Modelo Doblete Inerte

Instituto de Fısica, Universidad de Antioquia

Modelo del Doblete Inerte

Alejandro Correa Lopeza*.

aUniversidad de Antioquia.

24 octubre de 2012

Resumen

El Modelo del Doblete Inerte (IDM por sus siglas en ingles) es una extension mınimadel Modelo Estandar con una doblete de Higgs adicional, H2, y una simetrıa que nose rompe en el rompimiento espontaneo de la simetrıa, Z2, bajo la cual H2 es impar ylos otros campos son pares. Dicha simetrıa impide el acoplamiento directo de H2 conlos fermiones y los leptones. Una condicion crucial para la materia oscura es que segarantice la estabilidad de las partıculas inertes mas ligeras.

Palabras Claves: Doblete de Higgs, simetrıa Z2, materia oscura.

1. Introduccion

En la actualidad, muchas observaciones cosmologicas coinciden en que la mayorıa de materiaen el universo no solo no es visible a nuestros ojos, sino que no esta compuesta por atomos comola materia tradicional. A este tipo de materia se le conoce en la literatura como materia oscura[1]. Existen muchos candidatos a materia oscura (DM). Pero al realizar un estudio sistematicode los modelos, de la mano con la fenomenologıa que nos otorgan colaboraciones como el LHC,se muestra que ellos no son viables, pues no dan explicacion satisfactoria a problemas como, por

*[email protected]

1

Seminario III Modelo del Doblete Inerte

ejemplo, la masa de los neutrinos. Sin embargo, si se toma como criterio la simplicidad de losmodelos, en terminos de los nuevos parametros y los nuevos campos, tales estudios sistematicosde hacen factibles. Este enfoque es diferente y complementario a los criterios que dieron lugar ateorıas como la Supersimetrıa y Universos con dimensiones extra, los cuales fueron creados parabordar y solucionar otros problemas fundamentales (como el problema de la jerarquıa) con unnumero de parametros y posibilidades muy grandes. Otro criterio de seleccion que debe ponerse enconsideracion es la capacidad de prediccion y la capacidad de prueba del modelo en los aceleradoresactuales junto con los experimentos de deteccion directos o indirectos de DM. Las posibilidadesparticularmente simples surgen si se anade al Modelo Estandar (SM) un singlete o multipletedeSU(2)L extra (escalar o fermionico), que contiene un campo neutral candidato DM [2].

2. El Modelo del Doblete Inerte (IDM)

El IDM es una de las mas simples extensiones del SM y ademas es una de las mas versatiles.Este escenario, en el cual los campos usuales del SM son complementados por un doblete escalarde SU(2) que no contribuye al rompimiento espontaneo de la simetrıa electrodebil y se acopla soloal sector bosonico mas no al sector fermionico, tiene una potencial riqueza en varias aplicacionesfenomenologicas [3].Denotemos el doblete del (SM) como H1. Luego, el IDM, consiste en la adicion de de un dobletede Higgs, H2, junto con la simetrıa Z2 tal que

H1 → H1 and H2 → −H2.

Con esta simetrıa, la violacion de CP en el sector del Higgs del SM esta prohibida y las corrientesneutrales que cambian sabor (FCNC) no son permitidas. Pero, en una teorıa mas real, la simetrıaZ2 deja de ser invariante, es decir, es violada [6]. Todos los campos del SM son pares bajo lasimetrıa Z2, mientras que H2 no lo es. Este hecho garantiza la estabilidad de la componentemas ligera de H2 la cual se considerara como la candidata a DM. Se asumira ademas que dichasimetrıa no se rompe espontaneamente, es decir, no adquiere un valor de expectacion en el vacıo.Cabe resaltar que la simetrıa discreta previene la aparicion de FCNC. En este orden de ideas,y con la intencion de tener una componente neutral, la hipercarga del doblete escalar debera serY = ±11. Por convencion, se tomara Y = +1 como la hipercarga de H2. Luego, los dobletes H1 yH2 se expresan como

H1 =

(0

v+h√2

); H2 =

(H±

H0+iA0√2

)Observemos que H2 es el doblete inerte, pues no interactua con ningun tipo de fermion y ademasintroduce los nuevos campos: H± (estados cargados) y H0, A0 (estados neutros). Cualquiera deellos es candidato a ser la materia oscura.

1Donde se ha elegido la carga electrica como Q = T3 + Y/2

2

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2.1. El Potencial

El potencial renormalizable mas general con dos dobletes se expresa de la forma

V = µ21|H1|2 + µ2

2|H2|2 + λ1|H1|4 + λ2|H2|4 + λ3|H1|2|H2|2

+ λ4|H†1H2|2 +λ52

[(H†1H2)2 + (H†2H1)

2]. (1)

Dicho potencial contiene un parametro de masa que acompana al termino H†1H2 el cual viola demanera suave la simetrıa Z2. Esta violacion suave implica que la simetrıa Z2 esta rota pero cercadel valor de la masa, y se restaura para perquenas distancias � 1/Mi, donde Mi representa lasmasas de los Higgs [6].

2.1.1. Valor de expectacion del vacıo

Para hallar el valor de expectacion del vacıo con el potencial (1), se consideran los campos H1

y H2 como

H1 =

(0h

); H2 =

(φ1

φ2

). (2)

Reemplazando las expresiones (2) en la expresion del potencial (1) se obtiene que

V = µ21h

2 + µ22(φ

21 + φ2

2) + λ1h4 + λ2(φ

21 + φ2

2)2 + λ3h

2(φ21 + φ2

2)

+ λ4h2φ2

2 +λ52

[(hφ2)2 + (φ2h)2]

= [µ21 + λ3(φ

21 + φ2

2) + (λ4 + λ5)φ22]h

2 + µ22(φ

21 + φ2

2) + λ4h4

+ λ2(φ21 + φ2

2)2.

Derivando ahora respecto a h para hallar el valor de expectacion

∂V

∂h= 2[µ2

1 + λ3(φ21 + φ2

2) + (λ4 + λ5)φ22]h+ 4λ1h

3

= {2[µ21 + λ3(φ

21 + φ2

2) + (λ4 + λ5)φ2] + 4λ1h2}h.

Como se espera que en el doblete inerte φ2 no rompa el vacıo electrodebil entonces los terminoscon φ2 se descartan. Luego

∂V

∂h= 2[µ2

1 + 4λ1h2]h.

Y como se espera un mınimo en el vacıo, entonces ∂V∂h

= 0 lo cual implica que

µ21 = −2λ1h

2 → h2 = − µ21

2λ1.

3


Es decir, si la simetrıa electrodebil se rompe, entonces se encuentra que H1 adquiere un vev talque

〈H1〉 =v√2, (3)

donde v = −µ21/λ1 ≈ 248 GeV. Por otro lado, asumiendo que µ2

2 > 0 entonces

〈H2〉 = 0. (4)

Se define ahora el Vacıo Inerte [4] si se cumple las relaciones (3) y (4). La masa del boson deHiggs2 del SM (denotado por h) es M2

h = −2µ21 ≡ 2λ1v

2.

2.1.2. Terminos de masa

Sean H1 y H2 los dobletes del modelo tales que

H1 =

(0

v+h√2

); H2 =

(H±

H0+iA0√2

)

donde H1 es el doblete de Higgs del SM y H2 es el doblete inerte que introduce los nuevos campos:H± (estados cargados) y H0, A0 (estados neutros). Cualquiera de ellos es candidato a ser la materiaoscura. Ahora, consideremos el potencial escalar

V = µ21|H1|2 + µ2

2|H2|2 + λ1|H1|4 + λ2|H2|4 + λ3|H1|2|H2|2

+ λ4|H†1H2|2 +λ52

[(H†1H2)2 + (H†2H1)

2]

Luego, expandamos cada termino para identificar la masa de los nuevos campos.

1.

|H1|2 = H†1H1 =(v + h)2

2=

1

2(h2 + 2hv + v2)

2.

|H2|2 = H†2H2 =

(H±†

H0 − iA0

√2

)(H±

H0+iA0√2

)

= (H±)2 +(H0)2 + (A0)2

2

2Es claro que la masa del Higgs depende de un parametro libre y por lo tanto su valor dependera del valor quele asignemos a µ. Pero, para julio de 2012 se encontro un indicio de que dicha masa es de aproximadamente 125GeV.

4


3.

|H1|4 =(v + h)4

4

4.

|H2|4 =

[(H±)2 +

(H0)2 + (A0)2

2

]2= (H±)4 + (H±)2[(H0)2 + (A0)2] + [(H0)2 + (A0)2]2

= (H±)4 + (H±)2[(H0)2 + (A0)2] + (H0)4 + 2(H0)2(A0)2 + (A0)4

5.

|H1|2|H2|2 =1

2(v + h)2

[(H±)2 +

(H0)2 + (A0)2

2

]=

1

2(h2 + 2hv + v2)

[(H±)2 +

(H0)2 + (A0)2

2

]6.

|H†1H2|2 =

∣∣∣∣∣(

0h+ v√

2

)(H±

H0+iA0√2

)∣∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣12(h+ v)(H0 + iA0)

∣∣∣∣2=

1

4(h+ v)2[(H0)2 + (A0)2]

7.

(H†1H2)2 =

[1

2(h+ v)(H0 + iA0)

]2=

1

4(h+ v)2(H0 + iA0)2

=1

4(h2 + 2hv + v2)[(H0)2 − (A0)2 + 2iH0A0]

(H†2H1)2 =

1

4(h2 + 2hv + v2)[(H0)2 − (A0)2 − 2iH0A0]

Luego, el potencial, en terminos de los campos, toma la forma de

V =µ21

2(h2 + 2hv + v2) + µ2

2

[(H±)2 +

(H0)2 + (A0)2

2

]+ λ1

(v + h)4

4

+ λ2[(H±)4 + (H±)2[(H0)2 + (A0)2] + (H0)4 + 2(H0)2(A0)2 + (A0)4

]+

λ32

(h2 + 2hv + v2)

[(H±)2 +

(H0)2 + (A0)2

2

]+λ44

(h+ v)2[(H0)2 + (A0)2]

+λ54

(h2 + 2hv + v2)[(H0)2 − (A0)2

]. (5)

5


Ahora, del potencial (1) podemos identificar los siguientes terminos de masa:

M2h = 2λ1µ

21

M2H± = µ2

2 +λ3v

2

2

M2H0 =

µ22

2+v2

4(λ3 + λ4 + λ5)

M2A0 =

µ22

2+v2

4(λ3 + λ4 − λ5) (6)

Puesto que unicamente el doblete H1 toma parte en el SSB, solo h es un boson de Higgs comotal. El resto de partıculas escalares remanentes son entonces llamados escalares inertes, pues nocontribuyen al SSB y no tienen acoplamientos con fermiones.

2.2. Restricciones teoricas y experimentales

El espacio de los parametros del potencial escalar (1) del IDM se reduce debido tanto a lasrestricciones teoricas como a los resultados de las busquedas experimentales. Desde el punto devista teorico, existen varias limitaciones de suma importancia que garantizan la unitariedad a nivelarbol y la estabilidad del vacıo del modelo [7]:

Garantizar Perturbacion: Se obliga a que el potencial sea perturbativo exigiendo que todoslos acoplamientos cuadraticos del potencial (1) sean tales que |λi| ≤ 8π.

Estabilidad del vacıo: Para garantizar que el potencial sea acotado, y por tanto el vacıo seaestable, al menos a nivel arbol, se requiere que

λ1,2 > 0,

λ3 + λ4 − |λ5| > −2√λ1λ2,

λ3 > −2√λ1λ2.

Unitariedad: Para restringir los parametros del potencial escalar del IDM se puede exi-gir que a nivel arbol la unitariedad se preserva en una variedad de procesos de dispersion:escalar–escalar, boson gauge–boson gauge y escalar–boson gauge. Para efectos practicos, seconsiderara el proceso puramente escalar dominado por las interacciones cuadraticas.El conjunto completo de procesos dispersivos que son escalares pueden representarse medi-ante la matriz S de 22 × 22 compuesta de 4 submatrices que no se acoplan una con otradebido a la conservacion de la carga y a la invarianza CP. Las entradas son precisamente losacoplamientos cuadraticos los cuales median los procesos de dispersion.

6


Segun [12] los autovalores de la matriz S son

e1,2 = λ3 ± λ4, e3,4 = λ3 ± λ5,

e5,6 = λ3 + 2λ4 ± λ5, e7,8 = −λ1 − λ2 ±√

(λ1 − λ2)2λ24,

e9,10 = −3λ1 − 3λ2 ±√

9(λ1 − λ2)2 + (2λ3 + λ4),

e11,12 = −λ1 − λ2 ±√

(λ1 − λ2)2 + λ25.

Luego, se impone una restriccion perturbativa unitaria sobre todos los autovalores tal que|ei| ≤ 8π∀i = 1, 2, 3, ..., 12. Ası, la restriccion mas pesada sobre λ1,2 proviene de los autoval-ores e9,10, pues

λ1 + λ2 ≤8π

3.

Electro Weak Precision Tests: En 1990, los parametros fenomenologicos S, T , y U fueronpresentados por Peskin y Takeuchi [5] para cuantificar las contribuciones de las correc-ciones radiativas electrodebiles de la fısica mas alla del SM. Dichos parametros tienenuna simple relacion con los parametros del Lagrangiano quiral electrodebil. El analisis dePeskin-Takeuchi estaba basado en el formalismo general para las correcciones radiativaselectrodebiles realizadas por Kennedy, Lynn, Peskin y Stuart. Los parametros S, T , y Udescriben correcciones de los propagadores de bosones de gauge electrodebiles de la fısicamas alla del SM. En el SM, los EWPT implican una relacion entre Mh y MZ . En el IDMtambien se presentan la relacion entre las masas.Para el IDM se exige que los valores calculados de S y T se encuentran dentro de unasignificancia de 2σ en un plano S, T con los siguientes valores centrales: S = 0,03 ± 0,09 yT = 0,07 ± 0,08, con un ajuste de correlacion igual al 87 % [4]. Luego, parece que, cuandolas restricciones sobre unitariedad y la estabilidad del vacıo son aplicadas, se puede obteneruna cota para las masa de H0.

LEP: Gracias al Gran colisionador Electron–Positron, tanto en su fase LEPI como en LEPII,se han encontrado ciertas cotas sobre las masas escalares

MH± +MH0

> MW , MH± +M0

> MW ,

MH0 +MA0 > MZ , 2MH± > MZ ,MH± > 70 GeV,

y se excluyen las regiones donde MH0 < 80 GeV, MA0 < 100 GeV y MA0 −MH0 > 8 GeV.

2.3. Notas Finales

El patron de rompimiento de la simetrıa electrodebil, dado por las ecuaciones (3) y (4), aseguraque la simetrıa Z2 permanece invariante. Despues del rompimiento de la simetrıa electrodebil laspartıculas finales resulta en dos escalares pares neutros (h, H0 ), un escalar impar neutro (A0)

7


y un par de escalares cargados (H±). No hay mezcla entre los dos dobletes3 y, por tanto H1

juega el papel de la boson de Higgs del SM. Una caracterıstica importante, y que debe tenersemuy en cuenta, es que el resto de bosones, es decir H0, A0 y H± son inertes y no tienen ninguntipo de interaccion con los quarks y los leptones. La simetrıa Z2 tambien asegura la estabilidaddel escalar ligero (sea H0 o A0) que puede actuar como un candidato a materia oscura. Comovimos en la seccion 2.1.2, los seis escalares pueden ser escritos en terminos de los seis parametros{µ2

2, λ1, λ2, λ3, λ4, λ5}. Luego, es posible los acoplamientos cuadraticos λi en terminos de las masasfısicas escalares y µ2 de la siguiente manera:

λ1 =M2

h

2v2, λ3 =

2

v2(MH± − µ2

2), λ4 =M2

H0 +M2A0 − 2M2

H±

v2, λ5 =

MH0 −MA0

v2. (7)

Es claro entonces que se tienen seis parametros independientes (λi, con i = 1, 2, ..., 5) y µ2 o deequivalentemente cuatro masas fısicas escalares, λ2 y µ2: {µ2

2,Mh,MA0 ,MH± , λ2}Por otro lado, Teniendo en cuenta un boson de Higgs con masa Mh ∼ 125 GeV, se encuentraque una mejora en la significancia del decaimiento de h a dos fotones es solo posible para valoresacotados de los acoplamientos escalares λ3 ∼ hH+H−, λ345 ∼ hHH y las masas de los escalarescargados y las partıculas de materia oscura. una mejora por debajo de 1.3 demanda que las masasde H± y H0 esten en el intervalo (65,2, 135) GeV y −1,46 < λ3, λ3,4,5 < −0,24.Los parametros λ3 y λ3,4,5 son proporcionales a los acoplamientos hH+H− y hHH respectivamente.El unico parametro del potencial escalar que se encuentra ausente es λ2, el cual se relacionacon los auto–acoplamientos cuadraticos de los escalares, es decir, HHHH o H+H−H+H−. Unacaracterıstica de suma importancia es que el vacıo inerte puede realizarse solo si se cumplen lassiguientes condiciones

M2h ,M

2H0 ,M2

A0 ,M2H± ≥ 0,

M211√λ1

>M2

22√λ2, (8)

donde M11 y M22 son las masas de los bosones de Higgs SM y DM. Luego, partiendo de la existenciade dicho vacıo, el valor de la masa del Higgs SM de 125 GeV y la condicion de unitariadad sobre

λ2 se sigue la condicion sobre M22: M222

<∼ 9× 104GeV2.Para finalizar, una idea de cuales serıan las cotas para los nuevos parametros que introduce elIDM viene dada por la exploracion aleatoria del espacio de parametros. Tomando en cuenta lasrestricciones anteriores dadas en la seccion (2.2), y variando los parametros, encontramos lassiguientes cotas:

MH0 = 125 GeV,

70 GeV ≤ MH± ≤ 800(1400) GeV,

0 < MA0 ≤ 800(1400) GeV,

0 < MH0 ≤MA0 ,MH± ,

−25× 104(−2× 106) GeV2 ≤ M222 ≤ 9× 104GeV2,

0 < λ2 ≤ 10.

3En el sentido de que no se presenta en el modelo una superposicion de H1 y H2 que de como resultado otrodoblete.

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Referencias

[1] L. Lopez Honorez, E. Nezri, J. F. Oliver and M. H. G. Tytgat, JCAP 0702, 028 (2007)[hep-ph/0612275].

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[3] E. Dolle , X. Miao , S. Su, and B. Thomas arXiv:hep-ph/09093094

[4] B. Swiezewska , and M. Krawczyk arXiv:hep-ph/12124100

[5] M. E. Penskin, and T. Takeuchi ((New constraint on a strongly interacting Higgs sector))(1990). Physical Review Letters 65 (8): pp. 964–967. doi:10.1103/PhysRevLett.65.964. PMID10043071.

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[11] T. Takeuchi, In *Hiroshima 1991, Proceedings, Electroweak symmetry breaking* 165-188, andSLAC Stanford - SLAC-PUB-5730 (92/03,rec.May) 24 p. (see Conference Index)

[12] B. W. Lee, C. Quigg and H. B. Thacker, Phys. Rev. D 16 (1977) 1519

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