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Producto Interno
Definición 0.1. Sea V un espacio vectorial sobre el campo F, donde F es R (o C) . Unproducto interno sobre V es un mapeo que asigna a cada par de vectores ordenados u
y v en V un único escalar en F , el cuál lo denotamos como 〈u, v〉 . El espacio vectorialV es llamado un espacio con producto interno si para todo vector u, v, w ∈ V y todo
escalar λ ∈ F cumple
1. Positividad 〈u, u〉 ≥ 0, la igualdad se da solo para el vector nulo
2. Homogeneidad 〈λu, v〉 = λ 〈u, v〉
3. Linealidad 〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉
4. Simetría Hermitiana 〈u, v〉 = 〈v, u〉
Proposición 0.1. 〈u, λv〉 = λ 〈u, v〉
Proof. De (4) tenemos que
〈u, λv〉 = 〈λv, u〉
de (2)
〈λv, u〉 = λ 〈v, u〉
como λ, 〈v, u〉 ∈ F entoncesλ〈v, u〉
nuevamente de (4)
λ 〈u, v〉
�
Proposición 0.2. Para todo vector u, v, w ∈ V y todo escalar α, β ∈ F se tiene que
〈αu+ βv, w〉 = α 〈u,w〉+ β 〈v, w〉
Proof. Es inmediato �
1
Observación 0.1. Cuando el campo escalar F = R, el item (4) viene a ser
〈u, v〉 = 〈v, u〉
Ejemplos de Espacios vectoriales con producto interno
1. V = R2 con el producto interno
〈u, v〉 = vTu
como los vectores aqui vienen dados por
u =
[u1
u2
], v =
[v1
v2
]
entonces el producto interno es
〈u, v〉 =[v1 v2
] [ u1
u2
]〈u, v〉 = u1v1 + u2v2
esto es, el producto interno es el producto escalar entre vectores del plano.
El espacio vectorial V = Rn con producto interno definido por el producto escalares llamado espacio euclideano n-dimensional.
2. V = C2 con el producto interno
〈u, v〉 = v∗u = vTu
como los vectores aqui vienen dados por
u =
[z1
z2
], v =
[w1
w2
]
donde zi, wi ∈ C, entonces el producto interno es
〈u, v〉 =[w1 w2
] [ z1
z2
]〈u, v〉 = z1w1 + z2w2
2
3. V =Mmn (C) es un espacio producto interno con producto interno
〈A,B〉 = traza (B∗A)
Proof. Veamos que es un espacio producto interno
1.
〈A,A〉 = traza (A∗A) =n∑i=1
(filaiA∗ coliA) =
n∑i=1
(filaiA
TcoliA
)〈A,A〉 =
n∑i=1
(m∑j=1
ajiaji
)=
n∑i=1
(m∑j=1
‖aji‖2)≥ 0
Aqui
〈A,A〉 = 0 si y solo si A = 0
2.
〈λA,B〉 = traza (B∗ (λA)) = λtraza (B∗A)
〈λA,B〉 = λ 〈A,B〉
3.
〈A,B + C〉 = traza ((B + C)∗A)
〈A,B + C〉 = traza (B∗A+ C∗A)
〈A,B + C〉 = traza (B∗A) + traza (C∗A)
4.
〈B,A〉 = traza (A∗B)
〈B,A〉 = traza(A∗B
)〈B,A〉 = traza
(ATB
)= traza
((ATB
)T)〈B,A〉 = traza
(BTA)= traza (B∗A)
〈B,A〉 = 〈A,B〉
�
3
Longitud o norma de un vector
Sea v un vector en un espacio con producto interno V Se define la norma o longitud
de un vector como√〈v, v〉 y es denotado como ‖v‖ , esto es
‖v‖ =√〈v, v〉
la norma tiene las siguientes propiedades
1. ‖v‖ ≥ 0, para todo vector v ∈ V . ‖v‖ = 0 si y solo si v = 0
2. ‖λv‖ = |λ| ‖v‖ para todo vector v ∈ V y para todo λ ∈ F ç
3. ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖v‖
Ejemplo 0.1. Sea V = P el espacio de los polinomios de cualquier grado con producto
interno definido por
〈p, q〉 =∫ 1
0
p (x) q (x) dx
hallar la norma del vector v = 1− x2
por definición
‖v‖2 = 〈v, v〉
‖v‖2 =
∫ 1
0
v (x) v (x) dx
‖v‖2 =
∫ 1
0
(1− x2
) (1− x2
)dx
‖v‖2 =
∫ 1
0
(x4 − 2x2 + 1
)dx
‖v‖2 =8
15
luego su norma es
‖v‖ =√8
15
Ortogonalidad de vectores
Definición 0.2. Sea V un espacio vectorial con producto interno, decimos que dos
vectores u, v ∈ V son ortogonales si 〈u, v〉 = 0
Observación 0.2. El vector nulo es ortogonal a todos los vectores
Observación 0.3. Dos vectores u, v pueden ser ortogonales en un espacio vectorialcon cierto producto interno y no ser ortogonales en el mismo espacio con otro producto
interno.
4
Ejemplo 0.2. Sea V = P2 [R] con producto interno definido por
〈p (x) , q (x)〉 =∫ 1
−1p (x) q (x) dx
los vectores
p (x) = x, q (x) = 1− x2
son ortogonales pues
〈p (x) , q (x)〉 =∫ 1
−1x(1− x2
)dx = 0
sin embargo V = P2 [R] con producto interno definido por
〈p (x) , q (x)〉 =∫ 1
0
p (x) q (x) dx
no son ortogonales, pues
〈p (x) , q (x)〉 =∫ 1
0
x(1− x2
)dx =
1
4
Proposición 0.3. Dos vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes
Proof. Sean u, v ∈ V vectores ortogonales no nulos, planteamos la ecuación
αu+ βv = 0
aplicamos el producto interno
〈αu+ βv, u〉 = 〈0, u〉
entonces
α 〈u, u〉+ β 〈v, u〉 = 0
como u, v son ortogonales entonces 〈v, u〉 = 0, luego
α 〈u, u〉 = 0→ α ‖u‖2 = 0 si y solo si α = 0
por tanto βv = 0, como v es un vector no nulo, entonces β = 0, esto prueba que dos
vectores ortogonales no nulos son linealmente independientes. �
Definición 0.3. Un conjunto S ⊂ V es un conjunto ortogonal si
u es ortogonal a v, para todo vector u, v ∈ V
5
Definición 0.4. Un conjunto S ⊂ V es un conjunto ortonormal si
1. S es un conjunto ortogonal
2. ‖u‖ = 1 para todo vector u ∈ V
Proceso de Ortonormalización de Gram-Schmidt
Sea S = {v1, v2, · · · , vm} un subconjunto de vectores linealmente independientes, conS ⊂ V un espacio vectorial, entonces el span (S) es un espacio vectorial, luego S es una
base de span (S), el obejtivo es hallar una base B del subespacio span (S) de tal modo
que B sea un conjunto ortonormal, el siguiente procedimiento consigue este proposito.
1. Elección del primer vector unitario
u1 =v1‖v1‖
=v1√〈v1, v1〉
2. Elección del segundo vector ortogonal a u1
v′2 = v2 − 〈v2, u1〉u1
Este vector es ortogonal a u1, puesto que
〈v′2, u1〉 = 〈v2 − 〈v2, u1〉u1, u1〉〈v′2, u1〉 = 〈v2, u1〉 − 〈v2, u1〉 〈u1, u1〉〈v′2, u1〉 = 〈v2, u1〉 − 〈v2, u1〉 = 0
3. Elección del segundo vector ortonormal a u1
u2 =v′2‖v′2‖
=v′2
〈v′2, v′2〉
hasta aqui tenemos que el conjunto {u1, u2} es ortonormal
4. Continuación del proceso
{u1, u2, · · · , uk} es un conjunto ortonormal
hallaremos el siguiente vector v′k+1 ortogonal todo este conjunto,
v′k+1 = vk+1 − 〈vk+1, u1〉u1 − 〈vk+1, u2〉u2 − · · · − 〈vk+1, uk〉uk
6
luego el conjunto
{u1, u2, · · · , uk, v′k+1
}es un conjunto ortogonal
entonces hacemos
uk+1 =v′k+1∥∥v′k+1∥∥ = v′k+1⟨
v′k+1, v′k+1
⟩por tanto el conjunto
{u1, u2, · · · , uk, uk+1} es un conjunto ortonormal
hacemos esto para k = 3 hasta k = m
Ejemplo 0.3. Sea V =M22 un espacio vectorial producto interno definido por
〈A,B〉 = traza(BTA
)Encuentre una base ortonormal para el subespacio H ⊂M22, donde
H = gen
{v1 =
[1 1
1 1
], v2 =
[1 1
2 4
], v3 =
[1 2
−4 −3
]}
Primero hacemos entonces
w1 = v1 =
[1 1
1 1
]
ahora hallamos la norma de w1
‖w1‖2 = 〈w1, w1〉
‖w1‖2 =
⟨[1 1
1 1
],
[1 1
1 1
]⟩
‖w1‖2 = traza
([1 1
1 1
][1 1
1 1
])
‖w1‖2 = traza
([2 2
2 2
])= 4
por tanto
‖w1‖ = 2
7
tenemos entonces
u1 =w1‖w1‖
=1
2
[1 1
1 1
]=
[12
12
12
12
]ahora hallamos el vector w2 ortogonal a u1
w2 = v2 − 〈v2, u1〉u1
calculamos 〈v2, w1〉
〈v2, u1〉 = traza(uT1 v2
)〈v2, w1〉 = traza
([12
12
12
12
][1 1
2 4
])
〈v2, w1〉 = traza
([32
52
32
52
])= 4
entonces
w2 =
[1 1
2 4
]− 4
[12
12
12
12
]
w2 =
[−1 −10 2
]
seguidamente hallamos su norma
‖w2‖2 = 〈w2, w2〉 = traza(wT2 w2
)‖w2‖2 = traza
([−1 0
−1 2
][−1 −10 2
])
‖w2‖2 = traza
([1 1
1 5
])= 6
luego tenemos ‖w2‖ =√6 y por tanto
u2 =1√6
[−1 −10 2
]
Por ultimo hallamos el vector w3 ortogonal al conjunto {u1, u2}
w3 = v3 − 〈v3, u1〉u1 − 〈v3, u2〉u2
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calculamos entonces 〈v3, u1〉 y 〈v3, u2〉
〈v3, u1〉 = traza(uT1 v3
)〈v3, u1〉 = traza
([12
12
12
12
][1 2
−4 −3
])
〈v3, u1〉 = traza
([−32−12
−32−12
])= −2
y
〈v3, u2〉 = traza(uT2 v3
)〈v3, u2〉 = traza
([−16
√6 0
−16
√6 1
3
√6
][1 2
−4 −3
])
〈v3, u2〉 = traza
([−16
√6 −1
3
√6
−32
√6 −4
3
√6
])= −3
2
√6
luego
w3 =
[1 2
−4 −3
]− (−2)
[12
12
12
12
]−(−32
√6
)1√6
[−1 −10 2
]
w3 =
[12
32
−3 1
]
hallamos la norma de w3‖w3‖2 = 〈w3, w3〉
‖w3‖2 =
⟨[12
32
−3 1
],
[12
32
−3 1
]⟩
‖w3‖2 = traza
([12−3
32
1
][12
32
−3 1
])
‖w3‖2 = traza
([374−94
−94
134
])=25
2
por tanto
‖w3‖ =5√2
luego
u3 =
√2
5
[12
32
−3 1
]=
[110
√2 3
10
√2
−35
√2 1
5
√2
]
9
Por tanto el conjunto {u1, u2, u3} es una base ortonormal del subespacio H
Matriz ortogonal
Definición 0.5. Una matriz cuadrada Q se dice que es ortogonal si
1. Q es invertible
2. Q−1 = QT
La construcción de una matriz ortogonal esta basado en el siguiente teorema
Teorema 0.4. Una matriz Q = (q1, q2, · · · , qn) es ortogonal si y solo si el conjunto{q1, q2, · · · , qn} es un conjunto ortonormal.
Nota: q1, q2, · · · , qn son las columnas de la matriz Q
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