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Dependencia e Independencia
Lineal
ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
• S es L.D si alguno de sus vectores es combinación lineal de los otros.
• S es L.I cuando ninguno de sus vectores son combinaciones lineales de los otros
L.D
L.I
SEA
𝑆= {(2 ,−1 , 1 ) , (1 ,0 , 1 ) ,(3 ,−1,2) }
𝑆= {(1 , 0,0 ) , (0,1 ,0¿,(0,0,1) }
Proceso para demostrar L.I ó L.D
1.Realizar la Combinación lineal Nula.
2. Obtener el Sistema de ecuaciones Homogéneo.
3. Resolver el sistema de ecuaciones homogéneo por Gauss o Gauss-Jordán.
𝟎𝒗=𝜶𝟏𝒖𝟏+𝜶𝟐𝒖𝟐+𝜶𝟑𝒖𝟑+…+𝜶𝒏𝒖𝒏
𝑆= {𝑢1 ,𝑢2 ,𝑢3 ,…𝑢𝑛 }
Ejemplos:1.Verificar si S es L.D
𝑺= {(𝟏 ,−𝟑 ); (−𝟐 ,𝟔)}
( 𝟏 −𝟐−𝟑 𝟔 |𝟎𝟎) f 2←f 2+3 f 1(
𝟏 −𝟐𝟎 𝟎 |𝟎𝟎)∴∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
𝒔𝒊|𝑨|=𝟎→∃∞𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
2.Verificar si S es L.I
𝑺= {(𝟐 ,𝟎 ); (𝟏 ,𝟏) }
(𝟐 𝟏𝟎 𝟏|𝟎𝟎) f 1←f 1−f 2(
𝟐 𝟎𝟎 𝟏|𝟎𝟎) f 1←f 1( 12 )(𝟐 𝟎
𝟎 𝟏|𝟎𝟎) ∴∃! 𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄
CONJUNTO GENERADOR
Sean (V, K, +,*) un espacio vectorial, S V,
S={s1; s2; s3…..sn}, u V
Si u= αs1+ βs2+ γs3, entonces S es conjunto generador de W
S genera W <S>=W
Pasos para hallar el conjunto generador S
1. Hallar las restricciones2. Reemplazar las restricciones3. Contar el número de variables involucradas4. Descomponer en suma de vectores5. Extraer los escalares mediante factor común6. Escribir el conjunto generador
Ejercicio 1
Calcular el conjunto generador de:
𝑾={(𝒙 ,𝒚 , 𝒛 ) /𝒚=𝟐 𝒙−𝒛 }
𝑾={𝒙 (𝟏 ,𝟐 ,𝟎 )+𝒛 (𝟎 ,−𝟏 ,𝟏 )/𝒙∧ 𝒛∈ℝ }
𝑺= {(𝟏 ,𝟐 ,𝟎 ) , (𝟎 ,−𝟏 ,𝟏 ) }
<S> = W
S genera a W
Ejemplo 2
Dado 1. Hallar las restricciones En éste caso, las restricciones son: a, b, c, d2, Reemplazar las restricciones
3. Contar el número de variables involucradas Existen cuatro variables involucradas, que son a, b, c y d
4. Descomponer en suma de vectores El numero de vectores depende de las variables involucradas
5. Extraer los vectores mediante factor común ( El factor común son las variables involucradas)
6. Escribir el Conjunto Generador
S
S genera a W
Ejemplo 3
Dada W= { / a= 2b – 3c} 1. Hallar las restricciones: a= 2b – 3c2. Reemplazamos la restricción :
W= { }3. Contar el número de variables involucradas4. Descomponer en suma de vectores
5. Extraer los vectores:
6. Escribir el conjunto generador :
S genera a W