ÁLGEBRA LINEAL Y

ECUACIONES DIFERENCIALES

FORMACIÓN POR COMPETENCIAS

Transformada de

Laplace

OBJETIVOS

Definir la transformada de Laplace.

Identificar las condiciones para la existencia

de la transformada de Laplace.

Calcular la transformada de Laplace usando

la definición.

Identificar las propiedades a usar para calcular la

transformada de Laplace.

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas aplicativos del contexto real.

Definición

Sea 𝒇 una función definida en 𝟎;∞ . La transformada

de Laplace de 𝒇 es la función 𝑭 definida mediante la

integral:

El dominio de 𝑭 está formado por los valores de 𝒔, para los que la integral en (1) existe.

𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) = 𝒆−𝒔𝒕∞

𝟎

𝒇 𝒕 𝒅𝒕 … (𝟏)

• 1

• Determine la transformada de Laplace de

• 𝒇 𝒕 = 𝒆𝟐𝒕

• Solución:

• Usamos la definición (1) de transformada de

Laplace

•

•

𝐅 𝐬 = 𝐞−𝐬𝐭 𝐞𝟐𝐭 𝐝𝐭∞

𝟎

= 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕𝒅𝒕∞

𝟎

= −𝒆 𝟐−𝒔 𝒕

(𝟐−𝒔) 𝟎

+∞

=𝟏

(𝒔 − 𝟐)

• Determine la transformada de Laplace de:

• a) 𝒇 𝒕 = 𝒔𝒆𝒏(𝒕)

• b) 𝒇 𝒕 = 𝒕𝟑

• c) 𝒇 𝒕 = 6

Linealidad de la transformada de Laplace

Sean 𝒇𝟏 y 𝒇𝟐 dos funciones cuyas transformada de

Laplace existen para 𝒔 > 𝜶 además sean 𝒂 y 𝒃 dos

constantes, entonces para 𝒔 > 𝜶

ℒ 𝑎𝑓1 𝑡 + 𝑏𝑓2 𝑡 (𝑠) = 𝑎ℒ 𝑓1 𝑡 (𝑠) + 𝑏ℒ 𝑓2 𝑡 (𝑠)

• 1

• Calcule la transformada de Laplace de

• 𝒇 𝒕 = 𝟑𝒆𝟐𝒕 + 𝟓𝒕

• Solución:

Aplicamos la definición de transformada de Laplace y

la linealidad

𝑭 𝒔 = 𝒆−𝒔𝒕 𝟑𝒆𝟐𝒕 + 𝟓𝒕 𝒅𝒕∞

𝟎

= 𝟑 𝒆(𝟐−𝒔)𝒕𝒅𝒕 +∞

𝟎 𝟓 𝒆−𝒔𝒕𝒕𝒅𝒕 +

∞

𝟎

=𝟑

(𝒔−𝟐)+

𝟓

𝒔𝟐

Continuidad por partes o tramos

Una función 𝒇 es continua por partes en un intervalo

finito 𝒂; 𝒃 , si 𝒇 es continua en cada punto de 𝒂; 𝒃

excepto en un número finito de puntos donde 𝒇 tiene

una discontinuidad de salto.

Una función 𝒇 es continua por partes en 𝟎;∞ si 𝒇 es

continua por partes en 𝟎;𝑵 para todo 𝑵 > 𝟎.

• 1

• 1

𝑎 𝑏

Función continua por partes en el intervalo 𝒂, 𝒃

• 3

• 4

• Dada la siguiente función:

• 𝒇 𝒕 = 𝒆−

𝒕

𝟐 𝒔𝒊 𝟐𝒏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟏 𝟎 𝒔𝒊 𝟐𝒏 + 𝟏 < 𝒕 ≤ 𝟐𝒏 + 𝟐

𝟏 𝒔𝒊 𝒕 > 𝟖

• 𝒏 = 𝟎; 𝟏; 𝟐; 𝟑,….

• Grafique 𝐟

Función de orden exponencial

Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶, si existen

constantes positivas 𝜶;𝑴 y 𝑻 tal que:

Observación:

Una función 𝒇 es de orden exponencial 𝜶 si:

𝑓(𝑡) ≤ 𝑀𝑒𝛼𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 ≥ 𝑇

lim𝑡→∞

𝑓(𝑡)

𝑒𝛼𝑡= 0

• 1

• Verifique si la función 𝒇 𝒕 = 𝒆𝒕𝟐es de orden

exponencial

• Solución:

• No es de orden exponencial pues si existieran

𝜶 ∈ ℝ, 𝒕𝟎> 𝑴, tales que

• 𝒇 𝒕 < 𝑴𝒆𝜶𝒕 para todo 𝒕 > 𝒕𝟎,

• entonces 𝒆𝒕𝟐−𝜶𝒕 < 𝑀 lo cual es absurdo pues

• 𝒕𝟐 − 𝜶𝒕 → +∞ cuando 𝑡 → +∞.

Condiciones de existencia para la

Transformada de Laplace

Si 𝒇 es una función continua por partes en 𝟎;∞ y de

orden exponencial 𝜶, entonces

𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) existe para 𝑠 > 𝛼

• 1

• ¿Existe la transformada de Laplace de

𝒇 𝒕 = 𝒕𝟑 ?

Breve tabla de la Transformada de Laplace

𝒇 𝒕 𝑭 𝒔 = 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔) 𝟏 𝟏

𝒔, 𝒔 > 𝟎

𝒆𝒂𝒕 𝟏

𝒔 − 𝒂, 𝒔 > 𝒂

𝒕𝒏, 𝒏 = 𝟏; 𝟐;… 𝒏!

𝒔𝒏+𝟏, 𝒔 > 𝟎

𝒔𝒆𝒏 𝒂𝒕 𝒂

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝟎

𝒄𝒐𝒔(𝒂𝒕) 𝒔

𝒔𝟐 + 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝟎

𝒔𝒆𝒏𝒉(𝒂𝒕) 𝒂

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝒂

𝒄𝒐𝒔𝒉(𝒂𝒕) 𝒔

𝒔𝟐 − 𝒂𝟐, 𝒔 > 𝒂

Ejercicios

Use las fórmulas para obtener la transformada de

Laplace de las siguientes funciones:

a) 𝒇 𝒕 = 𝒕𝟔

b) 𝒇(𝒕) = (𝒕 − 𝟐)𝟐

c) 𝒇(𝒕) = 𝒔𝒆𝒏𝟐(𝒕)

Solución:

Propiedades de la Transformada de

Laplace

Teorema 1:Traslación en 𝐬 (Primer teorema de

traslación)

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶

𝓛 𝒆𝒂𝒕𝒇 𝒕 𝒔 = 𝑭 𝒔 − 𝒂 para 𝑠 > 𝛼 + 𝑎

• 1

• Determine: 𝓛 𝒆𝟒𝒕𝒕𝟑

Teorema 2: Derivada de la Transformada de

Laplace

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶

𝓛 𝒕𝒏𝒇 𝒕 𝒔 = (−𝟏)𝒏𝒅𝒏

𝒅𝒔𝒏𝑭 𝒔

• 1

• Determine: ℒ 𝑡2𝑠𝑒𝑛(𝑡)

Teorema 3: Transformada de Laplace de la

integral

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝒔 > 𝜶

𝓛 𝒇 𝒖 𝒅𝒖𝒕

𝟎

𝒔 =𝑭(𝒔)

𝒔

• 1

• Determine: 𝓛 𝒆−𝟐𝒖𝒖𝒕

𝟎𝒔𝒆𝒏(𝒖)

Teorema 4: Transformada de Laplace de 𝒇(𝒕)

𝒕

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe, entonces para 𝑠 > 𝛼

𝓛𝒇(𝒕)

𝒕𝒔 = 𝑭 𝒖 𝒅𝒖

∞

𝒔

• 1

• Determine: 𝓛𝒔𝒆𝒏(𝒕)

𝒕

Teorema 5:Transformada de Laplace de la

derivada

Si 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔 existe y 𝒇′(𝒕) continua por

tramos por partes en 𝟎,∞ y de orden

exponencial 𝜶, entonces para 𝒔 > 𝜶, entonces:

𝓛 𝒇′ 𝒕 𝒔 = 𝒔𝑭 𝒔 − 𝒇(𝟎)

• 1

• Aplique la transformada de Laplace al P.V.I

• 𝒚′ − 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕

𝒚 𝟎 = 𝟎

Forma general de la Transformada de Laplace

de la derivada

Sean 𝒇 𝒕 ; 𝒇′ 𝒕 ; 𝒇′′ 𝒕 ; … ; 𝒇 𝒏−𝟏 (𝒕) continuas en 𝟎;∞

y sea 𝒇 𝒏 (𝒕) continua por partes en 𝟎;∞ , con todas

estas funciones de orden exponencial 𝜶, entonces

para 𝒔 > 𝜶,

𝓛 𝒇(𝒏) 𝒕 𝒔 = 𝒔𝒏𝑭 𝒔 − 𝒔𝒏−𝟏𝒇 𝟎 − 𝒔𝒏−𝟐𝒇′ 𝟎 −⋯− 𝒔𝒇 𝒏−𝟐 𝟎 − 𝒇 𝒏−𝟏 𝟎

𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆 𝓛 𝒇 𝒕 (𝒔)=𝑭 𝒔

Ejercicios

Determine la transformada de Laplace de las

siguientes funciones:

a) 𝒇 𝒕 = 𝒆−𝟐𝒕𝐜𝐨𝐬(𝟒𝒕)

𝐛) 𝒇 𝒕 = 𝒆𝟒𝒕𝒕 𝒆−𝟒𝒖𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒖)

𝒖𝒅𝒖

𝒕

𝟎

Solución:

Bibliografía

2. Differential Equations For Engineers – Wei Chau Xie

3. Fundamentals of Differential Equations – Nagle,Kent; Saff, Edward; Snider, Arthur

1. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado-

Dennis G. Zill

4. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones – Jaime

Escobar A.