Unidad 2 analisis de presiones

1

Profesor: Freddy H. Escobar, Ph.D.

EFICIENCIA DE DESPLAZAMIENTO

MACROSCOPICO DE UNA INYECCION LINEAL DE AGUA

UNIDAD 2

2

La eficiencia de recobro total de cualquier proceso dedesplazamiento se da por el producto de la eficiencia dedesplazamiento microscópica ES y la eficiencia macroscópica (ovolumétrica) de desplazamiento, Ev (o C)

• Microscópica es una medida de que tan bien el fluidodesplazante desplaza el petroleo residual

• Macroscópica es una medida de que tan bien el fluidodesplazante contacta las partes de la roca que contienencrudo. Está compuesto por 2 términos:– Eficiencia de barrido areal, ES

– Eficiencia de barrido Vertical, C

INTRODUCCION

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Principios Básicos

DESPLAZAMIENTO MICROSCOPICO DE FLUIDOS INMISCIBLES

AGUA Y PETROLEO SON I NMISCIBLES BAJO CUALQUIER CONDICION DE YACIMIENTO O SUPERFICIE

PRINCIPIOS QUE GOBIERNAN LA INTERRELACION ROCA FLUIDOS

© TENSION INTERFACIAL (INTERFASE FLUIDO - FLUIDO).© MOJABILIDAD (INTERACCION ROCA - FLUIDO).© PRESION CAPILAR ( MEDIDA DE LA CURVATURA DE DOS

FASES EN EL MEDIO POROSO

GAS Y PETROLEO SON INMISCIBLES CUANDO LA PRESION DEL YACIMIENTO ES MENOR A LA NECESARIA PARA ALCANZARMISCIBILIDAD INSTANTANEA O POR CONTACTOS MULTIPLES

INTRODUCCION

Eficiencia Areal de Barrido (Ea)

InyectorProductor

Factores que Afectan la Recuperación de Petróleo

Eficiencia Vertical de Barrido (Eh)

Eficiencia de Desplazamiento (Ed)

Principios Básicos

F.R. Ea x Eh x Ed

INTRODUCCION

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Ea = AREA CONTACTADA POR EL FLUIDO DESPLAZANTE

AREA TOTAL

Eficiencia Areal de Barrido

Eh = AREA SECCION CONTACTADA POR EL FLUIDO DESPLAZANTE

AREA TOTAL DE LA SECCION

Eficiencia Vertical de Barrido

BUCKLEY LEVERETT

COREFLOODS Ev = 1

Ev = VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO POR EL FLUIDO DEZPLAZANTE

VOLUMEN DE PETROLEO ORIGINALMENTE EN EL YACIMIENTO

Eficiencia Volumétrica de Barrido

Ev = Ea x Eh

Principios Básicos

Ed = VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO MOVILIZADO

VOLUMEN DE PETROLEO CONTACTADO

Eficiencia Microscópica de Desplazamiento

INTRODUCCION

20/03/2014 4:27 p. m. MÉTODOS DE RECOBRO 6

Término usado para describir la eficiencia de unproceso de inyección de agua en un volumenespecifico de roca del yacimiento, los procesos dedesplazamiento casi siempre varían con el tiempo,por lo tanto la eficiencia de desplazamientomicroscópico también varían con el tiempo.

INTRODUCCION

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SOLUCIONES DE ESTADO ESTABLE EN SISTEMAS LINEALES

Flujo estable LinealPara flujo lineal en una dimensión:

Si se asume flujo incompresibilidad ( constante) y viscosidades constantes se tiene:



Se bombea agua y aceite a través de un medio porosohomogéneo con porosidad, , diámetro D, y longitud L.

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En x = 0 Po = Poi



En x = 0 Pw = Pwi

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En x = L Po = PoL Pw = PwL



Integrando ambos lados:

Aplicando la condición de frontera en x = 0,

Asumiendo que la Sw es uniforme a lo largo delcorazón, entonces ko sería independiente de x

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En forma similar.


EFECTOS TERMINALES CAPILARES (Capillary end effects)

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CAPILLARY END EFFECTS

Esto ocurre bajo ciertas condiciones especiales

en el laboratorio

Considere el flujo en estado estable de agua y petróleo a través de

un medio poroso

Las 2 fases se encuentran en equilibrio

capilar

La diferencia entre las curvas de presión de agua y petróleo está dada por la curva de

presión capilar y la saturación de agua


CAPILLARY END EFFECTS

En el extremo del corazón, las 2 fases tienen presiones prácticamente iguales, lo que ocasionan un cambio

abrupto de la presión capilar desde un valor finito a un valor casi cero (afuera del corazón).

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CAPILLARY END EFFECTSLas condiciones de frontera para ambas fases enx = L son:

Pc = 0 PwL = PoL = PL

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CAPILLARY END EFFECTSSe estableció para estado estable que……

De donde…..

De la definición de presión capilar:

Pc = Po - Pw


CAPILLARY END EFFECTSDerivando la definición de Pc

La curva de presión capilar es función de lasaturación de agua, Pc=Pc (Sw) y haciendo uso dela regla de la cadena:

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CAPILLARY END EFFECTSDerivando la definición de Pc

La integral se resuelve gráfica onuméricamente.


ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL PARA DESPLAZAMIENTO LINEAL INESTABLE

El desplazamiento de un fluido por otro ocurre bajo estado inestable puesto

que la saturación de fluidos cambia con el

tiempo (pistón)

Esto causa cambios en las permeabilidades relativas con consecuentes cambios de presión o velocidad de

las fases

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ECUACIÓN DE AVANCE FRONTAL

Las saturaciones de agua y petróleo inicialmenteson uniformes

Condiciones iniciales



Hay desplazamiento de crudo. Un frente de agua abruptose desarrolla (gradiente de saturación abrupto). Agua yaceite fluyen simultáneamente detrás del frente. No hayflujo de agua delante del choque ya que kw0.

Vida media de la inyección

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El agua alcanza el otro extremo en elyacimiento, formándose el punto de ruptura.

Ruptura, irrupción (Breakthrough)



La fracción de agua en el extremo se incrementaa medida que se desplaza el petróleo.

Tarde en la inyección

14

27

AguaAceite

Swi

Sor

Desplazamiento tipo pistón

Connate waterAgua connata

Distancia en el yacimiento

Frente


28

Agua

Sat

ura

ció

n

Distancia en el yacimiento

SaturaciónInicial de

crudo

BancoDe agua

inyectada

Aceite

Agua Connata

Sor

Frente


Desplazamiento tipo pistón con fugas

15

29

Sat

ura

ció

n

Distancia

Bancoagua

Bancocrudo

Yacimientoinafectado

AguaAceite

Gas atrapado

Gas libreinicial

Acua connata

-El gas libre se redisuelve en crudo a medida que P-La respuesta del WF ocurre despues del llenado-Entre más depletado el yacimiento, más tiempo toma el llenado

P < Pb



MÉTODOS PARA PREDECIR EL COMPORTAMIENTO EN ESTADO

INESTABLEMétodo de Buckley-Leverett(técnica gráfica)

Solución numérica del sistema deecuaciones diferenciales y parciales

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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETT

SI EL FLUJO ES EN UNA DIMENSION, ESTASECUACIONES SE REDUCEN A….



Multiplicando ambas ecuaciones por el área, se tiene:

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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTPuesto que q = VA

El modelo de Buckley-Leverett considera quetanto el agua como el petróleo sonincompresibles. Asuma, además, que laporosidad es constante:



El modelo de Buckley-Leverett considera quetanto el agua como el petróleo sonincompresibles. Asuma, además, que laporosidad es constante:

Sumando estas ecuaciones, se tiene:

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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTPuesto que So + Sw = 1, entonces:

qo + qw = qt = constante, esto implica que aunquela rata de cada fase varía, la rata volumétrica totalpermanece constante. Defina el flujo fraccional deuna fase, f, como la fracción volumétrica de lafase que esta fluyendo en x, t :


MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTEl flujo fraccional es un balance volumétrico,luego fo + fw = 1. Retome la siguiente ecuación:

Puesto que qt es constante a lo largo del dominio:La saturación de aguaen el medio poroso encuestión es función dedos variables indepen-dientes: x y t.Sw = Sw (x, t)

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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTPara una saturación particular de agua, Sw, suderivada dSw es 0, luego:

x/tSw es la velocidad a la cual la saturación, Sw,se mueve a través del medio poroso. Asuma que fwes únicamente función de la saturación de agua….


MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTfw = fw (Sw)

Cancelando (Sw /x)t y rearreglando:

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MODELO DE BUCKLEY-LEVERETTEste ecuación es la ecuación de Buckley-Leverett (también, llamada ecuación de avance frontal) y expresa que en un proceso

de desplazamiento li-neal, cada saturación de agua se mueve a través

medio poroso a una velocidad quepuede calcularse a partir de la derivada delflujo fraccional con respecto a la saturaciónde agua. Para su desarrollo se asumió:



Flujo incompresible

El flujo fraccional de agua es únicamente función de

la saturación de agua

No hay transferencia de masa entre las fases

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ECUACION DE FLUJO FRACCIONALDe la definición de flujo fraccional, qw = fw*qt

qo = (1 - fw) * qt

Se puede representar flujo estable lineal con fluidosincomprensibles de la siguiente manera:

Aplicando la ley de Darcy, considerando como elángulo en grados formado sobre el plano horizontal…


ECUACION DE FLUJO FRACCIONAL

qw = fw*qt

qo = (1 - fw) * qt

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qw = fw*qt

qo = (1 - fw) * qt



Restando estas dos ecuaciones:

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De la definición de presión capilar y arreglando:



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ECUACION DE FLUJO FRACCIONALHay un rango de saturaciones donde fw yfw no pueden ser calculadas usando la Ec.anterior, luego es conveniente asumirPc /x =0, luego:


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ECUACION DE FLUJO FRACCIONALLa representación de la razón de las permeabilidadesefectivas en coordenadas semilogarítmico natural, resultaen una curva con una porción recta que obedece a laecuación exponencial:

Además, según Larson, cada una de las permeabilidades relativaspuede representarse por las siguientes funciones de Sw:

kro = 1 (1-Sw)m

krw = 2 (Sw)n

Donde 1, 2, m y n son constantes de ajuste.


ECUACION DE FLUJO FRACCIONALSi se sustituyen estos valores en la ecuación de flujofraccional y despreciando la presión capilar se tiene:

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ECUACION DE FLUJO FRACCIONALEsta ecuación se deriva con respecto a la saturación suponiendo quelas viscosidades, razón de factores volumétricos, caudal de inyeccióny las densidades son constantes, para obtener


ECUACION DE FLUJO FRACCIONALEsta ecuación se deriva con respecto a la saturación suponiendo quelas viscosidades, razón de factores volumétricos, caudal de inyeccióny las densidades son constantes, para obtener

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Si el ángulo = 0, entonces,



Es un modelousado para

determinar la fracción de aguadel fluido total en

una posiciónparticular y un tiempo dado en

WF lineal

Permite visualizarprocesos de

desplazamientoinmisciibles como WF y los efectos relativos

de las diferentesrocas, fluidos y propiedades

operacionales en la eficiencia del

desplazamiento

La posición y tiempo del valor

de fw se obtienen

determinando la historia de

saturacion paraesa posicion

Se usa paradeterminar el movimiento

de los frentesde estosfluidos

Es difícilcuantificar la

magnitud real de las fuerzas

capilares (si no imposible) por lo tanto se omitende la ecuacion.

28

55

Avance frontal vs. Bypass• Hay ciertamente una realidad en los procesos físicos

relacionados con recobro, pero hay diferentes formas deinterpretar y modelar la realidad

• Hay dos métodos para describir los modelos dedesplazamiento: Avance frontal (AF) y Bypass (bordear)

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• Casi toda la literatura se basa en el AF. Sinembargo, el de bordeo es más general y capaz derepresentar todos los aspectos del desplazamiento.

• Considere recobro térmico donde la zona barridacontiene una cantidad significante de vapor fluyentey donde la destilación juega un papel importantepara mejorar la calidad el crudo. En condiciones debordeo hay mayor área superficial entre la zonabarrida y no barrida que en el AF

• El modelo de bordeo es más difícil de aplicar,excepto con simulación

Avance frontal vs. Bypass

29

57

Fuerzas viscosas vs. gravitacionales• Usualmente se consi-

dera el desarrollo debordeo debido solo aboyancia

• La figura muestra elefecto de las fuerzasviscosas / gravitacio-nales en la forma de undesplazamiento radialcon vapor cerca al pozoinyector.

s: steam


SOLUCION DE AVANCE FRONTALLos dos fluidos inmiscibles se

consideran incomprensibles

Roca mojada por agua y flujo

monodimensional

Medio poroso homogéneo e

isotrópico

Saturaciones inicialesuniforme a lo largo del

dominio

Limitaciones:

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SOLUCION DE AVANCE FRONTALLa posición de xSw de cualquier saturación Swpuede obtenerse por integración de….

como fw/Sw, es solo función de Sw se puede integrardirectamente:

Si Wi = qt*t

Si fw/Sw puede determinarse con exactitud de un gráfico defw vs. Sw la localización de todas las saturaciones podríandeterminarse siempre y cuando la distancia xSw ≤ L.


SOLUCION DE AVANCE FRONTAL

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SOLUCION DE AVANCE FRONTAL

Lo que realmenteocurre es laformación de unbanco o frente dechoque que tomalugar entre losvalores bajos de Swhasta el punto demáxima velocidad

Dicho comporta-miento es física-mente imposible puesindica que en determi-nado punto delyacimiento coexistenmúltiples saturacionesde agua

Hay una dificultadmatemática para hallarla posición de xSw, loque puede apreciarseen la curva de flujofraccional típica, puestoque existe un punto deinflexión que indica quela derivada (fw/Sw vs.Sw) dará un máximo


SOLUCION DE WELGEEsta última solución fue propuesta por Welge, demodo que cuando:

Swi Sw Swf

Swf Sw 1 – Sor

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METODO DE WELGEEste consiste en integrar la distribución de saturaciónsobre la distancia desde el punto de inyección hasta elfrente, obteniendo la saturación promedia de agua…..


METODO DE WELGELa situación descrita está dada a un tiempo de flujo,antes de la ruptura de agua en el pozo productor,correspondiente a una cantidad de agua inyectada.A dicho tiempo, la máxima saturación de aguaes, Sw = 1 – Sor , se ha movido a la distancia x1,

x x1 2

Swf

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METODO DE WELGE

su velocidad es proporcional a la pendiente decurva de flujo fraccional evaluada para la máximasaturación, la cual es pequeña pero finita. Lasaturación de agua, Swf, situada en el frente deinundación se localiza a una distancia x2 medidadesde el punto de inyección.


METODO DE WELGEAplicando un balance de materia:

Se puede obtener una ecuación para expresar la saturaciónde agua promedia detrás del frente de inundaciónmediante integración directa del perfil de saturación (áreabajo la curva):

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METODO DE WELGEArea bajo la curva?

Recuerde que..


METODO DE WELGEPara un volumen dado de agua inyectada ypara Sw ≥ Swf, la ecuación anterior puedeescribirse como:

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METODO DE WELGE

Sustituyendo


METODO DE WELGE

Sustituyendo

36


METODO DE WELGE1


METODO DE WELGE

Sustituyendo

37


METODO DE WELGE


METODO DE WELGE

38


METODO DE WELGE


METODO DE WELGE

39


METODO DE WELGE


METODO DE WELGE

En la cual tanto fw como su derivada se evalúan ala saturación del frente de inundación, Swf.Igualando con…

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METODO DE WELGE

En la cual tanto fw como su derivada se evalúan ala saturación del frente de inundación, Swf.Igualando con…


METODO DE WELGEPara satisfacer esta ecuación, latangente a la curva de flujo fraccionaldesde el punto (Swc, 0) debe tener unpunto tangencial con coordenadas (Swf,fwf) y la tangente extrapolada debeinterceptar la línea fw = 1 en el punto( , 1).

La determinación de Swf, fwf y sehace gráficamente.

41


METODO DE WELGE


METODO DE WELGE

42


METODO DE WELGE

Haciendo zoom….


43


METODO DE WELGE


CALCULO DE Np

Antes de la ruptura en el pozo productor,la ecuación de avance frontal, puedeusarse para determinar las posiciones delos planos de saturación constante deagua, para Swf < Sw < 1 – Sor , a medidaque el frente se mueve a lo largo delyacimiento.

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CALCULO DE Np

En la ruptura, la ecuación se usadiferentemente para estudiar el efecto deincremento de saturación de agua en el pozoproductor. El caso x = L, la ecuación deavance frontal se puede expresar como:

incremento de saturación


CALCULO DE Np

Donde Swe es la saturación de agua actual enel pozo productor y WiD es el número devolúmenes porosos de agua inyectados(adimensional) sabiendo que:1 PV = L A

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CALCULO DE Np


CALCULO DE Np

Antes de la ruptura, los cálculos de recobro depetróleo son triviales. El recobro de petróleo essimplemente igual al volumen de aguainyectado y no existe producción de agua. Justoen la ruptura el frente de inundación (Swf = )alcanza el pozo productor y el corte de agua seincrementa súbitamente desde 0 a ,lo cual es un fenómeno frecuentementeobservado en el campo y donde el ingenieroconfirma la existencia del frente de choque.

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CALCULO DE Np

En este momento

puede interpretarseen términos de

Para dar


CALCULO DE Np

En la anterior ecuación, todos losvolúmenes están dados en volúmenesporosos adimensionales. En particular, larata de inyección adimensional es qi /LA(PV por unidad de tiempo) lo que facilitalos cálculos del tiempo al cual ocurre laruptura:

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CALCULO DE Np

Después de la ruptura, L permanececonstante en….

y Swe y fwe se incrementan gradualmente amedida que el frente avanza en elyacimiento. Durante esta fase el cálculo derecobro de aceite es algo más complejo yrequiere de la aplicación de la Ec. de Welge...


CALCULO DE Np

Después de la ruptura, L permanececonstante en….

y Swe y fwe se incrementan gradualmente amedida que el frente avanza en elyacimiento. Durante fase el cálculo derecobro de aceite es algo más complejo yrequiere de la aplicación de la Ec. de Welge...

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CALCULO DE Np

Restando Swc de ambos lados se tiene…


PROCEDIMIENTOTrace la curva de flujo fraccional, si es necesariouse efectos gravitacionales, pero desprecie elgradiente de presión capilar, Pc /x.

Trace la tangente a esta curva en Sw=Swc, fw=0. Elpunto de tangencia tiene coordenadas Sw=Swf=Swbt,fw = fwbt y la extrapolación de esta línea a fw=1 dala saturación promedia de agua detrás del frente dechoque o inundación, Sw = Swe. Estime el recobrode crudo en la ruptura.

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PROCEDIMIENTO

Trace la tangente a esta curva en Sw=Swc, fw=0. Elpunto de tangencia tiene coordenadas Sw=Swf=Swbt,fw = fwbt y la extrapolación de esta línea a fw=1 dala saturación promedia de agua detrás del frente dechoque o inundación, Sw = Swe. Estime el recobrode crudo en la ruptura.


PROCEDIMIENTO

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PROCEDIMIENTO

Escoja Swe como variable independiente,permite que su valor se incrementegradualmente, es decir, 5 % por encimade la saturación de ruptura. Cada punto enla curva de flujo fraccional, para Swe > Swbt,tiene coordenadas Swe, fwe y usando….


PROCEDIMIENTOPara cada nuevo valor de Swe se determinagráficamente la Sw correspondiente y elrecobro de aceite se calcula mediante:

El inverso de la pendiente de la curva de flujofraccional da WiD. Esto permite que una escalade tiempo de anexe al recobro puesto que:

WiD = qiD * tiD

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PROCEDIMIENTO

Alternativamente, este ecuación puedeusarse directamente para determinar elrecobro de petróleo mediante laestimación de fwe y WiD de la curva deflujo fraccional para cada valorescogido de Swe.


CONSIDERACIONES ADICIONALESCálculos de producción e inyección

Antes de la ruptura.Se hace la evaluación para diferentes tiempos,distanciados uno del otro por un intervalo constante.

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Después de la ruptura.Los cálculos se hacen para saturaciones promedio deagua detrás del frente menores a (1 - Sor), conintervalos de 0.05.

La relación Agua-aceite producida es:

El agua producida será:



Después de la ruptura.

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CONSIDERACIONES ADICIONALESRecordando la Ec. de fw sin considerar los factores volumétricos:

Defina el flujo fraccional, en superficie como: Reemplazando Darcy

Si la Pc0, entonces Po/x = Pw/x, luego:


CONSIDERACIONES ADICIONALESSimplificando:

Dividiendo el nume-rador y denominadorpor krw /w, resulta:

Multiplicando por Bw,se tiene:

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CONSIDERACIONES ADICIONALESEl flujo estable, horizontal, tipo pistón ocurrirá cuando M < 1.Ms, la movilidad del frente de choque, es un parámetro paracaracterizar la estabilidad del desplazamiento de Buckley-Leverett:

En la cual las permeabilidades relativas en el numerador seevalúan a la saturación del frente de choque, Swf. Eldesplazamiento de Buckley-Leverett será estable si Ms < 1. Sino se satisface esta condición habrá severo acanalamientoviscoso de agua a través del crudo e irrupción prematura deagua.


FACTORES QUE AFECTAN LA CURVA DE fw

Mojabilidad

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FACTORES QUE AFECTAN LA CURVA DE fwAngulo de buzamiento, la dirección de flujo y la mojabilidad


FACTORES QUE AFECTAN LA CURVA DE fwMojabilidad y viscosidad del crudo

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EFECTO DE LA MOJABILIDAD ENEL RECOBRO


EJERCICIO

1. Dados:

h = 20 ft Ancho: 300 ft L = 1000 ft = 15 % Bo = Bw = 1 Swc = 36.3 %qi = 338 B/D de agua o = 2 cp w = 1 cpSor = 20.5

a) Cuánto tarda el frente de agua en llegar a la mitad de la longituddel yacimiento?

b) Haga la curva de saturación de agua vs. x al tiempo mencionadoanteriormente es decir cuando el frente inundó los primeros 500 ftdel yacimiento usando le método de Buckley-Leverett

c) El mismo caso anterior pero usando la técnica de Welged) Producción después de la ruptura real (L=1000 ft)

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Sw kro krw

0.363 1 00.38 0.902 00.4 0.795 00.42 0.696 00.44 0.605 0.0010.46 0.522 0.0030.48 0.445 0.0060.5 0.377 0.0110.52 0.315 0.0180.54 0.26 0.0280.56 0.21 0.0420.58 0.168 0.060.6 0.131 0.0840.62 0.099 0.1130.64 0.073 0.1490.66 0.051 0.1940.68 0.034 0.2470.7 0.021 0.310.72 0.011 0.3840.74 0.005 0.470.76 0.002 0.570.795 0 0.78

Con la Ec. de fw…


Sw kro krw fw

0.363 1 0 -0.38 0.902 0 -0.4 0.795 0 -0.42 0.696 0 -0.44 0.605 0.001 0.00330.46 0.522 0.003 0.01140.48 0.445 0.006 0.02630.5 0.377 0.011 0.05510.52 0.315 0.018 0.10260.54 0.26 0.028 0.17720.56 0.21 0.042 0.28570.58 0.168 0.06 0.41670.6 0.131 0.084 0.56190.62 0.099 0.113 0.69540.64 0.073 0.149 0.80320.66 0.051 0.194 0.88380.68 0.034 0.247 0.93560.7 0.021 0.31 0.96720.72 0.011 0.384 0.98590.74 0.005 0.47 0.99470.76 0.002 0.57 0.99820.795 0 0.78 1.0000

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EJERCICIO


EJERCICIO

No se puede mostrar la imagen en este momento.

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Sw kro krw fw fw/Sw0.363 1 0 - 0.0325666810.38 0.902 0 - 0.0539434950.4 0.795 0 - 0.0975518990.42 0.696 0 - 0.1759923220.44 0.605 0.001 0.0033 0.3161395230.46 0.522 0.003 0.0114 0.5635109710.48 0.445 0.006 0.0263 0.9907024160.5 0.377 0.011 0.0551 1.7001733040.52 0.315 0.018 0.1026 2.7997327080.54 0.26 0.028 0.1772 4.3093680090.56 0.21 0.042 0.2857 5.9837405590.58 0.168 0.06 0.4167 7.2113192620.6 0.131 0.084 0.5619 7.3356786190.62 0.099 0.113 0.6954 6.2810625790.64 0.073 0.149 0.8032 4.636206680.66 0.051 0.194 0.8838 3.0637527330.68 0.034 0.247 0.9356 1.8806290980.7 0.021 0.31 0.9672 1.1029220420.72 0.011 0.384 0.9859 0.6296732210.74 0.005 0.47 0.9947 0.3539999130.76 0.002 0.57 0.9982 0.197300370.795 0 0.78 1.0000 0.070205992

a) El tiempo en que tarda el frente deagua en llegar a la mitad de lalongitud del yacimiento toma lugar a500 ft, de la ecuación de B-L.

Luego se determina la posición de lapartícula a t = 77.4 días para losdiferentes valores de fw/Sw.


Sw kro krw fw fw/Sw xSw

0.363 1 0 - 0.032566681 5.320.38 0.902 0 - 0.053943495 8.800.4 0.795 0 - 0.097551899 15.920.42 0.696 0 - 0.175992322 28.720.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 51.600.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 91.970.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 161.690.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 277.490.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 456.950.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 703.340.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 976.610.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 1,176.970.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 1,197.260.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 1,025.140.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 756.680.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.040.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.940.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.010.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.770.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.780.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.200.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46

60


EJERCICIOb) Construya la curva de saturación de agua vs. x al tiempomencionado anteriormente es decir cuando el frente inundó losprimeros 500 ft del yacimiento usando le método de Buckley-Leverett


EJERCICIOc) Grafique Sw vs x pero usando la técnica de

Welge

Los cálculos se hacen desde la saturación deruptura hasta 1-Sor. De la Swf hacia abajo se dejaconstante. Es decir….

61



0.363 1 0 - 0.032566681 5.320.38 0.902 0 - 0.053943495 8.800.4 0.795 0 - 0.097551899 15.920.42 0.696 0 - 0.175992322 28.720.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 51.600.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 91.970.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 161.690.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 277.490.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 456.950.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 703.340.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 976.610.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 1,176.970.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 1,197.260.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 1,025.140.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 756.680.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.040.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.940.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.010.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.770.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.780.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.200.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46



0.363 1 0 - 0.032566681 500.040.38 0.902 0 - 0.053943495 500.040.4 0.795 0 - 0.097551899 500.040.42 0.696 0 - 0.175992322 500.040.44 0.605 0.001 0.0033 0.316139523 500.040.46 0.522 0.003 0.0114 0.563510971 500.040.48 0.445 0.006 0.0263 0.990702416 500.040.5 0.377 0.011 0.0551 1.700173304 500.040.52 0.315 0.018 0.1026 2.799732708 500.040.54 0.26 0.028 0.1772 4.309368009 500.040.56 0.21 0.042 0.2857 5.983740559 500.040.58 0.168 0.06 0.4167 7.211319262 500.040.6 0.131 0.084 0.5619 7.335678619 500.040.62 0.099 0.113 0.6954 6.281062579 500.040.64 0.073 0.149 0.8032 4.63620668 500.040.66 0.051 0.194 0.8838 3.063752733 500.040.68 0.034 0.247 0.9356 1.880629098 306.940.7 0.021 0.31 0.9672 1.102922042 180.010.72 0.011 0.384 0.9859 0.629673221 102.770.74 0.005 0.47 0.9947 0.353999913 57.780.76 0.002 0.57 0.9982 0.19730037 32.200.795 0 0.78 1.0000 0.070205992 11.46

62


EJERCICIO


EJERCICIO

B-L (Rigurosa)

Welge

63



EJERCICIO

d) Producción después de la ruptura real (L=1000 ft)

64


En la gráfica de fw vs Sw,se halla para diferentesSw promedio, losvalores de Swe y fwecorrespondientes.


EJERCICIO

Sw Swe fwe NpD Np, bbl WiD WOR Wp, bbl Wi, bbl t, días

0.7 0.6599 0.8835 0.337 54016.03 0.344 7.58 55198.56 163.31

0.703 0.6785 0.9331 0.34 54496.88 0.367 13.95 5176.73 58819.07 174.02

0.713 0.6824 0.941 0.35 56099.73 0.519 15.95 23960.06 83212.34 246.19

0.741 0.7174 0.9843 0.378 60587.71 1.502 62.69 176474.99 240733.70 712.23

0.75 0.7281 0.9906 0.387 62030.28 2.326 105.38 121231.14 372747.77 1102.80

0.758 0.7362 0.9938 0.395 63312.56 3.510 160.29 170333.73 562548.47 1664.34

0.766 0.7474 0.9966 0.403 64594.84 5.476 293.12 290697.90 877795.82 2597.03

65


EJERCICIO

Sw Swe fwe NpD Np, bbl WiD WOR Wp, bbl Wi, bbl t, días

0.7 0.6599 0.8835 0.337 54016.03 0.344 7.58 55198.56 163.31

0.703 0.6785 0.9331 0.34 54496.88 0.367 13.95 5176.73 58819.07 174.02

0.713 0.6824 0.941 0.35 56099.73 0.519 15.95 23960.06 83212.34 246.19

0.741 0.7174 0.9843 0.378 60587.71 1.502 62.69 176474.99 240733.70 712.23

0.75 0.7281 0.9906 0.387 62030.28 2.326 105.38 121231.14 372747.77 1102.80

0.758 0.7362 0.9938 0.395 63312.56 3.510 160.29 170333.73 562548.47 1664.34

0.766 0.7474 0.9966 0.403 64594.84 5.476 293.12 290697.90 877795.82 2597.03


DESPLAZAMIENTO BAJO FLUJO SEGREGADO

66


FLUJO SEGREGADOEn la zona inundada, el

agua fluye sola en presencia de aceite

residual (kw=k*krw’) en la zona no inundada el

aceite fluye en presencia de agua connata

(ko=k*kro’)

En cualquier punto de la interfase de los fluidos las presiones de agua y aceite se

asumen iguales

Esto significa que hay una interfase

distinta con una zona sin presión capilar

El flujo segregado asume que el desplazamiento es

gobernado por equilibrio vertical, puesto que no hay zona de presión capilar, la

gravedad es la única responsable por la distribución

instantánea de fluidos en la dirección inclinada


67


FLUJO SEGREGADOLa condición de desplazamiento estableceque el ángulo entre la interfase de losfluidos y la dirección de flujo debenpermanecer constantes a lo largo de todoel desplazamiento. De modo que:


FLUJO SEGREGADO

Esto solo se satisface a ratas de inyección cuando la fuerza de la gravedad, resultante de , actúa para tratar de mantener la interfase horizontal y

en el caso extremo cuando la rata se reduce a cero, resultará una interfase

horizontal

A altas ratas de inyección las fuerzas viscosas

empujando los fluidos a través del yacimiento, prevalecerán sobre el

componente de la fuerza de gravedad actuando en la dirección hacia abajo

del buzamiento resultando un desplazamiento

inestable

Debido al el agua corre por

debajo del crudo formando una lengua de agua

conllevando a una ruptura prematura

68


FLUJO SEGREGADOEl desplazamiento inestable ocurrirá para lacondición limitante que:

Si existe desplazamiento incompresible y estable,en todos los puntos de la interfase, el petróleo yagua deberán tener la misma velocidad.Aplicando Darcy a cualquier punto de la interfaseen la dirección x, se tiene:


FLUJO SEGREGADOEl desplazamiento inestable ocurrirá para lacondición limitante que:

Si existe desplazamiento incompresible y estable,en todos los puntos de la interfase, el petróleo yagua deberán tener la misma velocidad.Aplicando Darcy a cualquier punto de la interfaseen la dirección x, se tiene:

69


FLUJO SEGREGADO


FLUJO SEGREGADO

Puesto que

70


FLUJO SEGREGADO

Puesto que


FLUJO SEGREGADO

Derivando….

Como se verá en la siguiente figura, dy es negativo:

71


FLUJO SEGREGADO


FLUJO SEGREGADO

72


FLUJO SEGREGADOPuesto que qt = ut A y sacando factorcomún Sen θ, resulta:

Multiplicando la ecuación anterior pork*krw’/μw se tiene:


FLUJO SEGREGADO

Rescribiendo:

Puesto que M = λw /λo y definiendo el númerogravitacional (adimensional) como:

73


FLUJO SEGREGADODespejar la pendiente de la interfase:

M es constante (rata fija), G es una constante +.La inclinación de la interfase dy/dx asume un valorfijo. Para desplazamiento estable dy/dx debe seruna constante negativa y ésto impone la condiciónde estabilidad de modo que:


FLUJO SEGREGADOCaso límite, cuando dy/dx = 0, el agua correrápor debajo del petróleo en forma de una lenguade agua. Para que dy/dx sea cero:

74



FLUJO SEGREGADODe modo que usando esta condición en laecuación del número gravitacional, se tiene elcaudal crítico:

75


FLUJO SEGREGADOLa relación de movilidad también influye enel desplazamiento como puede observarseen….

a) M > 1Es la condición física más común. Eldesplazamiento es estable si G > M -1, encuyo caso β < θ e inestable si G < M -1.


FLUJO SEGREGADO

76


FLUJO SEGREGADOb) M = 1Esta es una condición de relación demovilidad muy favorable para la cual no haytendencia que el agua pase al crudo. ParaM = 1 el desplazamiento es incondicional-mente estable, por lo tanto β = 0 y lainterfase yace horizontalmente en elyacimiento.


FLUJO SEGREGADOc) M < 1Esta relación de movilidad también conducea desplazamiento incondicionalmente esta-ble, pero en este caso β > 0

77


FLUJO SEGREGADO


FLUJO SEGREGADO

Si el desplazamiento es estable Np=Np (Wi , t) se

usan consideraciones geométricas.

Alternativamente, intentar reducir la descripción de desplazamiento y luego

hacer los cálculos usando la teoría del

desplazamiento de BL

Esta idea es valiosa porque es general y podría aplicarse en desplazamiento estable o inestable

Para esto, considere el

desplazamiento general segregado en un yacimiento

lineal…..

78


FLUJO SEGREGADO


FLUJO SEGREGADOEl flujo segregado es un

problema 2D. Para tratar de reducir la descripción a

una dimensión es necesario promediar las

saturaciones y las permeabilidades relativas

sobre el espesor del yacimiento

Luego, el flujo puede describirse

como si ocurriera a lo largo de la línea

central del yacimiento

En un punto cualquiera en el

camino del desplazamiento, sea bel espesor fraccional del agua, de modo

que b = y/h

El promedio de saturación de agua sobre el espesor del

yacimiento en el punto x es:

79


FLUJO SEGREGADO


FLUJO SEGREGADO

Puesto que Sor y Swc son constantes, esta ecuaciónindica que b Sw. La permeabilidad promediarelativa del agua sobre el espesor puededescribirse como:

Cuando krw(Sw=Swc)=0 y krw(Sw=1-Sor)=krw’krw’ es el valor terminal o final de la permeabilidad relativa alagua.

80



Haciendo el mismo tratamiento para el aceite:FLUJO SEGREGADO

Siendo kro’ el valor terminal de kro.

0

81


La curva de flujo fraccionalpuede graficarse usando lasfunciones lineales depermeabilidad relativa. Estacurva no tendrá punto deinflexión porque no hayfrente de choque para flujosegregado. Todos los puntossobre la curva de flujofraccional se usan para loscálculos de recobro despuésde la ruptura.

FLUJO SEGREGADO



FLUJO SEGREGADO

82



FLUJO SEGREGADO


Las ecuaciones en una dimensión para el flujo deaceite y agua en condiciones de flujo segregadoen un yacimiento horizontal son:

FLUJO SEGREGADO

A es el área seccional y Poo > Pw

o son la presión delo y w referidas a la línea central de yacimiento.

83


FLUJO SEGREGADO

y es el espesor real cubierto poragua; entonces y=bh, puesto que enla interfase Po=Pw el gradiente depresión resultante de la diferen-ciación y substracción de estasecuaciones es:


FLUJO SEGREGADO

y es el espesor real cubierto poragua; entonces y=bh, puesto que enla interfase Po=Pw el gradiente depresión resultante de la diferen-ciación y substracción de estasecuaciones es:

84


FLUJO SEGREGADO

Para desplazamiento horizontal e inestable laaproximación que usualmente se hace es que elángulo de la interfase, dy/dx, es pequeño y por lotanto el gradiente de la diferencia de presión de lafase puede despreciarse.


FLUJO SEGREGADO

85


FLUJO SEGREGADO

Restando….

Puesto que qt = qo + qw, entonces qo = qt - qw , luego…


FLUJO SEGREGADO

Puesto que

86


FLUJO SEGREGADO

Puesto que

Como el gradiente de la diferencia de presión de lafase puede despreciarse dPc

o/dx =0, despejando fw:


FLUJO SEGREGADOMultiplique la ecuación anterior por

87


FLUJO SEGREGADOM es la relación de movilidades terminales.Hasta el momento de la ruptura el recobro deaceite es simplemente igual a la cantidadacumulada de agua inyectada. Después de laruptura, sea be el espesor fraccional de agua enel pozo productor, luego:


FLUJO SEGREGADO

88


FLUJO SEGREGADOWiD es la inyección de agua acumulada expresada envolúmenes móviles de crudo donde:


FLUJO SEGREGADOEl recobro de crudo puede expresarse en movilidadescomo:

89


FLUJO SEGREGADOEl recobro de crudo puede expresarse en movilidadescomo:

Sustituyendo las variables be y fwe resulta:

Todos los volúmenes están en MOV’’s.

Expresada en MOV’s…


FLUJO SEGREGADOEsto se aplica para desplazamiento horizontal bajocondiciones de flujo inestable segregado (M > 1).En la ruptura NpD = WiD, con esta condición se despeja NpD:

Esto demuestra que en el caso límite de M = 1, ocurredesplazamiento estable tipo pistón para lo cual NpD = 1.Similarmente, cuando la cantidad total de aceite ha sidorecuperada NpD =1 (MOV) y sustituyendo esto en

90


FLUJO SEGREGADOEstas ecuaciones demuestran elsignificado de la relación de Mpara caracterizar el recobro deaceite bajo condiciones de flujosegregado.

El caso más general de desplazamiento inestableen un yacimiento buzante (G < M-1), la ecuaciónde flujo fraccional es:


FLUJO SEGREGADO

Si G = 0 (horizontal) se reduce

En ruptura cuando NpD=WiD da:

Para la máxima eficienciade recobro, (NpD =1)

91


EJEMPLO1. Calcule el recobro adimensional NpD y asuma que eldesplazamiento es segregado, para un yacimiento cuyosdatos son:

0.18 q 1000 bl/dia

Swc 0.2 Ancho 625 ft

Sor 0.2 k 2D

o 5 w 1.04

w 0.5 o 0.81

h 40 ft Bo 1.3

L 2000 ft Bw 1

Sw krw kro Sw krw kro

0.2 0 0.8 0.5 0.075 0.163

0.25 0.002 0.61 0.55 0.1 0.12

0.3 0.009 0.47 0.6 0.132 0.081

0.35 0.02 0.37 0.65 0.17 0.05

0.4 0.033 0.28 0.7 0.208 0.027

0.45 0.051 0.22 0.75 0.251 0.01

0.8 0.3 0


EJEMPLOCalcule la movilidad:

Determine NpDbt (en ruptura) que va a ser igual al WiD , en MOV y PV; que es el valor mínimo.

Se halla el valor máximo.

RANGO

92


EJEMPLOPara calcular los diferentesvalores de NpD, se usan valoresentre el máximo y mínimo WiD:

NpD y t se calculan con las siguientes fórmulas:

0.16 PV WiD 2.25 PV

0.267 MOV WiD 3.75 MOV


EJEMPLO

WiD (MOV) NpD (MOV) WiD (PV) NpD (PV) t, años

0.267 0.2669999 0.160 0.1602 0.70349724

0.3 0.2986619 0.180 0.179197 0.79044633

0.5 0.4504047 0.300 0.270243 1.31741056

1 0.6810849 0.600 0.408651 2.63482111

1.5 0.8157878 0.900 0.489473 3.95223167

2 0.9008093 1.200 0.540486 5.26964223

3 0.9848014 1.800 0.590881 7.90446334

3.75 1 2.250 0.6 9.88057917

93


EJEMPLOSi el yacimiento tiene un ángulo de buzamiento, , de 25º(ver figura), cual es el caudal crítico para desplazar el crudodesde debajo de la formación?. Compare los tiempos deruptura y recobro en la ruptura cuando se inyectan 1000 bblde agua y cuando se inyecta el 90 % del caudal crítico.


EJEMPLOSe determina el caudal crítico

Se determina el número gravitatorio:

G = 1.43 < (M-1) = 2.75, lo que indica que el flujo es inestable. Secalcula el NpD para ese ángulo en el punto de ruptura que es el valormínimo de NpD = WiD

Se calcula el valor máximo.

94


EJEMPLOAhora, los cálculos se realizan entre 0.259 PV y 0.926 PV:

Se calcula el tiempo con:


EJEMPLO

WiD (MOV) NpD (MOV) WiD (PV) NpD (PV) t, años

0.431 0.431 0.2586 0.2586 1.135254

0.5 0.49715508 0.3 0.29829305 1.317

0.75 0.69725019 0.45 0.41835011 1.9755

1 0.84692073 0.6 0.50815244 2.634

1.25 0.94993598 0.75 0.56996159 3.2925

1.543 0.99999997 0.9258 0.59999998 4.064262

95


EJEMPLOSe determina el nuevo qcrit crítico cuando se inyecta el 90 (520*0.9);

Ahora se calcula el nuevo G:

G = 1.287 < (M-1) = 2.75, lo que indica que el flujo es inestable. Secalcula el NpD para ese ángulo en el punto de ruptura que es el valormínimo de NpD = WiD


EJEMPLOEl ángulo de la interfase se halla de:

El volumen de crudo sin contactar es:

96


EJEMPLOEl recobro se estima de:

La cantidad de crudo que bordea el pozo y no se produce es:


EJEMPLO

ye NpD (MOV) WiD (MOV) NpD (PV) WiD (PV) t, años

0 0.78586724 0.78586724 0.47152034 0.47152034 4.42286081

10 0.87955032 0.89293362 0.52773019 0.53576017 5.02543041

20 0.94646681 1 0.56788009 0.6 5.628

30 0.9866167 1.10706638 0.59197002 0.66423983 6.23056959

40 1 1.21413276 0.6 0.72847966 6.83313919

97


Engineering

Unidad 2 analisis de presiones