Universidad Tecnológica de Torreón

Carrera: Procesos Industriales

Reporte Final de Actividad de Aprendizaje “Falacias Matemáticas”

Profesor: Lic. Gerardo Édgar Mata Ortiz

Alumno: Andrea Martínez García

Torreón

Fecha de Entrega: 07/Septiembre/2014

Resumen

En el presente reporte se habla sobre las falacias matemáticas. Como se explica más adelante, una falacia es un argumento que intenta defender algo que es falso, pero que podría parecer correcto. Tal vez un error puede parecernos todo lo

contrario, ya que aparentemente se siguen los pasos correctos y se aplican todas las reglas matemáticas referentes al tema, así que lo pasamos por alto.

En clase vimos un problema, que contenía una falacia. Nos mostraba, paso a paso, como se resolvía una igualdad, pero el resultado estaba incorrecto. Primero

intentamos, por parejas, describir los pasos del problema, y a simple vista parecía que estaba contestado de manera correcta. Después, de manera individual,

buscamos las definiciones de varios conceptos concernientes al tema, que nos pudieran ayudar a ver de manera más clara en qué consistía esta actividad.

Nuevamente, en clase discutimos las definiciones e intentamos mejorarlas, y el resultado final de estas son las que se muestran más adelante.

De nuevo, pero esta vez, de manera individual, revisamos el tema y escribimos los pasos faltantes, para que de esa manera nos fuera más sencillo encontrar el error.

Posteriormente analizamos grupalmente el problema paso a paso. Primero, nos

parecía que no había ningún error, nos fue algo difícil detectarlo. Un compañero menciono que en el penúltimo paso que se muestra en el problema, al sustituir la x con el tres, se mostraba por primera vez el error; así que regresamos al paso

anterior, lo desglosamos y nos dimos cuenta que el error estaba al dividir la igualdad entre (𝑥 − 3).

Introducción

“Una mente sana no debe ser culpable de una falacia lógica, sin embargo, hay

mentes excelentes incapaces de seguir las demostraciones matemáticas” Henri Poincaré

En la vida diaria podemos encontrarnos con problemas o casos que contengan una falacia, estas pueden estar tan escondidas, o contener elementos que nos

parezcan lógicos, y no darnos cuenta de lo que son o pasarlas por alto, por lo que es importante saber detectarlas a tiempo, para no tener complicaciones o

confundirnos. En este caso en concreto, nos topamos con las falacias matemáticas.

El problema que se pretende explicar es una igualdad matemática. Las igualdades

nos ayudan a equilibrar, manipular y resolver ecuaciones. Si realizamos una operación del lado izquierdo de la igualdad, se realiza la misma operación del lado

derecho. Dicho de otra forma, cualquier modificación que se haga, se realiza en ambos lados.

El problema visto en clase era una demostración que incluía los conceptos falaz y sofista. El sofismo era una rama de la filosofía que pretendía explicar algún hecho

basándose en argumentos falsos, pero que pretendían ser verdaderos. Así que la demostración contenía una serie de pasos, que en apariencia eran correctos, pero no era así.

Al consultar los conceptos, discutirlos en clase y relacionarlos con la

demostración, pudimos comprender mejor de que iba el tema, y tener una idea más clara de cómo se resolvía.

Analizamos paso a paso la demostración, e incluimos los pasos omitidos, ya que de esta manera nos sería más sencillo revisar el problema de manera más

cuidadosa y poder detectar el error de una forma fácil. Al principio, pensamos que no había ningún error, pero al sustituir en cada paso el valor de x por 3, nos dimos cuenta que el error se encontraba cerca del final. Pensábamos que no tenía nada de malo dividir la igualdad entre (𝑥 − 3). Pudiéramos pensar que el resultado daría

1, y al multiplicarlo por el resto de la igualdad esta no se vería afectada y se podría continuar resolviendo el problema. Pero si antes de realizar la división sustituimos los valores de x, el binomio (𝑥 − 3) nos da cero, y al momento de multiplicarlo por (𝑥 + 5) y (𝑥 + 4) respectivamente, nos da como resultado cero, y al intentar cero

entre cero nos da un valor indeterminado. Al principio pasamos por alto este tema, pero al revisar el problema detenidamente, nos dimos cuenta de cuan relevante

era para poder resolver esta demostración matemática.

Desarrollo: Los conceptos que se consultaron, se discutieron en clase y nos ayudaron a comprender de mejor manera el problema son los siguientes:

Lógica aristotélica: Constituye la primera investigación sistemática acerca de los

principios de razonamiento válido o correcto. Dentro de su lógica, se formulan juicios y se clasifican en afirmativos, negativos, universales y particulares; a la vez que se ocupa del estudio de los conceptos

dedicando especial atención a los predicables. Geometría euclidiana: Es la geometría que utilizamos a diario. Consta de cinco

postulados. La utilizamos en rectas, ángulos y en las propiedades del plano. Demostración: Comprobación de una teoría utilizando casos concretos. Demostración matemática: Comprobar que una afirmación es coherente con las

reglas lógicas de cada teoría matemática.

Argumentos: Es una prueba para justificar que algo es verdadero o falso.

Falaz: Argumento que intenta defender algo que es falso, pero que podría parecer

correcto. Sofista: Escuela filosófica de la antigua Grecia que se basaba estrictamente en el

razonamiento para explicar los fenómenos naturales. Los sofistas incurrieron en sus pensamientos, en errores que tenían apariencia de ser verdades. Deductivo: Inferir una conclusión a base de otros hechos. Inductivo: Es el método científico que más usamos para llegar a una conclusión;

observamos, registramos, analizamos y al final, derivamos. Afirmación: Acto en el cual asumimos un hecho. Afirmación matemática: Es una proposición que afirma una verdad demostrable.

Operaciones algebraicas básicas: Son las operaciones fundamentales: suma,

resta, multiplicación y división. Productos notables: Polinomios que se obtienen de la multiplicación de dos o

más polinomios, y su resultado puede obtenerse por simple inspección una vez que se aprenden las reglas. Factorización: Es descomponer una ecuación para reducirla a binomial o

polinomios. Propiedades de Igualdad: Es una estructura matemática que se conoce como

relación de equivalencia, que nos ayuda a equilibrar, manipular y resolver ecuaciones.

Reflexiva: Toda cantidad o expresión es igual a si misma. Simétrica: Poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se

afecte. Transitiva: Si dos igualdades tienen un miembro en común, los otros dos miembros son iguales.

Demostración A:

𝑥 = 3 2𝑥 = 𝑥 + 3

𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 3

𝑥2 + 2𝑥 − 15 = 𝑥 2 + 𝑥 − 12 (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 4)

𝑥 + 5 = 𝑥 + 4 1 = 0

1) Primero se inicia haciendo una igualdad, 𝑥 = 3. 2) Después, en ambos lados, ya que es una igualdad, se suma x: 𝑥 + 𝑥 =3+ 𝑥. Este

paso se omite, ya que se puede realizar de manera mental. 3) El resultado de la anterior operación es: 2 𝑥 = 𝑥 +3. 4) A ambas igualdades se les suma 𝑥 2, lo que resulta en x2 + 2𝑥 = 𝑥 2 + 𝑥 + 3.

5) Posteriormente, se les resta -15, y ya que la ecuación 𝑥 2 + 𝑥 + 3, se realiza la

operación -15 +3, lo que resulta en -12, ya que en las restas algebraicas se toma en cuenta el signo del número mayor. El resultado es: 𝑥 2 + 2𝑥 − 15 = 𝑥 2 + 𝑥 − 12.

6) En seguida, se factorizaron ambas ecuaciones, dando como resultado: (𝑥 − 3)(𝑥 + 5) = (𝑥 − 3)(𝑥 + 4). Se buscaron dos números que multiplicados

dieran como resultado -15 y sumados 2 y al resolverlos nos da : 𝑥 2 + 2𝑥 − 15; de

igual forma, otros dos números que multiplicados resultaran en -12 y sumados en 1, lo que nos da 𝑥 2 + 𝑥 − 12.

7) Se divide, en ambos casos entre (𝑥 − 3), por lo que el resultado es: 𝑥 + 5 = 𝑥 + 4.

8) Luego a ambos binomios se les resta – 𝑥, y el resultado es 5=4.

9) Finalmente, se realiza la operación 5–4=4–4. Lo que nos da como resultado 1 = 0.

El error en la operación radica en el paso número 7. Hasta antes de este paso, si se sustituye el valor de x por 3, la el resultado de la igualdad es 0=o, lo que es correcto, pero después de realizar la división, se

comienzan a notar los errores.

(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)

(𝑥 − 3)=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 3)

Pudiéramos pensar que no existe ningún error, ya que si realizamos la división, sería algo como lo siguiente:

(𝑥 − 3)(𝑥 + 5)

(𝑥 − 3)=

(𝑥 − 3)(𝑥 + 4)

(𝑥 − 3)

Al sustituir el valor de x por 3, el binomio (𝑥 − 3) nos da cero, así que la operación

quedaría:

(3 − 3)(3 + 5)

(3 − 3)=

(3 − 3)(3 − 4)

(3 − 3)

0(8)

0=

0 (−1)

0

Pero si multiplicamos 0(8) nos da cero y al dividirlo otra vez, entre cero, nos da un error matemático, esa operación no se puede realizar, ya que es un límite

indefinido. Así que 0

0 o su equivalente

(𝑥−3)

(𝑥−3) no se puede resolver.

Conclusiones Una de las cosas que aprendí, es que al realizar un problema o revisarlo, tenemos que hacerlo a conciencia y tomando en cuenta todos los conocimientos

matemáticos previos. Tal vez nos parezca que el problema no es complicado, pero

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aun así, puede engañarnos. Al terminarlo y al revisarlo, debemos hacerlo paso a

paso, ya que puede contener un error.

Todos los conceptos que consultamos fueron de gran ayuda para poder comprender de mejor manera el problema. Creo, que de manera particular, el concepto que se comprendió de mejor manera fue el de la falacia. Este problema

parecía estar resuelto de manera correcta, pero al revisarlo de manera más detenida, nos dimos cuenta que no era así, nos mostraba un concepto que

pasamos por alto, que eran los límites indeterminados. Al principio, tuve algunas dudas con las igualdades, pero con la dirección del

profesor, logre comprenderlas. No tomaba en cuenta que al realizar una operación de un lado de la igualdad, se debía hacer esta también en el lado contrario, por

eso no lograba encontrar el error. Tuvimos que aplicar en la demostración la factorización y algunas operaciones

básicas algebraicas. Pero al momento de realizarlas, se ignoraban los límites indeterminados.

En resumen, las falacias matemáticas pueden estar disfrazadas de manera increíble, por lo que logran engañarnos, pero si tomamos en cuenta todos los

factores y analizamos el problema detenidamente, podremos descubrir las falacias.