Tema 4.3 prácticas resueltas 1-26

MMaasstteerr eenn LLooggííssttiiccaa CCuurrssoo 22001111//1122

Valladolid, marzo de 2012 - 1 -

Ejercicio 4.- Análisis de Pareto. En la fabricación industrial de tazas se observan los siguientes defectos. Indicar que defectos se han de analizar para conseguir mejoras del 60%.

Defecto Número de defectos Proceso: No cumple con la normativa 3 Proceso: Las medidas están fuera de tolerancia 12 Proceso: La base no es recta 14 Proceso: El espesor no es homogéneo 28 Proceso: El esmalte no llega a toda la superficie 21 Proceso: El borde tiene aristas 16 Material: No es resistente a los golpes 24 Material: El asa no es resistente 40 Material: El acabado es áspero 10 Material: Aparecen poros 32 200

Defecto Número de defectos % % acumuladoMaterial: Asa no resistente 40 20,0 20,0 Material: Aparecen poros 32 16,0 36,0 Proceso: Espesor no homogéneo 28 14,0 50,0 Material: No resistente a golpes 24 12,0 62,0 Proceso: Fallo esmalte 21 10,5 72,5 Proceso: Borde con aristas 16 8,0 80,5 Proceso: Base no recta 14 7,0 87,5 Otros 25 12,5 100 Total 200

Análisis de Pareto

4032 28 24 21 16 14

2520,0

36,0

50,0

62,0

72,580,5

87,5

100,0

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

Materia

l: Asa

no re

sisten

te

Materia

l: Apare

cen p

oros

Proces

o: Esp

esor

no ho

mogén

eo

Materia

l: No re

sisten

te a go

lpes

Proces

o: Fall

o esm

alte

Proceso

: Bord

e con a

ristas

Proces

o: Bas

e no r

ecta

Otros

Tipo de fallo

Núm

ero

de fa

llos

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

Porcentaje

Defectos a analizar: Defecto Número de defectos % % acumulado1- Material: Asa no resistente 40 20,0 20,0 2- Material: Aparecen poros 32 16,0 36,0 3- Proceso: Espesor no homogéneo 28 14,0 50,0 4- Material: No resistente a golpes 24 12,0 62,0



Ejercicio 5.- Diagrama de flujo. En la fabricación industrial de tazas se desea realizar una representación de proceso en base a los siguientes conceptos:

1- Recepción de la materia prima. Verificación de características. Si es apta sigue el proceso y si no se devuelve a proveedor.

2- Almacenamiento de la materia. 3- Transporte manual al puesto de trabajo. 4- Elaboración de la taza. 5- Verificación de tolerancias. Si es apta sigue el proceso, si no es apta se envía al almacén de

defectuosos. 6- En el almacén de defectuosos se verifica si es recuperable. Si es recuperable se envía a

recuperación y una vez recuperada se reintegra a verificación, si no es recuperable se envía a desechos y sale del proceso.

7- Las tazas que cumplen con la tolerancia se mandan a almacenamiento. 8- Antes del embalaje se realiza una segunda inspección de calidad. 9- Si son aptas siguen el proceso, si no se mandan a almacén defectuosos. 10- Las tazas aptas se embalan y se envían al servicio de ventas.

Diagrama de flujo:

Proveedor

Recepción

Verificación de características

¿Apto?

Almacén

sí

no

Transporte

Elaboración de taza

Verificación de tolerancias

¿Apto? Almacén

defectuosos

Verificación recuperación

¿Recuperable?

Deshechos

Almacén

Inspección calidad ¿Apto?

Emblaje

sí

no

sí

no sí

no

Recuperación

Ventas

Envío



Ejercicio 6.- Histograma. Realizar el histograma correspondiente a los datos siguientes:

620 610 624 630 622 625 625 633 625 637 612 635 635 645 615 640 623 618 622 650630 650 630 613 618 635 624 634 604 625 635 624 607 650 630 623 615 615 635 615615 600 635 600 620 645 625 612 640 623 614 615 615 618 625 612 624 613 615 630620 612 625 618 625 633 604 614 612 645 630 630 630 638 612 622 615 634 615 618640 622 622 622 618 620 632 635 618 625 606 625 630 604 638 625 635 620 650 608625 614 630 620 630 640 608 604 610 637 630 611 609 625 621 623 630 634 630 618621 612 630 612 623 650 604 624 633 630 630 608 617 618 604 616 622 616 608 637625 620 645 610 635 600 630 615 606 608 612 637 620 630 624 635 634 624 615 645635 620 637 606 612 620 607 623 625 637 645 604 620 618 609 620 623 609 633 612645 615 645 623 620 612 600 609 630 607 637 604 630 609 622 633 612 614 618 612

Número=200 Máximo=650 Mínimo=600 Recorrido=50 Número de clases=15 Ancho de clases=3,33 En los valores máximo, mínimo y medio se ha realizado el redondeo en el primer decimal. Se ha añadido 0,1 al mínimo para evitar posibles interferencias. En la frecuencia relativa se ha realizado el redondeo en el tercer decimal.

Tabla de frecuencias Mínimo Máximo Valor

medio Frecuencia Frecuencia relativa

1 600,0 603,3 601,7 4 0,020 2 603,4 606,8 605,1 11 0,055 3 606,9 610,2 608,5 16 0,080 4 610,3 613,6 612,0 17 0,085 5 613,7 617,1 615,4 20 0,100 6 617,2 620,5 618,8 24 0,120 7 620,6 623,9 622,2 18 0,090 8 624,0 627,3 625,7 22 0,110 9 627,4 630,8 629,1 21 0,105 10 630,9 634,2 632,5 10 0,050 11 634,3 637,6 636,0 18 0,090 12 637,7 641,1 639,4 6 0,030 13 641,2 644,5 642,8 0 0,000 14 644,6 647,9 646,3 8 0,040 15 648,0 651,4 649,7 5 0,025

Histograma

0,020

0,055

0,0800,0850,100

0,120

0,090

0,1100,1050,090

0,030

0,000

0,0400,025

0,0000,000

0,050

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

601,7

605,1

608,5

612,0

615,4

618,8

622,2

625,7

629,1

632,5

636,0

639,4

642,8

646,3

649,7

653,1

656,5

Frecuencia relativa



Ejercicio 7.- Diagrama de árbol. Realizar el diagrama de árbol para determinar los posibles resultados de realizar cuatro tiradas de moneda, siendo los resultados de cada tirada cara (C) o cruz (X).

C

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

C

X

Primera tirada

Segundatirada

Tercera tirada

Cuarta tirada



( )[ ] ( )[ ]2222 yynxxn

yxxynr

∑∑∑∑

∑∑∑−−

−=

Ejercicio 8.- Diagrama de dispersión. Determinar el tipo de correlación existente entre el evento y la cantidad a partir de los datos. Determinar una predicción para el evento x = 15. Los cálculos se han hecho con redondeo ene. segundo decimal.

Evento (x) Cantidad (y) ( )xxi − ( )2i xx − ( )xxy ii − ii yx 2x 2y 1 5,1 -4,50 20,25 -22,95 5,10 1 26,01 2 5,7 -3,50 12,25 -19,95 11,40 4 32,49 3 5,9 -2,50 6,25 -14,75 17,70 9 34,81 4 6,1 -1,50 2,25 -9,15 24,40 16 37,21 5 5,9 -0,50 0,25 -2,95 29,50 25 34,81 6 6,2 0,50 0,25 3,10 37,20 36 38,44 7 6,4 1,50 2,25 9,60 44,80 49 40,96 8 6,6 2,50 6,25 16,50 52,80 64 43,56 9 6,9 3,50 12,25 24,15 62,10 81 47,61

10 6,7 4,50 20,25 30,15 67,00 100 44,89 55 61,5 82,50 13,75 352,00 385 381

50,5x = 15,6y = 95,0r =

x17,023,5y ×+= ( ) 73,715y =

Regresión lineal

4

4,5

5

5,5

6

6,5

7

7,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

( )( )

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−=

−=

⇒+=

∑

∑

=

=n

1i

2i

n

1i ii

1

1o

1o

xx

xxyb

xbyb

xbbyn

yy

n

xx ii ∑∑ ==



Introducción a la probabilidad.

1- Probabilidad. 1.2- Operaciones con sucesos.

Ejercicio 9.- Universo correspondiente al experimento de arrojar tres veces una moneda y anotar la secuencia de caras (C) y cruces (X). Suceso (A) formado por el número par de caras y suceso complementario.

{ }XXX,XXC,XCX,XCC,CXX,CXC,CCX,CCCU =

{ }XCC,CXC,CCXA =

{ }XXX,XXC,XCX,CXX,CCCAUA =−=

Ejercicio 10.- Considerando los 20 primeros números enteros (N) se definen los siguientes sucesos: A={N ≤ 10}, B={Pares ≤ 20}, C={Divisibles entre 3≤ 20}. Determinar BA∪ , CBA ∪∪ , BA∩ , CBA ∩∩ , A/B ,

( )BA/C ∩

{ }20,19,18,17,16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1U =

{ }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1A = { }20,18,16,14,12,10,8,6,4,2B = { }18,15,12,9,6,3C =

{ }20,18,16,14,12,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1BA =∪ { }20,18,16,15,14,12,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1CBA =∪∪

{ }10,8,6,4,2BA =∩ { }6CBA =∩∩ { } { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1/10,8,6,4,2A/B = ( ) { } { }10,8,6,4,2/6BA/C =∩

Ejercicio 11.- Si las probabilidades de todos los elementos de universo del problema anterior son iguales, determinar las probabilidades de cada una de las operaciones entre sucesos.

20ne = ( )201eP i = ( )

43

2015BAP ==∪ ( )

54

2016CBAP ==∪∪

( )41

205BAP ==∩ ( )

201CBAP =∩∩ ( )

21

2010205

A/BP == ( )( )51

205

201

BA/CP ==∩



1.3- Probabilidad de sucesos.

Ejercicio 12.- En un proceso de producción, el elemento A puede ser pintado en rojo o verde, mientras que el elemento B puede ser pintado en azul o amarillo. Si se sabe que la probabilidad de que el elemento esté pintado en rojo es 0,2 y que la probabilidad de que el elemento esté pintado en azul es del 0,3, determinar lo siguiente:

a) Probabilidad de que tomado un elemento al azar no esté pintado en rojo.

b) Probabilidad de que tomado un elemento al azar no esté pintado en azul.

c) Probabilidad de que tomado un elemento al azar no esté pintado ni en rojo ni en azul.

d) Probabilidad de que tomado un elemento al azar esté pintado en rojo o en azul.

Se consideran los siguientes eventos { }V,RA = ( ) 2,0RP =

{ }Am,AzB = ( ) 3,0AzP =

a) ( ) ( ) 8,02,01RP1RP =−=−=

b) ( ) ( ) 7,03,01AzP1AzP =−=−=

c) ( ) ( ){ }

( ) ( ) ( )[ ] [ ] 5,03,02,01AzPRP1AzRPAzRcomo

AzRP1AzRP =+−=+−=∪⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=∩∪−=∪

φ

d) ( ) ( ) ( ) 5,03,02,0AzPRPAzRP =+=+=∪

1.4- Tablas de contingencia y diagrama de árbol.

Ejercicio 13.- Al realizar un proceso de inspección se comprueba que aparecen distintos tipos de fallos que se puede clasificar en fácilmente solucionables, complicados de solucionar y sin solución. Si los valores que aparece en cada uno de ellos son los siguientes:

Fallo 1 Fallo 2 Total Fácil 1 3

Complicado 3 2 Sin solución 6 3

Total

Determinar la probabilidad de que los fallos sean fácilmente solucionables, y que sean del tipo 2.

Se rellena la tabla de frecuencias y frecuencias relativas Fallo 1 Fallo 2 Total

Fácil 1 3 4 Complicado 3 2 5 Sin solución 6 3 9

Total 10 8 18

Fallo 1 Fallo 2 Total Fácil 0,0556 0,1667 0,2222

Complicado 0,1667 0,1111 0,2778 Sin solución 0,3333 0,1667 0,5

Total 0,5556 0,4444 1

Con la tabla delante, la resolución es simple ( ) 2222,0FácilP = ( ) 4444,02FalloP =



Ejercicio 14.- Determinar el diagrama de árbol del problema anterior, indicando los porcentajes correspondientes a cada rama.

Las probabilidades condicionadas se obtienen de

( ) ( )( ) 1,0

5556,005556,0

FPFFPF/FP

1

11 ==

∩= ( ) ( )

( ) 3,05556,01667,0

FPFCPF/CP

1

11 ==

∩= ( ) ( )

( ) 6,05556,03333,0

FPFDPF/DP

1

11 ==

∩=

( ) ( )( ) 375,0

4444,01667,0

FPFFPF/FP

2

22 ==

∩= ( ) ( )

( ) 25,04444,01111,0

FPFCPF/CP

2

22 ==

∩= ( ) ( )

( ) 375,04444,01667,0

FPFDPF/DP

2

22 ==

∩=

P(F1)=0,5556

P(F2)=0,4444

ComplicadoP(C/F1)=0,3

Fácil

Sin solución

P(F/F1)=0,1

P(D/F1)=0,6

F1

F2 ComplicadoP(C/F2)=0,25

Fácil

Sin solución

P(F/F2)=0,375

P(D/F2)=0,375

Ejercicio 15.- Una universidad proporciona educación en tres carreras en la que el número de estudiantes masculinos y femeninos aparece reflejado en la tabla:

Carrera 1 Carrera 2 Carrera 3 Total Hombres 250 350 200 Mujeres 100 50 50

Total

Realizar la tabla de contingencia y el diagrama de árbol correspondientes, con la determinación de las probabilidades asociadas.

Si se elije al azar un estudiante, determinar la probabilidad de:

a) Sea de cada una de las tres carreras

b) Sea de cada uno de los sexos.

c) Sea hombre de la carrera 1.

d) Siendo hombre, haga la carrera 1. C1 C2 C3 Total

H 250 350 200 800 M 100 50 50 200

Total 350 400 250 1000

C1 C2 C3 Total H 0,25 0,35 0,2 0,8 M 0,1 0,05 0,05 0,2

Total 0,35 0,4 0,25 1 Las probabilidades condicionadas de las ramas del diagrama de árbol son las siguientes:

( ) ( )( ) 313,0HP

H1CPH/1CP =∩

= ( ) ( )( ) 5,0MP

M1CPM/1CP =∩

=

( ) ( )( ) 438,0HP

H2CPH/2CP =∩

= ( ) ( )( ) 25,0MP

M2CPM/2CP =∩

=

( ) ( )( ) 25,0HP

H3CPH/3CP =∩

= ( ) ( )( ) 25,0MP

M3CPM/3CP =∩

=



P(H)=0,8

P(M)=0,2

C2P(C2/H)=0,438

C1

C3

P(C1/H)=0,313

P(C3/H)=0,0,25

H

M C2P(C2/M)=0,25

C1

C3

P(C1/M)=0,5

P(C3/M)=0,25

Rellenada la tabla de contingencia y el diagrama de árbol, la resolución es simple

a) ( ) 35,01CP = ( ) 4,02CP = ( ) 25,03CP =

b) ( ) 8,0HombreP = ( ) 2,0MujerP =

c) ( ) 25,01CHombreP =∩

d) ( ) ( )( ) 3125,0

8,025,0

HombrePHombre1CPHombre/1CP ==

∩=

Ejercicio 16.- Una compañía reemplaza el reductor de engranajes de una turbina cada dos años. La probabilidad de que en este tiempo no falle es del 0,8. Si los fallos sólo pueden ser de dos tipos, A y B, y el fallo de tipo A es tres veces más común que el del tipo B. ¿Cuáles son las probabilidades de cada uno de los tipos de fallo?.

Si se introducen los datos en una tabla de contingencia se tiene

A B TotalF ( )FAP ∩ ( )FBP ∩ 0,2 F ( )FAP ∩ ( )FBP ∩ 0,8

Total ( )BP3 ( )BP 1 Luego

( ) ( ) 1BPBP3 =+

y la probabilidad de cada tipo de fallo es

( )41BP = ( )

43AP =



1.5- Fiabilidad de un sistema.

Ejercicio 17.- Un excursionista sale del punto A seleccionando al azar una ruta. En cada encrucijada selecciona al azar un nuevo camino. Cual es la probabilidad de llegar al punto X.

A

X

EDCB

F

Todos los caminos tienen la misma probabilidad de ser elegidos luego

A

X

EDCB

1/4 1/4 1/4 1/4

1 1 1/5 1/5 1/51/5

1/5

1/31/31/3

1F

La probabilidad de llegar al destino es

( )60411

51

41

51

411

411

41

31

41XP =⋅⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=

Ejercicio 18.- La fiabilidad de un sistema viene mostrada en la figura en la que se indica la probabilidad de fallo de cada subsistema. Determinar:

a) Espacio del suceso en el que el sistema funciona.

b) ¿Cual es la probabilidad de que el sistema funcione?

0,8

0,9

0,9

0,8

0,9

0,95

A

B

C

D

E

F

a) Corresponde a todos los posibles resultados en los que se cumpla

( ) ( ) { }1FEDCBA =∩∪∩∪∪

( ) { }C,B,A,BC,AC,AB,ABCCBA =∪∪ ( ) { }E,D,DEED =∪

Al se múltiples ( 2137 =⋅ ), indicamos sólo alguno de ellos.

{ }CEF,CDF,BEF,BDF,AEF,ADF,,BDFEF,CDEF,ABDEF,ABCDEFR K=

b) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 998,0002,019,019,018,011CP1BP1AP11P11CBAPi

i =−=−⋅−⋅−−=−⋅−⋅−−=−−=∪∪ ∏

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 98,002,019,018,011EP1DP11P11EDPi

i =−=−⋅−−=−⋅−−=−−=∪ ∏

( ) ( )( ) ( ) 929,095,098,0998,0PFEDCBAPi

i =⋅⋅==∩∪∩∪∪ ∏



2- Análisis combinatorio.

Ejercicio 19.- Una máquina laminadora realiza 12 procesos distintos, en cada uno de los cuales puede cometer un error por pieza. Si una de las piezas laminadas tiene 3 errores, determinar de cuantas formas se pueden haber producido.

El orden no importa y no hay repetición. Corresponde a una combinación de 12 elementos tomados de 3 en 3.

( ) 220!312!3

!123

12C12

3 =−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Ejercicio 20.- ¿Cuántas apuestas hay que realizar en una quiniela de tres opciones (1-x-2) para asegurar el acierto de 15 resultados?.

El orden importa y los resultados se repiten. Corresponde a una variación con repetición de 3 elementos en cada uno de las 15 quinielas.

907.348.143VR 15153 ==

Ejercicio 21.- Teniendo en cuenta protocolos, ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse ocho personas en una presidencia de ocho butacas?

En el protocolo es importante el orden, los resultados no se repiten y se tienen en cuenta todos los elementos. Corresponde a una permutación.

320.40!8P88 ==

Ejercicio 22.- Los nueve símbolos asociados a un procedimiento están formados por tres A’s, dos B’s y cuatro C’s. ¿Cuántas informaciones distintas pueden realizarse con la aplicación de los nueve símbolos?

El orden importa, los resultados se repiten numerando su repetición. Corresponde a una permutación con repetición.

260.1!4!2!3

!9PR94,2,3 ==



3- Variable aleatoria, esperanza y varianza.

Ejercicio 23.- A un taller le llegan 0, 1, 2, 3, 4 o 5 automóviles diarios con una probabilidad de 1/6, 1/6, 1/3, 1/12, 1/6 y 1/12 respectivamente. Determinar la media y la varianza del número de automóviles diarios.

( )[ ]613

1215

614

1213

312

611

610xpx

n

1iii =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

=μ

( ) ( )[ ]3683

121

6135

61

6134

121

6133

31

6132

61

6131

61

6130xpx

222222n

1ii

2i

2 =⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⋅−= ∑

=μσ

Ejercicio 24.- Dada la siguiente función probabilística de densidad

( )( ) ( )

( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

=<≤−=<≤=

demáslostodospara0xf4x2x4kxf2x0kxxf

a) Determinar el valor de k para el cual f es una función probabilística de densidad.

b) Obténgase la media y la varianza de X.

c) Obténgase la función acumulativa de distribución.

a) Se tiene que cumplir que la función acumulativa de distribución para todo el dominio es 1.

( ) ( )41k1k4k2k2

2xx4k

2xkdxx4kkxdxxF

4

2

22

0

24

2

2

0=⇒==+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−+= ∫∫

b) ( )[ ] ( ) 23x

2x4

41

3x

41dxx4

41xxdx

41xdxxpx

4

2

322

0

34

2

2

0=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=−+=⋅= ∫∫∑ ∫μ

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )32dxx4

412xxdx

412xdxxpx

4

2

22

0

222 =−−+−=⋅−= ∫∫∑ ∫ μσ

c) ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

<≤

<≤=

4x221

2x021

xP ( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<≤

<≤=4x21

2x021

xF



Ejercicio 25.- El contenido en magnesio de una aleación es una variable aleatoria dada por la función probabilística de densidad

( )( )⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≤≤=

demáslostodospara0xf

6x018xxf

y el beneficio obtenido de esta aleación es X210P += . Determinar:

a) Distribución probabilística de P.

b) Beneficio esperado.

a) ( )⎪⎩

⎪⎨⎧ ≤≤+=

demáslostodospara10

6x018x210xP

b) ( ) ( ) ( ) 44,103x

182

2x

1810dx010dx

18x

18x210dxxfXHPE

6

0

3

2

2

6

6

0=⋅+⋅=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +== ∫∫∑ ∫

∞

Ejercicio 26.- El número de días para concluir cierto proyecto se toma como variable aleatoria X con la distribución:

( )( )( )( )( )( )⎪

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

===========

demáslostodospara0xp14x1,0xp13x1,0xp12x3,0xp11x3,0xp10x2,0xp

y el beneficio del contratista es ( )X12000.1Y −= . Determinar:

a) Distribución probabilística de Y. b) Obténgase E(X), V(X), E(Y) y V(Y).

a) ( )

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−==−====

====

⇒−=

0ydemáslostodospara000.2y14x000.1y13x0y12x000.1y11x000.2y10x

x12000.1y

b) ( ) ( )[ ] 6,111,0141,0133,0123,0112,010xpxXE 1i =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑ ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 44,11,06,11141,06,11133,06,11123,06,11112,06,1110xpxXV 22222

12

i =⋅−+⋅−+⋅−+⋅−+⋅−=⋅−= ∑ μ ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) 4001,0000.21,0000.13,003,0000.12,0000.2xpxHYE 1i =⋅−+⋅−+⋅+⋅+⋅=⋅= ∑

( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ] ( ) ( ) 000.440.14001,0000.21,0000.13,003,0000.12,0000.2XHEXHYV 22222222 =−⋅−+⋅−+⋅+⋅+⋅=−= ∑



4- Distribuciones discretas importantes.

Ejercicio 27.- En un proceso de producción se realiza miles de piezas diarias. El 1% de las piezas son defectuosas, permaneciendo el porcentaje fijo en el tiempo. Cada hora se selecciona una muestra aleatoria de 100 piezas, clasificando cada una como buena o defectuosa. En función de las distribuciones discretas estudiadas, determinar:

a) La función probabilística de densidad. b) Probabilidad de detener el proceso si se encuentran más de dos defectuosas. c) Esperanza y varianza del número de defectos.

a) Es una función binomial ( )01,0p,100nBi == ( ) x100xxnx 99,001,0x

100qp

xn

xp −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2xP1xP0xP13xP12xP =+=+=−=<−=>

( ) 366,099,001,00

1000xp 1000 =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== ( ) 369,099,1001,0

1100

1xp 991 =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

( ) 185,099,001,02

1002xp 982 =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==

( ) ( ) [ ] 079,0185,0369,0366,013xP12xP =++−=<−=> c) ( ) 101,0100pnXE =⋅=⋅= ( ) 99,099,001,0100qpnXV =⋅⋅=⋅⋅=

Ejercicio 28.- Si se ponen una serie de dispositivos de medición a prueba, y la probabilidad de que cada uno de ellos muestre una desviación excesiva es de 0,05, determinar la probabilidad de que:

a) el sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva;

b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el primero que no muestre una desviación excesiva.

a) Es una función geométrica en la que se considera la desviación excesiva como éxito.

( )05,0pG = ( ) n,,2,1xconpqxp 1x K== − ( ) 0387,095,005,0pq6xp 161x =⋅=== −−

b) Es una función geométrica en la que se considera la falta de desviación excesiva como éxito. ( )95,0pG = ( ) n,,2,1xconpqxp 1x K== − ( ) 8171x 1048,105,095,0pq7xp −−− ⋅=⋅===

Ejercicio 29.- En el ejercicio anterior ¿cuál es la probabilidad de que poniendo a prueba 6 dispositivos, 3 de ellos muestren una desviación excesiva?

Es una función de Pascal ( )3m,05,0pPasc == ( ) ∞+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

= − ,,1m,mxconqp1m1x

xp mxm K

( ) 0011,095,005,01316

6xp 633 =⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

== −



Ejercicio 30.- En el ejercicio anterior ¿cuál es la probabilidad de que haya 6 dispositivos con desviación incorrecta antes de que aparezca el segundo con desviación correcta?

Es una función binomial negativa en la que el éxito corresponde a la desviación correcta,

( )2m,95,0pBN == ( ) n,,2,1,0xconqp1m

1xmxp xm K=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

=

( ) 762 10987,005,095,012

1626xp −⋅=⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+

==

Ejercicio 31.- Si en un proceso de verificación las pieza se clasifican según el tipo de fallos en inaceptable, aceptable con modificaciones y aceptable, cada una de ellas con probabilidades 1/6, 2/6 y 3/6, respectivamente, determinar la probabilidad de que en un lote de 10 piezas haya 3 inaceptables, 3 aceptables con modificación y 4 aceptables.

Es una función multinomial [ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ====⇒

63p,

62p,

61p,10nMX,,X,X 321k21 K

( ) n21 xn

x2

x1

n21n21 ppp

!x!x!x!nx,,x,xp KK

K =

( ) 045,063

62

61

!4!3!3!104x,3x,3xp

433

321 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅====

Ejercicio 32.- Si en un lote de 20 elementos se sabe que 10 de ellos tienen un fallo, y se toma del mismo una muestra de 6 elementos, ¿qué probabilidad hay de que menos de 2 de ellos tengan fallo?.

Es una función hipergeométrica ( )10D,6n,20NH === ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nN

xnDN

xD

xp

( ) ( ) ( ) 0704,0

!14!6!20

!5!5!10

!9!1!10

!14!6!20

!4!6!10

!10!0!10

620

161020

110

620

061020

010

1xp0xp2xp =⋅

+⋅

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

==+==<

Ejercicio 33.- Si se sabe que un proceso genera de media 3 fallos por hora, ¿Cuál es la probabilidad de que en 2 horas haya menos de 4 fallos?

Es una función de Poisson ( )623tPoi =⋅=⋅= λα ( ) ( ) ( )K,2,1,0x

!xett,xp

tx==

− λλ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1512,0!3e6

!2e6

!1e6

!0e63xp2xp1xp0xp4xp

63626160=

⋅+

⋅+

⋅+

⋅==+=+=+==<

−−−−



Ejercicio 34.- Probabilidad. Considerando los datos correspondientes al ejercicio 3, determinar las siguientes probabilidades, indicando mediante un dibujo a qué áreas corresponden:

1- P(X<621) Sin interpolación lineal ( ) 460,0120,0100,0085,0080,0055,0020,0621XP =+++++=<

Con interpolación lineal ( ) 471,009,03,3

6,620621460,0621XP =−

+=<

Histograma

0,020

0,055

0,080 0,0850,100

0,120

0,090

0,110 0,105

0,090

0,030

0,000

0,0400,025

0,000 0,000

0,050

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

601,7

605,1

608,5

612,0

615,4

618,8

622,2

625,7

629,1

632,5

636,0

639,4

642,8

646,3

649,7

653,1

656,5

2- P(X>611)

Sin interpolación lineal ( ) 760,0025,0040,0030,0090,0050,0105,0110,0090,0120,0100,0611XP =+++++++++=>


61163,613760,0611XP =−

+=>

Histograma

0,02

0,055

0,08 0,085

0,1

0,12

0,09

0,11 0,105

0,05

0,09

0,03

0

0,040,025

0 00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

601,6

7

605,1

0

608,5

3

611,9

7

615,4

0

618,8

3

622,2

7

625,7

0

629,1

3

632,5

7

636,0

0

639,4

3

642,8

7

646,3

0

649,7

3

653,1

7

656,6

0

3- P(615<X<632)

Sin interpolación lineal ( ) 425,0105,0110,0090,0120,0632X615P =+++=><


9,630632100,03,3

61507,617425,0632X615P =−

+−

+=><

Histograma

0,02

0,055

0,08 0,085

0,1

0,12

0,09

0,11 0,105

0,05

0,09

0,03

0

0,04

0,025

0 00

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

601,6

7

605,1

0

608,5

3

611,9

7

615,4

0

618,8

3

622,2

7

625,7

0

629,1

3

632,5

7

636,0

0

639,4

3

642,8

7

646,3

0

649,7

3

653,1

7

656,6

0



Ejercicio 35.- Función normal estándar. Considerando que los valores de ejercicio 3 siguen una función normal N (622,74, 136,06) determinar, indicando a que área corresponden:

1- P(X > 640) El estadístico a utilizar para la función normal estándar es:

( )σμ−

= ii

xxZ

A partir de la tabla de funciones normales se determina la probabilidad para valores menores o igual al del estadístico determinado ( ( )( )ixZZP ≤ ) y posteriormente se ajusta por áreas complementarias (si ( ) 0xZ i ≥ , ( )( ) ( )( )ii xZZP1xZZP ≤−=> , ( )( ) ( )( )ii xZZP1xZZP ≤−=−≤ ,

( )( ) ( )( )ii xZZPxZZP ≤=−> ) a la probabilidad pedida En este caso

( ) 13,0127,006,136

74,622640640Z ≈=−

=

( ) ( ) ( ) 4483,05517,0113,0ZP113,0ZP5517,013,0ZP =−=≤−=>⇒=≤

2- P(X < 600)

( ) 17,0167,006,136

74,622600600Z −≈−=−

=

( ) ( ) ( ) 4325,05675,0117,0ZP117,0ZP5675,017,0ZP =−=≤−=−<⇒=≤

3- P(630 < X < 610)

( ) 05,0053,006,136

74,622630630Z ≈=−

= ( ) 09,0094,006,136

74,622610610Z −≈−=−

=

( ) ( ) ( ) 4801,05199,0105,0ZP105,0ZP5199,005,0ZP =−=≤−=>⇒=≤ ( ) ( ) ( ) ( ) 4641,05359,0109,0ZP109,0ZP09,0ZP5359,009,0ZP =−=≤−=>=−≤⇒=≤

( ) ( ) ( ) 9442,04641,04801,009,0ZP05,0ZP09,0Z05,0P =+=−≤+>=−≤≤

4- P(Z > μ + 3σ) ( ) ( ) 333Z =

−+=+

σμσμσμ

( ) ( ) ( ) 0013,09987,013ZP13ZP9987,03ZP =−=≤−=>⇒=≤



Ejercicio 36.- Propiedad reproductiva de la distribución normal. Un eje debe ensamblarse en un cojinete tal como se muestra en la figura, si ( )04,0,5,1NX1 ⎯→⎯ y

( )03,0,48,1NX 2 ⎯→⎯ determinar la probabilidad de que exista interferencia en el ensamble.

X1 X2

Se va a plantear definiendo la interferencia de la unión para posteriormente determinar la probabilidad de que sea menor que 0.

( ) 01ciaInterferenX1X1XXY1ciaInterferen 2121 <→−+⋅=−== Análogamente se podía haber desarrollado multiplicando por -1 a ambos lados de la desigualdad,

( ) [ ] ( ) 02ciaInterferenX1X1XX12ciaInterferen 2121 >→⋅+⋅−=−⋅−= En cualquiera de los dos casos se puede aplicar la propiedad reproductiva de las variables aleatorias normales para combinaciones lineales de variables. La media y la varianza (y desviación típica) de la combinación lineal de las variables, para el primer caso, son

( ) 02,048,115,11an

1iiiY =⋅−+⋅== ∑

=μμ

( ) ( ) 158,0025,00009,010016,0103,0104,01a Y222222

n

1i

2i

2i

2Y =⇒=⋅−+⋅=⋅−+⋅== ∑

=σσσ

luego la interferencia es una función normal ( )158,0,02,0NY ⎯→⎯ por lo que para obtener su probabilidad se normaliza y se busca en tablas:

( ) ( ) ( ) ( ) 4483,05517,0113,0ZP113,0126,0ZP158,0

02,00ZP0YP1ciaInterferenP =−=<−=−≈−<=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

<=<=

Ejercicio 37.- T de Student. Para la realización de una prueba de hipótesis del valor medio de una distribución normal cuya varianza es desconocida, se conocen los valores de la media y varianza de una muestra de 15 elementos

63,16S18,152X 2 == Determinar el estadístico de prueba a utilizar para un valor de media igual a 150. ¿Qué probabilidad existe de que el valor real sea superior al obtenido? El universo es una distribución normal con media y varianza desconocida, por lo que se utiliza la función de densidad t de Student, en la que el estadístico de prueba viene dado por

mM

M

oo N

SSS

Xt =−

=μ

sustituyendo la media muestral ( X ), el valor de la media que se quiere comprobar ( 150=μ ), la desviación típica de la muestra ( 2SS = ) y el número de elementos de la muestra ( mN ) se tiene

07,2

1563,16

15018,152

NS

Xt

m

oo =

−=

−=

μ

La probabilidad se obtiene de la tabla t de Student Sin interpolación: ( ) ( ) ( ) ( )145,2025,0y761,105,0entre07,2tPttP 115o1Nm

→>=> −−

Con interpolación lineal: ( ) ( ) ( )( ) 029,0025,0145,2761,1

025,005,0145,207,207,2tPttP 115o1N m=+

−−−

=>=> −−



Ejercicio 38.- Modelo probabilístico. Determinar la probabilidad de que en el ejercicio 4 aparezcan una cara y tres cruces. Determinar la probabilidad de que en el ejercicio 4 aparezca la primera moneda con cara y las tres siguientes con cruces. En este caso la función de densidad es discontinua. Cada uno de los experimentos es de Bernoulli (dos únicas posibilidades de respuesta) repetido cuatro veces (experimento binomial) en el que el orden no es importante, por lo que la probabilidad es Cada experimento tiene una probabilidad 5,0q5,0p == por lo que la probabilidad del conjunto de experimentos es

( ) ( ) 25,041

24

21

21

12311234

21

21

!14!1!4

21

21

14

qpyn

C1yP 4

313131yny ===⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −

En el segundo caso el orden sí es importante

( ) 0625,0161

21

21

21

21pqqqX,X,X,CP ====

Para el análisis de un proceso se toma una muestra de 100 elementos. Cada elemento se clasifica en bueno o defectuoso, con una probabilidad del 1% de ser defectuoso. Determinar la probabilidad de que la muestra tenga más de dos elementos defectuosos. En cada uno de los elementos se realiza un experimento de tipo Bernoulli (dos únicas posibilidades de respuesta) repetido cada elemento (binomial) en el que el orden no es importante, por lo que la probabilidad del conjunto de experimentos es

( ) ynyqpyn

yP −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

Consideraremos el caso positivo la probabilidad de que el experimento Bernoulli sea defectuoso por lo que 99,0q01,0p == . En este caso ( ) ( )2yP12yP ≤−=>

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 92,099,001,0!98!2

!10099,001,0!99!1!10099,001,0

!100!0!100

qp2

100qp

1100

qp0

100qp

yn

2yP

9829911000

98299110002

0y

yny

=++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=≤ ∑

=

−

tal como aparece reflejado en la figura 0,37 0,37

0,18

0,06

0,01 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,000

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

luego la probabilidad de que la muestra tenga más de dos aciertos es

( ) ( ) 08,092,012yP12yP =−=≤−=>



Ejercicio 39.- Población de muestras. A partir de la toma de 4 mediciones sobre 25 muestras correspondientes a un parámetro a analizar, determinar los promedios y los rangos correspondientes a cada muestra y a la población de muestras

Muestra X1 X2 X3 X4 Promedio Rango 1 635 640 632 637 636,0 8 2 646 637 636 641 640,0 10 3 634 640 634 636 636,0 6 4 669 664 668 659 665,0 10 5 638 634 644 640 639,0 10 6 642 641 643 634 640,0 9 7 644 641 641 646 643,0 5 8 633 641 638 636 637,0 8 9 648 644 647 645 646,0 4

10 647 643 636 642 642,0 11 11 638 641 639 638 639,0 3 12 637 637 641 637 638,0 4 13 640 638 647 635 640,0 12 14 638 639 645 642 641,0 7 15 650 642 643 645 645,0 8 16 633 635 629 639 634,0 10 17 641 640 629 634 636,0 12 18 638 644 628 658 642,0 30 19 635 641 637 638 637,8 6 20 656 655 645 648 651,0 11 21 638 640 645 637 640,0 8 22 639 642 635 640 639,0 7 23 642 639 639 636 639,0 6 24 643 636 635 638 638,0 8 25 639 638 643 644 641,0 6

Población de muestras: 641,0 8,76



Ejercicio 40.- Test de hipótesis. En el ejercicio 11 cuya población es N (622,74 , 136,06) se ha realizado un proceso de mejora por lo que se ha obtenido un valor 700. Determinar si el resultado ha sido debido a la mejora del proceso o fruto de la fluctuación aleatoria, con un nivel de significación de 0,05. Se desea que el rechazo del test de hipótesis sea conclusión fuerte. Y si el valor es de 350. Se considera la hipótesis bilateral en la que el rechazo de la hipótesis nula (conclusión fuerte) reafirma que el resultado es fruto de la mejora del proceso

700:H700:H

1

o

≠=

μμ

Se toma como estadístico de prueba la función normal estándar (desviación típica conocida) ( ) ( ) 57,05678,0

06,13674,622700x700ZxZ i

i ≈=−

=−

==σμ

Los límites superior (Zls) e inferior (Zli) de aceptación se determinan considerando la mitad del índice de significación en cada cola de la hipótesis bilateral, y son

( ) ( ) 95,1Z9750,0ZZP0250,0ZZP lslsls =⇒=≤==> ( ) ( ) 95,1ZZ9750,0ZZP0250,0ZZP lslilsli −=−=⇒=>==−<

El criterio de aceptación de la hipótesis nula es ( ) lsili ZxZZ ≤≤− . Como 95,157,095,1 ≤≤− se acepta la hipótesis nula con una confianza superior al 0,05 (5%), concretamente ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5686,02843,02843,057,0ZP57,0ZP57,0Z57,0P

2843,07157,0157,0ZP157,0ZP2843,07157,0157,0ZP7157,057,0ZP

=+=−>+>=>>−⇒⎭⎬⎫

=−=≤−=−≤=−=>⇒=≤

Con este resultado no hay evidencias suficientes para considerar que la mejora no ha sido debida a la fluctuación natural del proceso. Con el segundo valor (que en principio es muy inferior a la media) las hipótesis y el estadístico de prueba son:

350:H350:H

1

o

≠=

μμ ( ) 00,2

06,13674,622350Xx350Z i −=

−=

−=

σ

Como 95,100,295,1 <−>− se rechaza la hipótesis nula con una probabilidad de error (o nivel de significación) de tipo I (rechazar la hipótesis nula cuando es correcta) menor de 0,05 (5%), concretamente ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0456,00228,00228,000,2ZP00,2ZP00,2Z00,2P

0228,09772,0100,2ZP100,2ZP0228,09772,0100,2ZP9772,000,2ZP

=+=−<+>=>>−⇒⎭⎬⎫

=−=≤−=−≤=−=>⇒=≤

Con este resultado hay evidencias para considerar que el proceso no mejora con la modificación sino que empeora.

Distribución normalHipótesis nula Ho y alternativa H1

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

-5 -4,5 -4 -3,

5 -3 -2,5 -2 -1,

5 -1 -0,5

-1,02

7E-15 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5

HoalfaalfaH1beta



Ejercicio 41.- Test de hipótesis. En el ejercicio 11, debido a un cambio en el proceso de producción se ha obtenido un resultado de magnitud 650. Si la media de la población se toma del promedio de las muestras, y la desviación típica de la población es desconocida, con valor estimado de 6,45, determinar si el resultado ha sido debido a la mejora del proceso o fruto de la fluctuación aleatoria, con un nivel de significación de 0,05. Se desea que el rechazo del test de hipótesis sea conclusión fuerte. Se considera la hipótesis bilateral en la que el rechazo de la hipótesis nula (conclusión fuerte) reafirma que el resultado es fruto de la mejora del proceso

650:H650:H

1

o

≠=

μμ

Se toma como estadístico de prueba la función t de Student (no se conoce ni la media ni la desviación típica del universo)

( ) 79,2

445,6650641

NS

XXt

m

−=−

=−

=μ

Los límites superior (tls) e inferior (tli) de aceptación se determinan considerando la mitad del índice de significación en cada cola de la hipótesis bilateral, y son

( ) 182,3ttt0250,02

ttP 3,025,01N,2

lslsm

===⇒==>−

αα

( ) 182,3ttt0250,02

ttP 3,025,01N,2

lilim

===⇒==−<−

αα

El criterio de aceptación de la hipótesis nula es ( ) lsili txtt ≤≤− . Como 18,379,2182,3 ≤−≤− se acepta la hipótesis nula. El error de tipo I se obtiene de

[ ] [ ] 005,079,2tPHrechazoP 3,025,0verdaderaHoo

<−<==α



Ejercicio 42.- Gráficos X-R. Realizar los gráficos X-R correspondientes a las muestras de datos del ejercicio 11. Los valores de las medias y los rangos de las muestras son:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 M21 M22 M23 M24 M25Media 636,0 640,0 636,0 665,0 639,0 640,0 643,0 637,0 646,0 642,0 639,0 638,0 640,0 641,0 645,0 634,0 636,0 642,0 637,8 651,0 640,0 639,0 639,0 638,0 641,0

Recorrido 8,0 10,0 6,0 10,0 10,0 9,0 5,0 8,0 4,0 11,0 3,0 4,0 12,0 7,0 8,0 10,0 12,0 30,0 6,0 11,0 8,0 7,0 6,0 8,0 6,0 Ajuste

Fórmula Valor Fórmula Valor

LCx M

XXLCx m

m∑== 641,0 LCr

M

RRLCr m

m∑== 8,76

LSCx RAXLSCx 2+= 647 LSCr RDLSCr4

= 20,0

LICx RAXLICx2

−= 635 LICr RDLICr3

= 0 Valores Valores A2 0,73 D4 2,28 D3 0

Gráfico X (Exactitud)

630,0

635,0

640,0

645,0

650,0

655,0

660,0

665,0

670,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestas

Valo

res

Valores muestralesLCxLSCxLICx

Gráfico R (Precisión)

0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestras

Val

ores

Valores muestralesLCerLSCerLICer



Las muestras 4, 16 y 20 están fuera de los límites de control de exactitud, mientras que la muestra 18 está fuera de los límites de control de precisión. Se considera que las causas que provocan que estas muestras estén fuera de control son asignables, por lo que se eliminan del ajuste. Control Los valores de las medias y los rangos de las muestras (eliminadas las anteriores son) son:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15 M16 M17 M18 M19 M20 M21Media 636,0 640,0 636,0 639,0 640,0 643,0 637,0 646,0 642,0 639,0 638,0 640,0 641,0 645,0 636,0 637,8 640,0 639,0 639,0 638,0 641,0

Recorrido 8,0 10,0 6,0 10,0 9,0 5,0 8,0 4,0 11,0 3,0 4,0 12,0 7,0 8,0 12,0 6,0 8,0 7,0 6,0 8,0 6,0 Se toman los valores de os límites asociados al estudio de los gráficaso X-R en los que se desconoce la media y la desviación típica del universo.

Fórmula Valor Fórmula Valor

LCx M

XXLCx m

m∑== 639,7 LCr

M

RRLCr m

m∑== 7,52

LSCx RAXLSCx 2+= 645,1 LSCr RDLSCr4

= 17,15

LICx RAXLICx2

−= 634,2 LICr RDLICr3

= 0 Valores Valores A2 0,73 D4 2,28 D3 0


630,0

635,0

640,0

645,0

650,0

655,0

660,0

665,0

670,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestas

Val

ores

Valores muestralesLCxLSCxLICx


0,0

5,0

10,0

15,0

20,0

25,0

30,0

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestras

Val

ores

Valores muestralesLCerLSCerLICer



Conclusiones: Todos los puntos salvo el de la muestra 8 en exactitud se encuentran dentro de los límites de aceptación, por lo que se admite la hipótesis de que la fluctuación del sistema es la normal, considerando que ese punto está dentro del 0,2% de los que pueden estar fuera de los límites.

Ejercicio 43.- Capacidad de procesos. Pasado un cierto tiempo los promedios y rangos de 15 muestras del sistema correspondiente al ejercicio 11 son los siguientes:

M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7 M8 M9 M10 M11 M12 M13 M14 M15Media 634 637 641 635 641 650 645 651 647 648 647 646 647 647 646

Recorrido 25 27 24 27 16 13 18 13 12 16 18 22 19 24 25 Comprobar si están dentro de los límites de las gráficas X-R, teniendo además en cuenta que las especificaciones del cliente son: magnitud 640, tolerancia 10. Determinar la capacidad de proceso.

LCx 639,7 LCex 640M == Cep 1S6

LIELSECX

exexEP =

−=

LSCx 645,1 LSCex 66906,293,193640

dR3M

2=⋅+=+= CRp 13,0

S6LIELSEC

R

exexRP =

−=

LICx 634,2 LICex 61106,293,193640

dR3M

2=⋅−=−=

LCr 7,52 LCer 52D==

LSCr 17,15 LSCer 83,7357,4

3DD2 ===

LICr 0 LICer 0


630

635

640

645

650

655

660

665

670

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestas

Val

ores

Valores muestralesLCxLSCxLICxLCExLSExLIEx




0

5

10

15

20

25

30

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25Muestras

Val

ores

Valores muestralesLCerLSCerLICerLSCerLICer

Conclusiones: En lo que corresponde a exactitud, partir de la muestra 5 todas las muestras están fuera de los límites de control, luego el sistema está fuera de control. Sin embargo todos los puntos están dentro de los límites de especificación, por lo que aunque el producto cumple con las especificaciones del cliente, se debe de revisar el procedimiento para volver a tenerlo bajo control.

En lo que corresponde a la precisión las muestras de 1 a 4, la 5 y de 11 a 15 están fuera de control, estando todos los puntos fuera de la especificación del cliente, por lo que, en lo que a precisión se refiere el sistema está fuera de control y de especificación del cliente, por lo que no es válido.

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Tema 4.3 prácticas resueltas 1-26