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SOLUCIONARIO EXAMEN SUSTITUTORIOMATEMATICA III
MOLEROS INGUNZA CRISTINA NICOLE
July 23, 2016
Problema 1:Demuestre usando la notacion de indices la siguiente identidad.(
V · ∇)
V =∇
2
(V cot V
)+
(∇ × V
)× V
Solucion
∇ · (F ·G) = δi(F jG j) = F jδiG j + G jδi + F j
FiδiG j − F jδiGi + F jδ j + G jδiF j −G jδ jFi + G jδ jFi
δikδ jlF jδkGi − δilδ jkF jδkGi + F jδ jGi + δikδ jlG jδkFi − δilδ jkG jδkFi + G jδ jFi
= εmi jεmklF jδkGi + F jδ jGi + εmi jεmklG jδkF1 + G jδ jFi
= εmi jF j(∇ ×G)m + (F · ∇) + εmi jG j(∇ × F)m + (G · ∇)F
= εi jmF j(∇ ×G)m + (F · ∇) + εi jmG j(∇ × F)m + (G · ∇)F
= F × (∇ ×G) + G × (∇ × F) + (F · ∇)G + (G · ∇)F
F = G = ~V
∇(~V · ~V) = 2~V × (∇ × ~V) + 2(~V · ∇)~V
∇(~V · ~V) = −2(∇ × ~V) × ~V + 2(~V · ∇)~V
∇
2
(V cot V
)+
(∇ × V
)× V =
(V · ∇
)V
1
Problema 2:
Use el teorema de STOKES para calcular la integral de linea∫ζ(y2 − z2)dx + (z2 −
x2)dy + (x2 − y2)dz, siendo ζ la curva de interseccion de la superficie del hexaedro0 ≤ x ≤ a ; 0 ≤ y ≤ a ; 0 ≤ z ≤ a y el plano x+y+z = 3a
2 , recorrido en sentido positivo.
Solucion
∫ζ
F.dr =
"s(∇xF).ds
F = [(y2 − z2); (z2 − x2); (x2 − y2)]
~∇ × ~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
x2 − z2 z2 − x2 x2 − y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = [(−2y − 2z); (−2x − 2z); (−2x − 2y)]
~r1 = (0;a2
;−a2
)
~r2 = (a2
; 0;−a2
)
2
~r1x~r2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣i j k0 a/2 -a/2
a/2 0 -a/2
∣∣∣∣∣∣∣∣ = (−a2
4;−
a2
4;−
a2
4) = −
a2
4(1; 1; 1)
"D
4(x + y + z)dA = −4(3a2
)3(a2
8) =
9a3
4
Problema 3:
Use el teorema de Green para hallar el area de un lazo de la rosa de cuatro hojasr = 3 sin 2θ
Solucion:
−→
∫ζ
(Pdx + Qdy) =
"D
(∂Q∂x−∂P∂y
)dA −→ P = 0; Q = 0
A =
∫ζ
xdy −→ x = 3 sin 2θ cos θ
x = 3 sin 2θ sin θ
dy = (6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ
A =
∫ π2
0(3 sin 2θ cos θ)(6 cos(2θ) sin (θ) + 3 sin(2θ) cos (θ))dθ
3
A =
∫ π2
0
[9 sin2 2θ cos 2θ +
92
sin2 2θ(cos 2θ + 1)]
=9π8
Problema 4:
Evalue la integral de superficie!
S (∇ × F) · ¯dS , siendo S la superficie
x2 + y2 + z2 = 16 , x ≥ 0
F = (x2 + y − 4; 3xy; 2xz + z2)
Solucion:
~∇ × ~F =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k∂∂x
∂∂y
∂∂z
x2 + y − 4 3xy 2xz + z2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (0,−2z, 3y − 1)
→ ~r = (x, y,√
16 − x2 − y2)
~rx = (1, 0,−x√
16 − x2 − y2)
4
~ry = (0, 1,−y√
16 − x2 − y2)
~rx × ~ry =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣i j k1 0 −x√
16−x2−y2
0 1 −y√
16−x2−y2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = (x√
16 − x2 − y2,
y√16 − x2 − y2
, 1)
→
"D
(−2y + 3y + 1)dA =
"D
(y − 1)dA
=
∫ π
0
∫ 4
0(r sin (θ) + 1)rdrdθ =
1283− 8π
Problema 5:
Una masa M en el origen R3 ejerce una fuerza sobre una masa m localizada enr = (x, y, z) con magnitud GmM
r2 y dirigida hacia el origen . Aqui G es la constantegravitacional, que depende de las unidades de medicion y r = ||r|| =
√x2 + y2 + z2.
Si recordemos que −rr es un vector unitario dirigido hacia hacia el origen , entonces
podemos escribir el campo de fuerzas como F(x, y, z) = −GmMrr3 .Demuestre que F es
irrotacional y hallar un potencial escalar para F.
Solucion:
F =−GmMr
r3
∇ × F = −GmM∇ ×rr3
∇ × F = −GmM∇ × rr−3
Sabemos
∇ × (aA) = a∇ × A − A × ∇U
= r3∇ × r − r × ∇r−3
= −r × (−3r−5r)
5
= r × r
∇ × F = 0
Problema 6:
Calcule el area de la superficie x2 − y2 = 1, donde x ≥ 0 , −1 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1
Solucion:
−→ A =
"S
dS =
"D
√(∂x∂
)2 + (∂x∂x
)2 + (∂x∂z
)2dA
"D
√(
y2
y2 + 1) + 1dydz
A =
∫−
11∫ 1
0
√(2y2 + 1y2 + 1
)dydz
= 2∫ 1
0
√(2y2 + 1y2 + 1
)dy = 2.1993
6
Problema 7:
Determine en caso exista
lim(x,y,z)→ (1,1,1)
x + y + z − 32x + y + z − 4
Solucion
Para y = 1 ; z = 1
limx→ 1
x − 12x − 2
=12
Para x = 1lim
(y;z)→ (1;1)
y + z − 2y + z − 2
= 1
∴ Dado que ambos resultados son diferentes, concluimos que el limite no existe.
Problema 8:
Determine, en caso que exista, una funcion armonica de la forma siguiente
u = φ(x2 + y2)
Solucion
u = φ(x2 + y2)
u = φ(t)→ t(x;y) = x2 + y2
∂u∂x
=∂u∂t.∂t∂x
∂2u∂x2 =
∂u∂t.2x
∂2u∂x2 =
∂2u∂t2 .4x2 +
∂u∂t.2
∂u∂y
=∂u∂t.∂t∂y
=∂u∂t.2y
∂2u∂y2 =
∂2u∂t2 .4y2 +
∂u∂t.2
7
0 = 4(x2 + y2)(d2udt2 ) + 4
dudt
0 = t(d2udt2 ) +
dudt
u′ = −t.ddt
(u′)
−dtt
=d(u′)
u′→ u′ =
C1
tu = C1ln|t| + C2
u = C1ln(x2 + y2) + C2
Problema 9:
Evalue la siguiente integral∫γ
iXidXi, donde γ : Xi = 1 , i =1,...,5.
Solucion
∫γ
iXidXi =
n=5∑i=1
iXidXi =
n=5∑i=1
iXi∆Xi∫1X1dX1 +
∫2X2dX2 +
∫3X3dX3 +
∫4X4dX4 +
∫5X5dX5
Xi = 1
X1 = X2 = X3 = X4 = X5 = 1
1.X2
1
2+ 2.
X22
2+ 3.
X23
2+ 4.
X24
2+ 5.
X25
212
(1 + 2 + 3 + 4 + 5) =152
Problema 10:
En una superficie esferica cuyo radio mide a se inscribe un cilindro circular recto.Calcule las dimensiones del cilindro de area total maxima.
8
Solucion
f (r; h; λ) = AT + λ f1
AT = 2πr2 + 4πrh
f1 = h2 + r2 − a2 = 0
fr(r; h; λ) = 4πr + 4πh + 2rλ = 0.......(I)
fh(r; h; λ) = 4πr + 2hλ.......(II)
λ =−(4πr + 4πh)
2r=−(4πr)
2h
r2 − hr − h2 = 0
r =h(√
5 + 1)2
Sir2 + h2 = a2
(h(√
5 + 1)2
)2 + h2 = a2
h = a
√2
5 +√
5
r = a
√2
5 −√
5
9