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Calculo diferencial – Trabajo colaborativo tres - Unad Página 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

Modulo

Calculo Diferencial

Actividad

Trabajo colaborativo tres

Tutor

LUIS GERARDO ARGOTY HIDALGO

Estudiantes

JOSE ARMANDO BOLIVAR

ALEXANDER MEJIA

GROSBER SALCEDO AMORTEGUI

NEPOMUCENO VEGA

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Campus virtual - Universidad nacional abierta y a distancia - Unad.

Mayo 19 de 2013

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Introducción

Derivada es la pendiente de una recta la cual es tangente a una curva que es

continúa en (a,b), pero si esta curva no es continua no es posible hallar la

derivada.

La derivada de una función, no es más que otra función que nos permite

cuando reemplazamos puntos en la función, saber cuál es la pendiente de la

recta tangente a dicho punto sobre la función original.

La matemática es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas, de

razonamientos, todos sencillos y fáciles.

René Descartes

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Desarrollo de actividad

Fase 1

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva:

1.

Punto de corte

Valores críticos

Puntos críticos

Punto crítico x=1 Y=-4 Máximo Mínimo F”(vc)>0 Mínimo <0 máximo

Y”=2>0 minino

2.

Hallar la derivada de las siguientes funciones

3.

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FASE 2

Hallar la derivada de las siguientes funciones:

7

34.

Ln xf x

Ln x

TEOREMA 1: Derivada de cociente de funciones

Sea f x y g x funciones diferenciales enx y 0g x dado:

f xc x

g xEntonces:

2

' ''

g x f x f x g xc x

g x

TEOREMA 2: Derivada de función Logarítmica Base Euler e

Dada la función log ( )ef x x Ln x .Para el número de Euler, Entonces:

1'f x

x

PROPIEDAD DE LOS LOGARITMOS:

log logr

a ax r x

Para resolver el ejercicio aplico el teorema 1 y 2 y la propiedad de los

logaritmos para las derivadas:

3 7

23

7 3

'

Ln x Ln xx x

f xLn x

3 7

23

7 3

'

Ln x Ln x

x xf xLn x

Separo las fracciones de la resta:

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33 7

23

77 3

'

Ln xLn x Ln x

x xf xLn x

23

x

Ln x

7

23

3Ln x

x

Ln x

Realizo producto de extremos y medios:

7 7

2 3 23 3 3

7 3 7 3

'

11

Ln x Ln x

x x x xf xLn xLn x Ln x Ln x

7

23 3

7 3'

Ln xf x

x Ln x x Ln x

5.x

xf x

e

TEOREMA 3: Derivada de una función exponencial

'x xf x e f x e

Aplico el teorema 1 y teorema 3:

2 2

1'

x x x x

x x

e x e e xef x

e e

Separo las fracciones de la resta:

'xe

f x2

xe

xx e2xe

1x x

x

e e

Factorizó 1xe

:

1' 1

xf x x

e

' 1xf x e x

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Derivadas de Orden Superior

6. Hallar la tercera derivada de: 2 2f x sen x

TEOREMA 4: Regla de la cadena

Sea y f u y sea u g x . Si g es diferenciable en x y f diferenciable

en u , entonces f og x es diferenciable en x . Entonces:

' 'd

f g x f g x g xdx

Aplicando el teorema 4, realizamos la derivada tres veces:

' 2cos 2 2 4cos 2f x x x

'' 8 2f x sen x

''' 16cos 2f x x

7. Hallar la segunda derivada de: xf x e Lnx

TEOREMA 5: Derivada de producto de Funciones

Sea f x y g x funciones diferenciales en x , dado p x f x g x ,

entonces:

' ' 'p x f x g x f x g x

Se resuelve con el teorema 5 y se realiza la primera derivada:

1'

xx x xe

f x e e Ln x e Ln xx x

Observamos que existen dos términos

xe

xy

xe Lnx en la función resultante,

para cada uno de estos términos hacemos la derivada:

Por derivada de un cociente:

2

1x xx x e ed e x

dx x x 2

xe

x2 2 2

1 1x x xxe e e

ex x x x x

Por derivada de un producto:

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1 xx x x xd e

e Ln x e e Ln x e Ln xdx x x

Ahora sumamos estas dos derivadas y agrupamos términos:

2

1 1''

xx xe

f x e e Lnxx x x

2

2 1'' x xf x e Ln x e

x x

Fase 3

1) Usando L’Hopital hallar el límite de:

Suponiendo que el límite de la función tiende a 2 (el archivo con el

ejercicio no es claro)

Aplicando L’Hopital:

Hallando el límite:

2) De la curva hallar:

a. Las coordenadas del punto crítico.

Para hallar el punto crítico, la ecuación anterior se iguala a cero:

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Despejando X:

Ahora reemplazando este valor en la función original:

Las coordenadas del punto crítico son:

b. Los puntos de inflexión si los hay.

Para determinar si hay puntos de inflexión se debe tomar el

criterio de la segunda derivada:

Basados en esto, no hay puntos de inflexión ya que su segunda

derivada es una constante.

3) En la construcción de una obra se debe hacer un pedido de

cemento. ¿Qué cantidad de bultos (x) debo solicitar a la fábrica, tal

que el costo total de ese pedido sea el mínimo?

Formula del costo total del pedido C(x)

La cantidad de bultos que minimiza el costo del pedido, esta última

ecuación se iguala a cero y se despeja el valor de x:

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Para finalizar se debe verificar que ese si sea un valor crítico,

reemplazando con valores que no alcancen y superen el valor del punto

hallado, para este caso se usaran los valores 850 y 1200:

= 30,5

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Conclusiones

La aplicación de las derivadas sirve para resolver problemas de

optimización de resultados, cuando debemos encontrar los extremos de

una función, es decir donde una función alcanza sus máximos y mínimos

relativos o si no es en un extremo.

Las derivadas se utilizan para optimizar sistemas que se expresan

mediante funciones más o menos complejas

Podremos hallar los intervalos de crecimiento o decrecimiento de valores

de interés siempre y cuando estos se puedan representar por medio de

funciones.

El concepto de derivada es fundamental para comprender y derivar

fórmulas que luego van a tener una aplicación importante.

En nuestra vida nos la pasamos derivando sin darnos cuenta,

Referencias

Módulo de Calculo diferencial Unad