Matemáticas avanzadas para ingeniería, vol 2 - vectorial, fourier , complejo - dennis zill, dewar-...
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M atem áticas avanzadas para in g en iería 2 C álculo vectorial , ANÁLISIS DE FOURIER Y ANÁLISIS COMPLEJO DENN1S G. Z1LL JACQEIELIINE M. UEWAR ™¡ uSM Tercera edición
Matemáticas avanzadas para ingeniería, vol 2 - vectorial, fourier , complejo - dennis zill, dewar- 3ed->UNEXPO
1. M a t e m t i c a s a v a n z a d a s p a r a i n g e n i e
r a 2 C l c u l o v e c t o r ia l , ANLISIS DE FOURIER Y ANLISIS
COMPLEJO DENN1S G. Z1LL JACQEIELIINE M. UEWAR uSM Tercera
edicin
2. El volum en de M atem ticas avanzadas para ingeniera 2 trata
los temas relacionados con el clculo vectorial, las funciones
ortogonales, las series de Fourier y el anlisis complejo.
Caractersticas sobresalientes de esta obra: Aborda las ecuaciones
diferenciales parciales, lo que permite que este verstil texto
pueda ser utilizado prcticamente en cualquier curso de matemticas
avanzadas o clculo avanzado. Supera a cualquier otro libro sobre el
tema no slo por la claridad con la que los autores exponen los
conceptos, sino por los recursos pedaggicos empleados, entre los
cuales se tienen: Secciones introductorias de cada captulo.
Ejercicios por seccin. Ejercicios de repaso general, Una serie de
proyectos de ingeniera y ciencia relacionados con los temas del
texto aportados por importantes matemticos. Un mtodo distinto para
la resolucin de problemas de valores en la frontera no homogneos.
Problemas aadidos. Grupos de ejercicios que enfatizan la creacin de
conceptos y le dan continuidad a los desarrollos tericos
presentados en las secciones y facilitan la asignacin de tareas. V
i McGraw-Hill lwMcGraw-Hill Congiuri n Interamericana ISBN-13:
978-970-10-6510-5 ISBN-10: 970-10-6510-7 Visite nuestra pgina WEB
www.nicgraw-hill-educacion.com 978970106510500000
3. M a tem tic a s a va n za d a s para in g e n ie r a 2: C
lculo w ectoiial, a n lisis de Fo u r ier Y ANLISIS COMPLEJO f
4. Dennis G. Zill M a tem tic a s a va n za d a s para in g e n
ie r a 2: Clculo vecto rial/ a n lisis de Fo u r ier Y ANLISIS
COMPLEJO'X-L. -VTV-. V .* Tercera edicin j j p > # r ^m x Loyola
Marymount University Michael R. Cullen (finado) Loyola Marymount
University Traduccin tcnica: Dr. Emilio Sordo Zabay
UniversidadAutnoma Metropolitana UnidadAzcapotzalco Revisin tcnica:
Juan Carlos del Valle Sotelo Departamento de Fsica y Matemticas
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Estado de Mxico Ignacio Ramrez Vargas Departamento de Ingeniera
Instituto Tecnolgico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus
Hidalgo Heriberto Aguilar Jurez Divisin de Ciencias Bsicas Facultad
de Ingeniera Universidad NacionalAutnoma de Mxico Jos M artn
Villegas Gonzlez Centro Universitario de Ciencias Exactas e
Ingenieras (CUCEI), Universidad de Guadalajara M e G raw MEXICO
BOGOTA BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN
JUAN SANTIAGO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL NUEVA DELHI SAN
FRANCISCO SO PAULO SINGAPUR SAN LUIS SIDNEY TORONTO
5. Director Higher Education: Miguel ngel Toledo Castellanos
Director editorial: Ricardo A. del Bosque Alayn Editor sponsor:
Pablo E. Roig Vzquez Editora de desarrollo: Lorena Campa Rojas
Supervisor de produccin: Zeferino Garca Garca Traductor: Carlos
Roberto Cordero Pedraza MATEMTICAS AVANZADAS PARA INGENIERA 2:
CLCULO VECTORIAL, ANLISIS DE FOURIER Y ANLISIS COMPLEJO Tercera
edicin Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra, por
cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor. KM
McGraw-Hill m u Interamericana DERECHOS RESERVADOS 2008 respecto a
la primera edicin en espaol por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA
EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies,
Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongacin Paseo de la Reforma 1015,
Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe, Delegacin lvaro
Obregn C.P. 01376, Mxico, D. F. Miembro de la Cmara Nacional de la
Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736 ISBN-10: 970-10-6510-7
ISBN-13: 978-970-10-6510-5 Traducido de la tercera edicin en ingls
de la obra ADVANCED ENGINEERING MATHEMATICS, by Dennis G. Zill and
Michael R. Cullen. Copyright 2006 by Jones and Bartlett Publishers,
Inc., pgs i-xiv, xviii-xxxiii, 299-566, 651-929, app-9-app-14,
ans-14-ans-21, ans-30-ans-49, i-l-i-23. All rights reserved.
ISBN-10: 0-7637-4591-X ISBN-13: 978-0-7637-4591-2 1234567890
09765432108 Impreso en Mxico Printed in Mexico Impreso por
Litografica Ingramex Printed by Litografica Ingramex The
McGraw-Hill Companies W m m
6. Prefacio a la tercera edicin en ingls A diferencia de un
curso de clculo o de ecuaciones diferenciales, donde el con tenido
del curso est muy estandarizado, el contenido de un curso titulado
matemticas para ingeniera algunas veces vara de forma considerable
entre dos instituciones aca dmicas distintas. Por lo tanto, un
texto sobre matemticas avanzadas para ingeniera es un compendio de
muchos tems matemticos, todos los cuales estn relacionados en
trminos generales por la conveniencia de su necesidad o su utilidad
en cursos y carreras subsiguientes de ciencia e ingeniera. En
realidad, no hay un lmite para la cantidad de temas que se pueden
incluir en un texto como el que ahora nos ocupa. En consecuencia,
este libro representa la opinin de los autores, en este momento,
acerca de lo que consti tuyen las matemticas de ingeniera.
Contenido del texto El presente tomo fue dividido en tres partes,
en las cuales sigue manifiesta nuestra creencia de que la columna
vertebral de las matemticas relacionadas con la ciencia y la
ingeniera es la teora y las aplicaciones de las ecuaciones
diferenciales ordinarias y parciales. Parte I: Clculo vectorial
(captulos 1 a 3) El captulo 1,Vectores, y el 3, Clculo vectorial,
incluyen muchos de los temas que se cubren en el tercer semestre de
una secuencia de clculo: vectores geomtricos, funciones
vectoriales, derivadas direccionales, integrales de lnea,
integrales dobles y triples, inte grales de1superficie, y los
teoremas de Green, Stokes y de la divergencia. El captulo 2,
Matrices, es una introduccin a los sistemas de ecuaciones
algebraicas, los determinantes y el lgebra matricial con nfasis
especial en aquellos tipos de matrices tiles en la reso lucin de
sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Las secciones sobre
criptografa, cdigos para la,correccin de errores, el mtodo de los
mnimos cuadrados y los modelos compartimentales discretos se
presentan como aplicaciones del lgebra matricial. Parte II: Anlisis
de Fourier y ecuaciones diferenciales parciales (captulos 4 a 8) En
esta seccin se presenta el material medular de las series de
Fourier y de los proble mas sobre valores en la frontera. En el
captulo 4, Funciones ortogonales y series de
7. Fourier, se presentan los temas fundamentales de los
conjuntos de funciones ortogonales y la expansin de funciones en
trminos de una serie infinita de funciones ortogonales. Estos temas
se utilizan ms adelante en los captulos 5 y 6, donde se resuelven
proble mas de valor en la frontera en distintos sistemas de
coordenadas: rectangulares, polares, cilindricas y esfricas,
mediante la aplicacin del mtodo de separacin de variables. En el
captulo 7, Mtodo de la transformada integral, los problemas de
valor en la frontera se resuelven por medio de las transformadas
integrales de Laplace y Fourier. Parte III: Anlisis com plejo
(captulos 9 a 12) Los captulos 9, 10, 11 y 12 cubren los temas
elementales de los nmeros complejos a travs de la aplicacin de
transformaciones conformes en la solucin del problema de Dirichlet.
Este material en s mismo puede cubrir fcilmente un curso trimestrl
de intro duccin a variables complejas. Principales caractersticas
de Matemticas avanzadas II Todo el texto se moderniz a fondo para
preparar a los ingenieros y cientficos con las habilidades
matemticas requeridas para estar a la altura de los desafos
tecnolgicos actuales. Se han agregado, al inicio del libro, nuevos
proyectos de ciencia e ingeniera aportados por importantes
matemticos. Estos proyectos estn relacionados con los temas del
texto. Se han aadido muchos problemas. Adems, fueron reorganizados
muchos grupos de ejercicios y, en algunos casos, se reescribieron
por completo para seguir el flujo del de sarrollo presentado en la
seccin y facilitar ms la asignacin de tareas. Los grupos de
ejercicios tambin enfatizan la elaboracin de conceptos. Hay un gran
nfasis tanto en las ecuaciones diferenciales como en los modelos
matemti cos. La nocin de un modelo matemtico est entretejida a lo
largo de todo el texto, y se analiza la construccin y las
desventajas de diferentes modelos. En la seccin 5.6 se agreg otro
mtodo para resolver problemas de valor en la frontera no homogneos.
En los captulos 5 y 6 se concede mayor nfasis al problema de
Neumann. A lo largo de los captulos 4, 5 y 6, la confusa mezcla,de
smbolos como A2y V Aen la solucin de problemas de valor en la
frontera de dos puntos se ha reemplazado por el uso consistente de
A. A lo largo del anlisis se hace nfasis en los tres casos A = a2,
A = 0 y A= a2. Diseo del texto El texto cuenta con un formato ms
amplio y un diseo atractivo, lo cual hace que sea placentero leer y
aprender de l. Todas las figuras cuentan con textos explicativos.
Se han agregado ms comentarios y anotaciones al margen en todo el
libro. Cada captulo tiene una pgina de presentacin que incluye una
tabla de contenidos y una breve introduccin al material que se
estudia r. Al final de cada captulo se incluyen ejercicios de
revisin. Despus de los apndices se proporcionan respuestas a los
problemas impares seleccionados. PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN
INGLS
8. Agradecimientos Deseo agradecer a las siguientes personas
que generosamente destinaron tiempo de sus ocupadas agendas para
proporcionar los proyectos incluidos en el texto: Antn M. Jopko,
Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster University. Warren S.
Wright, Departamento de Matemticas, Loyola Marymount University.
Gareth Williams, Departamento de Matemticas y Ciencias
Computacionales, Stetson University. Jeff Dodd, Departamento de
Computacin y Ciencias de la Informacin, Jack- sonville State
University. Matheus Grasselli, Departamento de Matemticas y
Estadstica, McMaster Uni versity. Dmitry Pelinovsky, Departamento
de Matemticas y Estadstica, McMaster Uni versity. Tambin es un
gusto poder agradecer a las siguientes personas por sus comenta
rios y sugerencias de mejora: Sonia Henckel, Lawrence Technological
University. Donald Hartig, California Polytechnic State University,
San Luis Obispo. Jeff Dodd, Jacksonville State University. Vctor
Elias, University of Western Ontario. Cecilia Knoll, Florida
Institute of Technology. William Crimnale, University of
Washington. Stan Freidlander, Bronx Community College. Hermn
Gollwitzer, Drexel University. Robert Hunt, Humboldt State
University. Ronald Guenther, Oregon State University. Noel
Harbertson, California State University. Gary Stoudt, Indiana
University of Pennsylvania. La tarea de compilar un texto de esta
magnitud fue, en pocas palabras, larga y difcil. A lo largo del
proceso de pasar cientos de pginas manuscritas por muchas manos, es
indudable que se nos pudieron haber escapado algunos errores, por
lo cual me disculpo de antemano. Dennis G. Zill Los Angeles
PREFACIO A LA TERCERA EDICIN EN INGLS vii
9. Prlogo a la edicin en espaol Para que la seleccin de temas
pudiera ser flexible, el texto original en ingls fue divi dido en
cinco partes o subdivisiones principales. Para la edicin en espaol,
se opt por dividir el texto en dos volmenes que se pueden manejar
de manera independiente. El primero aborda principalmente las
ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. En este segundo
tomo se renen los temas relacionados con el clculo vectorial, sin
dejar a un lado el anlisis de Fourier y las ecuaciones en derivadas
parciales. Esto es lo que hace que, aunque los dos tomos se
complementen perfectamente, tambin puedan funcionar de manera
independiente de acuerdo con las caractersticas y necesidades del
curso. Queremos agradecer de manera especial las valiosas
aportaciones y comentarios de los siguientes profesores, que sin
duda alguna han enriquecido esta edicin: ngel Varela, ITEC Arturo
Patrn, ITEC Aureliano Castro, UAS, Escuela de Ingeniera Eduardo
Soberanes, ITESM Culiacn Jos Caldern Lamas, ITEC Jos Carlos Aragn
Hernndez, ITEC Jos Humberto Jacobo Escobar, UAS, Facultad de
Ciencias Qumico Biolgicas Juan Castaeda, VAS, Facultad de Ciencias
Qumico Biolgicas Juana Murillo Castro, UAS, Escuela de Ingeniera
Luis Felipe Flores, ITLM Manuel Ramn Apodaca Snchez, ITLM Marcial
Arrambi Daz, ITC Marco Antonio Rodrguez Rodrguez, ITLM Oscar
Guerrero, ITESM Culiacn Ramn Duarte, UAS, Escuela de Ingeniera Ral
Soto Lpez, UDO Culiacn
10. Contenido Prefacio a la tercera edicin en ingls v Prlogo a
la edicin en espaol ix Proyecto para la seccin 2.1 Red de dos
puertos en circuitos Gareth Williams, Ph.D. elctricos xv Proyecto
para la seccin 2.2 Flujo de trfico xvii Gareth Williams, Ph.D.
Proyecto para la seccin 2.15 Dependencia de la resistividad Anton
M. Jopko, Ph.D. en la temperatura xix Proyecto para la seccin 3.16
Superficies mnimas xx Jeff Dodd, Ph.D. Proyecto para la seccin 6.3
El tomo de hidrgeno xxii Matheus Grasselli, Ph.D. Proyecto para la
seccin 7.4 La desigualdad de Jeff Dodd, Ph.D. incertidumbre en el
procesamiento de seales xxv Proyecto para la seccin 7.4 Difraccin
de Fraunhofer Anton M. Jopko, Ph.D. a travs de una abertura
circular xxvii Proyecto para la seccin 8.2 Inestabilidades en
mtodos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. numricos xxix Parte 1 Vectores,
matrices y clculo vectorial 3 Captulo 1 Vectores 4 1.1 Vectores en
el espacio 2D 5 1.2 Vectores en el espacio 3D 11 1.3 Producto
escalar 16 1.4 Producto vectorial 23 1.5 Lneas y planos en el
espacio 3D 28 1.6 Espacios vectoriales 35 1.7 Proceso de
ortogonalizacin de Gram-Schmidt 44 Ejercicios de repaso del captulo
1 49
11. Captulo Captulo Parte 2 Captulo 2 Matrices 51 2.1 lgebra
matricial 52 2.2 Sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 61 2.3
Rango de una matriz 72 2.4 Determinantes 77 2.5 Propiedades de los
determinantes 82 2.6 Inversa de una matriz 89 2.6.1 Clculo de la
inversa 89 2.6.2 Utilizacin de la inversa para resolver sistemas 95
2.7 Regla de Cramer 99 2.8 El problema del valor propio 102 2.9
Potencias de las matrices 108 2.10 Matrices ortogonales 112 2.11
Aproximacin de valores propios 119 2.12 Diagonalizacin 126 2.13
Criptografa 135 2.14 Cdigo corrector de errores 138 2.15 Mtodo de
los mnimos cuadrados 144 2.16 Modelos discretos de compartimiento
147 Ejercicios de repaso del captulo 2 151 3 Clculo vectorial 155
3.1 Funciones vectoriales 156 3.2 Movimiento sobre una curva 162
3.3 Curvatura y componentes de la aceleracin 167 3.4 Derivadas
parciales 171 3.5 Derivada direccional 178 3.6 Planos tangentes y
lneas normales 184 3.7 Divergencia y rotacional 187 3.8 Integrales
de lnea 193 3.9 Independencia de la trayectoria 202 3.10 Integrales
dobles 209 3.11 Integrales dobles en coordenadas polares 218 3.12
Teorema de Green 223 3.13 Integrales de superficie 228 3.14 Teorema
de Stokes 237 3.15 Integrales triples 243 3.16 Teorema de la
divergencia 254 3.17 Cambio de variables en integrales mltiples 260
Ejercicios de repaso del captulo 3 267 Series de Fourier y
ecuaciones diferenciales parciales 271 4 Funciones ortogonales y
series de Fourier 272 4.1 Funciones ortogonales 273 4.2 Series de
Fourier 278 CONTENIDO
12. 4.3 Series de Fourier de cosenos y senos 283 4.4 Series
complejas de Fourier 290 4.5 Problema de Sturm-Liouville 294 4.6
Series de Bessel y de Legendre 301 4.6.1 Serie de Fourier-Bessel
302 4.6.2 Serie de Fourier-Legendre 305 Ejercicios de repaso del
captulo 4 308 Captulo 5 Problemas de valores en la frontera en
coordenadas rectangulares 309 5.1 Ecuaciones diferenciales
parciales separables 310 5.2 Ecuaciones clsicas y problemas de
valores en la frontera 314 5.3 La ecuacin de calor 319 5.4 La
ecuacin de onda 322 5.5 La ecuacin de Laplace 327 5.6 Problemas de
valores en la frontera homogneos 332 no 5.7 Desarrollos en series
ortogonales 339 5.8 Serie de Fourier con dos variables 343
Ejercicios de repaso del captulo 5 346 Captulo 6 Problemas de
valores en la frontera en otros sistemas coordenados 348 6.1
Problemas en coordenadas polares 349 6.2 Problemas en coordenadas
polares y cilindricas: funciones de Bessel 354 6.3 Problemas en
coordenadas esfricas: polinomios de Legendre 360 Ejercicios de
repaso del captulo 6 363 Captulo 7 Mtodo de la transformada
integral 365 7.1 Funcin de error 366 7.2 Aplicaciones de la
transformada de Laplace 367 7.3 Integral de Fourier 375 7.4
Transformadas de Fourier 380 7.5 Transformada rpida de Fourier 386
Ejercicios de repaso del captulo 7 395 Captulo 8 Soluciones
numricas de ecuaciones diferenciales parciales 397 8.1 La ecuacin
de Laplace 398 8.2 La ecuacin de calor 403 8.3 La ecuacin de onda
409 Ejercicios de repaso del captulo 8 412 CONTENIDO xiii
13. Parte 3 Anlisis complejo 415 Captulo 9 Captulo 10 Captulo
11 Captulo 12 Funciones de una variable compleja 416 9.1 Nmeros
complejos 417 9.2 Potencias y races 421 9.3 Conjuntos en el plano
complejo 425 9.4 Funciones de una variable compleja 428 9.5
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 434 9.6 Funciones exponenciales y
logartmicas 439 9.7 Funciones trigonomtricas e hiperblicas 445 9.8
Funciones trigonomtricas e hiperblicas inversas 449 Ejercicios de
repaso del captulo 9 452 Integracin en el plano complejo 453 10.1
Integrales de contorno 454 10.2 Teorema de Cauchy-Goursat 459 10.3
Independencia de la trayectoria 464 10.4 Frmulas integrales de
Cauchy 470 Ejercicios de repaso del captulo 10 475 Series y
residuos 477 11.1 Sucesiones y series 478 11.2 Serie de Taylor 483
11.3 Series de Laurent 489 11.4 Ceros y polos 497 11.5 Residuos y
teorema del residuo 500 11.6 Clculo de integrales reales 506
Ejercicios de repaso captulo 11 512 Transformaciones conformes 514
12.1 Funciones complejas como transformaciones 515 12.2
Transformaciones conformes 519 12.3 Transformaciones racionales
lineales 526 12.4 Transformaciones de Schwarz-Christoffel 532 12.5
Frmulas integrales de Poisson 537 12.6 Aplicaciones 541 Ejercicios
de repaso del captulo 12 548 Apndice Transformaciones conformes
AP-1 Respuestas a los problemas seleccionados de nmero impar RESP-1
ndice l-l xiv CONTENIDO
14. Matemticas avanzadas para ingeniera II: 1 ' Clculo
vectorial, anlisis de Fourier y anlisis complejo
15. - f o r D a y e t PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos
puertos en circuitos elctricos Gareth Williams, Ph.D. Departamento
de Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University Muchas
redes elctricas estn diseadas para aceptar seales en ciertos puntos
y producir una versin modifi cada de stas. El arreglo general se
ilustra en la figura 1. A A r Vj Red de dos puertos 1 t , i A A
Figura 1 Red elctrica Una comente /, a un voltaje Vt se enva sobre
una red de dos puertos, y sta determina de alguna forma la
corriente de salida I2 al voltaje V2. En la prctica, la re lacin
entre las comentes y voltajes de entrada y salida por lo general es
lineal, y se encuentran relacionadas por una ecuacin matricial: aa2
al2 a22 La matriz de coeficientes ( | se denomina ma- ^a2 a22 triz
de transmisin del puerto. La matriz define a la red de dos puertos.
En la figura 2 se presenta un ejemplo de una red de dos puertos. La
parte interior consiste en una resistencia R conectada como se
muestra. Podemos demostrar que las corrientes y los voltajes en
efecto se comportan de a Figura 2 Red de dos puertos una forma
lineal y determinan la matriz de transmisin. Nuestro mtodo ser
construir dos ecuaciones:; una que exprese a V2en trminos de Vt e
/,, y la otra qi)e exprese a I2 en trminos de V, e /,.
Posteriormente combinare mos estas dos ecuaciones en una sola
ecuacin matricial. Utilizamos la siguiente ley: Ley de Ohm: La cada
de voltaje a travs de una re sistencia es equivalente a la
corriente multiplicada por la resistencia. jj La cada de voltaje a
travs de la resistencia ser V, V2. La corriente a travs de la
resistencia es /,. Por tanto, la ley de Ohm establece que V[ V2 =
/,/t. La corriente /, pasa a travs de la resistencia R y exis te
como 7,. De esta forma, I2 = 7,. Primero escribimos estas dos
ecuaciones en la forma estndar, V2 = V, - 7771 : I2 = OU, + 7 , y
luego como una ecuacin matricial, | 'V, A 1 -R '' vO 1, forma si R
equivale a 2 ohms y el voltaje y corriente de entrada son V, = 5
volts e 7, = 1 ampere, rspectiva- mente, obtenemos La matriz de
transmisin es . De esta El voltaje y la corriente de salida sern 3
volts y 1 am pere respectivamente. En la prctica, se colocan en
serie variasj redes de dos puertos estndar como la que se describi
arriba para obtener un cambio de voltaje y corriente deseado.
Considere las tres redes de dos puertos de la figura 3, cuyas
matrices de transmisin son A, B y C . Al considerar cada red de
forma independiente, te nemos que = A A / B = c Al sustituir | ^ )
de la primera ecuacin en la ;segunda obtenemos ) - < Figura 3 Ds
puertos en serie PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos puertos en
circuitos elctricos xv
16. Al sustituir la ltima matriz cin obtenemos en la tercera
ecua- De este modo las tres redes de dos puertos sern equi valentes
a una sola. La matriz de transmisin de esta red de dos puertos ser
el producto CBA de los puertos individuales. Observe que la
ubicacin de cada puerto en la secuencia es relevante debido a que
las matrices no son conmutativas bajo la multiplicacin. Problemas
relacionados En los problemas 1-3, determine las matrices de trans
misin de las redes de dos puertos que se muestran en la figura. 1.
V = V2 debido a que las terminales se conectan de forma directa. La
corriente a travs de la resistencia R es 7| I2. La cada de voltaje
a travs de R ser Vj. h h f 1Vi^ R t J 2 h 2 Figura 4 Red de dos
puertos para el problema 1 2. La corriente a travs de 7?, es 7, 72.
La cada de vol taje a travs de R t es V,. La corriente a travs de
R2 es 72. La cada de voltaje a travs de R2 es V, V2. h t Vi 1 i v v
v > *2 % 1 t h h Figura 5 Red de dos puertos para el problema 2
3. La corriente a travs de R, es /,. La cada de voltaje a travs de
R, es V V2. La corriente a travs de R2 es 7, - 72. La cada de
voltaje a travs de R2 es V2. h 4 A a h t 1Vi ( , V V V l < >
2 fV , 1 I] h Figura 6 Red de dos puertos para el problema 3 4. La
red de dos puertos de la figura 7 consiste de tres redes de dos
puertos colocadas en serie. Las matrices de transmisin son las que
se muestran. a) Cul es la matriz de transmisin de la red de dos
puertos compuesta? b) Si el voltaje de entrada equivale a 3 volts y
la co rriente a 2 amperes, determine el voltaje y la co rriente de
salida. amperes h h h h u 1 2 volts t , . V , ( i ? ) 1 " < <
. t4 h h 13 h h Figura 7 Redes de dos puertos en serie para el
problema 4 xvi PROYECTO PARA LA SECCIN 2.1 Red de dos puertos en
circuitos elctricos
17. 2.2 Flujo de trfico Gareth Williams, Ph.D. Departamento de
Matemticas y Ciencias Computacionales, Stetson University ) El
anlisis de redes, como lo observamos en el anlisis de las reglas de
nodo y lazo de Kirchhoff en la seccin 2.2, juega un papel
importante en la ingeniera elctrica. En aos recientes, los
conceptos y herramientas de este anlisis de redes han resultado
tiles en, muchos otros campos, como en la teora de la informacin y
el estu dio de sistemas de transporte. El siguiente anlisis del
flujo de trfico a travs de una red de caminos durante las horas
pico ilustra cmo en la prctica pueden surgir sistemas de ecuaciones
lineales con muchas soluciones. Considere la red tpica de calles de
la figura 1. Re presenta un rea del centro de la ciudad de
Jacksonville, Florida. Las calles son de un solo sentido, las
flechas indican la direccin del flujo del trfico. El flujo del
trfico de entrada y salida de la red se mide en trminos de vehculos
por hora (vph). Las cifras que se propor cionan se basan en las
horas de trfico pico de mitad de semana, de 7 a 9 a .m . y de 4 a 6
p .m . Se deber per mitir un incremento de 2 por ciento en el flujo
general durante la tarde del viernes' Construyamos un modelo
matemtico que pueda utilizarse para analizar esta red. i 400 vph ^
1225 vph a JTa Calle Duval B '350 vph 125 vph oo o fo CalleHogan X
C3 5 v 1 ^ 2 u Calle Monroe u v4 300 vph D x3, C k250 vph 600 vph
Figura 1 Centro de la ciudad de Jacksonville, Florida Suponga que
se aplican las siguientes leyes de tr fico: Todo el trfico que
ingresa a una interseccin debe abandonarla. Esta restriccin de la
conservacin del flujo (com prela con la regla de nodos de
Kirchhoff) nos lleva a un sistema de ecuaciones lineales:
Interseccin A: Trfico de entrada = x + x2. Trfico de salida = 400 +
225. Por tanto, Aq + a2 = 625. PROYECTO PARA LA SECCIN Interseccin
B Trfico de entrada = 350 + 125. Trfico de salida = Aj + x4. Por
tanto, a, + a4 = 475. Interseccin C: Trfico de entrada = x3 + x4.
Trfico de salida = 600 + 300. Por tanto, x3, + x4 = 900.
Interseccin D: Trfico de entrada = 800 + 25Q. Trfico de salida = x2
+ x3. Por tanto x2 + x3 =1 050. j! Estas restricciones sobre el
trfico se describen em pleando el siguiente sistema de ecuaciones
lineales:; X| + x2 = 625 a, + x4 = 475 , x3 + x4 = 900 ; ^ x2 + a3
= 1050 j: Puede emplearse el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan
para resolver este sistema de ecuaciones. La matriz aumentada y la
forma reducida escalonada por rengln son las siguientes: / 1 1 0 0
625Operaciones de renglones / I 0 0 1 ! 4151 0 0 1 475 0 1 0 1 150
0 0 1 1 900 =4> 0 0 1 o o GV0 1 1 0 1050/0 0 0 0 ()/ El sistema
de ecuaciones que corresponde con qsta forma reducida escalonada
por rengln es a, + x4 = 475 x2 - x4 = 150 x3 + x4 = 900. Al
expresar cada variable principal en trminos! de la variable,
restante, obtenemos a, = x4 + 475 x2 = a4 + 150 x3 = x4 + 900. Como
podra esperarse, el sistema de ecuaciones cuenta con varias
soluciones, por lo que es posible tener vrios flujos de trfico. Un
conductor cuenta con, una cierta cantidad de opciones en las
intersecciones. Ahora utilicemos este modelo matemtico para obtener
ms informacin sobre el flujo de trfico. Suponga que se requiere
realizar trabajos de mantenimiento en el seg mento DC de Calle
Monroe. Es deseable contkr con un flujo de trfico x3 lo ms pequeo
posible pra este segmento de calle. Los flujos pueden controlarse a
lo largo de diversas bifurcaciones por medio de semforos. Cul sera
el valor mnimo de x3 sobre DC que b oca sione una congestin de
trfico? Para resolver esta pre gunta, emplearemos el sistema de
ecuaciones anterior. Los flujos de trfico no deben ser negativos
(un flujo negativo podra interpretarse como trfico que se des plaza
en la direccin incorrecta en una calle de un solo PROYECTO PARA LA
SECCIN 2.2 Flujo de trfico
18. sentido). La tercera ecuacin en el sistema nos indica que
X3 ser un mnimo cuando x4 sea lo ms grande posible, siempre que no
exceda de 900. El valor ms grande que x4 puede llegar a tener sin
ocasionar valores negativos de xx o de x2 es 475. De este modo, el
valor ms pequeo de x3 ser 475 + 900, o 425. Todo tra bajo de
mantenimiento sobre la Calle Monroe deber permitir un volumen de
trfico de al menos 425 vph. En la prctica, las redes son mucho ms
vastas que la analizada aqu, llevando a sistemas de ecuaciones
lineales ms grandes, que son manipuladas median te computadoras. Es
posible ingresar diversos valores para las variables en una
computadora con el fin de crear escenarios distintos. Problemas
relacionados 1. Construya un modelo matemtico que describa el flujo
de trfico en la red de calles sealada en la figura 2. Todas las
avenidas son calles de un solo sentido en las direcciones
indicadas. Las unidades estn dadas en vehculos por hora (vph).
Proporcione dos flujos de trfico posibles. Cul es el flujo mnimo
posible que puede esperarse sobre el tramo AB1 > -150 100 Figura
2 Flujo de trfico del problema 1 2. La figura 3 representa el
trfico que ingresa y sale de una glorieta. Tales intersecciones son
muy comu nes en Europa. Construya un modelo matemtico que describa
el flujo del trfico sobre las diversas bifurca ciones. Cul es el
flujo mnimo posible terico sobre la rama SC? Cules son los otros
flujos en dicho 100- 50 t > f .. LD K B ; A 150 200 Figura 3
Flujo de trfico del problema 2 momento? (Las unidades de flujo estn
dadas en ve hculos por hora.) 3. La figura 4 representa el trfico
que ingresa y sale de otro tipo de glorieta usada en Europa
continental. Tales glorietas aseguran el flujo continuo de trfico
en las intersecciones de calles. Construya ecuaciones lineales que
describan el flujo del trfico sobre las distintas bifurcaciones.
Utilice estas ecuaciones para determinar el flujo mnimo posible
sobre x. Cules son los dems flujos en este momento? (No es nece
sario calcular la forma reducida escalonada por ren glones. Utilice
el hecho de que el flujo de trfico no puede ser negativo.) 90 100
130 -< ---- > 110 Y -v2 V A K Y x4 N XY x 6 155 120 80 75
Figura 4 Flujo de trfico del problema 3 4. La figura 5 describe un
flujo de trfico, con las unida des en vehculos por hora (vph). ) b)
Construya un sistema de ecuaciones lineales que describa este
flujo. El tiempo total que toma a los vehculos reco rrer cualquier
segmento de calle es proporcional al trfico sobre dicho segmento.
Por ejemplo, el tiempo total que toma a x vehculos recorrer AB sern
kx minutos. Suponiendo que la constante es la misma para todas las
secciones de calles, el tiempo total para que 200 vehculos recorran
esta red ser Lr, T 2kx2 + kx3 + 2fcc4 + kx5. Cul ser el tiempo
total si k = 4? Proporcione un tiem po promedio para cada automvil.
Figura 5 Flujo de trfico para el problema 4 xv iii PROYECTO PARA LA
SECCIN 2.2 Flujo de trfico
19. L 2.15 Dependencia de la resisti vidad en la temperatura
Antn M. Jopko, Ph.D. Departamento de Fsica y Astronoma, McMaster
University J Un conductor de longitud L y rea transversal uniforme
A tiene una resistencia R dada por R = pL/A, pues el conductor est
hecho de un material con resistividad p. Sin embargo, la
resistividad no es constante para todas las temperaturas del
conductor. Cuando la corriente fluye a travs del conductor, se
genera calor, lo que eleva su temperatura. A este proceso se le
conoce como calen tamiento de Joule.. En general, mientras ms alta
sea la temperatura, ms alta ser la resistividad y en ltima ins
tancia la resistencia. Esto significa que debe conocerse la
resistividad a la temperatura de trabajo del conductor. Modelamos
la resistividad a la temperatura 7j. del con ductor por medio de la
funcin cuadrtica dada por p(Tc) = p0 + a(Tc - T0) + (3(Tc - T0f
donde Tc representa la temperatura del conductor en grados Celsius,
T0 es la temperatura ambiente y p0 es la resistividad a temperatura
ambiente. Los coeficientes p0,a y 3 se determinan por medio de la
experimenta cin. El tungsteno es un conductor con un punto de fusin
muy ele vado, que se utiliza para fabricar los filamentos de las
lmparas in candescentes. Suponga que la in formacin en la tabla est
medida para la resistividad del tungste no. En los problemas
siguientes, presentamos un procedimiento de mnimos cuadrados para
en contrar los valores de p0, a y /3. Asumiremos que T0 = 20C. Tc
(C) Resistividad (l-m ) X 10 8 20 5.6Q 40 5.65 80 5.70 200 7.82 500
11.1 700 20.2 1000 30.5 PROYECTO PARA LA SECCIN Problemas
relacionados Deseamos ajustar puntos de informacin (x, y) utili
zando la ecuacin cuadrtica general y = ctx2 + bx + c en el sentido
de mnimos cuadrados. Con tan splo tres puntos de informacin no sera
necesario el procedi miento de mnimos cuadrados. En nuestro caso,
conta mos con siete puntos de informacin. / III 1. Construya el
vector columna Y = y* :y la matrizd h ) . / *i *i iA = x * 2 * i
||. *7 1/ /n IaV 2. Haga que el vector columna X = contenga V e J
los coeficientes mnimos cuadrados. Calcle el vector X* = (A7A)
~1ArY. 3. Utilizando la ecuacin cuadrtica de mnimbs cuadra dos,
prediga la resistividad del tungsteno a300C. 4. Si un conductor de
tungsteno a temperatura ambiente tiene una resistencia de 5 ohms,
utilice el resultado del problema 3 para predecir su resistencia a
una tem peratura de 300C. 5. Encuentre el errorRMS(raz cuadrada de
la media de los cuadrados) de laecuacincuadrtica ce mnimos
cuadrados, i. Vi 2' . donde Y* = AX' es el valor de mnimos
cuadrados de Y. ji 6. Explique, en trminos generales, lo
que:significa el error RMS o de raz cuadrada de la media de los cua
drados. 7. Realice la prediccin de la resistividad del conductor de
tungsteno a 2 000C. Qu tan confiable es este valor? PROYECTO PARA
LA SECCIN 2.15 Dependencia de la resistividad en la temperatura
xix
20. PROYECTO PAF?A LA SECCINi y/ i iV-iV/ i ni WI L.IVJUvVlV/ll
Superficies mnimas Je ff Dodd, Ph.D. Departamento de Matemticas,
Computacin y Ciencias de la Informacin, Jacksonville State
University J Al sumergir un marco de alambre en una solucin ja
bonosa y retirarlo cuidadosamente, se forma una pelcu la tensionada
de jabn sostenida por el alambre. Si el marco de alambre es plano,
como los anillos circulares que se utilizan frecuentemente para
hacer burbujas, en tonces la pelcula de jabn ser plana. Sin
embargo, si el marco se dobla de una forma ms interesante, se
genera r a su vez una superficie ms interesante. Un personaje
legendario en el estudio de estas for mas fue el fsico belga Joseph
Plateau (1801-1883). A pesar de ser ciego (como resultado de mirar
fijamente al Sol por 25 segundos, cuando experimentaba sobre la
fisiologa de la visin), condujo una extensa serie de experimentos
con pelculas de jabn, utilizando una solucin especial de glicerina
y jabn inventada por l mismo con la que sus pelculas de jabn podan
durar horas., Plateau tambin trabaj exhaustivamente con bur bujas
de jabn. (Gracias a laboriosas y cuidadosas ob servaciones, fue
capaz de conjeturar algunos principios bellamente simples que
gobiernan la geometra de los racimos de burbujas de jabn, conocidos
como reglas de Plateau.) Plateau se dio cuenta de que una pelcula
de jabn queda constituida de forma que se minimiza la energa debido
a la tensin superficial o, lo que es equivalente, se minimiza el
rea superficial rodeada por el alambre. El ret a los matemticos
para que propusieran una descripcin general de dichas superficies
minimizado- ras de rea, o superficies mnimas. En consecuencia, el
problema de determinar la superficie de la menor rea restringida
por cierta frontera se conoce como problema de Plateau. En los
tiempos, de Plateau, el estudio matemtico de superficies mnimas
haba comenzado casi un siglo antes con el trabajo de Leonhard Eider
y Joseph Louis Lagrange. Las matemticas necesarias para resolver
muchas de las conjeturas y problemas de Plateau no se desarrollaron
sino hasta el siglo xx. De hecho, el estudio de superficies mnimas
sigue siendo actual mente un rea de investigacin activa, y los
matem ticos se esfuerzan todava por mantenerse al corriente con sus
aplicaciones existentes y con las que tiene en potencia. En muchas
de las ciencias fsicas y biolgicas abun dan aplicaciones. En los
ltimos aos se ha puesto mucha atencin en las aplicaciones a la
nanotecnolo- ga en la ingeniera molecular y en la ciencia de ma
teriales. Algunas superficies mnimas muy exticas, recientemente
descubiertas matemticamente, han sido observadas en copolmeros de
bloque, esto es, mol culas compuestas por dos tiras de diferentes
polmeros que se repelen entre s. Las molculas se acomodan de tal
manera que las fronteras entre las partes dismiles forman
superficies mnimas. Este caso es una aplica cin tpica, ya que la
interfaz entre dos sustancias que se repelen entre s tiende a ser
una superficie mnima, al menos aproximadamente. Existen
aplicaciones ms abstrusas como la descrip cin relativista general
de los agujeros negros. Tambin hay aplicaciones en los procesos de
diseo. Por ejemplo, los ingenieros a veces utilizan superficies
mnimas para disear estructuras en las que los esfuerzos se distribu
yan lo ms uniformemente posible a fin de maximizar su durabilidad.
Finalmente, las superficies mnimas son estticamente agradables y se
emplean comnmente en arquitectura y arte, incluyendo las esculturas
del recono cido matemtico-artista Helaman Ferguson.* Considrese a
continuacin una versin simple del problema de Plateau: Sea R una
regin cerrada y acotada en el plano xy por una curva suave cerrada
simple segmentada C. Sea z = g(x, y) una funcin dada definida sobre
C. (La gr fica de g es nuestro marco de alambre.) De todas las
funciones z = u(x, y) que tienen segundas derivadas par ciales
continuas sobre R, tales que u(x, y) = g(x, y) sobre C, caracterice
aquella cuya grfica sobre R tiene el rea superficial ms pequea
posible. Para resolver este problema, se, comienza con (2) de la
definicin 3.11 del texto. El rea superficial A de la grfica de u
sobre R est dada por A(u) = V i + [ux( x , y ) f + [uy{ x , y ) f
dA V i + | | V m ( x , y)2dA. Ahora tome cualquier funcin w{x, y)
tal que w = 0 sobre C y considere la siguiente funcin real: F(t) =
A(u + tw) para valores pequeos de t. Si u es la funcin que mini
miza a A sobre todas las funciones que tienen los valores
determinados por g sobre C, entonces t - 0 es un valor crtico para
F esto es, F' ( 0) = 0. Observe que V i + IIV k + t V w f dA d [ a
d t JR ' d d t *Para otras superficies, vase
www.helasculpt.com/galleiy XX PROYECTO PARA LA SECCIN 3.16
Superficies mnimas
21. Problemas relacionados 1. Utilice la definicin de norma en
trminos del produc to escalar para mostrar que F '(0) = Vu Vi + v |
Vve dA. 2. Suponga que h es una funcin y F es un campo vec torial,
definidos sobre R de manera que las primeras derivadas parciales de
li y las dos funciones compo nentes de F son continuas sobre R.
Utilice la siguien te identidad vectorial div (/jF) = h div F +
(grad /;) F (Problema 27, ejercicios 3.7) y la formulacin alter
nativa del teorema de Green dada en (1) de la seccin 3.16 para
mostrar que (/jF n) ds = (/j div F + (grad h) F) dA. 3. Aplique
esta ltima identidad al resultado del proble ma 1 para mostrar que
w div V// V i + ||Vi/|| dA = 0. Como esto ltimo es cierto para
cualquier funcin n'(x, y) tal que w = 0 sobre C, entonces debe
cumplir se que div| V V i + ||Vi/||2 = 0 . 4. Muestre qe la ltima
ecuacin del problema 3 puede expresarse como la siguiente ecuacin
diferencial par cial no lineal (1 + Uy)uxx + (1 + u2x)u yy 2uxuyuxy
= 0 . Esta ecuacin, conocida como ecuacin de superfi cie mnima, la
escribi Lagrange por primera vez en 1760. 5. Muestre que si q es
una funcin slo de a- o slo de y, entonces la grfica de / es un
plano. 6. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas polares
para mostrar que si // ;=/(/), entonces 'f ( r ) + /'(/-)(! + [ / V
) ] 2) = 0 7. La EDO de segundo orden del problema 6 es una EDO
separable de primer orden en /'(/'). Utilice el mtodo de separacin
de variables (que se expone en la seccin 2.2 del tomo I) para
mostrar que si u =f(r), entonces du dr V r / c 2 - 1' Utilice la
sustitucin r = c cosh u para mostrar que fu dij r = c coshl I,
donde c y d son constantes. Observe que sta es la superficie
obtenida al revolu cionar una catenaria (vase seccin 3.10 del tomo
I) alrededor del eje z. Esta superficie de revolucin se conoce como
catenoide. La catenoide fue la primera superficie mnima no plana
descrita (por Euler alre dedor de 1740). Una pelcula de jabn
formada entre dos anillos coaxiales toma esta forma, y no la forma
de un cono o de un cilindro! Vase la figura"!. Figura 1 Catenoide i
8. Utilice la regla de la cadena y las coordenadas pola res para
mostrar que si // = /(0), entonces // = c9 + d, donde c y el son
constantes. Esta superficie Ja espiral generada por una lnea
horizontal que rota alrededor del eje z con velocidad angular
constante, mientras se eleva a lo largo del eje z con velocidad
constante se conoce como helicoide, y fue la segunda superficie
mnima no plana descrita (Jean Baptiste Musnier la describi en
1776). De la figura 2 se puede reconocer el helicoide como modelo
para las cuchillas curvas ro tatorias de maquinarias como las
barrenas pfa postes, excavadoras de hielo y sopladoras de nieve, j!
Figura 2 Helicoide Eplogo |i La mayora de las superficies mnimas
stn geomtrica mente ms complicadas que la catenoide y el,helicoi
de, y slo pueden representarse convenientemente en forma
paramtrica, ms que como grficas d funcio nes. El estudio de las
parametrizaciones de superficies mnimas tiene conexiones profundas
con las funciones armnicas y el anlisis complejo, tema de la parte
3 de este texto. PROYECTO PARA LA SECCIN 3.16 Superficies mnimas 7"
xxi
22. PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3El tomo de hidrgeno Matheus
Grasselli, Ph.D. Departamento de Matemticas y Estadstica, McMaster
University J El tomo de hidrgeno represent uno de los problemas sin
resolver ms importantes en la fsica a principios del siglo veinte.
Con nicamente un protn y un elec trn, ofrece el ejemplo ms simple
posible que deba ser explicado por cualquier modelo atmico. La des
cripcin clsica era la de un electrn en rbita alrede dor de un protn
debido a una atraccin elctrica. Sin embargo, la hiptesis era
inconsistente, debido a que para moverse alrededor del protn, el
electrn necesi ta acelerarse. Toda partcula cargada y acelerada
emite ondas electromagnticas. Entonces, con el tiempo, el electrn
deba perder energa cintica y eventualmente colapsarse hacia el
ncleo del tomo. Para complicar an ms las cosas, a partir de
informacin espectros- cpica se saba que el gas de hidrgeno emite
luz con longitudes de onda muy especficas, las llamadas l neas
espectrales. Adems, estas lneas espectrales que podan observarse en
el rango visible satisfacan una frmula emprica enunciada por
primera vez por J. J. Balmer en 1885. Si la longitud de onda es
indicada por A, entonces las lneas espectrales de lo que
actualmente se denomina la serie de Balmer estarn definidas por =
(1) donde RH es una constante para la cual el mejor valor emprico
es 10 967 757.6 1.2 m 1. Todo modelo atmico razonable no slo deba
ex plicar la estabilidad del tomo de hidrgeno, sino que tambin deba
generar una explicacin para las lneas espectrales con frecuencias
que satisfacan esta fr mula. El primer modelo de este tipo fue
propuesto por Niels Bohr en 1913, utilizando una ingeniosa com
binacin de argumentos clsicos y dos postulados cunticos. Bohr asumi
que el electrn se encuentra restringido a un movimiento en rbitas
con un momen to angular cuantizado, es decir, en mltiplos enteros
de una constante dada. Observe la figura 1. Adems, los tomos emiten
energa en forma de ondas electro magnticas nicamente cuando el
electrn salta de una rbita fija a otra. Las frecuencias de estas
ondas estn dadas por la frmula de Planck AE v, donde AE es la
diferencia de energa entre las rbitas y es la constante de Planck.
Intente reproducir los pasos de Bohr mediante la re solucin de los
problemas 1-3. Figura 1 Modelo planetario de Bohr del tomo de
hidrge no: en este modelo, un electrn puede ocupar nicamente
ciertas rbitas alrededor de un ncleo que consiste de un protn
Problemas relacionados 1. Suponga, como se mestra en la figura 1,
que el elec trn cuenta con una masa m y una carga e, y que se
desplaza en una rbita circular de radio r alrededor del protn, el
cual tiene una carga e y una masa mucho mayor. Utilice las frmulas
clsicas de la fuerza elc trica para cargas puntuales con el
objetivo de deducir que la energa mecnica total (cintica ms
potencial) para el electrn en esta rbita es E = 87renr ' (2) donde
e0 es la permisividad del espacio. Adicional mente, deduzca que el
momento angular clsico para esta rbita es L = me2r 4 trs 0 (3) 2.
Ahora utilicemos el primer postulado de Bohr: asuma que el momento
angular es de la forma L = nti, donde n = 1 ,2 ,.... Sustituya esta
expresin en la ecuacin (3) y encuentre una expresin para el radio
orbital r como una funcin de n. Inserte esta funcin en la ecuacin
(2) y obtenga una expresin para los niveles de energa cuntica del
tomo de hidrgeno. 3, Ahora estamos listos para utilizar el segundo
postula do de Bohr. Suponga que un electrn realiza una tran sicin
desde el nivel de energa Ek al nivel de energa E, para enteros k
> n. Utilice la frmula AE = v y 1la relacin v = c (donde c
representa la velocidad de la luz) para deducir que la longitud de
onda emiti da por esta transicin es 8V reQc 1 (4) xxii PROYECTO
PARA LA SECCIN 6.3 El tomo de hidrgeno
23. Asignemos n = 2 en la ecuacin (4) y concluimos 4 me que
esto genera la serie de Balmer con RH = , - . h e 0c Ahora, realice
una investigacin para los valores de las constantes que aparecen en
esta frmula y calcule RH. Su valor es comparable con el valor
emprico? Por mM ltimo, reemplace m por la masa reducida---------- F
1 m + M (dnde M es la masa del protn) y sorprndase con la notable
precisin de este resultado. A pesar de su xito evidente, el modelo
de Bohr tena como detalle el que llevaba la teora clsica lo ms
lejos posible y luego la complementaba con pos tulados cunticos
especficos cuando era necesario. Esta situacin fue acertadamente
considerada como insatisfactoria e inspir a los fsicos a
desarrollar una teora mucho ms completa del fenmeno atmico, lo que
dio paso al nacimiento de la mecnica cuntica. En el ncleo de ella
hay una ecuacin diferencial par cial propuesta por Erwin Schrdinger
en 1926 en un documento con un ttulo sugerente La cuantizacin como
un problema de valores propios. La ecuacin de Schrdinger
dependiente del tiempo para un siste ma fsico de masa m sujeto a un
potencial L(x) es 2 V2^ (x ) + E (x m x ) = EXV () , (5) 2m donde
V2 representa al operador laplaciano y es el valor (escalar) para
la energa total del sistema en el estado estacionario ^ (x ). Aqu x
= (a:, y, z) represen ta un punto en el espacio de posicin de tres
dirpen- siones. La interpretacin correcta de la funcin xP(x)
implica argumentos probabilsticos refinados. Para nuestro problema
es suficiente decir que 'P(x) con tiene toda la informacin que se
puede obtener fsi camente acerca del sistema en consideracin.
Nuestro propsito ahora, siguiendo el espritu del documento original
de Schrdinger, ser obtener los niveles de energa E para el tomo de
hidrgeno como los valo res posibles de energa para los cuales la
ecuacin (5) admite una solucin. Ahora intente resolver el siguiente
problema. e2 4. Debido a que la energa potencial V(r) =
-------------- 4?rs0r depende nicamente del radio r, para este
problema es natural considerar coordenadas esfricas (r, 0, (jy)
definidas por las ecuaciones x = r sen 0 eos c), y = r sen 0 sen
>, z = r eos 6 . Comience por escribir la ecuacin (5) en estas
coor denadas [recuerde la expresin para el operador de Laplace en
coordenadas esfricas en (2) de la seccin 6.3]. Ahora utilizamos la
separacin de variables con 'P(x) = (/) (0)>(>) para mostrar
que el com ponente radial R(r) satisface a 2 2m f e 22n R+-rR+A ^
E)R=-*^ ), encontraramos que k es un nme ro cuntico relacionado con
el momento angular del tomo. Para el resto de este proyecto,
consideraremos el caso k = 0, que corresponde con los estadfbs con
momento angular cero. ' En este punto proceda con los problemas
5-7. 5. Establezca k = 0 en la ecuacin (6) y considere su lmite
cuando r >oo. Demuestre que e Cr, donde c = J r 1 (7) 2mE T 2 es
una solucin de esta ecuacin limitante. Con base en el ejercicio
anterior, considere una so lucin general de la forma R(r) = f(r)e ~
pa(a una funcin analtica/(r). Mediante procedimientos'!anal ticos,
la funcin/(r) posee una expansin de series /( r ) = aQ+ ar + a2i2 +
Sustituya esta serie en la ecuacin (6) (con k = 0) y deduzca que
los coeficientes a satisfacen la relacin recursiva j; C - B :: aj =
27 T ^ ' - " j = i 2 - 1 (8) me2 donde B A t t e J i 1 7. Demuestre
que el lmite de la ecuacin (8) para 2C ! valores grandes dej es a,
= -------- a-> que. es lia sene, 7 + 1 de potencia para la
funcin e2Cr. Concluya que la nica forma de hacer que la funcin R(r)
disminuya a cero a medida que r se vuelve ms grande'es que la serie
de potencias para /(/-) termine despus de un nmero finito de
trminos. Por ltimo, observe que esto sucede si y slo si nC - B para
algn entero n. Nuestra problema final en este proyecto ser ge nerar
los niveles de energa del tomo de hidrgeno como una consecuencia
del trabajo realizado- hasta aqu. Deber observar que la existencia
de niveles de energa cuantizados no necesitan ser postulados, sino
ms bien deducidos a partir del anlisis matemtico de la ecuacin de
Schrdinger. Mientras que los pasos PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El
tomo de hidrgeno x x iii
24. de deduccin son ms complicados que los seguidos por Bohr,
debe ser evidente que la eliminacin de los axiomas de cuantizacin
especficos de Bohr fue un logro importante alcanzado por
Schrdinger, razn por la cual recibi el Premio Nobel de fsica en
1933. 8. Utilice la condicin expresada en el ejercicio previo y las
frmulas obtenidas para C y B para concluir que las energas
permitidas para el tomo de hidrgeno en un estado con momento
angular cero son 4 " (4/7re0)222n2 ^ que deben coincidir con los
niveles de energa que en contr para el tomo de Bohr del problema 2.
xxiv PROYECTO PARA LA SECCIN 6.3 El tomo de hidrgeno
25. 7.4 La desigualdad de incertidumbre en el procesamiento de
seales Jeff Dodd, Ph.D. Departamento de Matemticas, Computacin y
Ciencias de la Informacin, Jacksonville State University
_____________________________________________J Los ingenieros en
comunicaciones interpretan a la trans formada de Fourier como la
descomposicin de una seal fix) que lleva informacin, donde x
representa al tiempo, en una superposicin de tonos sinusoidales
puros que tienen frecuencias representadas por una variable real.
De hecho, los ingenieros usualmente consideran la re presentacin en
el dominio de la frecuencia resultan te, tanto o ms que la
representacin en el dominio del tiempo (esto es, la seal misma!).
Un aspecto funda mental del procesamiento de seales eS que cuanto
ms estrecha es una seal en el dominio del tiempo, ms am plia es en
el dominio de la frecuencia. Tambin, cuanto ms estrecha es una seal
en el dominio de la frecuen cia, ms amplia es en el dominio del
tiempo. Este efec to es importante porque, en la prctica, una seal
debe enviarse en un tiempo limitado y utilizando un interva lo
limitado o banda de frecuencias. En este proyecto se describe e
investiga este equilibrio entre duracin y ancho de banda, tanto
cualitativa como cuantitativa mente. Los resultados de esta
investigacin respaldan una regla prctica comnmente citada: una
cierta banda de frecuencias es proporcional al producto de la dura
cin en tiempo por el ancho de la banda de frecuencias. Problemas
relacionados Se emplean la forma compleja de la transformada de
Fourier y la transformada inversa de Fourier, dadas en (5) y (6) de
la seccin 7.4. Se utiliza la notacin f(a ) para denotar la
transformada de Fourier de una funcin f(x) en una forma compacta
que explcita su dependencia de /, esto es, /( a ) = F {f(x)}. Se
considera que f e s una funcin real, y se comienza revisando dos
propie dades simples de / . 1. Mostrar que si a > 0, entonces /
( a) = /() As, para cualquier a, |/ ( a)| = |/(a )|. (Aqu, las nota
ciones z y |z| representan el conjugado y el mdulo de un nmero
complejo z, respectivamente.) 2. Si k es un nmero real, supngase
que f k(x) = f(x k). Mostrar que /*() = eiakf{o ) I >PROYECTO
PARA LA SECCIN De manera que recorrer una seal en el tiempo no
afecta a los valores de |/(a )| en el dominio de las frecuencias.
Tomando en cuenta estos hechos, ahora se proce de a considerar el
efecto de estrechar o ampliar una seal en el dominio del tiempo
simplemente scala- do la variable temporal. 3. Si c es un nmero
positivo, considrese que/r(x)-f(cx). Muestre que De forma que al
estrechar la funcin seal /e p el do minio del tiempo (c> 1), se
ensancha su transformada en el dominio de la frecuencia, y al
ampliar la funcin seal/en el dominio del tiempo (c < 1), se
estrecha su transformada en el dominio de la frecuencia. Para
cuantificar el efecto que se observa en el pro blema 3, se necesita
establecer una medida del ancho de la grfica de una funcin. La
medida ms comn mente utilizada es el ancho de la raz cuadrada de la
media de los cuadrados, que cuando se aplica a una seal/en los
dominios del tiempo y de la frecuencia, conduce a un valor
cuadrtico medio (o faz cuadrada de la media de los cuadrados) de
duracin D (f) y un valor cuadrtico medio de ancho de banda B (f),
dados por x 2[f{x)]2 dx 2 _ [ f ( x ) f d x -oo 2 | / ( a ) | 2 do
W ) V De manera que el ancho de banda y la duracin se calculan en
relacin a los centros de a = 0 y x = 0 debido a que, segn los
problemas 1 y 2, la grfica de |/ ( a )|2 es simtrica con respecto a
a = 0 en el domi nio de la frecuencia, y la seal puede recorrerse
ho rizontalmente en el dominio del tiempo sin' afectar la grfica de
|/(a :)|2 en el dominio de las frecuencias. 4. Muestre que para una
familia de funciones f.(x) definida en el problema 3, D (fc) B (fc)
es independiente de c. 5. Muestre que para la familia de funciones
f c(x) = V 2 D (fc) /?(/.) = . [Sugerencia: Segn el:problema 4, f(x
) = / (x). La integral de Fourier necesaria puede obtenerse
rpidamente del ejemplo 3 de la sec cin 7.3. Para calcular las
integrales para D{f) y B(f), considere la integracin por partes y
por fracciones parciales, respectivamente.] La duracin y el ancho
de banda de una seal son en. cierta forma inversamente
proporcionales entre s cuando se escala la variable de tiempo. Qu
se puede PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La desigualdad de incertidum
bre en el procesamiento de seales XXV
26. decir al respecto de la constante de proporcionalidad? Qu
tan pequeo puede ser D ( f ) B ( f ) l Es de des tacar que existe
un lmite inferior para este producto. 6. Deducir la desigualdad de
la incertidumbre: si [ / ( * ) ] 2 dx < oo, f(a)2 da < oo, lm
|a | [ / ( a ) ] 2 = O, X>OO I entonces D ( f ) /? ( /) S:
Seguir estos pasos. a) Establezca la frmula de Parseval: I 2-77 .
[Sugerencia: Aplique el teorema de convolucin dado en el problema
20, ejercicios 7.4 con g(x) = / ( - a ).] Especficamente, aplique
la frmula para la transformada inversa de Fourier dada en (6) de la
seccin 7,4, y muestre que g(a) = f(a ), y en tonces fije a = 0.] b)
Establezca la desigualdad de Schwartz: para fun ciones reales ht y
h2, li{s)h2{s)ds ' A i f r ,. donde la igualdad existe nicamente
cuando h2 = ch, donde c es una constante [Sugerencia: Escribir [A
/7 ,() - /72(^ ) ] 2 ds como una expresin cuadrtica A2 + B+ C de la
variable real . Observe que la cuadrtica es no negativa para toda y
considere el discri minante B2 4AC.] c) Establezca la desigualdad
de la incertidumbre. [Sugerencia: En primer lugar, aplique la des
igualdad de Schwartz como sigue: * /(* )/'(* ) dx [xf(x)]2dx [ f (
x ) f d x ba la segunda integral que aparece en el lado de recho de
la desigualdad, utilizando la propiedad operacional (11) de la
seccin 7.4 y la frmula de Parseval.] 7. a) Mostrar que
si/proporciona el valor mnimo po sible de D(f) B(f), entonces f (x)
= cxf(x) donde c es una constante. Resuelva esta ecuacin
diferencial para mostrar que / ( a ) = decx!2 para c < 0 y d = a
constante. (Dicha funcin se deno mina funcin gaussiana. Las
funciones gaussia- nas juegan un papel importante en la teora de
probabilidad.) b) Utilice la transformada de Fourier que est a am
bos lados de la ecuacin diferencial de la parte a) para obtener una
ecuacin diferencial para /( a ) y mostrar que f ( a ) = / (
0)ea,{2c donde c es la misma que en la parte a). Se necesita
conocer la siguiente informacin: / ( a ) eiax dx = O ixf(x)eiax dx
= ixj{x) / ( x)eiCLXdx da K (Del problema 35 de los ejercicios
3.11, se tiene que dx = tt. De esta expresin puede deducir que /
(O) = s/ 2 tt/c d.) As es que el valor mnimo posible de D ( f ) B
(f) se alcanza para una funcin gaussiana, cuya transforma da de
Fourier es otra funcin gaussiana! La palabra incertidumbre se
asocia con la desigual dad presentada en el problema 6 dado que,
desde un punto de vista ms abstracto, es matemticamen te anlogo al
famoso principio de incertidumbre de Heisenberg de la mecnica
cuntica. (La interpretacin de este principio de mecnica cuntica es
un tema sutil, pero comnmente se entiende como mientras mayor sea
la precisin con la que se determine la posicin de una partcula, su
momentum se conoce con menor pre cisin, y viceversa.) Utilice la
integracin por partes para mostrar que l - oox fx ) f ( x ) d x = ~
2J co00[f(x)]1dx. Reescri- xxvi PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 La
desigualdad de incertidum bre en el procesamiento de seales
27. PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs
de una abertura circular Anton M. Jopko, Ph.D. Departamento de
Fsica y Astronoma, McMaster Universty Las estrellas del firmamento
se encuentran a una dis tancia enorme de nosotros, de forma que
pueden con siderarse como fuentes puntuales de luz. Si se observa
una de estas estrellas a travs de un telescopio, se es perara ver
nicamente otro punto de luz, aunque uno mucho ms brillante. Sin
embargo, ste no es el caso. Dado que es una onda, la luz se
refracta al pasar a tra vs de la abertura circular del telescopio,
de forma que la luz se extiende sobre una pequea regin difusa que
se denomina patrn de difraccin. Este proyecto inves tiga la forma
del patrn de difraccin para la luz que pasa a travs de una abertura
circular de radio R. Por simplicidad, se considera que la luz tiene
una longitud de onda nica A, o color. Esta luz tiene la forma de un
frente de ondas esfrico cerca de la estrella, pero cuando nos
alcanza, llega como un frente de ondas plano. Todos los puntos del
frente de ondas tienen la misma fase. A continuacin, se apunta el
telescopio con su abertura circular directamente hacia la estrella,
de manera que los frentes de ondas planas inciden desde la
izquierda, como se muestra en la figura 1. Figura 1 Difraccin de la
luz A partir del principio de Huygen, cada punto de la abertura
circular emite una onda en todas las direc ciones. La difraccin de
Fraunhofer requiere que las ondas abandonen la abertura en un
conjunto casi para lelo que viaja hacia un punto muy distante P. El
nico propsito del lente es formar una imagen puntual de este
conjunto paralelo a una distancia mucho ms cer cana a la abertura.
La difraccin ocurrira incluso sin el lente. La lnea discontinua que
une los dos orgenes es tambin el eje de abertura y del lente. El
sistema de coordenadas LM est en el plano focal del lente,| y su
origen est donde toda la luz de la estrella aparecera en ausencia
de difraccin. Debido a la difraccin, sin embargo, algo de luz
tambin aparece en P. El punto P es un punto general, pero muy
cercano a O, nicamen te a arco-segundos de distancia! En la figura
2, se han unido la abertura y el lente, dado que en la prctica el
borde del lente tambin defi ne la abertura. Debido a la simetra
circular del lente y al patrn de difraccin, es muy deseable
utilizar coor denadas polares. Suponga que una onda es emitida en
un punto S del lente con coordenadas (X, y) o (p, 6) y que llega a
P con coordenadas (L, M) o coordenadas angulares (w, i). Entonces X
= p eos 9 ,Y = p sen 9, y L 'W eos i/j y M = w sen /r. Aqu, p es la
distan cia radial del centro del lente a la fuente S de la onda
emitida y 9 es su ngulo polar; w es el radio angular de P y t// es
su ngulo polar. Las ondas emitidas en la abertura estn en fase y
tienen la misma amplitud, pero todas ellas viajan dis tancias
diferentes hacia el punto P, de forma que llegan ah desfasadas. La
intensidad de la luz en P es propor cional al cuadrado de la
amplitud resultante de todas las ondas que llegan. Ahora se
necesita calcular esta amplitud resultante tomando en cuenta las
difrencias de fase de las ondas. Se define el nmero de onda de las
ondas inciden tes y emitidas como k = 2tt/ A. Entonces, de acuerdo
a Principies ofOptics, sptima edicin, de Bom y Wolf, la amplitud
resultante en P de todas las ondas emitidas en la abertura es slo
la transformada de Fourier de la abertura: U(P) = C -ik (L X + M Y)
dXdY abertura ; donde C es una constante, proporcional en paite a
la brillantez de la estrella. La intensidad de P viene en tonces
dada por U{P)2. ste es el patrn de difraccin para la estrella en
funcin del radio angular w. ,- Problemas relacionados l . Muestre
que la amplitud resultante en P utilizando los dos sistemas de
coordenadas polares puede escribirse como U{P) = C 0ikpw eos ( 0 -
rtpdddp PROYECTO PARA LA SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs
de una abertura circular xxvii
28. 2. Utilizando la identidad r2tt i 2tt e ix cos ce na d a =
j 0 donde J es la funcin de Bessel de primer tipo, mues tre que la
amplitud resultante se reduce a U{P) = 2itC J0(kpw)p dp para
cualquier i//. Se elige = 0. (Esta expresin es tambin conocida como
transformacin de Haitkel de una abertura circular.) 3. Utilizando
la relacin de recurrencia ^ - [ u " +' j n+i(u)] = du muestre que ,
2JAkRw) 4. Muestre que U(P) = CsRr rr- : Por tanto, la kRw
intensidad viene dada por U(P)2 = 27j (kRw) kRw 2 JA kRw) 5. Qu es
lm --------------? ivlo kRw 6. Cul es el significado fsico de /0?
7. Cul es el valor de la raz no nula ms pequea de 7,? Utilizando A
= 550 nm, R = 10 cm y la raz ms pequea que se acaba de encontrar,
calcular el radio angular w (en arco-segundos) del disco central de
di fraccin. 2J,{kRw) 8. Dibujar una grfica d e -------------en
funcin de kRw kRw as como de la intensidad, que es su cuadrado. El
pa trn de difraccin de la estrella consiste en un disco central
brillante rodeado por varios anillos concntri cos delgados tenues.
Este disco se denomina el disco de Airy en honor de G. B. Airy,
quien fue el prime ro en calcular el patrn de difraccin de una
abertura circular en 1826. 9. Qu sucede con el ancho angular del
patrn de di fraccin si el radio R de la abertura se duplica? 10. Qu
sucede con el ancho angular del patrn de di fraccin si la longitud
de ondade la luz se dupli ca? 11. Qu sucede con el ancho angular
del patrn de di fraccin si la longitud focal del lente se duplica?
12. Suponga que una abertura circular tiene forma de ani llo con
radio interno a y radio externo b. Encuentre U(P). (Este resultado
es de importancia prctica, dado que los telescopios de reflexin
casi siempre tienen una obstruccin en la parte central de la
abertura.) 13. Suponga que el anillo del problema 12 es muy es
trecho, de forma que b = a + Aa, donde Aa es pe queo pero no
infinitesimal. Muestre entonces que la amplitud resultante
aproximada viene dada por U(P) = C(2.iraha)J0(kwa). [Sugerencia:
Interpretar el resultado U(P) del problema 12 como aproxima- d (u
Jx{u)) cion para du = uJQ{u) con u = kwa.] xxviii PROYECTO PARA LA
SECCIN 7.4 Difraccin de Fraunhofer a travs de una abertura
circular
29. PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos
numricos Dmitry Pelinovsky, Ph.D. Departamento de Matemticas y
Estadstica, McMaster University Los mtodos de diferencias finitas
para la solucin nu mrica de ecuaciones diferenciales parciales
pueden ser sorpresivamente inadecuados para aproximaciones
numricas. El problema principal con los mtodos de diferencias
finitas (especialmente aquellos con esque mas de iteracin explcita)
es que pueden amplificar el ruido de redondeo numrico debido a
inestabilidades intrnsecas. Dichas inestabilidades aparecen muy fre
cuentemente en el trabajo de investigacin. Un ingenie ro debera
estar preparado para esta situacin. Despus de emplear muchas horas
en el desarrollo de un nuevo mtodo numrico para el modelado de un
problema y en la escritura cuidadosa del mtodo en un lenguaje de
computadora, el programa de computadora puede lle gar a volverse
intil debido a sus inestabilidades din micas. La figura 1 ilustra
una solucin numrica de la ecuacin de calor con un mtodo explcito de
diferen cias finitas, donde el paso k del tiempo excede la mitad
del tamao del paso cuadrado h (ver ejemplo 1 de la seccin 8.2). Es
de esperarse que una solucin de la ecuacin de calor para una barra
de longitud finita con temperaturas de cero en los puntos extremos
debera exhibir un decaimiento suave de una distribucin ini cial de
calor hacia el nivel constante de temperaturas cero. Sin embargo,
la superficie de la figura 1 mues tra que el decaimiento suave
esperado se rompe por el o o Figura 1 Superficie de la solucin
numrica ruido que crece rpidamente debido a inestabilidades
dinmicas del mtodo explcito. Las inestabilidades de los mtodos
numricos de di ferencias finitas pueden entenderse mediantejla
aplica cin elemental de la transformada discreta de Fourier, que se
estudia en la seccin 7.5. El principip de su perposicin lineal y la
transformada discreta de Fourier permiten separar variables en un
mtodo numrico de diferencias finitas, y estudiar la evolucin
individual en el tiempo (iteraciones) de cada modo de Foujrer de la
solucin numrica. Por simplicidad, se considera el mtodo explcito de
diferencias finitas para la ecuacin del calor u, = uxx en el
intervalo 0 < x < a sujeto a condiciones de frontera nulas en
los puntos extremos x = 0 y x = a y una condi cin inicial no nula
en el instante t = 0. La discretizacin numrica conduce al esquema
de iteracin explcito: i1 uiJ+ 1 = Au-lwj + (1 - 2A)uj + Xm;+i,j ,
(1) Donde u j es una aproximacin numrica de la so lucin u(x, t) en
el punto de la retcula x = x y en el instante t = t, mientras que A
= k/h2 es el parmetro de discretizacin. Si se observa el instante
de tiem po t = tj, j ^ 0 y se expande el vector numrico (u0 j, U j,
..., un j) definido en la malla igualmente espaciada x = ih, i = 0,
1 donde nlv= a, en la transformada sinusoidal de Fourier discreta:
" i r i l;,r uj = 2 j I, i sen 1 = > 11> >n (2) Las
condiciones de frontera u0 - 1, j = 0 se satisfa cen para cualquier
j > 0. Debido al principio; de super posicin lineal, se
considera cada trmino de la suma de la ecuacin (2) por separado.
Entonces se sustituye u j = aj sen (k), k = irl/n en el
mtodo:explcito (1) y se obtiene j:1 alJ+1 sen (k,) = (1 2A)aj sen
(k,) + ; Aa, J sen (k,( + 1)) + sen (k,( 1)) J. (3) Utilizando la
identidad trigonomtrica, sen (ki( + 1)) + sen (k,( - 1)) = 2 eos
(/q) sen (k;), el factor sen (k,) se cancela en la ecuacin; (3), y
se obtiene una frmula de iteracin simple para al . ai,j+1 = Qiai,ji
donde i Q, = 1 - 2A + 2Acos (k,) ; (4) Dado que el factor Q es
independiente dej, es claro que la amplitud a, j del modo de
Fourier sen ( k ) cambia en j & 0, de acuerdo con la potencia
del factor Qf. aij = Qim.o, 7 0 La amplitud a, j crece en j si | U
y est acotada o decae si |)/| 1- Por tanto, la estabilidad del
mtodo PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos
numricos xxix
30. de iteracin explcito se define a partir de la condi cin Qi
^ I, para todo l = 1, 2, ..., n (5) Dado que Q < 1 para A >
0, la restriccin para la estabilidad (5) puede reescribirse como 1
4Asen2f y -J s 1, / = 1, 2, . . . , n (6) que resulta en la
estabilidad condicional del mtodo explcito para 0 < A < 0.5.
Cuando A > 0.5, el primer modo de Fourier inestable corresponde
a I = n, que es el responsable de un patrn de secuencia alternativa
en el espacio creciente en el tiempo de uj. Este patrn se observa
claramente en la figura 1. As, se pueden estudiar las
inestabilidades de los mtodos de diferencias finitas utilizando la
transfor mada discreta de Fourier, el principio de superposicin
lineal, y los factores de iteracin explcita en el tiempo. El mismo
mtodo puede aplicarse a otros mtodos de diferencias finitas para
ecuaciones de calor y de onda, y en general a una discretizacin de
cualquier ecuacin diferencial parcial lineal con coeficientes
constantes. Problemas relacionados 1. Considere el mtodo implcito
de Crank-Nicholson para la ecuacin de calor u, = uxx (ver ejemplo 2
de la seccin 8.2): ~ M/-i,y+i + au,j+1 u+,j'+i = u-i,j - [3uu +
ui+1J (7) dondea = 2(1 + l/A),/3 = 2(1 1/ A),yA = k/h2. Encuentre
la frmula explcita para Q en la ecuacin (4) y demuestre que el
mtodo implcito de Crank- Nicholson (7) es estable
incondicionalmente para cualquier A > 0. 2. Considere el mtodo
explcito de diferencias centrales para la ecuacin de calor u, =
uxx. u,j+1 = 2K ut-i.j ~ 2u.j + u+i,j) + Uu - 1- (8) Utilizando el
mismo algoritmo que en el problema 1, reduzca la ecuacin (8) a un
esquema de iteracin en dos pasos: i =r 4A(cos (k) - 1)au + a , ^ x.
(9) Utilizando el esquema de iteracin explcito (4), en cuentre una
ecuacin cuadrtica para Q, y resulvala con la frmula cuadrtica
(puede consultar el ejemplo 1 de la seccin 9.2 del tomo I).
Demuestre que el m todo explcito de diferencias centrales (8) es
incondi cionalmente inestable para cualquier A > 0. 3. Considere
el mtodo explcito de diferencias centrales para la ecuacin de onda
u = c2u (ver ejemplo 1 de la seccin 8.3 del presente libro): j+ i =
+ 2(1 - A2)uj + A2i/+j - tiij-y, ( 10) donde A = ck/h es el nmero
de Courant. Utilizando el mismo algoritmo que en el problema 2,
encuentre y resuelva la ecuacin cuadrtica para Q,. Demuestre que
2,| = 1 cuando ambas races de la ecuacin cua drtica son complejas.
Demuestre que la constriccin para la estabilidad (5) se viola
cuando ambas ra ces de la ecuacin cuadrtica son distintas y reales.
Demuestre que el mtodo explcito de diferencias centrales (10) es
estable para 0 < A2 S 1 e inestable para A2 > 1. 4. Considere
el mtodo de retroceso en el espacio y avance en el tiempo para la
ecuacin de transporte ii, + cux = 0 : u,j+1 = ( I A )k Uj + A w ,_u
(11 ) donde A = ck/h. Considere la transformada discreta de Fourier
compleja con el modo, de Fourier, u j = a, je'K, donde k = ttI /h ,
i = V T y encuentre el factor complejo Q, en el esquema de iteracin
de un paso (4). Pruebe que el mtodo de re troceso de espacio y
avance en el tiempo (11) es esta ble para 0 < A l e inestable
para A > 1. 5. Considere el mtodo espacio central y retroceso en
el tiempo para la ecuacin de transporte u, + cux = 0: A+i,y+i "F
2iijj+ , Au,_1; +| = 2uj (12) Utilizando el mismo algoritmo que en
el problema 4, demuestre que el mtodo de espacio central y retro
ceso en el tiempo (12) es incondicionalmente estable para cualquier
A > 0. XXX PROYECTO PARA LA SECCIN 8.2 Inestabilidades en mtodos
numricos
33. C A P T U L O 1 Vectores Estructura del captulo 1.1
Vectores en el espacio 2D 1.2 Vectores en el espacio 3D 1.3
Producto escalar 1.4 Producto vectorial 1.5 Lneas y planos en el
espacio 3D 1.6 Espacios vectoriales 1.7 Proceso de ortogonalizacin
de Gram-Schmidt Ejercicios de repaso del captulo 1 El concepto de
vector suele abordarse en prcticam ente todos los cursos de clculo,
as como en los de fsica e ingen iera. Para la m ayora de los
lectores este captulo representa, por lo ta n to , un repaso de tem
as fam iliares como los productos escalar y vectorial. De cualquier
form a, en la seccin 1.6 se plantea el concepto abstracto de
vector. 4
34. 1.1 Vectores en el espacio 2D 0 Introduccin En ciencias,
matemticas e ingeniera, se distinguen dos cantidades importantes:
los escalares y los vectores. Un escalar es simplemente un nmero
real o una cantidad que tiene magnitud. Por ejemplo, la longitud,
la temperatura y la presin sangunea se representan con nmeros como
80 m, 20C y la relacin sistlica/diastlica 120/80. Por su paite, un
vector se describe generalmente como una cantidad que tiene tanto
magnitud como direccin. M Vectores geomtricos Geomtricamente, un
vector se representa por medio de un segmento de lnea dirigido esto
es, por una flecha y se denota con un smbolo en ne gritas o
mediante un smbolo con una flecha encima, por ejemplo: v, u o A B .
La figura 1.1 muestra ejemplos de cantidades vectoriales como el
peso w, la velocidad v y la fuerza retar dante de friccin Fy. a) b)
c) Figura 1.1 Ejemplos de cantidades vectoriales II Notacin y
terminologa Un vector cuyo punto inicial (u origen) es A y cuyo
punto terminal (o destino) es B se escribe AB . La magnitud de un
vector se escribe || AB ||. Cuando dos vectores tienen la misma
magnitud y la misma direccin se dice que son iguales. As, en la
figura 1.2, se tiene que AB = CD . Los vectores son libres, lo cual
significa que un vector puede moverse de una posicin a otra siempre
y cuando su mag nitud y direccin no varen. El negativo de un vector
AB , denotado como -A B , es un vector que tiene la misma magnitud
que AB pero posee direccin opuesta. Si Z: A 0 es un escalar, el
mltiplo escalar de un vector, k A B , es un vector que es k veces
ms largo que AB . Si k > 0, entonces kAB tiene la misma direccin
que el vector AB ; si k < 0, entonces kAB tiene direccin opuesta
a la de AB . Cuando k = 0, se dice que 0 AB = 0 es el vector cero.*
Dos vectores son paralelos si, y slo si, entre ellos son mltiplos
es calares diferentes de cero. Vase la figura 1.3. H Suma y resta
Dos vectores pueden compartir un punto inicial comn, como el punto
A de la figura 1Aa). As, si los vectores no paralelos AB y AC son
los lados de un parale- logramo como el de la figura 1Ab), se dice
que el vector que se halla en la diagonal princi pal, o A D , es la
suma de AB y A C . Se escribe AD = AB +A C . La diferencia entre
los vectores AB y AC se define como AB - AC = AB + ( - A C ) .
*Cuando se pregunta cul es la direccin de 0 normalmente se responde
que al vector cero se le puede asig nar cualquier direccin.
Especficamente, se necesita el 0 para poder tener un lgebra
vectorial. A C Figura 1.2 Vectores igualas Figura 1.3 Vectores
paralelos B a) b) Figura 1.4 El vector AD es la suma de AB y AC 1
1.1 Vectores en el espacio 2D 5
35. a) b) Figura 1.5 El vector CB es la resta de AB menos AC
Como se ve en la figura 1.5a), la resta AB - AC se inteipreta como
la diagonal principal del paralelogramo cuyos lados son B y - A C .
Sin embargo, como se muestra en la fi gura 1.5>), tambin es
posible interpretar la misma resta vectorial como el tercer lado
del tringulo con lados AB y A C . En esta segunda interpretacin, se
observa que la resta vectorial CB = AB - AC apunta hacia el punto
terminal del vector del cual se est restando el segundo vector. Si
AB = AC entonces AB - AC = 0. Vectores en un plano coordenado Para
describir analticamente n vector, su pngase para el resto de esta
seccin que los vectores considerados se encuentran en un plano
coordenado bidimensional o 2D. Al conjunto de todos los vectores en
el plano se le denomina R2. El vector mostrado en la figura 1.6,
con punto inicial en el origen O y punto terminal P(x, yj), se
denomina el vector de posicin del punto P y se escribe como O P = (
x u y l). Componentes En general, un vector a en R2 es cualquier
par ordenado de nmeros reales, a = (au a2). Los nmeros a{ y a2se
conocen como los componentes del vector a. Como se mostrar en el
primer ejemplo, el vector a no es necesariamente un vector de
posicin. b) Figura 1.7 Los vectores en a) y b) son los mismos
Ejemplo 1 Vector de posicin El desplazamiento entre los puntos (*,
y) y (x + 4, y + 3) de la figura 1Ja) se escribe (4, 3). Como se ve
en la figura 1.7>), el vector de posicin de (4, 3) es el vector
que inicia en el origen y termina en el punto P(4, 3). Tanto la
suma y resta de vectores, como la multiplicacin de vectores por
escalares, etc., se definqn en funcin de sus componentes. D E F I N
I C I N 1.1 Suma, multiplicacin escalar, igualdad Sean a = (au a2)
y b = (bu b2) vectores en R2. i) Suma: a + b = (a^ + b, a2+ b2) (1)
ii) Multiplicacin escalar: ka = (kah ka2) (2) iii) Igualdad: a = b
si, y slo si, a, = bu a2 = b2 (3) Resta Utilizando (2), se define
el negativo de un vector b como -b = (-l)b = (-b l,- b 2). La resta
o diferencia de dos vectores se define entonces como a - b = a +
(b) = (a - bu a2- b2). (4) CAPITULO 1 Vectores
36. En la figura 1.8a) se ilustra la suma de los vectores OPt y
OP2. En la figura 1.8>), el ' vector PP2, con punto inicial P, y
punto terminal P2, es la resta de los vectores de posi cin P tP2 =
OP2 - OP, = {x2- x u y2- y i). Como se muestra en la figura
1.8>), el vector PP2 puede dibujarse comenzando por el punto
terminal de OP, y finalizando en el punto terminal de OP2, o tambin
como el vector de posicin OP cuyo punto terminal tiene coordenadas
(x2-x ,y 2- y l). Recurdese que OP y PP2 se consideran iguales,
puesto que tienen la misma magnitud y la misma direccin. Ejemplo 2
Suma y resta de dos vectores Si a = (1, 4) y b = ( - 6, 3),
encuentre a + b, a - b y 2a + 3b. Solucin Se utilizan (1), (2) y
(4). a + b = ( 1 4 (-6), 4 + 3) = . As, un vector uni tario con la
misma direccin que a es el mltiplo escalar u = : v l a = v ^ 2 , ~
^ ( v t v f ) ' Un vector unitario con la direccin opuesta a a es
el negativo de u: V s ' V s / Si a y b son vectores y cq y c2 son
escalares, entonces la expresin c,a + c2b se de nomina una
combinacin lineal de a y b. Como se muestra a Continuacin,
cualquier vector en R2puede escribirse como una combinacin lineal
de dos vectores especiales. I Vectores i, j Teniendo presentes (1)
y (2), cualquier vector a = (a, a2) puede escri birse como una
suma: (a h a2) = (a, 0) + (0, a2) = a ^ l, 0) + a2. (5) A los
vectores unitarios ( 1, 0) y (0, 1) usualmente se les asignan los
smbolos especiales i y j. Vase la figura 1.10). As, si i = y j = ,
Entonces (5) se convierte en a = ai + a2j. (6) Se dice que los
vectores unitarios i y j forman una base para el sistema de
vectores bidi- mensionales, puesto que cualquier vector a puede
escribirse como una combinacin lineal nica de i y j. Si a = i + a2j
es un vector de posicin, entonces la figura 1.10b) muestra que a es
la suma de los vectores qi y a2j, que tienen al origen como punto
inicial comn y se halla sobre los ejes x y y, respectivamente. El
escalar a, se llama la componente hori zontal de a, y el escalar
a2se denomina l componente vertical de a. Ejemplo 4 Operaciones
vectoriales utilizando i y j a) , b = (0, -5> 4- a = i j, b = 2
i + 6J 5. a = -3 i + 2j, b = 7j 6. a = (1,3), b = -5a 7. a = -b, b
= 2i - 9j 8. a = (7, 10), b = (1, 2) En los problemas 9-14,
encuentre a) 4a - 2b y b) - 3a - 5b. 9. a = (1,-3), b = (-1,1) 10.
a = i + j, b = 3i - 2j11.a= i - j,b = -3i + 4j 12. a = (2,0), b =
(0, -3)13.a=), se considera que el peso del semforo se representa
por w y las fuerzas en los dos cables por Fj y F2. De la figura
1.19c), se observa que una condicin de equilibrio es w + Fj + F2 0.
(7) Observe el problema 39. Si w = - 200j F, = (||F,|| eos 20)i +
(||F,|| sen 20)j F2 = (||F2|| eos 15)i + (||F2|| sen 15)j, utilice
(7) para determinar las magnitudes de F, y F2. [Sugerencia: Vuelva
a leer el inciso ii) de la definicin 1.1.] b) t > . c) Figura
1.19 Tres vectores de fuerza del problema 46 47. Una carga elctrica
Q se distribuye uniformemente a lo largo del eje y entre y = - a y
y = a. Vea la figura 1.20. 10 CAPTULO 1 Vectores
40. La fuerza total ejercida sobre la carga q en el eje x
debida a la carga Q es F = Fxi + Fy jdonde F = M . 47re0 . F 31
47780 Ldy _a 2a(L2 + y2)3'2 ydy _a 2a(L2 + y2)3'2' Determine F. . .
Q L q Figura 1.20 Carga sobre el eje x del problema 47 48.
Utilizando vectores, muestre que las diagonales de un paralelogramo
se bisecan entre s. [Sugerencia: Suponga que M es el punto medio,
de una diagonal y N, el punto medio de la otra.] 49. 50. Utilizando
vectores, muestre que el segmento de lnea que se encuentra entre
los puntos medios de dos lados de un tringulo es paralelo al tercer
lado y tiene la mitad de su longitud. I: Un avin sale de un
aeropuerto localizado en el origen O y vuela 150 millas en la
direccin 20 norte, desde el este, hacia la ciudad A. Desde A, el
aeroplano vuela entonces 200 millas en la direccin 23 oeste, desde
el norte, hacia la ciudad B. Desde B, el avin vuela 240 millas en
la direccin 10 sur, desde el oeste, hqJcia la ciudad C. Exprese la
ubicacin de la ciudad C.corno un vector r tal como se muestra en la
figura 1.21. Encuentre la distancia desde O hasta C. N 1 Figura
1.21 Avin del problema 50 I 1.2 Vectores en el espacio 3D
Introduccin En el plano, o espacio 2D, una forma de describir la
posicin de un punto P es asignarle coordenadas relativas a dos ejes
mutuamente ortogonales, o per pendiculares, llamados los ejes y y
x. Si P es el punto de interseccin entre la lnea x = a
(perpendicular al eje x) y la lnea y - b (perpendicular-al eje y),
se dice entonces que el par ordenado (a, b) son las coordenadas
cartesianas o rectangulares del punto. Vase la figura 1.22. En esta
seccin se amplan los conceptos de coordenadas cartesianas y
vectores a tres dimensiones. 5istema coordenado rectangular en el
espacio 3D Entres dimensiones, o es pacio 3D, un sistema coordenado
rectangular se construye utilizando tres ejes mutua mente
ortogonales. El punto en el que estos ejes se intersecan se
denomina el origen O. Estos ejes, mostrados en la figura 1.23), se
nombran de acuerdo con la llamada regla plano ! b) Figura 1.22
Coordenadas ||: rectangulares en el espacio 2D Figura 1.23
Coordenadas rectangulares en el espacio 3D 1.2 Vectores en el
espacio 3D i: 1 1
41. de la mano derecha: si los dedos de la mano derecha
apuntando en la direccin del eje x positivo se doblan hacia el eje
y positivo, entonces el pulgar apuntar en la direc cin de un nuevo
eje perpendicular al plano de los ejes x y y. Este nuevo eje se
nombra como eje z. Las lneas punteadas de la figura 1.23)
representan al eje negativo. Ahora, si x = a, y = b, z = c Figura
1.24 Octantes Ll Octantes Cada par de ejes coordenados determina un
plano coordenado. Como se muestra en la figura 1.24, los ejes x y y
determinan al plano xy, los ejes x y z determinan al plano xz, etc.
Los planos coordenados dividen al espacio 3D en ocho partes
conocidas como octantes. El octante en el cual las tres coordenadas
de un punto son positivas se denomina el primer octante. No existe
consenso para la denominacin de los otros siete octantes. La
siguiente tabla resume las coordenadas de un punto, ya sea en un
eje coordenado o en un plano coordenado. Como se ve en la tabla, se
describe tambin, por ejemplo, el plano xy a travs de la sencilla
ecuacin z = 0. Anlogamente, el plano xz es y = 0 y el plano yz es x
= 0. Ejes Coordenadas Plano Coordenadas x (a, 0, 0) xy (a, b, 0) y
(0, b, 0) XZ (a, 0, c) z (0, 0, c) yz (0, b, c) Ejemplo 1 Grficas
de tres puntos Grafique los puntos (4, 5, 6), (3, -3, -1) y (-2,
-2, 0). son planos perpendiculares al eje x, eje y y eje z,
respectivamente. Entonces, el punto P en el que estos planos se
intersecan se representa por una tripleta ordenada de nmeros (a, b,
c) conocidos como las coordenadas cartesianas o rectangulares del
punto. Los nmeros a ,b y c son, a su vez, llamados las coordenadas
x, y y z de P(a, b, c). Vea la figura 1.23b). Figura 1.25 Puntos
del ejemplo 1 Figura 1.26 Distancia d entre dos puntos del espacio
3D Solucin De los tres puntos mostrados en la figura 1.25,
nicamente (4, 5, 6) se encuen tra en el primer octante. El punto
(-2, -2, 0) se encuentra en el plano xy. O [d{Px,P 2) f = [ V ( x 2
- x,)2 + (y2 - y,)2]2 + Iz2 ~ Z2 Frmula de la distancia Para hallar
la distancia entre dos puntos P|(x,, y,, z) y P2(x2, y2, Z) del
espacio 3D, considrese su proyeccin sobre el plano xy. Como se
muestra en la figura 1.26, la distancia entre (x, y!, 0) y (x2, y2,
0) se deduce a partir de la conocida frmula de la distancia en el
plano, y es igual a/'(x2 Xj)2 + (y2 yi)2. Si las coordenadas de
P3son (x2, y2, Zj), entonces el teorema de Pitgoras aplicado al
trin gulo rectngulo PP2P3lleva a o d(Ph P2) = V ( x 2 - x)2 + (y2 -
y,)2 + (z2 ~ z t)2. (i) Ejemplo 2 Distancia entre dos puntos
Encuentre la distancia entre (2, -3, 6) y (-1, -7, 4). Solucin Al
seleccionar P2como (2, -3, 6) y P como (-1, -7, 4), la frmula (1)
da d = V (2 - ( - 1))2 + ( - 3 - (7))2 + (6 - 4)2 = V 29. ' II
Frmula del punto medio La frmula para determinar el punto medio de
un seg mento de lnea entre dos puntos del espacio 3D se desarrolla
de forma anloga a la del 12 CAPTULO 1 Vectores
42. espacio 2D. Si P,{x,, yu Z]) y P2(x2, y2, z2) son dos
puntos distintos, entonces las coordena das del punto medio del
segmento de lnea que existe entre ellos son x, + x2 y + y2 z, + z2
(2) Ejemplo 3 Coordenadas de un punto medio Encuentre las
coordenadas del punto medio del segmento de lnea entre los dos
puntos del ejemplo 2. Solucin De (2) se obtiene '2 + (-1 ) - 3 +
(-7 ) 6 + 4 2 5,5 . Vectores en el espacio 3D Un vector a en el
espacio 3D es cualquier tripleta orde nada de nmeros reales a =l
(fll>a2>^3), donde a,, a2 y a3 son las componentes del
vector. El conjunto de todos los vectores del espacio 3D se denota
por el smbolo R3. El vector de posicin de un punto P(x, y,, Zj) en
el espacio es el vector OP = (jq, y, z) cuyo punto inicial es el
origen O y cuyo punto terminal es P. Ver la figura 1.27. Las
definiciones por componentes de la suma, resta, multiplicacin
escalar, etc', son generalizaciones naturales de aqullas para
vectores en R2. D E F I N I C I O N 1.2 Definiciones por
componentes en el espacio 3D Sea a = (a,, a2, a3) y b = (bh b2, b3)
vectores en R2. i) Suma: a + b = (a, + bu a2+ b2, a3+ b3) ii)
Multiplicacin escalar: ka = (ka,, ka2, ka2) iii) Igualdad: a = b
si, y slo si, a = b, a2 = b2, a3= b3 iv) Negativo: -b = (-l)b =
(->,, -b 2, -b 3) v) Resta: a - b = a + (-b) = {al - bu a2- b2,
a3- b3) vi) Vector cero: 0 =