MATRICES EQUIVALENTES O SEMEJANTES

Dada una matriz A cualquiera decimos que B es equivalente de A si podemos transformar A en B mediante una combinación de las operaciones elementales de fila:

Multiplicar una fila de A por un número real cualquiera diferente de cero. Intercambiar filas. Sumar a una fila de A cualquier otra fila.

Ejemplo:

A=

f1←f1 + 3f2

MATRIZ ESCALONADA

Matriz escalonada por filas

Es una matriz cuyos elementos iguales a cero aumentan de izquierda a derecha fila a fila.

Ejemplo:

Matr iz esca lonada reduc ida por f i las

Es una matriz escalonada cuyos elementos son iguales a 1, y

en sus respectivas columnas son los únicos diferentes de cero.

Una matriz es reducida por filas si cumple lo siguiente:

1. El primer elemento no nulo de cada fila, llamado pivote, es

12. Encima (y debajo) de cada pivote solo hay cerosEjemplo:

¿Qué es el pivote de una matriz?

Se denomina “pivote” al elemento delantero de cada fila diferente de cero. Estos están a la derecha del elemento delantero de la fila anterior.

Pivotes

Ejercicio:

Reducir la siguiente matriz a su forma escalonada y luego a su forma escalonada reducida por filas.

Matriz escalonada por filas

F4←F4 - 4F1

Matriz escalonada reducida por filas.

MATRIZ INVERSA

Una matriz cuadrada A es invertible si existe una matriz que denotemos por A-1 que cumple:

A · A-1  = A-1 · A = I

*Encontrar una matriz B de modo que A · B  = B · A = I

Cuando tenemos este caso decimos que dicha matriz B que cumpla las condiciones anteriores es la matriz inversa de la matriz A

Para:A · A-1  = A-1 · A = I

Donde I es la matriz identidad. En este caso se dice que A-1 es la inversa de A

Notamos que:A · A-1 son conmutables

PROPIEDADES

(A · B)-1  = B-1 · A-1 (A-1)-1  = A (k · A)-1  = k-1 · A-1 (A t)-1  = (A -1)t

No toda matriz cuadrada tiene inversa, la condición es que su determinante sea

diferente de cero

Cálculo de una matriz inversa:Ubicamos la matriz A y junto a esta ubicamos lamatriz identidad luego aplicamos el método de Gauss Jordan. Al final debemos obtener la matriz identidad pero en el lado izquierdo y lo que nos quede en el lado derecho será nuestra matriz inversa.

(A|I) (I|A-1)GAUSS

EJERCICIO

Hallar la matriz inversa de la matriz An

F2=F2 - F1 F3 F3+F2 F2 F2-F3

F1 F1+F2 F2<- (-1)F2

COMPROBACIÓN

A · A-1  = A-1 · A = I