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APLICACIONES DE
LAS ECUACIONES
DIFERENCIALES
ECUACIONES
DIFERENCIALES DE
VARIABLES
SEPARABLES
Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con
una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire
es proporcional a la velocidad del cuerpo.
Se sabe que la velocidad límite debe ser 40 m/seg.
Encontrar:
a) la expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t,
b) la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y c) la
velocidad después de 8 segundos.
a) La fuerza neta F sobre un cuerpo es F = mg - kv, donde m es la masa
del objeto, g es la fuerza de la gravedad y kv es la fuerza debida a la
resistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).
Además, por la segunda ley de Newton, tenemos :
En este problema:
w = 30 kg y como w = mg, entonces mg = 30 kg
v. límite = 40 m/seg, donde v, ; entonces
Sustituyendo estos valores en la ecuación
ecuación lineal, cuya solución es
Con condición inicial: para t = O, v = 8,
b) Para encontrar la posición del cuerpo tomamos o entonces
ecuación de variables separables
con solución:
Para t = O , x = O Y C2 = -148
c) Para t = 8
ECUACIONES
DIFERENCIALES
LINEALES
Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una ínductancía de 1 henrio,
una 1'esíst"encía de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar la
corriente en el circuito para cualquier tiempo t.
El circuito más sencillo RL consta de:
Una resistencia R, en ohmios
Una inductancia L, en henrios
Una fuerza electromotriz, fem E, en voltios
La cantidad de corriente 1, en amperios, queda expresada por la ecuación:
Entonces, para E = 5, L = 1 Y R = 80, la ecuación del circuito es:
, ecuación lineal, cuya solución es:
Para t = O, 1 = O; entonces:
La corriente en cualquier tiempo t es:
ECUACIONES
DIFERENCIALES
BERNOULLI
EL PAR DE AMIGOS
Consideremos inmóvil la corriente del río y Liborio llevará su velocidad más
la del río.
Derivando:
ECUACIONES
DIFERENCIALES
HOMOGÉNEAS
Régimen transitorio en corriente alterna.
Al cerrar la llave L la fuente aplica una
tensión v variable en el tiempo de forma
sinusoidal.
Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff
tenemos:
Derivando
reordenado la expresión anterior y dividiendo por L miembro a miembro:
ecuación diferencial de 2º orden, con coeficiente constantes y no
homogénea.
Para resolver esta ecuación diferencia y estudiar el régimen transitorio
respectivo, emplearemos uno de los métodos de resolución explicados en
los apartados anteriores, por ejemplo, el método de los coeficientes
indeterminados
Determinación de la función complementaria yh
Resolvemos
Esto ya lo sabemos hacer, de manera que obtendremos una de las
siguientes soluciones
Determinación de la solución particular yp :
Partes variables
por lo tanto
http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_or
den#Ecuaciones_de_variables_separables
Referencias
Libro
ECUACIONES DIFERENCIALES
ISABEL CARMONA JOVER