10 de Agosto del 2014

INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN BARINAS

SAIA NUCLEO SAN FELIPE

Integrantes: Valero América C.I. 13.984.216 Dismery Martínez C.I. 22.319.860

Carrera: Ingeniería Industrial Profesor: Mariangela Pinto

Curso: Investigación de Operaciones I

INTRODUCCIÓN

La problemática de la planeación de proyectos no ha sido una problemática

reciente, si no que desde tiempos pasados nuestros antepasados han enfrentado

emprendimientos de gran envergadura que significaron una problemática desde el

punto de la planificación. Se han logrado perfeccionar herramientas que permiten

a los administradores de dichos proyectos, realizar una labor más eficiente

permitiendo una óptima aplicación de los recursos en las mismas y logrando una

maximización de los mismos.

Si admitiéramos que la ejecución de un proyecto o elaboración se puede

subdividir en planear, programar y controlar, y hablando de manera clásica,

podemos considerar las técnicas PERT o Programa de Evaluación y Revisión

Técnica y el CPM o Método del Camino Crítico, que son los más usuales para un

primer cometido. En general estas técnicas resultan útiles para una gran variedad

de proyectos que contemplen la investigación y desarrollo de

nuevos productos y procesos, la Construcción de plantas, edificios, y carreteras,

el diseño de equipo grande y complejo, el diseño e instalación

de sistemas nuevos, el diseño y control de epidemias, y otras múltiples

aplicaciones en las cuales se requiera una planificación adecuada.

Por tanto, en los proyectos como estos, los administradores

deben programas, coordinar las diversas tareas o actividades a desarrollar un

proyecto, las cuales no necesariamente son secuenciales, y aun en este caso

estas actividades son interdependientes, aunque si bien es cierto que, algunas

actividades en paralelo que originan una tercera.

ANTECEDENTES

Dos son los orígenes del método del camino crítico: el método PERT,

desarrollo por la Armada de los Estados Unidos de América, en 1957, para

controlar los tiempos de ejecución de las diversas actividades integrantes de los

proyectos espaciales, por la necesidad de terminar cada una de ellas dentro de los

intervalos de tiempo disponibles. Fue utilizado originalmente por el control de

tiempos del proyecto Polaris y actualmente se utiliza en todo el programa espacial.

El método CPM, el segundo origen del método actual, fue desarrollado

también en 1957 en los Estados Unidos de América, por un centro de

investigación de operaciones para la firma Dupont y Remington Rand, buscando el

control y la optimización de los costos de operación mediante la planeación

adecuada de las actividades componentes del proyecto.

Ambos métodos aportaron los elementos administrativos necesarios para

formar el método del camino crítico actual, utilizando el control de los tiempos de

ejecución y los costos de operación, para buscar que el proyecto total sea

ejecutado en el menor tiempo y al menor costo posible.

DEFINICIÓN

El método del camino crítico es un proceso administrativo de planeación,

programación, ejecución y control de todas y cada una de las actividades

componentes de un proyecto que debe desarrollarse dentro de un tiempo crítico y

al costo óptimo.

USOS

El campo de acción de este método es muy amplio, dada su gran

flexibilidad y adaptabilidad a cualquier proyecto grande o pequeño. Para obtener

los mejores resultados debe aplicarse a los proyectos que posean las siguientes

características:

a. Que el proyecto sea único, no repetitivo, en algunas partes o en su

totalidad.

b. Que se deba ejecutar todo el proyecto o parte de el, en un tiempo mínimo,

sin variaciones, es decir, en tiempo crítico.

c. Que se desee el costo de operación más bajo posible dentro de un tiempo

disponible.

Dentro del ámbito aplicación, el método se ha estado usando para la

planeación y control de diversas actividades, tales como construcción de presas,

apertura de caminos, pavimentación, construcción de casas y edificios, reparación

de barcos, investigación de mercados, movimientos de colonización, estudios

económicos regionales, auditorías, planeación de carreras universitarias,

distribución de tiempos de salas de operaciones, ampliaciones de fábrica,

planeación de itinerarios para cobranzas, planes de venta, censos de población,

entre otros.

DIFERENCIAS ENTRE PERT Y CPM

La principal diferencia entre PERT y CPM es la manera en que se realizan

los estimados de tiempo. El PERT supone que el tiempo para realizar cada una de

las actividades es una variable aleatoria descrita por una distribución de

probabilidad. El CPM por otra parte, infiere que los tiempos de las actividades se

conocen en forma determinísticas y se pueden variar cambiando el nivel de

recursos utilizados.

La distribución de tiempo que supone el PERT para una actividad es una

distribución beta. La distribución para cualquier actividad se define por tres

estimados:

(1) el estimado de tiempo más probable, m;

(2) el estimado de tiempo más optimista, a; y

(3) el estimado de tiempo más pesimista, b.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. E1 tiempo

más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones

normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la

incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo,

disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar,

respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse

por medio de las fórmulas de aproximación.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar,

suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son

independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la

varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta

crítica. Estas propiedades se demostrarán posteriormente.

En CPM solamente se requiere un estimado de tiempo. Todos los cálculos

se hacen con la suposición de que los tiempos de actividad se conocen. A medida

que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar y monitorear el

progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto, se hacen esfuerzos por lograr

que el proyecto quede de nuevo en programa cambiando la asignación de

recursos.

Podremos resumir las diferencias de los métodos que se basan en la

manera en que se realizan los estimativos de tiempo.

PERT

Probabilístico.

Considera que la variable de tiempo es una variable desconocida de la cual

solo se tienen datos estimativos.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los

tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica.

Suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son

independientes, (una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del

proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.

Considera tres estimativos de tiempos: el más probable, tiempo optimista,

tiempo pesimista.

CPM

Determinístico. Ya que considera que los tiempos de las actividades se

conocen y se pueden variar cambiando el nivel de recursos utilizados.

A medida que el proyecto avanza, estos estimados se utilizan para controlar

y monitorear el progreso. Si ocurre algún retardo en el proyecto,

se hacen esfuerzos por lograr que el proyecto quede de nuevo en programa

cambiando la asignación de recursos.

Considera que las actividades son continuas e interdependientes, siguen un

orden cronológico y ofrece parámetros del momento oportuno del inicio de

la actividad.

Considera tiempos normales y acelerados de una determinada actividad,

según la cantidad de recursos aplicados en la misma.

VENTAJAS DE PERT Y CPM

Enseña una disciplina lógica para planificar y organizar un programa

detallado de largo alcance.

Proporciona una metodología Standard de comunicar los planes del

proyecto mediante un cuadro de tres dimensiones (tiempo, personal; costo).

Identifica los elementos (segmentos) más críticos del plan, en que

problemas potenciales puedan perjudicar el cumplimiento del programa

propuesto.

Ofrece la posibilidad de simular los efectos de las decisiones alternativas o

situaciones imprevistas y una oportunidad para estudiar sus consecuencias

en relación a los plazos de cumplimiento de los programas.

Aporta la probabilidad de cumplir exitosamente los plazos propuestos.

En otras palabras: CPM es un sistema dinámico, que se mueve con el

progreso del proyecto, reflejando en cualquier momento el STATUS

presente del plan de acción.

METODOLOGÍA

El Método del Camino Critico consta de dos ciclos:

1. Planeación y Programación.

1.1.- Definición del proyecto

1.2.- Lista de Actividades

1.3.- Matriz de Secuencias

1.4.- Matriz de Tiempos

1.5.- Red de Actividades

1.6.- Costos y pendientes

1.7.- Compresión de la red

1.8.- Limitaciones de tiempo, de recursos y económicos

1.9.- Matriz de elasticidad

1.10.- Probabilidad de retraso

2. Ejecución y Control.

2.1.- Aprobación del proyecto

2.2.- Ordenes de trabajo

2.3.- Gráficas de control

2.4.- Reportes y análisis de los avances

2.5.- Toma de decisiones y ajustes

Definición del Proyecto

En toda actividad a realizar se requieren conocimientos precisos y claros de

lo que se va a ejecutar, de su finalidad, viabilidad, elementos disponibles,

capacidad financiera, etc. Esta etapa aunque esencial para la ejecución del

proyecto no forma parte del método. Es una etapa previa que se debe desarrollar

separadamente y para la cual también puede utilizarse el Método del Camino

Critico. Es una investigación de objetivos, métodos y elementos viables y

disponibles.

Lista de Actividades

Es la relación de actividades físicas o mentales que forman procesos

interrelacionados en un proyecto total. En general esta información es obtenida de

las personas que intervendrán en la ejecución del proyecto, de acuerdo con la

asignación de responsabilidades y nombramientos realizados en la Definición del

Proyecto.

Las actividades pueden ser físicas o mentales, como construcciones,

tramites, estudios, inspecciones, dibujos, etc. En términos generales, se considera

Actividad a la serie de operaciones realizadas por una persona o grupo de

personas en forma continua, sin interrupciones, con tiempos determinables de

iniciación y terminación. Esta lista de actividades sirve de base a las personas

responsables de cada proceso para que elaboren sus presupuestos de ejecución.

Ejemplo de Realización de Proyecto

Jefes de Mantenimiento y Producción.

1. Elaboración del proyecto parcial de ampliación.

2. Calculo del costo y preparación de presupuestos.

3. Aprobación del proyecto.

4. Desempaque de las maquinas nuevas.

5. Colocación de las maquinas viejas y nuevas.

6. Instalación de las maquinas.

7. Pruebas generales.

8. Arranque general.

9. Revisión y limpieza de máquinas viejas.

10. Pintura de máquinas viejas.

11. Pintura y limpieza del edificio.

Ingeniero Electricista

1. Elaboración del proyecto eléctrico.

2. Calculo de los costos y presupuestos.

3. Aprobación del proyecto.

4. Instalación de un transformador nuevo.

5. Instalación de nuevo alumbrado.

6. Instalación de interruptores y arrancadores.

Ingeniero Contratista

1. Elaboración del proyecto de obra muerta.

2. Cálculo de los costos y presupuestos.

3. Aprobación del proyecto.

4. Cimentación de las máquinas.

4. Pisos nuevos.

5. Colocación de ventanas nuevas.

Esta es una lista de los responsables en un proyecto de ampliación de una fábrica.

Matriz de Secuencias

Existen dos procedimientos para conocer la secuencia de las actividades:

a.- Por antecedentes

Por antecedentes, se les preguntará a los responsables de los procesos

cuales actividades deben quedar terminadas para ejecutar cada una de las que

aparecen en la lista. Debe tenerse especial cuidado que todas y cada una de las

actividades tenga por lo menos una antecedente excepto en el caso de ser

actividades iniciales, en cuyo caso su antecedente será cero (0).

b.- Por secuencias

En el segundo procedimiento se preguntara a los responsables de la

ejecución, cuales actividades deben hacerse al terminar cada una de las que

aparecen en la lista. Para este efecto debemos presentar la matriz de secuencias

iniciando con la actividad cero (0) que servirá para indicar solamente el punto de

partida de las demás. La información debe tomarse una por una de las actividades

listadas, sin pasar por alto ninguna de ellas.

En la columna de "anotaciones" el programador hara todas las indicaciones

que le ayuden a aclarar situaciones de secuencias y presentación de la red. Estas

anotaciones se hacen a discreción, ya que esta matriz es solamente un papel de

trabajo.

Si se hace una matriz de antecedentes es necesario hacer después una

matriz de secuencias, pues es ésta última la que se utiliza para dibujar la red. Esta

matriz no es definitiva, porque generalmente se hacen ajustes posteriores en

relación con la existencia y disponibilidades de materiales, mano de obra y otras

limitaciones de ejecución.

Matriz de Tiempos

En el estudio de tiempos se requieren tres cantidades estimadas por los

responsables de los procesos: El tiempo medio (M), el tiempo óptimo (o) y el

tiempo pésimo (p).

El tiempo medio (M) es el tiempo normal que se necesita para la ejecución

de las actividades, basado en la experiencia personal del informador. El tiempo

óptimo (o) es el que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o

cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la

posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo. El tiempo pésimo (p)

es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente

como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios,

causas no previstas, etc. Debe contarse sólo el tiempo en que se ponga remedio

al problema presentado y no debe contar el tiempo ocioso.

Se puede medir el tiempo en minutos, horas, días, semanas, meses y años,

con la condición de que se tenga la misma medida para todo el proyecto. Los

tiempos anteriores servirán para promediarlos mediante la fórmula PERT

obteniendo un tiempo resultante llamado estándar (t) que recibe la influencia del

óptimo y del pésimo a la vez.

Esto es, tiempo estándar igual al tiempo optimo, más cuatro veces el tiempo

medio, más el tiempo pésimo, y esta suma dividida entre seis (6). Esta fórmula

está calculada para darle al tiempo medio una proporción mayor que los tiempos

óptimo y pésimo que influyen. Esta proporción es de cuatro (4) a seis(6).

Tanto la matriz de secuencias como la matriz de tiempos se reúnen en una

sola llamada matriz de información, que sirve para construir la red medida.

Red de Actividades

Se llama red la representación gráfica de las actividades que muestran sus

eventos, secuencias, interrelaciones y el camino crítico. No solamente se llama

camino crítico al método sino también a la serie de actividades contadas desde la

iniciación del proyecto hasta su terminación, que no tienen flexibilidad en su

tiempo de ejecución, por lo que cualquier retraso que sufriera alguna de las

actividades de la serie provocaría un retraso en todo el proyecto.

Desde otro punto de vista, camino critico es la serie de actividades que

indica la duración total del proyecto. Cada una de las actividades se representa

por una flecha que empieza en un evento y termina en otro.

Se llama evento al momento de iniciación o terminación de una actividad.

Se determina en un tiempo variable entre el más temprano y el más tardío posible,

de iniciación o de terminación.

A los eventos se les conoce también con los nombres de nodos.

Evento Evento

I j

El evento inicial se llama i y el evento final se denomina j. El evento final de

una actividad será el evento inicial de la actividad siguiente.

Las flechas no son vectores, escalares ni representan medida alguna. No

interesa la forma de las flechas, ya que se dibujarán de acuerdo con las

necesidades y comodidad de presentación de la red. Pueden ser horizontales,

verticales, ascendentes, descendentes curvas, rectas, quebradas, etc.

En los casos en que haya necesidad de indicar que una actividad tiene una

interrelación o continuación con otra se dibujará entre ambas una línea punteada,

llamada liga, que tiene una duración de cero.

La liga puede representar en algunas ocasiones un tiempo de espera para

poder iniciar la actividad siguiente.

Varias actividades pueden terminar en un evento o partir de un mismo

evento.

(a) Incorrecto, (b) Correcto.

Al construir la red, debe evitarse lo siguiente:

1. Dos actividades que parten de un mismo evento y llegan a un mismo evento.

Esto produce confusión de tiempo y de continuidad. Debe abrirse el evento inicial

o el evento final en dos eventos y unirlos con una liga.

2. Partir una actividad de una parte intermedia de otra actividad. Toda actividad

debe empezar invariablemente en un evento y terminar en otro. Cuando se

presenta este caso, a la actividad base o inicial se le divide en eventos basándose

en porcentajes y se derivan de ellos las actividades secundadas.

(a) Incorrecto, (b) Correcto.

3. Dejar eventos sueltos al terminar la red. Todos ellos deben relacionarse con el

evento inicial o con el evento final.

LIMITACIONES DEL CPM

El CPM fue desarrollado para el complejo pero los proyectos bastante rutinarios con incertidumbre mínima en los tiempos de la terminación del proyecto. Para menos proyectos de la rutina hay más incertidumbre en los tiempos de la terminación, y límites de esta incertidumbre la utilidad del modelo determinista del CPM. Una alternativa al CPM es el modelo del planeamiento del proyecto del PERT, que permite que una gama de duraciones sea especificada para cada actividad.

METODO PERT (Programa de Evaluación y Revisión Técnica)

En CPM se asume que la duración de cada actividad es conocida con certeza. Claramente, en muchas ocasiones este supuesto no es valido. PERT intenta corregir este error suponiendo que la duración de cada actividad es una variable aleatoria. Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más favorables

b = Tiempo Pesimista. Duración de la actividad bajo las condiciones más desfavorables

m = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad.

La forma de la distribución se muestra en la siguiente Figura. 6 tiempo más probable es el tiempo requerido para completar la actividad bajo condiciones normales. Los tiempos optimistas y pesimistas proporcionan una medida de la incertidumbre inherente en la actividad, incluyendo desperfectos en el equipo, disponibilidad de mano de obra, retardo en los materiales y otros factores.

Con la distribución definida, la media (esperada) y la desviación estándar, respectivamente, del tiempo de la actividad para la actividad Z puede calcularse por medio de las fórmulas de aproximación.

El tiempo esperado de finalización de un proyecto es la suma de todos los tiempos esperados de las actividades sobre la ruta crítica. De modo similar, suponiendo que las distribuciones de los tiempos de las actividades son independientes (realísticamente, una suposición fuertemente cuestionable), la varianza del proyecto es la suma de las varianzas de las actividades en la ruta crítica.

PASOS EN EL PROCESO DE PLANEAMIENTO DEL PERT

1. El planeamiento del PERT implica los pasos siguientes: 2. Identifique las actividades y duración específica, 3. determine la secuencia apropiada de las actividades, 4. construya un diagrama de red, 5. determine el tiempo requerido para cada actividad, 6. determine la trayectoria critica, 7. Ponga al día la carta del PERT según como progresa el proyecto.

IDENTIFIQUE LAS ACTIVIDADES Y LOS PRECEDENTES

Las actividades son las tareas requeridas para terminar el proyecto. Los precedentes son los acontecimientos que marcan el principio y el final de una o más actividades. Es provechoso enumerar las tareas en una tabla que en pasos más últimos se pueda ampliar para incluir la información sobre secuencia y duración.

DETERMINE LA SECUENCIA DE LA ACTIVIDAD

Este paso se puede combinar con el paso de la identificación de la actividad puesto que la secuencia de la actividad es evidente para algunas tareas. Otras tareas pueden requerir más análisis para determinar el orden exacto en la cual deben ser realizadas

CONSTRUYA EL DIAGRAMA DE RED

Usando la información de la secuencia de la actividad, un diagrama de la red se puede dibujar demostrando la secuencia de actividades seriales y paralelas.

TIEMPOS DE ACTIVIDAD DE ESTIMACION

Para cada activad, se requiere estimar las siguientes cantidades:

a = Tiempo Optimista. El que representa el tiempo mínimo posible sin importar el costo o cuantía de elementos materiales y humanos que se requieran; es simplemente la posibilidad física de realizar la actividad en el menor tiempo

b = Tiempo Pesimista. Es un tiempo excepcionalmente grande que pudiera presentarse ocasionalmente como consecuencia de accidentes, falta de suministros, retardos involuntarios, causas no previstas, etc.

m = Tiempo Normal. El valor más probable de la duración de la actividad, basado en la experiencia personal del informador

Si Tij es la variable aleatoria asociada a la duración de la actividad (i; j), PERT asume que Tij sigue una distribución Beta. Sin entrar en mayores detalles de esta distribución, se puede demostrar que el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria Tij quedan definidas por:

En PERT se asume además que la duración de las actividades es independiente. Por lo tanto, el valor esperado y la varianza de una ruta pueden ser estimadas según:

= Duración esperada de la ruta

= Variación de la duración de la ruta

DETERMINE LA TRAYECTORIA CRÍTICA

La trayectoria crítica es determinada agregando los tiempos para las actividades en cada secuencia y determinando la trayectoria más larga del proyecto. La trayectoria crítica determina el tiempo total del calendario requerido para el proyecto. Si las actividades fuera de la trayectoria cítrica aceleran o retrasaron el tiempo (dentro de los límites), entonces el tiempo total de proyecto no varía, la cantidad del tiempo que una actividad no critica de la trayectoria sin alterar la duración del proyecto se denomina como tiempo flojo.

Si la trayectoria crítica del proyecto no resulta obvia, entonces puede ser provechoso determinar las cuatro cantidades siguientes para cada actividad:

ES, Principio temprano. EF, principio tardío. LS, terminación temprana. LF, terminación tardía.

Se calculan estos tiempos usando la época prevista para las actividades relevantes. Los tiempos más tempranos del comienzo y del final de cada actividad son determinados trabajando adelante a través de la red y determinando el tiempo más temprano en el cual una actividad puede comenzar y acabar a considerar sus actividades del precursor. Los tiempos más últimos del comienzo y del final son los tiempos más últimos que una actividad puede comenzar y acabar sin variar el proyecto. El LS y el LF son encontrados trabajando al revés a través de la red. La diferencia en el final más último y más temprano de cada actividad es holgura de esa actividad. La trayectoria crítica entonces es la trayectoria a través de la red en la cual ningunas de las actividades tienen holgura.

La variación en el tiempo de la terminación del proyecto puede ser calculada sumando las variaciones en los tiempos de la terminación de las actividades en la trayectoria crítica. Dado esta variación, una puede calcular la probabilidad que el proyecto será terminado por cierta fecha si se asume que una distribución normal de la probabilidad para la trayectoria crítica.

Sea CP la variable aleatoria asociada a la duración total de las actividades de la ruta crítica determinadas mediante CPM. PERT asume que la ruta crítica encontrada a través de CPM contiene suficientes actividades para emplear el Teorema Central del Límite y concluir que CP se distribuye normalmente.

Puesto que la trayectoria crítica determina la fecha de la terminación del proyecto, el proyecto puede ser acelerado agregando los recursos requeridos para disminuir la época para las actividades en la trayectoria crítica.

LA ACTUALIZACIÓN SEGÚN COMO EL PROYECTO PROGRESA

Haga los ajustes en la carta del PERT como progresa el proyecto. Mientras que el proyecto revela, los tiempos estimados se pueden sustituir por épocas reales. En casos donde hay retrasa, los recursos adicionales puede ser necesario permanecer en horario y la carta del PERT se puede modificar para reflejar la nueva situación.

VENTAJAS DEL PERT

El PERT es útil porque proporciona la información siguiente:

Tiempo previsto de la terminación del proyecto. Probabilidad de la terminación antes de una fecha especificada. Las actividades de la trayectoria crítica que afectan directamente el tiempo

de la terminación. Las actividades que tienen tiempo flojo y que pueden prestar recursos a las

actividades de la trayectoria crítica. Fechas del comienzo y del extremo de la actividad.

LIMITACIONES

Los siguientes son algunas de las debilidades del PERT:

Las estimaciones del tiempo de la actividad son algo subjetivas y dependen del juicio. En casos donde hay poca experiencia en la ejecución de una actividad, los números pueden ser solamente una conjetura. En otros casos, si la persona o el grupo que realiza la actividad estiman el tiempo puede haber diagonal en la estimación.

Incluso si bien-se estiman los tiempos de la actividad, el PERT asume una distribución beta para éstos las estimaciones del tiempo, pero la distribución real puede ser diferente.

Incluso si la asunción beta de la distribución sostiene, el PERT asume que la distribución de la probabilidad del tiempo de la terminación del proyecto es igual que el de la trayectoria crítica. Porque otras trayectorias pueden convertirse en la trayectoria crítica si se retrasan sus actividades asociadas, el PERT subestima constantemente el tiempo previsto de la terminación del proyecto.

PROBLEMAS DE PERT CPM

Problema 1.

Encuentre la ruta crítica en la red que se muestra a continuación,

considerando que la duración (en meses) que se indica en cada actividad es

determinística.

La ruta crítica la componen los eventos n1, n4, n5 junto con las actividades

a14 y a45. La duración total del proyecto es 20 meses. Si por ejemplo a14 se

retrasa un mes, el proyecto se terminara en 21 meses, en vez de los 20

planeados.

Solución

Procedemos conforme al algoritmo del método PERT:

1. Estimamos los tiempos esperados para cada actividad. Por simplicidad a la

tabla anterior le adicionamos una columna para anotar estos tiempos:

2. Construimos la red de proyectos, como aprendimos cuando estudiamos la

unidad 2.

3. Realizamos los “cálculos hacia delante”, es decir, calculamos el tiempo de

inicio más próximo de cada evento, usando, donde la actividad precede al

evento j y .

4. Ahora hay que efectuar los “cálculos hacia atrás”, es decir,

obtenemos iniciando en el último nodo. Para esto empleamos donde la

actividad es la que sigue al nodo i y tomamos

4. Ahora hay que efectuar los “cálculos hacia atrás”, es decir,

obtenemos iniciando en el último nodo. Para esto empleamos donde la

actividad es la que sigue al nodo i y tomamos

5. Calcula el tiempo de terminación próximo de cada actividad, que se denota

con mediante la fórmula

6. Obtén la holgura total de cada actividad, con

7. La ruta crítica consta de las actividades que tienen holgura cero, por tanto,

en este caso, la ruta crítica está formada por las actividades A, C, D, E, F y G.

8. Calculamos la varianza y la esperanza del tiempo de terminación, para lo

cual necesitamos la varianza de cada una de las actividades de la ruta crítica.

a) Varianza

:

Problema 2.

Consideremos el proyecto utilizado para ejemplificar la metodología CPM.

Sin embargo, asumiremos distintos escenarios de ocurrencia asociados al tiempo

necesario para completar cada actividad, los que se resumen en la siguiente tabla:

Tiempo (Semanas)

Actividad Predecesor a m b

A - 4 6 8

B - 2 8 12

C A,B 8 12 16

D C 1 4 7

E C 4 6 8

F D,E 10 15 20

G E 6 12 18

H F,G 7 8 9

El primer paso consiste en calcular el tiempo esperado (te) asociado a cada

actividad, utilizando la fórmula presentada anteriormente:

Actividad te

A 6

B 8

C 12

D 4

E 6

F 15

G 12

H 8

Notar que en este caso m = te para cada actividad, lo cual no tiene que ser

necesario. Lo importante es tener en cuenta la metodología a utilizar. Luego, una

vez obtenido el tiempo esperado (te) para cada actividad se procede a calcular la

duración del proyecto utilizando un procedimiento similar a CPM. Los resultados

se resumen en el siguiente diagrama:

La ruta crítica (única) está conformada por las actividades B-C-E-F-H con

una duración total de 49 semanas. Posteriormente se calcula la varianza para

cada actividad (aun cuando en estricto rigor sólo es necesario para las actividades

críticas, es decir, con holgura igual a cero), de modo de obtener finalmente la

varianza (y desviación estándar) de la ruta crítica.

Actividad Predecesor a m b te Desv. Est Varianza Ruta

Crítica

A - 4 6 8 6 0,67 0,44

B - 2 8 12 8 1,67 2,78 SI

C A,B 8 12 16 12 1,33 1,78 SI

D C 1 4 7 4 1,00 1,00

E C 4 6 8 6 0,67 0,44 SI

F D,E 10 15 20 15 1,67 2,78 SI

G E 6 12 18 12 2,00 4,00

H F,G 7 8 9 8 0,33 0,11 SI

Varianza RC 7,89

Desv. Est RC 2,81

Con esta información podemos responder a preguntas como ¿Cuál es la

probabilidad de completar el proyecto en 52 semanas o menos?. Básicamente

esto consiste en determinar el porcentaje del área acumulada para una

distribución normal para determinado valor de Z.

P[Tp<=52]=P[Z<=(52-49)/2,81]=P[Z<=1,07]=85,77%

En conclusión, la probabilidad de completar el proyecto en 52 semanas o menos

es de un 85,77%.

Problema 3

Problema de Transporte

Considere el siguiente problema de limpieza de nieve: la ciudad está

dividida en comunas. Después de una tormenta de nieve, se debe sacar la nieve y

botarla en un lugar conveniente. En Helsinki (la ciudad del problema), esos lugares

son grandes esplanadas con un sistema de secado artificial. Cada una de esos

"destinos" tiene una capacidad. El objetivo es minimizar la distancia recorrida para

transportar la nieve.

Este problema es un ejemplo de un problema de transporte. En tales

problemas, existe un conjunto de nodos llamados fuentes y un conjunto de nodos

llamados destinos. Todos los arcos van desde el origen al destino. Existe un costo

unitario (por unidad) asociado a cada arco. Cada fuente tiene un concepto de

abastecimiento y cada destino maneja el concepto de demanda. Se asume que la

cantidad total a abastecer es exactamente igual a la cantidad demandada. Para el

problema de la nieve la red puede ser como se muestra en la figura 1.4.

Figura 1.4:Red de Transporte de Nieve

Un problema que corresponde al modelo de transporte puede ser el asignar

clientes a un negocio para poder satisfacer las demandas. En tal caso los

almacenes son las fuentes, los clientes son los destinos y los costos representan

los costos de transporte por unidad.

Problema 4

Uno de los principales productos de la Compañía P&T son los duraznos en

conserva. Los duraznos son preparados en 3 enlatadoras (Washington, Oregon y

Minnesota) y luego se despachan en camiones para distribuirlos en tres

supermercados en California, Utah, South Dakota, Nuevo México. Debido a que

los costos de transporte han aumentado, la administración ha decidido hacer un

estudio sobre ellos. Para la próxima estación se ha estimado el número de tarros

de conserva generado en cada enlatadora, y la cantidad que requerirá cada

almacén para satisfacer a sus clientes. Los costos de trasnporte desde la

enlatadora a los almacenes se resume en la siguiente tabla.

Veamos cuál sería el modelo de programación lineal para este problema.

Sea tex2html_wrap_inline442 el número de camiones cargados que van desde la

enlatadora i al almacén j, el problema sería:

Este es un ejemplo de modelo de transporte. Este problema tiene una

estructura interesante. Todos los coeficientes son 1 y cada variable aparece

exactamente en 2 restricciones. Es esta estructura que hace que el algoritmo

simplex sea extremadamente eficiente al resolverlo.

¿Qué define a un modelo de transporte?. En general el modelo de

transporte tiene que ver con distribuir desde un grupo de centros de

abastecimiento, llamados fuentes a un grupo de centros de recepción

denominados destinos para minimizar el costo total.

En general, la fuente i tiene una capacidad para abastecer de

tex2html_wrap_inline472 unidades, y el destino j tiene una demanda para

tex2html_wrap_inline476 unidades. El costo de la distribución de los items desde

la fuente al destino es proporcional al número de unidades. Esta información

puede expresarse de una manera apropiada a través de una tabla como en el

ejemplo.

Se supondrá de una manera general que la oferta es igual a la demanda

total. Si esto no fuese verdad para un problema particular, se podrán crear fuentes

o destinos dummy para que esta condición se cumpla. Esto se denomina

problema de transporte balanceado. Estos centros dummy pueden tener costos de

distribución cero.

Supongamos que la enlatadora 3 puede llenar sólo 75 camiones. Asi la

cantidad "ofrecida" es ahora 25 unidades menor. Un nodo de oferta dummy se

crea para balancear el problema, y el costo de la oferta dummy podría ser cero o

representar el costo de NO-satisfacer la demanda.

El costo de transporte tiene varias propiedades interesantes:

Factibilidad. El problema tiene una solución factible del momento que la

oferta iguala a la demanda

Integralidad. Si las ofertas y las demandas son enteras, cada solución

básica (incluyendo el óptimo) será entera. De esta manera no es necesario

resolverlo por programación lineal entera. Cabe hacer notar que no significa

que cada destino será abastecido por exactamente un origen!.

En el ejemplo, una solución básica podría ser llenar 20 camiones desde la

enlatadora 1 para enviarlos al negocio 2 y los 55 restantes al almacén 4, 80 desde

la enlatadora 2 al almacén 1 y 45 al almacén 2. Finalmente 70 desde la enlatadora

3 al almacén 3 y 30 al almacén 4. La formulación de este problema de

programación lineal tiene 7 restricciones además de la no-negatividad, y una

solución básica tiene sólo 6 variables básicas. Esto se debe a que las restricciones

son linealmente dependientes: La suma de las primeras tres restricciones es igual

a la suma de la cuarta restricción. En consecuencia, la región factible definida por

las restricciones será la misma si nosotros mantenemos sólo 6 de ellas.

En general, una solución básica de un problema de transporte tendrá un

número de variables básicas igual al número de orígenes más el número de

destinos menos uno.

Problema 5

Considere la siguiente red dirigida.

Encuentre una trayectoria dirigida del nodo A al nodo F y después identifique otras

tres trayectorias no dirigidas del nodo A al F.

Trayectoria Dirigida de A a F:

A D C E F

Trayectorias No Dirigidas de A a F:

A C E F

A D F

A B D F

Encuentre tres ciclos dirigidos, después identifique un ciclo no dirigido que incluya

todos los nodos.

Ciclos Dirigidos:

CE-EF-FD-DC

AD-DC-CA

DC-CE-ED

Ciclo No Dirigido:

AC-CE-EF-FD-DB-BA

Identifique un conjunto de arcos que formen un árbol de expansión.

1. Algoritmo de la ruta más corta:

N Nodos

resueltos

conectados

con nodos

no resueltos

Nodo no

resuelto

más

cercano

conectado

Distancia

total

involucrada

n-ésimo

nodo

mas

cercano

Distancia

mínima

Última

conexión

1 O A 4 A 2 OA

2 O

A

C

B

5

4+1=5

C

B

5

5

OC

AB

3 A

B

C

D

E

E

4+7=11

4+1+4=9

5+5=10

E 9 BE

4 A

B

E

D

D

D

4+7=11

4+1+5=10

4+1+4+1=10

D

D

10

10

BD

ED

5 D

E

T

T

4+1+5+6=16

5+5+6=16

T

T

16

16

DT

ET

2. Se identificaron dos opciones como las rutas más cortas, ambas con distancia

total igual a 16

3. Ruta 1: O A B E D T distancia total: 4+1+4+1+6=16

4. Ruta 2: O A B D T distancia total: 4+1+5+6=16

5. Modelo de PL del problema de la ruta más corta:

6. Minimizar

7. Sujeto a:

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

Problema 7.

El tránsito de Rusia está planificando la construcción de una línea de

sistemas de transito que conecte 7 zonas principales de la ciudad. (A, B, C, D, E,

F, G). Donde los kilómetros entre ellas se representan son un número en el arista

correspondiente. Cada kilómetro de construcción le costara al tránsito 4 millones.

El transito desea acortar la distancia de traslación entre las 7 zonas pero

asegurando no gastar demasiado del presupuesto. Es decir, desean optimizar la

construcción por kilómetro recorrido.

Esto se ilustra como:

Teniendo en cuenta las distancias entre las zonas, se puede resolver de la

siguiente manera.

AD y CE son las aristas más cortas, con peso 5, y

AD se ha elegido arbitrariamente, por tanto se

resalta.

Sin embargo, ahora es CE la arista más pequeña

que no forma ciclos, con distancia 5, por lo que se

resalta como segunda arista.

La siguiente arista, DF con distancia 6, ha sido

resaltada utilizando el mismo método.

La siguientes aristas mas pequeñas son AB y BE,

ambas con distancia 7. AB se elige arbitrariamente,

y se resalta. La arista BD se resalta en rojo, porque

formaría un ciclo ABD si se hubiera elegido.

El proceso continúa marcando las aristas, BE con

distancia 7. Muchas otras aristas se marcan en rojo

en este paso: BC (formaría el ciclo BCE), DE

(formaría el ciclo DEBA), y FE (formaría el ciclo

FEBAD).

Finalmente, el proceso termina con la arista EG de

distancia 9, y se ha encontrado el árbol de

expansión mínima.

El total de kilómetros obtenidos son 39 y el costo resultante es 156 millones.

Qué pasaría si se hubiera construido en lugar de la distancia BE, la distancia BC?

Respuesta: El costo aumentaría a 160 millones.

Problema 8.

La ciudad de Cali cuenta con un nuevo plan parcial de vivienda el cual contará con la urbanización de más de 7 proyectos habitacionales que se ubicarán a las afueras de la ciudad. Dado que el terreno en el que se construirá no se encontraba hasta ahora dentro de las zonas urbanizables de la ciudad, el acueducto municipal no cuenta con la infraestructura necesaria para satisfacer las necesidades de servicios públicos en materia de suministro de agua. Cada uno de los proyectos de vivienda inició la construcción de un nodo de acueducto madre, el cual cuenta con las conexiones de las unidades de vivienda propias de cada proyecto (es decir que cada nodo madre solo necesita estar conectado con un ducto madre del acueducto municipal para contar con su suministro). El acueducto municipal al ver la situación del plan parcial debe de realizar las obras correspondientes a la instalación de ductos madres que enlacen todos los nodos del plan con el nodo Meléndez (nodo que se encuentra con suministro de agua y que no pertenece al plan parcial de vivienda, además es el más cercano al mismo), la instalación de los ductos implica obras de excavación, mano de obra y

costos de los ductos mismos, por lo cual optimizar la longitud total de los enlaces es fundamental. Las distancias existentes (dadas en kilómetros) correspondientes a las rutas factibles capaces de enlazar los nodos del plan parcial se presentan a continuación. Además la capacidad de bombeo del nodo Meléndez es más que suficiente para satisfacer las necesidades de presión que necesita la red madre.

Problema planteado por, Bryan Antonio Salazar López

El acueducto municipal le contacta a usted para que mediante sus conocimientos en teoría de redes construya una red de expansión que minimice la longitud total de ductos y que enlace todos los nodos del plan parcial de vivienda.

PASO 0: Se definen los conjuntos iniciales C0 = {ø} que corresponde al conjunto de nodos enlazados de forma permanente en la iteración indicada en el subíndice y Č0 = {N = 1,2,3,4,5,6,7,8} que corresponde al conjunto de nodos pendientes por enlazar de manera permanente en la iteración indicada en el subíndice.

PASO 1: Se debe definir de manera arbitraria el primer nodo permanente del conjunto Č0, en este caso escogeremos el nodo 1 (puede ser cualquier otro), que algebraicamente se representa con la letra i, se procede a actualizar los conjuntos iniciales, por ende C1 = {i} = {1} y Č0 = {N - i} = {2,3,4,5,6,7,8}, actualizamos k por ende ahora será igual a 2.

PASO 2: Ahora se debe seleccionar el nodo j del conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1) el cual presente el arco con la menor longitud y que se encuentre enlazado con uno de los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1 (es decir que se debe de encontrar un nodo que tenga el arco de menor longitud enlazado al nodo 1).

Los arcos o ramales de color naranja representan los arcos que enlazan el conjunto ČK-1 (es decir del conjunto del paso 1, recordemos que K en este paso es igual a 2, por ende ČK-1= Č1) con los nodos de enlace permanente del conjunto Ck-1 en el cual ahora solo se encuentra el nodo 1, por ende ahora solo falta escoger el de menor longitud, que en este caso es el arco cuya longitud es 2, que enlaza de forma permanente ahora el nodo 2.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C2 = {1,2} y Č2 = {3,4,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración. Ahora se seleccionará un nuevo nodo j del conjunto Č2que presente el enlace (ramal o arco) de menor longitud con los nodos que se encuentran en el conjunto C2.

Los arcos de color naranja representan los enlaces posibles y dado que existe empate entre las menores longitudes se elige de manera arbitraria, en este caso se representa nuestra elección con un arco de color verde, enlazando de forma permanente ahora el nodo 4.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C3 = {1,2,4} y Č3 = {3,5,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Lo que representan los arcos naranja y verde es ya conocido, ahora la línea azul interrumpida irá trazando nuestro árbol de expansión final. Dado a que el arco menor es el de longitud 3, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 5.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C4 = {1,2,4,5} y Č4 = {3,6,7,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 7.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C5 = {1,2,4,5,7} y Č5 = {3,6,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 6.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C6 = {1,2,4,5,7,6} y Č6 = {3,8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la siguiente iteración.

Se rompen los empates de forma arbitraria, ahora se enlazará de manera permanente el nodo 3.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C7 = {1,2,4,5,7,6,3} y Č7 = {8}

Ahora se procede a actualizar k ya que se procede a efectuar la última iteración.

Ahora se enlazará de manera permanente el nodo 8.

Al actualizar los conjuntos quedan así:

C8 = {1,2,4,5,7,6,3,8} = {N} y Č8 = {ø}

Por ende se ha llegado al árbol de expansión mínima

Árbol que presenta una longitud total minimizada de 21 kilómetros de ductos.

Problema 9.

Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15.000 vehículos/hora en el horario pico. Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vías, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes.

La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías.

1. ¿Puede la red propuesta dar cavidad a un flujo máximo de 15.000 v/h de norte a sur?

2. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que permite la red cada hora? 3. ¿Qué flujo se debe canalizar sobre cada rama?

Solución:

Norte

Sur

Solución Final

Problema 10.

Enviar gas natural desde un campo de producción a una ciudad a través de

gaseoductos.

Planteamiento de Flujo Máximo

Este planteamiento no se ajusta a la formulación estándar de programación lineal

de costo mínimo, puesto que se desconoce f y aparece simultáneamente en la

función objetivo y en el lado derecho de las restricciones.

Si se plantea así no es posible utilizar el algoritmo de programación lineal, por ello

utilizaremos el artificio de agregar un arco ficticio entre los nodos inicial y final

(x51), con ello ahora el planteamiento sería:

Problema 11.

Una empresa energética colombiana dispone de cuatro plantas de generación para satisfacer la demanda diaria eléctrica en cuatro ciudades, Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla. Las plantas 1,2,3 y 4 pueden satisfacer 80, 30, 60 y 45 millones de KW al día respectivamente. Las necesidades de las ciudades de Cali, Bogotá, Medellín y Barranquilla son de 70, 40, 70 y 35 millones de Kw al día respectivamente. Los costos asociados al envío de suministro energético por cada millón de KW entre cada planta y cada ciudad son los registrados en la siguiente tabla.

Por: Bryan Antonio Salazar López

Formule un modelo de programación lineal que permita satisfacer las necesidades de todas las ciudades al tiempo que minimice los costos asociados al transporte.

Solución Paso A Paso

Luego esa cantidad asignada se resta a la demanda de Bogotá y a la oferta de la "Planta 3", en un proceso muy lógico. Dado que Bogotá se queda sin demanda esta columna desaparece, y se repite el primer proceso.

Nuevo proceso de asignación

Nuevo proceso de asignación

Nuevo proceso de asignación

Una vez finalizado el cuadro anterior nos daremos cuenta que solo quedará una fila, por ende asignamos las unidades y se ha terminado el método.

El cuadro de las asignaciones (que debemos desarrollarlo paralelamente) queda así:

Los costos asociados a la distribución son:

En este caso el método del costo mínimo presenta un costo total superior al obtenido mediante Programación Lineal y el Método de Aproximación Vogel, sin embargo comúnmente no es así, además es simple de desarrollar y tiene un mejor rendimiento en cuanto a resultados respecto al Método de la Esquina Noroeste.

Problema 12.

Tres centrales de distribución tiene que dar electricidad a tres ciudades la

tabla de costos de transporte de electricidad es la siguiente.

Determina las variables de decisión y plantee el problema de minimización,

determinando la distribución eléctrica para cada ciudad, utilizando el método de la

esquina norte

Variables de Decisión

Problema de Minimización

Solución de Distribución: El problema no está equilibrado, se sabe que no

está equilibrado porque la suma total de los suministros no es igual a la demanda,

conociendo esto se procede a equilibrarlo, esto se hace agregando un destino

ficticio y valores cero, también se demanda la diferencia entre la demanda y el

suministro.

Esquina Norte

Se procede a saturar la fila o la columna correspondiente a la esquina norte

Solución

- Se enviaron 35 (MKwh) del origen 1 al destino 1 y el costo de envió fue de

$280

- Se enviaron 10 (MKwh) del origen 2 al destino 1 y el costo de envió fue $90

- Se enviaron 20 (MKwh) del origen 2 al destino 2 y el costo de envió fue

$240

- Se enviaron 20 (MKwh) del origen 2 al destino 3 y el costo de envió fue

$260

- Se enviaron 10 (MKwh) del origen 3 al destino 3 y el costo de envió fue

$160

- Se enviaron 30 (MKwh) del origen 3 al destino 4 y el costo de envió fue $0

Conclusiones

La aplicación de pert-cpm deberá proporcionar un programa, especificando

las fechas de inicio y terminación de cada actividad. El diagrama de flechas

constituye el primer paso hacia el logro de esa meta. Debido a la interacción de las

diferentes actividades, la determinación de los tiempos de inicio y terminación,

requiere cálculos especiales. Estos cálculos se realizan directamente en el

diagrama de flechas usando aritmética simple. El resultado final es clasificar las

actividades de los proyectos como críticas o no críticas. Se dice que una actividad

es crítica sin una demora en su comienzo causara una demora en la fecha de

terminación del proyecto completo. Una actividad no critica es tal que el tiempo

entre su comienzo de inicio más próximo y de terminación más tardío (como lo

permita el proyecto) es más grande que su duración real. En este caso. Se dice

que la actividad no critica tiene un tiempo de holgura.

El PERT/CPM fue diseñado para proporcionar diversos elementos útiles de

información para los administradores del proyecto. Primero, el PERT/CPM expone

la "ruta crítica" de un proyecto. Estas son las actividades que limitan la duración

del proyecto. En otras palabras, para lograr que el proyecto se realice pronto, las

actividades de la ruta crítica deben realizarse pronto. Por otra parte, si una

actividad de la ruta crítica se retarda, el proyecto como un todo se retarda en la

misma cantidad. Las actividades que no están en la ruta crítica tienen una cierta

cantidad de holgura; esto es, pueden empezarse más tarde, y permitir que el

proyecto como un todo se mantenga en programa. El PERT/CPM identifica estas

actividades y la cantidad de tiempo disponible para retardos.

El PERT/CPM también considera los recursos necesarios para completar

las actividades. En muchos proyectos, las limitaciones en mano de obra y equipos

hacen que la programación sea difícil. El PERT/CPM identifica los instantes del

proyecto en que estas restricciones causarán problemas y de acuerdo a la

flexibilidad permitida por los tiempos de holgura de las actividades no críticas,

permite que el gerente manipule ciertas actividades para aliviar estos problemas.

Finalmente, el PERT/CPM proporciona una herramienta para controlar y

monitorear el progreso del proyecto. Cada actividad tiene su propio papel en éste

y su importancia en la terminación del proyecto se manifiesta inmediatamente para

el director del mismo. Las actividades de la ruta crítica, permiten por consiguiente,

recibir la mayor parte de la atención, debido a que la terminación del proyecto,

depende fuertemente de ellas. Las actividades no críticas se manipularan y

remplazaran en respuesta a la disponibilidad de recursos.

BIBLIOGRAFÍA

http://www.monografias.com/trabajos24/pert-cpm/pert-

cpm.shtml#ixzz3A1q4rmYh

http://ingenierosindustriales.jimdo.com/herramientas-para-el-ingeniero-

industrial/investigaci%C3%B3n-de-operaciones/teor%C3%ADa-de-redes/

http://es.slideshare.net/alvarez1285/metodo-la-esquina-

noroeste?next_slideshow=1

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