Uni 2015 ii matematica

SOLUCIONARIO

Examen UNI 2015 – II

Matemática

Proh

ibid

a su

ven

ta

www.trilce.edu.pe 1

, 2 ,x x x0 75 1 52

, .( )

Tiene un m nimocuando xno tiene m ximo

2 2

0 75í

á

# + −

=

_ _i i1 2 3444 444

∴ x= 0,75g→ w1= 0,75g

w2= 1–0,75= 0,75g

OBS: De las alternativas la recaudación mayor se obtiene para w1= 0,3 y w2= 1,2g; sin embargo estamos considerando w1= w2= 0,75 g como pesos óptimos para que ambos tengan las mismas posibilidades de venta.

Rpta.: 0,75 y 0,75

Pregunta 02

20 escolares asisten al centro recreacional Huampaní, los cuales llevan celular, cámara o ambos. Se sabe que 5 escolares llevan ambos accesorios y la proporción de escolares con solo cámara es a los escolares con solo celulares como 1 es a 2.

Se forman grupos de 5 estudiantes para competir en diversos juegos. ¿De cuántas maneras se pueden formar los grupos que tengan un accesorio solamente del mismo tipo?

A) 250

B) 251

C) 252

D) 253

E) 254

Pregunta 01

El precio de un diamante es directamente proporcional al cuadrado de su peso. Así, un diamante cuyo peso es 1,5 gramos cuesta S/. 18 000. Si este diamante se parte en dos pedazos, ¿cuál sería el peso (en gramos) de cada parte para tener un precio total óptimo?

A) 0,3 y 1,2

B) 0,5 y 1

C) 0,6 y 0,9

D) 0,7 y 0,8

E) 0,75 y 0,75

Resolución 01

Magnitudes proporcionales

PRECIO DP PESO2

S/ 18 000 S/. P1 S/. P2

, g1 5 = x + , x1 5 -

, ,8000

xP

x

P

1 5 1 518 000

21

22

2=−

= =_ _i i

P1=8000x2

P2=8000(1,5-x)2

Precio total:

P1+P2=8000[x2+(1,5-x)2]

Como:

, ,x x x x2

1 52

1 52 2

#+ − + −_ _i i

0,75,x x

21 52

#+ −_ i

, ,x x x0 75 2 1 522 2# + −_ _i i

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MatemáticaExamen UNI 2015 – II

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ven

ta

2

Resolución 02

Análisis combinatorio

Combinaciones

x210S x

5S5

0

celular cámara(20)

Luego

2x+5+x=20

x=5

Formamos grupos de 5 estudiantes que tienen solo un accesorio.

°

°

° 1

N de maneras

grupos

con solo

celular

grupos

con solo

c mara

N de maneras

N de maneras

N de maneras1 2 3 4 5

10 9 8 7 6

253

á

°

5

10

5

5C C

# # # ## # # #

= +

= +

= +

=

f fp p

Rpta.: 253

Pregunta 03

En un avión, el número abc de personas que viajan satisface 150<abc<300, de los cuales a0c son hombres y ab son mujeres, siendo pasajeros; además, son “c” aeromozas y “a” pilotos. Determina la suma de los dígitos luego de calcular cuántos hombres más que mujeres hay en el avión en total.

A) 9

B) 14

C) 15

D) 16

E) 17

Resolución 03

Cuatro operaciones

AdiciónDel enunciado, tenemos que:

150<abc<300

12

Además:

Nº hombres: a0c +Nº mujeres: abNº aeromozas: cNº pilotos: a

abc

Luego:

a0c+ab+c+a=abc(100a+c)+(10a+b)+c+a=100a+10b+c

11a+b+c=10b11a+c=9b

1 7 22 5 3

→ abc=127 (no cumple)→ abc=235 (sí cumple)

Piden:

207 28 179hom

total

bres

total

mujeres( )205 2 23 5

− = − =

+ +

d fn p1 2 344 44 1 2 344 44 (Scif)=1+7+9=17

Rpta.: 17

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ibid

a su

ven

ta

3

Pregunta 04

Determina el valor de (a+b+c), si:

a1a+a2a+a3a+ .... +a9a= bcd4

A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

E) 22

Resolución 04

Cuatro operaciones

AdiciónEscribiendo la operación de forma vertical

a 1 a +

a 2 a

a 3 a

a 9 a

b c d 4

5

5 9 06

9a=..45

Piden:a+b+c=206 5 9

∴ 20

Rpta.: 20

Pregunta 05

En la diferencia que se muestra:

91001 – 71001= ..... a, donde la cifra de las unidades es “a”, halla a3+a2+2

A) 8

B) 10

C) 12

D) 14

E) 16

Resolución 05

Divisibilidad

Restos potenciales

91001=10° +9, ya que 92=81=10° +1 ∧ 91001=(92)500.9=(10° +1)500.9

71001=10° +7, porque 74=2401=10° +1 ∧ 71001=(74)250.7=(10° +1)250.7

Entonces:

91001–71001=(10° +9)–(10° +7)=10° +2

91001–71001=............a, a=2

Piden: a3+a2+a=23+22+2=14

Rpta.: 14

Pregunta 06

Sea ab un número primo mayor que 40.

Determina el número de divisores que tiene el

número ababab00.

A) 121

B) 144

C) 288

D) 432

E) 576

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ta

4

Resolución 06

Números primos

Cantidad de divisores

Cant. Div. = (2+1)(1+1)(2+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)

= 3 . 2 . 3 . 2 . 2 . 2 . 2

= 288

ababab00=1010100.ab

= 22.3.52.7.13.37.ab Está descompuesto

canónicamente, ya que ab es un n° primo mayor

que 40.

Rpta.: 288

Pregunta 07

Sea A un número entero positivo de 10 cifras y

B= 0,abcdefg, donde g≠ 0.

Del producto AB, se afirma que

I. es un entero.

II. puede ser entero que tiene dos cifras.

III. puede ser un entero con parte entera no nula y parte decimal no nula.

¿Cuáles de estas afirmaciones son verdaderas?

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo II y III

Resolución 07

Números racionales

DecimalesI. No necesariamente. Ejemplo:

Sea: A = xyzw . 106 (w≠0)

y B = g × 10-7 (g≠0)

A . B = xyzw × g × 10-1

Resulta un número decimal exacto con parte entera no nula y parte decimal no nula.

II. Falso

10 10

A B

A

B10 10

10 10<

<

<

9 10

2 10

7 0

$#

#

#−

mínimo valor 100

III. De “I” se deduce que es verdadero

Rpta.: Solo III

Pregunta 08

Dada la sucesión

, , , ...a a a a3 3 3 3 3 3 3 3 3

n radicales1 2 3 n= = = =

1 2 3444 44

Calcula: .

.E

a a

a a2

2

2004 2005

2003 2006=

A) 31

B) 33

C) 1

D) 3

E) 3

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ta

5

Resolución 08

Sucesiones

Regla de correspondenciaCálculo de la regla de correspondencia:

....a

a a

3 3 3

3 1

n

n n

=

= −

entonces: a a32004 2003= ; a a32006 2005=

Reemplazando:

[ ]

. [ ](3. )

. ( . )E

a a

a aa a

a a

3

3 312

22005

2003 2005

2003 2003

2003 2005

2005= = =

Rpta.: 1

Pregunta 09

Sea {x; y}⊂R de modo que:

x y x y x y3 21

2 31

54

−+

+=

+

El valor de x y

x y2

2−+

es:

A) 97

B) 1

C) 79

D) 2

E) 719

Resolución 09

Operaciones con polinomios

Productos notables

Sabemos si a b a ba b1 1 4

$+ =+

=

Del problema

3x - 2y = 2x+3y

x = 5y

Piden:

x yx y

yy

22

97

97

−+

= =

Rpta.: 97

Pregunta 10

Una raíz de la ecuación x4+mx2–2(m+2) es el triple de otra raíz; entonces, uno de los valores de “m” es:

A) –26

B) –25

C) –20

D) –15

E) –10

Resolución 10

Ecuación polinomial

Ecuación bicuadradaDe la ecuación bicuadrada

x4 + mx2 - 2(m+2) = 0

se tienen las raíces a; -a; b; -b

Del dato: b = 3a

Por propiedad:

a2 + b2 = -m ∧ a2b2 = -2(m+2)

a2 + (3a)2 = -m a2(3a)2=-2(m+2)

10a2 = -m 9a4=-2(m+2) .... (2)

100a4 = m2 .... (1)

Dividiendo (1) y (2), se tiene:

0= 9m2 + 200m + 400

0= (9m + 20)(m+20)

m= –20/9; m = -20

Rpta.: -20

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6

Pregunta 11

Sea “f” una función definida por:

( ) ( 2) 2; 0 2

( ) ;f x x x

x x4 6 2 4

2

2# #

# #

= − − +

− − +)

Determina la función inversa de “f”.

A) ( ) ;

;f x x x

x x

2 2 2 2

6 4 2 6

# #

# #= − + −

− +)

)

B) ( ) 2; 0 4

;f x x x

x x

4

6 1 4 6

# #

# #= − +

− +)

)

C) 2; 0 1

;f x x

x x

1

3 4 1 3

# #

# #= − +

− +))

D) ( )2; 0

;

f xx x

x x

5 1 51

3 51 3

# #

# #

=− +

−

) *

E) ( ) 2 ; 2 2

;f x x x

x x

2

4 6 2 6

# #

# #= − − −

− −)

)

Resolución 11

Funciones

Función inversaDe la función:

; ...

6; 2 ...f x x x f

x x f

2 2 0 2

4 4

21

22

# #

# #

− − +

− − +^ ^

^h h

h*

Siendo inyectiva, se calcula f−1

• En f1:

y=−(x−2)2+2

(x−2)2=2−y

2x y2− = −−S

−(x−2)= y2 -

x=2− y2 -

→ f x2 211 = − −−

• En f2:

y=−(x−4)2+6

(x−4)2=6−y

x y4 6− = −−S

−(x−4)= y6 -

x=4− y6 -

→ f x4 621 = − −−

∴ 2 ; 2

4 ; 2 6f x x

x x

2 2

6

1 # #

# #= − − −

− −−)

Rpta.: ( ) ;

;f x x x

x x

2 2 2 2

4 6 2 6

# #

# #= − − −

− −)

)

Pregunta 12

Señala la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposición es verdadera (V) o falsa (F):

I. Toda recta en el plano XY representa a una función lineal.

II. Toda función f: A→B sobreyectiva es una función inyectiva.

III. Si f ⊂ A×B es una relación tal que para cada par (x,y); (x,z)∈f implica y=z, entonces “f” es una función inyectiva.

A) V V V

B) V V F

C) V F F

D) F V F

E) F F F

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7

Resolución 12

Funciones

Definiciones básicasSegún la teoría, tenemos:

I. Falso

• Toda recta que no sea vertical es gráfica de una función.

II. Falso

• Una función sobreyectiva no necesariamente es inyectiva.

III. Falso

• La regla dada corresponde al teorema de unicidad para la existencia de función.

Rpta.: F F F

Pregunta 13

Indica la alternativa correcta después de determinar si dicha proposición es verdadera (V) o falsa (F) según el orden dado.

I. ii

11 100

k

k

0

100 4

−+ =

=c m/

II. El módulo del número complejo

( , )( , ) ( , )

w 2 11 2 3 4= es 5.

III. La suma de los números complejos que satisfacen la ecuación:

(x+1)2+2i= 4+(3+y)i es (-2;-2)

A) V V V

B) F V F

C) F F V

D) F V V

E) F F F

Resolución 13

Números complejos

Cantidades imaginarias

I. ii

11 1 101

k

kk

k0

100 4

0

100

−+ = =

= =c m/ / ....... (F)

II. .

W5

5 55= = ....... (V)

III. (x+1)2 = 4 → x1 = -3 x2=1

y+3 = 2 → y = -1

Luego:

Z1 = - 3 - i

Z2 = 1 - i

Z1+Z2 = -2-2i = (-2,-2) ....... (V)

Rpta.: F V V

Pregunta 14

Dado el conjunto solución CS= ; ;a b0 , 3 de la inecuación (Lnx-2)(x-1)> 0,

determina el valor de E Ln ab= ` j

A) 1

B) e

C) 2

D) e2

E) 3

Resolución 14

Logaritmos

Inecuaciones logarítmicasSi (lnx-2)(x-1) > 0

i. Aplicando la regla de signos

lnx-2 = 0 ; x-1 = 0

x = e2 ; x = 1

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8

1 e2 +∞-∞

++ -

Si = <-∞;1> ∪ <e2; +∞>

ii. Condición de existencia del logaritmo:

x>0 → Sii = <0;+∞>

C.S. = Si ∩ Sii

C.S. = <0;1> ∪ <e2; +∞>

Piden: ( )Ln ab Ln e

1

2=

= 2

Rpta.: 2

Pregunta 15

Sea A una matriz de orden 3×3 tal que A3=-I, I matriz identidad. La adjunta de la matriz A10, Adj(A10), es igual a:

A) A

B) –A

C) |A|A–1

D) -|A|A–1

E) -|A|A

Resolución 15

Matrices

Matriz inversaDato : A3=-I → A10=-A

Nos piden : Adj(A10)=Adj(-A)

Luego : Adj (-A)=|-A|.(-A-1)

También : |A|=-1

→ Adj(-A)=-A-1=(-1).A-1

Finalmente : Adj(A10)=|A|A-1

Rpta.: |A|A–1

Pregunta 16

Identifica el gráfico que mejor representa al conjunto solución del sistema.

x + y > 0

–3x – 3y ≥–6

A)

B)

C)

D)

E)

Resolución 16

Gráficas de relaciones

Planos originados por rectasEl sistema dado se puede reescribir así:

............ ( )2........ ( )

y xx y

12

>#

−+

)

Graficando (1):

y

x

S1

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ta

9

Graficando (2):y

S2

x

2

2

Finalmente la intersección de S1 y S2 será la solución del sistema.

y

x

2

2

Rpta.:

Pregunta 17

Dadas las siguientes proposiciones:

I. En un problema de programación lineal, el valor de la función objetivo es alcanzado en un vértice de la región admisible.

II. Si a la región admisible de un problema de programación lineal se le adiciona una nueva restricción de la forma ax+by≤c, el valor óptimo de la función objetivo no varía.

III. Si (x*, y*) es la solución de un problema de maximización y z* es el valor óptimo, se tiene entonces que z*≥ax+by para todo (x,y) en la región admisible, (ax+by es la función objetivo).

Son correctas:

A) Solo I

B) I y II

C) I y III

D) Solo III

E) I, II y III

Resolución 17

Programación lineal

OptimizaciónSegún la teoría, tenemos:

I. Verdadero

• Teorema fundamental de la programación lineal.

II. Falso

• Si la restricción se ubica dentro de la región factible, el problema puede variar.

III. Verdadero

• Para este caso, el valor óptimo verifica la condición dada.

Rpta.: I y III

Pregunta 18

Señala la alternativa que presenta la secuencia correcta, después de determinar si la proposiciones es verdadera (V) o falsa (F):

I. Sea f una función polinomial y (xn) una sucesión convergente. Entonces, la sucesión (yn), donde yn= f(xn), es convergente.

II. Para todo ;x 1 1–d se cumple

Xx 1

1K

K

0R = -

3

=

III. Toda sucesión alternante es convergente.

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10

A) V V F

B) V F V

C) V F F

D) F F F

E) F F V

Resolución 18

Series

Valor de convergenciaSegún la teoría, tenemos:

I. Verdadero

• f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+...+an; a0,a1,a2, ... ∧ an∈R

yn=f(xn)→Lim yn=límf(xn)

Lim yn=f(lim(xn))

Lim yn=f(L)

Lim yn=C∈R

II. Falso

S x x11k

k 0

= = −3

=/ ¡Suma límite!

III. Falso

• Por ejemplo, la sucesión {(-1)n} no es convergente

Rpta.: V F F

Pregunta 19

Considera CS el conjunto solución de la siguiente inecuación:

log logx x<4 , con x<10

Determina el valor de M= card(CS∩Z), donde card denota la cardinalidad de un conjunto.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

Resolución 19

Logaritmos

Inecuaciones logarítmicas

Se tiene ;Log x Logx x 10< <4

(*) x>0 ∧ Log x>0

x>1

De la inecuación: Logx Logx41 <

x∈<1;1016>

Luego el CS:

x∈<1;10>→CS∩Z={2;3;4;5;6;7;8;9}

M=card(CS∩Z)=8

Rpta.: 8

Pregunta 20

Dado el sistema de ecuaciones lineales

x+2Ky+z= 4

x–y–z= –8

–x+y+Kz= 6

determina el o los valores de K para que el sistema tenga solución única.

A) ;1 21

R -$ .

B) ;1 21

R -$ .

C) R {2;–1}

D) R –{–2;1}

E) ,1 21

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ta

11

Resolución 20

Sistemas de ecuaciones

CramerSi el sistema presenta solución única (Ds ≠ 0)

0k

k

111

21

1

11s !i =

−− −

Aplicando el método de la estrella:

(-k+2k+1) - (1+2k2-1) ≠ 0

2k2-k-1 ≠ 0

(2k+1)(k-1) ≠ 0

∴ k ∈ R \ ;1 21-$ .

Rpta.: ;1 21–R $ .

Pregunta 21

La base de un triángulo isósceles mide 2 m. Si las medianas relativas a los lados

congruentes se cortan perpendicularmente, entonces determina el área del triángulo (en m2)

A) 1

B) 1.5

C) 2

D) 2.5

E) 3

Resolución 21

Áreas

Áreas de regiones triangulares

45° CA R

M

B

G

N

22

2

2

Piden: A TABC

G→ baricentro

AGC:GR= 22

BG=2GR= 2

∴ ATABC= .A22

1 5ABC2

3 2

&#

=T

Rpta.: 1,5

Pregunta 22

Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores dos a dos, con centros A, B y C respectivamente, donde AB= 5 cm, AC= 7 cm

y BC= 8 cm. Si M∈BC es un punto común de

tangencia entre dos circunferencias, determina

AM en cm.

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ta

12

A) 16

B) 17

C) 18

D) 19

E) 20

Resolución 22

Relaciones métricas

T. Stewart

5

7

8

3x

5

B

C

A M

a

c

b

Piden “x”

a+b=5 a=2

b+c=8 b=3

a+c=7 c=5

T. Stewart:

52.5+72×3=x2.8+3.5.8

∴x= 19

Rpta.: 19

Pregunta 23

Sean L1 y L2 dos rectas que se cruzan.

L3 es una recta contenida en el mismo plano

de L2 tal que L3 ⊥ L2 y R= L2 ∩ L3 . El

triángulo RQP (P∈ L1 ) es recto en Q∈ L2 .

Si QRT (T∈ L3 ) es un triángulo isósceles con

QT= 6u y PR= 3RT, determina la distancia

(en u) entre L1 y L2 .

A) 3 2

B) 6 2

C) 8 2

D) 12

E) 13

Resolución 23

G. Espacio

Rectas y plano

P

QR3 2

92

3 2

6 T

L2

L3

L1

3 2

9

QRT NOTABLE

QP RT

PR 2&

3

= ==

PQR: PQ2=(9 2 )2-(3 2 )2

∴ PQ=12

Rpta.: 12

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13

Pregunta 24

En la figura, si AF//DE, AF= 11 cm, BD= 3 cm,

BE= 4 cm y AC= 722 7 cm, entonces BC

AB

es:

E CA

B

D

F

A) 2 7

1

B) 7

1

C) 7

2

D) 7

3

E) 7

4

Resolución 24

Relaciones métricas

RM en el triángulo rectángulo

F

A E C

4k 7k

11

D

3B

4xy

Se pide: yx =?

FAC ∼ DEC

ECAC

711=

ABC: .

( ) .

x k k

y k k

11 4

11 7

2

2 '==^ h 4

∴ yx

72=

Rpta.: 7

2

Pregunta 25

Una recta corta perpendicularmente a dos planos paralelos en los puntos A y B. Otra recta corta a dichos planos en C y B. Determina el área (u2) del triángulo ABC, si se sabe que la distancia entre los planos es 12u y BC= 13u.

A) 24

B) 26

C) 30

D) 32

E) 36

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

14

Resolución 25

Geometría del espacio

Planos y rectasPiden: SABC

B

A C

12 13

5

Por Pitágoras

(AC)2 = 132 - 122

AC = 5

S x2

5 12ABC =

SABC = 30

Rpta.: 30

Pregunta 26

ABCDEFGH es un octógono regular inscrito en una circunferencia de radio R= 2 2+ . Si

AF=b y AC=a, entonces abb a2 2 2 2+ −

es igual a:

A) 31

B) 21

C) 1

D) 2

E) 3

Resolución 26

Polígonos regulares

PTolomeo

Dato: R= 2 2+

a

R

R

R

abO

b

A

B

C

D

E

F

G

H

8,

Pide: M= ( )ab

R b a2 2-

PTolomeo::ACEF

ab+a8, =(2R)b

Obs:8, =R 2 2-

8, = 2 2+ . 2 2-

8, = 2 &Reemplazando

*ab+a( )2 =(2R)b

∴ M= abab a a2 2

1+ −

=

Rpta.: 1

Pregunta 27

Se tiene un tronco de pirámide triangular

cuyas bases son ABC y A’B’C’, siendo ABC un

triángulo equilátero de lado 4,cm. M y N son los

puntos medios de A’C’ y B’C’ respectivamente.

Si las distancias de los puntos M, C’ y N al

plano de la base ABC son 2,cm, ,cm y 23,cm,

respectivamente, halla el volumen (en cm3) del

tronco de pirámide.

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

15

A) 4,3 3

B) 5,3 3

C) 6,3 3

D) 7,3 3

E) 8,3 3

Resolución 27

Tronco de Prisma

Nota: En el problema debe decir tronco de prisma

3,2,

,

2,

4,4,4,

RT

F

23,

B'N

B

A

A'M

Q

E

C'

C

Piden: Vtronco prisma

trapecio A’C’FE: A’E=3,

trapecio B’C’FR: B’R=2,

V 33 2

prismaBASE

, , ,T=

+ +Tronco

_ i

=V 44 3

2prisma

2,,Tronco

__

ii

8V 3prisma

3,=Tronco

Rpta.: 8 33,

Pregunta 28

Se tiene un cilindro oblicuo con diámetro

de la base AB= 10 cm y generatriz CB. Se

prolonga AB hasta el punto D de tal forma

que CD= 12 cm. M es punto medio de BC,

mBBCD= a y la mBBDM=90°−mBBCD.

Si a<mBCBD, halla el volumen del cilindro

(en cm3).

A) 200 π

B) 250 π

C) 300 π

D) 350 π

E) 400 π

Resolución 28


CilindroPiden: VCIL.=?

A B

M

90-aa

a

a5 5

D

N

C

12

90-a

Trazamos MN BC

BMND Inscriptible

mBNDB=90°

∴ VCIL.=π(5)2(12)

VCIL.=300π

Rpta.: 300 π

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

16

Pregunta 29

Si una esfera de radio r cm se inscribe en un cono recto equilátero cuyo radio de la base mide R cm, entonces la razón entre dichos volúmenes, respectivamente, es:

A) 95

B) 94

C) 31

D) 92

E) 91

Resolución 29

Cono y esfera

Piden:V

V

cono

esf

30°R 3

RR

2R

V

V

cono

esf =( ) ( )R R

R

31 3 3

34

2

3

r

r

∴V

V

cono

esf =94

Rpta.: 94

Pregunta 30

Se tiene un tetraedro regular ABCD. Si la distancia del centro de la cara ABC a la altura del tetraedro trazada desde el vértice B es d, determina el volumen del tetraedro.

A) 162 3+^ h

d3

B) 25

45^ h

d3

C) 427 6 d3

D) 27

147

d3

E) 2427 8 d3

Resolución 30


Poliedros regulares

,

d23

d3 3

A

C

M

D

H

3d

Gd

B

2,

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

17

Piden: Vtetraedro

*

* :

MH d

H baricentro del ACD

HD d

CD d

Vd

V d

23

3

3 3

123 3 2

427 6

tetraedro

tetraedro

3

3

M

M

3

`

`

=

==

=

=

^ h

Rpta.: d427 6 3

Pregunta 31

Determina el volumen generado por el segmento que une los puntos (0,0) y (3,4), al ser rotado en torno de la recta diagonal del primer cuadrante del plano.

A) 67r

B) 6 27r

C) 6 37r

D) 4 27r

E) 2 37r

Resolución 31


Cono

y

x(0;0) O

5 Q8º

45º

P(3;4)

Piden: Vsol

* QPO (Notable: 8º y 82º)

PQ 22=

2OQ 2

7=

*Vsol 22

27 2

31

2

r= d n

∴Vsol6 27r=

Rpta.: 6 27r

Pregunta 32

Se tienen dos planos, P y Q, perpendiculares

entre sí, y se cortan según una recta L. La recta

que une un punto A de P con un punto B de Q

forma con P un ángulo de 30º y con Q de 45°.

Calcula la medida de AB si la distancia mínima

entre la recta L y AB es cm4 3 1-_ i .

A) 4 cm

B) 6 cm

C) 8 cm

D) 10 cm

E) 12 cm

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

18

Resolución 32


Rectas y planosPiden:

S

Q

P

a 2

a 2A

B

a

2a

a

A’

30º

45º

L

E B’

En el plano “S”A’

B’E a

a 2a 3

( )4 3 1-

• RMTR: . .4 ( 1)a a a2 3 3= −

( )a2 4 6 3 1= −

∴ 2a = 7,172

Rpta.: La respuesta es 7,172 no se encuentra clave en el problema

Pregunta 33

Dada la parábola P: y=x2 y la recta L: x–2y= 10, halla la distancia (distancia mínima) entre ellas.

A) 4079 5

B) 3980 5

C) 3979 5

D) 3981 5

E) 4081 5

Resolución 33

Secciones cónicas

Parabola

0

y=x2

Graficando:

x-2y-10=0

P(x;x2)x

y

Q

Distancia de un punto a la recta:

( )

PQx x

PQx x

52 10

5

2 2 10

2

2

; ;

; ;

=− −

=− +

Completando cuadrados

( )PQ

x

5

2 41

8792; ;

=− +

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

19

Como PQ es mínimo

PQ5

0 879

; ;=

+

PQ 4079 5=

Rpta.: 4079 5

Pregunta 34

Si se cumple que:

. .cosa x b sen x a bab4 4+ = +

Calcula el valor de Tg2x.

A) ba 1+

B) ab 1+

C) ab

D) ba

E) abab 1+

Resolución 34

Identidades trigonométricas

Identidades trigonométricas auxiliaresDel dato:

( ) ( )1cosab

a a bx ab

b a bsen x4 4+

++

=

( 1) (1 ) 1cosba x a

b sen x4 4+ + + =

1cos cosba x x sen x a

b sen x4 4 4 4+ + + =

0cos cosba x sen x x a

b sen x24 2 2 4− + =1 2 344444444 44444444

( ) 0cosba x a

b sen x2 2 2− =

cosba x a

b sen x2 2=

tg x ba2 =

Rpta.: ba

Pregunta 35

Sea la función y= A.arc sen(Bx+C)+D (A,B>0), con gráfica

31

y

2r-

2r

23r

x

Calcula K A B C D4r

= + + a k

A) –2

B) –1

C) 0

D) 2

E) 4

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

20

Resolución 35

Funciones inversas

Graficasy=AarcSen(Bx+C)+D

y

x1 2 3

3 2r

2r

2r-

I. Bx+C∈[-1;1]→ ;x BC

BC1 1

!- - -9 C del

gráfico x∈[1;3]

→ 1 ; 3BC B C B

C B C1 1 1 3 1" "− − = + =− − = + =

por lo tanto B=1; C=-2

II. ;arcSen Bx C 2 2!r r+ −_ i 9 C

;y A D A D2 2!r r− + +9 C

del gráfico ;y 2 23

!r r-9 C

→ ;A D A D2 2 2 23r r r r− + =− + = por lo tanto:

A=2; D 2r=

III. Piden: K A B C D4r

= + + a k reemplazando k=-1

Rpta.: -1

Pregunta 36

Determina el dominio de la función con regla de correspondencia:

4secf x x tg x2 32 44= − − −_ i

A) n n Z4 !r% /

B) n n Z42 1

!r+% /

C) n n Z2 !r% /

D) {nπ/n∈Z}

E) {2nπ/n∈Z}

Resolución 36

Funciones trigonométricas

Dominio de una función

( ) 4secf x x tg x2 32 44= − − −

I. (2 1) /2cos x x n0"! ! r+

II. 2 3 0sec x tg x2 4 "$- -

2(1 ) 3 0;tg x tg x2 4 $+ − −

2 1 0tg x tg x4 2 #− + ( 1) 0 1 0tg x tg x2 2 2" "#− − =

1 1tg x tgx2 " !=( )

/Dfn

n Z42 1

dr=

+' 1

Rpta.: /n n Z42 1

dr+$ .

Pregunta 37

Si para f∈[0,2π] se tiene

senf+cosf+sen2f=[senf+cosf+A]2+B, entonces (2A+4B) es igual a:

A) –1

B) –2

C) –3

D) –4

E) –5

SOLUCIONARIO


CENTRAL: 6198 – 100

Proh

ibid

a su

ven

ta

21

Resolución 37

Identidades trigonométricas del ángulo doble

Identidades trigonométricassenf+cosf+2senfcosf=[senf+cosf+A]2+B

...1+ − =

...cos cos

cos cos

sen sen

sen sen

2 1 12

z z z z

z z z z

+ + + − =

+ +_ _i i1 2 3444 444

Completando cuadrados:

cos cossen sen A B21

452 2

z z z z+ + − = + + +9 7C A

Piden:

A B2 4 2 21 4 4

5 4+ = + − =−a ak k

Rpta.: -4

Pregunta 38

En el círculo trigonométrico de la figura, determina el área del triángulo sombreado.

θ

A) cosθ

B) secθ

C) tgθ

D) senθ

E) cscθ

Resolución 38

Circunferencia trigonométrica

ÁreasDel gráfico: DOMN ≅ DOPQ

∴ Sus superficies son iguales

Piden A+B = Área DMPQ

( )cosA B 2

2 i+ =

A+B=cosθ

θ

C.T.

P

M

N

Q

O

y

x

A

B

cosθ

cosθ

Rpta.: cosθ

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

22

Pregunta 39

En el gráfico mostrado, M y N son los puntos de intersección entre las gráficas de y= x2 e

y=-x+6. Calcula E= 2 tgb+3tgθ.

Nb

θ

M

x

y

y= –x+6

y= x2

A) –2

B) –1

C) 0

D) 1

E) 2

Resolución 39

Reducción al IC

R. T. C. M.Para determinar los puntos M y N resolvemos el sistema de ecuaciones de: y=x2 e y = -x + 6

" x2 = - x + 6

x2 + x - 6 = 0

(x+3)(x-2)=0

x= -3 ∧ x=2

De lo cual

y = 9 ∧ y = 4

∴M(-3, 9) ∧ N (2,4)

En el gráfico

N(2,4)

4

2

9

3

-ba

θ

b

x

yM(-3,9)

Por reducción al IC

• a - θ =180º

a = 180º+θ

tga=tg(180º+θ)

tga = tgθ

tg 93

` i =

• ( )tg 42

b− =

tg 42

` b =−

Calculamos

E= 2tanb + 3 tanθ

E 2 42 3 9

3= − +` `j jE= 0

Rpta.: 0

SOLUCIONARIO


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Proh

ibid

a su

ven

ta

23

Pregunta 40

De la figura, AOB y COD son sectores circulares. Si las áreas de las regiones COD y CABD son S y

3S u2, respectivamente, y L!AB = 4u, determina

la medida del lado OC en función de S.

O

C

A

B

D

A) S

B) 2S

C) 3S

D) 4S

E) 5S

Resolución 40

Sector circular

Superficie de un sector

Por las condiciones indicadas:

O S 3S 5S 7S

propiedad:

O

x

x

x

C

D

A

B

x

3SS 4u

Sector AOB

( ) ( )S x S x4 21 2 4 "= =

Rpta.: S

Engineering

Uni 2015 ii matematica