Geometrıa Analıtica II

Tarea 3

1. Encontrar la ecuacion y bosquejar la grafica del cilindro (vertical) que tiene por base:

a) La elipse con centro en (1, 1) y semiejes a = 2, b = 3.

b) La hiperbola vertical con centro en (−1, 2) y semiejes a = 1, b = 2.

c) La parabola horizontal con foco en (2, 0) y directriz x = 0.

d) la curva con ecuacion y = x3 − x.

e) La curva con ecuacion y = senx.

2. Obtener la ecuacion de la superficie generada al hacer girar la curva dada alrededor del eje que se indica, y trazar la grafica.

a) La elipse centrada en el origen y semiejes a = 2, b = 1; eje Y .

b) La elipse centrada en el origen y semiejes a = 2, b = 1; eje Z.

c) La hiperbola horizontal centrada en el origen y semiejes a = 1, b = 3; eje Y .

d) La hiperbola horizontal centrada en el origen y semiejes a = 1, b = 3; eje Z.

e) La parabola con ecuacion y2 + z − 4 = 0; eje Y .

f ) La parabola con ecuacion z2 − 2y + 3 = 0; eje Z.

g) La circunferencia con ecuacion y2 + z2 − 4z − 21 = 0; eje Y .

h) La circunferencia con ecuacion x2 + y2 + 6y − 7 = 0; eje X.

3. Calcular el volumen de la region delimitada por las superficies de revolucion generadas al girar cada curva alrededor del ejeX.

a) f(x) = x3; x ∈ [−1, 1].

b) f(x) =1

2

√1−

x2

25.

c) f(x) = 3−x

2; x ∈ [0, 6].

d) f(x) =1

x3; x ∈ [0, 1].

e) f(x) = secx; x ∈ [0, π/2].

4. ¿Cual es la unica conica que al rotarse alrededor del eje Y genera la misma superficie que al ser girada con respecto al ejeZ? Justifica tu respuesta.

5. Encontrar las dos rectas que pasan por el punto (0, 2,√

3) en el hiperboloide de un manto x2 + y2 − z2 = 1.

6. Encontrar las dos rectas que pasan por el punto (2, 2, 0) en la silla de montar x2−y2 = z. Observacion: Las conicas estudiadasen estos ejercicios son consideradas en su forma canonica, es decir, sus ejes son paralelos a los ejes cartesianos.

7. Por traslacion de ejes remueva los terminos de primer grado en

a) 2xy − x − y + 4 = 0

b) x2 + 2xy + 3y2 + 2x − 4y − 1 = 0

8. Transforme la ecuacion de cada una de las siguientes conicas, rotando los ejes de acuerdo al angulo que se especifica.

a) x2 − y2 = a2, ϕ = −π4

.

b) −3x2 + y2 + 24x − 36 = 0, ϕ = π3

.

c) 4x2 + 3y2 + 32x − 12y + 64 = 0, ϕ = 2π3

.

1

d) x2 − 4x − 4y + 4 = 0, ϕ = π4

.

e) x2 − 8y2 − 2x + 40y − 47 = 0, ϕ = −π4

.

f ) 5x2 + 9y2 − 60x − 18y + 144 = 0, ϕ = π6

.

9. Simplifique cada una de las siguientes ecuaciones por medio de una rotacion y traslacion de ejes

a) 2x2 + xy + 2y2 = 90.

b) 2x2 − 5xy + 2y2 = 18.

c) 4x2 − 3xy = 18.

d) 17x2 + 12xy + 8y2 + 46x + 28y + 17 = 0.

e) 386x2 − 720xy − 97y2 + 720x + 194y + 481 = 0.

f) 108x2 − 312xy + 17y2 + 480x − 380y − 100 = 0.

10. Demuestre que cualquier cilindro tiene un numero infinito de planos de simetrıa.

11. Dadas las siguientes ecuaciones, determine que tipo de superficie cuadrica es, reduzca a sus respectivas ecuaciones canonicas,indique si la cuadrica es central e indique las transformaciones de coordenadas que este usando.

a) 3x2 − y2 − 3z2 − 4xz + 2 = 0

b) 2xy + 2xz + 2y − 5 = 0

c) 5x2 + z2 + 3xz − 8y = 0

d) 4x2 + 4y2 + 6z2 + 8xy + 4xz + 4yz − 8x+ 12y − 4z + 6 = 0

e) x2 − 3y2 + 5z2 + xy − 6xz − 7yz + 4x− 8y + 19z + 12 = 0

f ) 5x2 + 2y2 + z2 + 3xz − 9z = 0.

g) x2 + 5y2 − 8x+ 12y − 4z + 6 = 0

h) x2 + xy − 4xz + 9yz − 8x+ 12y − 4z + 6 = 0.

12. Justifique:

a) Elabore las graficas de z = x2 + y2 y z = x2 + (y − 1)2 sobre los mismos ejes.

b) Demuestre que su interseccion se encuentra en un plano paralelo al plano XZ

c) ¿Que clase de curva es la interseccion?

13. Considere la region acotada por las curvas y = cos x, y = 1 y x = π2

. Calcular los volumenes y las superficies de lossolidos que se obtienen al girar la region alrededor del ejeX y alrededor del eje y.

14. Obtener el volumen y la superficie del solido que se obtiene al girar sobre el eje X la curva y = x2 (2 − x2), 0 ≤ x ≤√

2.

15. Sea R la region acotada por el eje X y y = sin x para 0 ≤ x ≤ π2

. Calcular el volumen y la superficie del solido generadocuando R es girado alrededor del eje X y el eje Y .

16. Obtener el valor de a > 0 tal que cuando giramos la region acotada por la curva y = 1 +√x ex

2, la recta y = 1 y la

recta x = a el volumen del solido es 2π.

17. Calcular el volumen de la region que se obtiene al rotar alrededor del eje X la funcion y = 1 + x ex2, entre x = 1 y

x = n. ¿Que pasa con el volumen cuando n −→ ∞?

Recomendacion: Ademas del material que aquı se presenta, resolver los ejercicios 19-28 de las paginas 364 y 365 del libro deW. Wooton.

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