REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLOGIA ANTONIO JOSE DE SUCREBARQUISIMETO ESTADO LARA

INTEGRANTE

CESAR DIAZ C.I. 21561604CARRERA: INFORMATICA

SEPTIEMBRE 2014

1) Hallar el área de la Región encerrada por los gráficos :

a) f ( x )=x2−4 , g ( x )=x−4

x2−4=x−4 x2−x=0

La función superior es x2 −¿4La función inferior es x−4

= ∫0

1

( x ) ( x−1 )=∫0

1

( x )dx ( x−1 )dx

∫0

1

¿¿ – x + 1) dx = ∫0

1

¿¿ x2

2 + 2 x)¿1

0

=−¿ 13 −¿ 1

2 +2 −∫ 83 – 2 – 4)

= −13 −¿ 1

2 + 2 – ( 83−6)

= −2−3+126 −¿ ( 8−18

3 )

= −5+126 + 10

3 = 76 + 10

3=7+20

6=27

6 = 92

b¿ y= x3 , y=4 x

x3 = 4x x3 – 4x x (x2−4 )

x3 – 4 x = 0 aplicar Ruffini

x3 + 0x2 – 4x + 0

1 0 – 4 0 2 2 4

1 2 0

–2 – 2 Raíces (-2, 0,2)

1 0

∫2

0

¿¿ – 4x ) dx = ∫2

0x4

4 −¿ 4 x2

2 = ∫

2

0

( 24

4−4.22

2 ) = 164

−162

=−4

∫−2

0

( (−2)4

4−

4 (−2)2

2 ) = 164

−162

=4

∫−2

2

( 84

4−

4 (2)2

2 ) – ((−2)4

4−

4 (−2)2

2 ) = ( 164

−162

−164

+ 162 )

= 4 – 8 + 8 + 8 = + 12

Rpta = 12 – 4 = 8

C) x=12y, x=0 , y=1 , y=e2

∫1

e2

( 12y ) dy

∫0

e12y

dy = 12 ln y

12 ln e2 = 2.12 = 24

Rpta = 24

D) f ( x )=tanx2, eleje x y las rectas x=0 , x=1

2π

∫0

π2

( tanX2 ) dx = [ ln|sec x2|] π2

0

U= Sec x2 dx

= ln 2 – ln|Sec x|

= ln 2 - 0

= ln 2 Resultado = ln 2

2) Hallar el volumen del solido de revolución generado por la región encerrada por las curvas dadas (utilice el método del disco, arandelas y cortezas cilíndricas).

a) Un arco de y=cos2x, alrededor del eje x

Δ( x ) = π ¿¿

Δ V = π ( f (x))2 Δx

V= π ∫a

b

r 2 dx

V= π ∫ ( cos2x )2 dx

V= π ∫cos 24 x2 dx = [ π2

4 ]

V= 4x dx

U´ = 4 dx

U´4 = dx

Resultado = π2

4

b) x=4 y , x= 3√ y ,alrededor de larecta x=8

Radio mayor = |4 y−8| = 8−4yRadio menor = |3√ y−8| = 8 - 3√ y

V = π ∫0

1

( 8−4 y )2 −(8−3√ y )2dy

V= π ∫0

1

( 64−64 y+16 y2 ) - (64 –16 y23 + y

23 ) dy

V= π ∫0

1 (16 y2−64 y+6 y− y23+16 y

13 =6 y) dy

V= π∫0

1

(16 y2−64 y−3√ y2+16

3√ y ) dy

V= π∫( 16 y3

3−64 y2

2− y

53

53

+16y

43

43

)10

V= π ( 163

−32 y2−3 y53

5+ 48 y

43

3 ) 10V= π ( 16

3−32−3

5+16)

π = ( 80−480−9+24015 ) = 169

15 π

C) Hallar el volumen del sólido que se genera al rotar

alrededor del eje x la elipse x2

a2 + y2

b2 =1

- Se utiliza el método del disco - se traza la f( y ) = ab √b2− y2

V= 2 π ( a2

b2(b2− y2 )) dy = 2 π a

2

b2 ∫o

b

(b2− y2 )

= 2 π a2

b2 (b2 y− y3

3 )b0 = 2 π a2

b2 (b3−b3

3 ) =

1) 4 π3 a2b , cuando a>b

2) 4 π3 a b2 , cuandob>a

d) Hallar el volumen del sólido que genera la región encerrada por.

y=4−x2 , eje x , al girar alrededor de larecta x=3

V= π ∫0

3

( 4−X2 )2 dx

V= π ∫0

3

(16−8 x2+x4 ) dx

V= π ∫0

3

(16−8 x2+x4 )dx

V= π (16 x−8 x3

3+ x

5

5 )

= π (16,3−8.33

3+ 35

5 )

= π (48−8.273

+ 2435 )

π(48−2163

+2435 )

π (48−72+ 2435 ) = (−24+ 243

5 ) = (−120+2435 )

π ( 1235 )

Respuesta = (π 1235 )

3) Hallar la longitud de la curva dada

a) y= x3

6+ 1

2 x,desde x=1hasta x=3

dxdy ( x

3

6 ) dx=3 x3−1

6 = 3x2

6 = x2

3

dxdy

= 12 y

= 1

2 y2

dxdy

x2

2 −1

2x2 =2 y4−2

4 y2 = y4−1

2 y2

L = ∫1

3 √1+(Y 4−1

2Y 2 )2

dy = ∫1

3

¿¿¿

∫1

3 (√ 4 y4+ y8−2 y2+14 y4 )dy=∫

1

3 (√ y8+2 y4+14 y4 )

∫1

3 (√ ( y4+1 )2

4 y4 ) dy=∫13y4+12 y2 dy=∫

1

3

( y2

2+ 1

2 y2 )

∫1

3

( x3

6− 1

2 y2 ) = ( 33

6− 1

18 ) = 276

− 118

=92− 1

18

54−612

=4812 ( 9

2− 1

18 ) −¿ ( 16+1

2 ) = 81−118

−( 1+36 )

8118

−¿ 46 = 9

2−2

3 = 27−4

6 = 23

6 = 14

3

b) y=lnsecx ,desde x=0 , hasta x=π3

dxdy = ln secx = sec xsec = tan x . sec x

sec x

tg x . sec xsec x = tg x

∫π

0

tag x=( tg0−tg π3 ) = 1 – tg x π

3

=[ tg0−tg π3 ] = ln (2+√3 )