EJERCICIOS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES II

ING.CIVIL

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Castigliano

I. Para las siguientes vigas simplemente apoyadasdetermínese la deflexión indicada. Por losmétodos geométricos y los energéticos

PROBLEMA NRO.: 1

2

3

L

3

L

W

RESOLUCIÓN

Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en elpunto 2.

2

3

L

3

L

W

1YR3YR

P

11 13121XR

Por ESTÁTICA:

0XF 1 0XR

0YF 1 3 02Y Y

WLR R P

1 3 2Y Y

WLR R P ...... 1

2 0M 1 3

20

3 3Y Y

L LR R

1 3

2

3 3Y Y

L LR R

1 32 Y YR R ...... 2

Reemplazando (2) en (1):

1 3 2Y Y

WLR R P 3

32 2Y

Y

R WLR P

33

2 2YR WL

P 3

3

2 2Y

WLR P

,

entonces: 1

1

2 2Y

WLR P

1. Por Superposición de cargas:

2

3

L

3

L

W

1YR3YR

P

11 13121XR

W

3

2

W

3

2

Wa

aP

x

aM

aM

1YR

1

3

2

wY x

L

31 4

wM x

L

21

3

4

wV x

L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

9 2

4 3

w LV x

L

3

2

3 2

4 3

w LM x

L

2MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II 1 3 2y w

x L 1

3

2

wy x

L

1

21

31

3

23

4

4

wY x

Lw

V xLw

M xL

1 3 2

2 3 3

y w

x L L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

2

3

2

9 2

2 3

9 2

4 3

3 2

4 3

w LY x

L

w LV x

L

w LM x

L

2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

3

31

2 3 2

3 4 4 3Y

L w w LMa R x P x x x

L L

3. DeterminamosMa

P

:

2 2 2 3

3 3 2 3 2

Ma L L x L xx x

P

4. Reemplazando en el Primer Teorema deCastigliano:

M M

dxEI P

,

" "P Carga concentrada ficticia 0P

3

31

3 2 2 3

4 4 3 3 2Y

w w L L xR x x x dx

L L

3

31

3 2 2

4 4 3 3Y

w w L LR x x x dx

L L

3

31

3 2 3

4 4 3 2Y

w w L xR x x x dx

L L

3

31

3 2 2

4 4 3 3Y

w w L LR x x x dx

L L

3

31

3 2 3

4 4 3 2Y

w w L xR x x x dx

L L

5. Deflexión en 2 , para: 2 3x L

2 3

3 5 4

0

2

12 20 405

x L

x

wL w wEI x x L

L

2 32 4

2 4

0

2

12 24 81

x L

x

w L w Lx w L

4 4 4 4 42 8 2 2

81 1215 405 27 243

wL wL wL wL wLEI

42

81wL

426

3645wL

EI

Rpta.: 42 3

26

3645x L wLEI


L

Senx

WL

RESOLUCIÓN

Aplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto2.

L

Senx

WL

1YR

1XR

3YR

1112

13

a

a

aM

Por ESTÁTICA:

3Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR 0XF 1 0XR

0YF 1 3 0Sen 0

L

Y Y

xR R W dx P

L

1 3

2Y Y

WLR R P

...... 1

2 0M 1 3 02 2Y Y

L LR R

1 3Y YR R 1 3Y YR R ...... 2


1 3

2Y Y

WLR R P

1 1

2Y Y

WLR R P

1

22 Y

WLR P

1 3 2Y Y

WL PR R

1. Carga aplicada:

L

Senx

WL

Senx

WL

2

L

2

L1YR

1YR

1XR

3YR

P

1112

13

a

a

aM

a

a

aM

x

P

Ecuación del momento en la sección:

1 10Sen

x

a Y Y

xV dV R W dx R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLV R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLM R P dx

L

2

2

0

Sen2

x

a

WL P WL x WL xM x Px

L

2

2

0

Sen2

x

a


L

2

2Sen

2a

WL x PxM

L

1

0

2

2

Cos

Sen2

x

a Y

a

WL x WLV R P

L

WL x PxM

L


2

2Sen

2

WL x PxMa

L

3. DeterminamosMa

P

:

2

Ma x

P


M M

dxEI P

,


22

20Sen

2

L WL x xEI dx

L

4

4

L WEI

4

4

L WEI

4

4

1WL

EI

Rpta.:4

2 4

1x L

WL

EI


L4

L

W

n

RESOLUCIÓN

4MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES IIAplicamos una fuerza imaginaria 0P , en el punto1.

L4

L

W

n

W

n

2YR 3YR

P

P

a

a

a

a

x

aM

aM

2YR 3YR

Por ESTÁTICA:

0YF 2 3 0

1Y Y

WaR R P

n

2 3

5

1 4Y Y

W LR R P

n

...... 1

2 0M

2

2

50

4 ( 1)( 2)Y

L WLR L P

n n

2

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P

n n

2

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P

n n

...... 2


1 3

4

1 5Y Y

W LR R P

n

3

4 5

1 5 4 ( 1)( 2)Y

W L WLR P P

n n n

3

4 1 1

1 5 2 4Y

WLR P

n n

3

4 1 1

1 5 2 4Y

WLR P

n n

1. Carga aplicada:

L4

L

W

n

W

n

2YR 3YR

P

P

a

a

a

a

x

aM

aM

2YR 3YR

1

1

1

2

1

1

1 2

n

n

n

Y kx

kxV

n

kxM

n n


2

2 4 1 2

n

Y

L kxMa R x P x

n n

3. DeterminamosMa

P

:

5 5

4 4 4 16

Ma L x Lx x

P


M M

dxEI P

,


2

2

5

4 1 2 4 16

n

Y

L kx x LR x dx

n n

2 5

( 1)( 2) 4 1 2 4 16

nWL L kx x Lx dx

n n n n

5Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR

0

5

( 1)( 2) 4 4 16

x WL L x Lx dx

n n

2

0

5

1 2 4 16

nx kx x L

dxn n

2 2

0

5 5

( 1)( 2) 4 16 16 64

xWL x L Lx Lx dx

n n

3 2

0

5

1 2 4 16

n nxk x Lx

dxn n

3 2 2

2

0

5 5

( 1)( 2) 12 32 32 64

xWL x L Lx L

x xn n

4 3

0

5

1 2 4 4 16 3

xn nk x Lx

n n n n

3 2

23 5

( 1)( 2) 12 16 64

WL x L Lx x

n n

4 31 5

1 2 4 4 16 35 4

n n

n

W x Lx

n n n nL

3 2

23 5

( 1)( 2) 12 16 64

WL x L Lx x

n n

4 31 5

1 2 4 4 16 35 4

n n

n

W x Lx

n n n nL

5. Deflexión en 1, para: 0x

0

625

6144 1 2 3 4x

WLEI

L n n n

4

30 166 3 4

5 25nn n

0

4

625

6144 1 2 3 4

30 166 3 4

5 25

x

n

WL

L n n n

n n

Aplicamos una Fuerza Ficticia " "P en el Punto2, donde 0P :


2

2 4 4 1 2

n

Y

L L kxMa R x P x

n n

7. DeterminamosMa

P

:

5

4 4 4 4 4

Ma L L x Lx x

P


M M

dxEI P

,


2

2 4 1 2 4 4

n

Y

L kx x LR x dx

n n

2

( 1)( 2) 4 1 2 4 4

nWL L kx x Lx dx

n n n n

0 ( 1)( 2) 4 4 4

x WL L x Lx dx

n n

2

0 1 2 4 4

nx kx x L

dxn n

2 2

0( 1)( 2) 4 4 16 16

xWL x L Lx Lx dx

n n

3 2

01 2 4 4

n nxk x Lx

dxn n

3 2

2

0

5

( 1)( 2) 12 32 16

xWL x L L

x xn n

4 3

01 2 4 4 4 3

xn nk x Lx

n n n n

3 2

25

( 1)( 2) 12 32 16

WL x L Lx x

n n

31

1 2 4 4 35 4

n

n

W x x L

n n n nL

9. Deflexión en 2 , para: 4x L

3 2 2

4

4 5

( 1)( 2) 12 32 4 16 4x L

LWL L L L L

n n

3

1 4 41 2 4 4 35 4

n

n

L LW L

n n n nL

3 3 2

4

5

( 1)( 2) 64 12 4 32 4x L

LWL L L L L

n n

2

2

5

4 1 2 4 16

n

Y

L kx x LR x dx

n n

6MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II

3

1 41 2 4 4 4 35

n

LW L L

n n n n

3

4

11

( 1)( 2) 1536x L

WL L

n n

4 3 131

1 2 256 4 3 45n

nW L

n n n n

4

4

11

1536( 1)( 2)x L

WL

n n

4 3 13

1024 5 1 2 3 4n

nWL

n n n n

4

4

3 1311

512 3 2 5 1 2 3 4x L n

nWL

n n n n

4

4

3 1311

512 3 2 5 1 2 3 4x L n

nWLEI

n n n n

4

4

3 1311512 3 2 5 1 2 3 4n

x L

nWL

n n n n

EI

Rpta.:

0

4

625

6144 1 2 3 4

30 166 3 4

5 25

x

n

WL

L n n n

n n

II.En el siguiente grupo de ejercicios hiperestáticoslevante el grado de hiperestaticidad y determinedeformaciones en los puntos indicados por losmétodos geométricos y energéticos.


PROBLEMA NRO.: 4

2

3

L

3

L

W

RESOLUCIÓN

Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-tacidad:

2

3

L

3

L

W

1YR

1

3

2

aM

3YR

3XR3M

a

aP

Por ESTÁTICA:

0YF 1 3 02Y Y

WLR R P

1 3 2Y Y

WLR R P ...... 1

2 0M 1 3 3

20

3 3Y Y

L LR R M

1 3 3

20

3 3Y Y

L LR R M

...... 2


3 3 3

20

2 3 3Y Y

WL L LP R R M

3 3

20

2 3 3Y

WL L LP R M



2

3

L

3

L

W

1YR

P

11

13

12

W

3

2

W

3

2

Wa

aP

x

aM

aM

1YR

a

a

3YR

3XR3M

3YR

3XR3M

1 3 2y w

x L 1

3

2

wy x

L

1

21

31

3

23

4

4

wY x

Lw

V xLw

M xL

1 3 2

2 3 3

y w

x L L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

2

3

2

9 2

2 3

9 2

4 3

3 2

4 3

w LY x

L

w LV x

L

w LM x

L


3

31

2 3 2

3 4 4 3Y

L w w LMa R x P x x x

L L

3. DeterminamosMa

P

:

2 2

3 3

Ma L Lx x

P


M M

dxEI P

,


3

31

3 2 2

4 4 3 3Y

w w L LR x x x x dx

L L

3

2 41

3 2

4 4 3Y

w w LR x x x x dx

L L

33

1

2 2

3 6 2 3Y

L w w LR x x x dx

3

2 41 3 2

2 2 4 4 3

wL w w Lx x x x dx

L L

331 2 2

2 2 3 6 2 3

wL L w w Lx x x dx


4 4 431 2 5

4374 1215 648

WL WL WLEI

4199

87480

LEI

Segundo Teorema de Castigliano:2. Planteamos la ecuación de fuerza interna:

3

31

3 2

4 4 3Y

w w LMa R x x x

L L

3. Determinamos1

Ma

R

:

1Y

Max

R


4199

87480wL

EI

1

3

2

wY x

L

31 4

wM x

L

21

3

4

wV x

L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

9 2

4 3

w LV x

L

3

2

3 2

4 3

w LM x

L


M M

dxEI P

,

3

31

3 2

4 4 3Y

w w LR x x x x dx

L L

3 4 41 7

03 20 3240YR L WL WL

4

1

31

216Y

WLR

Rpta.: 42 3

199

87480x L wLEI


L

Senx

WL

RESOLUCIÓN


L

Senx

WL

1YR

1112

13

a

a

aM

P

3YR

3XR3M

Por ESTÁTICA:

0XF 1 0XR

0YF 1 3 0Sen 0

L

Y Y

xR R W dx P

L

1 3

2Y Y

WLR R P

...... 1

2 0M 1 3 3` 02 2Y Y

L LR R M

1 3 3` 02 2Y Y

L LR R M

...... 2


1 3

2Y Y

WLR R P

1 1

2Y Y

WLR R P

1

22 Y

WLR P

1 3 2Y Y

WL PR R

1. Carga aplicada:

L

Senx

WL

Senx

WL

2

L

2

L1YR

1YR

P

1112

13

a

a

aM

a

a

aM

x

P

3YR

3XR3M

3XR3M

3YR


1 10Sen

x

a Y Y

xV dV R W dx R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLV R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLM R P dx

L

2

2

0

Sen2

x

a


L

2

2

0

Sen2

x

a


L

2

2Sen

2a

WL x PxM

L


1

0

2

2

Cos

Sen2

x

a Y

a

WL x WLV R P

L

WL x PxM

L


Sen2

WL x PxMa x L

L

3. DeterminamosMa

P

:

2

Ma x

P


M M

dxEI P

,


2

0Sen

2 2

L WL x Px xEI x L dx

L

4 4 4 4 4

3 3 4 3

3

48 48 48 4

L W L W L W L W L WEI

4

3

3 1

16

WLEI

4

3

3 1 1

16

WL

EI


Sen2

WL x PxMa x L

L

3. Determinamos1Y

Ma

R

:

1 2Y

Ma x

R


M M

dxEI P

,

SenWL x

x L x dxL

1 3

3Y

WL WLR

Rpta.:4

2 3

3 1 1

16x L

WL

EI


L

W

n

4

L

RESOLUCIÓN


L4

L

W

n

W

n

2YR 3YR

P

P

a

a

a

a

x

aM

aM

2YR3YR

3XR3M

3XR3M

3YR

Por ESTÁTICA:

0YF 2 3 0

1Y Y

WaR R P

n

2 3

5

1 4Y Y

W LR R P

n

...... 1

10MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II 2 0M

2

2 1

50

4 ( 1)( 2)Y

L WLR L P M

n n

2 1

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P M

n n

2 1

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P M

n n

...... 2

1. Carga aplicada:

L4

L

W

n

W

n

2YR 3YR

P

P

a

a

a

a

x

aM

aM

2YR3YR

3XR3M

3XR3M

3YR

1

1

1

2

1

1

1 2

n

n

n

Y kx

kxV

n

kxM

n n


2

2 4 1 2

n

Y

L kxMa R x P x

n n

3. DeterminamosMa

P

:

5 5

4 4 4 16

Ma L x Lx x

P


M M

dxEI P

,


2

2

5

4 1 2 4 16

n

Y

L kx x LR x dx

n n

2 5

( 1)( 2) 4 1 2 4 16

nWL L kx x Lx dx

n n n n

0

5

( 1)( 2) 4 4 16

x WL L x Lx dx

n n

2

0

5

1 2 4 16

nx kx x L

dxn n

2 2

0

5 5

( 1)( 2) 4 16 16 64

xWL x L Lx Lx dx

n n

3 2

0

5

1 2 4 16

n nxk x Lx

dxn n

3 2 2

2

0

5 5

( 1)( 2) 12 32 32 64

xWL x L Lx L

x xn n

4 3

0

5

1 2 4 4 16 3

xn nk x Lx

n n n n


0

625

256( 1)( 2) 3 4x

WLEI

n n n n

4

11 3 4

8 108 5n

n

0

4

625

256( 1)( 2) 3 4

11 3 4

8 108 5

x

n

WL

n n n n

n

Rpta.:

0

4

625

256( 1)( 2) 3 4

11 3 4

8 108 5

x

n

WL

n n n n

n



2

3

L

3

L

W

RESOLUCIÓN

Levantamos el grado de indeterminación o hiperes-tacidad:

2

3

L

3

L

W

1YR

13

2

aM

3YR

3XR3M

a

aP

1XR

1M

1M

Por ESTÁTICA:

0YF 1 3 02Y Y

WLR R P

1 3 2Y Y

WLR R P ...... 1

2 0M 1 3

20

3 3Y Y

L LR R

1 3

2

3 3Y Y

L LR R

1 32 Y YR R ...... 2


1 3 2Y Y

WLR R P 3

32 2Y

Y

R WLR P

33

2 2YR WL

P 3

3

2 2Y

WLR P

,

entonces: 1

1

2 2Y

WLR P


2

3

L

3

L

W

1YR

P

1

113

12

W

3

2

W

3

2

Wa

aP

x

aM

aM

1YR

a

a

3YR

3XR3M

3YR

3XR3M

1YR

1M

1 3 2y w

x L 1

3

2

wy x

L

1

21

31

3

23

4

4

wY x

Lw

V xLw

M xL

1 3 2

2 3 3

y w

x L L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

2

3

2

9 2

2 3

9 2

4 3

3 2

4 3

w LY x

L

w LV x

L

w LM x

L


3

31 1

2 3 2

3 4 4 3Y

L w w LMa R x P x x x M

L L

1

3

2

wY x

L

31 4

wM x

L

21

3

4

wV x

L

2

9 2

2 3

w LY x

L

2

2

9 2

4 3

w LV x

L

3

2

3 2

4 3

w LM x

L

12MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II3. Determinamos

Ma

P

:

2 2

3 3

Ma L Lx x

P


M M

dxEI P

,


3

31

3 2 2

4 4 3 3Y

w w L LR x x x x dx

L L

3

2 41

3 2

4 4 3Y

w w LR x x x x dx

L L

33

1

2 2

3 6 2 3Y

L w w LR x x x dx

3

2 41 3 2

2 2 4 4 3

wL w w Lx x x x dx

L L

331 2 2

2 2 3 6 2 3

wL L w w Lx x x dx


3

2 41 3 2

2 2 4 4 3

wL w w Lx x x x dx

L L

331 2 2

2 2 3 6 2 3

wL L w w Lx x x dx

431

21870wL

EI


3

31 1

3 2

4 4 3Y

w w LMa R x M x x

L L

3. DeterminamosMa

P

:

1Y

Max

R

1

1Ma

M


M M

dxEI P

,

3

31

3 20

4 4 3Y

w w LR x x x x dx

L L

3

31

3 21 0

4 4 3Y

w w LR x x x dx

L L

Entonces, resolviendo:

1

23

108Y

WLR

2

1

5

108

WLM

Rpta.: 42 3

31

21870x L wLEI


L

Senx

WL

RESOLUCIÓN


1YR

1XR

11

12 3a

a

aM

P

3YR

3XR3M

1M

Por ESTÁTICA:

0XF 1 0XR

0YF 1 3 0Sen 0

L

Y Y

xR R W dx P

L

1 3

2Y Y

WLR R P

...... 1

2 0M 1 3 1 02 2Y Y

L LR R M

13Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR1. Carga aplicada:

L

Senx

WL

Senx

WL

2

L

2

L

P

12

13

a

a

aM

a

a

aM

x

P

3YR

3XR3M

3XR3M

3YR

1YR

11XR

1M

1YR

1XR

1M


1 10Sen

x

a Y Y

xV dV R W dx R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLV R P

L

1

0

Cosx

a Y

WL x WLM R P dx

L

2

2

0

Sen2

x

a


L

2

2

0

Sen2

x

a


L

2

2Sen

2a

WL x PxM

L

1

0

2

12

Cos

Sen2

x

a Y

a

WL x WLV R P

L

WL x PxM M

L


2

12Sen

2

WL x PxMa M

L

3. DeterminamosMa

P

:

2

Ma x

P


M M

dxEI P

,


22

120Sen

2 2

L WL x Px xEI M dx

L

4

2 2

1 1 1

2 4

WLEI

Rpta.:4

2 2 2

1 1 1 1

2 4x L

WL

EI


2

3

L

3

L

n n

W

RESOLUCIÓN


2

3

L

3

L

nn

W

3

3YR

3XR3M

1YR

1

1XR

1M a

a

Por ESTÁTICA:

0YF 2 3 0

1Y Y

WaR R WL P

n

2 3

5

1 4Y Y

W LR R P

n

...... 1

2 0M


2

2

50

4 ( 1)( 2)Y

L WLR L P

n n

2

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P

n n

2

5

4 ( 1)( 2)Y

WLR P

n n

...... 2


1 3

4

1 5Y Y

W LR R P

n

3

4 5

1 5 4 ( 1)( 2)Y

W L WLR P P

n n n

3

4 1 1

1 5 2 4Y

WLR P

n n

3

4 1 1

1 5 2 4Y

WLR P

n n

1. Carga aplicada:

2

3

L

3

L

nn

W

3

3YR

3XR3M

1YR

1

1XR

1M a

a

3YR

3XR3M

1YR

1XR

1M

2 0YR

W

W

2M

aM

a

a

1

1

2

1 2

Y W

V Wx

WxM

1

1

1

2

1

1

1 2

n

n

n

Y kx

kxV

n

kxM

n n


2

2 4 1 2

n

Y

L kxMa R x P x

n n

3. DeterminamosMa

P

:

5 5

4 4 4 16

Ma L x Lx x

P


M M

dxEI P

,


2

2 1

5

4 1 2 4 16

n

Y

L kx x LR x M dx

n n

2

2 1

5

4 1 2 4 16

n

Y

L kx x LR x M dx

n n

0

5

( 1)( 2) 4 4 16

x WL L x Lx dx

n n

2

0

5

1 2 4 16

nx kx x L

dxn n


3 2

2

0

0 3 50 0

( 1)( 2) 12 16 64x

WL L LEI

n n

34 5 01 0

1 2 4 4 16 35 4

nn

n

LW

n n n nL

4 12 5 927

13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)

nWL

EI n n n n

Rpta.:

4

2 3

12 5 927

13122 ( 1)( 2)( 3)( 4)x L

nWL

EI n n n n


Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Tres MomentosCódigo: 120430

III. En los siguientes vigas continuas y marcos simples determinar las reacciones en los apoyos diagramade la estructura deformada y diagramada de fuerzas axiales, cortante y momentos por los métodos delos tres momentos; giros y desplazamientos y rigideces según corresponda.

5Sen5

x 4 /Ton m 4 / mTon

4m 2m 4m 2m

6m 5m 6m

60cm

30cm

60cm

30cm

15cm

40cm

15cm

RESOLUCIÓN

5Sen5

x 4 /Ton m 4 / mTon

4m 2m 4m 2m

6m 5m 6m

60cm

30cm

60cm

30cm

15cm

40cm

15cm

0L 1L 2L3L 4L

1. Determinamos las constantes de carga:)A

2

3

L

3

L

W

)B

L

Senx

WL

Tenemos:

.a De Área de Momentos, se obtiene:

2

3

L

3

L

W

1YR

2

4

WL

1YR L

3YR

2

36

WL

Por ESTÁTICA:

0YF 1 3 02Y Y

WLR R

1 3 2Y Y

WLR R

2 0M 1 0

2 3Y

WL LR L

1 6Y

WLR

1 6Y

WLR ...... 1

.b Determinamos centroides:

Área cx dx

1 2

1 1

2 2Y YR L R L

L 2

3

L

3

L

22 3

4 3 1 16

WL L WL

4

5

L

5

L

32 31

36 3 1 3 432

WL L WL 4

15

L

15

L

.c Determinamos6Aa

Ly

6Ab

L:

2 3 3

16 6 2 4 4

2 3 16 5 432 15YR LAa L WL L WL L

L L

,

3 4 4

16 6

3 20 1620YR LAa WL WL

L L

,

3 4 46 6

6 3 20 1620

Aa WL L WL WL

L L

,

4 4 4 46 6 6

18 20 1620 162

Aa WL WL WL WL

L L L

,

36

27

Aa WL

L

2 3 3

16 6

2 3 16 5 432 15YR LAb L WL L WL L

L L

,

3 4 4

16 6

6 80 6480YR LAb WL WL

L L

,

3 4 46 6

6 6 80 6480

Ab WL L WL WL

L L

,

4 4 4 46 6 6 5

36 80 6480 324

Ab WL WL WL WL

L L L

,


36 5

54

Ab WL

L ,

.a De Área de Momentos, se obtiene:

L

Senx

WL

2

2Sen

WL x

L

2

L

2

L1YR

1YR3YR

Por ESTÁTICA:

0YF 1 3 0Sen 0

L

Y Y

xR R W

L

1 30

2Cos

2

L

Y Y

WL x WLR R

L

Por Simetría: 1 3Y YR R

1

2 1

2Y

WLR

1Y

WLR

...... 1

.b Determinamos centroides:

Área cx dx

13

3

WL

L

L

23

3

WL

2 2

L L L

2 2

L L L

.c Determinamos6Aa

Ly

6Ab

L:

3 3

3 3

6 6

2 2

Aa WL L WL L L L

L L

,

3 3

3 3

6 6Aa WL L WL LL

L L

,

4

4

6 6Aa WL

L L

4 4

3 4

WL WL

4 3

3 3

6 6WL WL

L

,

3

3

6 6Aa WL

L

Por Simetría:6 6Aa Ab

L L

3

3

6 6 6Aa Ab WL

L L

2

3

L

3

L

W

36

27

Aa WL

L

36 5

54

Ab WL

L

L

Senx

WL

3

3

6 6 6Aa Ab WL

L L

Por Tres Momentos:

Considerando dos apoyos ficticios (Apoyo 0 y Apoyo5), ya que existen dos empotramientos es posible:

18MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II5Sen

5

x 4 /Ton m 4 / mTon

4m 2m 4m 2m

6m 5m 6m0L 1L 2L

3L 4L

1. TRAMO 0 – 1:

0 00 0 1 0 1 2 1

6 62 0

Aa AbM L M L L M L

L L

Como en el Tramo 0 -1 los factores:

060

Aa

L y 0 0M

0 0M L 1 02M L 01 2 1

6AaL M L

L 06

0Ab

L

01 2

62 6 6 0

AbM M

L , entonces:

330

4 6632

27 27

Ab WL

L

1 212 6 32 0M M ...... 1

2. TRAMO 1 – 2:

0 01 1 2 1 2 3 2

6 62 0

Aa AbM L M L L M L

L L

0 01 2 3

6 66 2 6 5 5 0

Aa AbM M M

L L

0 01 2 3

6 66 22 5 0

Aa AbM M M

L L , entonces:

330

5 4 66 580

54 54

Aa WL

L

3 30

3 3 3

6 6 6 5 5 3750Ab WL

L

1 2 3 3

37506 22 5 80 0M M M

...... 2

3. TRAMO 2 – 3:

0 02 2 3 2 3 4 3

6 62 0

Aa AbM L M L L M L

L L

0 02 3 4

6 65 2 5 6 6 0

Aa AbM M M

L L

0 02 3 4

6 65 22 6 0

Aa AbM M M

L L , entonces:

3 30

3 3 3

6 6 6 5 5 3750Aa WL

L

330

4 6632

27 27

Ab WL

L

2 3 4 3

37505 22 6 32 0M M M

...... 3

4. TRAMO 3 – 4:

0 03 3 4 3 4 5 4

6 62 0

Aa AbM L M L L M L

L L

Como en el Tramo 4 -5 (Tramo ficticio) los factores:

5 56 60

Aa Ab

L L y 5 0M

3 4 46 2 6M M L 5 4M L 0 06 6Aa Ab

L L 0

03 4

66 12 0

AaM M

L , entonces:

330

5 4 66 580

54 54

Aa WL

L

3 46 12 80 0M M ...... 4

De (1), (2), (3) y (4):

1

32

33

4

3212 6 0 0 3750

806 22 5 0

0 5 22 6 375032

0 0 6 1280

M

M

M

M

1

2

3

4

1.722

8.777

3.636

4.848

M

M

M

M

5. Cálculo de reacciones:Tramo 1 – 2:

2

3

L

3

L

4 /Ton m

1YR 2YR

8.7771.722

19Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTORPor ESTÁTICA:

0YF

1 2

4 60

2Y YR R

1 2 12Y YR R 1 212Y YR R ...... 1

2 0M 1 2

2 6 61.722 8.777 0

3 3Y YR R

1 24 2 7.055 0Y YR R ...... 2


26 40.945 0YR 2

40.9456.824

6YR

1 12 6.824 5.176YR 1 5.176YR Tramo 2– 3:

L

5Sen5

x

2YR3YR

8.777 3.636

Por ESTÁTICA:

0YF 2 3

20Y Y

WLR R

2 3

2 5 5Y YR R

2 3

50Y YR R

...... 1

2 0M (Momento en el centro de la luz)

2 3 8.777 3.636 02 2Y Y

L LR R

2 35 5 5.141 0Y YR R 2 35 5.141Y YR R

2 3

5.141

5Y YR R ...... 2


2

50 5.1412

5YR 2 7.444YR

3

507.444 8.471YR

3 8.471YR

Tramo 1 – 2:

2

3

L

3

L

4 /Ton m

3YR 4YR

4.8483.636

Por ESTÁTICA:

0YF

3 4

4 60

2Y YR R

3 4 12Y YR R 3 412Y YR R ...... 1

2 0M (Momento en el centro de la luz)

3 4

2 6 63.636 4.848 0

3 3Y YR R

3 44 2 1.212 0Y YR R ...... 2


46 46.788 0YR 4

46.7887.798

6YR

3 12 7.798 4.202YR 3 4.202YR

6. Finalmente:

1 5.176YR Ton

2 6.824 7.444 14.268YR Ton

3 8.471 4.202 12.673YR Ton

4 7.798YR Ton

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Método: Giros y Desplazamientos

2

4 /Ton m

6 Ton

6 Ton2m

1m

1m

2m5m4m

8 /Ton m

4 /Ton m



L

2W

W

a

a

x3YR

3XR3M

1YR1XR

1M

Levantamos el grado de libertad:

1 3 2

2 3 3

y w

x L L

2

9 2

2 3

w LY x

L

1

2

1

32

1

2

6

WxY W

L

WxV Wx

L

WxM Wx

L


3

21 1 6Y

WxMa R x M Wx

L

3. Determinamos1Y

Ma

R

y1

Ma

M

1Y

Max

R

y1

1Ma

M


1Y

M Madx

EI R

,1

M Madx

EI M

3

21 1 6Y

WxR x M Wx x dx

L

4

2 31 1 6Y

WxR x M x Wx dx

L

2 4 5

31 1

0

03 2 8 30

L

YR M x Wx Wxx

L 3 2 4 4

1 1 03 2 8 30YR L M L WL WL ...... 1

3

21 1 1 0

6Y

WxR x M Wx dx

L

3

21 1 0

6Y

WxR x M Wx dx

L

2 3 41

1

0

02 2 24

L

YR x Wx WxM x

L

2 3 31

1 02 2 24YR L WL WL

M L ...... 2

5. De (1) y (2), se obtiene:

1

2

1

13

20

103

120

Y

WLR

WLM

5. Por Estática:

3

2

3

43

20

7

8

Y

WLR

WLM


L

a

a

x3YR

3XR3M

1YR1XR

1M

P P

2

L

2

L

Levantamos el grado de libertad:


1 1

3

4 4Y

L LMa R x M P x P x

3. Determinamos1Y

Ma

R

y1

Ma

M

1Y

Max

R

y1

1Ma

M

21Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOR4. Reemplazando en el Primer Teorema de

Castigliano:

1Y

M Madx

EI R

,1

M Madx

EI M

1 1

3

4 4Y

L LR x M P x P x x dx

21 1

3

4 4Y

L LR x M x Px x Px x dx

21 1

3

4 4Y

L LR x M x Px x Px x dx 3 2 3 3

1 1 50

3 2 24 24YR L M L PL PL ...... 1

1 1

31

4 4Y

L LR x M P x P x dx

1 1

3

4 4Y

L LR x M P x P x dx

2 2 21

1 02 4 4YR L PL PL

M L ...... 2

5. De (1) y (2), se obtiene:

Por Simetría:

1 3

1 3 2

Y YR R P

PLM M

2

L

2

L

n n

W

3YR

3XR3M

1YR1XR

1M

a

a

x

2

1 3

4

12 1 3

n n WLM M

n n

L

2W

1W

ax

3YR

3XR3M

1YR1XR

1M

a

222 11

1 12 30

W W LW LM

222 11

3 12 20

W W LW LM

Sean las ecuaciones de giros y desplazamientos:

64 2ij ij ij i j

ij

M M Kl

62 4ji ji ji i j

ij

M M Kl

Determinando la rigideces relativas:Considerando: 20I

12

23

24

45

20 / 4 5

20 / 4 5

20 / 5 4

20 / 4 5

K

K

K

K

Tenemos:

12

336

55M 21

1312

165M

23 12M 32 12M

24

425

33M 42

150

11M

45

16

15M 54

16

15M

Planteamiento de ecuaciones

12 1

3365 4

55M 2

62

ijl

2

33610

55

21 1

13125 2

165M

2

64

ijl

2

131220

165

23 2 3 2 3

612 5 4 2 12 20 10

ij

Ml


32 2 3 2 3

612 5 2 4 12 10 20

ij

Ml

24 2 4 2 4

425 6 4254 4 2 16 8

33 33ij

Ml

42 2 4 2 4

150 6 1504 2 4 8 16

11 11ij

Ml

45 4 5 4 5

16 6 165 4 2 20 10

15 15ij

Ml

54 4 5 4 5

16 6 165 2 4 10 20

15 15ij

Ml

Por Continuidad:

21 23 24 0M M M

2 3 4

93156 10 8 0

55 ...... 1

32 0M

2 312 10 20 0 ...... 2

42 45 0M M

2 4 5

20748 36 10 0

165

...... 3

54 0M

4 5

1610 20 0

15 ...... 4

De (1), (2), (3) y (4):

2

3

4

5

0.532

0.866

0.526

0.209

rad

rad

rad

rad

12 2

33610

55M , 21 2

131220

165M

12 0.789M , 21 18.952M

23 2 312 20 10 10.02M

32 2 312 10 20 0M

24 2 4

42516 8 2.695

33M

42 2 4

1508 16 8.575

11M

45 4 5

1620 10 9.497

15M

54 4 5

1610 20 0.013

15M

Rpta.:

2

3

4

5

0.532

0.866

0.526

0.209

rad

rad

rad

rad

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS Método: Trabajo VirtualCódigo: 120430

IV. Para las armaduras mostradas determine los grados de libertad en todos los puntos por los métodosde trabajo virtual y castigliano. NOTA: Si la armadura es hiperestática levante su grado deindeterminación.

2 Ton

4 Ton 4 Ton

5m

2m

4m 4m

De la figura, se obtiene:

2 Ton

4 Ton 4 Ton

5m

2m

2m 2m 2m 2m

1YR5YR

5 XR1XR

24MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES IIPor ESTÁTICA: 0XF 1 52X XR R 5 1 2X XR R ...... 1

0YF 1 5 4 4 0Y YR R 1 5 8Y YR R ...... 2

1 0M 54 2 2 7 4 6 8 0YR 5

46

8YR ...... 3


1 5 8Y YR R 1 58Y YR R 1

46 188

8 8YR 1

18

8YR

Liberamos el grado de indeterminación:

2 Ton

4 Ton 4 Ton

5m

2m

2m 2m 2m 2m

1YR

5 XR

1XR

5

4 4

5

7 7

5 / 2 5 / 2

3m

11

13

12 14

15

A) Armando la matriz de cosenos: 1M

1XR 1YR 5 XR 12S 13S 23S 24S 34S 35S 45S

1X 1 0 05

221

4

410 0 0 0 0

1Y 0 1 014

221

5

410 0 0 0 0

2X 0 0 05

221

0

3

51 0 0 0

2Y 0 0 014

221

0

4

5

0 0 0 0

3X 0 0 0 04

41

3

5

0

3

5

4

410

3Y 0 0 0 05

41

4

50

4

5

5

41

0

4X 0 0 0 0 0 0 13

5

0

5

221


4Y 0 0 0 0 0 0 04

5

0

5X 0 0 0 0 0 0 0 04

41

5Y 0 0 1 0 0 0 0 05

41

B) Matriz de cargas: 2M

Real2 XR 2 yR 3XR 3 yR 4 XR 4 yR 5 XR 5 yR

1X 0 0 0 0 0 0 0 0 01Y 0 0 0 0 0 0 0 0 02X 2 1 0 0 0 0 0 0 02Y 4 0 1 0 0 0 0 0 03X 0 0 0 1 0 0 0 0 03Y 0 0 0 0 1 0 0 0 04X 0 0 0 0 0 1 0 0 04Y 4 0 0 0 0 0 1 0 05X 3.1 0 0 0 0 0 0 1 05Y 0 0 0 0 0 0 0 0 1

DEFORMACIONES: 2 3 240 4 10A cm m , 6 2 122 10 2 10E Kg cm Ton

Nodos:

Barra L S S2x S2y S3x S3y SLS2x SLS2y SLS3x SLS3y

1_2 7.430

6.403

2.500

3.000

2.500

6.4037.430

-1.670 -0.719 1.319 -1.199 0.959 8.921 -16.366 14.877 -11.899

1_3 -0.849 1.988 -0.710 2.246 -0.516 -10.807 3.860 -12.210 2.805

2_3 -3.012 0.847 -0.302 1.411 -1.129 -6.378 2.274 -10.625 8.501

2_4 -0.750 -1.750 0.625 -1.250 1.000 3.938 -1.406 2.813 -2.250

3_4 -0.762 1.976 -0.706 1.411 -1.129 -3.764 1.345 -2.688 2.151

3_5 -3.019 0.904 -0.323 0.645 -0.516 -17.475 6.244 -12.468 9.975

4_5 -3.590 -1.678 0.599 -1.199 0.959 44.758 -15.978 31.982 -25.580

Barra L S S4x S4y S5x S5y SLS4x SLS4y SLS5x SLS5y

1_2 7.430

6.403

2.500

3.000

2.500

-1.670 -0.719 0.599 -2.398 0 8.921 -7.432 29.755 0.0

1_3 -0.849 1.988 -0.323 2.892 0 -10.807 1.756 -15.721 0.0

2_3 -3.012 0.847 -0.706 2.823 0 -6.378 5.316 -21.257 0.0

2_4 -0.750 -0.750 0.625 -2.500 0 1.688 -1.406 5.625 0.0

14

221

5

221

14

221

26MOLLUNI BALCONA, JORGE LUIS RESISTENCIA DE MATERIALES II3_4 6.403

7.430-0.762 1.976 -0.302 2.823 0 -3.764 0.575 -5.378 0.0

3_5 -3.019 0.904 -0.710 2.892 0 -17.475 13.725 -55.904 0.0

4_5 -3.590 -1.678 1.319 -2.398 0 44.758 -35.183 63.964 0.0

Nodo 5:

15

XS S Lu

EA

1.083

uEA

31.3528 10u

15

YS S Lv

EA

0

vEA 0v

TENSIONES COMBINADAS

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Tema: T.C.

V.Para el elemento mostrado, halle el rango devalores de xy para el cual el esfuerzo cortante

máximo en el plano es igual o menor que 20 .ksi

8ksi

16ksi

xy

Mediante el Círculo de Morh, ubicamos los esfuerzos,el punto se sitúa en el R.El radio de los círculos limitante es 20Ksi:

8ksi

16ksi

1C 2C

D

1x 2x

R

Sea 1C la ubicación del radio del círculo que limita

más a la izquierda y 2C sea el de la derecha.

1 20C R ksi y 2 20C R ksi

Además 1C DR y 2C DR son triángulos rectángulos:

2 2 2

1 1C D DR C R 2 2 2

1 8 20C D

1 4 21C D ...... 1

Coordenadas del punto 1C :

1 0,16 4 21 0, 2.330C ksi

Coordenadas del punto 2C :

2 0,16 4 21 0,34.330C ksi

Asimismo:Coordenadas del punto 1x :

1 2.330 4 21, 8 20.660 , 8x ksi ksi

Coordenadas del punto 2x :

2 34.330 4 21, 8 52.660 , 8C ksi ksi

27Ingeniería Civil ING. SUCA SUCA, NÉSTOREl punto ,xy xy debe encontrarse en la línea

1 2x x : 20.660 52.660xyksi ksi

Rpta.: 20.660 52.660xyksi ksi

COLUMNAS

Resuelto por: MOLLUNI BALCONA, JORGE LUISCódigo: 120430 Tema: Columnas

VI. Un marco consta de 4 elementos en Lconectados por cuatro resortes torsionales deconstante K, cada uno. Si se aplican fuerzas Piguales en A y D halle la carga crítica crP para elsistema

P P

A

E

B

F

C

D

G

H

k

k k

k

2

L

2

L

2

L

2

L

Sea " " la rotación del elemento en forma de LCambio de ángulo a través de cada resorte detorsión es 2

A

E

BF

C

D

G

H

k k

k

2

L

2

L

2

L

2

L

Tenemos:

2k

E

AH

P

P

2k

El radio de los círculos limitante es 20Ksi:

2 2

L Lx Sen y 2 20C R ksi

Además 0EM 2 2 0k k Px 4Px k

4kP

x

Entonces 8cr

kP

L

Rpta.:8

cr

kP

L

Engineering

EJERCICIOS RESUELTOS DE RESISTENCIA DE MATERIALES II