INTEGRACIÓN POR PARTES.

OBJETIVO: Calcular la función primitiva del producto de una función por la diferencial de otra función de la misma variable.

Se basa en la fórmula de la derivada de un producto de dos funciones:

d(uv) = udv + vdu

Integrando ambos miembros:

( )d uv udv vdu

uv udv vdu

= +∫ ∫

= + ∫∫Despejando la primera integral:

udv uv vdu= −∫ ∫La anterior fórmula se usa para integrar un gran número de integrales no inmediatas, que se plantean como producto de funciones: algebraicas, logarítmicas y trigonométricas.

Para aplicar la fórmula se procederá de la siguiente manera:

FÓRMULA: udv uv vdu= −∫ ∫INTEGRAR: cosx xdx∫SE DESCOMPONE EL INTEGRANDO EN DOS FUNCIONES “u” y “v”.

DE LA EXPRESIÓN DEL INTEGRANDO QUE SE IGUALA A “u” SE CALCULA SU DIFERENCIAL.

u=x

du= dx

LA FUNCIÓN QUE EN APARIENCIA ES MÁS COMPLICADA Y QUE CONTIENE A dx SE IGUALA dv.

dv = cos x dx

PARA OBTENER v SE INTEGRA LA EXPRESIÓN IGUALADA A dv:

cosdv xdx

v senx

=

=∫ ∫

LA EXPRESIÓN DEL INTEGRANDO QUE SE IGUALA A “dv” DEBE SER FÁCILMENTE INTEGRABLE.

LOS VALORES OBTENIDOS:

U = x

du = dx

dv= cos x dx

v= sen x

SE SUSTITUYE EN LA FÓRMULA: udv uv vdu= −∫ ∫cos

:

( cos )

x xdx xsenx senxdx

Integrando

xsenx x C

= −

− − +

∫ ∫

cosxsenx x C+ +