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Clase II

Estadística y Probabilidad IIAnalizar los enfoques para asignar probabilidades.

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Introducción

Una vez estudiado los conceptos básicos de probabilidad y su definición. Es Conveniente analizar dos perspectivas para asignar probabilidades: los enfoques objetivos y subjetivo. La probabilidad objetiva se subdivide en a) probabilidad clásica y b ) Probabilidad empírica

ENFOQUE DE LA PROBABILIDAD

OBJETIVO SUJETIVO

PROBABILIDAD CLASICA

PROBABILIDAD EMPIRICA

PARTE DE INFORMACION DISPONIBLE

SE BASA EN REULTADOS IGUALMENTE PROBABLES

SE SUSTENTA EN LAS FRECUENCIAS

RELATIVAS

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PROBABILIDAD CLASICA

Parte del supuesto de que los resultados de un experimento son igualmente posibles. De acuerdo con el punto de vista clásico, la probabilidad de un evento que se esta llevando a cabo se calcula dividiendo el numero de resultados favorables entre el numero de posibles resultados.

P(C) Probabilidad de un Evento = Número de resultados favorables

Número total de posibles resultados

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PROBABILIDAD CLASICA

Ejemplo: Considere el experimento de lanzar un dado. ¿ Cuál es la probabilidad del evento “ cae un numero par de puntos?

Los Posibles resultados son:

Un punto

Dos puntos

Tres puntos

Un Cuatro

Un Cinco

Un seis

Continua

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Ya lazamos los dados y sabes todos los posibles resultados. Pero Hay tres resultados favorables que son ( un dos, un cuatro, un seis) en el conjunto de seis resultados Igualmente posibles. Por consiguiente:

P(C) Probabilidad de un Evento = Número de resultados favorables

Número total de posibles resultados

P ( N par) = 3

6

Número de resultados favorables

Número total de posibles resultados

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PROBABILIDAD EMPIRICA

Es el segundo tipo de probabilidad, se basa en el numero de veces que ocurre el evento como proporción del numero de intentos conocidos

Número de veces que el evento ocurre

Número total de observacionesP(E) Probabilidad Empírica =

La probabilidad de que un evento ocurra representa una fracción de los Eventos similares que sucedieron en el pasado. Este enfoque se basa en la Llamada LEY DE LOS GRANDES NUMEROS. La claves para determinar probabilidad de forma empírica consiste en que una mayor cantidad de Observaciones proporcionaran un calculo mas preciso de la probabilidad

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Ejemplo:

En una encuesta realizada a 500 profesores de la ciudad de Chiclayo, se encontró que 320 de ellos se encuentran trabajando en escuelas no estatales. Hallar la probabilidad que al seleccionar aleatoriamente un profesor, esté trabajando en una escuela no estatal

Sea el evento A: profesor que trabaja en una escuela no estatal# Veces que ocurrió A = 320# Total de veces que se repitió el experimento = 500

Número de veces que el evento ocurre

Número total de observaciones

P ( A) = 320

5000.64=

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PROBABILIDAD Y SUS VALORES

Una probabilidad puede asumir cualquier valor desde 0 hasta 1.

- Cuanto mas se aproxime a cero una probabilidad, es mas improbable que ocurra mas improbable que ocurra

También puede indicarse como una fracción decimal común0.70,… 0.20

También puede indicarse como una fracción común 7/10, 27/100……

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 REGLA DE LA SUMA DE PROBABILIDADES 

Si los eventos  A y B son mutuamente excluyentes , la probabilidad de ocurrencia de A o de B es:

P (A B) = P (A) + P (B)∪

Ejemplo: Si lanzamos un dado ¿ Cual es la probabilidad de que salga 2 o 3?

S = Espacio Muestral 1, 2,3,4,5,6

Evento A P ( A) = 1/6

Evento B P( B) = 1/6

Donde P (A B) = P (A) + P (B)∪

1/6+ 1/6 = 2/6 = 1/3 = 0.33P (A B) = ∪

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Se utiliza para calcular la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos o más eventos .Si los eventos  A y B son dependientes , entonces la ocurrencia de un evento tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro evento, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es:

REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN

P(A ∩ B) = P(A) P(B/A)

Ejemplo : Suponga que se extrae dos cartas, una a la vez sin reemplazo, de una baraja ordinaria. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean ases?

A: un as en la primera extracción B: un as en la segunda extracción

P(A ∩B) = P(A).P(B/A) = (4/52).(3/51) = 0.0045

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Si los eventos  A y B son independientes , entonces la ocurrencia de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad de ocurrencia del otro, por lo tanto la ocurrencia simultánea de los eventos es:

P(A ∩B) = P(A) P(B)

Ejemplos : Supongamos que lanzamos un par de dados legales una sola vez.

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 2 en el primer dado y un 4 en el segundo? A: Obtener 2 en el primer dado B: Obtener 4 en el segundo dado

P(A ∩ B) = P(A) P(B) = 1/6 x 1/6 = 1/36

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PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad de que ocurra un evento B cuando se sabe que ha ocurrido algún otro evento A, se denomina PROBABILIDAD CONDICIONADA y se designa como P(B/A). Él símbolo P(B/A) se lee como la probabilidad de que ocurra B sabiendo que ocurrió A o sencillamente probabilidad de B dado A.

Las probabilidades condicionadas están relacionadas a probabilidades asociadas a los eventos definidos en sub poblaciones o espacios muéstrales reducidos. Se dice que la probabilidad de ocurrencia de un evento dado es condicionada, si esta se afecta por la ocurrencia de otro evento presente.

P(B/A) = (P(B ∩A) = P ( BA)

P ( A) P ( A) si, P(A)# 0

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Ejemplo:Un profesor de matemáticas da clases en una sección matutina y una vespertina de introducción al cálculo. Sea: A = {el profesor da una mala conferencia matutina} y B = {el profesor da una mala conferencia vespertina}.

Si P(A) = 0.3, P(B) = 0.2 y P(AB) = 0.1, calcule las siguientes probabilidades

a) P(B/A) b) P(B/A) c) P(B/A)

Calculamos: a) P (B/A)= 0.1/0.3 = 0.33

b) P ( B/A) = 0.3 - 0.1

0.3= 0.67

Condicional

c) P (B/A) = 0.2 - 0.1

0.7

= 0.14

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Si A 1, A 2 ,... , A n son:

Sucesos incompatibles 2 a 2.Y cuya unión es el espacio muestral ( A 1 A 2 ... A n = E).

Y B es otro suceso. Resulta que:

Teorema de Bayes

1. Las probabilidades p(A1) se denominan probabilidades a priori.

2. Las probabilidades p(Ai/B) se denominan probabilidades a posteriori.

3. Las probabilidades p(B/Ai) se denominan verosimilitudes

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Ejemplos

El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?

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Diagrama del Árbol

Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las posibilidades, acompañada de su probabilidad.

En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa un posible final del experimento (nudo final).

Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.

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Ejemplos

Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

1.-) Seleccionar tres niños

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Resultados

2.-) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

1.-) Seleccionar tres niños

3.-) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

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BERENSON, M.L. y D.M. LEVINE. 1984. Estadística para Administración y Economía. Conceptos y Aplicaciones. Edit. Interamericana. México, D.F.

CABALLERO, W. 1981. Introducción a la Estadística. Instituto Interamericano de Cooperación para la Agricultura (IICA). San José, Costa Rica.

CHAO, L.L. 1993. Estadística para las Ciencias Administrativas. 3ra. Edic. Edit. McGraw-Hill. Bogotá, Colombia.

HERNANDEZ, S.R.; C. FERNANDEZ COLLADO y P. BAPTISTA LUCIO. 1991. Metodología de la Investigación. Edit. McGraw-Hill Interamericana de México, S.A. deC.V. México.

INFANTE, GS y G.P. ZARATE de LARA. 1990. Métodos Estadístico. Un enfoque interdisciplinario. 2da. Edi. Edit. Trillas. México, D.F.

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BIBLIOGRAFIA CONSULTADA