INGENIERÍA CIVIL

27

Ahora para el tramo 2, 22 2 /a m s= −

2 0

0 22.2

2 2 2

2

2

1 2

22.2 .....( 2 / )2 22.2

11.133.3

tadt dv adt dv

a t a m st

t st t s

= ⇒ =

→ = − = −→ − = −→ =∴ + =

∫ ∫

PROBLEMA 17(13.72)

En la figura, el torno T esta devanando cable a la razón constante de 2 m/s. Determinar la velocidad

del contrapeso C relativa al ascensor.

SOLUCIÓN:

Tenemos dos cuerdas 1 2L y L

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28

1 1 1 1

1 1

1 1

2 1 2 2 2

2 1 2

2 2

) 2 ( )

2

2 2 1 / ( )) 2 ( )

2

2 2 / ( )

i L s c L seva devanando

L s

s s m sii L s s c L constante

L s s

s s m s

= +

=

= → = ↓= + +

= +

= − → = ↑

PROBLEMA 18(13.120)

Dos aviones vuelan en línea recta horizontalmente a la misma altitud , según se indica en la figura.

En t=0 s, las distancias AC y BC son 20 km y 30 km, respectivamente .Los aviones llevan celeridades

constantes; VA=300km/h y VB=400km/h. Determinar

a. La posición relativa 𝑟𝑟B/A de los aviones en t=3min

b. La velocidad relativa �⃗�𝑣B/A de los aviones en t=3min

c. La distancia d que separa los aviones en t=3min

d. El tiempo T en que será mínima la separación

SOLUCION:

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29

Hallando 𝑟𝑟B/A de los aviones en t=3min=1/20 h

/ /

/

/

3min120 300 20 300( ) 520130 400 30 400( ) 1020

10(cos60 60 ) ( 5 )

(10 8.66 )

B A B A B A B A

B A

B A

Paratiempo

AC t km

BC t km

r r r r r r

r i sen j i

r i j km

=

• = − = − =

• = − = − =

= + → = −

→ = + − −

→ = +

• Hallando �⃗�𝑣B/A de los aviones en t=3min=1/20 h

/ /

/

/

400( cos60 60 ) (300 )

( 500 346.4 ) /

B A B A B A B A

B A

B A

v v v v v v

v i sen j i

v i j km h

= + → = −

= − − −

= − −

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30

• Hallando la distancia d que separa los aviones en t=3min

2 22

2 2 2

2

2 cos1205 10 2(5)(10)cos120175 13.23

d AC BC AC BCdd d km

= + − ×

= + −

= → =

• Hallando el tiempo T en que será mínima la separación

[ ]

2 22

2 2 2

22

2 cos120(20 300 ) (30 400 ) 2(20 300 )(30 400 )cos120

(20 300 ) (30 400 ) (20 300 )(30 400 )min, (20 300 ) (30 400 ) 0

50 700

4.28min

d AC BC AC BCd t t t t

d t t t td t t

t

t

= + − ×

= − + − − − −

= − + − − − −

= → − + − =→ =

∴ =

PROBLEMA 19(13.121)

Los rodillos A y B están unidos a los extremos de una barra rígida de 1.5m de longitud. El rodillo B

se mueve por una guía horizontal con una celeridad constante de 0.3 m/s y hacia la derecha, mientras

que el rodillo A se mueve por una guía vertical.

a. Determinar la posición 𝒓𝒓�⃗ A, la velocidad 𝒗𝒗��⃗ A y la aceleración 𝒂𝒂��⃗ A del rodillo A en función de s,

0 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 1.5𝑚𝑚

b. Para 𝑠𝑠 = 0.9 𝑚𝑚 , determinar la posición relativa 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B ,𝒂𝒂��⃗ A/B

c. Demostrar que la posición relativa y la velocidad relativa del apartado b son perpendiculares.

INGENIERÍA CIVIL

31

Determinando la posición 𝒓𝒓�⃗ A, 𝒗𝒗��⃗ A y la 𝒂𝒂��⃗ A :

2 2 2

2 2

2 2

2

2

2

: 0.3 / , 1.5:

) ) 0 2 2

0.31.52.25

0.32.25 /2.25

B

DERIVANDO

A A

Por dato tenemos v s m s L mPor pitagoras

i L s y ii s s y y

s sy L s yy

sy s ys

sr s j m v j m ss

•

• •

••

•

= = =

= + → = +

= − = −

= − = − −

∴ = − ∴ = −

−

Posición relativa 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B ,𝒂𝒂��⃗ A/B

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32

/ /

/ /

2/ /

2

/ /

/

/

/

0.9

) )

0.32.25 0.9 0.32.25

(1.2 0.9 ) ( 0.225 0.3 ) /

)

A B A B A B A B

A B A B A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

A B A B

A

para s

i r r r ii v v v

r r r v v v

sr s j i v j is

r j i m v j i m s

iii a a a

a a a

a

=

= + = +

= − = −

• = − − • = − −

−

∴ = − ∴ = − −

= +

→ = −

→

32

2/

0.2 02.25

0.115 /

B

A B

js

a j m s

= − −−

∴ = −

Para demostrar que la 𝒓𝒓�⃗ A/B , 𝒗𝒗��⃗ A/B son perpendiculares:

/ // /. 0

(1.2 0.9 ).( 0.225 0.3 ) 00.27 0.27 0

0 0

A B A BA B A Br v r v

j i j i

• ⊥ → =

→ − − − =→ − + =

=

2 2

22 22

2 2

3

2 2

32

23

2

) :

0 ( ) ( ) ; 0

( ) /

0.3 1.5

2.250.2 /

2.25

A

A

iii Se derivauna vez mas

s s s y y y s

s y ssy s yy y

s Lyy

as

a j m ss

• •• • ••

= + + + =

+= − = − +

×

= −

×= −

−

∴ = −−

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33

PROBLEMA 20(13.142)

La grúa de la figura gira en toro al eje AD a la razón constante de 3 rad/min .Al mismo tiempo , el

aguilón AB de 20 m de largo va descendiendo a la razón constante de 5 rad/min . Calcular la velocidad

y la aceleración del punto B cuando 30ºφ = .

SOLUCIÓN:

Como datos tenemos:

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34

20 , 0, 0 ; 30º1 13 / min / 5 / min /20 12

0 0

r m r r

rad rad s rad rad s

φ

θ φ

θ φ

• = = = • =

• = = • = =

→ = → =

2 2 2 2

2 2 2

2

2

2

2

:

1 10 20( ) 20( ) 3012 20

0.15 /

2 cos1 120 0 2 0 20( ) 30cos30

12 200.022 /

2

r

r

r

r

La aceleraciónencoordenadasesfericas

a a a aa r r r sen

a sen

a m s

a r r r sen

a sen

a m s

a r sen

φ θ

φ

φ

φ

θ

φ θ φ

φ φ θ φ φ

θ φ

= + +

→ = − −

= − −

= −

→ = + −

= × + × × −

= −

→ =

2

2 2 2

2 2 2

2

2 cos1 10 2 20 cos30 020 12

0.144 /

( 0.15) ( 0.022) 0.144

0.21 /

r

r r sen

a

a m s

a a a a

a

a m s

θ

θ

φ θ

θφ φ θ φ+ +

= + × × × +

=

= + +

= − + − +

∴ =

2 2 2

22

1 5 10 , 20 / , 20 30º 0.5 /12 3 20

5 0.53

1.74 /

r

r

r

v r e r e r sen e

v r v r m s v sen m s

v v v v

v

v m s

φ θ

φ θ

φ θ

φ θ φ

φ

= + +

= = = = × = = × × =

→ = + +

→ = +

∴ =

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35

PROBLEMA 21(13.27)

: Una bola que cae en el aire tiene una aceleración

22( ) (9.81 0.003 ) ma a v v s= = −

Donde la velocidad del punto se expresa en metros por segundo y el sentido positivo es hacia abajo.

Determinar la velocidad de la bola en función de la altura si se lleva una velocidad hacia debajo de

3ms cuando 0 0y = . Determinar también la velocidad de régimen de la bola.

a

SOLUCIÓN:

• Piden hallar la velocidad en función de la altura cuando la

0 3mv s= y 0 0y =

• Como la aceleración está en función de la velocidad

22( ) (9.81 0.003 ) ma a v v s= = −

• Utilizamos la segunda derivada de la posición para obtener la aceleración en función del

tiempo

dv dv dx dva vdt dx dt dx

dvdx va

= = =

→ =

• Multiplicamos y dividimos por dx; luego obtenemos la dx en función de v y a

Para poder integrar necesitamos que la aceleración este en función de la velocidad