PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

4949494949

77777Capítulo

LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado

recto) es 5 vértices ( )10,0± .

Solución:

125y

100x:: en tanto lo Por

100a10a

25b5ab2CN

:enunciado del Luego

1by

ax::Sabemos

22

2

22

2

2

2

2

=+

==

===

→=+

õ

õ

!

!

!

!"

!

!

5050505050

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,

( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 136

5y27

1x::tanto lo Por

27b27936bcab:Sabemos

9c3CFc:Luego

36a6a12a2:Pero

1a

kyb

hx:: deducimos enunciado Del

22

22222

2

2

2

2

2

2

=−+−

==−=−=

===

===

=−+−

õ

õ

!"!"

!"

!"!"

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

5151515151

Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de

la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices

y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la

excentricidad.

Solución:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

113

ace:dadExcentrici

12

12a

2bNC:Normal Cuerda

2122b:menor Eje4222a:mayor Eje

3c3cc14cba

1b1b2a4a

:También

2,1V

2,5V2,23ka,hV

:de obtienen se elipse la de vértices los Luego

2,3kh,C:tenemos ecuación la De

112y

43x

:

42y43x

169214y4y49x6x

:y e x para cuadrados oCompletand

021y16x6y4x

2

222222

22

2

1

22

22

22

22

<==

=×==

=×==×=

±==+=+=

±==±==

−=

−=−±=±=

−==

=++−

=++−

++−=++++−

=++−+

!

!

!!

!

!!

!!!

!!

!!

õ

5252525252

Capítulo 7. LA ELIPSE

Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular

a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de

esta perpendicular con la elipse hasta los focos.

Solución:

( ) ( )

"

!

→=

±=±=

±=−±=−=−=

→=+

10x:es foco primer el en trazada

larperpendicu la de ecuación La

,010Fc,0F

:son elipse la de focos los Luego,

101525cbaccab:Sabemos

115y

25x:

:elipse la de ecuación la Tenemos

222222

22

!!

!!

! õ

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

5353535353

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 7301010CF

3301010CF

:tanto lo Por

3,10yx,C:aquí De

3y9y115y

259: y De

222

221

22

=−+−−=

=−+−=

==

±===+

!

!

!!"!

Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y

sea tangente a los dos ejes de coordenadas.

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 116

4y42x:

4b2b

Yeje al C de Distancia:b

16a4a

X eje al C de Distancia:a

:caso este Para

1a

kyb

hx::Sea

22

2

2

2

2

2

2

=−++

==

==

=−+−

õ

õ

!

!!

!!

!

!

5454545454

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en

( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .

Solución:

( )

( )

75y7x3:1775

y25x:

:tanto lo Por

775b1

b3

2542,3P:Como

1by

25x::Luego

25a5a5,0V:que Dado

1by

ax:

2222

22

2

22

21

2

2

2

2

=+=+

==+∈=

=+

===

=+

õõ

õ

õ

õ

!

!!

!!

!

La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m

de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha

claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro

foco?

Solución:

12c22F1F:tanto lo Por

6c36ccab:donde De

64b8b100a10a

:enunciado del datos los Según

2222

2

2

==

±==−=

====

!!

!

!

!

!

Según los datos del enunciado:

Por lo tanto:

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

5555555555

Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos

en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

031y72x10y9x5:

:soperacione Efectuando

124y5x4y3x

:donde De

12a2PFPF

:que tiene se elipse, de definición la Por

mueve. se que punto el yx,P Sea

22

2222

21

=+++−

=−+−−−++

==−

=

õ

!

!

5656565656

Capítulo 7. LA ELIPSE

Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia

de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la

mitad de la longitud del eje mayor.

Solución:

aaFB:tanto lo Por

bca:que definición por sabemos pero,

bcFB:figura la de Luego,

a2a2

2VV

FB

:que Probar

origen. el en vértice con elipse la1by

ax:Sea

211

222

2211

2111

2

2

2

2

==

+=

+=

===

=+

!

õ

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

5757575757

Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los

puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar

geométrico de P .

Solución:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 116

3y72x:

015y42x64y7x16:

:tiene se s,operacione Efectuando

86y2xy2x

:donde De

8BPAP

:problema del condición la Por

mueve. se que punto el yx,P Sea

22

22

2222

=−++∴

=+−++

=−+++++

=+

=

õ

õ

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una

elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica

es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.

Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Solución:

5502c0001500,017a0,017c0,017ace

:elipse la de dadexcentrici la de aproximado valor Del

000150a0003002a:que tenemos gráfico, el según y datos los De

=×=×===

==

!!

!

!

!

Por la condición del problema:

5858585858

Capítulo 7. LA ELIPSE

450147ca5502000150ca:Minimo

550152ca5502000150ca:Máximo

:Luego

=−−=−

=++=+

!

!

!

!

´