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Ecuaciones Diferenciales Parciales (E.D.P.)

Una ecuación diferencial parcial es una expresión matemática que contiene una o

más variables dependientes (o incógnitas) y dos o más variables independientes.

Las E.D.P. se pueden clasificar de acuerdo a su orden, linealidad y tipo de condiciones

de frontera.

El orden de una E.D.P está determinado por la derivada parcial de mayor orden

presente en la expresión.

Ejemplo:

1) La ecuación 𝜕𝑢

𝜕𝑥− 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0 es de primer orden.

2) La ecuación 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 0 es de segundo orden.

3) La ecuación (𝜕3𝑢

𝜕𝑥3)2

+ 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 0 es de tercero orden.

NOTA: Usaremos en lo sucesivo la notación que se emplea en cálculo diferencial:

𝑝 =𝜕𝑧

𝜕𝑥 , 𝑞 =

𝜕𝑧

𝜕𝑦 , 𝑟 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2 , 𝑠 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦 , 𝑡 =

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2

Origen de las E.D.P.

El origen de las E.D.P. son de primitivas, problemas geométricos y de problemas

físicos.

Ejemplo: Eliminando las constantes arbitrarias a y b de la función z de dos variables independientes x

e y, definidas por la relación:

𝑥2𝑦 + 𝑎𝑧 + 𝑏𝑦 = 0 ………. (i)

Hallar la E.D.P.:

SOLUCIÓN:

Derivando parcialmente (i) con respecto a x e y, obtenemos:

2𝑥𝑦 + 𝑎𝜕𝑧

𝜕𝑥= 0 ………. (ii)

𝑥2 + 𝑎𝜕𝑧

𝜕𝑦= 0 ………. (iii)

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Para determinar a y b entre las ecuaciones (i), (ii) y (iii), multiplicamos (i) por 𝜕𝑢

𝜕𝑥 , (ii) por

𝑦𝜕𝑧

𝜕𝑥− 𝑧 y (ii) por −𝑦

𝜕𝑧

𝜕𝑥 , sumando las 3 ecuaciones resultantes y dividiendo entre 2𝑥𝑦 ,

se tiene:

𝑦𝜕𝑧

𝜕𝑥− 𝑧 = 0

Ejemplo: Dado 𝑧 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑦2 ………. (i)

Hallar la E.D.P. eliminando constantes arbitrarias a y b.

SOLUCIÓN: 𝜕𝑧

𝜕𝑥= 2𝑎𝑥 o bien 𝑝 = 2𝑎𝑥 ……….. (ii)

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 2𝑏𝑦 o bien 𝑞 = 2𝑏𝑥 ……….. (iii)

Despejando a y b de (ii) y (iii) se obtiene que 𝑎 =𝑝

2𝑥 y 𝑏 =

𝑞

2𝑦 y sustituyendo en (i), se

obtiene:

𝑝

2𝑥𝑥2 +

𝑞

2𝑦𝑦2 = 𝑧

𝑝

2𝑥𝑥2 +

𝑞

2𝑦𝑦2 = 𝑧

𝑝𝑥2 + 𝑞𝑦2 = 2𝑥𝑦𝑧 ………. (iv)

La ecuación (iv) es una E.D.P de orden uno.

Ejemplo: Eliminando a y b de 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑥𝑦 . Hallar la E.D

SOLUCIÓN: 𝑧 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑥𝑦 ………. (i)

Derivando parcialmente (i) respecto de x e y, se tiene:

𝜕𝑧

𝜕𝑥= 𝑎 + 𝑐𝑦 o bien 𝑝 = 𝑎 + 𝑐𝑦 ………. (ii)

𝜕𝑧

𝜕𝑦= 𝑏 + 𝑐𝑥 o bien 𝑞 = 𝑏 + 𝑐𝑥 ………. (iii)

Estas relaciones juntas no son suficientes para eliminar las constantes.

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Derivamos (ii) parcialmente respecto a x:

𝜕

𝜕𝑥(𝑝) =

𝜕

𝜕𝑥(

𝜕𝑧

𝜕𝑥) =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥2= 0 o bien: 𝑟 = 0 ……….. (iv)

Derivamos (iii) parcialmente respecto a y:

𝜕

𝜕𝑦(𝑞) =

𝜕

𝜕𝑦(

𝜕𝑧

𝜕𝑦) =

𝜕2𝑧

𝜕𝑦2= 0 o bien: 𝑡 = 0 ……….. (v)

Derivando (ii) parcialmente respecto de y y (iii) respecto de x, obtenemos:

𝜕

𝜕𝑦(𝑝) =

𝜕

𝜕𝑥(𝑞) =

𝜕2𝑧

𝜕𝑥𝜕𝑦= 𝑐 o bien 𝑠 = 𝑐 ………. (vi)

Sustituyendo (vi) en (ii) y (iii), resulta:

𝑝 = 𝑎 + 𝑠𝑦 de donde 𝑎 = 𝑝 − 𝑠𝑦

𝑞 = 𝑏 + 𝑠𝑦 de donde 𝑏 = 𝑞 − 𝑠𝑦 y 𝑐 = 𝑠

Sustituyendo a, b y c en (i), obtenemos:

𝑧 = (𝑝 − 𝑠𝑦)𝑥 + (𝑞 − 𝑠𝑦)𝑦 + 𝑠𝑥𝑦

𝑧 = 𝑝𝑥 + 𝑞𝑦 − 𝑠𝑥𝑦 (es una ecuación de orden dos)………. (vii)

Considerando la E.D.P.:

𝑎𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑏

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑐

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 𝑑 = 0 ………. (1)

Que se pueden clasificar según su linealidad en: lineales, cuasi lineales y no lineales,

como sigue:

A. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son constantes o función de las variables

independientes x, y; entonces se trata de una E.D.P. lineal.

B. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son funciones de la variable dependiente,

y/o de sus derivadas de menor orden que el de la educación diferencial(x, y,

u,𝜕𝑢

𝜕𝑥,

𝜕𝑢

𝜕𝑦 ), entonces se trata de una E.D.P. cuasi lineal.

C. Si los coeficientes a, b, c y d en (1) son funciones de derivadas del mismo

orden que el de la ecuación diferencial (x, y, u, 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2,

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2,

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦), entonces se

trata de una E.D.P. cuasi no lineal.

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Ejemplo:

1) La E.D.P. 𝜕𝑢

𝜕𝑥− 𝑘

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0 , k=constante; es lineal.

2) La E.D.P. 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2− 𝑢

𝜕𝑢

𝜕𝑦= 0 es cuasi lineal.

3) La E.D.P. (𝜕2𝑢

𝜕𝑥2)2

+ 𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑧2= 0 es no lineal.

Forma General de una E.D.P. de Segundo Grado

Es de la forma:

𝑎𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+ 𝑏

𝜕2𝑢

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝑐

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+ 𝑑

𝜕𝑢

𝜕𝑥+ 𝑒

𝜕𝑢

𝜕𝑦+ 𝑓𝑢 = 𝑔 ………. (2)

Donde los coeficientes 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓y 𝑔 de (2) son constantes o funciones de las

variables independientes.

Si 𝑔 ≡ 0 entonces se trata de una E.D.P. homogénea.

Las tres formas canónicas de la E.D.P. de segundo orden (2), son determinados por

los siguientes criterios.

Si 𝑏2 − 𝑎𝑐 < 0, entonces es una ecuación ELÍPTICA.

Si 𝑏2 − 𝑎𝑐 = 0, entonces es una ecuación PARABÓLICA.

Si 𝑏2 − 𝑎𝑐 > 0, entonces es una ecuación HIPERBOLÍCA.

Ejemplo: 1) La ecuación 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+

𝜕2𝑢

𝜕𝑦2= 0 ………. (i) es elíptica.

En efecto, comparando (i) con (2), tenemos:

𝑎 = 1, 𝑏 = 0, 𝑐 = 0

𝑏2 − 𝑎𝑐 = (0)2 − (1)(1) = −1 < 0

Por lo tanto, la ecuación (i) es elíptica.

2) La ecuación 𝑘𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝜕𝑢

𝜕𝑡 con 𝑘 > 0 es parabólica.

Las condiciones INICIALES y de FRONTERA que están asociados con una E.D.P., se

debe especificar con la finalidad de poder obtener una solución particular de la

ecuación. En general, el tipo de condiciones de frontera de una E.D.P. se divide en tres

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categorías: condiciones de Dirichlet, las condiciones de Cauchy y condiciones de

Robbins.

Condición de Dirichlet: En las condiciones de Dirichlet, los valores de la variable

dependiente son conocidos, para valores fijos de la variable independiente. Por

ejemplo, para la ecuación parte (2) del ejemplo anterior, unas condiciones de

Dirichlet podrían ser:

Para la condición inicial:

𝑢 = 𝑓(𝑥) para 𝑡 = 0 y 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿, otro caso podría ser, 𝑢 = 𝑢0 con

𝑢0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 , para 𝑡 = 0 y 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿

Para la condición de frontera:

𝑢 = 𝑓(𝑥) para 𝑥 = 0 y 𝑡 = 0, o bien podría ser 𝑢 = 𝑢1 con 𝑢1 =

𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 para 𝑥 = 𝐿 y 𝑡 > 0.

ALGUNAS E.D.P. IMPORTANTES

1. Ecuación de la conducción de calor

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑘∇2𝑢

Aquí 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) es la temperatura de un sólido que está situada en el

punto(𝑥, 𝑦, 𝑧) en el instante 𝑡. La constante 𝑘 llamada difusibilidad es igual a 𝑘

𝜎𝜏⁄ donde la conductividad térmica 𝑘, el calor específico 𝜎 y la densidad

(masa por unidad de volumen) 𝜏 se toma como constante.

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑘

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 con 𝑘 > 0 ………. (3)

La ecuación (3) es llamada Ecuación de la conducción de calor unidimensional.

La E.D.P. (6) es parabólica pues:

𝑏 = 0, 𝑐 = 0 y a= 𝑘, entonces 𝑏2 − 𝑎𝑐 = 0

En (6), la variable dependiente 𝑢(𝑥, 𝑡) representa la temperatura de una

varilla en una posición y tiempo dado.

Esta ecuación también puede representar el flujo eléctrico en un cable.

2. La Ecuación de Laplace en dos dimensiones o temperatura de estado estable

en una placa rectangular

∇2𝑢 =𝜕

2𝑢

𝜕𝑥2 +𝜕

2𝑢

𝜕𝑦2 = 0 ………. (4)

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La cual es una E.D.P. elíptica, pues en (4), la variable dependiente 𝑢(𝑥, 𝑡)

representa la temperatura de una placa plana en una posición 𝑥 e 𝑦, en

condiciones de estado estable. Esta E.D. también puede representar

desplazamiento estático de membranas.

3. Ecuación de Onda unidimensional 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2=

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2 ………. (5)

La ecuación (5) es E.D.P. hiperbólica, acomodando se tiene: 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2−

𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 0

De aquí 𝑏 = 0, 𝑎 > 0 y c< 0, entonces 𝑏2 − 𝑎𝑐 > 0.

En esta ecuación, la variable dependiente 𝑢(𝑥, 𝑡) representa pequeños

desplazamientos de una cuerda vibrante idealizada.

4. Vibraciones longitudinales de una viga 𝜕2𝑢

𝜕𝑡2= 𝑐2 𝜕2𝑢

𝜕𝑥2

Esta ecuación es la misma que la ecuación de la cuerda vibrante

5. Vibraciones transversales de una viga 𝜕2𝑦

𝜕𝑡2+ 𝑏2 𝜕4𝑦

𝜕𝑥4= 0

Aquí 𝑦(𝑥, 𝑡) es la elongación transversal de un punto cualquiera 𝑥 en un

instante cualquiera 𝑡.

MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES PARA LA SOLUCIÓN DE LA E.D.P

El método de separación de una variable para la solución de una E.D.P consiste en

proponer una solución del tipo:

𝑢(𝑥, 𝑦) = 𝑋(𝑥)𝑌(𝑦)

Donde 𝑋(𝑥) es una función de 𝑥 y 𝑌(𝑦) es una función exclusivamente de 𝑦, así que

cualquier E.D. que se pueda representar de esta manera podrá ser resuelta con el

método que a continuación se presenta.

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Ejemplo: Resolver la ecuación de calor propuesto en (3), por el método de separación de variables.

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑘

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2 con 𝑘 > 0 ………. (6)

SOLUCIÓN: Puesto que 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡), haremos el cambio de variable de 𝑌 a 𝑇, así:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡)

Y las derivadas parciales toman la forma:

𝜕𝑢

𝜕𝑥= 𝑋′(𝑥)𝑇(𝑡) ………. (7)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2= 𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) ………. (8)

𝜕𝑢

𝜕𝑡= 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡) ………. (9)

Al sustituir (7), (8) y (9) en (6)

𝑘𝑋′′(𝑥)𝑇(𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇′(𝑡)

Separando variables:

𝑋′′(𝑥)

𝑋(𝑥)=

1

𝑘

𝑇′(𝑡)

𝑇(𝑡) ………. (10)

Para que la igualdad (10) se cumpla, y dado que el miembro de la izquierda es función solo de 𝑥 y el de

la derecha solo de 𝑡, la única manera de que esto sea posible, es haciendo que la ecuación (10) sea igual

a una constante, a la que por conveniencia llamaremos 𝜆2, así:

𝑋′′(𝑥)

𝑋(𝑥)=

1

𝑘

𝑇′(𝑡)

𝑇(𝑡)= 𝜆2

………. (11)

La constante 𝜆2puede ser positiva (𝜆2 > 0), negativa (−𝜆2 < 0) o bien cero (𝜆2 = 0).

Para obtener las funciones de 𝑋(𝑥) y 𝑇(𝑡), tomaremos tanto la parte de la izquierda como la derecha

de (11), y los tres posibles valores de 𝜆2.

Caso 𝜆2 > 0

𝑋′′(𝑥) − 𝜆2𝑋(𝑥) = 0

la cual es una E.D. lineal de segundo grado, cuya ecuación característica es 𝑚2 − 𝜆2 = 0, donde la

solución es:

𝑋(𝑥) = 𝑐1𝑒𝜆𝑥 + 𝑐2𝑒−𝜆𝑥

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la cual puede ser escrita de manera alternativa como:

𝑋(𝑥) = 𝑐1𝑐𝑜𝑠ℎ (𝜆𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛ℎ(𝜆𝑥)

Y con el segundo miembro de (11)

𝑇′(𝑡) − 𝜆2𝑘𝑇(𝑡) = 0

Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es:

𝑇(𝑡) = 𝑐3𝑒𝜆2𝑥

Una vez obtenida las funciones 𝑋(𝑥) y 𝑇(𝑡), una solución particular propuesta por el método tiene la

forma:

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑋(𝑥)𝑇(𝑡) = (𝑐1𝑒𝜆𝑥 + 𝑐2𝑒−𝜆𝑥)𝑐3𝑒𝜆2𝑥

O también:

𝒖(𝒙, 𝒕) = (𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬𝐡(𝝀𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏𝒉(𝝀𝒙))𝒄𝟑𝒆𝝀𝟐𝒙

Caso −𝜆2 < 0

𝑋′′(𝑥) + 𝜆2𝑋(𝑥) = 0

El cual es una E.D. lineal de segundo orden, cuya ecuación característica es 𝑚2 + 𝜆2 = 0, donde la

solución es:

𝑋(𝑥) = 𝑐1cos (𝜆𝑥) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(𝜆𝑥)

Y

𝑇′(𝑡) + 𝜆2𝑘𝑇(𝑡) = 0

Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es:

𝑇(𝑡) = 𝑐3𝑒−𝜆2𝑥

De aquí la solución particular es:

𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) = (𝒄𝟏𝐜𝐨𝐬 (𝝀𝒙) + 𝒄𝟐𝒔𝒆𝒏(𝝀𝒙))𝒄𝟑𝒆𝝀𝟐𝒙

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Caso 𝜆2 = 0

𝑋′′(𝑥) = 0

La cual E.D. lineal de segundo orden, cuya ecuación característica es 𝑚2,donde la solución es:

𝑋(𝑥) = 𝑐1 + 𝑐2𝑥

Y

𝑇′(𝑡) = 0

Que es una E.D. lineal de primer orden, cuya solución es:

𝑇(𝑡) = 𝑐3

Una vez obtenidas las funciones 𝑋(𝑥) y 𝑇(𝑡), una tercera solución particular, tiene la forma:

𝒖(𝒙, 𝒕) = 𝑿(𝒙)𝑻(𝒕) = (𝒄𝟏 + 𝒄𝟐𝒙)𝒄𝟑