Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Henry Alvarado

De un total de N números, la fracción p son unos, y la fracción q = 1 – p son ceros. Probar que

la desviación típica de ese conjunto de números es √𝑝𝑞

Suponiendo una serie de ceros y unos:

Siendo n el número total de datos, entonces planteando las fracciones:

n

xn

n

x1

n

x

q

p

Calculo de la media:

Realizando la sumatoria para el numero de datos, los ceros son neutros por tanto solo se suman los unos.

n

xx

Realizando el momento 5M

n

n

x0

n

x1

M

x

1i

xn

1i

55

5

n

n

x0xn

n

x1x

M

55

5

n

n

xxn5101051x

M

5

5

55

5

5

4

4

3

3

2

2

5

n

x

n

x

n

x

n

x

n

x

n

xn

x5

n

x10

n

x10

n

x

n

x5

n

x

n

x

M

2

2

3

3

4

4

5

4

5

5

6

5

6

5

n

xn

x5

n

x10

n

x10

n

x4

M

2

2

3

3

4

4

5

5

1

1

1

0

0

0

p

q

Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Henry Alvarado

n

n

xnxn5xn10nx10x4

M4

4233245

5

5

42332455

n

xnxn5xn10nx10x4M

5

42332455

n

xnxn5xn10nx10x4M

3

32235

n

nxn4nx6x4

n

xn

n

xM

3

32235

n

nxn4nx6x4

n

xn

n

xM

Agrupando para posteriormente expresar en función de p y q

3

3223

3

322

3

32

3

35

n

xnx3xn3n

n

xnx2xn

n

xnx

n

x

n

xn

n

xM

Sabemos que:

n

xp ;

n

xnq ;

3

33

n

xp ;

3

32

2

22

n

xnx

n

xn

n

x

qp

3

322

3

222

2

n

xnx2xn

n

xnx2nx

n

xn

n

xpq

3

32233

3

n

xnx3xn3n

n

xn

q

Por tanto:

32235 qpqqpppqM

Ejemplo:

Tenemos que las fracciones son:

5

2

5

3

p

q

1

1

0

0

0

p

q

Universidad Técnica de Ambato Facultad de Ingeniería en Sistemas, Electrónica e Industrial

Henry Alvarado

32235 qpqqpppqM

3223

5

5

3

5

3

5

2

5

3

5

2

5

2

5

3

5

2M

025,0M5

Comprobación:

5

5

21

5

21

5

20

5

20

5

20

M

55555

5

025,0M5