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¿Una corrección en el cálculo de la auto-energía del electrón?
Sergio A. Prats López, Octubre 2016
Abstract El objetivo de este paper es hacer notar la presencia de un posible error en la electrodinámica cuántica (en adelante QED) al modelar el potencial causado por una unidad de volumen (punto) de una partícula representada por una función de onda no puntual.
El error procede de que en dichas fórmulas se obvia la densidad de carga, la fuente de dicho error está en el proceso de normalización de la función de onda que se hace para poder tratar como ondas planas “condesadas” los electrones incidentes que se acerquen a la región de la perturbación. Mientras que este proceso de normalización no tiene impacto en las interacciones con otros potenciales, sí lo tiene en el cálculo que se hace de la autoenergía.
No es el objetivo de este artículo entrar a valorar el impacto que tendría este cambio en todas las predicciones realizadas gracias a QED ni en valorar cómo ha podido QED dar lugar a tan buenas predicciones existiendo este fallo.
Al final del artículo se propone una prueba para comparar la autoenergía de una función de onda con la energía potencial que tendría la carga de dicha función de onda si fuesen cargas libres. Dicha prueba puede servir para avalar las hipótesis aquí presentadas ya que para funciones de onda grandes a escala cuántica los resultados del modelo cuántico y clásico deben asemejarse en gran medida.
El estudio sobre el que se ha hecho este documento se basa principalmente en el libro “QUANTUM ELECTRODYNAMICS” de Richard Feynman, editado por Advanced Books Classics, ISBN 0-201-36075-6. La intención de este paper es generar una reflexión y refutar, si procede, la hipótesis planteada al principio de este abstract.
Para la comprensión y juicio de este artículo, es necesario que el lector conozca la electrodinámica cuántica.
KEYWORDS
QED, electrodinámica cuántica, auto-energía, auto-energía divergente.
Introducción
Este artículo, al igual que la obra en que se basa, planteará sus resultados sobre electrones, tratados como spinors que obedecen la ecuación de Dirac:
∇ − =
Siendo:
es una función de onda de tipo spinor. ‘m’ es la masa del electrón y ‘e’ su carga. ∇ es el operador gradiente que actúa sobre el espacio y el tiempo. ∇≡ ∇ = [ , , , ]
A es el 4-potencial. ≡ = [ , ]. Usaré letras en negrita para expresar vectores espaciales, sin componente temporal.
El signo de acento multiplica cada 4-vector por las matrices de Dirac de forma que:
∇= ∇ =
QED se basa en el propagador para evaluar el efecto de una perturbación sobre una función de onda incidente. Dado que el propagador presenta una expresión mucho más sencilla en el dominio del momento-energía, los cálculos de QED sueles hacerse sobre ondas planas en dicho dominio. En el dominio espacio-temporal, una onda plana toma la forma = · . En el dominio del momento-energía es simplemente una delta = ( − ).
= [ , ] es el momento y energía (incluyendo masa y energía cinética) de la partícula.
= [ , ] es la posición en el espacio tiempo. ‘ ’ es el spinor solución de la ecuación de Dirac para una onda plana. Cada onda plana
puede adoptar dos soluciones diferentes en función de su spin.
Trabajando con ondas planas incidentes se puede obtener fácilmente, mediante los diagramas de Feynman, la amplitud de pasar de tener un momento a ser otra onda plana de momento
como consecuencia de la interacción con un potencial, campo electromagnético radiado u otro electrón.
Cualquier paquete de ondas se descompone en diferentes ondas planas como demuestra el principio de incertidumbre de Heissenberg; para calcular la amplitud total de obtener una onda de salida de momento debe descomponerse la onda incidente e integrar la amplitud de que cada momento dé lugar a un momento .
Interacción con potenciales externos Para mostrar los inconvenientes que puede tener la descomposición de ondas en ondas planas evaluaré el choque elástico (ignorando el bremsstrahlung) de un electrón con un núcleo atómico de carga Z*e que consideraré puntual. Este es un proceso que no requiere el uso de diagramas de Feynman ni del propagador pero que ilustra la forma con la que se normalizan las ondas en QED.
Si tenemos una onda plana incidente · y queremos evaluar la probabilidad de obtener como onda de salida · , la amplitud se obtiene resolviendo esta integral:
= − · ·
El carácter ‘~’ implica multiplicar por la matriz , = ∗ = ∗
La integral sobre el espacio es equivalente a una transformada de Fourier sobre la variable =− , se obtiene una amplitud:
= − ( )4
Finalmente, tras aplicar la normalización de los spinors y la densidad de estados se llega a la siguiente transición de probabilidad por segundo:
./ =2
(2 )(2 )| |
Ω(2 )
Desglosando esta fórmula:
Los términos (2 ) y (2 ) son el resultado de normalizar los spinors dado que para una onda plana el producto ( ) = 2 .
( )
la densidad de estados posibles de la onda saliente por cada estado energía de
la onda saliente, es decir, ( )
y Ω un diferencial de ángulo sólido.
Estos resultados son correctos en general, pero conviene hacer una observación al respecto, las ondas incidente y resultante se asume que están normalizadas a una partícula por centímetro cúbico1 lo cual además de ser una aproximación, obligaría a limitar la región de integración a una
esfera de radio = 3/4 “truncando” la transformada de Fourier.
Figura 1. Densidad de probabilidad de la función de onda gaussiana (paquete de onda).
Además del truncado, esta integral requiere que la onda incidencia quede centrada sobre el núcleo que ejerce el potencial. Si la onda normalizada está centrada a una distancia + del núcleo debería aplicarse una fase · en cada amplitud.
1 En el libro se habla de una partícula por centímetro cúbico, aunque empleando la unidad básica del sistema internacional (el metro) tendríamos una partícula por metro cúbico.
Aunque para una onda plana esta fase no afecta en la probabilidad total, cualquier onda paquetizada se descompone en múltiples ondas planas de manera qué a grandes distancias del núcleo, incluso dos ondas planas muy próximas entre sí aportan una diferencia de fase
·( ) en sus amplitudes que resulta en una interferencia destructiva.
Por lo tanto, tanto si la onda está alejada del núcleo como si la onda está muy diluida en el espacio, el efecto de un potencial electroestático se reduce drásticamente. Me gustaría modificar la expresión de la amplitud M dejándola así:
′ = − ·( ) ·( )
Obviando estas observaciones que acabo de plantear, en QED se asume que la probabilidad de que una onda pase de tener un potencial a tener por efecto de un potencial electroestático puede expresarse como:
= − ( ( ) )
Donde ‘a(Q)’ es la transformada de Fourier de un potencial electroestático ‘1/r’ y ‘e’ es la carga del electrón.
De esta forma queda enmascarada la normalización de un electrón por centímetro cúbico así como el requerimiento de que la onda del electrón debe pasar a través del núcleo (lo que por otra parte puede considerarse obvio).
Interacciones con estados virtuales La mayoría de procesos en QED implican el empleo de estados virtuales o bien en los electrones o en los fotones. En un estado virtual se incumple la Shell condition de la partícula, es decir, no se cumple que ( − ) − ( − ) = , siendo m la masa en reposo de la partícula en cuestión (m=0 para fotones).
Un estado virtual es un estado intermedio del proceso cuántico que se esté tratando. Sea ‘p’ el 4-momento de un estado virtual, tal que − ≠ . La amplitud de dicho proceso depende del valor que tome el propagador para el estado virtual. Los propagadores tienden a infinito cuando se cumple la Shell condition.
El propagador en el dominio del momento es:
( ) =1
−
Siendo m la masa en reposo de la partícula y = .
Los procesos QED pueden representarse mediante los diagramas de Feynman en los que una o varias partículas pasan por estados intermedios hasta llegar al estado final.
Si analizamos por ejemplo la radiación de Compton tendríamos estos dos diagramas que representan los órdenes posibles en los que pueden ocurrir las acciones del proceso:
Figura 2: diagramas de Feynman para el efecto Compton.
Si tomamos el primero de los dos diagramas la interpretación a realizar es la siguiente: tenemos un electrón con momento el cual absorbe un fotón de momento = [ , ], al absorber dicho fotón, el electrón pasa a tener un momento ′ = + que incumplirá la Shell condition para cualquier valor de , por lo tanto, el electrón entrará en un estado virtual. El electrón se propagará en dicho estado para a continuación emitir otro fotón de momento tras lo que pasará a tener un momento = + − el cual sí debe cumplir la Shell condition pues es un estado real. Remarcar que dados y . Al elegir , el valor de queda determinado.
Sin la intención de llegar a explicar a fondo el resultado, mostraré la fórmula la amplitud que un fotón de momento y polarización sea dispersado por un electrón que inicialmente tenga momento y tras ello de lugar a otro fotón con momento y polarización :
= − (4 ) 1
+ −
Siendo cada término:
es la interacción entre el fotón incidente y el electrón en su estado inicial.
es la propagación del estado virtual del electrón generado tras absorber el fotón
incidente. es la interacción entre el fotón dispersado y el electrón en su estado final.
Comentar que como en la interacción con un potencial estático, la densidad de probabilidad del electrón es de uno por centímetro cúbico, el potencial del fotón incidente también está normalizado a un fotón por centímetro cúbico y obviamente el campo radiado debe ser enfocado sobre la posición del electrón.
Interacción entre electrones
En la interacción entre dos electrones entra en juego un nuevo elemento y es que las fuentes que generan el campo con el que interactuará el otro electrón son los propios electrones cuya posición está sujeta a una evolución. En todos los casos anteriores el potencial o bien provenía de un núcleo atómico que se asumía estático y puntual o bien era representado por una onda plana normalizada que representaba un fotón.
Sean “A” y “B” dos electrones que interactúan entre sí, en el espacio su propagador de primer orden (una de sus dos ramas) se calcula mediante la siguiente expresión:
( )(3,4; 1; 2) = − (3,5) (4,6) ( − ) (5,1) (6,2)
La descripción de los términos de la integral es:
Los números “1”, “2”, “3”, “4”, “5” y “6” que van dentro del propagador representan puntos concretos del espacio-tiempo, siendo el significado de cada número:
o “1”: posición del electrón “A” al principio del experimento o “3”: posición del electrón “A” al final del experimento o “5”: posición del electrón “A” en un punto intermedio del experimento sobre el
que realizamos la integración. Es el punto en el que “A” ejerce una perturbación sobre “B”.
o “2”: posición del electrón “B” al principio del experimento o “4”: posición del electrón “B” al final del experimento o “6”: posición del electrón “B” en un punto intermedio del experimento sobre el
que realizamos la integración.
La integración se realiza sobre las variables y , cada una de ella representa el espacio-tiempo, por tanto = , la integración se hace sobre los puntos intermedios “5” y “6”.
es el propagador de orden cero para la ecuación de Dirac.
es la función delta definida que en el dominio del momento sólo tiene energías positivas. Está definida para que sólo coja los puntos cuya 4-distancia sea cero. Para asociar esta delta con el potencial de una partícula hay que tener en cuenta la siguiente identidad:
12
( ( − ) + (− − )) = ( − )
Por otro lado, la relación entre la delta normal y la delta de energías positivas es esta:
( ) = ( ) +1
∗1
y contienen tano la interacción eléctrica como la magnética que es proporcional al producto escalar de las velocidades de los electrones.
Figura 3: diagrama de Feynman para la interacción entre dos electrones.
Aquí ya aparece claramente el error que pretendo alertar con este paper: se está evaluando punto a punto el efecto que una carga causa sobre el Hamiltoniano de otra carga a través de su potencial, pero el potencial que un punto de una partícula causa sobre la otra partícula debe estar vinculado a la cantidad de carga que hay en dicho punto, es decir, a = | | , debiendo estar la función de onda normalizada para que | | = 1 en el sistema de referencia que hayamos elegido.
En la representación estándar de las matrices de Dirac, la carga y la corriente de un spinor puede calcularse como:
= | |
= ∗
Otra forma, quizá más clara, de enfocar el error mencionado es observando las series de Born, según la cuales el propagador debe obtenerse como:
= + + + ⋯
Si obtenemos V como la integral de las aportaciones de cada punto, sostengo que el potencial aportado por cada punto debería ser el potencial causado por la densidad de carga y corriente de dicho punto, en el modelo clásico tendríamos el potencial de Lienard-Wiechert ejercido por cada punto.
Comentar no obstante qué si descomponemos las ondas de los dos electrones “A” y “B” en ondas planas, dado que las ondas planas tienen la misma densidad de carga y corriente en todo el espacio (sobre el que estén normalizadas), este error queda neutralizado y sólo es necesario aplicar un factor normalizador que convierta “e” en “e / V” siendo V el volumen sobre el que está normalizado el electrón.
La auto-energía del electrón En primer lugar definiré qué sentido físico tiene la auto-energía del electrón. Sostengo que esta energía es la energía del campo eléctrico inducido por la carga del electrón.
En el modelo clásico, sea una densidad de carga infinitesimal ‘dq’ que tenga una masa ‘dm’, Si esta carga está aislada genera un campo inducido cuya energía total ‘dE’ es un orden de
magnitud menor que la energía debida a la masa del electrón, por ello, = 0 lo que significa
que la auto-energía de una partícula infinitesimal es nula.
El electrón no tiene una carga infinitesimal sino que vale e, por ello, de estar concentrado en una región espacial su auto-energía no será cero pero es evidente que tampoco debería ser infinita (desde un enfoque clásico), salvo si el electrón estuviese todo él concentrado en un solo punto, y en tal caso su energía cinética también sería infinita (desde un enfoque cuántico).
Asumamos que en el electromagnetismo clásico tenemos un sistema formado por densidad de carga tal que la ratio entre la densidad de carga y la densidad de masa es constante. A cada punto le corresponde cierta densidad de carga y corriente tal que:
[ ( , ), ( , )] = ( , )[ ( , ), 1]
Sea la densidad de masa = ( ) , a cada punto le corresponde la siguiente energía y
momento:
[ , )] = ( ), [ , ]
Siendo ( ) =
Por el teorema de Poynting se sabe que el momento que gane o pierda una carga se compensa con el momento que gane o pierda el campo electromagnético. Por ello con una disposición de cargas del mismo signo podemos comparar la energía cinética que tienen la cargas en la configuración actual y compararla con la que tendrán en el futuro lejano cuando la carga se haya dispersado infinitamente, la energía del campo eléctrico sea muy poca y por tanto dicha energía haya vuelto a la carga. Esta diferencia de energías es la auto-energía del modelo clásico (SE) y se puede calcular así:
= ( , ∞) ∗ ( , ∞) − ( , ) ( , ) [A]
Siendo ( , ∞) la densidad de carga en = ∞ y ( , ) la densidad de carga en el instante actual,
( , ) es la velocidad de la carga en el instante actual y ( , ) ( , ) es la densidad
de energía de ese punto.
Con esta definición una onda plana que está dispersa por todo el espacio tiene auto-energía nula. Puede comprobarse que así es integrando su campo electromagnético.
Feynman determina la auto-energía del electrón a partir de estudiar su auto-interacción. En la auto-interacción el estado final de una partícula es el mismo que el inicial, cualquier otra interacción está prohibida puesto que de la auto-interacción no pueden emitirse fotones.
Figura 4: diagrama de Feynman para la auto-interacción.
La interpretación del diagrama es sencilla: en “3” el electrón emite un fotón virtual que posteriormente es recogido por la misma partícula en “4”, al ser el diagrama de primer orden, se asume que entre “3” y “4” el electrón se propaga libremente.
La auto-interacción se modela como una perturbación independiente del tiempo en la que los auto-estados permanecen inalterados, únicamente cambiando de la energía de cada auto-estado. En consecuencia, la fase de cada estado cambiará en un factor ∆ , donde ∆ es la autoenergía del electrón y T el periodo de tiempo analizado.
La integral mediante la que se obtiene la autoenergía aparece en la página 136 del libro “Quantum Electrodynamics” y tiene esta forma:
∆ ∗ ∗ ∗ 2 = (4) (4,3) , (3)
Sobre esta integral comentaré lo siguiente:
“3” representa el punto de emisión y “4” el punto de recepción2. La integración se hace para todos los puntos del espacio-tiempo de la partícula en el momento en que emite (“3”), al integrar sobre . También se integra sobre todo el espacio-tiempo en el que existe la partícula en el momento de recibir “4”, al integrar sobre .
V es el volumen espacial sobre el que se hace la integral, T es el período que transcurre entre la emisión y reabsorción del fotón virtual y E es la energía del electrón libre.
Integrar (3) (4,3) sobre nos llevaría a tener ′(4) que valdría lo mismo que (4) en caso que ni la auto-interacción ni ninguna otra perturbación alteraran el
propagador de orden cero.
, contiene el efecto del potencial, al integrarse sobre , cada punto da
una densidad de carga de e Coulombs / y en esta ecuación no hay normalización alguna, por ello, al integrarse por todo el espacio infinito, se aumenta infinitamente la carga, dando lugar a la auto-energía infinita.
2 Por “emisión” entiendo el punto que perturba algún otro punto, por “recepción” entiendo el punto que es perturbado por algún otro punto.
Por lo tanto, el error en el cálculo de la auto-energía está en que se asume que cada punto genera un potencial del orden de / , sin considerar la densidad de carga de cada punto.
Dado que hemos asumido que el Hamiltoniano de la auto-energía, no altera los autoestados libres (las ondas planas) salvo por modificar su energía, podemos calcular la auto-energía mediante la mecánica cuántica:
∆ =< ( )| | ( ) > [B]
Donde ( ) es la onda en el instante asociado a “4” y es el Hamiltoniano de la auto-energía:
( ) = | (3)| ,
De esta forma, la fórmula de la auto-energía dado por Feynman debería corregirse añadiendo un término | (3)| :
∆ = (4) (4,3) , (3) ∗ | (3)| [B’]
Ahora evaluaré la auto-energía con este método para una onda plana = · , si llamamos V al volumen del espacio (infinito) y f a la onda normalizada por todo el espacio, tendremos que
=√ ∗
· .
Vemos que las f’s aportan un factor 1/ , la integración sobre aporta un factor V, así pues, falta por ver si la integral del potencial es del orden de V o no.
( − )1
=1
Integrando 1/r sobre coordenadas esféricas tenemos:
14 =
→
2
Tenemos que la integral del potencial es del orden de , pero V es del orden de , con lo que llegamos a que la auto-energía de una onda plana es cero.
De cara a validar los resultados aquí propuestos, una prueba a realizar podría ser tomar una función de onda “modelo” y comparar su auto-energía clásica, calculable mediante la ecuación [A], con la energía de la auto-interacción aplicando la densidad de carga, calculable mediante [B]. Esta prueba no obstante queda excluida de este artículo debido a mi inexperiencia en el empleo de métodos de cálculo y a la espera de recibir mayor feedback sobre el tema.
Podemos definir el auto-potencial = [ , ] como el potencial electromagnético que ejerce una partícula sobre sí misma, este potencial debe aplicarse solamente a las auto-interacciones y no a ningún otro proceso de QED.
Dado que el propagador en el dominio espacial es extremadamente complicado de emplear, y los procesos de QED se calculan en el dominio del momento, este cambio en la evaluación del auto-potencial debe llevarse al dominio del momento. Una forma de hacerlo sería jugar con el volumen de normalización de las ondas en el momento en que interactúan pues este volumen experimentará variaciones. Cómo calcular dicho volumen de normalización es algo que excluyo del alcance de este artículo.
Está claro que el auto-potencial depende de lo comprimida que esté la función de onda, cuanto más comprimida esté más potente será la auto-interacción, lo que reducirá el tiempo entre auto-interacciones. Considero que vincular el colapso de la función de onda a las auto-interacciones puede ser un tema de sumo interés pero que debo excluir del alcance de este paper al no disponer de un enfoque inicial para tratar sobre esta materia.
Conclusiones
Al calcularse la auto-energía del electrón debe incluirse la densidad de la onda “emisora”, | | para obtener el auto-potencial correcto. Haciendo esto desaparece la divergencia de la energía del electrón.
Referencias
QUANTUM ELECTRODYNAMICS
Richard Feynman.
Editado por Advanced Books Classics, ISBN 0-201-36075-6.
Quantum Mechanics
Richard Fitzpatrick, University of Texas
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/qm/qm.html
Classical electromagnetism
Richard Fitzpatrick, University of Texas
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/jk1/Electromagnetism/
Classical electrodynamics Part II
Robert G Brown, Duke University
http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/
General Field Theory
Eduardo Fradkin, Universidad de Ilinois
http://eduardo.physics.illinois.edu/phys582/physics582.html
Agradecimientos
Quiero agradecer especialmente a mi hermana Elena todo el apoyo que me ha dado para seguir adelante sin el cual posiblemente no hubiera sido posible escribir este artículo.
