UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

SEDE CABUDARE

INTEGRALES IMPROPIAS

ELABORADO POR:

JOSE FLORES

BARQUISIMETO, ABRIL DEL 2016

INTEGRALES IMPROPIAS.

Llamaremos integrales impropias a las integrales de funciones sobre intervalos ilimitados, o a las integrales de funciones que no están acotadas en un intervalo.      

Integrales impropias de primera especie. 

Convergencia.

Sea f (x) continua 

(∀ x ) Si existe limb→∞

∫a

b

f (x)dx

se dice que f tiene una integral impropia convergente en [a, +  ), y definimos:        

∫a

b

f (x )dx = limb→∞

∫a

b

f (x)dx     

Si no existe el límite, diremos que f tiene una integral impropia divergente en [a, +  ).        

De igual modo, definimos también

∫−∞

b

f (x)dx = lima→−∞

∫a

b

f (x)dx     , y        

∫−∞

∞

f (x)dx = lima→−∞

∫a

c

f (x)dx +   limb→∞

∫c

b

f (x)dx, si los limites existen

Ejemplo: Vamos a calcular el área que determina f (x) = 1x2

  con el eje X, a partir de x = 1.

  ∫1

∞ 1x2dx = lim

b→∞∫1

b 1x2dx = lim

b→∞¿ x

−1

−1 entre 1 y b = lim

b→∞¿ ¿ - (-1)) = 1

Integrales impropias de segunda especie.

Sea f (x) continua en (a, b], y no acotada en a.

(∀ x ) Si existe limδ →0

∫a+δ

b

f (x )dx, definimos

∫a

b

f (x )dx = limδ →0

∫a+δ

b

f (x )dx

Si el límite no existe, diremos que ∫a

b

f (x )dx  es divergente.

Ejemplo: f (x) = ln x continua para x > 0, no está acotada en x = 0. Calculemos el área del recinto que determina con los ejes. La integral indefinida será:        

∫0

1

ln x dx = limδ→0

∫0+δ

b

ln xdx = limδ→0

¿ (x ln x−x) entre δ y 1

¿ -1 - limδ→ 0¿ (δ ln δ)

¿−1

Ejemplo: Calcular el área del recinto que determina f (x) = 1

(x−1)2  entre x = 0 y x = 2.

La función no está acotada en x = 1.        

S = ∫0

1 1(x−1)2

dx+∫1

2 1(x−1)2

dx = limδ →0

∫0

1−δ 1(x−1)2

dx +   limδ →0

∫1+δ

2 1(x−1)2

dx

  = limδ →0

1x−1 entre 0 y 1 –δ + lim

δ →0

1x−1 entre 1 +δ y 2

= limδ →0

( 1δ−1) + lim

δ →0(−1+ 1

δ) = ∞

 La integral impropia es divergente.    

    

Otras aplicaciones.

Ejemplo: Después de x semanas, se prevé que se recauden f (x) = xe3 - x millones de pesetas por semana. ¿En qué momento la afluencia de dinero será máxima?. ¿Cuánto será lo recaudado en las tres primeras semanas?. ¿Cuánto se recaudaría si el tiempo fuese ilimitado?

f´ (x) = - e3−x(-1 + x) = 0 → x = 1

La afluencia de dinero será máxima en la primera semana.

Lo recaudado en las tres primeras semanas será:

∫0

3

(x e3− x)dx = - 4 + e3 ≈ 16.086 millones de pesetas.

 En tiempo ilimitado, la recaudación sería:        

∫0

∞

x e3−x dx = limb→∞

∫0

b

x e3− xdx = limb→∞

[−4e3−x+e3−x (3−x)] entre 0 y b

= limb→∞

(−e3−b−e3−bb+e3) = e3 ≈ 20.086 millones de pesetas