas prcticas para la solucin numrica
El mtodo de Runge-Kutta 421 4 2 2 4 2 5 4 2 7 428 4 3 1 4 3 3 3 5 3
10. parte II sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
CAPITULO DIEZ SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y SUS
APLICACIONES 1. Sistemas de ecuaciones diferenciales 1.1 Motivacin
para los sistemas de ecuaciones diferenciales 1.2 Mtodo de
eliminacin para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales 1.3
El uso de operadores en la eliminacin de incgnitas 1.4 Mtodos
abreviados de operador 2 . Soluciones de sistemas no lineales de
ecuaciones diferenciales ordinarias 3 . Ecuaciones diferenciales
expresadas como sistema de primer orden 4 . Aolicaciones a la
mecnica 4.1 El vuelo de un proyectil 4.2 Una aplicacin a astronoma
4.3 El movimiento de satlites y msiles 4.4 El problema de las masas
vibrantes 5 . Aplicaciones a las redes ekctricas 6. Aplicaciones a
la biologa 6.1 Concentracin de una droga en un sistema de dos
compartimientos 6.2 El problema de epidemia con cuarentena 7. El
problema depredador-presa: Un problema en ecologa 7.1 Formulacin
matemtica 7.2 Investigacin de una solucin 7.3 Algunas aplicaciones
adicionales 8. Solucin de sistemas lineales por transformadas de
Laplace 9 . Mtodo de las soluciones complementaria y particular 9.1
iCmo encontramos la solucin complementaria? 9 . 2 iCmo encontramos
una solucin particular? 9.3 Resumen del procedimiento438 439 439
441 443 446 448 449 452 452 461 465 470 476 481 481 484 488 489 490
497 498 500 502 506 507 + CAPITULO ONCE METODOS DE EIGENVALORES DE
MATRICES PARA SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 51Q 1.
El concepto de una matriz 5 1 1 1 . 1 Introduccin 511 1.2 Algunas
ideas simples 511 1 .3 Vectores fila y columna 5 12 1 .4
Operaciones con matrices 514 2 . Ecuaciones diferenciales
matriciales 521 3. La solucin complementaria 522 3.1 Eigenvalores y
egenvectores 523 3.2 El caso de eigenvalores reales distintos 524
3.3 El caso de eigenvalores repetidos 526 3.4 El caso de
eigenvalores imaginarios 527 3.5 Un problema algo ms complicado 529
Ki 11. 3 . 6 Independencia lineal y wronskianos 4 . La solucin
particular 5. Resumen del procedimiento 6. Aplicaciones usando
matrices 7. Algunos tpicos especiales 7.1 Ortogonalidad 7.2
Longitud de un vector 7 . 3 Eigenvalores y eigenvectores de
matrices reales simtricas 5 3 2 5 3 3 5 3 4 5 3 5 5 3 9 5 3 9 541 5
4 2ecuaciones dijkrenciales parciales 1. 1.1 1.2 1.3 1.4 2. 3. 3.1
Problemas que involucran vibraciones u oscilaciones. La cuerda
vibrante 3 . 2 Problemas que involucran conduccin o difusin de
calor. 3 . 3 Problemas que involucran potencial elbctrico o
gravitacional 3 . 4 Observaciones sobre la deduccin de ecuaciones
diferenciales parciales 1. 1.1 , 1.2 1.3 1.4 2. 2.1 2 . 2 2 . 3 3.
4. 4.1 4.2 C A P I T U L O D O C E E C U A C I O N E S D I F E R E
N C I A L E S PAFWALES E N G E N E R A L El concepto de una ecuacin
diferencial parcial Introduccin Soluciones de algunas ecuaciones
diferenciales parciales sencillas Significado geomtrico de las
soluciones general y particular Ecuaciones diferenciales parciales
que surgen de la eliminacin de funciones arbitrarias El mtodo de
separacin de variables Algunas ecuaciones diferenciales parciales
importantes que surgen de problemas fsicos CAPITULO TRECE S O L U C
I O N E S D E P R O B L E M A S D E V A L O R D E F R O N T E R A U
S A N D O S E R I E S D E F O U R I E R Problemas de valor de
frontera que involucran conduccin de calor El problema de Fourier
Problemas que involucran fronteras aisladas Temperatura de estado
estacionario en una placa semi-infinita Interpretacin de difusin de
la conduccin de calor Problemas de valor de frontera que involucran
movimiento vibratorio El problema de la cuerda vibrante La cuerda
vibrante con amortiguamiento Vibraciones de una viga Problemas de
valor de frontera que involucran la ecuacin de Laplace Problemas
miscelneas La cuerda vibrante bajo la gravedad Conduccin-de calor
en una barra con condiciones no cero en los extremos 5 5 0 551 551
5 5 1 554 5 5 5 560 5 6 9 5 6 9 5 7 3 5 7 7 5 7 8 5 8 1 582 5 8 2 5
8 8 5 9 0 593 59? 5 9 7 6oF 6 0 3 6 0 7 6 1 5 6 1 5 6 1 7 X i i 12.
4.3 4.4 La cuerda vibrante con velocidad inicial no cero
Vibraciones de una piel de tambor cuadrada: Un problema que
involucra series dobles de Fourier 4.5 Conduccin de calor con
radiacin 4 CAPITULO CA TORCE SOLUCIONES DE PROBLEMAS DE VALOR DE
FRONTERA USANDO FUNCIONES DE BESSEL Y DE LEGENDRE 1. 2 . Y-2.1 -
2.2 - 2.3 - 2.4 3. - 3.1 - 3.2 - 3.3 4 . 4.1 4.2 4.3 Introduccin
Problemas de valor de frontera que conducen a funciones de Bessel
El Laplaciano en coordenadas cilndricas Conduccin de calor en un
cilindro circular Conduccin de calor en un cilindro radiante
Vibraciones de una piel de tambor circular Problemas de valor de
frontera que conducen a funciones de Legendre El Laplaciano en
coordenadas esfricas Conduccin de calor en una esfera Potencial
elctrico o gravitacional debido a una esfera Problemas miscelneas
El problema de la cadena vibrante Potencial ektrico debido a un
alambre circular uniformemente cargado El problema de la bomba
atmica APENDICE DETERMINANTES RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS TABLAS:
DE TRASFORMADAS. .; DE INTEGRALES. BIBLIOGRAFIA MATEMATICOS QUE
HICIERON APORTES. . INDICE 619 620 625 . 6 3 2 6 3 3 633 633 634
637 638 646 646 648 651 655 655 659 662 A - l A - 7 T - l B - l M -
l I-1 X,II 13. pre fado El propsito de este libro es el de
proporcionar una introduccin a las ecua- ciones diferenciales y sus
aplicaciones para los estudiantes de ingeniera, ciencias y
matemticas. Para alcanzar este propsito, el libro ha sido escrito
con los siguientes objetivos: 1. Demostrar cmo las ecuaciones
diferenciales pueden ser tiles en la solucin de variados tipos de
problemas-en particular, mostrar al estudiante cmo (a) traducir
problemas a un lenguaje de ecuaciones diferenciales, esto es,
establecer la formulacin matemtica de problemas; (b) resolver la
ecua- cin diferencial resultante sujeta a condiciones dadas; y (c)
interpretar las soluciones obtenidas. Problemas elementales de
muchos campos diferentes e importantes se explican en relacin a su
formulacin matemtica, solucin, e interpretacin. Las aplicaciones
estn ordenadas de modo tal que los tpicos de mayor inters a los
estudiantes o al profesor pueden escogerse sin dificultad. 2.
Motivar a los estudiantes de modo que se consiga un entendimiento
de los tpicos y se desarrolle un inters. Esto se hace por medio de
ayudas como ejemplos, preguntas y problemas para discusin. 3.
Proporcionar relativamente pocos mtodos de resolver ecuaciones
dife- renciales que pueden aplicarse a un grupo grande de
problemas. Se ha enfa- tizado en un nmero mnimo de mtodos bsicos
que el estudiante encuentra normalmente en la prctica; otros mtodos
menos utilizados que sin embargo son de inters se pueden encontrar
en los ejercicios. 4. Proporcionar al estudiante que desee
investigar mtodos e ideas ms avanzados, o problemas y tcnicas ms
complicados una oportunidad para que lo haga. Esto se hace al
ofrecer cerca de 2.2K1 ejercicios ordenados en dificul- tad. Los
ejercicios tipo A son en su mayora fciles, requieren poca
originali- dad y estn diseados para propsitos de prctica. Los
ejercicios tipo B en- vuelven computaciones algebraicas ms
complicadas o mayor originalidad que xv 14. la del grupo A. Los
ejercicios tipo C estn dirigidos principalmente a comple- mentar el
material del texto; ellos exigen un alto grado de originalidad y
cono- cimiento, diseados para desafiar al estudiante. 5. Unificar
la presentacin a travs de un enfoque ordenado y lgico, ha- ciendo
nfasis en conceptos generales en vez de hacerlo en detalles
aislados. Por ejemplo, despus de introducir el muy simple mtodo de
separacin de va- riables para resolver ecuaciones diferenciales de
primer orden, se introducen los conceptos de transformacin de
variables y los de hacer una ecuacin exac- ta al multiplicar por un
factor integrante apropiado. Estos conceptos se usan luego en la
solucin de otros tipos de ecuaciones. 6. Separar la teora de las
ecuaciones diferenciales de sus aplicaciones para dar amplia
atencin a cada una. Esto se consigue presentando la teora y
aplicaciones en captulos separados, particularmente en los primeros
cap- tulos del libro. Esto se hace por dos razones. Primero, desde
un punto de vista pedaggco, parece no aconsejable mezclar teora y
aplicaciones en las etapas iniciales puesto que el principiante
generalmente encuentra difcil la formu- lacin matemtica de
problemas aplicados; cuando l se ve forzado a hacerlo, adems de
aprender tcnicas de solucin, generalmente ningn tema se do- mina.
Al tratar teora sin aplicaciones y luego ampliar gradualmente a las
apli- caciones (al mismo tiempo que se revisa la teora), el
estudiante puede apren- der mejor ambos tpicos puesto que la
atencin as se concentra en slo un aspecto a la vez. Una segunda
razn para separar teora y aplicaciones es la de facultar a los
profesores que deseen presentar un mnimo de aplicaciones de hacerlo
tan fcilmente sin tener que estar en la difcil posicin de tener que
saltar captulos. El libro est dividido en tres partes principales.
Parte 1 trata de las OXU- ciones diferenciales ordinarias, Parte II
con sistemas de ecuaciones diferen- ciales ordinarias y Parte III
con ecuaciones diferenciales parciales. ES til discutir los
captulos en cada parte. Parte 1, ecuaciones diferenciales
ordinarias. El Captulo uno da una pre- sentacin general a las
ecuaciones diferenciales incluyendo la motivacin por problemas de
valor inicial y de frontera junto con tpicos relacionados. En el
Captulo dos se discuten mtodos para resolver algunas ecuaciones de
primer orden y simples de alto orden. Estos mtodos se aplican en el
Captulo tres a campos tales como fsica (incluyendo mecnica,
electricidad, flujo de calor, etc.), qumica, biologa y economa. El
Captulo cuatro discute mtodos basi- COS para resolver ecuaciones
diferenciales lineales mientras que el Capt,ulo cinco usa estos
mtodos en problemas aplicados. En el Captulo seis se presenta la
transformada de Laplace y se hacen aplicaciones a ecuaciones
diferenciales e integrales. Entre los tpicos consi- derados estn la
funcin gamma, funciones de impulso y la funcin delta de Dirac, el
problema tautcrono y servomecanismos, El Captulo ocho, el cual es
opcional, introduce la idea de funciones orto- gonales y problemas
de Sturm-Liouville usando generalizaciones a partir de vectores en
dos y tres dimensiones. Algunos tpicos tratados en este captulo son
eigenvalores y eigenfunciones, y series ortogonales incluyendo
series de Fourier y de Bessel. En el captulo final de la Parte 1,
Captulo nueve, se presenta una intro- duccin a varios mtodos
numricos para resolver ecuaciones diferenciales. xvi 15. En este
captulo se incluye una discusin de diagramas de computador y ele-
mentos de anlisis de errores. Parte II, sistemas de ecuaciones
diferenciales ordinarias. ESta parte con- siste de dos captulos. El
primero de estos, el Capitulo diez, tiene e] propsito de servir de
introduccin general y de ofrecer varios mtodos pars resolver
ecuaciones diferenciales simultneas junto con aplicaciones tales
como el mo- vimiento planetario y de satlites, vibraciones,
electricidad y biologa. Inclu- dos en este captulo estn los
principios elementales del anlisis del plano de fase y estabilidad
motivados por el problema del depredador-presa en ecologa. El
segundo captulo, Captulo once, el cual es otro captulo opcional,
dis- cute mtodos matriciales para resolver sistemas lineales. Este
captulo mues- tra cmo conceptos tericos importantes tales como
eigenvalores y ortogonali- dad surgen de manera natural en el
proceso de solucin. Parte III, ecuaciones diferenciales parciales.
Esta parte est compuesta de tres captulos. El primero de estosel
Captulo doce, intenta servir de una introduccin general a algunas
de las ideas concernientes a las ecuaciones diferenciales
parciales. Estas incluyen deducciones de ecuaciones importan- tes
que surgen en varios campos tales como conduccin de calor, vibracin
y teora de potencial. El segundo captulo, Captulo trece, presenta
mtodos de series de Fourier para resolver ecuaciones diferenciales
parciales. Finalmen- te, el Captulo catorce, el cual es opcional
explora mtodos para resolver ecua- ciones diferenciales parciales
usando funciones de Bessel y de Legendre. Un aspecto importante de
este captulo es el problema de la bomba atmica el cual se trata
junto con otros tipos de problemas ms convencionales y
relat,ivamen- te inofensivos dados en los Captulos doce y trece.
Los captulos han sido escritos y ordenados para proporcionar un
mximo de flexibilidad. Por ejemplo, los Captulos seis y once se
pueden omitir sin nin- guna prdida de continuidad si ell profesor
decide no cubrir las transformadas de Laplace o mtodos matriciales.
Similarmente, en el Captulo diez el mtodo de la solucin
complementaria-particular para resolver sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales se ilustra sin el uso de matrices mientras
que en el Ca- ptulo once se trata con matrices. As, el profesor
puede usar uno u otro o am- bos para demostrar sus relaciones. Como
otro ejemplo, en el Captulo trece, el cual presenta mtodos de
series de Fourier para resolver ecuaciones diferen- ciales
parciales, las series de Fourier se introducen en una manera
histrica, esto es, como Fourier pudo haberlas descubierto. Como
resultado, est,e captu- lo es esencialmente independiente del
Captulo ocho, el cual trata con funcio- nes y series ortogonales,
proporcionndole al profesor la opcibn de omitir ente- ramente el
Captulo ocho. En casos donde pudiera existir alguna duda, los
captulos y secciones de captulos han sido marcados con un diamante
para indicar que son opcionales. Sin embargo, los captulos y
secciones que han si- do marcados como opcionales (tales como los
concernientes a las transforma- . das de Laplace, mtodos numricos y
aplicaciones particulares), no han sido marcados como tales debido
a que el cubrimiento u omisin de los tpicos in- cluidos
generalmente dependern de la clase de curso que se ofrezca, Ios
t.pi- cos a considerar, etc. Debido al alto grado de flexibilidad,
el libro se puede usar en una varie- dad de cursos empezando desde
un curso de uno a dos semestres e incluyen- do slo ecuaciones
diferenciales ordinarias o ecuaciones diferenciales ordina- rias y
parciales. El diagrama en la pagina xvi, el cual indica secuencias
XVII 16. posibles de captulos, puede ser til al profesor en la
planeacin de un curso. Por ejemplo, en un curso semestral que cubra
ecuaciones diferenciales ordi- narias y parciales, una posible
secuencia de captulos es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 13. Una doble
flecha indica que los captulos se pueden intercambiar. As, por
ejemplo, el Captulo siete si se desea podra preceder al Captulo
seis. El autor desea aprovechar esta oportunidad para expresar sus
agradeci- mientos a Esther y Meyer Scher por su continuado inters y
estmulo; al gru- po asesor de la Prentice Hall, especialmente a
Leslie Nade11 y E3ob Sickles, por su excelente cooperacin; y a los
siguientes profesores de matemticas quienes revisaron el manuscrito
y proporcionaron muchas sugerencias tiles: Ebon E. Betz, United
States Naval Academy; E. E. Burniston, North Carolina State
University; John Burns, Virginia Polytechnic Institute and State
Uni- versity; Ronald Hirschorn, Queens University; James Hurley,
University of Connecticut; R. N. Kesarwani, University of Ottawa;
Anthony L. Peressini, University of Illinois; William L. Perry,
Texas A & M University; Daniel Sweet, University of Maryland;
Henry Zatzkis, New Jersey Institute of Technology. * * * Fue un
gran placer enterarme de la traduccin al idioma Espaol de mi libro
Ecuaciones diferenciales aplicadas, tercera edicin. Espero que esto
dar una oportunidad a otros de disfrutar la belleza del tema de las
ecuaciones dife- renciales y sus numerosas aplicaciones. Murray R.
Spiegel XVIII h te--.-^- 17. POSIBLES SECUENCIAS DE CAPITULOS 1.
Ecuscionss diferenciales sn general 2. Ecuaciones diferenciales de
primer orden y amples de altoorden 1 3. Aphcacioner de ecacio**
Dife- c rencmlesde primer orden y emplesde orden supermr 9. La
soluci6n U- l 6. Funcionesorto- m6rics de .cu.cio- 4 c gonalss y
probls- - nes diferenciala masde Sturm- L,Oi,k l 11. MOtodosde
e,gwwaloresde matrices para Yr mrnas de ecuacic- nerdifsrencialss
lineales 13. Sotuciones de problemas de valor de frontera. uwdo
series de Fourier L I l l t I l 14. Solucionesds problemas de valor
de frontera umdo funaoneds hs- d Y Legendra xix 18. diferenciales
ordinarias 19. uno ecuaciones diferenciales en general 1. CONCEPTOS
DE ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 Algunas definiciones y
observaciones 1.2 Ejemplos sencillos de problemas de valor inicial
y de frontera 1.3 Soluciones generales y particulares 1.4
Soluciones singulares + 2. OBSERVACIONES ADICIONALES EN RELACION A
LAS SOLUCIONES 2.1 Observaciones sobre existencia y unicidad 2.2
Campo de direcciones y el mtodo de las isoclinas 2 . 20. Conceptos
de ecuaciones diferenciales 1.1 ALGUNAS DEFINICIONES Y
OBSERVACIONES El descubrimiento independiente del clculo por Newton
y Leibniz en el siglo 17 proporcion el mpetu para los grandes
avances que siguieron en las matemticas, ciencias, e ingeniera. Una
de las ms importantes y fascinan- tes ramas de las matemticas que
proporcion el medio para las formulacio- nes matemticas y
soluciones de variados problemas en estas reas se llama ecuaciones
diferenciales, las cuales estudiaremos en este libro. Con el obje-
to de seguir adelante, necesitamos primero algunas definiciones.
Definicin 1. Una ecuacin diferencial es una ecuacin que involucra
de- rivadas de una funcin desconocida de una o ms variables. Si la
funcin desconocida depende slo de una variable (de tal modo que las
derivadas son derivadas ordinarias) la ecuacin se llama una ecuacin
diferencial or- dinaria. Sin embargo, si la funcin desconocida
depende de ms de una va- riable (de tal modo que las derivadas son
derivadas parciales) la ecuacin se llama una ecuacin diferencial
parciul.* Ejemplo 1. La ecuacin L1.v -=2x+> 0 dx y =2x + y (1)
en la cual y es una funcin desconocida de una sola variable x es
una ecua- cin diferencial ordinaria. Frecuentemente escribimos y =
f(x) y llamamos a x la variable independiente, y y, la cual depende
de x, la variable dependien- te. Por brevedad podemos denotar el
valor de y en x por y(x), y sus derivadas sucesivaspory(x), y ( x )
, , osimplementey,y,. Ejemplo 2. d2X La ecuacin --2$--15x=0 dt2 (2)
en la cual x es una funcin desconocida en una sola variable t es
una ecua- cin diferencial ordinaria. Podemos escribir x = g(t),
donde t es la variable independiente y x la variable dependiente.
Por brevedad podemos denotar el valor de x en t por x(t), y tambin
podemos denotar las derivadas por x(t), x(t), ., 0 simplemente x,
x, 2 2 Ejemplo 3. La ecuacin g+2+ (3) en la cual V es una funcin
desconocida en dos variables x y y es una ecua- cin diferencial
parcial. Podemos escribir V= F(x, y), donde x y y son va- riables
independientes y V es la variable dependiente. Por brevedad podemos
denotar el valor de V en x y y por V(x, y).*Excluimos de la clase
de ecuaciones diferenciales aquellas que son identidades tales
co1110 Ecuaciones diferenciales en genarel 3 21. Definicin 2. El
orden de una ecuacin diferencial es el orden de la deri- vada ms
alta que aparece en la ecljacin. Ejemplo 4. La derivada ms alta que
aparece en la ecuacin (1) es dy/ dx, la cual es de primer orden,
esto as, de orden 1. Por tanto, la ecuacin di- ferencial es una
ecuacin de orden 1, o una ecuacin diferencial ordinaria de primer
orden. Ejemplo 5. La derivada ms alta que aparece en ecuacin (2) es
dLx/ dtz, la cual es de segundo orden, esto es, orden 2. La ecuacin
diferencial es por tanto de orden 2, o una ecuacin diferencial
ordinaria de segundo or- den. Ejemplo 6. La derivada ms alta que
aparece en ecuacin (3) es i2V/Ox2 0 i2Vliy2, ambas son de segundo
orden. Por tanto, la ecuacin diferencial es una ecuacin diferencial
parcial de segundo orden. O~semmh 1. Una ecuacin diferencial
ordinaria de orden 11 puede expresarse como g(x, y, y,, J, . . ,
2.)= 0 (4) Si podemos resolver esta ecuacin por la derivada ms
alta, obtenemos una o ms ecuaciones de orden n tomanalo la
siguiente forma:p) = F-(x, j, y, . > 4 - l)) (5) Ejemplo 7. La
ecuacin de primer orden (y) + xy -y = 0 es equivalente a las
sigientes dos ecuaciones de primer orden (6) y = &p-Tq - XI), 2
= -&/TT-q + s) (7) Observacin 2. Adicionalmente a su orden, es
til clasificar una ecua- cin diferencial ordinaria como una
(ecuacin diferencial lineal o no-lineal de acuerdo a la siguiente.
Definicin 3. Una ecuacin diferencial ordinaria lineal es una
ecuacin que puede ser escrita -en la forma a,(x)y~ + a,(x)J- l + .
. + an-,(X)J + U,(X)J~ = F(s) (8) donde F(x) y los coeficientes
a,(x), a, (x),. , a,(x) son funciones dadas de x y a,(x) no es
idntica a cero.* Una ecuacin diferencial que no puede escribirse en
la forma (8) se llama una ecuacin diferencial no-lineal. Ejemplo 8.
Las ecuaciones (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordina- rias
lineales. Ejemplo 9. La ecuacin (6) o las dos ecuaciones
equivalentes (7) son no- lineales. *En lgebra OU + IL donde a y b
no dependen de u o de LJ frecuentemente se llama una fun- cin
lineal de u y U. La terminologa linevzl cen la Definicin 3 est
inspirada en una generaliza- cin de esta idea debido a que el lado
izquierdo de (8) es una funcin lineal de J, y , , J (). 1 4 Captula
uno 22. Las ideas presentadas en las Observaciones 1 y 2 tambin se
pueden ex- tender a las ecuaciones diferenciales parciales. Como
tendremos ocasin de observar a lo largo de este libro, las
ecuaciones diferenciales lineales son en general ms fciles de
manejar que las ecuaciones no lineales. Definicin 4. Una solucin de
una ecuacin diferencial es cualquier fun- cin que satisface la
ecuacin, esto es, la reduce a una identidad. Ejemplo 10. Las
funciones definidas por X= eS 1 y x = e-3 f son dos so- luciones de
la ecuacin (21, puesto que la sustitucin de stas conducen res-
pectivamente a 25P - 2(5P) - 15f? = 0, ge-31 - 2(-3r-3) - 15p-3 = 0
las cuales son identidades. Otra solucin es x = 0, y pueden existir
otras. IDe hecho x=c,e+~,e-~ donde cl y cp son constantes
arbitrarias es una solucin. Ejemplo ll. La funcin definida por V=
exsen 231 es unn solucin de ((3) puesto que dV F v 3lJ d.- = 38 sen
2y, a-2 = 9~ sen 2y, F = 2e3- cos s, p ,, p = - 4e.j 1 sen 2y de
modo que al sustituir encontramos la sen2y) = e3xsen?4.. identidad
9e3sen2y + 2( -4e3 Observacin 3. En los Ejemplos 10 y Il las
soluciones se dieron sin restricciones sobre los valores-que asumen
las variables independientes. Al- gunas veces, sin embargo, debemos
restringir tales valores, como por ejemplo cuando queremos que los
valores de la funcin sean reales o tengan otras propiedades. Por
ejemplo, si f(x) = V9 - ~2, entonces para que f(x) sea real debemos
tener - 3 5 x 5 3. Tales valores constituyen lo que se llama el do-
minio de la funcin. Cuando no se especifica el dominio, como muchas
ve- ces ocurre, asumimos que el dominio es el conjunto de todos los
valores para los cuales las operaciones indicadas producen
resultados con sentido. As, por ejemplo, si una funcin se define
por f(x) = 1/(x - 3), entonces el domi- nio es el conjunto de todos
los valores de x excepto 3, esto es x.+ 3, puesto que la divisin
por cero carece de sentido. Ejemplo 12. La funcin definida por y =
fl- es una solucin de y= -5. Y puesto que (10) y al sustituir en la
ecuacin diferencial (9) se obtiene una identidad Sin embargo, es
claro que si deseamos que la funcin sea real y la derivada (10)
exista debemos restringir x al dominio -3< x-m (151 La pregunta
de si (12) realmente s define a y como una funcin de x requie- re
mayor investigacin, pero hasta que tal decisin se obtenga ella se
puede referiir como a una solucin formal.. . 6 Captulo uno 24. 1.2
EJEMPLOS SENCILLOS DE PROBLEMAS DE VALOR INICIAL Y DE FRONTERA Muy
frecuentemente, especialmente en problemas aplicados, una ecua- cin
diferencial se resuelve sujeta a unas condiciones dadas que la
funcin desconocida debe satisfacer. Como un ejemplo sencillo,
considere el siguiente PROBLEMA PARA DISCUSION Una partcula P se
mueve a lo largo del eje x (Figura 1.1) de tal manera que su
aceleracin en cualquier tiempo t 2 0 est dado por a = 16- 24t. (a)
En- cuentre la posicin x de la partcula medida del origen 0 a
cualquier tiempo t > 0, asumiendo que inicialmente (t = 0) est
localizada en x = 2 y est via- jando a una velocidad u = - 5. (b)
Trabaje parte (a) si solamente se sabe que la partcula est
localizada inicialmente en x = 2, y en x = 7 cuando t = 1 +X 0 P
Figura 1.1 Para formular matemticamente este problema, recordemos
primero del clculo que la velocidad y aceleracin de una partcula
que s mueve a lo lar- go del eje x estn dadas respectivamente por
dx d*x v=z Y a=Jp Entonces de la primera frase del enunciado del
problema se tiene d*x _ = 16 - 24t dt* la cual es la ecuacin
diferencial requerida para el movimiento. (17) Solucin a la Parte
(a) Las condiciones sobre la funcin x dadas en parte (a) son x = 2,
v = -5 en t = 0 esto es, x(O) = 2, x(0) = - 5 (18) Se debera notar
que el significado del signo menos en u = - 5 es de que la partcula
est viajando inicialmente hacia la izquierda. Si integramos (17)
una vez, encontramos dx - = 16t - 12t2 + c1 dt (19) donde c1 es una
constante arbitraria. Esta constante puede determinarse de la
segunda condicin en (18) con t = 0 en (19). Encontramos - 5 = 0 +
cr , esto es, c1 = - 5, de modo que dx - = 16t - 12t* - 5 dt (20)
La integracin de (20) da x = 8t2 - 4t3 - 5t + c2 (21) donde c2 es
otra constante arbitraria que puede determinarse de la primera
condicin en (18) con t = 0 en (21). Encontramos 2 = Cl + c:, o cO =
2. As x = Sr2 -- 4t3 - 5t + 2 (2.2) Ecuaciones diferenciales en
general 7 25. la cual es la ley requerida de movimiento
permitindonos determinar la po- sicin en cualquier tiempo r > 0;
por ejemplo, al tiempo t = 1, x = 1, al tiem- po t = 2, x = -8,
etc. Solucin a la Parte (b) En esta parte todava tenemos la misma
ecuacin di- ferencial (17) para el movimiento, pero las condiciones
han cambiado a s=2ent=O, x=7ent= 1 0 x(0) = 2, x(l) = 7 (23) En
este caso integramos (17) como antes para obtener (19). Sin
embargo, puesto que no tenemos una condicin para dx/dt, no podemos
todava de- terminar c , , y por tanto debemos integrar (19) para
obtener x = 8t2 - 4t3 + c,t + c2 (24) Podemos ahora usar las dos
condiciones en (23) para hallar las dos constan- tes arbitrarias en
(24). Esto conduce a 2 = 0 + c2, 7 = B(l)2 - 4(l) + c, + c2 0 c,
=l, cz =2 de modo que x = 8r2 - 4t3 + t + 2 (25) Las formulaciones
matemticas de las partes (a) y (b) en el problema anterior son,
respectivamente, (al $= 16-24t, X(0) = 2, s(0) = - 5 (b) (F-C dtz=
16-24t, x(0)=2,x(l)= 7 Una diferencia importante entre ellas es que
en (a) las condiciones sobre la funcin desconocida x y sus
derivadas x o dx/dt estn especificadas en un ualor de la variable
independiente (en este caso t = 0), mientras que en (b) las
condiciones sobre la funcin desconocida x se especifican en dos
valores de la variable independiente (en este caso t = 0 y t = 1).
Los dos tipos de pro- blemas presentados en (a) y (b),
respectivamente, se llaman problemas de valor inicial y problemas
de valor de frontera. Debemos as hacer las siguien- tes-
definiciones. Definicin 5. Un problema de valor inicial es un
problema que busca deter- minar una solucin a una ecuacin
diferencial sujeta a condiciones sobre la funcin desconocida y sus
derivadas especificadas en un valor de la varia- ble independiente.
Tales condiciones se llaman condiciones iniciales. Definicin 6. Un
problema de valor de frontera es un problema que busca determinar
una solucin a una ecuacin diferencial sujeta a condiciones so- bre
la funcin desconocida especificadas en dos o ms valores de la
variable independiente. Tales condiciones se llaman condiciones de
frontera. Considere el siguiente ejemplo ilustrando las
observaciones anteriores, E J E M P L O I L U S T R A T I V O 1 Una
curva en el plano xy tiene la propiedad de que su pendiente en
cual- quier punto (x, y) de ella es igual a 2x. Hallar la ecuacin
de la curva si sta pasa por el punto (2,5). 8 Captulo uno L 26.
Figura 1.2 Solucin Puesto que la pendiente de una curva en
cualquier punto (x, y) de ella est dada por dy/dx, del enunciado
del problema se tiene (28) una ecuacin diferencial de primer orden.
Puesto que la curva debe pasar por el punto (2, 5), y=5 cuando x=2
estoes, y(Z)=5 (29) El problema de resolver (28) sujeta a (29) es
un problema de valor inicial. La integracin de (28) da y = x2 + c
(30) donde c es una constante arbitraria. Usando la condicin (29)
en (30) se ob- tiene 5 = (2)2 + c de modo que c = 1. As la curva
requerida est dada por y=x+l (31) Grficamente, (30) representa una
familia de euruas en el plano zy, cada miembro de ella est asociado
con un valor particular de c. En la Figura 1.2 se muestran algunos
de estos miembros para c = 0, - 1, 1, 2. Puesto que c pue- de
variar, frecuentemente se llama un parmetro para distinguirlo de
las va- riables principales x y y. La ecuacin diferencial (28) que
es satisfecha por todos los miembros de la familia frecuentemente
se llama la ecuacin. dife- rencial de la familia. Observacin 5. La
misma terminologa usada en este ejemplo puede tambin usarse en el
problema de la pgina 7. As, (24) representa una fami- lia de curvas
en el plano tx, cada miembro de la cual est asociado con valo- res
particulares de los dos parmetros c 1 y cq , mientras que (17) es
la ecua- cin diferencial de la familia. Para especificar el nmero
de parmetros involucrados, algunas veces hablamos de una familia de
curvas de un par-- metro, una familia de curvas de dos parmetros,
etc. Las soluciones cerres- Ecuaciones diferenciales en general 9
27. pondientes a las ecuaciones diferenciales pueden entonces
referirse como la solucin con un parmetro (o la familia de
soluciones con un parmetro), la solucin con dos parmetros (o lla
familia de soluciones con dos parme- tros), etc. Tambin podemos
referirnos a estas curvas como curvas solucin. En el proceso de la
formulacin matemtica de problemas aplicados, pue- den surgir muchas
clases de ecuaciones diferenciales, como veremos en fu- l turos
captulos. En la siguiente lista vemos una pequea muestra de ellas.
d2x -= -kx dt2 (32) d2y dy xlix+~+xy=o dv VfM-=v2 dM Ely = w(x) sen
20t y = ; JW a2v d2V a2v Jjp+&-T+s= g=k[$-$+$; (33) (34) (35)
(36) (37) (38) (39) S2Y a2Y -= al-..- it2 2x2 ( 4 ) a4cp aq5
r:x4+2- + * = F(x, y) sx2cy2 cy (41) La ecuacin (32) es famosa en
el campo de la mecnica en conexin con el movimiento armnico simple,
como en las oscilaciones pequeas de un pn- dulo simple. Elia podra,
sin embargo surgir en muchas otras conexiones. La ecuacin (33)
surge en mecnica, calor, electricidad, aerodinmica, anlisis de
esfuerzos y en muchos otros campos. La ecuacin (34) surgi en un
problema de vuelo de cohete. La ecuacin (35) es una ecuacin
impcrtante en ingeniera civil en la teo- ra de deflexin o
doblamiento de vigas. La ecuacin (36) puede surgir en la
determinacin de la corriente I como una funcin del tiempo t en un
circuito de corriente alterna, pero tambin po- dra surgir en
mecnica, biologa, y economa. La ecuacin (37) surge en conexin con
un problema de suspensin de cables. La ecuacin (38) podra-surgir en
problemas de electricidad, calor, aero- dinmica, teora de
potenciales, y n muchos otros campos. 1 0 Cbptulo uno 28. La
ecuacin (39) surge en la teora de conduccin de calor, como tambin
en la difusin de neutrones en una pila atmica para la produccin de
ener- ga nuclear. Tambin surge en la teora de movimiento browniano.
La ecuacin (40) surge en conexin con la vibracin de cuerdas, como
tambin en la propagacin de seales elctricas. La ecuacin (41) es
famosa en la teora de anlisis de esfuerzos. Estas son solo una
pequea parte de las muchas ecuaciones que podran surgir en algunos
de los campos de los cuales estn tomadas. Exmenes de ecuaciones
tales como stas por matemticos puros, matemticos aplicados, fsicos
tericos y aplicados, qumicos, ingenieros, y otros cientficos a
travs de los aos han conducido a la conclusin de que existen
ciertos mtodos de- finidos por medio de los cuales muchas de estas
ecuaciones pueden resolver- se. Tales ecuaciones y mtodos junto con
los nombres de las personas asocia- das con ellas se darn a lo
largo del libro.* A pesar de todo lo que se conoce, sin embargo,
muchas ecuaciones permanecen sin solucin, algunas de ellas de gran
importancia. Gigantescas mquinas modernas de clculo actualmen- te
estn siendo ocupadas en determinar soluciones a tales ecuaciones
vita- les para la investigacin relacionada con seguridad nacional,
planeacin eco- nmica, e ingeniera aeroespacial as como tambin en
muchos otros campos. Uno de los objetivos de este libro es ofrecer
una introduccin a algunos de los problemas importantes que surgen
en la ciencia y la ingeniera con los cuales la mayora de cientficos
deberan estar familiarizados. Para conse- guir este objetivo, ser
necesario demostrar cmo uno resuelve las ecuacio- nes que surgen
como resultado de las formulaciones matemticas de estos problemas.
El estudiante debiera siempre recordar que hay tres etapas en la
solucin terica de problemas cientficos. 1. Formulacin rrktemtica
del problema cientfico. Las leyes cientficas, que por supuesto estn
basadas en experimentos u observacio- nes, estn traducidas en
ecuaciones matemticas. En muchos casos un mo- delo matentico se usa
para aproximarse a la realidad fsica. As, per ejem- plo, al tratar
con el movimiento de un planeta, tal como la tierra, alrededor del
Sol, podemos considerar a la Tierra y al Sol como partculas (o
puntos de masa). Sin embargo, en un estudio de la rotacin de la
tierra sobre sus ejes, tal modelo es claramente inapropiado, de tal
modo que podemos considerar a la tierra como una esfera o an ms
precisamente como un esferoide ova- lado. 2. Solucin de las
ecuaciones. Las ecuaciones formuladas en Etapa 1 necesitan ser
resueltas, sujetas a condiciones obtenidas del problema, pa- ra
determinar la incgnita, o incgnitas, involucradas. Los
procedimientos - usados pueden producir una solucin exacta o, en
casos donde soluciones exactas no se pueden obtener, soluciones
aproximadas. Frecuentemente, para elaborar los clculos numricos se
recurre al uso de calculadoras. El proceso de obtener soluciones
frecuentemente conduce a preguntas de natu- raleza puramente
matemtica que algunas veces tienen mayor inters que el problema
cientfico original. De hecho, muchos de los avances en las ma-
temticas fueron obtenidos como un resultado de los intentos de
resolver problemas en la ciencia y la ingeniera. *En la
contraportada del frente del texto se da una lista de referencias
de algunos de los contribuidores importantes a la teora y
aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Ecuaciones
diferenciales en general 11 29. 3. Interpretacin cientfica de la
solucin. Con el uso de las solucio- nes conocidas, el cientfico
puede ser capaz de interpretar lo que est suce- diendo desde el
punto de vista aplicado. Puede hacer grficas o tablas y comparar Ia
teora con los experimentos. Puede incluso basar investigacin
posterior en tales interpretaciones. Por supuesto que, si encuentra
que los experimentos u observaciones no estn de acuerdo con la
teora, debe revi- sar el modelo matemtico y su formulacin matemtica
hasta que se consi- ga un acuerdo razonable. Cada una de estas
etapas es importante en la solucin final de un pro- blema aplicado
y, por esta razn, enfatizaremos todas las tres etapas en es- te
libro. Puesto que, como uno podra esperar, las ecuaciones
diferenciales par- ciales son mucho ms complicadas que las
ecuaciones diferenciales ordina- rias, la mayor parte de este
libro, esto es, los once captulos en las Partes I y II, se dedican
a las ecuaciones diferenciales ordinarias. Las ecuaciones
diferenciales parciales se tratan en los tres captulos de la Parte
III. As, a menos que se diga lo contrario, cuando nos refiramos a
una ecuacin dife- rencial implicaremos una ecuacin diferencial
ordinaria. EJERCICIOS A 1. Complete la siguiente tabla. (W y - 4y -
5y = e3x (4 au a2u au -=4=+ay ( d ) (+$;+&$-3t te) d2x p- 3x =
sen y (h) ( 2 x + y ) d x + ( x - 3 y ) d y = 0 6) y + xy = sen y
(3 a27- d2T
