1. Dennis G. Zill Warren S. Wright Octava edicin Ecuaciones
diferenciales con problemas con valores en la frontera
2. OCTAVA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con
valores en la frontera
3. OCTAVA EDICIN ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas con
valores en la frontera DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University
WARREN S. WRIGHT Loyola Marymount University MICHAEL R. CULLEN
Antiguo miembro de la Loyola Marymount University TRADUCCIN Dra.
Ana Elizabeth Garca Hernndez Profesor invitado UAM-Azcapotzalco
REVISIN TCNICA Dr. Edmundo Palacios Pastrana Universidad
Iberoamericana Australia Brasil Corea Espaa Estados Unidos Japn
Mxico Reino Unido Singapur
4. Impreso en Mxico 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14 Ecuaciones
diferenciales con problemas con valores en la frontera Octava
edicin Dennis G. Zill y Warren S. Wright Presidente de Cengage
Learning Latinoamrica: Fernando Valenzuela Migoya Director
Editorial, de Produccin y de Plataformas Digitales para
Latinoamrica: Ricardo H. Rodrguez Editora de Adquisiciones para
Latinoamrica: Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para
Latinoamrica: Ral D. Zendejas Espejel Gerente Editorial en Espaol
para Latinoamrica: Pilar Hernndez Santamarina Gerente de Proyectos
Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael
Prez Gonzlez Editor: Omegar Martnez Diseo de portada: Anneli
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2015 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaa de
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Federal del Derecho de Autor, podr ser reproducida, transmitida,
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siguiente: fotocopiado, reproduccin, escaneo, digitalizacin,
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a excepcin de lo permitido en el Captulo III, Artculo 27 de la Ley
Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de
la Editorial. Traducido del libro Differential Equations with
Boundary-Value Problems, Eighth Edition Publicado en ingls por
Brooks/Cole, Cengage Learning 2013 Datos para catalogacin
bibliogrca: Zill, Dennis G. y Warren S. Wright Ecuaciones
diferenciales con problemas con valores en la frontera, octava
edicin ISBN: 978-607-519-444-8 Visite nuestro sitio en:
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5. v CONTENIDO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1
Prefacio xi Proyectos P-1 1.1 1.2 1.3 REPASO DEL CAPTULO 1 32 2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 34 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3
2.4 Ecuaciones exactas 61 2.5 2.6 Un mtodo numrico 73 REPASO DEL
CAPTULO 2 78 3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER
ORDEN 81 3.1 3.2 3.3 REPASO DEL CAPTULO 3 111
6. vi l CONTENIDO 4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
113 4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 Funciones de
Green 164 4.8.1 4.8.2 4.9 4.10 REPASO DEL CAPTULO 4 183 5 MODELADO
CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR 186 5.1 5.1.1 5.1.2
5.1.3 5.1.4 5.2 5.3 REPASO DEL CAPTULO 5 222 6.1 Repaso de series
de potencias 226 6.2 6.3 6.4 REPASO DEL CAPTULO 6 263 SOLUCIONES EN
SERIES DE ECUACIONES LINEALES 2256
7. CONTENIDO l vii 7 LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 265 7.1 7.2
7.2.1 7.2.2 7.3 7.3.1 s 7.3.2 t 7.4 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.5 7.6
REPASO DEL CAPTULO 7 312 8 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
LINEALES DE PRIMER ORDEN 317 8.1 8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.3 8.3.1
8.3.2 8.4 REPASO DEL CAPTULO 8 352 9 SOLUCIONES NUMRICAS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS 353 9.1 9.2 9.3 9.4 Ecuaciones
y sistemas de orden superior 366 9.5 REPASO DEL CAPTULO 9 375
8. SISTEMAS AUTNOMOS PLANOS 376 10.1 10.2 10.3 10.4 REPASO DEL
CAPTULO 10 408 11 SERIES DE FOURIER 410 11.1 11.2 Series de Fourier
416 11.3 Series de Fourier de cosenos y de senos 422 11.4 11.5
11.5.1 11.5.2 REPASO DEL CAPTULO 11 443 12 PROBLEMAS CON VALORES EN
LA FRONTERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 445 12.1 12.2 12.3 12.4
12.5 12.6 12.7 12.8 REPASO DEL CAPTULO 12 481 10 viii l
CONTENIDO
9. CONTENIDO l ix 13 PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA EN
OTROS SISTEMAS COORDENADOS 483 13.1 13.2 13.3 REPASO DEL CAPTULO 13
498 14 TRANSFORMADA INTEGRAL 500 14.1 14.2 14.3 14.4 Transformadas
de Fourier 516 REPASO DEL CAPTULO 14 522 15 SOLUCIONES NUMRICAS DE
ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES 524 15.1 15.2 15.3 REPASO DEL
CAPTULO 15 539 APNDICES I 1 II 3 III 21 RES-1 ndice I-1
10. xi AL ESTUDIANTE lea - - - - AL PROFESOR Ecuaciones
diferenciales con problemas con valores en la frontera - Ecuaciones
diferenciales con aplicaciones de modelado - PREFACIO
11. - - Varios profesores dedicaron parte de su tiempo para
expresarnos sus preocu- - y A sen( ) y y A cos( ) RECURSOS PARA LOS
ESTUDIANTES Student Resource and Solutions Manual (SRM) -
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Ecuaciones
diferenciales con problemas con valores en la frontera -
Mathematica y Maple xii l PREFACIO
12. PREFACIO l xiii RECURSOS PARA EL PROFESOR - - -
RECONOCIMIENTOS - University of Maryland, Baltimore County Gustavus
Adolphus College Fisheries Consultant Sensis Corporation Washington
State University Michigan Technological University Middlebury
College REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES Cleveland State
University University of Florida University of Arizona University
of Akron Clarkson College Youngstown State University University of
Akron University of Iowa California State University,
Sacramento
13. North Carolina Agricultural and Technical State University
University of Massachusetts, Lowell Worcester Polytechnic Institute
Vanderbilt University St. Louis Community College at Florissant
Valley Worcester Polytechnic Institute La Salle University
University of Florida Santa Barbara City College Grove City College
Louisiana State University University of Tulsa Clemson University
University of Houston Brigham Young University Villanova University
of Alabama Kettering University Virginia Polytechnic Institute and
State University Arizona State University Ohio University
Southeastern Massachusetts University University of Kentucky,
Lexington V.P.I & S.U. North Dakota State University East Los
Angeles College University of Arizona Tennessee Technological
University (retirado) Sensis Corporation Kean College of New Jersey
University of Lowell North Carolina A&T State University
University of Virginia University of Alabama California Polytechnic
State University University of Arkansas University of Nebraska,
Lincoln Marquette University Mississippi State University Columbus
State Community College Colgate University Purdue University
Washington State University Tennessee Technological University
University of California, Riverside Ohio Northern University
University of Illinois, Urbana, Champaign University of Texas at
Arlington Sacramento City College California State University
Northridge California State University, Sacramento San Jose State
University Metropolitan State College Northeastern University xiv l
PREFACIO
14. California State Polytechnic University South Dakota State
University Union College California Polytechnic State University
Embry-Riddle Aeronautical University Hillsborough Community College
Georgia Institute of Technology The Cooper Union Georgia Institute
of Technology Illinois Central College University of Akron Middle
Tennessee State University Towson University REVISORES DE LAS
EDICIONES ACTUALES Rochester Institute of Technology Wabash Valley
College The University of Texas at El Paso Savannah State
University Union University California State Polytechnic
University, Pomona Milwaukee School of Engineering Los ngeles
PREFACIO l xv
15. P-1 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.1 Invariablemente el SIDA es
una enfermedad fatal? por Ivan Kramer - - - - - imposible mediante
una terapia an- tirretroviral moderna eliminar el virus [1 -
inmunes - - periodo de in- cubacin 1 - no progresores a largo
16. plazo 1 3 ya sea 3 t t Si fraccin inmortal t k k S t dS(t)
dt k[S(t) Si] S(t) Si [1 Si]e kt En lugar del parmetro k tiempo
promedio de superviven- cia Tprom dado por Tprom k y la
supervivencia de vida media T dada por T k e kt e t Tprom 2 t T1 2
Si T Tprom 2 - Si obtenido de los datos - Si P-2 l PROYECTO 3.1
INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL?
17. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0 _16 16 48 80 112 144 176 208 240 272
Tiempo de supervivencia t(w) S(t) Fraccin de supervivencia
Ajustedelmodelodedosparmetros FIGURA 1 S t - - 3 3 t - 3 3 Si T 4
Tprom - 3 T - T - 4 Si Tprom - 5 Si y los 6 Aunque los trasplantes
de mdula sea que usan clulas madre del donante homocigtico para la
supresin del delta 32 CCR5 podran conducir a curas, los datos
clnicos resultantes consistente- mente muestran que el SIDA es una
enfermedad invariablemente fatal. PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL
SIDA ES UNA ENFERMEDAD FATAL? l P-3
18. PROBLEMAS RELACIONADOS 1. tiempo t S t kt Tprom Tprom k 2.
t S t kt - Tprom 3. t S t kt S t - T a) S t S t tT b) T Tprom Tprom
T Tprom 4. - t kt S t t - REFERENCIAS 1. Computational and
Mathematical Methods in Medicine 2. en Mathematical and Computer
Modelling 3. et al., JAIDS 4. Mathematical and Computer Modelling
5. Am. J. Public Health 6. et al JAIDS ACERCA DEL AUTOR Ivan Kramer
- P-4 l PROYECTO 3.1 INVARIABLEMENTE EL SIDA ES UNA ENFERMEDAD
FATAL?
19. P-5 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.2 El efecto Allee por Jo
Gascoigne - dNdt N t t i b ii la tasa de mortalidad m N: dN dt bN
mN b y m en un parmetro r tasa intrnseca de incremento natural dN
dt rN dNdt N dNdt Cuntos peces puede realmente soportar un
ecosistema? N t r capacidad de carga K: dN dt rN 1 N K , r 0
ecuacin logstica NK NK NK K N t N t K per cpita per cpita N:
20. 1 N dN dt r 1 N K r r K N 1 N dN dt en N dNdt N K un valor
mximo de 1 N dN dt en N modelo dNdt y N per cpita K K XX - - to per
cpita efecto Allee - dN dt rN 1 N K N A 1 donde A umbral de Allee N
t A es el tamao de la N N N K A K K P-6 l PROYECTO 3.2 EL EFECTO
ALLEE
21. N t - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) N t mediante la N t de t
t r K N r K N N t se denomina curva de crecimiento sigmoideo b) r r
r r 2. Sugerencia: dNdt - N 3. Sugerencia: 4. N t - REFERENCIAS 1.
Allee Effects in Ecology and Conservation 2. Population Biology.
Concepts and Models ACERCA DE LA AUTORA Jo Gascoigne - PROYECTO 3.2
EL EFECTO ALLEE l P-7 alimentndose de sardinas en los
22. P-8 PROYECTO PARA LA SECCIN 3.3 Dinmica de poblacin de
lobos por C. J. Knickerbocker - - - - r E(10) 18.0E(0) 13.0, dE dt
rE, E t t se mide en r E(t) 13.0 e0.0325t - E(0) 18.0, W(0) 0.021
dW dt 0.6W 0.05EW dE dt 0.0325E 0.8EW donde E t W t t antes r
23. dEdt E EW dWdt W EW EW - - Maple e1 :=
diff(e(t),t)-0.0325*e(t) + 0.8*e(t)*w(t) : e2 :=
diff(w(t),t)+0.6*w(t) - 0.05*e(t)*w(t) : sys := {e1,e2} : ic :=
{e(0)=18.0,w(0)=0.021} : ivp := sys union ic : H:=
dsolve(ivp,{e(t),w(t)},numeric) : 20000 18000 16000 14000 12000
10000 8000 6000 4000 2000 1995 1997 1999 2001 Ao Poblacindealces
2003 2005 2007 2009 0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 1995 1997
1999 2001 Ao Poblacindelobos 2003 2005 2007 2009 0 - FIGURA 1
FIGURA 2 PROYECTO 3.3 DINMICA DE POBLACIN DE LOBOS l P-9
24. PROBLEMAS RELACIONADOS 1. 2. 3. 4. ACERCA DEL AUTOR C. J.
Knickerbocker - - 20000 18000 16000 14000 12000 10000 8000 6000
4000 2000 0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1990 2000 2010
2020 2030 2040 2050 2060 2070 2080 Ao Poblacionesdealcesylobos
Alces Lobos FIGURA 3 P-10 l PROYECTO 3.3 DINMICA DE POBLACIN DE
LOBOS
25. P-11 PROYECTO PARA LA SECCIN 5.1 Salto en bungee por Kevin
Cooper - - x t x tiempo t x - x t g mg v - - b(x) 0 kx x 0 x 0 k se
llama constante elstica - k k - mx mg + b(x) - x mg x - XXL x mg es
mg kx x t 100 pies Puente Bungee 174 pies x = 100 x = 0 x = 74 Agua
FIGURA 1 del bungee
26. t k x t t denote la primera x t v - x t g kx x t x t v t x
t PROBLEMAS RELACIONADOS 1. m mg para x t x x mg g 2. t 3. v 4. m
kx mg x t x t v k x t 5. t t t t 6. k k k 7. - k ACERCA DEL AUTOR
Kevin Cooper, - DynaSys P-12 l PROYECTO 5.1 SALTO EN BUNGEE 60 40
20 20 40 _20 _20 0_40_60_80_100 _40 ( ) ( ) FIGURA 2 x t x t salto
de bungee
27. P-13 PROYECTO PARA LA SECCIN 5.3 El colapso del puente
colgante de Tacoma Narrows por Gilbert N. Lewis 1] y [2 3 - - - 3 -
4 5 b a a b y t donde t y FIGURA 1 Colapso del
28. a by y ay y - y m f y g t donde f y f(y) by si y 0 ay si y
0 , g t m y m b a g t t y: y y y t y t y y - yc t yp t yc t c t c t
yp t t y(t) c1cos(2t) c2 sen(2t 1 12 sen(4t) y(0) 0 c1 y (0) 0.01
2c2 1 3 c sen(2t) 1 2 0.01 1 3 1 6 cos(2t) y(t) 1 2 0.01 1 3
sen(2t) 1 12 sen(4t) t y t t y t y y y sen(4t), y 2 0, y 2 0.01 2 3
cost 0.01 2 5 4 15 sent cos(2t) y(t) 0.01 2 5 cost 1 15 sen(4t) t t
y t t 3 punto y - P-14 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE
COLGANTE DE TACOMA NARROWS
29. y(t) sent 0.01 8 15 4 15 cost cos(2t) en [2 , 3 ] y(t)
sen(2t) 1 2 0.01 7 15 1 6 cos(2t) en [3 2, 2 ] - funcin ] es mayor
] es ms 4] para un modelo ms 6 - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. t a) y y
cos(2t), y(0) 0, y (0) 0. y y cost, y(0) 0, y (0) 0. b) 2. f y t y
y f(y) by si y 0 ay si y 0 y a) b a b) b a c) b a b a t 0.2 y t0.0
2 4 6 8 0.2 0.4 0.6 FIGURA 2 y t PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE
COLGANTE DE TACOMA NARROWS l P-15
30. y 3. cy c y cy f y t y y f(y) 4y si y 0 y si y 0 y a) c b)
c c) c REFERENCIAS 1. A First Course in Differential Equations 2.
Differential Equations and Their Applications 3. The Failure of the
Tacoma Narrows Bridge 4. SIAM Review 5. Science News 6. American
Mathematical Monthly ACERCA DEL AUTOR El Dr. Gilbert N. Lewis -
P-16 l PROYECTO 5.3 EL COLAPSO DEL PUENTE COLGANTE DE TACOMA
NARROWS
31. P-17 PROYECTO PARA LA SECCIN 7.3 Asesinato en el
restaurante Mayfair por Tom LoFaro - - - temperatura T t y la
temperatura ambiente Tm dT dt k(T Tm), t 0 donde k T y Tm t t - t k
en la positiva ahora las t - h - h t Tm(t) 50 20 (t h) dT dt k(T
Tm(t))
32. - h - - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. 2. T t depender tanto de
t h k 3. h h hora en que se traslad el cuerpo hora de la muerte 12
6:00 p.m. 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 P-18 l PROYECTO 7.3 ASESINATO EN EL
RESTAURANTE MAYFAIR
33. 4. 5. An siente curiosidad? se denomina algor mortis rigor
mortis - - ecuacin de Glaister t t 98.4 T0 1.5 donde T - - T T - T
Tm o k T t t 98.4 T0 k(T0 Tm) ACERCA DEL AUTOR Tom LoFaro PROYECTO
7.3 ASESINATO EN EL RESTAURANTE MAYFAIR l P-19
34. P-20 PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Terremotos que sacuden
edicios de varios pisos xi represente el despla- i x i mi ki entre
el i i F ki xi xi donde xi xi i i - k i por Gilbert N. Lewis mn mn
1 m2 m1 piso kn 1 kn 2 k1 k0 mi 1 mi mi 1 ki(xi 1 xi) ki 1(xi xi l)
FIGURA 1 FIGURA 2 i F ma m1 d2 x1 dt2 k0 x1 k1(x2 x1) m2 d2 x2 dt2
k1(x2 x1) k2(x3 x2) mn d2 xn dt2 kn 1(xn xn 1). m k
35. d2 x2 dt2 2x1 2x2. d2 x1 dt2 4x1 2x2 4 2 2 c4 sen 2t, x2(t)
4 2 1 c1 cos 1t 4 2 1 c2 sen 1t 4 2 2 c3 cos 2 t x1(t) 2c1 cos 1t
2c2 sen 1t 2c3 cos 2t 2c4 sen 2t, donde 1 3 5 2.288 y 2 3 5 0.874.
- x x x x x2(t) 4 2 1 c2 sen 1t 4 2 2 c4 sen 2t x1(t) 2c2 sen 1t
2c4 sen 2t, donde c2 4 2 2 0.1[ 2 1 2 2 1] 0.0317 c4. x t x t x x x
x x x x ha x x - x - 0.1 0.2 t 1 2 3 4 5 0.1 x2(t) 0.05 0.10 x1(t)
t 1 2 3 4 5 0.05 0.10 FIGURA 3 x t FIGURA 4 x t o - M m1 0 1 0 m2 0
0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 mn PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE SACUDEN
EDIFICIOS DE VARIOS PISOS l P-21
36. X(t) x1(t) x2(t) xn(t) K (k0 k1) k1 0 0 0 k1 (k1 k2) k2 0 0
0 k2 (k2 k3) 0 0 0 0 k3 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 kn
2 0 0 0 0 (kn 2 kn 1) kn 1 0 0 0 kn 1 kn 1 M d2 X dt2 KX o MX KX M
i i M M 1 m 1 1 0 0 0 m 1 2 0 0 0 0 . . . . . . . . . 0 0 m 1 n X
(M 1 K)X o X AX A M K M se denomina la matriz de masa K es la
matriz de rigidez A A 3 5 3 5 i es el i i i es la i i n F t G ki A
M 1 K 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0
0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5
1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0
0 0 0 0.5 1 0.5 0 0 0 0 0 0 0 0 0.5 0.5 P-22 l PROYECTO 8.2
TERREMOTOS QUE SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS
37. A Mathematica u otro - k A PROBLEMAS RELACIONADOS 1. m y k
pri- mer M K y A A 2. m y k se- gundo M K y A A - 3. M K y A A K K
4. MX'' KX F t donde F t G G EB B T E - PROYECTO 8.2 TERREMOTOS QUE
SACUDEN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS l P-23
38. P-24 PROYECTO PARA LA SECCIN 8.3 Modelado de carreras
armamentistas - - - - en el miedo mutuo - x y y - t dy dt bx ny s
dx dt ay mx r donde a b m y n r y s a y b m y n repre- r y s - r y
s ab y mn r y s x y y x y y x* y* dxdt dydt por Michael
Olinick
39. - 3 - - - dx/dt = 0 y x dy/dt = 0 1 1 0 2 3 4 5 6 2 3 4 5 6
FIGURA 1 - - PROBLEMAS RELACIONADOS 1. a) dy dt 2x 4y 8 dx dt y 3x
3 x y y(t) 32 3 e 2t 4 3 e 5t 3 x(t) 32 3 e 2t 2 3 e 5t 2 b)
arbitrarias x A y B x(t) Ce 5t De 2t 2 C (A B 1) 3 donde y(t) 2Ce
5t De 2t 3 D (2A B 7) 3 x t y t x y y 2. dy dt 4x 3y 10 dx dt 3y 2x
10 PROYECTO 8.3 MODELADO DE CARRERAS ARMAMENTISTAS l P-25
40. - a) b) c) d) 3. a) ajuste de inventarios - dx dt b(y* y)
dx dt a(x* x) donde x* y y* a b - x y y b) x* x* c dy donde c y d
y* 4. - 5. REFERENCIAS 1. Arms and Insecurity: A Mathematical Study
of the Cause and Origins of War 2. An Introduction to Mathematical
Models in the Social and Life Sciences 3. Handbook of War Studies
ACERCA DEL AUTOR Michael Olinick se - x(0) 1, y(0) 1 : x(t) 10 9et
, y(t) 10 9et x(0) 1, y(0) 22 : x(t) 10 9e 6t , y(t) 10 12e 6t x(0)
1, y(0) 29 : x(t) 12e 6t 3et 10, y(t) 16e 6t 3et 10 x(0) 10, y(0)
10 : x(t) 10, y(t) 10 para todo t P-26 l PROYECTO 8.3 MODELADO DE
CARRERAS ARMAMENTISTAS
41. 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1 1.2 1.3
REPASO DEL CAPTULO 1 ecuaciones diferenciales y, y x2 5x 4 x una y
2y y y (x). qu tan rpido se propaga una enfermedad? qu tan rpido
cambia una poblacin? 1
42. 2 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
DEFINICIONES Y TERMINOLOGA REPASO DE MATERIAL l l l l l INTRODUCCIN
dydx y (x (x - y e0.1x2 , dydx 0.2xe0.1x2 e0.1x2 y dy dx 0.2xy (1)
cul es la funcin representada con el smbolo y? Cmo resolver una
ecuacin para la funcin desconocida y (x)? 1.1 UNA DEFINICIN ecuacin
diferencial DEFINICIN 1.1.1 Ecuacin diferencial ecuacin diferencial
(ED) tipo, orden linealidad. CLASIFICACIN POR TIPO ecuacin
diferencial ordinaria (EDO) - ecuacin diferencial parcial (EDP)
EJEMPLO 1 Tipos de ecuaciones diferenciales dy dx 5y ex , d2 y dx2
dy dx 6y 0, y dx dt dy dt 2x y (2) b) 2 u x2 2 u y2 0, 2 u x2 2 u
t2 2 u t , y u y v x (3) - u v a)
43. NOTACIN nota- cin de Leibniz dydx, d2 ydx2 , d3 ydx3
notacin prima y, y, y y 5y ex y y 6y y(4) y n y dn ydxn (n) d2x dt2
16x 0 funcin incgnita o variable dependiente variable independiente
x t notacin de punto t d2 sdt2 s - notacin de subndice uxx utt 2ut
. CLASIFICACIN POR ORDEN orden de una ecuacin diferencial primer
ordensegundo orden 5( )3 4y ex dy dx d2y dx2 M(x, y) dx N(x, y) dy
y (y x) dx 4xdy 0, y dydx dx 4xy y x. n ,F(x, y, y , . . . , y(n) )
0 (4) F n x, y, y, , y(n) - y(n) n , dn y dxn f (x, y, y , . . . ,
y(n 1) ) (5) f forma normal dy dx f(x, y) y d2 y dx2 f(x, y, y )
Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado ecuacin
Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera
1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 3
44. 4 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES xy
y x y (x y)4x y y 6y 0 y y 6y iv) Comentarios. CLASIFICACIN POR
LINEALIDAD n- lineal F y, y, . . . , y(n) n- an (x)y(n) an1
(x)y(n1) a1 (x)y a0 (x)y g(x) .an(x) dn y dxn an 1(x) dn 1 y dxn 1
a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (6) n n .a1(x) dy dx a0(x)y g(x) y a2(x) d2
y dx2 a1(x) dy dx a0(x)y g(x) (7) y y, y, . . . , y(n) y a0 , a1 ,
..., an y, y, ..., y(n) x. no lineal y ey , EJEMPLO 2 EDO lineal y
no lineal (y x)dx 4xydy 0, y 2y y 0, y d3 y dx3 x dy dx 5y ex x3
lineales y xy y x. trmino no lineal: coeficiente depende de y
trmino no lineal: funcin no lineal de y trmino no lineal: el
exponente es diferente de 1 (1 y)y 2y ex, sen y 0, y d2y dx2 y2 0
d4y dx4 no lineales SOLUCIONES DEFINICIN 1.1.2 Solucin de una EDO
solucin , I n I n n n a) b)
45. F(x, (x), (x), . . . , (n) (x)) 0 para toda xen I.
satisface I - - y e0.1x2 dydx 0.2xy , ). (x). INTERVALO DE
DEFINICIN solucin intervalo I - , intervalo de existencia,
intervalo de validez dominio de la solucin a, b a, b a, EJEMPLO 3 ,
). a) dy dx xy ; y 1 16 1 2 x4 b) y 2y y 0; y xex SOLUCIN x a) lado
derecho: xy1/2 x 1 16 x4 1/2 x 1 4 x2 1 4 x3 , lado izquierdo: dy
dx 1 16 (4 x3 ) 1 4 x3 , x y1/2 1 4 x2 1 16 x4. b) y xex ex y xex
2ex x, lado derecho: .0 lado izquierdo: y 2y y (xex 2ex ) 2(xex ex
) xex 0, y 0, x I solucin trivial. CURVA SOLUCIN curva solucin. - I
funcin solucin I EJEMPLO 4 Funcin contra solucin y 1x funcin x y 1x
- xy - y 1x 1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGA l 5
46. 6 l CAPTULO 1 INTRODUCCIN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES y
1x x y x y 1x xy y y 1x solucin I y 1x cualquier 3, 1), (1 2 , 10),
( y 1x 3 x 1 2 x - y 1x x 0 x I I - SOLUCIONES EXPLCITAS E
IMPLCITAS - funciones explcitas funciones implcitas - solucin
explcita y (x) y 1 16 x4, y xex y 1x - dydx xy , y 2y y xy y y - -
y (x G(x, y) DEFINICIN 1.1.3 Solucin implcita de una EDO G(x, y)
solucin implcita I I. G(x, y) G(x, y) G(x, (x)) 0) I G(x, y) y x i)
Comentarios. EJEMPLO 5 Comprobacin de una solucin implcita x2 y2 dy
dx x y (8) . d dx x2 d dx y2 d dx 25 o 2x 2y dy dx 0 dydx x2 y2 y x
y 225 x2 2(x) 125 x2y 1(x) 125 x2 y y 1 x y 1 a) funcin y 1/x, x 0
b) solucin y 1/x, (0, ) 1 x y 1 FIGURA 1.1.1 y 1x y 1x.
47. x2 1 2 x2 2 2 - x2 y2 c formalmente - c c x2 y2 25 FAMILIAS
DE SOLUCIONES integral de la ecuacin curva integral - c - F(x, y,
y) 0, normalmente c G(x, y, c) familia de soluciones uniparam-
trica n, F(x, y, y, . . . , y(n) ) 0, familia de soluciones
n-paramtrica G(x, y, c1 , c2 , . . . , cn ) - ciones solucin
particular. EJEMPLO 6 Soluciones particulares a) y cx x x xy y x2 x
, c y x x c 0. b) y c1 ex c2 xex - y 2y y 0 y 5 x (c1 0, c2 5), y
3xex (c1 3, c2 y 5ex 2xex (c1 5, c2 solucin singular y 1 16 x4 y -
dydx xy , - dydx xy - y (1 4 x2 c)2 c y 1 16 x4 y y (1 4 x2 c)2 c y
0. y x 5 5 y x 5 5 y x 5 5 5 a) solucin implcita x2 y2 25 b)
solucin explcita y1 25 x2 , 5 x 5 c) solucin explcita y2 25 x2 , 5
x 5 FIGURA 1.1.2 FIGURA 1.1.3 y x c>0 c