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Series de fourier 22 Ejercicios Resueltos
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1
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Y CC.
CALCULO AVANZADO: SERIES DE FOURIER:
Ejercicios resueltos y propuestos.
Prof. Jorge Inostroza L.
1.- Hallar el período de la función: xab
Senxf )2()( .
Solución:
Si )2()2( uSenuSenuSenxab
Sen Si T es el período
)2()22())(2()2( uSenTab
xab
SenTxab
Senxab
Sen
22 Tab
a bien )( abT el período buscado.
Por ejemplo si xSenxf )5
3()( y como
3102)( Senxf el período será
310 .
2.- Probar que si )(xf ,tiene período p; )( xf tiene período p .
Solución:
pTpxfTxfxf )())(()( ó pT .
Del mismo modo entonces )( xf tendrá período pT (Basta cambiar 1por ).Entonces
el período de xab
Sen 2 será2
2 abT o sea b-a.
2
Y el período de lxCos será l
l
22 .
3.- Pruebe que la función :
xSenxSenxSenxf 5513
31)( , es de período 6
Solución.
xSen , tiene periodo 12k
xSen3 “ “ 3
2 2k
xSen5 “ “ 5
2 3k haciendo 1593 321 kykk cada una será de período 6 .
Y por lo tanto la función dada.
4.- Pruebe la ortogonalidad de la base: ...............;............;.........;;1 SenkxCoskxSenxCosx
Solución:
01 CoskxdxCoskx
01 SenkxdxSenkx
0........mxdxSenCosnxmxSennxCos
0.......mxdxCosnxCosmxCosnxCos
0........mxdxSennxSenmxSennxSen .
5.- Si la función : tCostCostf )( es de periodo “p”.Demostrar que existen m,n
enteros tal :nm
Solución.
3
mpptCostCos 2)(
npptCostCos 2)( . Luego el cuocientenm .
6.- Pruebe que la función tCostCostf )10()10()( , no es periódica.
Solución.
Del ejemplo anterior Si fuera periódica tendríamos: nm
1010 )(10 nm
esto no es posible pues el primer miembro es un entero .
7.- Pruebe que la función : tCostf 2210)( , es de período .
Solución.
)2
21(10)( 2 tCostf = )21(50 tCos , Como Cos 2t tiene período 221 , la función lo es.
8.- Encontrar el período de la función:43
)( tCostCostf .
Solución.
3tCos es de período 6
4tCos es de período 8 , luego ambas lo son de período 24
9.- Determinar los coeficientes de Fourier, de la función:
xxx
xf2/0
2/02/00
)(
4
Solución.
Los coeficientes serán: dxxfa )(10 =
2/
21 dx =……….=
4.
221..........
21)(1 2/
0
Senkk
CoskxdxCoskxdxxfak =
)2
1(21..........
21)(1 2/
0
Coskk
SenkxdxSenkxdxxfbk =
16,12,8,4.......0
...14,10,6,2......1
........21
k
kk
imparkk
10.- Encontrar la Serie de Fourier de la función: xxxx
xf0..............
0......)(
Solución.
Como lo muestra el gráfico es una función par
luego su Serie será :
1
0
2Coskxa
ak , con
00
2 xdxa
imparkk
parkCosk
kxCoskxdxak ....2
........0)1(1........2
202
La S de F será:1
2)12(
)12(22 k
xkCos
11.- Si f(x) = Cos ( x ), x ; una constante no entera. Probar que a partir de suSerie de Fourier.
..)..........3
12
11
12
1(2 222222Sen
5
Solución.
Se trata de una función par ,luego 0kb y SenxdxCosa 210
0
2 kxdxCosxCosak =0
)()(1 dxxkCosxkCos
kkSen
kkSen
kxkSen
kxkSenak
)()(1)()(1
0
kCoskSen
kCoskSenak
1 =kk
Senk 111
Senk
ak
k 22
12 .
Luego la representación quedará:
)()1(21
)()1(2
221
22 kCoskxSen
kSenSenxCos
kk
; si x = 0
)()1(
212 222 kSen
k
.
12.- Determinar la representación en Serie de Fourier para la función
xxx
xf0
00)(
Graficar la extensión periódica que ella representa y probar que: 1
2
2
)12(1
8 k.
Solución.
Fig.
6
La serie debe ser de la forma: 1
0
2SenkxbCoskxa
akk ; donde :
00 2
1 xdxa0
1 xCoskxdxak imparkk
parkCosk
k ...............2...................0
)1(1
22
0
1)1(11 kk k
xSenkxdxb . Luego la representación será:
2)12()12(2
4)(
kxkCosxf + Senkx
k
k
2)1( .
En x = 0 la serie converge al valor de la función, por ser continua
12)12(
124
0k
.)12(
18 1
2
2
k
Sin embargo en x converge al valor promedio de los limites laterales o sea a 2
y el
resultado es el mismo.
Fig
13.- Hallar la Serie de Fourier parta la función2/32/2/2/
)(xxxx
xf .
Solución.
Fig.
Aquí el intervalo es )2/3,2/( por lo que la serie debe tener la fórmula más general aunque (b-a) = 2 , luego será de la forma.
7
SenkxbCoskxaa
kk20 , siendo
2/
2/
2/3
2/0 )(1 dxxxdxa = 0
2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(1 xCoskxdxCoskxdxxCoskxdxak ) = 0
2/
2/
2/3
2/
2/3
2/
(1 xSenkxdxSenkxdxxSenkxdxbk ) =
=parkkimpark
kparkimpark
k
k
.........)1(................0
21
................0........)1(3 1
2
Luego la serie de Fourier para esta función queda:
.24
)1()12()12(
)1(32 kxSen
kxkSen
k
kk
Observación.
Nótese que al trasladar el gráfico de la función dada hacia la izquierda en 2/ se transforma en una función par cuya serie no es la misma.
14.- Encontrar la Serie de Fourier y su Serie de Cosenos para la función:
21...............2/310................2/1
)(xxxx
xf
Fig.
Solución.
a) Como el intervalo es de dimensión 2 la Serie tomará la forma:
xSenkbxkCosaa
kik20 ,
8
con2
0
1
0
2
10 )2/3()2/1()( dxxdxxdxxfa 0
1
0
2
1
)2/3()2/1( dxxkCosxdxxCoskxak =………impark
k
park
....4...........0
22
1
0
2
1
)2/3()2/1( dxxkSenxdxxkSenxbk =………..impark
k
park
......3
...........0
Así la S de F quedará:
)12()12(3
)12()12(422 k
xkkSenk
xkkCos
b) La extensión par de la función hace que la Serie sea
: xkCosaa
k 220 con (b-a) = 4
Donde2
00 )(
212 dxxfa 0 y
2
0 2)(
212 xdxkCosxfak
xdxkCosxdxkxCosdxxkxCosdxxkCosak2
1
2
1
1
0
1
0 223
22221 =
…………………….= .)24(..........10,6,2.1622 kksi
k
La Serie: 22 )24(2
)24(16
k
xkCos.(¿)
15.- Sea la función Senxxf )( a) determine el período. b) Pruebe que es par
c) encuentre la S de F. en 2/,2/ .
Fig.
9
Solución.
SenxSenxCosxSenSenxCosxSen )( , período , que el gráficotambién confirma.
b) SenxSenxxSen )( par.
c) La S de F. será : kxCosaa
k 22
0 ; pues el intervalo es de magnitud ,donde
1222/
00 xdxSena
2/
0 ).14(221kkkxdxCosSenxak quedando .
)14(22
21
kkxkCos
. Como la serie pedida.
16.- Sea la función y = f(x) seccionalmente continua, par y de período l4 e impar respecto a la recta lx .Determinar que su Serie de Fourier para f(x) está dada por:
xl
nCosa n 2)12(
112 con x
lnCosxf
la
l
n0
12 2)12()(2
Fig.
Solución.
0nbll
l
dxxfl
dxxfl
a2
0
2
20 )(1)(
21 . Pero
l l
dxxfdxxf2
0 0
)()(l
l
dxxf2
)(
=l l
dxxfdxxf0 0
0)()(
10
xlnCosxfx
lnCosxf
lxlnCosxf
la
l
l
ll
n
2
0
2
0 2)(
2)(1
2)(1 Si ulx 2 .
na ))((2
)(2
)(1
0
0
duulnCosufx
lnCosxf
l
l
l
0
0
))(2(2
)2(2
)(1
l
l
n dxxllnCosxlfx
lnCosxf
la ; )()2( xfxlf
dxxlnlSen
lnSenx
lnlCos
lnCosxfdx
lnCosxf
la
ll
n 22
222
2)(
2)(1
00
dxxlnCosxf
la
l
n0 2
)(1 + xlnCosxf
ln
2)()1(
0
1 dx
na = l
imparnsidxlnCosxf
l
parnsi
0 2)(2
0dx
lnCosxf
la
l
n0
12 2)12()(2
17.- Sea1
0 )(2
SenkxbCoskxaa
kk , la Serie de Fourier de f(x).Si )()( xfxg ,
mostrar que la Serie de Fourier de g(x) es )()1(2
0 SenkxbCoskxaa
kkk
Solución.
Fig
Nótese que el gráfico de g(x) se obtiene desplazando el de f(x) a la derecha en ,entonces:
Si SenkxBCoskxAA
xg kk2)( 0 donde 0<x< 2 pues x
11
2
0
2
00 )(1)(1 dxxfdxxgA , si hacemos u= x u , luego
00 )(1 aduufA2
0
2
0
)(1)(1 CoskxdxxfCoskxdxxgAk
duuCosufAk )()(1
duuSenSenCosuCosufAk )()(1
duCosuCosufAk )()(1 = kkk aduuCosuf )1()()()1(1 .
Igualmente para kB .
18.- Sea Rt y ).()( tSenxCosxf
a) Probar que f(x) es par y de período
b) Escriba los coeficientes y la Serie de Fourier si ,0x
c) Probar que para )(0 ta se tiene : 0''' 000 taata .
Solución.
a) ;)()()( xxfxfsiiparxf
)())(()(()( tSenxCosxtSenCosxtSenCosxf luego es par.
?)()(¿ xfxf
).()()())(())(()( xftSenxCostSenxCosSenxtCosxtSenCosxf
b)0
0 )(2 dxtSenxCosa0
2)(2 kxdxCostSenxCosak
)(2
0
tSenxCosbk Sen2kxdx.
12
c) Si00
00 ))((2)(')(2)( SenxdxtSenxSentadxtSenxCosta
0
20 .)(2)('' xdxSentSenxCosta
Luego:
dxtSenxtCosSenxtSenxSenxSentSenxtCostaata )()()(2''' 2
0000 .
Pero como: tCosxdxtSenxCosdutSenxSenuSi )()(CosxvSenxdxdv Entonces:
xdxCostSenxtCosxdxCostSenxtCosCosxtSenxSenSenxdxtSenxSen 2
0 0
2
0
)()()()(
Reemplazando se cumple.
19.- Si 20)( xexf x . Obtener la Serie de Fourier de g(x) ,función par de período 8 tal que g(x) = f(x) en .20 x
Solución.
Fig.
Hacemos g(x) como la extensión par de la función f(x) extendida al 40 x
42020
)(xxe
xfx
e
Así g(x) es la extensión par de )(xfe , por lo tanto:
xkSenbxkCosaa
xg kk 442)( 0 ;
13
Con4
0
2
0
20 )1(
21
21)(
21 edxedxxfa x
imparkkpark
kexdxkCosea
k
k
xk
4)1(
1)1(
168...........
421
122
22
0
20.- Probar la relación de Parseval:
)(2
)(1 222
02kk
p
p
baa
dxxfp
.
Solución.
Si ppSCxf ;)( y xpkSenbx
pkCosa
axf kk2)( 0
)()()1(2
)()()( 02 fxpkSenbfx
pkCosaf
adxxfxfxf k
p
pk
Pero 0)(1 padxxffp
pkk pbx
pkSenfpax
pkCosf
222
02
2)( kk
p
p
baa
pdxxf
21.- Hallar la Serie de Fourier de solo cosenos para la función: f(x)= x en 2,0 y mediante la relación de Parseval, probar que :
14
2
)12(1
96 k.
Solución.
Haciendo la extensión par de f(x) a 2;2
14
0a2
0
2xdximpark
k
parkxdxkxCosak
22
2
08
0
221
Aplicando Parseval: p
p
dxxfp
dxx38)(1
316 2
2
2
2 y
4
4
442
20
)12(1
96)12(64
24
2 kka
ak
22.- Si kk bya son los coeficientes de Fourier para f(x) .Entonces:
0limlim kkkkba
Solución.
Siendo:p
pkk ba
adxxf
p)(
2)(1 2202 y que la serie es convergente, entonces su
termino general tiende a cero o sea .000)(lim 22kkkkkbaba
Ejercicios propuestos.
1.- Escribir la Serie de Fourier de las funciones:
a) xexf x)( b) 10)( xxSenxf
c)xxxx
xf0
0)( Graficar la extensión periódica d) xexf )( -1<x<1
e)x
xx
xf2/0
2/02/00
)(
f)xxx
xf0
00)( Graficar su extensión periódica y evaluar en x = 0
15
2.- Si 111)( xxxf ,hallar su Serie de Fourier y deducir la convergencia de la
serie numérica: 1
2)12(1k
3.- Determinar la Serie de Fourier para la función 44)( xxxf con ello deducir la convergencia numérica del ejercicio anterior.
4.- Desarrollar en serie de cosenos la función f(x)= Sen x y analizar su convergencia para x = 0.
5.- Desarrollar en Serie de Fourier f(x) = 202 xx , y con ello pruebe que
2
2 116 k
6.- Dada la función de impulso unitario:
x
x
x
xf
21
201
01
)(
¿Cuál es el valor de la serie si a) kx b) x=2
)12( k , ?Zk
16
CALCULO AVANZADO: INTEGRAL DE FOURIER.
Ejercicios resueltos y propuestos.
1.- Encontrar la integral de Fourier para la función:002/100
)(xexx
xfx
Solución.
Si la integral converge, escribimos:0
)()(1)( dwSenwxwBCoswxwAxf donde :
dvwvSenvfwBdvwvCosvfwA )()()()()()(
01)()()( 2
0 wwSenwvCoswvedvwvCosewA
vv = 21
1w
20
2 101)()()(
ww
wwCoswvSenwvedvwvSenewB
vv Luego:
021
1)( dwwwSenwxCoswxxf Si x = 0 dw
w021
12
2.- Demostrar que :1014/1
102/11
0 xx
xCoswxdw
wSenw
Solución.
La integral corresponde a una función par puesto que 0)(wB , luego consideremos la
función extendida par:10
14/!102/1
)(xxx
xf
Así00
1)(2/12)( Coswxdwwsenwxf
wSenwCoswvdvwA
17
3.- Demostrar que:
xxSenx
SenwxdwwwSen
02/1
11
02 .
Solución.
La integral representa a una función impar, pues 0)(wA y 21)(
wwSenwB , luego debemos
considerar la extensión impar :x
xSenxxfi 0
2/1)(
De ese modo vSenvSenwvdSenwvdvvfwBywA 2/1)()(0)(
0 0
)1()1(21)( dvvwCosvwCosvSenvSenwvdwB
0)1(
11)1(
11
21)( vwSen
wvwSen
wwB
22 1)1()1()1()1(
)1(21)(
wSenwwSenwwSenw
wwB
Así0
211)( Senwxdw
wSenwxfi y corresponde con f(x) si ),0(x
4.- Representar mediante una integral de Fourier del tipo0
)(1 CoswxdxwA a la función:
2021210
)(xxxxx
xf
Solución .
Lo que se pide es representar a una función par por lo que hacemos la respectiva extensión de la función dada. Así
1
0
2
10
)()2()(2)()(2)( dvwvCosvdvwvvCosdvwvCosvfwA usando tablas.
18
2
1222)(w
wCosCoswwA y por lo tanto:
Coswxdww
wCosCoswxf0
2
1222)(
5.- Si f(x) es una función par con su integral 0
)(1)( CoswxdwwAxf .Demostrar
que:0
2
22 )()(*)()(*1)(
dwwAdwAdondedwwxCoswAxfx
Solución.
Como 0
2 )()(*1)( dwwxCoswAxfx pues es una función par y como
0 0
)()(2)()(1)( dvwvCosvfwAcondwwxCosxf Entonces
0 0
22
2
)()(2)()(2 dvwvCosvfvdwAddvwvSenvvf
dwdA , comparando con
)(* wA0
2 )()(2 dvwvCosvfv 2
2 )()(*dwwAdwA .
Observación:
Para representar la función:axaxx
xf0
0)(
2
Consideramos la extensión par de
axax
xf0
01)( y aplicamos lo anterior en que
wSenwawA 2)(
6.- Sea 0
)()(1)( dwwxSenwBxf . Hallar la integral de Fourier de la función
Senxxfxg )()( .
Solución.
19
Como f(x) es una función impar, g(x) es par ,luego:0
)()(1 dwwxCoswAI g donde
0
)()(2)( dvwvCosvgwA0
)()(2 dvwvSenvCosvf0
)1()1()( dvvwSenvwSenvf
0 0
)1()1(21)1()()1()()( wBwBvdvwSenvfvdvwSenvfwA .Luego
bastaría con conocer el coeficiente ).(wB
7.- Si f(x) es una función par con integral: 0
.)()(1)( dwwxCoswAxf Entonces
dwwxSendwdAxxf )(1)(
0
.
Solución
Para0
)()(*1)( dwwxSenwBxxf donde0
)()(2)(* dvwvSenvvfwB .Pero como
0
)((2 SenwvdvvvfdwdA pues
0
)()(2)( dvwvCosvfwA )(* wBdwdA .
8.- Probar que si 0
)()()()(1)( dwwxSenwBwxCoswAxf . Entonces se cumple:
.)()(1)(0
222 dwwBwAdxxf
Solución.
dwfwxSenwBfwxCoswAdxxfff )()()()(1)(0
2
dwwBwA )()(1 2
0
2 .
9.- Aplicando lo anterior probar que:
adw
wawSen
2
2 )( .
20
Solución.
Si tomamos: )(xf axa , función par
entonces:0
)(2)(2)(0
awvSen
wdvwvCoswA
a
= )(2 waSenw
)(4)( 22
22 waSen
wwA
Por otra parte:a
a
a
a
adxdxxf 222 2)(
Luego: dww
waSendwwAa0 0
2
2222 )(41)(12 dw
wwaSena
02
2 )(2
o bién
dwwwaSena 2
2 )(
10.- Probar que : xdwwxSenwwCos
wwSenx 0)()()(2
02
Solución.
Como se puede apreciar se trata de una función impar o seax
xxxf
0)(
0
)()(1)( dwwxSenwBxf donde
)(2)(2)(2)( 20
wSenw
wCosw
dvwvvSenwB
dwwxSenwwCos
wwSenxxf )()()(2)(
02
11.- Utilizar la función: 0)( xxexf x , para deducir que
dwwxSenwwdwwxCos
ww )(
)1(2)(
)1(1
022
022 .
Usar además esta igualdad y la convergencia para deducir que:
0 022
2
22 )1()1( wdww
wdw .-
21
Solución.
a) Considerando la extensión par de la función dada:0
)()(1)( dwwxCoswAxf p
con:0 0
22
2
)1()1(............)(2)()(2)(
wwdvwvCosvedvwvCosvfwA v
p
dwwxCoswwxf p )(
)1()1(1)(
022
2
.
b) Considerando la extensión impar de la función dada. 0
)()(1)( dwwxSenwBxfi
donde0
22 )1(2.............)(2)(wwdvwvSenvewB v luego
022 )(
)1(21)( dwwxSenwwxfi
Entonces ambas funciones coinciden en x>0 o sea son iguales las integrales.
022
022
2
)()1(
2)()1()1( dwwxSen
wwdwwxCos
ww
En a) si x = 00
22
2
0)1()1(1 dw
ww
0 022
2
22 )1()1( wdww
wdw
22
Ejercicios propuestos.
1.- Sea: xxexf )( . Pruebe que: 22 )1(4)(0)(wwwBwA
2.- Sea 10
11)(
x
xxf Verifique que
wSenwwAwB 2)(0)(
y que 0
)(2 dwwxCoswSenw converge a ½ si x =1 ó x = -1.
3.- Represente la función como una Integral de Fourier y discuta su convergencia en cada punto.
a)x
xxxf
0)( b)
100
10)(
x
xkxf
c)50
511152/1
)(xxx
xf d) xxexf )(
4.- Haciendo la extensión adecuada encontrar la Integral de Fourier de Senos y de Cosenos para:
a)100
100)(
2
xxx
xf b) 50
50)()(
xxxCosh
xf
5.- Para 0)( ; xexf kx , Hallar las Integrales de Senos y de Cosenos.
6.-Si 0)( xCosxexf x Hallar la integral de Fourier, además la de Senos y la de Cosenos.