Profesor Practicante: Ignacio Espinoza BrazProfesor Practicante: Ignacio Espinoza Braz

Comunidad Educativa “San Marcos”Subsector de MatemáticaArica

CIRCUNFERENCIACIRCUNFERENCIA

•Elementos de una Circunferencia•Posiciones Relativas entre Circunferencias•Ángulo del Centro y Ángulo Inscrito

Hoy conoceremos:

Elementos de una CircunferenciaElementos de una Circunferencia

La circunferencia, se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto común llamado centrocentro.

Se denomina radioradio a cualquiera de los segmentos que unen el centro con un punto de la circunferencia, o bien, a la longitud de estos segmentos.

CuerdaCuerda : : Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

Diámetro: Diámetro: Cuerda que contiene al centro de la circunferencia.

A

B

0C D

Recta SecanteRecta Secante : : Recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

Recta TangenteRecta Tangente : : Recta que corta a la circunferencia en un punto

A

0

P

Q0

ArcoArco : : Parte de la circunferencia comprendida entre dos radios.

Ángulo del CentroÁngulo del Centro : : Ángulo cuyos lados son radios de la circunferencia.

α

Ángulo InscritoÁngulo Inscrito : : Ángulo cuyo vértice está en la circunferencia y sus lados son cuerdas.

Ángulo Semiinscrito: Ángulo Semiinscrito: Ángulo formado por una recta tangente y una secante a la circunferencia.

γ

β

Ángulo InteriorÁngulo Interior : : Ángulo formado por dos cuerdas que se cortan en el interior del círculo.

Ángulo ExteriorÁngulo Exterior : : Ángulo formado por dos rectas secantes a la circunferencia, que se intersectan en el exterior de un círculo.

ε

φ

EjercicioEjercicio

Si en la figura, es el centro de la circunferencia, complete las siguientes oraciones.

c) _______ es un diámetro

d) _______ es una cuerda

e) _______ es un ángulo inscrito

f) _______ es un ángulo del centro

g) _______ es un ángulo semiinscrito

h) _______ es un ángulo exterior

i) _______ es una recta secante

j) _______ es una recta tangente

O

OD

E

Q

P

A F

B

C

Posiciones Relativas entre Posiciones Relativas entre Circunferencias Circunferencias

Cuando se tienen dos circunferencias en un mismo plano (lugar geométrico donde hay infinitos puntos y rectas), se pueden tener las siguientes posiciones relativas:

Circunferencias Secantes: Circunferencias Secantes: Las circunferencias se intersectan en dos puntos.

Circunferencias no Secantes: Circunferencias no Secantes: Las circunferencias no se intersectan.

Circunferencias TangentesCircunferencias Tangentes : : Circunferencias que se intersectan en un punto, puede ser interior o exterior.

EjerciciosEjercicios

Identifica a qué posiciones relativas se encuentran las circunferencias de radios, y y cuya distancia entre el sus centros es , para ello haz el dibujo correspondiente.

a) b)

c) d)

1r 2rd

[ ] [ ] [ ]1 23 , 4 y 8r cm r cm d cm= = = [ ] [ ] [ ]1 23 , 4 y 6r cm r cm d cm= = =

[ ] [ ] [ ]1 23 , 4 y 7r cm r cm d cm= = = [ ] [ ] [ ]1 23 , 4 y 1r cm r cm d cm= = =

Ángulo del Centro y Ángulo InscritoÁngulo del Centro y Ángulo Inscrito

A continuación, conoceremos el teorema que relaciona el ángulo del centro con el ángulo inscrito que subtiende el mismo marco.

Teorema:Teorema: El ángulo del centro mide el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco.

En un teorema se distingue la hipótesis (son los datos con los que se tienen) y la tesis (es lo que se quiere demostrar).

O

C

2α

A B

En este caso: HipótesisHipótesis: : Es el ángulo del centro y el ángulo

inscrito subtienden el mismo arco. TesisTesis : : El ángulo del centro es el doble del

ángulo inscrito.

A continuación, veremos la demostración, la cual depende si el centro de la circunferencia está en el interior o no del ángulo inscrito.

Primer Caso: Primer Caso: El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo inscrito.

DemostraciónDemostraciónEn la figura por ser radios, entonces:

es isósceles,

Por ser exterior del triángulo , se tiene:

En el triángulo (son radios)

es isósceles, entonces:

Y por ser exterior del triángulo , se tiene:

Finalmente, tenemos que:

AO OC=AOC∆ OAC ACO x= =S S

AOES AOC

2AOE ACO OAC x= + =S S S

: OBC OB OC=

OBC∆ OBC OCB y= =S S

EOBS OBC2EOB OCB OBC y= + =S S S

( )2 2 2 2AOB x y x y ACB= + = + =S S

E

Segundo Caso: Segundo Caso: El Centro de la circunferencia pertenece a uno de los lados del ángulo inscrito.

DemostraciónDemostración

Al igual que en el caso anterior

es isósceles, por lo tanto:

El ángulo es exterior al triángulo

Por lo tanto:

De lo anterior, se puede deducir que:

OBC∆OCB OBC x= =S S

AOB OBC

2AOB OCB OBC x= + =S S S

2AOB ACB=S S

x

2x

x

O

A B

C

Tercer Caso: Tercer Caso: El centro de la circunferencia pertenece al exterior del ángulo inscrito.

DemostraciónDemostración

Supongamos que el ángulo del centro mide:

Y su ángulo correspondiente ángulo inscrito es:

Por tesis tenemos que:

Esta demostración es un poco más compleja que la anterior, ya que necesitamos resolver una ecuación para resolverla.

αβ

2α β=

α β

En la figura es isósceles.

Por lo tanto:

De lo anterior, deducimos que:

El es isósceles, de modo que:

En el la suma de los ángulos interiores es:

pero

Reemplazando lo anterior, tenemos que:

Lo que se deduce que:

AOC∆

OAC OCA x= =S S

OCB x β= +S

OBC∆OBC OCB x β= = +S S

AOC∆

180 x BOC xα+ + + = °S

180 2 2 180x x xα β+ + − − + = °

180 2 2BOC x β= − −S

2 0α β− =

2α β=

α x

xx β+

β