2. En una comunidad de 8000 personas, la velocidad con la que se difunde un rumor tiene una relación directa a la raíz cuadrada del número de personas que si escucharon el rumor y al número de personas que no escucharon el rumor. Sabiendo que 40 personas escucharon el rumor, este llega a circular a velocidad de 200 personas por hora. ¿Cuantas personas habrán escuchado otro rumor si la velocidad fue de 50 personas por hora?

Solución:

Según las relaciones la ecuación queda así:

v=k √ x (8000−x )

Pero, se nota que la velocidad está en función de las personas:

f ( x )=k √x (8000−x) Luego, se halla la constante k para hallar la ecuación completa

200 personahora

=k √40 (8000−40 )

Hallando así: k=√10796

Finalmente se tiene la ecuación completa: f ( x )=√10 x (8000−x )796

Ahora, teniendo en cuenta los datos anteriores, hallamos el número de personas que escucharon el rumor representada por x, utilizando el método de Müller.

Haciendo la función más asequible: f ( x )=50=8000√10 x1/2

796−√10 x3 /2

796

f 1 ( x )=8000√10 x1 /2

796−√10 x3/2

796−50=0

Método de Müller:

Primera Iteración:

Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:

x0=1 ; x1=2; x2=3

Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:

f 0=−18.2223 ; f 1=−5.0651 , f 2=5.0269

Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:

f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0

=13.1572f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1

=10.0920

f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]

x2−x0=−1.5326Luego:

a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−1.5326a1=f [ x2 , x1 ]−(x1+x2 )a2=−17.775

a0=f 2−x2 ( f [ x2, x1 ]−(x1 )a2 )=−34.4447

Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0

−a1±(a12−4 a0a2)

1/2 , y el valor

absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.

−a1+(a12−4a0a2)12=−7.553−a1−(a12−4 a0a2 )

12=−28.0117

Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:

x2=2 (−34.4447 )−28.0117

=2.4593

Segunda Iteración:

Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:

x0=2 ; x1=3 ; x2=2.4593

Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:

f 0=−5.0651 ; f 1=5.0269 , f 2=−0.1749

Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:

f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0

=10.092f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1

=9.6205

f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]

x2−x0=−1.0266Luego:

a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−1.0266a1=f [ x2 , x1 ]−(x1+x2 )a2=15.225a0=f 2−x2 ( f [ x2, x1 ]−(x1 )a2 )=−31.4087

Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0

−a1±(a12−4 a0a2)

1/2 , y el valor

absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.

−a1+(a12−4a0a2)12=−5.0848−a1−(a12−4 a0a2 )

12=−25.3652

Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:

x2=2 (−31.4087 )−25.3652

=2.4765

Tercera Iteración:

Se seleccionan valores iniciales para empezar el método, como:

x0=3 ; x1=2.4593 ; x2=2.4765

Se evalúan los puntos en el f 1(x) , en los cuales se obtiene:

f 0=5.0269 ; f 1=−0.1749 , f 2=−0.0010

Ahora se calcula los coeficientes del polinomio de segundo grado:

f [ x1 , x0 ]=f 1− f 0x1−x0

=9.6205f [ x2 , x1 ]=f 2−f 1x2−x1

=10.1105

f [ x2 , x1 , x0 ]=f [x2 , x1 ]−f [ x1 , x0 ]

x2−x0=−0.9360

Luego:

a2=f [ x2 , x1 , x0 ]=−0.9360a1=f [ x2, x1 ]−(x1+x2 )a2=14.7304a0=f 2−x2 ( f [ x2 , x1 ]−(x1 )a2 )=−30.7403

Se calculan los denominadores de la ecuación x i+1=2a0

−a1±(a12−4 a0a2)

1/2 , y el valor

absoluto mayor se utiliza para hallar la siguiente iteración.

−a1+(a12−4a0a2)12=−4.6362−a1−(a12−4 a0a2 )

12=−24.8246

Naturalmente el segundo valor es el mayor y se utiliza para hallar el nuevo x2:

x2=2 (−30.7403 )−24.8246

=2.4766

Finalmente, se obtiene el valor más aproximado a la raíz: x=2.4766

i x i ¿ x i+1– x i∨¿

1 1 -2 2 1.00003 3 1.00004 2.4593 0.54075 2.4765 0.01726 2.4766 0.0001

Ahora para comprobar si resulta dar la misma respuesta con otro método:

Método del Newton-Raphson:

Teniendo x0=1 y ε=1x 10−3 aplicando |x i+1− xi| :

Utilizando la ecuación:

x i+1=x i−f (x i)f ' (x i )

=g (x i)

Entonces, hallando la derivada de la función y reemplazando en la ecuación anterior:

Primera Iteración:

x1=x0−f 1 (x0 )f '1 (x0 )

=g (x0 )x1=1−

8000√10 (1 )12

796−

√10 (1 )32

796−50

4000√10 (1 )−12

796−3√10 (1 )

12

1592

=g (1 )=2.1471

Segunda Iteración:

x2=2.1471−

8000√10 (2.1471 )12

796−

√10 (2.1471 )32

796−50

4000√10 (2.1471 )−12

796−3√10 (2.1471 )

12

1592

=2.4648

Tercera Iteración:

x3=2.4648−

8000√10 (2.4648 )12

796−

√10 (2.4648 )32

796−50

4 000√10 (2.4648 )−12

796−3√10 (2.4648 )

12

1592

=2.4766

Demostrando así que el valor hallado en el método anterior si tiene el mismo resultado aplicado en este.

i x i ¿ x i+1– x i∨¿

0 1 -1 2.1471 1.14712 2.4648 0.31773 2.4766 0.0118

Codificación:

eps=0;eps1=0.00001;x0=1;x1=2;x2=3;for i=1:6 f0=((8000*(10)^(1/2)*x0^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x0^(3/2))/796)-50; f1=((8000*(10)^(1/2)*x1^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x1^(3/2))/796)-50; f2=((8000*(10)^(1/2)*x2^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x2^(3/2))/796)-50; f10=(f1-f0)/(x1-x0); f21=(f2-f1)/(x2-x1); f210=(f21-f10)/(x2-x0); a2=f210; a1=f21-(x2+x1)*a2; a0=f2-x2*(f21-x1*a2); d1=-a1+(a1^(1/2)-4*a0*a2); d2=-a1-(a1^(1/2)-4*a0*a2); if abs(d1)>abs(d2) x3=2*a0/d1; else x3=2*a0/d2; end f3=((8000*(10)^(1/2)*x3^(1/2))/796)-((10^(1/2)*x3^(3/2))/796)-50; dist=abs(x3-x2); disp([x3,dist]) if or((dist<eps),(abs(f3)<eps1)) break else x0=x1;x1=x2;x2=x3; endend