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deborah-zevallos-sibina
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Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
df x dx f x
d
d
x
x
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
df x dx f x
dx
La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
una constante.
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2donde es una constante arbitraria
I I R R I x x
xxdx c
c
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1donde es una constante arbitraria
n
n
nn
f R R f x x n n
x
xx dx c
nc
1 : 0
Dado que
1ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f xx
dx
dx x
dxx c
xc
sincos
cossin
d xx
dx
d xx
dx
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
es claro que:
exp exp
exp exp
dx x
dx
x dx x c
c
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
aa
df x a f x f x
dx
f xf x f x dx c
a
on 1a
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indef
- De la derivada del logar
1ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xdf x
d
dx f x
f xdx f x c
f x
x xdx x
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2Ejemplo 1: cosx x dx
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
x x dx
x
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
Por tanto, se tiene
2
x x dx
x
d xdx
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1cos 2 cos
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1cos 2 cos cos
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1cos 2 cos cos
2 21
sin2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c
2
2
2 2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1cos 2 cos cos
2 21 1
sin sin2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c x c
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
2
2 2
Ejemplo 1: cos
1cos sin
2
Es fácil evaluar la derivada, con la regla
de la cadena, para comprobar la exactitud
del resultado
x x dx
x x dx x c
De la regla de la cadena se tiene donde f d f g x g x dx g x
De la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xdf x g
df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
x g x f xdx dx dx
pe
De
ro por la definición misma de la integral indefinida
la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xdf x g x g x f x
dx dx dx
df x dg xdf x g x d
df x g x dx f x
x g x dx f x dxdx dx dx
g xdx
De la expresión
tenemos entonces
df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx
dx dx d
df x dg xf x g x g x dx f x dx
dx
x
dx
De la expresión
tenemos
Despejando
que es la formula de integración por pa
entonc
rtes
es
df x dg xdf x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
df x dg xf x g x g x dx f x dx
dx dx
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
Ejemplo 1: xxe dx
Ejemplo 1:
Identificamos
y
x
x
xe dx
df xe g x x
dx
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
Ejemplo 1:
y
Entonces
x
x
x x x
xe dx
df xe g x x
dx
dxxe dx xe e dx
dx
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
Ejemplo 1:
y
De donde
x
x
x x x
x x x
xe dx
df xe g x x
dxdx
xe dx xe e dxdx
xe dx xe e dx
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
Ejemplo 1:
y
Finalmente
1
x
x
x x x x x
x x x x
xe dx
df xe g x x
dxdx
xe dx xe e dx xe e dxdx
xe dx xe e x e
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx
Es muy fácil verificar que el resultado
es correcto haciendo la deriva
1
da
x xxe dx x e
df x dg xg x dx f x g x f x dx
dx dx